“割补法”在物理解题中的应用——一道中考题引起的思考
的压强如何计算， 若选用 一告 ， 由于给出的条件非常少，
Ｊ
受力面积 、 孔的重力和圆柱体 的重力都不易表示． 由于不 是
柱状 体 ， 又 不 符 合使 用 公 式 ｐ ＝ｐ ｇ ｈ的条 件 ． 常 规解 法 ： 首先作侧视图 ， 如 图 ４所 示 ， 图 中 虚 线 部 分 为切割孔． 由于 本 题 只 需 比 较 挖 孑 Ｌ 前、 后 物 体 对 水 平 地 面 压强的大小关系 ， 而 实 心 固体 对 水 平 地 面 的压 强 的 大 小 为 Ｐ —ｐ ｇ ｈ ， 只取 决 于 材 料 的 密 度 与 高 度 ， 与截 面积 无 关 ， 因
普遍反应看不明 白， 束手无策．
心部分 ， 空 白梯 形 部 分 表 示 孔
原题 ． 水平 地 面 上 竖直 放 有 一 实 心 铜 圆柱 体 ， 它 对水 平 地 面 的压 强 为 ， 在 它底 部 中 央开 孔 后 ， 它 对 水 平 地 面 的 压 强为 ｐ ． 孔 的形 状 和 大 小 如 图 １所 示 ， 其中 Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ 为 底 部 孔 口． 孔 的形 状 和 大 小 与 按 图 ２所 示 对 称 切 割 正 方 体 形 成 的 几 何体 的形 状 和 大 小 一 样 （ 具 体 方 法 是 沿 四边 形 Ａ Ｂ Ｆ Ｅ 所 在 平 面 和 四 边 形 ＤＣ Ｇ Ｈ 所 在 平 面 将 正 方 体 对 称 截 去 两
Ｃ
口
的 体 积 为 Ｖ 一 １ ａ ＋ ａ ） Ｘ ａ × ｎ 一 ÷ ｎ ３ ， 长 方 体 总 体 积
一
２ ａ 。 ， 则 阴影 部 分 的 体 积 为 Ｖｚ —Ｖ— Ｖ 一２ ａ 。 一 ｏ ｎ 。 一
寻 ｎ ３ ．
Ｅ Ｈ
Ｅ Ｈ
图 １
（ Ａ）Ｐ １ ＜Ｐ ２ ．
绪； （ ２ ） 作 图难 ， 初 中 学 生 还 没 有 学 习 立 体 几 何 以 及 三 视 图
的 画法 ， 作 出立体 图 （ 如 图 ３所 示 ） 已属 不 易 ， 再 要 由立 体 图 画 出侧 视 图 ， 更是 难 上 加 难 ； （ ３ ）解 题 难 ， 挖 去孔 后 的 圆柱 体
Ｅ Ｈ
Ｄ
块） ． 已知 正 方 体 中线 段 Ａ Ｂ的 长 度为 圆柱体 高 的一 半 ， ＡＢ ＝
Ｅ Ｆ ＝２ Ｅ Ｈ． 关 于 与 Ｐ 大小 的判 断 ， 正确 的是
Ｃ
图 ４
图 ５
设孔的高为 ｎ ， 则长方体高 为 ２ ａ ， 厚为 ｎ ， Ｅ Ｈ＝ ， 孔
①
此， 将 多余 的实 心 部 分 削 去 ， 比较 剩 余 部 分 对 地 面 的压 强 与 原 先 压 强 的大 小 关 系 即 可 ． 削去 了边 缘部 分 ， 剩 余 部 分
为一个长方体 ， 它 的 侧 视 图 如 图 ５所 示 ， 图 中 阴影 表 示 实
图 ６ 图７
第３ ４ 卷第 ２ 期
的形 状 较 为 复 杂 ， 学 生 易 产 生 畏 难 情
图 ３
而 实 心 圆柱 体 对 地 面 的 压 强 为 ｐ 一ｐ ｇ ｈ 一２ ｐ ｇ ａ ， 可 得
这种解法 比较 复杂 ， 运 算 能力 要 求较 高 ， 若用“ 割 补
法” 来解决则便当得多．
ห้องสมุดไป่ตู้
割补 法 ： 作辅助线 Ｅ Ｐ 和 ＱＨ 平 行 于 两 侧 边 ， 作Ｐ Ｍ ／ ／ ＡＥ， 连结 Ｑ Ｍ， 如图 ６ 所 示． 由 ＡＤ＝２ ＥＨ ， 可得 Ｑ Ｍ ＃ＤＨ ，
２ ０ １ ３年
物 理
教 师
