四川省凉山州2020届高三毕业班第二次诊断性检测数学(文)试题(word版含答案)
四川省凉山州2020届高三二诊 数学（文）试题
一,选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={x|log 2(x-1)<2},B=N,则A∩B=( )
A.{2,3,4,5}
B.{2,3,4}
C.{1,2,3,4}
D.{0,1,2,3,4}
2.设i 为虚数单位,复数z=(a+i)(1-i)∈R,则实数a 的值是( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
3.等比数列{a n },若a 3=4,a 15=9则a 9=( )
A.±6
B.6
C.-6
D.132 4.若2()(1)(),f x x ax a R =+∈则“23
a =”是"f(3)=27"的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.曲线x 2=4y 在点(2,t)处的切线方程为()
A.y=x-1
B.y=2x-3
C.3y x =-+
D.y=-2x+5
6.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是
A.i>5
B.i>8
C.i>10
D.i>12
7.若双曲线22
214x y b
-=的离心率7e =,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 A.23 B.2 C.3 D.1
8.将函数()3sin 2cos 2f x x x =-向左平移
6π个单位,得到g(x)的图象,则g(x)满足 A.图象关于点(,0)12π对称,在区间(0,)4π上为增函数 B.函数最大值为2,图象关于点(,0)3π
对称 C.图象关于直线6x π
=对称,在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为1 D.最小正周期为π.g(x)=1在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个根 9.若函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )
A.()x e x f x x +=
B.21()x f x x -=
C.2()x e x f x x -=
D.2
1()x f x x +=
10.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,1236AB AA ==,112A P PB =u u u r u u u r 点T 在棱AA 1上,若TP ⊥平面PBC,则
1TP B B ⋅=u u r u u u r ( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2 11.已知13141212log 13,
b 13
a ⎛⎫==
⎪⎝⎭c=log 1314,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.c>a>b
C.b>c>a
D.a>c>b 12.一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起,每一项都等于前面所有项之和(例如:1,3,4,8,16…).则首项为2,某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
二,填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表,甲被选中的概率为___
14.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),并且当0≤x≤1时,f(x)=2x -1,则f(123)=_____
15.已知平面向量,a b r r 的夹角为3
π,(3,1)a =r 且||3a b -=r r 则||b =r _____ 16.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数
1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩
为有理数为无理数,称为狄里克雷函数.则关于D(x)有以下结论:①D(x)的值域为[0,1];
②∀x ∈R,D(-x)=D(x);③∀T ∈R,D(x+T)=D(x);④(1)(2)(3)(2020)45;D D D D ++++=L 其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)
三,解答题
17.(12分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是:传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在,方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径,为了有效防控新冠状病毒的流行,人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人,为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况,用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本,统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况,得到下面列联表:（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率。
18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，点M是棱PC的中
点，AB=2，PD=t（t>0）。
(1)若t=2,证明:平面DMA⊥平面PBC;(2)若三棱锥C-DBM的体积为4
3
,求二面
角B-DM-C的余弦值.
19.(12分)如图,在平面四边形ABCD中,
2
3
D
π
∠=，
5
sin cos,
13
BAC B
∠=∠=AB=13.
（1）求AC；（2）求四边形A BCD面积的最大值.
20.(12分)设
33
()(4)log(01)
11
a
f x a x x a a
a a
=--+>≠
--
且.(1)证明:当a=4时,1nx+f(x)≤0;(2)当x≥1
时,f(x)≤0,求整数a的最大值.(参考数据:l n2≈0.69,1n3≈1.10,l n5≈1.61,1n7≈1.95)
21.(12分)已知12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点和右焦点,椭圆C 的离心率
A,B 是椭圆C 上两点,点M 满足12
BM BA =u u u u r u u u r .(1)求C 的方程;(2)若点M 在圆x 2+y 2=1上,点O 为坐标原点,求OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围.
请考生在第22、23两题中选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为x t y t =⎧⎨
=⎩(t 为参数),直线l 与曲线C:(x-1)2+y 2=1交于A,B 两点.(1)求|AB|的长;(2)在以O 为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,
设点P 的极坐标为3)4
π,求点P 到线段AB 中点M 的距离.
23.(10分)[选修4-5:不等式选讲]设f(x)=|x|-2|x-a|(a>0)(1)当a=1时,求不等式f(x)≥-1的解集;(2)若f(x)≤1,求a 的取值范围.。
四川省高中2020届毕业班第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
四川省高中2020届毕业班第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）≥0}，则A∩B=()1.已知集合A={1,2，3}，B={x|x−3x−2A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2，3}【答案】C≥0}={x|x≥3或x<2}，【解析】解：∵A={1,2，3}，B={x|x−3x−2∴A∩B={1,2，3}∩{x|x≥3或x<2}={1，3}．故选：C．求解分式不等式化简集合B，再利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，考查分式不等式的解法，是基础题．2.i为虚数单位，若复数(m+mi)(m+i)是纯虚数，则实数m=()A. −1B. 0C. 1D. 0或1【答案】C【解析】解：∵复数(m+mi)(m+i)=(m2−m)+(m2+m)i是纯虚数，m2−m=0，即m=1．∴{m2+m≠0故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知λ∈R，向量a⃗=(λ−1,1)，b⃗=(λ,−2)，则“a⃗⊥b⃗”是“λ=2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若“a⃗⊥b⃗”，则a⃗⋅b⃗=0，即(λ−1)λ−2×1=0，即λ2−λ−2=0，得λ=2或λ=−1，即“a⃗⊥b⃗”是“λ=2”的必要不充分条件，故选：B．根据向量垂直的等价条件求出λ的值，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量垂直的等价求出λ的值是解决本题的关键．4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作a i(i=1,2，3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩a i，(1≤k≤60)k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的ki为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=4sinC，则△ABC的外接圆面积为()A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π【答案】C【解析】解：设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB+bcosA=4sinC，∴由余弦定理可得：a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c=4sinC，∴2R=csinC=4，解得：R=2，∴△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π．故选：C．设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理化简已知可得c=4sinC，利用正弦定理可求2R=csinC=4，解得R=2，即可得解△ABC的外接圆面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.在(1+1x)(2x+1)3展开式中的常数项为()A. 1B. 2C. 3D. 7【答案】D【解析】解：∵(1+1x )(2x+1)3=(1+1x)(8x3+12x2+6x+1)，∴(1+1x)(2x+1)3展开式中的常数项为1+6=7．故选：D．展开(2x+1)3，即可得到乘积为常数的项，作和得答案．本题考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．7.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π12个单位长度后关于y轴对称，则函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值为()A. −√3B. −1C. 1D. √3【答案】A【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π12个单位长度后图象所对应解析式为：g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+π6+φ)，由g(x)关于y轴对称，则π6+φ=kπ+π2，φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，即f(x)=2sin(2x+π3)，当x∈[0,π2]时，所以2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=f(4π3)=−√3，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+π6+φ)，由g(x)关于y轴对称，则π6+φ=kπ+π2，φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，由三角函数在区间上的最值得：当x∈[0,π2]时，所以2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=f(4π3)=−√3，得解本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且∠ABF =π6，则双曲线的离心率e 的值是( ) A. 1+√32B. 1+√3C. 2D. 2√32【答案】B【解析】解：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AF ⊥BF ， 在Rt △ABF 中，|OF|=c ， ∴|AB|=2c ，在直角三角形ABF 中，∠ABF =π6，可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ， 取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，∴e =ca =2√3−1=√3+1．故选：B ．运用锐角三角函数的定义可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得√3c −c =2a ，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9. 节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号 1 2 3 4 5年生产利润y(单位：千万元)0.70.8 1 1.1 1.4预测第8年该国企的生产利润约为( )千万元 (参考公式及数据：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i2n i=1−nx −2；a ̂=y −−b ̂x −，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=1.7，∑x i25i=1−nx −2=10A. 1.88B. 2.21C. 1.85D. 2.34【答案】C【解析】解：由表格数据可得，x −=1+2+3+4+55=3，y −=0.7+0.8+1+1.1+1.45=1．又∑(5i=1x i −x −)2=10，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=1.7，∴b̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=1.710=0.17，a ̂=y −−b ̂⋅x −=1−0.17×3=0.49，∴国企的生产利润y 与年份x 得回归方程为y ̂=0.17x +0.49， 取x =8，可得y ̂=0.17×8+0.49=1.85． 故选：C ．由已知数据求得b^与a ^的值，可得线性回归方程，取x =8即可求得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 10.已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为10的圆(如图)，这个几何体内接一个圆锥，圆锥的体积为27π，则该圆锥的侧面积为( )A. 9√10πB. 12√11πC. 10√17πD. 40√3π3【答案】A【解析】解：如图是几何体的轴截面图形，设圆锥的底面半径为r，由题意可得：13×π×r2×(√25−r2+5)=27π，解得r=3，所以该圆锥的侧面积：12×6π×√32+92=9π√10．故选：A．利用球的内接圆锥的体积，求出圆锥的底面半径与高，然后求解该圆锥的侧面积．本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.已知A(3,0)，若点P是抛物线y2=8x上任意一点，点Q是圆(x−2)2+y2=1上任意一点，则|PA|2|PQ|的最小值为()A. 3B. 4√3−4C. 2√2D. 4【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为l：x=−2，焦点F(2,0)，过P作PB⊥l，垂足为B，由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，圆(x−2)2+y2=1的圆心为F(2,0)，半径r=1，可得|PQ|的最大值为|PF|+r =|PF|+1， 由|PA|2|PQ|≥|PA|2|PF|+1，可令|PF|+1=t ，(t >1)，可得|PF|=t −1=|PB|=x P +2， 即x P =t −3，y P 2=8(t −3)， 可得|PA|2|PF|+1=(t−3−3)2+8(t−3)t=t +12t−4≥2√t ⋅12t−4=4√3−4，当且仅当t =2√3时，上式取得等号， 可得|PA|2|PQ|的最小值为4√3−4， 故选：B ．求得抛物线的焦点和准线方程，过P 作PB ⊥l ，垂足为B ，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点雨圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及定义法的运用，考查圆的性质，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 12.