复合函数的导数(一) 教案示例

复合函数的导数(一)·教案示例

目的要求

1．了解复合函数的概念．

2．会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合．

3．理解复合函数的求导法则，并会简单的运用．

内容分析

1．本节讲述复合函数的微分法，先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明，然后通过几道例题说明法则的简单应用．

复合函数的求导法则是微积分学中的重点内容，它也是微积分学中的难点内容．说它是重点是因为它应用非常广泛．常见的函数都是由基本初等函数经四则运算或经复合而成的初等函数，以后常用这一求导法则．另外，它与重要的积分方法——换元积分法相呼应，有互逆运算的关系．只有学好了复合函数的求导，才能学好换元积分．说它是难点，是因为一要梳理清楚一个函数的复合过程，二要对复合过程中每一个中间变量的函数或自变量的函数正确地求导，三要将中间变量回代为原自变量的函数．这里如没学好，将影响后面的凑微分运算和换元积分的学习．

2．突破这一重点、难点的关键是做好两件事．第一，熟练掌握各基本初等函数的求导公式和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则；第二，对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导．为此，应对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视．要用换元的思想来理解复合关系，理解复合函数的概念．讲了复合函数的概念，立即增加两道例题，其用意正是为使学生会分解、能复合．

3．在进行复合函数的求导法则教学时，首先通过教科书的实例，让学生对求导法则有一个直观了解，目的是使学生相信y ′x ＝y ′u ·

u ′x 的正确性．

4．在对复合函数的求导法则进行证明时，要把握好教学要求的尺度．比如，为使学生理解“当Δx →0时，Δu →0”，可向学生指出其根据是“可导函数的连续性”．为此，可先复习这一旧知识．又如，推导

lim

lim ()Δ→Δ→ΔΔ＝ΔΔ·ΔΔx x y x y u u x 00 时，要求Δu ≠0．在课本注释中，指出Δu ＝0时，公式也成立，这里不必深究．

此外，对于

lim lim lim lim Δ→Δ→Δ→Δ→ΔΔ·ΔΔ＝ΔΔ·ΔΔx x u x y u u x y u u x

0000 也不必作深入解释．因此，这一证明以指导学生阅读理解为宜．

5．复合函数求导法则的应用是本节的教学重点．这一课时作初步的简单应用，下一课时加强多方面应用的训练．应用中应注意：

(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；

(2)要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量按什么公式求导，不要混淆；

(3)对初学者应强调，别忘了将中间变量代回到原自变量(一般是x)的函数．

初步应用时，应要求学生将解题过程规范化、程序化，一步一步写清楚．首先，选定中间变量，分解复合关系，详细地说，应说明函数关

系＝，＝，若遇多重复合，就应相应地多用中间变量，如，y f(u)u (x)u ?

v ，w ，…；其次，将已知函数对中间变量求导(y ′u )，中间变量对自变量求导(u ′x )；最后将中间变量代回为自变量的函数，简记为：分解——求导——回代．要依此步骤认真解答例1，给学生清清楚楚地示范．

教学过程

1．复习旧知识

(1)初等函数在定义域内每一点都是连续的．

(2)如果函数y ＝f(x)在点x 0处可导，那么函数y ＝f(x)在点x 0处连续．

(3)y f(x)x x f(x)f 0如果函数＝在点＝处及其附近有定义，而且＝lim x x →0

(x 0)，就说函数f(x)在点x 0处连续．

令＝＋Δ，则→Δ→，又－＝＋Δ－x x x x x x 0f(x)f(x )f(x x)0000?

f(x 0)＝Δy ，上述连续性理解为Δx →0时，Δy →0．

(4)若y ＝u 2，u ＝3x －2，则y ′u ＝________，u ′x ＝________．

2．学习新知识

(1)介绍复合函数的概念

(1)由y ＝u 2与u ＝3x －2复合得y ＝(3x －2)2．

像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数就是复合函数．

一般地，由＝与＝得复合函数＝．y f(u)u (x)y f[(x)]??

(2)增例1 指出下列函数的复合关系：

Ⅰ．＝－Ⅱ．＝Ⅲ．＝Ⅳ．＝－y (2x )y sinx y cos(x) y lnsin(3x 1)23

2π4-

解：Ⅰ．y ＝(2－x 2)3由y ＝u 3，u ＝2－x 2复合而成．

Ⅱ．y ＝sinx 2由y ＝sinu ，u ＝x 2复合而成．

Ⅲ．＝由＝，＝复合而成．y cos y cosu u x ()ππ44

--x Ⅳ．y ＝lnsin(3x －1)由y ＝lnu ，u ＝sinv ，v ＝3x －1复合而成．

(3)增例2 写出由下列函数复合而成的函数：

Ⅰ．y ＝cosu ，u ＝1＋x 2

Ⅱ．y ＝lnu ，u ＝lnx

解：Ⅰ．y ＝cos(1＋x 2) Ⅱ．y ＝ln(lnx)．

(2)复合函数的求导法则

通过对y ＝(3x －2)2展开求导及按复合关系求导，直观地得到y ′x ＝y ′u ·u ′x ． 给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明．

注意，不深究此证明的严谨性．

(3)复合函数的求导法则的应用

讲解教科书例1，要求步骤规范，首先设中间变量，再对几个简单函数分别求导，最后应强调把中间变量换成自变量的函数．

(4)归纳小结

请一个学生归纳这节课所学知识，必要时教师适当指导．

(1)y f[(x)]形如＝的函数称为复合函数．?

(2)复合函数求导步骤：分解——求导——回代．

3．反馈练习

教科书练习．

教科书习题3．4第1题(第(3)、(4)题给提示)．

布置作业

教科书习题3．4第2(1)、(2)题．

补充练习 求下列函数的导数：

(1)y (sinx cosx)(2)y (1)3(sinx cosx)(cosx sinx)(2)

32＝－；＝．

答案：－＋；．11222+-+cos sin cos x x x x