2020年高考数学(文)二轮专项复习专题13 坐标系与参数方程
(t
为参数，t≠0)，它的普通方程是________．
y
1
t
2
(2)在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
y
t 3, 3t
(参数
t∈R)，圆
C
的参数方程为
x
y
2 cos 2 sin
,
2
(参
数∈[0，2])，则圆 C 的圆心坐标为______，圆心到直线 l 的距离为______．
评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
x a sec
的参数方程为
y
b
tan
(为参数)．
x 2 pt 2
抛物线
y2＝2px(p＞0)的参数方程为
y
2
pt
.
例 6 圆 M 的参数方程为 x2＋y2－4Rxcos－4Rysin＋3R2＝0(R＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆 M 的半径； (2)当 R 固定，变化时，求圆心 M 的轨迹，并证明此时不论取什么值，所有的圆 M 都外切于一个定圆． 解：(1)依题意得圆 M 的方程为(x－2Rcos)2＋(y－2Rsin)2＝R2， 故圆心的坐标为 M(2Rcos，2Rsin)，半径为 R．
解：(1)由
x
1
1 t
得
t
1 1 x
，带入 y＝1－t2，得 y
1 ( 1 )2 1 x
x(x 2) (x 1)2
,
注意到 x
1 1 t
1 ，所以已知参数的普通方程为
y
x(x 2) (x 1)2
(2)直线 l 的普通方程为 x＋y－6＝0，圆 C 的普通方程为 x2＋(y－2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线 l 的距离 d | 0 2 6 | 2 2.
⑤若 O(0，0)，A(2a， π )，以 OA 为直径的圆：＝2asin． 2
对于例 2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB｜，当然也可以用极坐标方程直 接解，根据的几何意义求｜AB｜．
例 3 圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为＝4cos，＝－4sin． (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆 O1 和圆 O2 交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)由＝4cos得2＝4cos，根据 x＝cos，y＝sin，所以 x2＋y2＝4x． 即 x2＋y2－4x＝0 为圆 O1 的直角坐标方程，同理 x2＋y2＋4y＝0 为圆 O2 的直角坐标方程．
由 π 得 tan π y ，即 y 3x ，
3
3x
由＝2sin，变形为2＝2sin，得 x2＋y2＝2y，即 x2＋(y－1)2＝1， 因为圆的半径为 1，圆心到直线的距离为 d 1 1 ，
13 2
所以 | AB | 2 1 ( 1 )2 3. 2
(3,
π 4
)
，则点
P
的直角坐标为______．
解：(1)因为 cos
cos 5π
2
6
3 2
，所以点 (
3 2
,
5π 3
)
是在曲线
cos
2
上．
(2)根据2＝x2＋y2， tan y (x 0) ， x
得＝2， tan 3 ，又点 P 在第四象限， 3π 2π ，所以 5π ，
2
3
所以点 P 的极坐标为 (2, 5π ). 3
(3)根据 x＝cos，y＝sin，得 x
32 2
,y
3
2 2
，
所以点
P
的直角坐标为
(
3
2 2
,
3
2 2
).
