2017-2018学年江苏省镇江市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷（解析版）一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）1.已知集合A={＞1}，B={x -3≤x≤2}，则A∩B=______．2.若函数y=cos（ωx-）（ω＞0）最小正周期为，则ω=______．3.函数y=+lg（3-x）的定义域为______．4.已知幂函数f（x）满足f（2）=8，则f（-2）=______．5.不等式x2-2x-3＜0的解集为______．6.函数f（x）=2sin（2x+）在[0，π 上的减区间为______．7.将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得函数图象关于原点对称，则φ=______．8.方程（）x= ln x的解的个数为______．9.直径为20cm的轮子以45rad/s（弧度/秒）的速度旋转，则轮周上一点5s内所经过的路程为______cm．10.点P（sin，）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为______．11.函数f（x）= tan x -cos x的定义域为[，，则其值域为______．12.已知α为锐角，且sinαtanα=，则的值为______．13.计算=______．14.已知m∈R，函数f（x）=，若函数y=f（x）-m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知角α终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（，y0），且终边上有一点P到原点的距离为．（1）求y0的值和P点的坐标；（2）求tan（α-3π）cos（π-2α）+cos（+2α）的值．16.已知α，β为锐角，cos，sin（α-β）=．（1）求tan2α；（2）求β．17.已知函数f（x）=4x-a•2x-6，a∈R，且为常数．（1）当a=5时，求函数y=f（x）的零点；（2）当x∈[0，2 ，恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．18.已知函数f（x）=x3-2x．（1）求函数y=f（x）的奇偶性；（2）证明y=f（x）在（0，1）上为单调减函数，在（1，+∞）为单调增函数；（3）判断方程f（x）=-的解的个数，并求其最小正数解的近似值x0（精确到0.1）．19.如图，政府有一个边长为400米的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150米为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现放在中间修建一块长方形的活动广场PQMN，其中P、Q、M、N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠QBC=α，长方形活动广场的面积为S．（1）请把S表示成关于α的函数关系式；（2）求S的最小值．20.已知b∈R，b为常数，函数f（x）=x2-bx+b-1．（1）求关于x的不等式f（x）≥0的解集；（2）若函数F（x）= f（x）-（x）-有两个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明：关于x的方程f（x）=[f（x1）+2f（x2）在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．答案和解析1.【答案】（1，2【解析】解：∵集合A={ ＞1}，B={x -3≤x≤2}，∴A∩B={x 1＜x≤2}=（1，2 ．故答案为：（1，2 ．利用集合A={ ＞1}，B={x -3≤x≤2}，能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】6【解析】解：∵f（x）=cos（ωx-）的最小正周期为，∴函数的周期T==，∴解得ω=6．故答案为：6．根据余弦函数的周期公式即可得到结论．本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．3.【答案】[-2，3）【解析】解：由，解得-2≤x＜3．∴函数y=+lg（3-x）的定义域为：[-2，3）．故答案为：[-2，3）．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.【答案】-8【解析】解：设幂函数f（x）=xα，α∈R，由f（2）=8，∴2α=8，解得α=3，∴f（x）=x3；∴f（-2）=（-2）3=-8．故答案为：-8．设出幂函数f（x）=xα，由f（2）=8求得α的值，写出函数解析式，再计算f（-2）的值．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.【答案】{x -1＜x＜3}【解析】解：∵方程x2-2x-3=0的实数根是x1=-1，x2=3；∴不等式x2-2x-3＜0的解集为{x -1＜x＜3}，故答案为：{x -1＜x＜3}，先求对应方程x2-2x-3=0的实数根，再写出不等式的解集本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答即可．6.【答案】[，【解析】解：对于函数f（x）=2sin（2x+），令2 π+≤2x+≤2 π+，求得π+≤x≤π+，故函数的减区间为[ π+，π+，∈．再根据x∈[0，π ，可得函数的减区间为[，，故答案为：[，．