设函数f(x)满足，且在(0,+∞)上单调递增，则f(1e )的范围是(e 为自然对数的底数)( ) A. [−1,+∞) B. [1e ,+∞)C. (−∞,1e]D. (−∞,−1]【答案】B【解析】解：令g(x)=f′(x)， 由，故f′(x)=f′(x)−lnx +x[g′(x)−1x ]， 故g′(x)=lnx+1x，g′(x)<0在(0,1e )恒成立，g(x)=f′(x)在(0,1e)递减，g′(x)>0在(1e,+∞)恒成立，g(x)=f′(x)在(1e,+∞)递增，故f′(x)min=f′(1e)，∵f(x)在(0,+∞)递增，故f′(x)=f(x)x+lnx≥0在(0,+∞)恒成立，故在f(1e)1e+ln1e≥0，f(1e)≥1e，故选：B．令g(x)=f′(x)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f′(x)min=f′(1e)，得到f′(x)=f(x) x +lnx≥0在(0,+∞)恒成立，求出f(1e)的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sinα=45，α∈(π2,π)，则sin(α+π6)的值为______．【答案】4√3−310【解析】解：∵sinα=45，α∈(π2,π)，∴cosα=−35，则sin(α+π6)=sinαcosπ6+cosαsinπ6=45×√32−35×12=4√3−310，故答案为：4√3−310利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．14.若函数f(x)=√a−a x(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a711+log1a 1411=______．【答案】−1【解析】解：因为f(1)=0，所以f(x)是[0,1]上的递减函数，所以f(0)=1，即√a−1=1，解得a=2，所以原式=log2711+log121411=log2(711×1114)=−1，故答案为：−1．因为f(1)=0，所以f(x)是[0,1]上的递减函数，根据f(0)=1解得a=2，再代入原式可得．本题考查了函数的值域，属中档题．15.若正实数x，y满足x+y=1，则4x+1+1y的最小值为______．【答案】92【解析】解：∵x>0，y>0，x+y=1∴x+1+y=2，4 x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)≥12(5+2√4)=92，(当接仅当x=13，y=23时取“=”)故选：D．将x+y=1变成x+1+y=2，将原式4x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．16.在体积为3√3的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，AB=2，AC=3，则线段BC的长度为______．【答案】√19或√7【解析】解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，四棱柱ABCD−A1B1C1D1体积为3√3，∴底面ABCD的面积为3√3.平行四边形ABCD边AB上的高为3√32设BC=m，∠DAB=θ∴ADsinθ=3√32，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos(π−θ)．∴{msinθ=3√3 25−m2=4mcosθ⇒m=√7或m=√17．故答案为：√19或√7．可得底面ABCD的面积为3√3.平行四边形ABCD边AB上的高为3√32.设BC=m，∠DAB=θ，可得ADsinθ=3√32，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos(π−θ).⇒m=√7或m=√17．本题考查了空间几何体体积的计算，及解三角形的知识，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5=172，a2a4=4．(1)求数列{a n}的通项公式(2)若b n=na n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：(1)由{a n}是递增等比数列，a1+a5=172，a2a4=4=a32=4∴a1+a1q4=172，(a1q2)2=4；解得：a1=12，q=2；∴数列{a n}的通项公式：a n=2n−2；(2)由b n=na n(n∈N∗)，∴b n=n⋅2n−2；∴S1=12；那么S n=1×2−1+2×20+3×21+⋯…+n⋅2n−2，①则2S n=1×20+2×21+3×22+⋯…+(n−1)2n−2+n⋅2n−1，②−1−2−⋯−2n−2+n⋅2n−1；将②−①得：S n=−12−2n−1+n⋅2n−1．即：S n=−(2−1+20+2+22+2n−2)+n⋅2n−1=12，a2a4=4.即可求解数列{a n}的通【解析】(1)根据{a n}是递增等比数列，a1+a5=172项公式(2)由b n=na n(n∈N∗)，可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和S n．本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；(2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？(3)在(2)的条件下，再从[240,260)，[260,280)，[280,300)这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240,260)组，求随机变量ξ的分布列与期望和方差．【答案】解：(1)由频率和为1，列方程(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+ 0.005+0.0025)×20=1，得x=0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5；年平均销售量的众数是220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，∴年平均销售量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a−220)=0.5，解得a=224，即中位数为224；(2)年平均销售量在[220,240)的农贸市场有0.0125×20×100=25(家)，同理可求年平均销售量[240,260)，[260,280)，[280,300]的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为1125+15+10+5=15，∴从年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3(家)，从年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2(家)，从年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1(家)；即年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3、2、1家；(3)由(2)知，从[240,260)，[260,280)，[280,300)的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家；所以ξ的可能取值分别为0，1，2，3； 则P(ξ=0)=C 30⋅C 33C 63=120，P(ξ=1)=C 31⋅C 32C 63=920，P(ξ=2)=C 32⋅C 31C 63=920，P(ξ=3)=C 33⋅C 30C 63=120，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P120920920120数学期望为E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32，方差为D(ξ)=(0−32)2×120+(1−32)2×920+(2−32)2×920+(3−32)2×120=920． 【解析】(1)由频率和为1列方程求出x 的值，再计算众数、中位数；(2)求出年平均销售量在[220,240)、[240,260)、[260,280)和[280,300]的农贸市场有多少家，再利用分层抽样法计算应各抽取的家数；(3)由(2)知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望和方差． 本题考查了频率分布直方图，众数、中位数，分层抽样，概率，分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题． 19.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 是长方形，A 1B 1⊥BC ，AA11=AB ，AB 1∩A 1B =E ，AC 1∩A 1C =F ，连接EF ．(1)证明：平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1； (2)若BC =3，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，求二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值．【答案】(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1，A 1B 1⊥BC ， ∴A 1B 1⊥B 1C 1．又∵在长方形BCC 1B 1中，B 1C 1⊥BB 1，A 1B 1∩BB 1=B 1， ∴B 1C 1⊥平面AA 1B 1B .∵四边形AA 1B 1B 与四边形AA 1C 1C 均是平行四边形， 且AB 1∩A 1B =E ，AC 1∩A 1C =F ，连接EF ， ∴EF//BC ．又BC//B 1C 1，∴EF//B 1C 1，又B 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，∴EF ⊥平面AA 1B 1B . 又AB 1，A 1B 均在平面AA 1B 1B 内， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥A 1B .又平面A 1BC ∩平面AB 1C 1=EF ，AB 1⊂平面AB 1C 1，A 1B ⊂平面A 1BC ．∴由二面角的平面角的定义知，∠AEA 1 是平面A 1BC 与平面AB 1C 1 所成二面角的平面角． 又在平行四边形A 1ABB 1中，AA 1=A 1B 1，∴平行四边形A 1ABB 1为菱形， 由菱形的性质可得，A 1B ⊥AB 1，∴∠AEA 1=π2， ∴平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1；(2)解：由(1)及题设可知，四边形AA 1B 1B 是菱形，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，∴在△A 1AB 中，由余弦定理可得AB =AB 1=AA 1=4．又由(1)知，EB ，EA ，EF 两两互相垂直，以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∴E(0,0，0)，A(2,0，0)，A 1(0,−2√3,0)，C(0,2√3,3)，B 1(−2,0，0)．AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2√3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4√3,3)．设平面AA 1C 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面A 1B 1C 的一个法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+√3y 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2√3y 1+3z 1=0，取y 1=−√3，得m ⃗⃗⃗ =(3,−√3,4)；由{n ⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 2+2√3y 2=0n ⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3y 2+3z 2=0，取y 2=√3，得n ⃗ =(3,√3,−4)．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2√7×2√7=−514．设二面角C 1−A 1C −B 1的大小为θ， 则sinθ=√1−cos 2<m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=3√1914． ∴二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值为3√1914．【解析】(1)由三棱柱的结构特征可知BC//B 1C 1，又A 1B 1⊥BC ，可得A 1B 1⊥B 1C 1，在长方形BCC 1B 1中，证明B 1C 1⊥平面AA 1B 1B .由四边形AA 1B 1B 与四边形AA 1C 1C 均是平行四边形，可得EF//BC ，进一步得到EF//B 1C 1，则EF ⊥平面AA 1B 1B ，证明∠AEA 1 是平面A 1BC 与平面AB 1C 1 所成二面角的平面角.由菱形的性质可得A 1B ⊥AB 1，即∠AEA 1=π2，从而得到平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1；(2)由(1)及题设可知，四边形AA 1B 1B 是菱形，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，求得AB =AB 1=AA 1=4.以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.分别求出平面AA 1C 与平面A 1B 1C 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值．本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 20.已知，椭圆C 过点A(32,52)，两个焦点为(0,2)，(0,−2)，E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率为k 1，直线l 与椭圆C 相切于点A ，斜率为k 2．(1)求椭圆C 的方程； (2)求k 1+k 2的值．【答案】解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为y 2a +x 2b =1(a >b >0)，且c =2，2a =√(32)2+(52+2)2+√(32)2+(52−2)2=3√102+√102=2√10，即有a =√10，b =√a 2−c 2=√6， 则椭圆的方程为y 210+x 26=1；(2)设直线AE ：y =k(x −32)+52，代入椭圆方程可得(5+3k 2)x 2+3k(5−3k)x +3(52−3k 2)2−30=0，可得x E +32=3k(3k−5)5+3k 2，即有x E =9k 2−30k−156k +10，y E =k(x E −32)+52，由直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，可将k 换为−k ， 可得x F =9k 2+30k−156k 2+10，y F =−k(x F −32)+52，则直线EF 的斜率为k 1=y F −yEx F−x E=−k(x F +x E )+3kx F −x E =1，设直线l 的方程为y =k 2(x −32)+52，代入椭圆方程可得：(5+3k 22)x 2+3k 2(5−3k 2)x +3(52−3k 22)2−30=0，由直线l 与椭圆C 相切，可得△=9k 22(5−3k 2)2−4(5+3k 22)⋅[3(52−3k 22)2−30]=0，化简可得k 22+2k 2+1=0，解得k 2=−1， 则k 1+k 2=0．【解析】(1)可设椭圆C 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由题意可得c =2，由椭圆的定义计算可得a ，进而得到b ，即可得到所求椭圆方程；(2)设直线AE ：y =k(x −32)+52，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E 的坐标，由题意可将k 换为−k ，可得F 的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF 的斜率，设出直线l 的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的相切的条件：判别式为0，可得直线l 的斜率，进而得到所求斜率之和．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线的斜率之和，注意联立直线方程和椭圆方程，运用判别式和韦达定理，考查化简整理的运算能力和推理能力，是一道综合题．21.已知f(x)=xlnx．