区间估计和误差计算
（二）区间估计 区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。 在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。 第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。 1. 总体平均数的区间估计 按照第一套模式，根据置信度Ft()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(或px，并指出估计区间（置信区间）。具体步骤是： （1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差。 （2）根据给定的置信度Ft()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t值。 （3）根据概率度t和抽样平均误差x计算极限抽样误差的可能范围xxt，并据以计算置信区间的上下限。 例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。 15 24 38 26 30 42 18 30 25 26 34 44 20 35 24 26 34 48 18 28 46 19 30 36 42 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 35 22 24 32 46 26 第一步：根据样本计算样本平均数和标准差：
xxn32 （元）
Snxx2945().（元），用样本标准差代替总体标准差945.（元） 样本平均误差 xn94549135..（元） 第二步：根据给定的置信度Ft()95%，查概率表得t196. 第三步：根据概率度t和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。
65.235.196.1xxt（元） 将xx,的值代入区间估计公式
)(65.34)(35.2965.23265.232元元XXxXxxx
计算结果表明，以95%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。 例15 某高校有5 000名学生，随机抽取250名调查每周收看电视的时间，分组资料见表4—7。 试按不重置抽样方法，以95.45%的概率推断该校全部学生每周收看电视时间的可能范围。
表4—7 每周收看电视时间（小时） 组中值x 学生人数f
2以下 2~4 4~6 6~8 8~10 1 3 5 7 9 22 56 92 60 20 250
巳知：N=5 000， n=250, 由Ft().9545%查表得t2 首先，计算样本指标
样本平均数 xxfn12235659276092025012502505()小时 样本方差
222222215355575952256926020250Sxxn()()()()()()
=11362504544. 由于不知道总体方差，所以用样本方差代替总体方差。 样本平均误差 xnnN21454425012505000013().().()小时 第二步：计算极限抽样误差 xx
t2013026..()小时
第三步：确定置信区间 5-0.26X5026. 4.74X526. 计算结果表明， 全部学生每周平均看电视的时间在4.74—5.26小时之间。 例16 某保险公司从投保人中随机抽取36人，计算出此36人的平均年龄x395.岁，巳知投保人年龄分布近似正态分布，标准差为7.2岁，试求所有投保人平均年龄99%的置信区间。 解 已知 x395.岁 72. n36 根据置信度Ftt().99%,258查正态分布概率表得 计算极限抽样误差
xtn22258362581443097.2....（岁） 总体的置信区间为 xXxxx 395309395309....X 36414259..X 计算结果表明：以99%的把握度保证，投保人
年龄在36.41~42.59岁之间。 例17 某研究机构进行了一项调查来估计吸烟者一月花在抽烟上的平均支出，该机构随机抽取了容量为200的样本进行调查，得到样本平均数为110元，样本标准差为30元，试以95%的把握度估计全部吸烟者月均烟钱支出的置信区间。 解 巳知x110， S30， n20030； Ft().096查概率分布表得t206. 由于不知道总体方差，所以用样本方差代替。计算极限抽样误差：
xtSn20630200437..（元） 置信区间： xxxXx 110—4.37X110437.
1056311437..X 结论，我们有95%的把握认为吸烟者月均烟钱
支出在105.63~114.37元之间。 例18 某年某地区抽查了400户农民家庭年人均穿衣的消费支出，得到平均值为220元，标准差为86元，试以95%的置信水平估计该地区农民家庭年人均穿衣的消费支出。 解 因为 n=400是大样本，则有 t196. ，极限抽样误差为
)(42.84008696.1元ntx
置信区间： 220—8.4222042.8X 211.58元元42.228X 结论，我们有95%的把握认为该地区农民家庭年人均穿衣的消费支出，在3211.58元至228.42元之间。 此例可以看出，样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数。 第二套是根据给定的极限抽样误差范围x,求概率保证程度Ft()。具体步骤是： （1）抽取样本，根据样本单位标志值计算样本算术平均数，作为总体平均数的估计值，并计算样本标准差以推算抽样平均误差x。 （2）根据给定的极限抽样误差范围x,估计总体平均数的置信区间，即估计总体平均数的下限xx
和总体平均数的上限xx。
（3）根据给定的极限抽样误差x，除以抽样平均误差x，求出概率度t，即,xxt再根据t值查《正态
分布概率表》，求出相应的置信度Ft()。 例7 某乡水稻总面积20 000亩，以不重置抽样方法从中随机抽取500亩实割实测求得样本平均亩产x550千克，标准差为65千克。要求极限抽样误差不超过5.74千克，试对该乡水稻的亩产和总产量作估计。 解 第一步 根据算出的样本平均亩产x550千克， 样本标准差65千克，计
xnnN221500150020000
28765()().