由题意利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）在[0，π 上的减区间．本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．7.【答案】【解析】解：函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数解析式为y=3sin[2（x+φ）+=3sin（2x+2φ+），∵新函数的图形关于原点对称，∴y=3sin（2x+2φ+）是奇函数，∴2φ+=π+2 π，解得φ=，∈．∵0＜φ＜，∴φ=．故答案为：．利用图象平移规律得出平移后的函数解析式，根据新函数为奇函数和诱导公式列方程解出φ．本题考查了正弦函数的性质，函数图象的变换，属于中档题．8.【答案】2【解析】解：方程（）x= lnx 的解的个数即为函数y=（）x与y= lnx 的图象交点的个数在同一坐标系中画出函数y=（）x与y= lnx 的图象如下图所示由图可得函数y=（）x与y= lnx 的图象有2个交点．故方程（）x= lnx 的解有2个．故答案为：2，方程（）x= lnx 的解的个数，即为函数y=（）x与y= lnx 的图象交点的个数，在同一坐标系中画出函数y=（）x与y= lnx 的图象，数形结合，可得答案．本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，其中将方程根的个数转化为函数图象交点个数是解答的关键．9.【答案】2250【解析】解：轮周上一点5s内所经过的路程=45×5×10=2250cm，故答案为：2250．利用弧长公式即可得出．本题考查了弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ 和sinθ的值，可得θ的值．【解答】解：∵点P（sin）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则cosθ=sin=>0，sinθ=-cos=-<0，∴θ=2π-=，故答案为．11.【答案】[-1，1-【解析】解：当x∈[-，0 时，f（x）= tanx -cosx=-tanx-cosx，该函数在[-，0 上为减函数，则f（x）∈[-1，1-；由f（-x）= tan（-x）-cos（-x）= tanx -cosx=f（x），可知f（x）为偶函数，∴当x∈[0，时，f（x）∈[-1，1-．∴函数f（x）= tanx -cosx（x∈[）的值域为[-1，1-．故答案为：[-1，1-．利用单调性求出函数在[-，0 上的值域，结合函数为偶函数得答案．本题考查利用函数的单调性与奇偶性求函数的值域，是中档题．12.【答案】-7【解析】解：α为锐角，且sinαtanα=，则：，整理得：20cos2α+9cosα-20=0，解得：或（负值舍去），故：．则：==-7，故答案为：-7直接利用三角函数关系式的恒等变变换，转换成一元二次方程，进一步求出sinα和cosα，最后求出结果．本题考查的知识要点：一元二次方程的解法，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】【解析】解：===．故答案为：直接利用三角函数关系是的恒等变换和角的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：利用三角函数关系是的恒等变换和角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14.【答案】（0，3【解析】解：画出函数y=f（x）=，与y=m的图象，如图所示：∵函数y=f（x）-m有三个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为（0，3 ，故答案为：（0，3 ．画出函数y=f（x）与y=m的图象，由图象可得m的取值范围．本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，数形结合的应用，属于中档题．15.【答案】解：（1）∵角α终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（，y0），且终边上有一点P到原点的距离为，∴=1，∴y0=-，或y0=（不合题意，舍去），故有y0=-．设点P（a，b），a＞0，b＜0，则根据tanα==-2=，=，求得a=1，b=-2，故有点P的坐标为（1，-2）．（2）求tan（α-3π）cos（π-2α）+cos（+2α）=tanα•（-cos2α）+sin2α=-tanα•+=-tanα•+=-2×+=2．【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得y0的值和P点的坐标．（2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．16.【答案】解：（1）∵α为锐角，cos，∴sinα=，则tanα=．∴tan2α=；（2）∵α，β为锐角，∴＜α-β＜，又sin（α-β）=，∴cos（α-β）==．∴sinβ=sin[α-（α-β）=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=，∴β=．【解析】（1）由已知求得sinα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解；（2）求出cos（α-β），由sinβ=sin[α-（α-β），展开两角差的正弦求得sinβ，则β可求．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查两角和与差的三角函数，是中档题．17.