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ．２ （ ２ ０１ ３）
Ｐ Ｈ Ｙ ＳＩ ＣＳ ＴＥＡ Ｃ Ｈ ＥＲ
由本 题 的 两 种 方 法 不 难 看 出 ， “ 割补法 ” 在 解决某 些 问
题时 ， 具有快捷 、 简明的优点． “ 割补 法” 是 几 何 学 的 重 要 思
想方法 ， 这种方法 可 以迁移 到解决 物理 问题 中， 通 过“ 割” 与“ 补” 处理 ， 使 运算简单 ， 大大提高 了解题效 率． “ 割 补法 ” 在 解 决 实 际 问题 时 ， 有 ３种 操 作 方 法 ．
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ２
（ ２ ０１ ３）
物 理
教 师
第３ ４卷 第 ２期
２ ０ １ ３年
Ｐ Ｈ Ｙ ＳＩ Ｃ Ｓ Ｔ Ｅ Ａ Ｃ Ｈ ＥＲ
“ 割补 法＂ 在 物 理解 题 中的应 用
一
道 中考 题 引起 的 思考
洪 丽
（ 江苏省苏州工业园区第十中学 ， 江 苏 苏 州 ２ １ ５ ０ ２ １ ） ２ ０ １ ２年 的 苏 州 物 理 中考 试 题 选 择 题 的最 后 一 题 ， 学 生
（ Ｃ）声１ ＞ ２ ．
图２
（ Ｂ ）Ｐ ｌ 一 ．
它对地 面的压力为 Ｆ ＝Ｇ ￣ｍ ｇ ＝ ｐ ｇ 一÷ ｐ ｇ ａ 。 ， 受力面
５
（ Ｄ ）以上 三种 情况 都有 可能
积 ｓ 号 １ 删 ２
ｐｌ ＜ 户ｚ ．
一 Ｆ 一 一 号 ．
分析 ： 本 题 作 为 中 考 试 卷 选 择 题 型 的 压轴 题 ， 区分度很好 ， 具 有 很 强 的 选 拔 功 能． 本题难点有 ： （ １ ）读 题 难 ， 题 目中用 文字 叙 述 了 圆柱 体 中挖 出 一 个 孔， 没 有 给 出孔 在 圆 柱 体 中 的 全 图 ， 对 学 生 的 空 间想 象 能 力要 求 很 高 ， 且 小 孔
应用割补法对一道几何题的六种解法
应用割补法对一道几何题的六种解法
孙丹
【期刊名称】《课程教育研究：外语学法教法研究》
【年(卷),期】2015(000)030
【摘要】割补法是初中几何证明的一个重点和难点，其难点在于如何应用众多的定义、定理、推理等寻找证明思路，从-而提高学生分析问题，严密思维推理，语言组织表达能力。
本文应用割补法，提供了对一道几何题的多种解法，以培养学生思维多样性的示范作用。
【总页数】1页(P164-164)
【作者】孙丹
【作者单位】南京市人民中学,江苏南京210000
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.呈现解法全貌提升数学素养——一道立体几何题的5种解法与4个变式 [J], 陆峰
2.一道平面几何题的六种证法 [J], 和玉梅
3.应用反证法对一道几何题的多种解法 [J], 孙丹;
4.题解多法,素养为本——从一道几何题的八种解法谈起 [J], 潘立方
5.设点与设线——一道解析几何题的解法探究 [J], 胡骏一
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
割补法
割补法
1、如图，分别取正方形四边中点、三等分点、四等分点，依次如三图连接，得到正方形。
（1）分别求出各个图形中正方形与正方形的面积比；
（2）取正方形四边的等分点，也按照如图方式连线，得到正方形。
猜想：正方形与正方形的面积比。
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠ABC与∠ADC互补.
