6 飞机的运动方程
飞行理论2
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25
2.2.2 平飞航程
平飞航程最长的高度 称远航高度。 活塞螺旋桨飞机的远 航高度在低空获得。 喷气式飞机的远航高 度一般在高空获得。
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26
平飞航程
重量增加（货），航程缩短； 重量增加（油），航程增加。 小型飞机实际飞行中的典型 巡航状态均为远航状态。 在保持同一空速下，顺风飞 行，地速增大，公里（海里）燃油 消耗量减小， 平飞航程增长；逆风飞行则相 反。 顺风飞行可适当减小空速以增 大平飞航程； 逆风飞行可适当增大空速以增 大平飞航程。
1 2 W cos 上 L CL V上 S 2 2W V上 cos 上 V平飞 cos 上 CL S
上升时，上升角较小，V上与V 近似相等， 从而可用平飞拉力曲线分析上升性能。
平飞
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2.3.2 上升性能
① 上升角与陡升速度Vx
升 力 推 力
从平飞功率曲线原点 向曲线所引切线的切点对 应的速度为最小阻力速度 V 。
MD
N
120 100 80 60 40 8° 20 0 60 6°4° 0°
16°
2°
100
VMD 140
VI
180 220
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最小功率速度
平飞所需功率最小的速度，VMP平飞最小功率速度在平 飞所需功率曲线的最低点。以前称经济速度，对应的迎角 称最小功率迎角，以前称经济迎角。
上 上 上
阻 力
重力 W
上升 上 角
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上升角与陡升速度Vx
上升角：上升轨迹与水平线的夹角。 上升梯度：上升高度与前进的水平距离之比。 上升角与上升梯度成正比。 陡升速度：上升角最大对应的上升速度。
《航空概论》第2章 飞机飞行的原理
第2章 飞机飞行的原理
2.1.3 流体的可压缩性、声速c、黏性和传热性 1．流体的可压缩性 对流体施加压力，流体的体积会发生变化。在一定温度
条件下，具有一定质量流体的体积或密度随压力变化而变化 的特性，称为可压缩性(或称弹性)。流体压缩性的大小，通 常可用体积弹性模量来度量，其定义为产生单位相对体积变 化所需的压力增高。即
(2-3)
式中，T是空气的热力学温度。随着飞行高度的增加， 空气的温度是变化的，因而声速也将变化，说明空气的可压 缩性也是变化的。
第2章 飞机飞行的原理
3．流体的黏性 黏性是流体的另一个重要物理属性。一般情况下，摩擦 有外摩擦和内摩擦两种。一个固体在另一个固体上滑动时产 生的摩擦叫外摩擦，而同一种流体相邻流动层间相对滑动时 产生的摩擦叫内摩擦，也叫做流体的黏性。因此，有速度差 的相邻流动层间，即使靠近壁面也是同一种流体(如水)之间 的摩擦，也是内摩擦。
第2章 飞机飞行的原理
图2-4 用阴影法作流动摄影试验的装置示意
第2章 飞机飞行的原理
2．流场、流线、流管和流量 在充满流体流动的空间称为流场。流场被用来描述表示 流体运动特征的物理量(流动参数)，如速度、密度和压力等， 因而流场也是这些物理量的场。如果流场中任一点处流体微 团的物理量随时间而变化，则称为非定常流；反之，则称为 定常流。图2-5是贮水池中的水通过管道向外排泄过程的示 意图。因为没有补给水源，贮水池中的水位不断下降，排水 过程中出水口流出的水柱形状不断发生改变(见图2-5(a))， 所以其流动就是非定常流。如果补给水源，贮水池中始终保 持池面的水位不变，排水过程中出水口流出的水柱形状始终 保持不变(见图2-5(b))，则流动就变成了定常流。
第2章 飞机飞行的原理
§3.6 等速爬升
等速爬升是飞机取得高度的基本方法
第五章 第 2 页
2、飞机等速爬升的作用力 、
飞机在空中等速爬升时,受到四个力的作用： 飞机在空中等速爬升时,受到四个力的作用： 升力( ) 重力( ) 推力( ) 阻力( ) 升力(L)、重力(W)、推力(P)、阻力(D)。通常 把重力再进行分解。 升力 把
第五章 第 3 页
上升角 重力W 重力
θ上
3、等速爬升运动方程 、