(1)求f(x)的极值；(2)若f(x)−ax x=0有两个不同解，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，令f′(x)>0，解得：x>1e，令f′(x)<0，解得：0<x<1e，故f(x)在(0,1e )递减，在(1e,+∞)递增，故x=1e 时，f(x)极小值=f(1e)=−1e；(2)记t=xlnx，t≥−1e，则e t=e xlnx=(e lnx)x=x x，故f(x)−ax x=0，即t−ae t=0，a=te t，令g(t)=te t ，g′(t)=1−te，令g′(t)>0，解得：0<t<1，令g′(t)<0，解得：t>1，故g(t)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，故g(t)max=g(1)=1e，由t=xlnx，t≥−1e ，a=g(t)=te t的图象和性质有：①0<a<1e，y=a和g(t)有两个不同交点(t1,a)，(t2,a)，且0<t1<1<t2，t1=xlnx，t2=xlnx各有一解，即f(x)−ax x=0有2个不同解，②−e1−e e<a<0，y=a和g(t)=te仅有1个交点(t3,a)，且−1e<t3<0，t3=xlnx有2个不同的解，即f(x)−ax x=0有两个不同解，③a 取其它值时，f(x)−ax x =0最多1个解， 综上，a 的范围是(−e1−e e,0)∪(0,1e).【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)记t =xlnx ，得到t −ae t=0，a =te t ，令g(t)=te t ，求出g(t)的最大值，通过讨论a 的范围，确定解的个数，从而确定a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.在平面直角坐标系xOy 中曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2(其中t 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√22．(1)把曲线C 1的方程化为普通方程，C 2的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，AB 的中点为P ，过点P 作曲线C 2的垂线交曲线C 1于E ，F 两点，求|EF||PE|⋅|PF|．【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2(其中t 为参数)， 转换为直角坐标方程为：y 2=2x ． 曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√22．转换为直角坐标方程为：x −y −1=0． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且中点P(x 0,y 0)， 联立方程为：{y 2=2xx −y −1=0，整理得：x 2−4x +1=0 所以：x 1+x 2=4，x 1x 2=1， 由于：x 0=x 1+x 22=2，y 0=1．所以线段AB 的中垂线参数方程为{x =2−√22ty =1+√22t(t 为参数)，代入y 2=2x ，得到：t 2+4√2t −6=0， 故：t 1+t 2=−4√2，t 1⋅t 2=−6，所以：EF =|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√14，|PE||PF|=|t 1⋅t 2|=6故：|EF||PE|⋅|PF|=2√146=√143． 【解析】(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果． (2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.已知函数h(x)=|x −m|，g(x)=|x +n|，其中m >0，n >0．(1)若函数h(x)的图象关于直线x =1对称，且f(x)=h(x)+|2x −3|，求不等式f(x)>2的解集．(2)若函数φ(x)=h(x)+g(x)的最小值为2，求1m +1n 的最小值及其相应的m 和n 的值．【答案】解：(1)函数h(x)的图象关于直线x =1对称，∴m =1， ∴f(x)=h(x)+|2x −3|=|x −1|+|2x −3|，①当x ≤1时，(x)=3−2x +1−x =4−3x >2，解得x <23，②当1<x <32时，f(x)=3−2x +x −1=2−x >2，此时不等式无解，②当x≥32时，f(x)=2x−3+x−1=3x−4>2，解得x>2，综上所述不等式f(x)>2的解集为(−∞,23)∪(2,+∞)．(2)∵φ(x)=h(x)+g(x)=|x−m|+|x+n|≥|x−m−(x+n)|=|m+n|=m+n，又φ(x)=h(x)+g(x)的最小值为2，∴m+n=2，∴1m +1n=12(1m+1n)(m+n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2√mn⋅nm)=2，当且仅当m=n=1时取等号，故1m +1n的最小值为2，其相应的m=n=1．【解析】(1)先求出m=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(2)根据绝对值三角形不等式即可求出m+n=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．第21页，共21页。
2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(文科) (解析版)
2020年高考数学第二次监测试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．05．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．14．若，则sin2α＝．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：由（x﹣1）（x﹣3）≤0得1≤x≤3，所以集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|1≤x≤3}，又B＝{x|﹣1＜x＜2}，所以A∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i【分析】直接根据复数的四则运算化简即可求解．解：因为复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，故．故选：B．3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差【分析】由图数形结合可逐项判断选项的正误，解：根据统计图表可知，A，由图周跑步里程有增有减，故周跑步里程逐渐增加，故A错误，B，由图周跑步里程有8周里程在30km及以上，且最高里程为35km，有12周在35km 以下且最低为15km，故估算这20周跑步里程平均数远小于30km，故B错误，C项这20周跑步里程从小到大排列中位数是第十周和十一周里程数的平均值小于30km，故C错误；D项由图前10周的周跑步里程的极差为第十周里程减第三周里程，大于后10周的周跑步里程的极差为第十五周里程减第十一周里程，故D正确．故选：D．4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．0【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，不等式组表示的可行域是以（0，0），A（2，0），B （0，2）为顶点的三角形及其内部，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当目标函数z＝2x+y过点B（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，为2×2+0＝4，故选：B．5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．【分析】根据正弦定理求得b＝2a，再根据余弦定理可得c＝a．解：由sin B＝2sin A，据正弦定理有b＝2a；又，据余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得c2＝3a2．故．故选：A．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】画出图形，通过直线与圆的位置关系，转化求解写出即可．解：由题意知，PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关【分析】由题意可得SO⊥平面ABC，可得球心O1在SO上，设球的半径为R，在Rt△O1AO中由勾股定理可得R的值．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+（）2＝R2，解得R ＝2．故选：A．9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出勒洛三角形的面积，由测度比是面积比得答案．解：设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是＝△DEF的面积是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为，△ABC面积为，所求概率．故选：C．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】利用已知条件画出图形，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），通过，推出x1x2＝﹣16，求解直线OP的斜率为k的表达式，利用基本不等式转化求解即可．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），依题意，，即x1x2+y1y2＝0，即，即x1x2＝﹣16，从而直线OP的斜率为k，则＝，，当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，从而解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故答案为：．14．若，则sin2α＝．【分析】法一：由已知直接利用二倍角的余弦及诱导公式求解；法二：展开两角差的余弦，整理后两边平方即可求得sin2α．解：法一：由，得．法二：由，得，两边平方得，∴，即．故答案为：．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：由三视图可还原几何体直观图如图，易知S＝2×3，S'＝3×4，＝，h＝4，代入公式则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）＝．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．【分析】法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，利用函数的导数求解切线方程，转化求解a的最小值．解：法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值．所以，则a的最小值为．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），由题，当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，设切点（x0，lnx0），切线斜率为，则切线方程为，过点（0，1），则，解得，切线斜率为，所以a的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．【分析】（1）直接利用数列的定义的应用求出数列的通项公式．（2）利用前n项和公式的应用求出结果．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2．当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减得a n＝2a n﹣1．所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知：．所以＝﹣n2+21n＝当n＝10或11时，取最大值．．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．【分析】（1）由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，得DE∥BC且DE＝．在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得GF∥BC且GF＝．得到四边形DEGF 为平行四边形，得DF∥EG．再由直线与平面平行的判定可得DF∥平面PBE；（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，得S△BEC＝4S△DEC，求得V C﹣PBE＝1．再把三棱锥C﹣PBE的体积用含有a的代数式表示，则a值可求．【解答】（1）证明：由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，依题意得BE＝2a，BC＝4a，DE∥BC且DE＝．如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，∵，∴GF∥BC且GF＝．∴DE∥GF且DE＝GF．∴四边形DEGF为平行四边形，得DF∥EG．又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，∴DF∥平面PBE；（2）解：由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，∴S△BEC＝4S△DEC，∴．则V C﹣PBE＝1．由，解得a＝1．∴BE＝2．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．【分析】（1）通过，化简求解点P的轨迹方程．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理则设直线AM的方程为，直线BN的方程为，求出交点坐标，推出交点Q在直线x＝4上．解：（1）由点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设P（x，y），则，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．轨迹是椭圆，不包含椭圆与x轴的交点．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，结合题意求出a的值，从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数零点的个数，确定满足条件的a的范围即可．解：（1）由题，．…………………………（1分）则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，．……………………………………此时，由f'（x）＝0得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数．………………………………（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，所以f（x）只有一个零点，不符合题意．……………………………………若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………………………②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝0，由x≤0得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，所以当a＜0时，f（x）始终有两个零点．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，0）．………………………………（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。
2021届四川省凉山州高中毕业班第二次诊断性检测数学(文科)试题(解析版)