⑴求∠C的度数；
⑵若BC>CD且AB＝AD，请在图上画出一条线段，
把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能
够重新拼成一个正方形，并说明理由；
＝49，求AB的值.
⑶若CD＝6,BC＝8,S
四边形ABCD
如图，是的网格矩形，通过剪切重新拼合成正方形的示意图，剪切线的两个端点必须是网格矩形的格点。
认真观察图形，思考回答下列问题：
（1）将上面的网格矩形按照上述要求剪拼成正方形，画出示意图并计算出正方形的边长和面积；
（2）请问的网格矩形能否按照同样要求剪拼成正方形，若不能回答即可，若能，画出剪拼示意图并计算出正方形的边长和面积；
（3）思考总结：的网格矩形，为哪些正整数时，能按照题目要求剪拼成正方形？。
割补法解题三例
割补法解题三例
李东升; 林玉娥
【期刊名称】《《物理教学探讨》》
【年(卷),期】2003(021)019
【摘要】"割补法"是解竞赛试题时常用的方法之一,本文拟就如何"割"、如何"补"作一些举例分析. 例1已知均匀带电半圆周圆心的电场强度大小为2kλ/r,其中常量λ为电荷的线密度(即单位长度线段中的电量),r为圆的半径,今有一个四分之三均匀带电圆周,电荷线密度为常量λ,圆半径也为r,则圆心处电场强度的大小为_____.【总页数】1页(P26)
【作者】李东升; 林玉娥
【作者单位】河北省承德县一中 067400
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.割补法在数学解题中的妙用 [J], 宋培武;
2.割补法、构造法、特值法应用综述r——高中数学解题基本方法系列讲座(9) [J], 高慧明
3.割补法在高中立体几何解题中的应用 [J], 方清
4.浅谈割补法在数学解题中的应用 [J], 陈兴玉
5.割补法在解题中的应用 [J], 吴本环
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
割补法在立体几何解题中的应用
例
.
2
〔19 93 年 理 工 农 医 类 高 考 题 ( 26 )〕
IA BI C I 一 A B C 是 直 三梭 柱 , 过 点 A , 、 B 、 C l 的平 面 和 平面 A B C 的 交 线记 为 L 。 ( 1) 判定直 线 IA C I 和 L 的
BC 位 里 关 系 , 并加 以 证 明 ; (2 ) 若 A A : = 1 , A B ~ 4 ,
. 中学 理科 教 学
割补法在立体几何解题中的应用
白银 公 司一 中 赵 保 铎
几何 体彼此之 间有着密切 的联 系 , 解题 时只要
细 心 观 察 , 广泛 联 想 , 不 难发 现 其 转 化 契 机 . 所 谓 割
补 法 , 即 补 体法和 分割 法 的合 称 , 就 是 实 现 几 何 体 之
~ 3 , 匕 A B C ~ 90 。 , 求 顶 点 A l 到 直线 L 的距 离 。
分析 : 解 此题 , 作出 平
面 A I EC ; 和 平 面 A B C 的 交线 L 是 关键 . 如 图 (3 ) , 补作 一 个 直 三 棱 柱 人B r 卜一 A I B , D , , 使 其 成 为 一 个 直 四 棱 柱 A C B I) 一
粤 公 垂 线 E D 一 h , 求 证 三 棱 锥 的 体 积 v 一 LZ h 。
一 一 ~ 一一
一 一 -
~ ` 一
~ 一, J ”
’、
’
6 一 一’
分 析 : 与现 行立 几 教
材 分割三 棱 柱 的情 况 相
反 , 也可 以 把 一个三 棱 锥 补成一 个体积 是其三倍 的 三棱柱 。 如图 ( 4 ) ,连 B E 、
专项01 固体压强的切割、叠加问题 学案 2025年中考物理一轮复习考点探究(河北)(含答案)
2024 专项一 固体压强的切割、叠加问题 类型一 叠加类
(1)根据题干条件,判断叠加后物体对地面压力。 (2)找出物体对地面压力的受力面积。 (3)应用相应的公式,进行比较、计算。 ❶如图所示,有两个正方体实心物体A、B叠放在水平桌面上,物体A重5 N,B重40 N。已知物体A对B的压强与此时物体B对桌面的压强相等,物体A对B的压力、物体B对桌面的压力分别为FA和FB。物体A和物体B的密度分别是ρA和ρB,下列说法中( )
①FA∶FB=1∶9 ②FA∶FB=1∶8 ③ρA∶ρB=27∶8 ④ρA∶ρB=9∶8
A.只有①③正确 B.只有①④正确 C.只有②③正确 D.只有②④正确 ❷有A、B两个均匀实心圆柱体,A的高为5 cm、底面积为20 cm2,B的高为8 cm、底面积为
50 cm2。若将它们按图甲、乙的方式放在水平桌面上,A对桌面的压强为p1=1.0×103 Pa,B对桌面的压强为p2;若按图丙的方式放置时,B对A的压强为p3=6.0×103 Pa,A对桌面的压强变为p4。下
列判断正确的是(g取10 N/kg) ( )