例 2 (1)圆＝2(cos＋sin)的半径为______．
(2)直线 π ( R) 与圆＝2sin交与 A，B 两点，则|AB|＝______． 3
(A)1 个
(B)2 个
(C)3 个
(D)4 个
5．在极坐标系中，若等边△ABC
的两个顶点是
A(2,
π 4
)、B(2,
5π 4
)
，那么顶点
C
的坐标可能是(
)
(A) (4, 3π ) 4
(B) (2 3, 3π ) 4
(C) (2 3, π)
二、选择题
6．过极点，倾斜角是 π 的直线的极坐标方程为____________． 6
x0 y0
r r
cos sin
,
(为参数)；
x2 (4)椭圆 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的参数方程为
x
y
a cos b sin
,
(为参数)．
【复习要求】
1．理解坐标系的作用． 2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进 行极坐标和直角坐标的互化．
①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，t2，则弦长 l＝|t1－t2｜；
②定点 M0 是弦 M1M2 的中点 t1＋t2＝0；
③设弦 M1M2 的中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM
t1 t2 2
，(由此可求得|M2M|及中点坐标)．
一、选择题
习题 13
1．极坐标
(2,
4π 3
一点 M(x，y)，都可由 t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中 t 称为参数． 4．参数方程与普通方程的互化 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加
减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等． 把曲线 C 的普通方程 F(x，y)＝0 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性． 要注意方程中的参数的变化范围．
5．直线、圆、椭圆的参数方程．
(1)经过一定点
P0(x0，y0)，倾斜角为的直线
l
的参数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
,
(t
为参数)；
(2)直线参数方程的一般形式为
x y
x0 y0
at, bt
(t
为参数)；
(3)圆的参数方程为
x y
(2)设
M(x，y)为
P1P2 的中点，则点
M
对应的参数 t
t1
t2 2
27 5
，代入参数方程，
得 x 44 , y 33 , 25 25
所以 | PP1 | | PP2
| 9, M
( 44 , 33). 25 25
评述：根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：
得
sin
4 5
,
所以已知直线的参数方程为
x
y
5 3 5
3
t,
4 5
t,
…………………①(t
为参数)
代入圆的方程化简，得
t2
54 5
t
9
0.
…………………②
②的两个解 t1、t2 就是 P1、P2 对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知
｜PP1|·｜PP2|＝|t1|·|t2|＝9．
)
的直角坐标为
(A)(1， 3 )
(B)(－ 3 ，－1) (C)(－1，－ 3 ) (D)(－1， 3 )
2．椭圆
x y
2 cos 5sin
,
(为参数)的焦距等于(
)
(A) 21
(B)2 21
(C) 29
(D) 2 29
3．已知某条曲线的参数方程为
x y
极坐标化直角坐标： 2 x2 y2 ， tan y (x 0). x
3．参数方程的概念
x f (t)
设在平面上取定一个直角坐标系
xOy，把坐标
x，y
表示为第三个变量
t
的函数
y
g (t )
a t b ……①，如果对于 t 的每一个值(a≤t≤b)，①式所确定的点 M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上任意
例5
x2 求椭圆 a2
y2 b2
1的内接矩形的最大面积．
解：设内接矩形在第一象限内的顶点为 P(acos，bsin)，P 点在两轴上的投影分别为 A、B，则有 S ＝ 内接矩形
4S 矩形 OAPB＝4·acos·bsin＝2absin2．
因为 (0, π ) ，所以 2∈(0，)，S 内接矩形的最大值为 2ab． 2
所以所有的圆 M 都和定圆 x2＋y2＝R2 外切，和定圆 x2＋y2＝9R2 内切．
例7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
过
P(5，－3)，倾斜角为，且
cos
3 5
的直线交圆
x2＋y2＝25
于
P1、P2 两点．
(1)求|PP1|·|PP2｜的值；(2)求弦 P1P2 的中点 M 的坐标．
(全国通用)2020版高考数学二轮复习第二层提升篇专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程讲义
第1讲 坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析](1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.[例1] (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. [解] (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. [解题方略]1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可. (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.[跟踪训练](2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积.解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，ρ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×()1＋22×sin π4＝1＋324.[例2] (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值. [解] (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π).C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7. [解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1.[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2，1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值.解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α得普通方程(x －4)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0.(2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－()3＋1t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12（2t ），y ＝1＋32（2t ），所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4.[例3] (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1).(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解. (2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.[跟踪训练]1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcosθ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值.解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos30°，y ＝1＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数).设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ·3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0).(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t 2＋t －3＝0，Δ＝13＞0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42消去t 得y ＝x ＋42， 由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5＞1，所以直线l 与曲线C 相离.(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，则－2≤x ＋y ≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，0≤t ≤π).(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标.解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π3(ρ∈R )与曲线E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .(1)若π3＜β＜2π3，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |；(2)当β＝5π6时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值.解：(1)证明：依题意，|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， ∵π3＜β＜2π3， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝4sin β＝|OA |.(2)当β＝5π6时，直线θ＝β＋π3与曲线E 的交点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线θ＝β－π3与曲线E 的交点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，从而，B ，C 两点的直角坐标分别为B (3，1)，C (0，4)， ∴直线l 的方程为y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝1，α＝2π3.4.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上.(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积.解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.5.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值. 