P = D + W sin θ 上 L = W cos θ 上
分析：同速度爬升时， 分析：同速度爬升时， 爬升推力大于平飞推力； 升推力大于平飞推 爬升升力小于平飞升力。 升升力小于平飞升力。
第五章 第 4 页
第五章 第 17 页
第五章 第 15 页
等速爬升（作业） § 3.6 等速爬升（作业）
1、飞机等速爬升时，推力与阻力的关系，速度是如何变化的：（ ） 、飞机等速爬升时，推力与阻力的关系，速度是如何变化的： A、推力 ﹥阻力，速度增大 阻力， B、推力 ﹤阻力，速度减小 阻力， 、 、 C、推力 ﹥阻力，速度不变 阻力， D、推力 ﹤阻力，速度不变 阻力， 、 、 2、飞机上升角越大，上升率（ ），飞行速度（ ）。 飞行速度（ 、飞机上升角越大，上升率（ ），飞行速度 3、理论升限和实用升限的关系是：（ ） 、理论升限和实用升限的关系是： A、理论升限﹥实用升限 B、理论升限＝实用升限 、理论升限﹥ 、理论升限＝ C、理论升限﹤实用升限 D、无法确定 、理论升限﹤ 、 4、水平风场对上升率的影响是：（ ） 、水平风场对上升率的影响是： A、增大上升率 B、减小上升率 、 、 C、根据风向而定 D、无影响 、 、 当达到升限时， 5、飞机爬升过程中，随着高度的增加，上升率（ ），当达到升限时， 、飞机爬升过程中，随着高度的增加，上升率（ ），当达到升限时 上升率为（ 上升率为（ ）。 6、飞机等速爬升时，过载 ) 、飞机等速爬升时，过载( A、等于 B、小于 、等于1 、小于1 C、大于 D、不确定 、大于1 、
欧拉运动方程及其积分详解
将欧拉运动方程中的时间和空间变量进行傅里叶变换，通过求解变换后的常微分方程得到解析解。
近似积分方法
泰勒级数法
将欧拉运动方程中的非线性项进行泰勒级数展开，通过求解近似线性化的常微分方程得 到近似解。
多项式拟合法
利用已知的初值条件和时间步长，通过多项式拟合的方法逼近物体的运动轨迹，得到近 似解。
发展历程
随着科学技术的不断进步，欧拉运动方程在理论和应用方面得到了不断发展和完 善，对于推动力学和其他学科的发展起到了重要作用。
02
欧拉运动方程的数学表达
位置和速度的表示
位置表示
在二维平面中，物体的位置可以用二维向量表示，例如$r = (x, y)$。在三维空间中，物体的位置可以用三维向量表示， 例如$r = (x, y, z)$。
速度表示
速度是位置对时间的导数，可以用向量表示为$vec{v} = frac{dvec{r}}{dt}$。在二维平面中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y)$；在三维空间中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$。
力和加速度的表示
力表示
力是作用在物体上的外力，可以用向量表示为$vec{F}$。在二维平面中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y)$；在三维空间中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$。
04
欧拉运动方程的应用实例
在物理中的应用
01
02
03
刚体动力学
欧拉运动方程可以描述刚 体的旋转和直线运动，是 刚体动力学的基本方程之 一。
陀螺仪
欧拉运动方程在陀螺仪的 应用中非常重要，用于描 述陀螺仪的旋转运动和进 动。
高等飞行动力学试题解答
目录1.请推导飞机小扰动运动方程，并分析其使用条件。
(2)2.什么是驾驶员操纵期望参数，分析其含义。
(12)3.请列写敏捷性尺度并对其含义进行分析说明。
(13)4.试说明评估飞机飞行性能的基本内容和基本方法。
(16)1.请推导飞机小扰动运动方程，并分析其使用条件。
一、小扰动法简介（1）基本概念研究飞行器的稳定性和操纵性问题时，一般把飞机运动分为基准运动和扰动运动。
基准运动（或称未扰动运动）是指在理想条件下，飞行器不受任何外界干扰，按预定规律进行的运动，如定直平飞、定常盘旋等。
基准运动参数用下标“*”表示，如V、*α、*θ等。
*由于各种干扰因素，使飞行器的运动参数偏离了基准运动参数，因而运动不按预定的规律进行，这种运动称为扰动运动。
受扰运动的参数，不附加任何特殊标记，例如V、α、θ等。
与基准运动差别甚小的扰动运动称为小扰动运动。
（2）基本假设在小扰动假设条件下，一般情况就能将飞行器运动方程进行线性化。