2021年四川省凉山州高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．集合A＝{x|2x﹣1＞0}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，则A∩B＝（）A．∅B．（0，+∞）C．（0，）D．（，+∞）2．已知数列{a n}为等差数列，数列{a n}的前5项和为S5＝20，a5＝6，则a10＝（）A．9 B．10 C．11 D．123．一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝3+5．在不超过16的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于16的概率是（）A．B．C．D．4．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C，其长轴长为4，焦距为2，则C的方程为（）A．＝1B．＝1或＝1C．＝1D．＝1或+＝15．已知数列{a n}为等比数列，函数y＝log a（2x﹣1）+2过定点（a1，a2），b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S10＝（）A．44 B．45 C．46 D．506．命题p：实数x、y 满足，命题q：x＞y，则命题p是q的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有效分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到该学科上线有效分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”（双上线人数/总分上线人数×100%）和“学科有效分上线命中率”（双上线人数/单上线人数×100%）这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（）（结果保留到小数点后一位有效数字）1234567891011121314151617181920学生编号120117122101100112991111021008998928494113971048585数学成绩495494493485483483482480479475471470463457454453448448441440总分成绩A．41.7%，71.4% B．60%，71.4%C．41.7%，35% D．60%，35%8．已知函数f（x）＝sin（π﹣ωx）+sin（ωx +）（ω＞0），若f（x）在（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，]C．（0，] D．（0，]∪[，]9．已知函数f（x）＝（x ﹣）3+1，则f （）+f （）+……+f （）+f （）的值为（）A．1 B．2 C．2020 D．202110．集合A＝{1，2，3，4}，y＝f（x）是A到A的函数，方程f（x）＝f（f（x））恰好有两个不同的根，且f（1）+（2）+f（3）+f（4）＝10，则函数y＝f（x）﹣x的零点个数为（）A．1 B．2 C．1或2 D．411．F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点，以F1F2为直径的圆依次与双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，M为直线BD上一点，若直线MA，MC的斜率之积为，则双曲线的离心率e＝（）A．B．+1 C．D．12．在△ABC中，A＝，若B＜C，m＞0，n＞0，且（m2﹣1）tan2B﹣2tan B+m2﹣1＝0，sin2C+1＝n2，则有（）A．m＜n B．m＞n C．mn＜1 D．mn＞2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（）﹣1+lg5+lg4＝．14．复数z满足|z+i|＝1，且z+＝2，则z＝．15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（2，﹣3），B（﹣3，4），则在+上的投影为．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1⊥面ABC，P为△A1B1C1内的一点（含边界），且△ABC为边长为2的等边三角形，AA＝2，M、N分别为AC、BC的中点，下列命题正确的1有．①若P为A1C1的中点时，则过A、P、B三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形；②若P为A1C1的中点时，三棱锥P﹣C1MN的体积V＝；③若P为A1C1的中点时，NP∥A1B；④若AP与平面ABC所成的角与P﹣BC﹣A的二面角相等，则满足条件的P的轨迹是椭圆的一部分．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21为必考题，每个考题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：每题12分共60分17．为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，现对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：喜欢数学竞赛不喜欢数学竞赛合计男生70女生30合计已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6．（1）将2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？（2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中男生抽取3人，女生抽取2人，再在这5人中抽取3人，调查其喜欢的活动类型，求抽取的3人中至少有一名女生的概率．参考公式及数据：．P（K20.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001≥k）k0.460.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.6357.87910.828 18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直且长度分别为1，2，2，AB∥CD，AB ＝DC．（1）若PC中点为M，证明：BM∥平面PAD；（2）求点A到平面PCD的距离．19．如图在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a sin A+c sin C ﹣b sin B）＝2a sin B sin C．（1）求角B；（2）若在线段AC上存在一点D使得BD＝2，E为BD延长线上一点，CE⊥BE，CD ＝﹣1，CE ＝，求△ABC的面积．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线l1与抛物线交于A、B 两点，当l1⊥x轴时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）如图，过点F的另一条直线l与C交于M、N两点，设l1，l2的斜率分别为k1，k，若k1+k2＝0（k1＞0），且3S△AMF＝S△BMN，求直线l1的方程．221．已知函数f（x）＝lnx+ax2，g（x）＝e ax lnx+ax．（1）讨论函数h（x）＝f（x）+（a+2）x的单调区间；（2）是否存在正数a使得关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0在区间（1+∞）上恰有两个不等实数根？如果有，求出a的取值范围；如果没有，请说明理由．（二）选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数，﹣＜α＜），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝（0＜θ＜π）．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线过点（0，﹣1），分别与C1，C2交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|+3|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）已知f（x）min＝a+3b+5c（a，b，c均为正实数），求a2+b2+c2的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。
2020年四川省凉山州高考数学二诊数学试卷(文科)
高考数学二诊数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合A＝{x|x2≤1}，则下列结论正确的是( )A. －2AB. －2∈AC. {－2}∈AD. {－2}A3.执行如图程序框图，则输出的S值为（）A. 31B. 32C. 62D. 644.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±2xB.C.D. y=±4x5.若点在角α的终边上，则sin2α的值为( )A. B. C. D.6.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝16，S m＝25，a1＝1(m≥2，且m∈N)，则m的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 78.设p：实数a，b满足a＞1，且b＞1；q：实数a，b满足；则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设Ω=，有下面两个命题：p：∃（x，y）∈Ω，2（y+1）≤3（x+1）；q：∀（x，y）∈Ω，x-2y≥-3，则下面命题中真命题是（）A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢p10.已知3a=5b=15，则a，b不可能满足的关系是（）A. a+b＞4B. ab＞4C. （a-1）2+（b-1）2＞2D. a2+b2＜811.我们把F n＝+1（n＝0，1，2…）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设a n＝log2（F n﹣1），n＝1，2，…，S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最小正整数n的值是（）A. 8B. 9C. 10D. 1112.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0)时，，则在区间(－2，6)内关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0解得个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：ax＋y＋2＝0，直线l2：x＋y＝0，若l1⊥l2，则a＝__________．14.在甲、乙、丙、丁4名同学中选出两名代表，则甲当选的概率为__________．15.点B(x0，2)在曲线y＝2sinωx(ω＞0)上，T是y＝2sinωx的最小正周期，设点A(1，0)，若，且0＜x0＜T，则T＝__________．16.设分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，，．(1)求角C；(2)若，求AC的长．18.设矩形ABCD中，AD＝4，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1．现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME⊥MF，如图2．(1)证明：AF⊥平面MEF；(2)求三棱锥M－AEF的体积．19.火把节是彝族、白族、纳西族、基诺族、拉祜族等民族的古老传统节日，有着深厚的民俗文化内涵，被称为“东方的狂欢节”．凉山州旅游局为了解民众对火把节知识的知晓情况，对西昌市区A，B两小区的部分居民开展了问卷调查，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：（）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，求小区的平均分；（2）若A小区得分在[80，90）内的人数为45人，B小区得分在[80，90）内的人数为15人，求在A，B两小区中所有参加问卷调查的居民中得分不低于90分的频率．20.椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.设函数，a∈R．（1）当a＝1时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)存在极值点，求a的取值范围．22.已知直线1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程和极坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），求点A到直线l的距离．23.已知f（x）=|2x+3|-|2x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a-2|成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z==，得复数z=在复平面内对应的点的坐标为（1，-1），位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：集合A={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}．所以-2∉A，{-2}⊄A．故选：A．根据元素与集合，集合与集合间的关系进行判断解答．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1满足条件k＜6，执行循环体，S=0+2=2，k=2满足条件k＜6，执行循环体，S=2+4=6，k=3满足条件k＜6，执行循环体，S=6+8=14，k=4满足条件k＜6，执行循环体，S=14+16=30，k=5满足条件k＜6，执行循环体，S=30+32=62，k=6此时，不满足条件k＜6，退出循环，输出S的值为62．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得e==，即c=a，则b==2a，由渐近线方程y=±x，可得y=±x．故选：B．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查离心率公式和基本量a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵点P（sin，cos）=（，-）在角α的终边上，∴|OP|=1，则sin，cos，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：B．利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由倍角公式求sin2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2．取PC的中点O，则点O是该几何体的外接球的球心．求出即可．本题考查了四棱锥外接球的表面积、三视图的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2．取PC的中点O，则点O是该几何体的外接球的球心．OC=PC==．∴该几何体的外接球的表面积=4πR2=12π．故选C．7.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S m-1=16，S m=25，a1=1（m≥2，且m∈N），∴a m=S m-S m-1=25-16=9=1+（m-1）d，m+d=25，联立解得m=5，d=2．故选：B．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：当a＞1且b＞1时，ab＞1，a+b＞2成立，即充分性成立，反之当a=4，b=1时，满足足但a＞1且b＞1不成立，即必要性不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合命题真假关系的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断命题p，q的真假是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：由2（y+1）≤3（x+1），得y≤x+，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知A（1，2），满足不等式2（y+1）≤3（x+1），即命题p是真命题，平面区域所有的点都在不等式x-2y≥-3对应的区域内，即命题q是真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题.故选：A．10.【答案】D【解析】解：∵3a=5b=15，∴（3a）b=15b，（5b）a=15a，∴3ab=15b，5ba=15a，∴3ab•5ba=15b•15a，∴（15）ab=15a+b，∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2，∵a≠b，∴ab＞2，∴a+b=ab＞4，∴（a-1）2+（b-1）2=a2+b2-2（a+b）+2＞2ab-2（a+b）+2＞2，∵a2+b2＞2ab＞8，故D错误故选：D．由已知条件可得a+b=ab，再根据基本不等式即可判断．本题考查了指数幂的运算性质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于较难题型．首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步确定结果．【解答】解：把F n=+1（n=0，1，2…）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．由于a n=log2（F n-1），=，=2n，故：，则：，则：不等式，=成立，当不等式成立时n的最小值为9．故选：B．12.【答案】C【解析】、【分析】由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质，及当x∈[-2，0]时，函数解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象可得y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上有3个不同的交点．本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，考查数形结合思想，属于中档题．【解答】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）-2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（6）=1，则函数y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上的图象如下图所示：根据图象可得y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（-2，6）上有3个不同的交点．故选C．13.【答案】-1【解析】解：直线l1：ax+y+2=0，直线l2：x+y=0，若l1⊥l2，则1•a+1×1=0，解得a=-1．故答案为：-1．根据两直线垂直的条件，列出方程求a的值．本题考查了两条直线垂直的应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：在甲、乙、丙、丁4名同学中选出两名代表，基本事件总数n=，甲当选包含的基本事件个数m==3，∴甲当选的概率为p=．故答案为：．