2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念
故A∩B＝{1，－1}.
解析答案
1
2
3
4
5
2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是 2和3，则实数a，b的值 分别是( C )
A. 2，1 C.± 2，5 B. 2，5 D.± 2，1
解析
2 a ＝2， 令 得 a＝± 2，b＝5. －2＋b＝3，
解得m＝2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
学习 目标
1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
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知识梳理
自主学习
知识点一
复数的引入
在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数 系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根， 即使i· i＝－1. 把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相 乘的结果相加，结果记作 a ＋ bi(a ， b∈R) ，这些数都应在新数集中 . 再 注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式， 所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是 C＝{a＋bi|a，b∈R} ，称i 为 虚数单位 .
(2)若复数z1，z2为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b
的值为多少？ 答案 4.
答案 返回
题型探究
重点突破
题型一 复数的概念 例1 虚数. ①2＋3i； 解 实部为2，虚部为3，是虚数；
1 ②－3＋2i；
解 1 实部为－3，虚部为2，是虚数；
解析答案
写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯
解析答案
课堂小结 1.复数的代数形式 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) 是解决问题的基础，明确其实部、 虚部. 2. 根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题 实数化.
返回
解析答案
1
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5
C
答案
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4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，
则实数m的值为 1或2 .
解析 ∵M∪N＝N， ∴M⊆N， ∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.
2 2 m － 2 m ＝－ 1 ， m －2m＝0， 由复数相等的充要条件，得 2 或 2 m ＋m－2＝0 m ＋m－2＝4，
m－1＞0， m 应满足的条件是5－m＞0， 5－m≠1，
解得1＜m＜5，且m≠4.
解析答案
(2)若z是纯虚数，求m的值. 解 因为z是纯虚数，故其实部 log 1 (m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
2
m－1＝1， m 应满足的条件是5－m＞0， 5－m≠1，
表示.
2.复数的分类及包含关系
答案
实数b＝0 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) 纯虚数a＝0 虚数b≠0 非纯虚数a≠0
(2)集合表Biblioteka ：思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？ 答案 不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小. (2)复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？
解得m＝1或m＝2. 故实数m的值是1或2.
解析答案
1
2
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5
5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实
根为n，则m＝ 1 .
解析 关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n， 可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.
2 n －2n＋1＝0， 所以 所以 m＝n＝1. m－n＝0.
解析
①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复
数相等的充要条件，
所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，
所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，
所以③是假命题.故选A.
解析答案
题型二 复数的分类 log 1
2
解
因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，
解 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2 2 x － y ＝0， ∴ 2xy＝2，
x＝1， x＝－1， 解得 或 y＝1， y＝－1.
解析答案
2 a 3m － m－1＝0， 2 ∴ 10－m－2m2＝0，
71 解得 a＝11 或 a＝－ 5 .
答案
知识点二
复数的概念、分类
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a,b∈R,i叫做 虚数单位 .a
叫做复数的 实部 ，b叫做复数的 虚部 .
(2)复数的表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi .
(3)复数集定义： 全体复数 所构成的集合叫做复数集 . 通常用大写字母 C
答案
思考
(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.
答案
(2)虚数单位i有哪些性质？ 答案 虚数单位i有如下几个性质： ①i的平方等于－1，即i2＝－1； ②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立； ③i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
③ 2＋i；
解 实部为 2，虚部为 1，是虚数；
④π； 解 实部为π，虚部为0，是实数；
⑤－ 3i；
解 实部为 0，虚部为－ 3，是纯虚数；
⑥0. 解 实部为0，虚部为0，是实数.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1
下列命题中，正确命题的个数是( A )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A.0 B.1 C.2 D.3
答案 不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b.
答案
知识点三
复数相等
复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d. 即 它 们 的 实 部与虚部分别对应相等. 思考 (1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R).z＝0，则a＋b的值为多少？ 答案 0；
2 k －3k－4＝0， (3)当 2 时，z 是纯虚数，解得 k＝4. k －5k－6≠0
2 k －3k－4＝0， (4)当 2 时，z＝0，解得 k＝－1. k －5k－6＝0
解析答案
题型三 两个复数相等
例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3
已知复数 z＝ 3x－1－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数 x 的值.