【答案】解：（1）当a=5时，f（x）=4x-5×2x-6，设t=2x，t＞0，∴g（t）=t2-5t-6，令g（t）=t2-5t-6=0，解得t=6或t=-1，∴2x=6，∴x=log26；（2）由（1）可得g（t）=t2-at-6，且t∈[1，4 ，其对称轴为t=，当t≤1时，g（t）在[1，4 上单调递增，f（x）min=g（t）min=f（1）=1-a-6＞0，解得a＜-5，当t≥4时，g（t）在[1，4 上单调递减，f（x）min=g（t）min=f（4）=16-4a-6＞0，解得a ＜-，当1＜t＜4时，f（x）min=g（t）=g（）=--6＜0，即a2+24＞0恒成立，综上所述a的取值范围a＜-5【解析】（1）利用换元法和函数零点存在定理即可求出，（2）根据二次函数的性质，分类讨论，即可求a的取值范围．本题考查了函数零点存在定理以及二次函数的性质，函数恒成立的问题，属于中档题18.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=x3-2x，则f（-x）=（-x）3-2（-x）=-（x3-2x）=-f（x），则函数为奇函数；（2）根据题意，设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=（x13-2x1）-（x23-2x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-3），又由0＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）＞0，则在（0，1）上为单调减函数；再设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x13-2x1）-（x23-2x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-3），又由1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0，则在（1，+∞）上为单调增函数；（3）根据题意，方程f（x）=-，即x3-2x=-，设g（x）=x3-2x+，g（-2）=-＜0，g（-1）=＞0，则函数在区间（-2，-1）上有零点，g（0）=＞0，g（1）=-＜0，则函数在区间（0，1）上有零点，g（2）=＞0，则函数在区间（1，2）上有零点，则函数g（x）有三个零点，其最小正数解在（0，1）中，g（）=-＜0，其最小正数解在（0，）中，g（）=-＜0，其最小正数解在（0，）中，g（）=＞0，其最小正数解在（，）中，g（）＜0，其最小正数解在（，）中，此时-=＜0.1，符合题意，即g（x）的最小正数解的近似值约为0.15；则方程f（x）=-的最小正数解的近似值x0=0.15．【解析】（1）根据题意，由函数的解析式可得f（-x），分析可得f（-x）=-f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，用作差法分析可得答案；（3）根据题意，设g（x）=x3-2x+，函数g（x）的零点就是方程f（x）=-的解，由函数零点判定定理分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及函数零点，属于基础题．19.【答案】解：（1）∠QBC=α，如图所示，在直角三角形BQE中，BE=150cosα，QE=150sinα，0≤α≤，可得矩形PQMN的PQ=400-300sinα，QM=400-300cosα，则S=PQ•QM=（400-300sinα）（400-300cosα）=10000（4-3sinα）（4-3cosα），α∈[0，；（2）由（1）知，S=10000[16-12（sinα+cosα）+9sinαcosα ，设t=sinα+cosα=sin（α+），则≤α+≤，可得1＜t≤，sinαcosα=，可得S=10000[16-12t+（t2-1）=5000[9（t-）2+7 ，当t=∈[1，，S取得最小值5000×7=35000m2．【解析】（1）在直角三角形BQE中，求得BE、QE，写出矩形的长和宽，计算面积即可；（2）利用换元法，结合三角函数的恒等变换，借助二次函数的最值求法，求得最小值．本题考查了矩形的面积计算问题，也考查了三角函数的恒等变换和正弦函数的性质应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）x2-bx+b-1≥0，即（x-1）（x-b+1）≥0，当b=2时，x∈R；当b＞2时，x∈（-∞，1 ∪[b-1，+∞）；当b＜2时，x∈（-∞，b-1 ∪[1，+∞）；（2）函数F（x）= f（x）-f（x）-有两个不同的零点，f（x）≥0，即-≥0不满足题意；f（x）≤0可得y=2f（x）（f（x）≤0）与有两个交点，可得2•＜-，解得b＜1或b＞3；（3）证明：对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），关于x的方程f（x）=[f（x1）+2f（x2），可设，H（x1）H（x2）=（f（x1）-f（x2））•（f（x2）-f（x1））=-（f（x1）-f（x2））2＜0，且H（x）在（x1，x2）单调，可得关于x的方程f（x）=[f（x1）+2f（x2）在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．【解析】（1）因式分解对b讨论，当b=2时，x∈R；当b＞2时，x∈（-∞，1 ∪[b-1，+∞）；当b ＜2时，x∈（-∞，b-1 ∪[1，+∞）；（2）f（x）≥0不满足题意，即y=2f（x）（f（x）≤0）与有两个零点，所以b∈（-∞，1）∪（3，+∞）；（3）“关于x的方程在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根”转化为“在区间（x1，x2）内有且仅有一个零点”，运用函数零点存在定理即可得证．本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及函数零点问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．。