解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t 1，t 2为方程t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0的两根，则t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线参数方程的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，故α＝π4或α＝3π4，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α＞0，所以α＝π4.6.(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)过直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 解：(1)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12.(2)设l 上任意一点P (t ，t ＋2)，过P 向圆C 引切线，切点为Q ，连接PC ，CQ ， ∵圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径r ＝22，∴|PQ |＝|PC |2－|CQ |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2（t ＋1）2＋4≥2， 即切线长的最小值为2.7.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0＜r ＜2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围. 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)＞0结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1＞0，t 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 8.(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)设曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C 3，M (x ，y )是曲线C 3上任意一点，求点M 到曲线C 1的距离的最大值.解：(1)根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t 消参可得曲线C 1的普通方程为x －2y －5＝0，∵ρ2＝41＋3sin 2θ，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入可得：x 2＋4y 2＝4.故曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)曲线C 2：x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C 3的方程为x ′216＋y ′2＝1，∴曲线C 3的方程为x 216＋y 2＝1.设M (4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得 点M 到曲线C 1的距离d ＝|4cos α－2sin α－5|12＋（－2）2＝|2sin α－4cos α＋5|5＝|25sin （α－φ）＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tan φ＝2)，∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2＋ 5.。
专题13：2012-2020年高考数学真题分类汇编《坐标系与参数方程》(学生版)
《坐标系与参数方程》1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．9．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题） 在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos {1sin x a ty a t==+（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国3卷））在直角坐标系xOy中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标. 16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） 已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x t C y t==（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形ABCD 的顶点都在上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.。
2020年高考数学(文)二轮专项复习专题13 坐标系与参数方程含答案
专题13 坐标系与参数方程【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-(2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB 2π解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______． 解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为 例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ． 因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆． 解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)． 习题13一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．)4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程．专题13 坐标系与参数方程参考答案习题13一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离 即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223((2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。
2020年高考试题分类汇编(坐标系与参数方程)
2020年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）
1.（2020·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin k k x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4cos 16sin 30ρθθ-+=.
（Ⅰ）当1k =时，1C 是什么曲线？
（Ⅱ）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标.
2.（2020·全国卷Ⅱ）已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ
⎧=⎨=⎩（θ为参数），2C ：
11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）. （Ⅰ）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且过极点和P 的圆的极坐标方程.
3.（2020·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2
2223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且1t ≠）.C 与坐标轴交于A ，B 两点. （Ⅰ）求AB ；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.。
2020年高考数学复习——参数方程选讲(三)
2020年高考数学复习——参数方程选讲（三）46.已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 22422（t 为参数），在极坐标系（以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为ρsin 2θ=2ρcos θ（ρ＞0），曲线C 1、C 2交于A 、B 两点．（Ⅰ）若ρ=2且定点P （0，﹣4），求|P A |+|PB |的值； （Ⅱ）若|P A |，|AB |，|PB |成等比数列，求ρ的值．47.已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），若P 是圆C 与x 轴的交点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程（Ⅱ）求圆C 上到直线ρ（cos θ+3sin θ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．48.极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=8cos θ．（I ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |．49.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧α+=α+=sin t 3y cos t 2x （t 是参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣3π）． （1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．50.已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 53y x （α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为ρθθ1cos sin =-，求直线被曲线C 截得的弦长．51.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．52.极坐标系中，已知圆⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ3cos 10. （1）求圆的直角坐标方程．（2）设P 是圆上任一点，求点P到直线距离的最大值．53.在极坐标系中，曲线C ：ρ=2acosθ（a ＞0），l ：ρcos （θ﹣3π）=23，C 与l 有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB=3π，求|OA|+|OB|的最大值．54.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=422222t y t x （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点． （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．55.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（Ⅱ）设点P （0，2），l 和C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|．56.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=，直线l 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．57.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．