但为了便于将线性扰动运动方程组分离为彼此独立的两组，即纵向和横侧小扰动方程组，以减少方程组阶次而解析求解，还需要做下列假设：1）飞行器具有对称平面（气动外形和质量分布均对称），且略去机体内转动部件的陀螺力矩效应。
2）在基准运动中，对称平面处于铅垂位置（即0φ=），且运动所在平面且运动所在平面与飞行器对称平面相重合（即0β=）。
在满足上述条件下，可以认为，在扰动运动中，纵向气动力和力矩只与纵向运动参数有关，而横侧向气动力和力矩也只与横侧运动参数有关。
有了这些推论，就不难证明扰动运动方程可以分离为彼此独立的两组。
其中一组只包含纵向参数，即飞行器在铅垂平面内作对称飞行时的运动参数,,,,,,,,,g g e p u w q x z αθγδδ等，称为纵向扰动运动方程组；另一组只包含横侧参数，即飞行器在非对称平面内的运动参数,,,,,,,,,,g a r v p r y βψχφμδδ等，称为横侧向扰动运动方程组。
雷诺运动方程
雷诺运动方程在物理学中，雷诺运动方程是描述粘性流体运动的基本方程之一。
该方程以法国数学家和物理学家兼工程师Clairaut Jean-Baptiste 先生的名字命名，他于1752年首次提出了这个方程。
雷诺运动方程描述了流体在流动过程中的运动规律，使我们能够更好地理解和分析流体的行为。
它是由守恒方程和纳维-斯托克斯方程组成的，对于粘性流体尤为重要。
雷诺运动方程的一般形式为：∂u/∂t + u·∇u = -∇p/ρ + ν∇²u其中，u是流体的速度矢量，t是时间，p是压力，ρ是密度，ν是粘性系数，∇是偏导数操作符。
雷诺运动方程的第一项是速度的时间变化率，代表了流体的加速度。
第二项是速度矢量u与速度梯度∇u的点积，表示了速度的非线性输运效应。
第三项是负的压力梯度除以密度，描述了压力梯度对速度的作用。
最后一项是粘性系数与速度梯度的二阶导数，表示了流体的粘性效应。
通过雷诺运动方程，我们可以推导出一些重要的流体动力学行为。
例如，在不可压缩流体中，斯托克斯流动是指粘性系数趋于无穷大时的流体运动。
斯托克斯流动是具有旋转和湍流的流体运动的极限情况，其中流体速度与粘性效应之间的比例关系得以体现。
雷诺运动方程也可以通过数值方法进行求解。
其中，有限差分方法和有限元方法是常用的求解技术。
通过离散化和数值逼近，我们可以得到近似解，并利用计算机模拟流体的运动行为，从而更好地理解和预测实际中的流体流动现象。
雷诺运动方程的应用非常广泛。
它在空气动力学、流体力学、水力学等领域中起着重要的作用。
例如，在飞机的设计过程中，雷诺运动方程可以用来模拟气动力学效应和空气阻力，帮助工程师优化飞机的外形和性能。
在船舶设计中，雷诺运动方程可以用来研究船体与水流的相互作用，提高航行稳定性和减小阻力。
此外，雷诺运动方程还可以应用于气象学、地球物理学、石油工程等领域。
总结起来，雷诺运动方程是描述粘性流体运动的重要方程之一。
它能够揭示流体在运动过程中各种因素的相互作用，为我们理解和探索流体力学现象提供了有力的工具。
第三讲飞机的外载荷和设计情况
24
飞机转动时的过载
如果 i 点处物体的重力为Gi ，则质量力为 Gi cos +mi ai （见图38b）。 i 点处的过载 ni 为 z xi z Gi cos m i a i an ni cos ny xi Gi g g g ni 随飞机各处 xi 的不同而不同， xi 有正有负，附加力矩有一 定方向性，因而旋转惯性力及其附加的旋转过载也有正有负。 由上式可以方便地计算某一处局部的过载或外载。
图3-1
Pn
Pm
Pf
此时飞机既有平移运动，又有旋转运动，总的平衡关系为
∑Fx = 0, T - X = max = Nx ∑Fy = 0, Yw - Yt = m ( g+ ay ) = G +Ny
式中 Iz — 飞机绕Z轴的 质量惯性矩 ； z — 飞机绕Z轴的 角加速度； 其它符号见图3-1所示。
q= HV0 2 / 2
22
H uV0 u 1 S H V0 2 KC S y V0 2 2
则飞机平飞时遇突风过载ny 为
ny Y0 Y H uV0 1 KC y G 2p
式中
Cy—升力系数增量；
Cy—升力线斜率； p = G/S —翼载荷；
—迎角增量；
计的一个重要参数。设计时如能正确选取过载的极限，则
既能使飞机满足机动性要求，又能使飞机满足结构的重量 要求。 过载大小要考虑飞行员的承受能力，大过载会使飞行员出 现黑视。
19