江苏省镇江市丹徒中学2018年高一数学理联考试卷含解析
江苏省镇江市丹徒中学2018年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图像经过定点（）A．(3, 1) B．(2, 0) C．(2, 2) D．(3, 0)参考答案：A2. 设a=20.2，b=ln2，c=log0.32，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.2＞1，0＜b=ln2＜1，c=log0.32＜0，则a、b、c的大小关系是a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 下列四个命题正确的是( )A.sin2＜sin3＜sin4B.sin4＜sin2＜sin3C.sin3＜sin4＜sin2D.sin4＜sin3＜sin2参考答案：D4. 函数对任意实数均有成立，且，则与的大小关系为（）A． B．C． D．大小关系不能确定参考答案：A5. 下列各函数中，最小值为2的是（）A．B．，C．D．参考答案：A【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：对于A．∵，∴=2，当且仅当x=1时取等号．因为只有一个正确，故选A．6. 直线，当变化时，所有直线都通过定点（）A． B． C． D．参考答案：C7. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的()A． B． C． D．参考答案：B8. 函数的定义域是（）A．(2,+∞) B．[2,+∞) C．[1,+∞) D．(1,+∞)参考答案：D9. 如图，是△ABC的直观图，其中轴，轴，那么△ABC是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形参考答案：D【分析】利用斜二测画法中平行于坐标轴的直线，平行关系不变这个原则得出△ABC的形状。
江苏省镇江市2017-2018学年高二上学期期末考试数学期末试卷
江苏省镇江市2017-2018学年高二数学上学期期末考试2018．1一、填空题1．已知命题:,0p R x ∀∈≥，则命题p 的否定是 ． 2．抛物线22x y =的焦点到其准线的距离为 ．3．“||3x <”是“3x <”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分又不必要”中，选择适当的一个填空）．4．“天鹅都是白色的”属于 推理（在“归纳”和“类比”中选择一个合适的填空）． 5．已知函数()x f x e ex =-（e 为自然对数的底数），则函数()f x 的减区间为 ． 6．《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径d ，公式为d =根据“开立圆术”的方法求出圆周率π为 （结果用分数表示）．7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为2，则该双曲线的渐近线方程为 ．8．已知正四棱锥的侧面积为2，则该正四棱锥的高长度为 ． 9．已知抛物线()220y px p =>上一点p 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3， 则p = ．10．设1F 、2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且点P 到左焦点的距离是其到右准线25倍，则2PF = ．11． 设α和β是不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 平行于α；（3）设α和β相交于直线l ，若α内的一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）． 12．函数()2ln 1x f x x+=的图象在1x =处的切线方程为 ．13．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高度应为cm ．14．已知函数()4314f x x x mx =-+-有三个不同极值点，则实数m 的取值范围 为 ． 二、解答题15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -111A B C 中，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B E C F ⊥，1111AC B C ⊥. (1)求证：//DE 平面11AC F ； (2) 求证：平面1B DE ⊥平面11AC F .16．（本小题满分14分）(1)2> (2)已知,a b R ∈，用反证法证明：2a ab +和2b ab +中至少有一个是非负数.17．（本小题满分14分）设命题p ：函数()sin 3f x x x mx =+-在定义域内单调递增； 命题q ：方程20x mx m -+=有两个不相等的实数根. (1)当命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；(2)若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围. 18．