58.已知直线l：x﹣y﹣1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．59.已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．60.已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值及该点坐标．61.已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．62.已知C1在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ．（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1和C2两交点之间的距离．63.在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：（x ﹣2）2+y 2=4．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．64.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C 1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C 2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ． （1）求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；（2））若P 是C 1上任意一点，过点P 的直线l 交C 2于点M ，N ，求|PM|•|PN|的取值范围．65.在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．66.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．67.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求△PAB面积的最大值．参考答案46.解：（Ⅰ）∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px，p＞2．又已知p=2，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=4x联立得： t+32=0，由于△=﹣4×32＞0，设方程两根为t1，t2，∴t1+t2=12，t1•t2=32，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．（Ⅱ）将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=2px联立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，由于△=﹣4×32=8（p2+8p）＞0，∴t1+t2=2（4+p），t1•t2=32，又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，∴|AB|2=|PA||PB，∴=|t1||t2|，∴=5t1t2，∴=5×32，∴p2+8p﹣4=0，解得：p=﹣4，又p＞0，∴p=﹣4+2，∴当|PA|，|AB|，|PB|成等比数列时，p的值为﹣4+2．47.解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=4，∵P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C的切线为l由题设知，圆心C（1，），P（2，0），∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30°，设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°，由正弦定理得，∴，∴直线l的极坐标方程为ρcos（θ+60°）=1．（Ⅱ）∵直线ρ（cosθ+s inθ）+6=0，∴直线的直角坐标方程为x+y+6=0，设圆上的点M（1+2cosθ，），点M到直线的距离：d==，∴当θ=时，点M到直线的距离取最大值．此时M（2，2），∴圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标为（2，2）．48.解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．解得t1=8，t2=．∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==．49.解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．50.解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，曲线C表示以（3，1）为圆心，为半径的圆，将代入并化简：ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0．（2）直角坐标方程为y﹣x=1，∴圆心C到直线的距离为，∴弦长为．51.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为．∴，即圆C的直角坐标方程：．（Ⅱ），即，由于，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=52.解（1）圆ρ=10cos化简可得：ρ=10cos cosθ+10sin sinθρ2=5ρcosθ+5ρsinθ∴．故得圆的直角坐标方程为：．（2）由（1）可知圆的圆心为（，），半径r=5，题意：点P到直线距离的最大值为：圆心到直线的距离+半径，即d+r．d=∴最大距离为：1+5=6．53.解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．54.解：（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所以：，t1t2=32+8a，①则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a=1．55.解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．56.（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．57.解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t 2+60t ﹣125=0设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则．∴．（2）由P 的极坐标为，可得x p ==﹣2，=2．∴点P 在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为．∴由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为．58.解：（Ⅰ）∵直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，∴将直线l 写成参数方程为，∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5， ∴x 2+y 2﹣4y=5，即x 2+（y ﹣2）2=9． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=9． （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，设t 1，t 2是方程的两根，解得，，又点A 在第一象限，故点A 对应，代入到y=tsin，得到点A 纵坐标y A =2，因此△OMA 的面积S △OMA =|OM|•|y A |==1．59.解：（I）曲线C1方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，∴C1的直角坐标方程：x2+（y﹣1）2=1，C2的参数方程为，消去参数t可得：C2的普通方程：．…（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距离为，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值为，则点P到曲线C2距离的取值范围为．…60.解：（1）由2ρsinθ+ρcosθ=10，得x+2y﹣10=0，∴曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．由，得，代入cos2α+sin2α=1，得，∴曲线C1的普通方程为；（2）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0，设点M（3cosα，2sinα），由点到直线的距离公式得：，其中，∴α﹣φ=0时，，此时．61.解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）直线l的普通方程为，∴圆心到直线的距离为∴直线l和圆C相离．62.解：（Ⅰ）C1在直角坐标系下的参数方程为，消参后得C1为y﹣2x+1=0．由ρ=2cosθ﹣4sinθ得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ．∴x2+y2=2x﹣4y，∴C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+2）2=5..…（Ⅱ）∵圆心（1，﹣2）到直线的距离．∴．…63.解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为 （或圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为．64.解：（1）消去参数可得x 2+y 2=1，因为α∈[0，π），所以﹣1≤x≤1，0≤y≤1，所以曲线C 1是x 2+y 2=1在x 轴上方的部分，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y+1）2=1…（2）设P （x 0，y 0），则0≤y 0≤1，直线l 的倾斜角为α， 则直线l的参数方程为：（t 为参数）．…代入C 2的直角坐标方程得（x 0+tcosα）2+（y 0+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t 的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y 0|， 因为0≤y 0≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…65.解：（I ）由曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），可得C 的普通方程是221x y -=． …………………………2分当3πα=时，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得26160t t --=， ……………………………3分 得126t t +=，则线段AB 的中点对应的1232t t t +==，故线段AB 的中点的直角坐标为9(2． ……………………………5分（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得222(cos sin )6cos 80t t ααα-++=， …………………………………7分 则21222288(1tan )||||||||||cos sin 1tan PA PB t t αααα+⋅===--，…………………9分由已知得tan 2α=，故40||||3PA PB ⋅=． ……………………………10分66.解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25， ∴x 2+y 2+12x+11=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x 2+y 2， ∴C 的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0．（Ⅱ）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），α为直线l 的倾斜角，∴直线l 的直角坐标方程为=0，∵l 与C 交于A ，B 两点，且|AB|=，∴圆心（﹣6，0）到直线l 的距离d==，解得cosα=，当cosα=时，l 的斜率k=tanα=2；当cosα=﹣时，l 的斜率k=tanα=﹣2．67.解：（1）圆C 的极坐标方程为ρ=2sin （θ﹣），即ρ2=ρ×（sinθ﹣cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程：x 2+y 2+2x ﹣2y=0，即（x+1）2+（y ﹣1）2=2．（2）圆C 的圆心C （﹣1，1），半径r=．直线l的参数方程为，可得普通方程：3x+4y+4=0．∴圆心C到直线AB的距离d==1．∴圆C上的点到直线AB的最大距离=1+，|AB|=2=2．∴△PAB面积的最大值=×（d+r）==1+．。