A.A的重力为20 N B.B的密度为3.0 g/cm3 C.p3∶p2=2∶5 D.p4=1.6×104 Pa 类型二 切割类 考向1 单个直柱体的不同方式切割
(1)横切(水平切割):F变小,S不变,p变小,切割后剩余部分仍为直柱体,剩余部分对水平面的压强仍可用p=ρgh计算。 (2)竖直切割:F变小,S变小,p不变,切割后剩余部分仍为直柱体,剩余部分对水平面的压强仍可用p=ρgh计算。 2024 (3)沿对角线切割:F变小,S不变,p变小,切割后剩余部分不是直柱体,剩余部分对水平面的压强只能用p=𝐹𝑆计算,不可用p=ρgh计算。 ❸一个质量分布均匀的立方体,静止在水平地面上。沿图中虚线将其分割成体积相等的a、b两部分,并取走a部分。剩下的b部分(未倾倒)对水平地面产生的压强最大的是 ( )
利用割补法解几何题
利用割补法巧解几何题割补法在初中数学竞赛中经常用到，实际上它也广泛应用于一般几何证明题中。
下面我就从四个方面来说明割补法在几何证明中的重要性：一．利用垂直与特殊角割补成特殊三角形例1：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=2，BC=6 H求四边形ABCD面积解：由题意知：∵∠C=45°，利用∠B=90° D∠C=45°，延长BA、CD交于H，将图形割补成特殊△HBC（等腰Rt三角形） A易求：HD=AD=2 HB=BC=6 ，∴S四边形ABCD=1/2·6·6—1/2·2·2=16B C例2：四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB H=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD面积为5√3， D求AD长 C解：由题意知：∠A=30°，∠B=60°利用已知延长AD、BC交于H，将图形割补成特殊三角形。
B ∵∠A=30°，AB=8∴BH=4，AH=4√3，CH=3 A∴S△ABH=8√3，S△HDC=3√3=1/2HC·DH∴DH=2√3 AD=2√3D思考题：1．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=1， C ∠A=60°，∠B=∠D=90°求四边形ABCD面积A B2．四边形ABCD中，∠ABC =135°， D∠BCD=120°，AB=2√6 ，BC=5√3 ，CD=6求AD长 AC B二．利用角平分线与垂直割补全等例1：△ABC是等腰Rt三角形，∠A=90°，AB=AC， FBD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E求证：BD=2CE解：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE， A∴延长BA、CE交于F，将图形割补成 E 轴对称图形△BCF即：△FBE≌△CBE， D易证：△ABD≌△ACF∴BD=CF=2CE B C思考题：1．已知：AB=3AC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AD交于BC于O C D求证：OA=OD OA B2．已知：锐角△ABC中，∠B=2∠C A∠B的平分线与AD垂直求证：AC=2BDDB C 三．利用互补割补全等例1：五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED C D =90°AB=CD=AE=BC+DE=1求五边形ABCDE面积 B解：延长CB到F，使BF=DE连AD、AF、AC E 易证：△AED≌△ABF， F△ADC≌△AFC，∴五边形ABCDE面积为△ACF面积的2倍，即等于1 A例2：在四边形ABCD中，已知：AB= A E AD,∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且 AH=1求四边形ABCD面积 D 解：过A作AE⊥AH交CD延长线于E易证：△ABH≌△ADE∴AH=AE=1∴四边形ABCD面积为正方形AHCE面积等于1 B H C思考题：1．五边形ABCDE中，AB=AE， ABC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，连AD E求证：AD平分∠CDEDBC2：△ABC为边长是1的正三角形，△BDC是顶角 A∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点，作一个60°两边分别交AB于M、交AC于N，连MN。
立体几何巧思妙解之割补法
立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。
一 、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。