（本小题满分16分）如图，半圆形湖面BTC 的直径BC 长6千米，湖心为O ，为发展旅游业，现计划在CB 延长线上选地点A ，从A 出发修建一条笔直的公路AM ，使得该公路与半圆相切于点M ，再修建一条圆弧形湖堤大道MTC . 已知修建公路AM 的单价为a 万元/千米，修建湖堤大道MTC 的单价为2a 万元/千米.设MAC θ∠=，修建公路AM与湖堤大道MTC 的总费用为y 万元. (1) 求y 关于θ的函数表达式；(2) 当θ为何值时，y 最小？19．（本小题满分16分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点). 直线l经过点()0,1P ，且与椭圆C 相交于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当3AB =，求此时直线l 的方程；(3)对于动直线l ，是否存在定点Q ，使得直线QA ，QB 的倾斜角互补？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知a R ∈，函数()31f x x =-，()ln g x a x =，记()()()h x f x g x =-. (1)当2a =时，求证：()()()21f x x g x ≥-≥；(2)若函数()y h x =有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.高二数学试卷(理科附加题) 2018.1注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．（本小题满分10分）求函数()()ln 21f x x x =+-的最大值.22．（本小题满分10分）过原点作函数y =l . (1)求切线l 的方程；(2)动点M 到直线l 的距离与到x 轴的距离相等，求动点M 的轨迹方程.23．（本小题满分10分）如图，平行六面体////ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱/AA 长为4，且//060A AB A AD ∠=∠=(1)求/AC 的长；(2)求异面直线/BD 与AC 所成角的余弦值.24．（本小题满分10分）如图，正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥平面ABCD ，//ED PA ，且2PA ED =，直线PC 与平面ABCD 所成的角为045.(1)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值； (2)求二面角P CE D --的大小.高二数学参考答案及评分标准2018.01.23 一、填空题，每小题5分二、解答题15．证明：（1）因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE为△ABC的中位线，则DE∥AC (2)分因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则侧面A1C1CA为平行四边形，则A1C1∥AC.从而DE∥A1C1.……4分又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，则DE∥平面A1C1F.……7分（2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，则CC 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，从而CC 1⊥A 1C 1， ……8分又B 1C 1⊥A 1C 1，B 1C 1CC 1＝C 1，CC 1⊂平面B 1C 1CB ，B 1C 1⊂平面B 1C 1CB ，所以A 1C 1⊥平面B 1C 1CB . ……10分因为B 1E ⊂平面B 1C 1CB ，所以A 1C 1⊥B 1E . (11)分又B 1E ⊥1C F ，A 1C 1C 1F ＝C 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，C 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1E ⊥平面A 1C 1F . ......13分 因为B 1E ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . (14)分（注意：有一个条件不书写交代扣1分，扣满为止）【说明】本题以三棱柱为载体，考查线线、线面平行的判定和线线、线面、面面垂直的判定等知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力、书写表达能力.16．证明：（1(22>， ……2分即证1111+>+，......4分>， (5)分即证3028>，……6分 而3028>显然成立，故得证. ……7分 （2）假设2a ab +与2b ab +（其中,a b ∈R ）都是负数， ……9分即20a ab +<，20b ab +<， ……10分上述两式左右分别相加有2220a ab b ++<，即2()0a b +<， ……11分这与2()0a b +≥恒成立矛盾，所以假设不成立. ……13分故2a ab +与2b ab +（其中,a b ∈R ）中至少有一个是非负数. (14)分【说明】本题源自课本习题改编，考查分析法和反证法的步骤，考查书写表达能力. 17．