2020年高考复习数学-坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x(λ＞0)，y′＝μ·y(μ＞0)的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2、极坐标系的概念：(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．结论：过极点的直线ρ＝θ与曲线相交于A、B两点，则|AB|=21ρρ-。
3、极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x＝ρcos θ，y＝ρsin θ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)4、简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2r cosθ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎫r，π2，半径为r的圆ρ＝2r sinθ(0≤0＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2过点⎝⎛⎭⎫a，π2，与极轴平行的直线ρsin θ＝a(0＜θ＜π)第十六章坐标系与参数方程5、参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6、直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0(x 0，y 0)的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长|M 1M 2|＝|t 1－t 2|； ②|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|； ③|M 0M 1|＋|M 0M 2|＝|t 1|＋|t 2|=0,0,21212121{>+<-t t t t t t t t .④若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．突破点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换例1 1、(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．[解] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求．2、求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.3、若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. [方法技巧] 伸缩变换的解题方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下得到的方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为变换之后的方程．突破点二 极坐标与直角坐标的互化例2 1、在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． [解] (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233，所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．2、在极坐标系中求曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3与直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1的两个交点之间的距离． 解：由极坐标与直角坐标的互化关系可知曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝4，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，所以两交点间的距离即直线被圆截得的弦的长，由垂径定理可求得弦长为23，即两交点之间的距离为2 3.3、已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.由坐标变换公式，得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 4、在极坐标系中，求直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长． [解] 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16， 圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|2＝2，由圆中的弦长公式，得弦长l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3.故所求弦长为4 3.5、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.6、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.突破点三 参数方程与普通方程的互化例3 1、将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (3)⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)．解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2，得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，故所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．(3)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t，∴x ≠0. 当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0. 2、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．解： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.3、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角； (2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.4、(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.5、在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标； (2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值．解：(1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫92，332.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tan α＝2，故|P A |·|PB |＝403. 突破点四 参数方程与极坐标方程的综合问题例4 1、(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解： (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2、在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k 2＝25－⎝⎛⎭⎫1022，即36k 21＋k 2＝904， 整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.3、(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.1、在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.故实数a 的值为－5或－1.2、在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径|PC |＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3、在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2，则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.4、已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2，由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.5、已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.6、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ. (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2,2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t .y ＝2＋32t ，消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，∴直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0.∵ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，∴ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2.∵ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝4⎝⎛⎭⎫2＋32t ，即t 2＋(8－83)t －16＝0. ∵Δ＞0，且点M 在直线l 上，∴此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2， ∴t 1t 2＝－16，∴|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.7、以极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的单位长度相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，过点M (2，－2)且倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求曲线C 的直角坐标方程，并用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的参数方程； (2)若M 是线段AB 的中点，求α的值．