如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。
若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。
巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。
故选C 。
二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（ ）。
4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。
若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。
巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。
PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。
2021届一轮复习 物理解题方法导练 割补法(含解析)
【解析】
【分析】
【详解】
质量为M的球体对质点m的万有引力
F1＝ ＝
挖去的球体的质量
M′＝ ＝
质量为M′的球体对质点m的万有引力
F2＝ ＝
则剩余部分对质点m的万有引力，
F＝F1－F2＝ － ＝
故A正确，BCD错误。
故选A。
12．B
【解析】
试题分析：采用割补法，先将空腔填满；填入的球的球心与物体重合，填入球上各个部分对物体m的引力的矢量和为零；均匀球壳对内部的质点的万有引力的合力为零，根据万有引力定律，有： 解得： ，故选B．
故选C。
5．B
【解析】
【详解】
根据有效值的定义可得 解得 选项B正确.
6．B
【解析】
【详解】
根据有效值的定义：取一个周期时间，将交流与直流分别通过相同的电阻，若产生的热量相同，直流电流的电流值，即为此交流的有效值。设交流电电流的有效值为I，周期为T，电阻为R，则
解得交流电流的有效值
A
故B正确；ACD错误。
【详解】
设原缺口环所带电荷的线密度为σ，则有
补上的金属小段带电量
它在O处的场强为
代入数据得
方向竖直向下
所以 方向竖直向上。
18． ，方向指向小孔.
【解析】
【详解】
将带电球壳分割成无数小块（如该题中半径为r的小圆），当r<<R时，每一小块均可看成一个点电荷.根据场强叠加原理，整个带电球壳所带电荷量Q在球心处产生的电场其合场强为零.
19．已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力.如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为 ，质量为 ，今自其内挖出一个半径为 的小球，形成球形空腔的球心为 ，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为 ，图中 、 、 和两球切点四点共线.求此时小球和大球剩余部分之间的引力.（球体积公式： ）
非常好的课件利用割补法解立体几何中的问题
在△AC1B2中，有余弦定理得：
B2
cos AC1B2
AC12 C1B22 AB22 2 • AC1 • C1B2
48 65
0
∴ AC1和B1C所成的角为∠AC1B2的补角.
其值为：arccos
48 65
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，
求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角.
2. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12
求：CB1与 AC1所成的角的大小
A C
A1 C1
A2 C2
B
如图,补一个相同的直三棱柱,
连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2
∴ ∠AC1B2（或其补角）就是
AC1和 CB1所成的角。 B1 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
S 底面积： ADN
1 2
•a
•
a 2
a2 4
高：为点 M 到平面 ADN的距离 h=a
∴VA－DMN
1 3
•
a2 4
•
a
1 12
a3
V 2V ∴ 四棱锥=
A－ DMN=
1 6
a
3
4、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10， BC=AD=12，
求：四面体 ABCD 的体积.
A
D E
B
复杂的几何体都是由简单几何体组成，在求体积
01
时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对
几何体的观察角度，以得到最佳求积法.
在立体几何中利用补形的方法可以既简单又巧妙
02
地解决很多问题.