推导出基本事件总数n=，甲当选包含的基本事件个数m==3，由此能求出甲当选的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】4【解析】解：∵B（x0，2），A（1，0），∴=（1，0），=（x0，2），∴=x0=1，∵B（1，2）在曲线y=2sinωx（ω＞0）上，∴ω=，k∈z，0＜x0＜T，∴T＞1，∵T=＞1，∴ω＜2π，∴ω=，T=4故答案为：4由=1，结合向量数量积的坐标表示可求x0，然后由B在曲线y=2sinωx（ω＞0）上，代入可求ω=，k∈z，再结合0＜x0＜T，及周期公式可求．本题主要考查了正弦函数的性质及向量数量积的定义的坐标表示，属于中档试题16.【答案】【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．圆心C（0，1）到椭圆上的点Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距离d==，可得P，Q两点间的最大距离是d max+r．【解答】解：圆心C（0，1）到椭圆上的点Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距离d==≤，当且仅当时取等号．∴P，Q两点间的最大距离是d+r=+=．故答案为．17.【答案】解：（1）△ABC中，cos A=，∴sin A=，tan A=7，∵tan B=，∴tan C=-tan（A+B）===1，∵0＜C＜π，∴C=；法二：：△ABC中，cos A=，∴sin A=，∵sin B=，cos B=，∴cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B==，∵0＜C＜π，∴C=（2）∵=21，∴ac cos B=21，即ac=35①∵即∴②由①②得：a=7，c=5，又b2=a2+c2-2ac cos B=49+25-42=32，∴b=4．【解析】（1）法一：由已知可求tan A，tan B，然后由tan C=-tan（A+B）=可求；法二：由已知可求sin A，sin B，cos B，然后由cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B可求；（2）由已知结合向量数量积的定义可求ac，然后由正弦定理可求a，c，再由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B可求b．本题主要考查了同角平方关系，和角的三角公式的应用，向量的数量积及正弦定理余弦定理的综合应用，属于中档试题．18.【答案】证明：（1）由题设知AM⊥ME，又ME⊥MF，AM∩MF=M，AM,MF在平面AMF内，∴ME⊥平面AMF，∵AF⊂面AMF，∴AF⊥ME，在矩形ABCD中，AD=4，AB=，点F，E分别是BC、CD的中点，∴AE2=42+2=18，EF2=22+2=6，AF2=8+22=12，∴AE2=EF2+AF2，∴AF⊥EF，∵ME∩EF=E，ME,EF在平面MEF内，∴AF⊥平面MEF．解：（2）∵AF⊥面MEF，∴V M-AEF=V A-MEF=，在Rt△FME中，ME=，EF=，则MF=2，∴S△FME===，又AF=2，∴三棱锥M-AEF的体积V M-AEF==．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（1）推导出AM⊥ME，ME⊥MF，从而ME⊥平面AMF，进而AF⊥ME，再求出AF⊥EF，由此能证明AF⊥平面MEF．（2）由V M-AEF=V A-MEF=，能求出三棱锥M-AEF的体积．19.【答案】解：（1）设B小区的平均分为，则=45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.2+85×0.15+95×0.05=67.5，∴B小区的平均分为67.5．（2）∵A小区得分为80-90分的频率为0.3．∴A小区被问卷调查的居民共有=150人，∵B小区得分为80-90的频率为0.15，∴B小区被调查问卷的居民共有：=100人，A小区不低于90分的居民共有150×0.1=15人，B小区不低于90分的居民共有100×0.05=5人，∴所有参加问卷调查的居民中，得分不低于90分的频率为：=．【解析】（1）由频率分布表能求出B小区的平均分．（2）由A小区得分为80-90分的频率为0.3．求出A小区被问卷调查的居民共有150人，由B小区得分为80-90的频率为0.15，求出B小区被调查问卷的居民共有100人，A小区不低于90分的居民共有150×0.1=15人，B小区不低于90分的居民共有100×0.05=5人，由此能求出所有参加问卷调查的居民中，得分不低于90分的频率．本题考查平均分、频率的求法，考查频率分布表、频率分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1，（a＞b＞0），半焦距为c，则A（a，0），M（0，b），F（c，0），∴（c，-b），（a-c，0），∵=，∴ac-c2=-1，又e==，a2=b2+c2，∴a2=2，b2=1．故椭圆的标准方程为+y2=1．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），F为△PQM的垂心，∴MP⊥FQ．∵M（0，1），F（1，0），∴k MF=-1，∴k PQ=1，设直线PQ的方程为y=x+m，代入到+y2=1得3x2+4mx+2m2-2=0，∴△=（4m）2-12（2m2-1）＞0，解得-＜m＜且m≠1∴x1+x2=-m，x1x2=，∵⊥，（1-x1，-y1），=（x2，y2-1）∴x2-x1x2+y1-y1y2=0，即（1-m）（x1+x2）-2x1x2+m-m2=0由根与系数的关系，得3m2+m-4=0．解得m=-或m=1（舍去）．故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，且直线l的方程为y=x-．【解析】（1）设椭圆的标准方程，且=，可得ac-c2=-1，再根据离心率，b2=a2-c2，即可得出．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），k PQ=1．可设直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立得3x2+4mx+2m2-2=0．又F为△PQM的垂心，可得⊥，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、三角形垂心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）当a=1时，f′（x）=1+=（x＞0），设g（x）=x2+1-ln x，则g′（x）=2x-=（x＞0），令g′（x）=0，解得：x=，故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）≥g（）=-ln＞0，故f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）递增；（2）∵f（x）存在极值点，∴f′（x）=0在x＞0上有解，即f′（x）=1+==0有解，即a（1-ln x）+x2=0在x＞0上有解，当x=e时，上式不成立，即当x≠e，a=在（0，e）∪（e，+∞）上有解，即曲线y=a与曲线g（x）=在（0，e）∪（e，+∞）上有交点，故g′（x）==0，故x=，当0＜x＜e或e＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞，g′（x）＞0，故g（x）min=g（）=2e3，∵0＜x＜e时，g′（x）＜0，故作出y=g（x）的图象如图示：有a＜0或a＞2e3，即a∈（-∞，0）∪（2e3，+∞）．【解析】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，问题转化为a（1-ln x）+x2=0在x＞0上有解，即曲线y=a与曲线g（x）=在（0，e）∪（e，+∞）上有交点，求出g（x）的最小值，从而确定a的范围即可．22.【答案】解：（1）将t=x-1代入y=+t得y=，所以倾斜角为，∴l的极坐标方程为θ=，l的普通方程为y=x．（2）A（2，）的直角坐标为（，1），A到直线l的距离d==1．【解析】（1）消去t得直线l的直角坐标方程，再用互化公式化成极坐标方程；（2）将A的极坐标化成直角坐标后，用点到直线的距离可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档．23.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜2，等价于或或，得x＜-或-≤x＜0，即f（x）＜2的解集是（-∞，0）；（Ⅱ）∵f（x）≤|（2x+3）-（2x-1）|=4，∴f（x）max=4，∴|3a-2|＜4，解得实数a的取值范围是（-，2）．【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
四川省凉山州2020届高三上学期期末模拟(二)数学试卷 Word版含答案
数学题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．2.复数z满足为虚数单位，则复数A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，得，则．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.展开式中项的系数是A. 270B. 180C. 90D. 45【答案】A【解析】解：，展开式中项的系数为270，故选：A．把按照二项式定理展开，可得展开式中项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．运行如图程序框图，输出m的值是4.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：，否，，，，否，，，，否，，，，否，，，，是，输出，故选：D．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．5.已知为锐角，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：为锐角，且，则，故选：A．利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，求得的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6.已知双曲线的焦距为8，一条渐近线方程为，则此双曲线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：双曲线的焦距为8，可得；一条渐近线方程为，可得，，可得：，，所以双曲线方程为：．故选：D．经验双曲线的焦距，求出c，结合渐近线方程求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 2B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥，几何体的表面积为：．故选：C．画出几何体的直观图，经验三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．8.已知抛物线的准线与圆C：相切，则抛物线的方程为A. B.C. D. 或【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．由抛物线的准线与圆C：相切，知，解得由此能求出抛物线方程．【解答】解：圆C：，抛物线的准线为，抛物线的准线与圆C：相切，，解得．抛物线方程为：．故选：B．9.已知外接圆的圆心为O，若，，则的值是A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，而，从而便可得出的值．考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义．10.公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为1，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形图中阴影部分区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查几何概型，属于中档题．先求出阴影部分面积，再用几何概型概率公式可得．【解答】解：阴影部分面积等于，所以根据几何概型得．故选：B．11.中，BD是AC边上的高，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：中，BD是AC边上的高，，在等腰直角三角形ABD中，设，在直角三角形BDC中，，即有，则，可得，即，则．故选：A．在等腰直角三角形ABD中，设，可得AD，再由两角差的余弦公式可得，求得，由正切函数的定义，可得CD，进而得到所求值．本题解直角三角形的知识，考查锐角三角函数的定义，以及运算能力，属于基础题．12.函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，时不成立，时，化为：．．可得：时，，函数单调递增；时，时，函数单调递减；时，，函数单调递增．画出图象．．可得：当且仅当时，函数与函数由且仅有一个交点．即函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是故选：C．，时不成立，时，化为：利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象，转化为图象的交点个数即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法、函数零点、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某人在公园进行射击气球游戏，排除其它因素的影响，各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为，若连续射击10次，记击中气球的次数为，则______．【答案】【解析】解：由题意可知各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为，若连续射击10次，记击中气球的次数为，可得，所以．故答案为：．根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，求出期方差即可．本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的方程，同时考查了计算能力，属于基本知识的考查．14.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是______．【答案】9【解析】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点B时，直线，的截距最小，此时z最大，由，解得解得．故答案为：9．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．【答案】【解析】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为x，过A作，设等边三角形ABC的中心为O，则，，，即．再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即．正四面体ABCD的外接球的体积为．故答案为：．由题意画出图形，设正四面体ABCD的棱长为x，由已知求得x，进一步求出外接球半径，代入体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16.已知函数，若在区间上单调递增，则a的最小值是______．【答案】1【解析】解：函数，若，在区间上单调递增，，可得，，可得，．所以a的最小值为：1．故答案为：1．化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和为，且满足．求证为等比数列；数列满足，求的前n项和．【答案】证明：由时，，化为：，时，，解得．．为等比数列，首项为2，公比为2．解：由可得：．，的前n项和，，相减可得：，整理为：．【解析】由时，，化为：，时，，解得即可证明结论．由可得：，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元789111213销量120118112110108104已知销量与单价之间存在线性相关关系求y关于x的线性回归方程；若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间内的单价种数的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．【答案】解：，．，．关于x的线性回归方程为；种单价中销售量在内的单价种数有3种．销量恰在区间内的单价种数的取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为：0123P期望为．【解析】由已知表格中数据求得与，则线性回归方程可求；求出的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望与方差，考查计算能力，是中档题．19.如图四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，．求证：平面平面PAD；若AB与平面PBD所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．【答案】证明：，，，．，，，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，平面PAD，又平面PBD，平面平面PAD．解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则4，，0，，4，，2，，0，．4，，4，，2，，设平面PBD的法向量y，，则取，得，与平面PBD所成的角的正弦值为，，解得，，0，，4，，设平面PBC的法向量y，，则取，得，设二面角的平面角为，则．所以二面角的余弦值为．【解析】推导出，从而推出平面PAD，又平面PBD，则平面平面PAD，得证．