解：(1)由ρ＝4cos θsin 2θ得ρsin 2θ＝4cos θ，∴ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即y 2＝4x (x ≠0)，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x (x ≠0)；直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－2＋t sin α代入y 2＝4x (x ≠0)得(sin 2α)t 2－4(sin α＋cos α)t －4＝0，∴t 1＋t 2＝4(sin α＋cos α)sin 2α＝0，∴α＝3π4. 8、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]，∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0，π]，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2，3]． 由点P 到曲线C 1的最小距离为22得，若m ＋3＜0，则m ＋3＝－4，即m ＝－4－3； 若m －2＞0，则m －2＝4，即m ＝6；若m －2≤0，m ＋3≥0，即－3≤m ≤2时，⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m min ＝0，不合题意，舍去． 综上，m ＝－4－3或m ＝6.9、已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C 2，设点P是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．解：(1)由已知得l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1解得l 与C 1的交点为A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)由题意，得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ，从而点P 到直线l 的距离是d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64. 10、极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，写出D 点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ可得ρ2＝2ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得l 的普通方程为y ＝－3x ＋5，由(1)得曲线C 的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l 的距离为|1－5|1＋3＝2＞1，所以曲线C 与l 相离． 设D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，则曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行，∴y 0－1x 0·(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1，∴x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，∴y 0＝32， ∴点D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，32.11、【2019年全国Ⅱ卷】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos 23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．。
2020年高考数学复习：坐标系与参数方程
坐标系与参数方程[题型分析·高考展望] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．常考题型精析题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长．点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．变式训练1 (2014·广东改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 (2015·福建)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R )． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．点评 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围．变式训练2 (2014·福建)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 题型三 极坐标、参数方程及其应用例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值．点评 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．变式训练3 (2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．高考题型精练1．(2015·江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．2．(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．3．(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．4．(2015·湖南)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA ·MB 的值．5．(2014·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋kt(t 为参数)，以O 为原点，Ox 轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 和曲线C 相切，求实数k 的值．7．(2014·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2]．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB .答案精析第42练 坐标系与参数方程常考题型精析例1 解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18y ＝12， 所以A (2，－4)，B (18,12)， 所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2.即线段AB 的长为16 2.变式训练1 解 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的普通方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的普通方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．例2 解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ， 得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.变式训练2 解 (1)直线l 的普通方程为 2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.例3 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4. 变式训练3 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)． 高考题型精练1．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为6.2．解 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 3．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为12. 4．解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧ x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，MA ·MB ＝|t 1t 2|＝18.5．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋(y 2)2＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.6．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋kt， 得直线l 的普通方程为y ＝kx ＋1，由ρsin 2θ＝4cos θ得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，y 2＝4x ，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)把y ＝kx ＋1代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当直线l 与曲线C 相切时，由Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，得k ＝1.经检验k ＝1适合题意，∴所求实数k ＝1.7．解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)， 即(32，32)． 8．解 方法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.方法二 (1)同方法一．(2)因为圆C 的圆心为点(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故P A ＋PB ＝8＋2＝3 2.。
2020年高考课标版高考文科数学 第十四章 坐标系与参数方程
π
故当 φ 变化时,∠AOB 的大小为定值2.
2.(2018 四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,
{ 曲线
C
的参数方程为
������ = - 1 + ������ = 1 +
22scions������������,(α
将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y 代入①式, 得 x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2. (2)设曲线 C 上的点 P(1+ 2cos α,1+ 2sin α),
备战 2020 高考
π
| ( ) | |1 + 2cos������ + 1 + 2sin������ - 4| | 2(sin������ + cos������) - 2| 2sin ������ + 4 - 2
考点二 参数方程
������2
1.(2019 届广东珠海 11 月期中,22)已知倾斜角为 α 且经过点 M( 3,0)的直线 l 与椭圆 C: 4 +y2=1 交于 A、B 两点.