解析答案
返回
当堂检测
1
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1.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位),B＝{1，－1},则A∩B等于( C ) A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D. ∅
解析 因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2课件 第三章 数
如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为( A．x＝1，y＝－1 C．x＝1，y＝0
)
B．x＝0，y＝－1 D．x＝0，y＝0
【解析】 ∵(x＋y)i＝x－1，
x＋y＝0， ∴ x－1＝0，
(4) 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 ，那么这两个复数相 等．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝± 1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是__________．
【解析】 当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小， 故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 错． 【答案】 ③
2 x －1＝0， 是纯虚数，则 2 x ＋3x＋2≠0，
即 x＝1，故②
教材整理 2 两个复数相等的充要条件 阅读教材 P85 练习以上内容，完成下列问题． 在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数 a＋bi，c＋di(a，b，c，d
[ 再练一题] 1．下列命题中是假命题的是( A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集为实数集 C．实数集与虚数集的交集是{0} D．纯虚数集与实数集的交集为空集 【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此， ) 【导学号：05410058】
实数集与虚数集没有公共元素，C 是假命题． 【答案】 C
复数的分类 (1)复数 z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(
2016-2017学年高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1
第十九页，编辑于星期五：十七点 二十五分。
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．计算：(1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)； (3)(i2＋i)＋| 3－i|＋(i－2)． 解析： (1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i] ＝－ 2－( 3－ 2)＋[ 3－( 3＋ 2)]i ＝－ 3－ 2i.
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3．2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算 及其几何意义
第一页，编辑于星期五：十七点 二十五分。
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解析： z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i， z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i， 由已知得b＋4＝0，a＋3＝0，∴a＝－3，b＝－4.
答案： －3 －4
第十四页，编辑于星期五：十七点 二十五分。
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第十页，编辑于星期五：十七点 二十五分。
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2．复数减法的几何定义的实质 (1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所 对应的复数就是这两个复数的差． (2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连 向被减”的方法确定．
2016-2017学年高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2
第十七页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
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6＋2i＋3i－ 5
6＝－1＋i.
第二十四页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
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方法二：(技巧解法)
原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3－
3ii 2ii
＝i6＋
2＋ 2＋
33iii＝－1＋i.
第二十五页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
第十一页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．11＋－2ii2＝(
)
A．－1－12i
C．1＋12i
B．－1＋12i D．1－12i
解析： 先进行复数的乘方运算，再进行除法运算．
11＋－2ii2＝1－1＋2i＋2i i2＝1－＋22ii＝1＋22ii＝－1＋12i. 答案： B
第七页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．复数乘法运算的方法 (1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的 结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． (2)复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式．如平方差 公式，完全平方公式等．
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的
方法技巧 复数与函数的综合应用
对于求复数的题目，一般的解题思路是： 先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结 合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的 代数形式写出来. 例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.
12345
2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中
点，则点C对应的复数是( A.4＋8i
)C B.8＋2i
C.2＋4i
D.4＋i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3). 由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)， 故点C对应的复数为2＋4i.
答案 返回 第十页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型探究
重点突破
题型一 复数与复平面内的点 例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚 轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m 的取值范围.
反第思十与一页感，悟编辑于星期五：十解七点析一答分。案
圆环，并且包括圆环的边界.
反思第十与六页感，悟编辑于星期五：十七解点析一答分。案
2π
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i， ∴|z－i|＝ x2＋y－12， 由|z－i|≤ 2知 x2＋y－12≤ 2，x2＋(y－1)2≤2.
解析答案 第十八页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型三 复数的模及其应用
例3 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝ 32＋a2，
2016-2017学年人教版高中数学选修2-2课件：复习课 数系的扩充与复数的引入
结束
2．复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时， (1)z∈R；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
解：(1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0， x2－3x－3＞0，①
∴log2(x－3)＝0，② x－3＞0.③
由②，得x＝4，经验证满足①③式． ∴当x＝4时，z∈R.
a 的值是
()
A．－1
B．1
C．－ 2
D． 2
(2)复数 z＝m1＋－22ii(m∈R，i 为虚数单位)在复平面上对应的点
不可能位于
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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[解析] (1)因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，
结束
[解析]
Hale Waihona Puke (1)由1＋z 1－z
＝i，得z＝
－1＋i 1＋i
＝
(－1＋i)(1－i) 2
＝
2i 2
＝
i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.