以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：上的动点P到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为．求椭圆的方程；若直线l与椭圆C交于A，B两点，Q是椭圆C的左顶点，若，试证明直线l经过不同于点Q的定点．【答案】解：由已知可得，，解得，，椭圆的方程；证明：由，得，设直线AB方程为，，，联立，得．．，．由题意，，则，，由，得，，即，，即或．当时，满足，此时直线方程为：，过定点；当时，满足，此时直线方程为：，过定点，不合题意．综上，直线l经过不同于点Q的定点【解析】由已知可得，求解可得a，b的值，则椭圆方程可求；由，得，设直线AB方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积可得，即或，验证判别式后可得直线l经过不同于点Q的定点本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知函数，．当时，求在点处的切线方程；当时，是否存在两个极值点，若存在，求实数a的最小整数值；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数导数，当时，，，，，即在点处的切线斜率，则对应的切线方程为即．当时，若存在两个极值点，则有两个不同的解，即，有两个根，即有两个不同的根，设，，设切点，则，即过原点的切线方程为，即当，时，，设，则，即在上为减函数，，，当时，，即当时，和有两个交点，，，当时，与没有交点，当时，与有两个交点，即当时，是存在两个极值点，此时最小的a的整数值为4【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．求函数的导数，结合极值与导数之间的关系，转化为有两个不同的根，构造函数结合导数的几何意义转化求切线，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查导数的几何意义以及函数极值的应用，求出函数的导数，结合导数的应用是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为为参数，曲线的极坐标方程为．写出的普通方程和的直角坐标方程；若点P、Q分别为曲线及曲线上任意一点，求的最小值及此时P的坐标．【答案】解：因为，，得，即的普通方程为，曲线的极坐标方程为，，由，，可得的直角坐标方程为：．设直线l与平行，且与曲线相切，设l方程为，联立l与的方程消去y得：，因为l与曲线相切，故，解得：，或．的方程为：当时，设切点为P，过P作的垂线，垂足为Q，则此时最小，且此时，值等于l与的距离，．将代入得，，即P点坐标为综上，点P、Q分别为曲线及曲线上任意一点，则的最小值为，此时P点坐标为【解析】本题考查了椭圆的参数方程、直线的极坐标方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系、曲线上的点到直线上一点的距离的最小值的求法等知识，具有一定的综合性，属中档题．根据消参即可得到的普通方程，由，，可得的直角坐标方程．设出的平行线l：，且l为的切线，联立l与令，得C，将最小值转化为直线l和的距离，得到的最小值，再将C代入联立后的方程，得到P点的坐标．23.已知函数．当时，求不等式的解集；若恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ时，，即，不等式即为或或，即有或或，则为或，所以不等式的解集为或；Ⅱ由Ⅰ知，函数的值域为，若恒成立，则，即，解得或．实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ时利用分段函数表示，再求不等式的解集；Ⅱ由Ⅰ知函数的值域，把不等式恒成立化为，即可求得a的取值范围．本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．。
四川省凉山州2020届高中毕业班高三语文第二次诊断性考试试卷及答案.doc
四川省凉山州2020届高中毕业班高三语文第二次诊断性考试试卷及答案班级：_________ 姓名:_________ 学号：_________(考试时间60分钟，满分100分，附加题20分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20附加题总分得分同学们，严肃考风考纪，树立优良学风，祝大家取得优良成绩。
四川省凉山州2016届高中毕业班第二次诊断性考试语文试题制作：青峰弦月工作室第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1-3题。
“和”是儒家美学思想的核心内容，也是中国古典美学的重要范畴，温柔敦厚的中和之美对于后世文学产生了深远影响。
钱穆先生指出：“读一部中国文化史，正如听一场歌唱，不外一‘和’字。
”“和”这一美学范畴包含着浓厚的政治、道德观念，它的内涵既是指艺术的，也是指道德的，是善与美的统一。
《论语》中曾先后8次出现“和”的观念，如“君子和而不同，小人同而不和”，“礼之用，和为贵”，“和无寡”等。
《左传》曰：“清浊、大小、短长、疾徐、哀乐、刚柔、迟速、高下、出入、周疏，以相济也。
君子听之，以平其心。
心平德和。
”“和”的一个重要特征就是对立面的多样统一。
孔子论“和”，强调用道德来规范审美对象和审美主体，以达到“善”和“美”的统一。
“和”与“中”密不可分，“和”是把杂多与对立的事物有机地统一起来，“中”则是在“和”的基础上所采取的居中不偏、兼容两端的态度；“和”偏重事物的调和统一，“中”强调事物所达到的最佳状态。
在《论语先进》中，他评论他的学生说：“师也过，商也不及。
曰：然则师愈与？子曰：过犹不及。
”在艺术与审美方面，孔子对《关雎》的评价颇高：“《关雎》，乐而不淫，哀而不伤。
”认为《关雎》在情感把握上恰到好处，既不过分，也无不及，这是非常可贵的。
在他看来，像《关雎》那样不淫不伤的诗，才是合乎“中和”的诗，这才是合乎孔子所要求的美。
四川省凉山州普通高中2020届高三毕业班第二次高考诊断性检测数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前四川省凉山州普通高中2020届高三毕业班第二次高考诊断性测试数学(文)试题(解析版)第I 卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =（ ）A. {}2345，，， B. {}234，，C. {}1234，，， D. {}01234，，，， 【答案】B【解析】【分析】 解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解.【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N = 由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=，故选：B .【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.2. 设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ）A. 1B. -1C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值.【详解】复数()()1z a i i R =+-∈，由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.3. 等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A. ±6B. 6C. -6D. 132 【答案】B【解析】【分析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ===±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，故选：B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用,注意项的符号特征,属于基础题.4. 若2()(1)()f x x ax a R =+∈,则“23a =”是“()327f =”的（ ） A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】。
2020年四川省凉山州高考(文科)数学二诊试卷 Word解析版
2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜2}，B ＝N ，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4 }C ．{1，2，3，4 }D ．{0，1，2，3，4 }2．设i 为虚数单位，复数z ＝（a +i ）（1﹣i ）∈R ，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．23．等比数列{a n }，若a 3＝4，a 15＝9，则a 9＝（ ） A ．±6B ．6C ．﹣6D ．1324．若f （x ）＝x （1+ax ）2（a ∈R ），则“a =23“是“f （3）＝27“的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．曲线x 2＝4y 在点（2，t ）处的切线方程为（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝﹣x +3D ．y ＝﹣2x +56．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ＞8C ．i ＞10D ．i ＞127．若双曲线x 24−y 2b =1的离心率e =√72，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．2√3B ．.2C ．.√3D ．.18．将函数f (x)=√3sin2x −cos2x 向左平移π6个单位，得到g （x ）的图象，则g （x ）满足（ ） A ．图象关于点（π12，0）对称，在区间(0，π4)上为增函数B ．函数最大值为2，图象关(π3，0)于点对称 C ．图象关于直线x =π6对称，在[π12，π3]上的最小值为1 D ．最小正周期为π，g （x ）＝1在[0，π4]有两个根9．若函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（ ）A ．f(x)=e x +xx B ．f(x)=1−x 2xC ．f(x)=e x −x 2xD ．f(x)=x+1x 210．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，2AB ＝3AA 1＝6，A 1P →=2PB 1，点T 在棱AA 1上，若TP ⊥平面PBC ．则TP →⋅B 1B →=（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣211．已知a ＝log 1213，b ＝（1213）1314，c ＝log 1314，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数：从第三项起，每一项都等于前面所有项之和（例如：1，3，4，8，16…）．则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为．14．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），并且当0≤x≤1时，f（x）＝2x﹣1，则f（123）＝15．已知平面向量a→，b→的夹角为π3，a→=(√3，1)，且|a→−b→|=√3则|b→|=16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．函数D（x）={1，x为有理数0，x为无理数，称为狄里克雷函数．则关于D（x）有以下结论：①D（x）的值域为[0，1]；②∀x∈R，D（﹣x）＝D（x）；③∀T∈R，D（x+T）＝D（x）；④D(1)+D(√2)+D(√3)+⋯+D(√2020)=45；其中正确的结论是（写出所有正确的结论的序号）三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分）17．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源，传播途径和人群易感性．三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行．呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩．某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）用样本估计总体，分别估计青年人、中老年人出行戴口罩的概率．（2）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.82818．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AB ＝2，PD ＝t （t ＞0）． （1）若t ＝2，证明：平面DMA ⊥平面PBC ；（2）若三棱锥C ﹣DBM 的体积为43，求三棱锥B ﹣PAC 的体积．19．如图，在平面四边形ABCD 中，∠D =2π3，sin ∠BAC ＝cos ∠B =513，AB ＝13． （1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．20．设f （x ）＝（a ﹣4）log a x −3a−1x +3a−1（a ＞0且a ≠1）． （1）证明：当a ＝4时，lnx +f （x ）≤0；（2）当x ≥1时f （x ）≤0，求整数a 的最大值．（参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7≈1.95）21．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点和右焦点，椭圆C 的离心率为√55，A ，B 是椭圆C 上两点，点M 满足BM →=12BA →． （1）求C 的方程；（2）若点M 在圆x 2+y 2＝1上，点O 为坐标原点，求OA →⋅OB →的取值范围．请考生在第22，23两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =ty =t （t 为参数），直线l 与曲线C ：（x ﹣1）2+y 2＝1交于A 、B 两点． （1）求|AB |的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为(2√2，3π4)，求点P 到线段AB 中点M 的距离． [选修4-5：不等式选讲]23．设f （x ）＝|x |﹣2|x ﹣a |（a ＞0）．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥﹣1的解集； （2）若f （x ）≤1，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜2}，B ＝N ，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4 }C ．{1，2，3，4 }D ．{0，1，2，3，4 }【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜2}＝{x |1＜x ＜5}， B ＝N ，∴A ∩B ＝{2，3，4}． 故选：B ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设i 为虚数单位，复数z ＝（a +i ）（1﹣i ）∈R ，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a 值． 解：∵z ＝（a +i ）（1﹣i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ∈R ， ∴1﹣a ＝0，即a ＝1． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．等比数列{a n }，若a 3＝4，a 15＝9，则a 9＝（ ） A ．±6B ．6C ．﹣6D ．132【分析】由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同可得． 解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同， 等比数列{a n }，若a 3＝4，a 15＝9，则a 92＝a 3•a 15＝36， ∴a 9＝6， 故选：B ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若f（x）＝x（1+ax）2（a∈R），则“a=23“是“f（3）＝27“的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合函数表达式进行计算即可．解：当a=23时，f（x）＝x（1+23x）2，则f（3）＝3×（1+2）2＝3×9＝27，即充分性成立，若f（3）＝27，得f（3）＝3（1+3a）2＝27，得（3a+1）2＝9，即3a+1＝3或3a+1＝﹣3，得a=23或a＝﹣2，即必要性不成立，故“a=23“是“f（3）＝27“的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础．5．曲线x2＝4y在点（2，t）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝2x﹣3C．y＝﹣x+3D．y＝﹣2x+5【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的导数，求出t，再由直线方程的点斜式得答案．解：由x2＝4y，得y=14x2，则y′=12x，∴y′|x＝2＝1，又t=14×22=1，∴曲线x2＝4y在点（2，t）处的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣2），即y＝x﹣1．