π
(1)若 α=3,写出直线 l 与椭圆 C 的参数方程;
|������������| 3
(2)若 |������������| = 3 ,求直线 l 的普通方程.
{ 解析 (1)由
������ ������
= =
3 1
+- ���������,���(t
为参数)消去
微专题14 坐标系与参数方程-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦
微专题14 坐标系与参数方程——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线与圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.题型仍是解答题，分值10分，文理考同题，重点考查考生转化与化归数学，提现数学运算的核心素养.考点一 极坐标与简单曲线的极坐标方程【必备知识】1、直角坐标和极坐标的互化设平面内一点的直角坐标为(x ,y ),极坐标为(ρ,θ),则⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ,{ρ2=x 2+y 2,tanθ=yx. 2、圆的极坐标方程（1）圆心为极点，半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ； （2）圆心为)0,(r ，半径为r 的圆的极坐标方程是θρcos 2r =； （3）圆心为)2,(πr ，半径为r 的圆的极坐标方程是θρsin 2r =；3、直线的极坐标方程（1）过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：αθ=或απθ+=； （2）过点)0,(a ，且垂直与极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos ； （3）过点)2,(πb ，且平行于极轴的直线的极坐标方程是：b =θρsin .【典型例题】【例1】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),曲 线C 2:x 23+y 2=1.以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)射线OT:θ=π6(ρ≥0)与C 1异于极点的交点为A,与C 2的交点为B,求|AB|. 【解析】(1)曲线C 1:{x =1+cosα,y =sinα(α为参数)的普通方程为x 2+y 2=2x,所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+2sin 2θ)=3.(2)射线OT:θ=π6(ρ≥0)与曲线C 1的交点的极径为ρ1=2cos π6=√3,射线OT:θ=π6(ρ≥0)与曲线C 2的交点的极径ρ2满足ρ22(1+2sin 2π6)=3,解得ρ2=√2,所以|AB|=|ρ1-ρ2|=√3-√2.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.1、解决极坐标问题的一般思路:（1）如果对极坐标的意义和应用不太熟悉,可将极坐标方程化为直角坐标方程,求出曲线方程或交点坐标,再将其化为极坐标的形式;（2）直接建立或求解极坐标方程,再结合题意求解. 2、利用 的几何意义解题已知直线l 与曲线C 的极坐标方程,且直线l 与曲线C 交于A,B 两点,则利用极坐标方程中的极径ρ解题时,一般将直线l 的极坐标方程与曲线C 的极坐标方程联立,消去极角θ,得到关于ρ的一元二次方程,即可利用根与系数的关系求弦长(弦AB 的长|AB |=|ρ1-ρ2|,其中ρ1,ρ2为一元二次方程的解)或者求弦长的取值范围等.【类比训练】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2cosα,y =sinα(α为参数),圆C 2的方程为(x -2)2+y 2=4,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,射线l 的极坐标方程为θ=θ0(ρ≥0).(1)求曲线C 1和圆C 2的极坐标方程;(2)当0<θ0<π2时,若射线l 与曲线C 1和圆C 2分别交于异于点O 的M,N 两点,且|ON|=2|OM|,求△MC 2N 的面积.【解析】(1)由{x =2cosα,y =sinα消去参数α可得C 1的普通方程为x 24+y 2=1,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcosθ)24+(ρsin θ)2=1,即ρ2=4cos θ+4sin θ=41+3sin θ,所以C 1的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2θ.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x -2)2+y 2=4,得ρ=4cos θ, 所以圆C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ. (2)把θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2θ,得ρM 2=41+3sin 2θ0.把θ=θ0代入ρ=4cos θ,得ρN =4cos θ0.由|ON|=2|OM|,得ρN =2ρM ,即ρN 2=4ρM 2,即(4cos θ0)2=161+3sin θ0,因为0<θ0<π2,所以sin θ0=√63,cos θ0=√33, 所以ρM =√41+3sin 2θ0=2√33,ρN =4cos θ0=4√33, 所以S △MC 2N =S △OC 2N -S △OC 2M =12|OC 2|(ρN -ρM )·sin θ0=12×2×2√33×√63=2√23.考点二 简单曲线的参数方程【必备知识】 1、直线的参数方程（1）经过定点00(,)M x y ，倾斜角为()[0,)ααπ∈的直线的参数方程是)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα. （2）直线参数方程中参数t 的几何意义直线上的定点00(,)M x y 到动点(,)M x y 的距离等于参数t 绝对值，即0M M =t .