（千克）
第二步 根据给定的x574.千克，计算该乡平均亩产和总产量的上限和下限。 亩产下限=xx55057454426..（千克） 总产量下限=2000054426108852..万（千克） 亩产上限=xx55057455574..（千克） 总产量上限=2000055574111148..万（千克） 第三步：根据txx5742872..，查概率表得F().209545或95.45%. 区间估计：以概率95.45%保证的保证程，估计该乡水稻平均亩产在544.26~555.74千克之间；总产量在1088.52~1111.48万千克之间。 2.总体成数的区间估计 总体成数估计和总体平均数估计相类似，也有两套模式。 第一套模式是根据给一的置信度Ft()要求，估计极限抽样误差范围p。现举例说明具体步骤： 例19 在一项新广告活动的跟踪调查中，在被调查的400中有240人会记起广告标语。假定在95.45%概率保证程度下，能记起广告标语占总体比率的置信区间是多少？ 首先，根据样本资料计算 抽样成数 pnn124040060% 抽样方差 2160%160%)0604024Spp()(...
抽样平均误差 pppn()...102440000245245%
其次，根据假定的置信度Ft().9545% ，查概率表求得t2 。 最后，求出被估计的总体比率的置信区间
pp
t2245%49%...
总体比率的置信区间： pPppp 60%49%60%49%..P 55.1%P649%.
计算结果说明，以概率95.45%的保证程度，估计会记起广告标语的人数占总体比率在55.1%~64.9%之间。 第二套模式是根据已经给定的极限抽样误差范围p，求概率保证程度。具体步骤是： （1）抽取样本，计算样本成数p及标准差p，并据此推算抽样平均误差p。 （2）根据给定的极限抽样误差范围p，估计总体成数置信区间的下限pp和上限pp。 （3）将极限抽样误差p除以抽样平均误差p，求出概率度t值，再根据t值查概率表，求出相应的置信度Ft()。
区间估计ppt课件
极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
回归误差方差的区间估计
１ 问题 的提 出
考虑非 参数 回归模 型
Ｙ＝ （ ） ， ｇ ｚ ＋占 （） １
估计 ｊ以及 把 非参 数 部 分 参 数 化 ， ， 然后 用 参 数 的
方法估计 ， 如最ｄ － 乘估计 ， ｘ ＪＭ估计 ，ｒ ｌ 估 ＪＰｏ ｅ ｉ ｆ 计 Ｓ ｖ 刮，ｉ ｅ估计 ， 部 线性 化 和局部 多项 ｅ 局
文章 编号 ：６ ３５ ０ （０ ７ ０ －１２０ １７ －０５ ２０ ）４０ ６ － ６
7第七讲++区间估计
么？或者在什么范围。
点估计：根据样本数据算出一个单一的估 计值，用来估计总体的参数值。 区间估计：计算抽样平均误差，指出估计 的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总
体参数的所在范围或区间。
第二节 总体均值与方差的点估计
概括地说： 经常需要对总体进行估计的两个数字特征是： 总体的均值和方差。如果将总体的均值和方 差视为数轴上的两个点，这种估计称为点估 计。如果要求估计总体的均值或方差将落在 某一段数值区间，这种估计称为区间估计。
要对总体参数值进行区间估计，既要在一定 可靠度上求出总体参数的置信区间的上下限， 需要以下条件：
1.要知道与所要估计的参数相对应的样本统计 量的值，以及样本统计量的理论分布；
2.要求出该种统计量的标准误；
3.要确定在多大的可靠度上对总体参数作估计， 再通过查某种理论概率分布表，找出与某种可靠度 相对应的该分布横轴上记分的临界值，才能计算出 总体参数的置信区间上下限。
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
n
n
X 1.96 X 1.96
n
) 0.95 ) 0.95
n
n
4、解释
在置信区间[X-1.96SEx，X+1.96SEx]内，正 确估计总体均值所在区间的概率为0.95。但 是，做这种区间估计不可能保证完全无误， 估计错误的概率大约为0.05。
参数估计公式
参数估计公式参数估计是统计学中非常重要的一个概念，它是指对于一个总体的一些参数进行估计，使得估计值接近于真实值。
参数估计一般分为点估计和区间估计两种，其中点估计是指用一个数值来估计总体参数，而区间估计是指用一个区间来估计总体参数。
本文将着重介绍点估计中的一些常用的精确估计方法。
首先，最简单也是最常用的点估计方法是样本均值估计总体均值。
假设我们有一个样本数据集，包含n个观测值，样本均值可以作为总体均值的一个良好估计。
它的计算公式如下：\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]其中，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本均值可以作为总体均值的一个无偏估计，即样本均值的期望等于总体均值。