解：（1）对于命题p ：函数()sin 3f x x x mx =+-在定义域上单调递增，等价于()cos 30f x x m '=+-≥在定义域上恒成立， ……2分所以cos 3x m +≥在定义域上恒成立，则()min cos 3m x +≤， ……4分由于()min cos 32x +=，从而2m ≤. (6)分（2）对于命题q ：方程20-+=x mx m 有两个不相等的实数根，则2=40m m ∆->，即m <0，或4m >. (8)分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 必为一真一假.……9分若p 真q 假，则有2,0204,m m m ⎧⇒⎨⎩≤≤≤≤≤； ……11分若p 假q 真，则有2,404,m m m m >⎧⇒>⎨<>⎩，或. (13)分综上，[0,2](4+)m ∈∞，. ……14分【说明】本题源于课本题改编. 考查函数的单调性与导数、简易逻辑等有关知识；考查运算能力和转化划归思想. 18．解：（1）OM ＝3，有3tan AM θ=， ……2分又π2MOC θ∠=+，π3()2MTC l θ=+， ……4分所以3πcos 63(2π)tan 2sin a y a a θθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，π0<<2θ. ……6分（注意：如果没有分别计算AM 和弧长，直接写函数关系式，且关系式中只要有一个错误，得0分） （2）cos ()3(2)3πsin y f a a ==++θθθθ，记cos ()2sin g θθθθ=+，由于22222(sin 12sin 122()2sin sin sin g θθθθθθθ+--'=+== ……8分令()0g θ'=，有sin θ=，……10分 ππ0,42⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭θ. ……11分当π04θ<<时，()0g θ'<，此时函数在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当ππ42θ<<时，()0g θ'>，此时函数在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ……13分从而当π4θ=时，y 取得最小值. ……14分答：（1）函数关系式为cos 3(2π)sin y a θθθ=++，π0<<2θ；（2）当π4θ=时，总费用y 最小. ……16分 【说明】本题源于2016-2017学年高一第二学期期末应用题改编. 考查弧长公式、解三角形等知识；考查导数的运用；考查阅读理解能力、数学建模能力、运算能力. 19．解：（1）由于椭圆的离心率为c a =222a c =， 22b c = ……1分 可设椭圆方程为222212x y b b+=，则有222112b b +=，解得22b =， ……2分从而椭圆方程为22142x y +=①. (4)分（2）当直线AB斜率不存在时，AB =，不符合题意，舍去. ……5分当直线AB 斜率存在时，直线AB 可设为1y kx =+ ②，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立①②消去y ，有22(21)420k x kx ++-=③， ……6分0∆>显然成立，有122421k x x k -+=+④，122221x x k -=+⑤， ……7分则AB = （注意不要直接写弦长公式）有3=……8分 解得212k =，即k =， ……9分 此时直线l的方程为1y x =+，或1y =+. ……10分（3）假设存在这样的定点Q ，从而易知当直线AB 平行于x 轴时，可得定点Q 必在y 轴上，不妨设(0,)Q n ， ……12分当直线QA ，QB 的斜率均存在时，即有11QA y n k x -=，22QB y nk x -=， 由于直线QA ，QB 的倾斜角始终互补，则0QA QB k k +=. 又1221121212()()QA QB y n y n x y n x y n k k x x x x ---+-+=+= 1212122(1)()2(2)kx x n x x n k x x +-+==-， ……14分即()220n k -=对于任意k 恒成立，则2n =，即点Q 坐标为(0,2). ……15分 当QA ，QB 的斜率不存在时，点Q (0,2)满足. 综上，定点Q (0,2)存在. ……16分 【说明】本题考查圆的方程、椭圆方程的求法；考查弦长的计算、直线与椭圆的位置关系；考查定点问题的处理方法；考查一般与特殊思想；考查运算能力；考查探求验证的策略.20．解：（1）当2a =时，先证2()1f x x =-≥()21x -，()()221211x x x ---=-≥0，故2()1f x x =-≥()21x -，当且仅当1x =时等号成立. ……1分 再证()21x -≥2ln x ，即证1ln x x --≥0, 设()1ln p x x x =--,()11101x p x x x x-'=-==⇒=, ……2分当()0,1x ∈时，()110p x x'=-<，()p x 为增函数； 当()1,x ∈+∞时，()110p x x'=->，()p x 为减函数； (4)分于是()1ln p x x x =--≥()min ()10p x p ==.当且仅当1x =时等号成立. 所以当2a =时，()f x ≥()21x -≥()g x ，当且仅当1x =时等号成立. ……5分（2）设()21ln h x x a x =-- ()0x >，()y h x =在定义域内连续.因为()10h =，函数()h x 总存在一个零点. (6)分1︒当a ≤0时， ()h x 在()0,+∞上单调递增，此时函数()h x 有且只有一个零点.……7分2︒当2a =时，由（1）得：()212ln h x x x =--≥0，当且仅当1x =时等号成立.