（3）利用t 的几何意义解题时，分两种情况：(i)利用直线参数方程{x =x 0+tcosθ,y =y 0+tsinθ(t 为参数)中的参数的几何意义求解时,若A,B 为直线上的两点,其对应的参数分别为t 1,t 2,则线段AB 的长|AB |=|t 1-t 2|.(ii)已知直线的参数方程为{x =x 0+at ,y =y 0+bt(t 为参数),若√a 2+b 2≠1,则利用参数的几何意义求解时,若A,B 为直线上的两点,其对应的参数分别为t 1,t 2,则线段AB 的长|AB |=√a 2+b 2|t 1-t 2|.2、圆的参数方程（1）圆222(0)x y r r +=>的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数)；（2）圆()()222(0)x a y b r r -+-=>的参数方程是{x =a +rcosθ,y =b +rsinθ(θ为参数).3、椭圆的参数方程（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ；（2）椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的参数方程是)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x .4、双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的参数方程是)(tan cos 为参数ϕϕϕ⎪⎩⎪⎨⎧==b y a x . 5、抛物线)0(22>=p px y 的参数方程是)(222为参数t pty pt x ⎩⎨⎧==.注：参数方程和普通方程的互化一般采用消参法（代入消参法、整体消参法、三角函数消参法）【典型例题】 【例2】已知直线l :{x =t ,y =−√3+√3t(t 为参数),曲线C 1:{x =cosθ,y =sinθ(θ为参数).（1）设l 与C 1相交于A,B 两点,求|AB|;（2）若把曲线C 1上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标缩短为原来的√32,得到曲线C 2,设点P 是曲线C 2上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.【解析】（1）由题意得,直线l 的普通方程为y=√3(x -1),曲线C 1的普通方程为x 2+y 2=1. 由{y =√3(x -1),x 2+y 2=1,得l 与C 1的交点为A(1,0),B (12,-√32),则|AB|=1. （2）由题意得,曲线C 2的参数方程为{x =12cosθ,y =√32sinθ(θ为参数), 故可设点P 的坐标为(12cosθ,√32sinθ), 从而点P 到直线l 的距离d=|√32cosθ-√32sinθ-√3|2=√34[√2sin (θ-π4)+2],∴当sin (θ-π4)=-1时,d 取得最小值,且最小值为2√3-√64.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、函数与方程思想，核心素养是数学运算.利用直线参数方程中参数t 的几何意义求相关的距离（线段长）时，解题的思路是： （1）判断直线的参数方程是否是标准式；（2）在求直线l 与曲线C ：(,)0f x y =的交点间的距离时，把直线l 的参数方程00(cos sin {t x x t y y t αα=+=+为参数）代入曲线C ：(,)0f x y =，化简整理后得到关于t 的方程00(cos ,sin )0f x t y t αα++=。
2020届高考数学(文)总复习课件： 坐标系
位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建
立了一个极坐标系．
极坐标系的四要素
极点、极轴、单位长度单位、角度单位、正方向.
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(2)极坐标 ①极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM| 叫做点 M 的极径，记为 ρ. ②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做 点 M 的极角，记为 θ.
2ρcos
θcosπ4＋sin
θsinπ4＝2，
所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
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(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1.
化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即
ρsinθ＋π4＝
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一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)在平面直角坐标系内的点与坐标是一一对应关系，在极坐标
系中的点与坐标也是一一对应关系．
(×)
(2)若点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的一个极坐标是
2，－π3. (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．
(√) (√ )
③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M的极坐标，记为Mρ，θ. 一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.
点Pρ，θ0中，若ρ<0，则表示点P在射线θ＝θ0的反向延 长线上，且|OP|＝|ρ|.
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3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
比较系数得5λ2＝1， μ42＝1，
所以λμ＝＝54，.