(2)因为z＝1＋2i，则 z ＝1－2i，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝
5，则z z4－i 1＝44i＝i.故选C.
[答案] (1)A (2)C
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[考点精要]
结束
1．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是
(a，bi)；
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点 O 为起点
人教课标版高中数学选修2-2《数系的扩充和复数的概念》参考课件1
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点
在虚轴上”的（ ）C 。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
数系的扩充和复数的概念
教学目标
• 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复 数及其相关概念。
• 教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与 纯虚数，明白各数系的关系。
• 教学难点：复数及其相关概念的理解
引言：在人和社会的发展过程中，常常需 要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观 发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和 抛弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中， 我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃呢？
i4n 1
i4n2 -1
i4n1 i i4n3 i
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 一一对应 数轴上的点
(数) 规定了
直线
正方向，
(形)
原点，单位长度
数轴
o1
x (几何模型)
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
（数）
y
直角坐标系中的点Z(a,b) 平面向量 OZ （形）
例2 已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x, y R 求 x与y.
解题思考：
复数相等的 问题
转化
求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想：转化思想
1、若x，y为实数，且
x 2 y 2 x yi 2 4i
求x，y
i 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
2016-2017学年人教A版数学选修2-2课件 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2复数代数
第一页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2.2 复数代数形式的乘除运算
第二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[学习目标] 1.理解复数代数形式的乘、除运算法则 (重点)． 2.会进行复数代数形式的乘、除运算(重点、难 点)．
第三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
归纳升华 (1)由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复 数时，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成 代数形式，再写出其共轭复数； (2)涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性 质：如 z＋z- 等于 z 的实部的两倍，z·z- ＝|z|2 等，另外注 意复数问题实数化及方程思想的应用．
第八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
解析：(1)错，两个复数互为共轭复数是它们的模相 等的充分条件．
(2)错，如 z1＝1，z2＝i，满足 z21＋z22＝0，但 z1≠z2≠0. (3)对，如 z1＝1＋i，z2＝1－i，z1z2＝2 为实数． 答案：(1)× (2)× (3)√
第九页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
第五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称 这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z- 表示．即 z＝a ＋bi，则z- ＝a－bi． 4．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)， 则zz21＝ac＋＋dbii＝_ac_c2_＋＋__bd_d2_＋__bc_c2_－＋__ad_d2_i ．
高中数学选修2-2课件3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课件
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
相等的充要条件是 a c 且 b d .
复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受
的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是 1545 年开始讨 论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但 是又过了 140 年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中”，并用 i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830 年，高 斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数 a bi ，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
并且其中只有 0.2i 是纯虚数.
显 然,实 数 集R是 复 数 集 C的 真 子 集,即R C. 这 样,复 数z a bi 可 以
虚数集 复数集 纯虚数集 实数集
分 类 如 下:
图3.1 1
复 数z
实数b 0,
虚数b 0,当a 0时为纯虚数.
复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间的关系, 可 用 图3.1 1表 示.
对于复数a bi,当且仅当b 0时,它是实数; 当且仅当a b 0时,它是实数0;
当b 0时,叫做虚数; 当a 0,且b 0时,叫做纯虚数.
例如,3 2i, 1 3i, 3 1 i,0.2i都是虚数,
2
2
它们的实部分别是3, 1, 3,0,
2016-2017学年高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1
第十五页，编辑于星期五：十七点 二十五分。
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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4．如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，求实数x，y的值．
解析： 由复数相等的充要条件得
x＋y＝3x＋2y， x＋3＝y，
(2)已知关于 x，y 的方程组x＋32＋2y＋1i＝y＋4xi， 2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i
有实数解，求实数 a，b 的值．
[思路点拨] 确定实部与虚部，列方程组求解．
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x＋3≠0 x2－2x－15＝0
，解得 x＝5.
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(2)要使 z 为虚数，必须且只需
x＋3≠0 x2－2x－15≠0
，
解得 x≠－3 且 x≠5.
(3)要使 z 为纯虚数，必须且只需
[提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和12. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示2] 没有解．
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[问题3] 若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0 有解吗？
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。