另外一个常用的点估计方法是样本方差估计总体方差。
样本中的每一个数据点和样本均值之间的差别可以用来估计总体的分散程度。
样本方差可以通过以下公式计算：\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)其中，\(s^2\)表示样本方差，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本方差是总体方差的一个无偏估计，即样本方差的期望等于总体方差。
除此之外，还有一些其他的点估计方法，例如极大似然估计和最小二乘估计等。
极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化观测数据的似然函数来估计参数值。
最小二乘估计是一种常用的线性回归模型参数估计方法，它通过最小化观测数据与模型估计值之间的平方残差和来估计参数值。
在进行参数估计时，我们通常需要估计参数的精确度。
一个常用的方法是计算参数的标准误差。
对于样本均值的标准误差，可以用以下公式计算：\(SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)其中，\(SE(\bar{x})\)表示样本均值的标准误差，s表示样本方差，n表示样本的个数。
参数的区间估计
参数的区间估计1. 参数的概念参数是指一种描述总体特性的量，通常用符号表示。
以样本均值为例，我们通常用$\bar{x}$表示样本均值，用$\mu$表示总体均值，$\bar{x}$就是关于$\mu$的一个参数。
2. 区间估计的基本思想区间估计是通过样本的统计量来估计总体的参数，因为样本数据毕竟是有限的，所以估计值与真实值之间必然存在误差。
为了消除这种误差，我们采用确定一个区间的方法，即“置信区间”。
置信区间是指用样本数据计算出来的一个范围，其含义是真实的总体参数值有一定的置信水平（置信度）落在这个区间内。
①确定信赖水平（置信度）$1-\alpha$，$\alpha$称为显著性水平。
②根据样本均值选择合适的经验公式或理论公式来计算样本估计量的标准误差。
③根据置信度$1-\alpha$，查找$t$分布表或正态分布表，得到置信水平为$1-\alpha$的$t$值或$z$值。
④根据样本容量和总体方差是否已知，确定区间估计公式。
⑤根据置信度和样本数据计算出置信区间。
下面具体介绍区间估计的步骤：A. 确定总体所服从的概率分布总体可以服从正态分布、泊松分布、二项分布等概率分布，其中正态分布是最为常用的一种分布。
B. 确定样本容量$n$样本容量$n$的大小直接影响到置信区间的精度，当样本容量越大，置信区间的长度就越短。
一般观测数据越多，则样本容量越大。
C. 确定置信度$1-\alpha$置信度是指总体参数落在某一特定区间内的概率，一般取$95\%$或$99\%$。
D. 求出样本均值$\bar{x}$样本均值$\bar{x}$是样本中所有元素值的总和除以样本容量$n$，即$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$E. 求出样本方差$s^2$若总体标准差未知，用样本标准差$s$代替，$S(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$G. 选择合适的分布当总体服从正态分布，$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布；当总体未知且样本容量$n$较小（$n<30$），$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$服从$t$分布。
概率论与数理统计第6章参数区间估计2,3节
n
E(X
k
)
E(X
k)
i1
i1
二、有效性
未知参数 的无偏估计量不是唯一的.
设 ^1 和 ^2 都是参数 的无偏估计量,
θˆ 1
θˆ 2
集中
分散
蓝色是采用估^ 计量 1 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值. 紫色是采用估^ 计量 2 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值.
若limD(ˆ)0， 则ˆ是的一致估 . 计量 n
回顾例子.设总体X的概率密度为
f(x)6x3 (x),0x;
0, 其他
X1, X2,…, Xn 是取自总体X 的简单随机样本, (1) 求的矩估计量 ˆ；
(2) 求ˆ的方差D(ˆ).
解：矩估计 ˆ量 2X. D(ˆ)4D(X)4D(X)2
若滚珠直径服从正态分布X ~ N( , 2), 并且已知 = 0.16(mm),求滚珠直径均值的置信水平为95%
的置信区间.