四、进入俯冲情况 飞机在此情况下
GV2 Y G cos g r
Y V2 n y cos G gr
图3-4 进入俯冲情况
升力 Y（L） 阻力 X （D）
飞机基本飞行性能课件
P
H增加
Vmin.p
H , Vmin. yx
M
H , 则Vmin , M min H
低空受Vminyx 约束 高空受Vminp约束
升力限制
推力限制
Mmin
飞机定常平飞性能
确定Vmin的步骤
2G 1 1) 取几点 M , 由 C y a2S M 2 得 C ypx，及 C y max M，绘制在 已知 C ypx M 曲线上，而曲 线交点为 M min . px
下滑时通常减小油门， 若推力为零则称为滑 翔。 θ X
H（km） 0 5 10
（kg/m3） a
1.225 0.736 0.413 340.3 320.5 299.5
15
20
0.194
0.088
295.1
295.1
飞机定常平飞推力特性 平飞需用推力随飞行高度的变化规律
X 0 ~ V 曲线向右下移动 1) H M yl X i ~ V 曲线向右上移动
-1
200
250
Vymax / ms
飞机的定直上升性能
4. 最短上升时间
如果飞机上升过程中，在不同高度下均以Vyks飞行，则达到 预定高度的时间最短
dH 从 H1 H 2 ,dt Vy max
可得
1/Vymax
tmin
H2
H1
dH Vy max
H H1 H2 Hmax.ll
可由数值积分／图解积分求得。
X
1 X 0 Cx 0 M S ( a 2 ) 2 A 2m2 g 2 1 Xi 2 ( )( 2 ) M S a
飞行力学第九章
x(∞) → ∞
结论：x随时间的变化过程取决于特征根，且x的终值取 决于特征值的符号。
飞行器飞行力学
¾多元线性自由系统——齐次微分方程组
(1) 形式
⎧ x1 + a11 x1 + a12 x2 +
⎪ ⎪ ⎨
x2
+
a21
x1
+
a22
x2
+
⎪
⎪⎩ xn + an1 x1 + an2 x2 +
通解取决于特征行列式
计算结果
a1, a2 , a3 , a4 > 0 R = 29.88 > 0
纵向运动具有动稳定性。
飞行器飞行力学
6. 特征根计算
计算结果
λ1,2 = −2.520 ± 2.597i λ3,4 = −0.017 ± 0.213i
分析 一对模值较大的共轭复根；一对模值较小的共轭复根。
飞行器飞行力学
7. 模态特性分析
1 mV*
qsC Lα
ZV
=
LV mV*
=
1 mV*
∂(qsCL ) ∂V
=
qs mV*2
( 2C L
+
Ma
∂CL ) ∂Ma
MV
=
MV Iy
=
1 Iy
⎡ ⎢ ⎣
q* sc V*
(2Cm
+
Ma
∂Cm ∂Ma
⎤ )⎥ ⎦
=
1 ( q*sc Iy a
∂Cm ) ∂Ma
Mα
=
Mα Iy
=
1 I y qscCmα
a4 = g(Zα MV − ZV Mα )
1、推导飞机的质心动力学方程
1、推导飞机的质心动力学方程 已知某点的绝对加速度在动坐标系中的表达式为 2MOMMMMMMMMMaarrrr
当运动系为EF，动点为VOC，且地轴是惯性系时得到：
2EEEEEECOEEEEEEEEaarrrr
假定地轴固定于惯性空间，且0。
则EF的原点加速度EOa就是与地球转动有关的向心加速度。数值比较表明，这一加速度和g相比通常可以略去。 对于式（5.1.7）中的向心加速度项EEEE情况也一样，通常也可略去。 于是在式（5.1.7）中剩下的两项中EEErV，而哥氏加速度为2EEEEV。后者取决于飞行器速度的大小和方向，并且在轨道速度时至多为10%g。当然在更高速时可能更大，所以在数学模型中必须保留此项。 最后得到飞行器质心加速度的近似表达式： 22EEEEECEEEEEEarrVV
又由baabbbTvvv，进行坐标变换，得出质心加速度在体轴系BF中的表达式为： (2)()2BEEEEEEEEECBECBEEEEBBBBBBaTaTVVVVV ()BEEECBBBBaVV
其中，,xEByzWuVvWwW,Bpqrcos0,sinEBEEEEBBBVVBVEBpqTTr
00,0Brqrpqp
000EEBBEEEBBBEEBBrqrpqp
当W=0时，带入上述各式得到： ()()()()()()EEBBCxEECyBBEEBBCzuqqwrrvaavrruppwwppvqqua
体轴系的外力fAmg，式中
,XAYZ