中学数学解题思想方法--割补法(1)
中学数学解题思想方法--割补法（1）1内容概述普通高中《数学课程标准》中指出：学生能从空间几何体的整体观察入手，认识空间图形，了解一些简单几何体体积的计算方法.割补法就是在求简单几何体的体积中常用的解题方法.立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简单的、规则的、易于认识的几何体，从而解决问题的一种解题方法.通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系，提高空间想象能力.割补法的运用蕴含了一种构造的思想方法，反映了对立、统一的辩证思想.本专题将从“补形”、“分割”和 “割补的灵活应用”三个方面进行阐述.本讲着重从前两个方面进行讲解.2例题示范例1 已知如图1-1所示，三棱锥ABC P -的每相对的两条棱相等，棱长分别为13105、、，求三棱锥ABC P -的体积.解：设补成的长方体的三度分别为c b a ,,，则abc V =长方体，补出的四个三棱锥的体积相等，都等于abc 61，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+222222222)13()10()5(a c c b b a ，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩23213131614=⨯⨯⨯==⨯-=∴-abc abc abc V ABC P .评析：一般地如果按常规求法需要求出三棱锥的底面积和对应的高，而本例中高很难求出，因此需要我们重新审视条件寻找其他解决问题的途径.由已知三组相对的棱相等这一特点，联想长方体对面不平行的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥，可以把三棱锥ABC P -补成长方体，如图1-2所示，长方体可以看成由三棱锥ABC P -和四个相同体积的易于计算的三棱锥组成.本题所采取的解题方法为补形法.难点在于如何利用“对棱相等”这一特点，不拘泥于在所给几何体求体积，联想长方体大胆构造，通过将对棱相等的三棱锥补形成长方体，匠心独具，极大地降低了计算量.类似地，可以将正四面体补形成正方体，将三条棱互相垂直的三棱锥补形成长方体或正方体求三棱锥的体积.例2 如图2-1,在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆,均为正三角形，AB EF //,2=EF ,则该多面体的体积为______.解：将多面体ABCDEF ,分割成如图2-2所示的直三棱柱BCH ADG -和三棱锥ADG E -和三棱锥BCH F -，因此BCH F ADG E BCH ADG ABCDEF V V V V ---++=多面体FH S EG S AB S BCH ADG ADG ⋅+⋅+⋅=∆∆∆3131FH S EG S AB S ADG ADG ADG ⋅+⋅+⋅=∆∆∆3131ADG ADG S FH EG AB S ∆∆=++⋅=34)3131(322212134=⨯⨯⨯=. 评析：多面体ABCDEF 是一个不规则多面体，一般我们可以考虑把这类问题转化为用规则的几何体之和差来求解.考虑到题目中给出ABCD 为正方形，因此我们可以考虑在图中截成如图2-2所示的一个直三棱柱BCH ADG -，三棱锥ADG E -和三棱锥BCH F -，从而借助常用的三棱柱和三棱锥的体积计算.本题所采取的解题方法称为分割法.我们通过从几何体外部进行分割入手，将所给不规则的几何体分割成规则的几何体--三棱柱和两个三棱锥，从而达到分割求和的目的.例3 求棱长为a 的正四面体内切球的半径.解：设正四面体内切球的球心为O ，内切球的半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，如图3-2所示，则=4O BCD V V -正四面体， 设顶点A 到底面的高为AF ，因此1=3BCD V S AF ∆⋅正四面体，1=3O BCD BCD V S r-∆⋅14r AF ∴=，容易知道63AF a =, 16=.412r AF ∴=A 1A DBC评析：要想求出棱长为a 的正四面体的内切球的半径，必须知道球心的位置，而球心的位置比较难找.我们不妨假设球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，这样我们就把正四面体分割成四个全等的三棱锥如图3-2所示，而且O 到正四面体各个面的距离就是内切球的半径.因此=4O BCD V V -正四面体.不难看出正四面体和三棱锥O BCD -共底面BCD ，所以我们只要求出正四面体的高，它的14即为内切球的半径.本题所采取的解题方法为分割法.分割的点在几何体内部，这也是本题的难点所在.分割后主要利用部分与整体的关系来解决问题.实际并没有分割几何体，只是利用了分割的方法.3配套练习1.如图4-1所示，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最小值为a ，最大值为b ，求这个几何体的体积.2.棱长为2的正四面体内切球的体积为______.3.如图，在四棱锥1A ABCD -中，1A A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形, 1222AD AB AA ===,D C B A A ,,,,1是球O 表面上的五个点，求球O 的体积________.DA答案：1.解：补上一个相同的几何体如图4-2所示，可得底面半径为r，高为a b+的圆柱，=2VV∴圆柱几何体，又2=r()V a bπ+圆柱，因此这个几何体的体积为21()2r a bπ+.6. 6π.。