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．6．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（）A ．i ＞5B ．i ＞8C ．i ＞10D ．i ＞12【分析】由循环体的功能看出，这是一个求奇数数列前n 项和的程序框图，注意这是一个直到型循环结构．解：由题意知，该循环体的算法功能是求数列等差数列1，3，5，7，……前n 项和，并将符合题意的结果S 输出． 令n(1+2n−1)2=25，解得n ＝5．所以加到第5项，显然第五项是9．故判断框内填：i ＞10． 故选：C ．【点评】本题考查程序框图的算法功能识别问题，本题容易错选A ，注意辨别．属于中档题． 7．若双曲线x 24−y 2b =1的离心率e =√72，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．2√3B ．.2C ．.√3D ．.1【分析】求得双曲线的a ＝2，由离心率公式解得b ，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值． 解：双曲线x 24−y 2b =1的a ＝2，c =√4+b 2，由e =c a =√72，解得b =√3．渐近线方程为y ＝±√32x ，即为√3x ±2y ＝0，则双曲线的右焦点（√7，0）到渐近线的距离是√3⋅√7√3+4=√3．故选：C ．【点评】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查离心率公式的运用，以及运算能力，属于基础题．8．将函数f (x)=√3sin2x −cos2x 向左平移π6个单位，得到g （x ）的图象，则g （x ）满足（ ） A ．图象关于点（π12，0）对称，在区间(0，π4)上为增函数B ．函数最大值为2，图象关(π3，0)于点对称 C ．图象关于直线x =π6对称，在[π12，π3]上的最小值为1 D ．最小正周期为π，g （x ）＝1在[0，π4]有两个根【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：将函数f (x)=√3sin2x −cos2x =2sin （2x −π6）的图象向左平移π6个单位，得到g （x ）＝2sin （2x +π6）的图象， 故g （x ）的最大值为2，最小正周期为2π2=π．令x =π12，求得g （x ）=√3，故g （x ）的图象不关于点（π12，0）对称，故A 不正确；令x =π3，求得g （x ）＝1，故g （x ）的图象不关于点（π3，0）对称，故B 不正确； 令x =π6，求得g （x ）＝2，为最大值，故g （x ）的图象关于直线x =π6对称， 在[π12，π3]上，2x +π6∈[π3，5π6]，g （x ）的最小值为1，故C 正确；在[0，π4]上，2x +π6∈[π6，2π3]，由g （x ）＝1，可得sin （2x +π6）=12，此时，2x +π6=π6，∴x ＝0，故g （x ）＝1在[0，π4]上仅有一个实数根，故D 错误， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9．若函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（ ）A ．f(x)=e x +xxB ．f(x)=1−x 2xC ．f(x)=e x −x 2xD ．f(x)=x+1x 2【分析】根据题意，由排除法分析选项中函数的图象，排除A 、B 、D ，即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，f(x)=e x +x x =e xx+1，当x →﹣∞时，f （x ）→1，不符合题意； 对于B ，f （x ）=1−x 2x，有f （1）＝0，不符合题意；对于D ，f （x ）=x+1x 2，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x ）＜0，在区间（﹣1，0）上，f （x ）＞0，不符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查函数图象的分析，涉及函数特殊值的分析，属于基础题．10．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，2AB ＝3AA 1＝6，A 1P →=2PB 1，点T 在棱AA 1上，若TP ⊥平面PBC ．则TP →⋅B 1B →=（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】先根据已知得到TP ⊥PB ，且AP ＝2，BP ＝1；再利用向量的三角形法则对所求一步步转化即可求解．解：因为长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，2AB ＝3AA 1＝6，A 1P →=2PB 1，点T 在棱AA 1上，且TP ⊥平面PBC ． ∴TP ⊥PB ，且AP ＝2，BP ＝1；∴TP →⋅B 1B →=TP →•（B 1P →+PB →）=TP →•B 1P →+0＝（TA 1→+A 1P →）•B 1P →=TA 1→•B 1P →+A 1P →•B 1P →=A 1P →•B 1P →=2×1×cos180°＝﹣2； 故选：D ．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则，属于基础题． 11．已知a ＝log 1213，b ＝（1213）1314，c ＝log 1314，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【分析】作差即可得出log 1314−log 1213=log 1314⋅log 1312−1log 1312，而根据基本不等式即可得出log 1314•log 1312＜1，从而可得出a ＞c ＞1，并容易得出b ＜1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：log 1314−log 1213=log 1314−1log 1312=log 1314⋅log 1312−1log 1312， ∵log 1314⋅log 1312＜(log 1314+log 13122)2=(log 131682)2＜1，∴log 1314＜log 1213，且log 1314＞1，(1213)1314＜(1213)0=1，∴a ＞c ＞b ． 故选：D ．【点评】本题考查了作差比较式子大小的方法，基本不等式的应用，对数的运算性质和对数的换底公式，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题． 12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数：从第三项起，每一项都等于前面所有项之和（例如：1，3，4，8，16…）．则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据超级斐波那契数列的定义，用等比数列通向公式表达该数列第三项起的式子，在正整数的限制下，计算某一项为2020即可．解：由题意，根据超级斐波那契数列的定义及首项为2，设第二项为m ， 则该级斐波那契数列：第一项：2； 第二项：m ； 第三项：2+m ； 第四项：2（2+m ）； 第五项：22（2+m ）； ……第n 项：2n ﹣3（2+m ）．（n ≥3）由题，该级斐波那契数列的某一项为2020． n ＝2时，m ＝2020成立；n ≥3时，令2n ﹣3（2+m ）＝2020，∵m 为正整数，n 也为正整数， ∴符合题意的情况有以下三种： n ＝3，m ＝2018； n ＝4，m ＝1008； n ＝5，m ＝503．综上所述，首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数共有4种． 故选：B ．【点评】本题属于新定义类题目，考查等比数列的应用，需要学生分析题目中数字特征，在限制性条件下解题，是中档题，需要学生考虑全面细致． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为12．【分析】由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率．解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁， 因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为12．故答案为：12．【点评】本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结果出现的可能性相等求出对应事件的概率．14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），并且当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （123）＝ ﹣1【分析】由已知可得函数的周期 T ＝4，然后结合周期及已知函数解析式可求． 解：由定义在R 上的奇函数f （x ），即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 又因为f （1+x ）＝f （1﹣x ）＝﹣f （x ﹣1）， 所以f （x +2）＝﹣f （x ），所以f （x +4）＝f （x ），可知函数的周期T ＝4， 因为当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （123）＝f （31×4﹣1）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣1． 故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了利用函数的对称性及周期性求解函数值，解题的关键是把所求函数值转化到已知区间上．15．已知平面向量a →，b →的夹角为π3，a →=(√3，1)，且|a →−b →|=√3则|b →|= 1【分析】根据平面向量的数量积求夹角和模长即可． 解：由a →=（√3，1），得|a →|=√3+1=2，又平面向量a →，b →的夹角为π3，且|a →−b →|=√3， 所以(a →−b →)2=a →2−2a →•b →+b →2=4﹣2×2×|b →|×cos π3+|b →|2=3，化简得|b →|2−2|b →|+1＝0， 解得|b →|=1． 故答案为：1．【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角和模长的计算问题，是基础题． 16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．函数D （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄里克雷函数．则关于D （x ）有以下结论：①D （x ）的值域为[0，1]； ②∀x ∈R ，D （﹣x ）＝D （x ）； ③∀T ∈R ，D （x +T ）＝D （x ）；④D(1)+D(√2)+D(√3)+⋯+D(√2020)=45； 其中正确的结论是 ② （写出所有正确的结论的序号）【分析】①可由题意求出值域，②分类讨论，有理数，无理数，分别证明，③实数加减时，可是有理数，可是无理数，可举例知其错， ④从已给的去取值中找出所有的有理数个数，可求结果． 解：①由题意知值域为{0，1}，①错；②如果x 为有理数，﹣x 也为有理数，D （﹣x ）＝D （x ）＝1； 如果x 为无理数，﹣x 也为无理数，D （﹣x ）＝D （x ）＝0； 故②∀x ∈R ，D （﹣x ）＝D （x ），②对；③实数加减时，可能是有理数，可能是无理数，例如取x =√2，T =−√2，则D （x +T ）＝1≠D （x ）＝0，③错；④x ＝1，√2，√3，…，√2020，则x 只有取1，2，3，…，44=√1936，共44个有理数，即只有44个数使D （x ）＝1，④错； 故答案为②【点评】本题考查简易逻辑，以及实数的应用，属于难题． 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分）17．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源，传播途径和人群易感性．三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行．呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩．某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩 不戴口罩 青年人 50 10 中老年人2020（1）用样本估计总体，分别估计青年人、中老年人出行戴口罩的概率． （2）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2≥k ） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828【分析】（1）补充列联表，分别计算表中青年人、中老年人出行戴口罩的概率值； （2）由列联表中数据，计算K 2，对照临界值得出结论． 解：（1）补充列联表，如下；戴口罩 不戴口罩合计 青年人 50 10 60 中老年人 20 20 40 合计7030100用样本估计总体，估计青年人出行戴口罩的概率为P =5060=56； 估计中老年人出行戴口罩的概率为P ′=2040=12． （2）由列联表中数据，计算K 2=100×(50×20−20×10)270×30×60×40=80063≈12.698＞10.828，所以有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了用样本数字特征估计总体的问题，是基础题．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AB ＝2，PD ＝t （t ＞0）． （1）若t ＝2，证明：平面DMA ⊥平面PBC ；（2）若三棱锥C ﹣DBM 的体积为43，求三棱锥B ﹣PAC 的体积．【分析】（1）推导出PD ⊥CB ，CD ⊥CB ，从而BC ⊥平面PCD ，进而DM ⊥BC ，推导出DM ⊥PC ，从而DM ⊥平面PBC ，由此能证明平面DMA ⊥平面PBC ．（2）由PD ＝t （t ＞0），得M 到平面BDC 的距离d =t2，由三棱锥C ﹣DBM 的体积为43，解得t ＝4，从而三棱锥B ﹣PAC 的体积为：V B ﹣PAC ＝V P ﹣ABC =13S △ABC ⋅PD ，由此能求出结果．【解答】（1）证明：∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥CB ，CD ⊥CB ，∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵DM ⊂平面PCD ，∴DM ⊥BC ，∵点M 是棱PC 的中点，AB ＝2，PD ＝2，∴DM ⊥PC ， ∵BC ∩PC ＝C ，∴DM ⊥平面PBC ，∵DM ⊂平面DMA ，∴平面DMA ⊥平面PBC ．（2）解：∵PD ＝t （t ＞0），∴M 到平面BDC 的距离d =t2， ∵三棱锥C ﹣DBM 的体积为43，∴V C ﹣DBM ＝V M ﹣BDC =13S △BDC ⋅d =13×12×2×2×t 2=43，解得t ＝4，∴三棱锥B ﹣PAC 的体积为：V B ﹣PAC ＝V P ﹣ABC =13S △ABC ⋅PD =13×12×2×2×4=83．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．如图，在平面四边形ABCD 中，∠D =2π3，sin ∠BAC ＝cos ∠B =513，AB ＝13． （1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【分析】（1）由sin ∠BAC ＝cos ∠B =513，可得AC ⊥BC ，再由AB 的值，进而求出AC ； （2）四边形的面积分成2个三角形的面积，三角形ABC 为直角三角形，由（1）可得S△ABC面积，在三角形ADC 中由余弦定理及均值不等式可得AD •DC 的最大值，代入面积公式可得S △ADC 的最大值，进而求出S ABCD 的最大值． 解：（1）在三角形ABC 中，sin ∠BAC ＝cos ∠B =513，可得AC ⊥BC ， AB ＝13，所以BC ＝AB •cos B ＝13⋅513=3，AC ＝AB •sin B ＝13⋅1213=12， 所以AC ＝12．（2）S ABCD ＝S △ABC +S △ADC =12AC ⋅AB +12AD •CD •sin D =12⋅12⋅5+12⋅√32AD •CD ＝30+√34•AD •CD ，在三角形ADC 中，由余弦定理AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •DC •cos 2π3≥2AD •DC +DC ＝3AD•DC ，所以3AD •DC ≤AC 2＝122，所以AD •DC ≤48，所以S ABCD ≤30+√34•48＝30+12√3，所以四边形ABCD 面积的最大值为30+12√3．【点评】本题考查三角形中的几何运算，由两角中的一个角正弦值等于另一个角的余弦值可得是直角三角形，及面积公式和均值不等式的应用，属于中档题． 20．设f （x ）＝（a ﹣4）log a x −3a−1x +3a−1（a ＞0且a ≠1）． （1）证明：当a ＝4时，lnx +f （x ）≤0；（2）当x ≥1时f （x ）≤0，求整数a 的最大值．（参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7≈1.95）【分析】（1）将a ＝4代入，令g （x ）＝lnx +f （x ）＝lnx ﹣x +1（x ＞0），利用导数求函数g （x ）的最大值小于等于0即可得证； （2）求导得f′(x)=a−4lna⋅x −3a−1，然后分0＜a ＜1，1＜a ≤4及a ＞4三种情况讨论，利用导数结合零点存在性定理即可得出结论．