解：由上面求解的置信水平为1- 的置信区间
Xσn 0 uα/,2 Xσn 0 uα/2
已 n 知 1,0 0 0 .1,6 0 .0,5 x110i110xi 14.92,
若进行n次独立重复抽样，得到n个样本观测值,
每个样本观测 个值 随确 机(定 ˆ1区 ,ˆ2一 )间 .那么
每个区间的 可真 能 ， 或 值 包不 含包 的含 真 , 值
根据伯努利大数定理, 在这n个随机区间中,
包含 真值1 的 0(1 0 约 )% 占 ,不包含 10 的 % 0. 约
便得 k的 到 最大似 ˆk(X 1,然 X 2, ,估 X n).计
第二节 判别估计量好坏的标准
总体均值的区间估计公式
2.总体均值的区间估计
总体均值的区间估计公式: S X ± Z (1-α) √n 其中X为样本平均数,S为样本标准差, Z(1-α) 为置 信度是1－α所对应的 Z 值. n为样本规模.
计算练习:
调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作 为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准 差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均 工资的置信区间是多少.
42 1.96× √900
Z 检验表
P≤ 0.10 0.05 0.02 0.01 │Z│≥ 一端 1.29 1.65 2.06 2.33 二端 1.65 1.96 2.33 2.58
3.总体百分数的区间估计
总体百分数的区间估计公式为: P（1—p） P±Z（1－α）
n
这里，P为样本的百分比 。 例题： 从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结 果表明女工的比例为 20%现在要求在90%的置 信度下，估计全厂工人中女工比例的置信区间。
1.假设检验的依据
假设检验所依据的是概率论中的“小概率
原 理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的 原 理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小 概率事件出现了,应该如何判断呢? 一种意见认为该事件的概率仍然很小 ,只不 过偶然被遇上了, 另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很 小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而
3.假设检验的步骤:
①建立虚无假设和研究假设通常将原假 设作为虚无假设. ②根据需要选择适当的显著性水α(即 小概率的大小).通常α=0.05或α=0.01等. ③根据样本数据计算出统计值,并根据显 著性水平查出对应的临界值. ④将临界值与统计值进行比较,以判定是 接受虚无假设还是接受研究假设.
求置信区间的最大误差
求置信区间的最大误差
第一步：求一个样本的均值第二步：计算出抽样误差。
人们经过实践，通常认为调查：100个样本的抽样误差为±10%；500个样本的抽样误差为±5%；1200个样本时的抽样误差为±3%；
第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。
在统计学中，一个概率样本的置信区间（Confidence interval）是对这个样本的某个总体参数的区间估计。
置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周
围的程度。
置信区间给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。
置信区间与置信水平、样本量的关系1.样本量对置信区间的影响：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。
2.置信水平对置信区间的影响：在样本量相同的情况下，置信水平越高，置信区间越宽。
第二章 参数估计2-3 区间估计
I=0.814
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钢厂铁水含碳量X 例3. 钢厂铁水含碳量 ~ N(µ,0.1082), 现在随机测定 该厂9炉铁水得 炉铁水得X=4.484,求在置信度为 求在置信度为0.95 的条件 该厂 炉铁水得 求在置信度为 下铁水平均含碳量的置信区间。 下铁水平均含碳量的置信区间。 解
置信区间为
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联合方差
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1、 µ1 - µ2的1-α置信区间 、 α (1)、 σ12 、σ22已知 、
由于 X −Y ~ N(µ1 − µ2 ,
选取
2 2 σ1 σ2
n1
+
n2
)
因此置信度为1-α 因此置信度为 α的µ1 - µ2置信区间可为
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(2)、σ12 、σ22未知，且n1,n2较大 如大于 、 未知， 较大(如大于 如大于50)
=27.5， ，
=6.26， ，
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测量一批铅锭的比重，设铅锭的比重X 例6. 测量一批铅锭的比重，设铅锭的比重 ~ N(µ, 现进行16次检测得铅锭的比重有 σ2),现进行 次检测得铅锭的比重有 现进行 次检测得铅锭的比重有X=2.705， ， S2=0.0292，试求总体 的均值µ和方差 σ2置信度为 求总体X的均值 0.95 的置信区间。 的置信区间。 解 (1)求µ的置信区间 σ2未知 n=16,α=0.05. 求 的置信区间, 未知, α 选取 查表得 置信区间为
(二)、总体X数学期望 (二)、总体X数学期望µ未知 数学期望µ 样本X 的无偏估计. 样本 1,X2, • • • , Xn, 且S2是σ2的无偏估计
选取样本函数