解：（1）证明：当a ＝4时，令g （x ）＝lnx +f （x ）＝lnx ﹣x +1（x ＞0），则g′(x)=1x −1=1−xx， ∴当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单增，当x ＞1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单减， ∴g （x ）≤g （1）＝0， ∴lnx +f （x ）≤0； （2）f′(x)=a−4lna⋅x −3a−1， 当0＜a ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）在[1，+∞）单调递增，则f （x ）≥f （1）＝0，不合题意；当1＜a ≤4时，f ′（x ）＜0，f （x ）在[1，+∞）单调递减，则f （x ）≤f （1）＝0，满足题意；当a ＞4时，令f ′（x ）＝0，解得x =(a−4)(a−1)3lna ，记x 0=(a−4)(a−1)3lna，∴f （x ）在（0，x 0）单调递增，在（x 0，+∞）单调递减， 又f （1）＝0，要使f （x ）≤0在[1，+∞）上恒成立，需使x 0≤1，即(a−4)(a−1)3lna≤1，即3lna ﹣a 2+5a ﹣4≥0，令h （a ）＝3lna ﹣a 2+5a ﹣4（a ＞4），则h′(a)=3a−2a +5＜0， ∴h （a ）在（4，+∞）上单调递减，又h （5）＝3ln 5﹣4≈3×1.61﹣4＞0，h （6）＝3ln 6﹣10＜3×3﹣10＝﹣1＜0， ∴由零点存在性定理可知，存在a 0∈（5，6），使得h （a 0）＝0，∴4＜a ≤a 0，综上，1＜a ≤a 0，且a 0∈（5，6），故当x ≥1时，使得f （x ）≤0恒成立的整数a 的最大值为5．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及分类讨论思想，考查逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．21．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点和右焦点，椭圆C 的离心率为√55，A，B 是椭圆C 上两点，点M 满足BM →=12BA →． （1）求C 的方程；（2）若点M 在圆x 2+y 2＝1上，点O 为坐标原点，求OA →⋅OB →的取值范围． 【分析】（1）依题意可得，c =1，a =√5，b =2，由此可得椭圆方程； （2）易知M 为AB 的中点，当AB 与x 轴垂直时，易求得OA →⋅OB →=−115，当AB 与x 轴不垂直时，设出直线方程y ＝kx +m ，并与椭圆方程联立，由韦达定理及点M 在圆上，可得m 2=(4+5k 2)225k 2+16，再利用平面向量数量积公式，化简后用变量k 表示出OA →⋅OB →，通过换元，利用双勾函数的性质可得OA →⋅OB →的取值范围，综合即可得解． 解：（1）由题意可知，c =1，c a =√55，则a =√5，b 2=a 2−c 2=4，∴椭圆的方程为x 25+y 24=1；（2）由BM →=12BA →可知，M 为AB 的中点，又点M 在圆x 2+y 2＝1上，①当AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝±1，将其代入椭圆方程x 25+y 24=1中，得y =±4√55，∴A(±1，4√55)，B(±1，−4√55)，∴OA →⋅OB →=1−165=−115； ②当AB 与x 轴不垂直时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +m ，将其代入椭圆方程x 25+y 24=1中，消y 并整理得，（4+5k 2）x 2+10kmx +5m 2﹣20＝0，则x 1+x 2=−10km 4+5k2，x 1x 2=5m 2−204+5k2，设M（x0，y0），则x0=x1+x22=−5km4+5k2，y0=y1+y22=k(x1+x2)+2m2=4m4+5k2，∵M在圆x2+y2＝1上，∴x02+y02=1，即(−5km4+5k2)2+(4m4+5k2)2=1，∴m2=(4+5k 2)225k2+16，∴OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)⋅5m 2−204+5k2−km⋅10km4+5k2+m2=9m2−20k2−204+5k2=9×(4+5k 2)225k2+16−20k2−204+5k2，设t＝4+5k2，5k2＝t﹣4（t≥4），则x1x2+y1y2=9t5t−4−4t−4=95−4t−4t−4=95−4t+(5−4t)−9，设z=5−4t∈[4，5)，则x1x2+y1y2=9z+z−9，由双勾函数的性质可知，h(z)=9z+z−9在[4，5）上为增函数，∴−114≤h(z)＜−115，即x1x2+y1y2∈[−114，−115)．综上，OA→⋅OB→的取值范围为[−114，−115]．【点评】本题涉及了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积，双勾函数的性质等知识点，考查换元思想及函数思想的运用，锻炼了学生的运算化简能力，对计算能力要求较高，属于较难题目．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=ty=t（t为参数），直线l与曲线C：（x﹣1）2+y2＝1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为(2√2，3π4)，求点P到线段AB中点M的距离．【分析】（1）直接利用转换关系的应用求出结果．（2）利用一元二次方程的解法和两点间的距离公式的应用求出结果．解：（1）直线l 的参数方程为{x =t y =t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：x ﹣y ＝0．直线l 与曲线C ：（x ﹣1）2+y 2＝1交于A 、B 两点．所以：圆心（1，0）到直线x ﹣y ＝0的距离d =1√2=√22． 则：|AB |＝2√1−(22)2=√2． （2）把直线x ﹣y ＝0代入曲线C ：（x ﹣1）2+y 2＝1的方程得到2x 2﹣2x ＝0，解得x ＝0或1，所以交点的坐标为A （0，0），B （1，1），所以M （12，12）， P 的极坐标为(2√2，3π4)，转换为直角坐标为（﹣2，2）， 所以|PM |=√(−2−12)2+(2−12)2=√342． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设f （x ）＝|x |﹣2|x ﹣a |（a ＞0）．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥﹣1的解集；（2）若f （x ）≤1，求a 的取值范围．【分析】（1）将a ＝1代入，利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论各段上f （x ）≥﹣1的解，最后综合讨论结果，可得不等式f （x ）≥﹣1的解集．（2）利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，结合一次函数的单调性可分析出函数的f （x ）的单调性，进而求出函数f （x ）的最大值，得到实数a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝|x |﹣2|x ﹣1|≥﹣1，∴{x −2≥−1x ≤0或{3x −2≥−10＜x ＜1或{−x +2≥−1x ≥1， 分别解得x ∈∅或13≤x ＜1或1≤x ≤3， 综上所述不等式的解集为[13，3]．（2）由f（x）={x−2a，x≤03x−2a≥1，0＜x＜a −x+2a，x≥a，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，∴当x＝a时，f（x）取最大值a，若f（x）≤1，则0＜a≤1，故a的取值范围为（0，1]．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值不等式，其中利用零点分段法，将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论是解答此类问题的通法.。
四川省2020届高三数学下学期第二次诊断考试试题文
高三数学放学期第二次诊疗考试一试题文第 I 卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的1．复数 z 知足 z(l+i)-2(i 为虚数单位 ) ，则 z 的虚部为(A)i(B) -i (C)-l (D)l2．设全集 U=R．会合 M={x|x<l} ， N={x|x>2} ，则 (C∪ M)∩ N=(A){x|x>2} (B){x|x ≥l} (C){x|l<x<2} (D){x|x ≥ 2)3．某中学有高中生1500 人，初中生1000 人为认识该校学生自主锻炼的时间，采纳分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中高中生恰有30 人，则 n 值为(A)20 (B) 50 (C)40 (D) 604．曲线 y=x3-x 在点 (1 ， 0) 处的切线方程为(A)2x-y=0 (B)2x+y-2=0 (C)2x+y+2=0 (D)2x-y-2=05．已知锐角α知足2sin2 α= l-cos2 α，则 tan α =1(B)l (C)2 (D)4(A)26．函数f ( x) cos x ln( x 2 1 x)在 [1 ， 1] 的图象大概为7．履行以下图的程序框图，则输出 S 的值为(A)16 (B)48 (C)96 (D)1288．已知函数f ( x) sin( x)(0 ), f ( ) 0 则函数f(x) 的图象的对称轴方程为2 4(A) x kx , k Z (B) x kx , k Z4 4(C) x 1 k , k Z (D) x 1 k ,k Z2 2 419．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，点 P ， Q 分别为 AB ， AD 的中点，过点D 作平面α使 B 1P ∥平面α， A 1Q ∥平面α若直线 B 1D ∩平面α =M ，则MD1的值为MB 1(A)1 1 1 2(B)(C)2(D)43310．如图， 双曲线 C:x 2 y 2 =l(a>0 ，b>0) 的左，右焦点分别是 1（-c ，0），a 2b 2 FF 2（c ， 0) ，直线 ybc与双曲线 C 的两条渐近线分别订交于A ，B 两点，若2aBF 1F 2，则双曲线 C 的离心率为3(A)2 (B)4 2(C) (D)2 33 3x y 1 011 已知 EF 为圆 (x-l)2+(y+1) 2=l 的一条直径， 点 M(x ，y) 的坐标知足不等式组2x y 3 0 ，则 ME MF y 1的取值范围为(A)[9,13] (B)[4,13] (C)[4,12](D)[7,12]2212．已知函数 f (x)ln x-x，若存在 x l ∈ (0,+ ∞ ) ，x 2∈ R ，使得 f(x 1)=g(x 2)=k(k<0)x 2 2 ek ，g(x)=xe成立，则 ()xx 1的最大值为(A)e 2(B)e (C)4(D)1e 2e 2第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．13．已知函数 f(l)=1, x 0x 则 f(f(x-1))=．2x , x 014．在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 B= ，a=2， b= 3 ，则△ ABC 的面积为．315. 设直线 l ： y=x-l 与抛物线 y2=2px （ p>0）订交于 A ， B 两点，若弦 AB 的中点的横坐标为 2，则 p 的值为 16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）全部极点都在球 O 的表面上，若球 O 的表面积为 28π，则该三棱柱的侧面积为____．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分 12 分）2已知 {a n} 是递加的等比数列，a1=l ，且 2a2，3a3， a4成等差数列．2(I) 求数列 {a n} 的通项公式；( Ⅱ ) 设b n1， n∈ N*, 求数列 {bn} 的前 n 项和 S n. log 2 a n 1 log 2 a n 218（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中， O是边长为4 的正方形 ABCD的中心， PO⊥平面 ABCD， M， E 分别为AB， BC的中点．(I)求证：平面 PAC⊥平面 PBD；( Ⅱ ) 若 PE=3，求三棱锥B-PEM的体积．19.( 本小题满分 12 分）某动漫影视制作企业长久坚持文化自信，不停发掘中华优异传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优异动漫影视作品，获取市场和广大观众的一致好评，同时也为企业博得丰厚的收益，该企业2013 年至2019 年的年收益 y 对于年份代号 x 的统计数据以下表（已知该企业的年收益与年份代号线性有关）：(I)求 y 对于 x 的线性回归方程，并展望该企业2020 年 ( 年份代号记为8) 的年收益；( Ⅱ ) 当统计表中某年年收益的实质值大于由(I) 中线性回归方程计算出该年收益的预计值时，称该年为A 级收益年，不然称为 B级收益年将 (I) 中展望的该企业 2020 年的年收益视作该年收益的实质值，现从 2015 年至2020 年这 6 年中随机抽取 2 年，求恰有 1 年为 A 级收益年的概率．参照公式：20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 E: x2 y 2（ a>b>0）的左，右焦点分别为F1(-l ，0) ，F2 (1 ，0) ，点 P(1 ，2)在椭圆 E上．a 2 b 2 1 2(I)求椭圆 E 的标准方程；( Ⅱ ) 设直线 l ：x=my+1(m∈R)与椭圆 E 订交于 A，B 两点，与圆 x2+y2=a2订交于 C，D 两点，当|AB| ?|CD| 2的值为 8 2时，求直线 x 的方程．321.（本小题满分 12 分）已知函数f(x)=x2-mx-mlnx，此中m>0．(I)若 m=l，求函数， (l) 的极值；( Ⅱ ) 设 g(x)=f(x)+mx．若g(x)>1在(1，+∞)上恒成立，务实数m的取值范围．x请考生在第 22， 23 题中任选择一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x m2 O为y（ m为参数）以坐标原点2m极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ sin θ - ρcos θ +1=0.(I)求直线l 的直角坐标方程与曲线 C 的一般方程；1 1的值( Ⅱ ) 已知点 P(2， 1) ，设直线 l 与曲线 C 订交于 M， N两点，求|PN||PM |23.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|．(I)解不等式 f(x) ≥6；( Ⅱ) 设 g(x)=-x 2+2ax，此中 a 为常数，若方程 f(x)=g(x) 在 (0 ， +∞ ) 上恰有两个不相等的实数根，务实数a 的取值范围，4。
四川省凉山州2020届高中毕业班第二次诊断性检测含数学(文科)含Word版含解析
凉山州2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】则故选2. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴故选：D3. 已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】∵命题：，∴，故选：C4. 已知命题：对，总有；是且的必要不充分条件条件，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题：对，总有是假命题，当时不成立；由，，反之不成立，例如当，时，，，命题为真命题；故选，是真命题5. 设函数（）的图像是曲线，则下列说法中正确的是（）A. 点是曲线的一个对称中心B. 直线是曲线的一条对称轴C. 曲线的图像可以由的图像向左平移个单位得到D. 曲线的图像可以由的图像向左平移个单位得到【答案】D【解析】对于A，，错误；对于B，，错误；对于C，的图像向左平移个单位得到，错误；对于D，的图像向左平移个单位得到，正确。
故选：D6. 若实数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图：由图可知，当取得最大值为故选7. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】执行程序，,符合判断，返回，，符合判断，返回，，符合判断，返回，，符合判断，返回，，符合判断，返回，，符合判断，返回，，符合判断，返回，，符合判断，返回，，不符合判断，输出故选：D8. 在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图：不妨设两个数为故如图所示，其概率为故选9. 已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥，该几何体的体积为故选：B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10. 在中，，，为角，，所对的边，若，则角的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】由题意得，在中，根据余弦定理，有意义，，是的内角，或故选11. 已知函数（），若函数在上有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数（）在上有两个零点则是函数的一个零点，故方程在上有解再根据当时，，可得故选点睛：本题主要考查的是分段函数的零点问题与方程根的关系的知识点，由分段函数有两个零点，分别求出在其定义域内的解，符合条件即解出关于参量的不等式，本题较为简单，属于基础题。