此时函数()y h x =有且只有一个零点1x =. ……8分3︒当02a <<，或2a >时，令()2220a x ah x x x x-'=-===，x = (9)分当x ⎛∈ ⎝时，()0h x '<,()h x 在x ⎛∈ ⎝上单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0h x '>,()h x 在x ⎫∈+∞⎪⎪⎭上单调递增，于是()min h x h =. ……10分① 1，即02a <<时，()h x 在x ⎫∈+∞⎪⎪⎭上单调递增, ()10h h <=， 12e e 0aah --⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且10<e 1a -<，函数()y h x =有另一个零点介于1e a-. ……12分1，即2a >时，()h x 在x ⎛∈ ⎝上单调递减，()10h h <=, 由（1）知：1x -≥ln x ，故()21ln h x x a x =--≥()()()21111x a x x x a ---=-+-, (14)分()h a ≥10a ->,且1a ，函数()y h x =有另一个零点在区间)a 内，矛盾. ……15分综上所述，实数a 的取值范围为(]{},02-∞. (16)分（注意：1. 第（2）问如果令()min =0h x h =，再解得2a =，无其他充分说明论证，第（2）问最多得5分.2.如果用草图说明代替代数证明，一般不给分）【说明】本题考查函数的最值、函数的零点；考查导数在不等式的证明、单调性证明等；考查反证法；考查等价转换、分类讨论的思想；考查运算能力、分析问题能力、有条理有层次地清晰地书写表达能力．第Ⅱ卷 理科附加题21.解：令212()102121x f x x x -'=-==++， ……2分 则12x =， ……4分 当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； (6)分当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. ……8分故当12x =时，()max 11ln 222f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. (10)分22. 解：（1）设切点为0(P x，则切线斜率0()k y x '==， (2)分则切线方程为0)y x x =-， 由于切线l经过原点，则=01x =， (4)分从而切线l 的方程为0x y -= ……6分（2）设动点M 坐标为(,)a ba =， (8)分化简得2220a ab b --=.故动点M 的轨迹方程为2220x xy y --=. ……10分23. 解：（1）在平行六面体中，有AC AB AD AA ''=++， ……2分则22222()222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''=++=+++⋅+⋅+⋅， 即2211441602242244022AC AC ''==++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故AC '= ……5分（2）在平行六面体中，有BD BC BA BB ''=++， (6)分同理（1）可得BD '=， ……7分在正方形ABCD 中，AC AB AD =+，AC =. ……8分又()()()()BD AC BC BA BB AD AB AD AB AA AD AB '''⋅=+++=-++2211444242822AD AB AA AD AA AB ''=-+⋅+⋅=-+⨯⨯+⨯⨯=,则cos ,2BD AC BD AC BD AC'⋅'<>=='故异面直线'BD 与AC . ……10分24. 解：如图，以点A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴正方向的方向向量，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0)D ． ……1分 因为P A ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角为45°，则45PCA ∠=︒，PA AC ==P ，E . (2)分（1）设平面PBE 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1n BP ⊥，得11120n BP x ⋅=-+=，由1n BE ⊥，得1111220n BE x y ⋅=-+=，解得1111x y z==，，1111(2,)nz z z=，可取1(2,1n=，……4分又(2,2,PC=-，则111cos,7PC nPC nPC n⋅<>==⋅即直线PC与平面PBE. ……6分（2）设平面PCE的法向量为2223(,,)n x y z=，由2n PE⊥，得22220n PE y⋅==，由2n PC⊥，得2222220n PC x y⋅=+-=，解得2222z x y=，，2222(,)n y y=，可取2(1,1n=；……7分又平面CDE的法向量为3(0,2,0)n=，……8分则23232321cos,222n nn nn n⋅<>===⨯⋅，……9分由图可知二面角P CE D--的平面角为钝角，大小为120︒. ……10分。
2018-2019学年江苏省镇江市高一第一学期期末数学试卷〖详解版〗
象， 故选：D． 4．【解答】解：在三角形中，0＜A，B＜π， 则由 cosA＞cosB 得 A＜B， 即“A＜B”是“cosA＞cosB”的充要条件， 故选：D． 5．【解答】解：函数 f（x）为增函数， ∵f（2）＝22+2﹣10＝6﹣10＝﹣4＜0， f（3）＝32+3﹣10＝12﹣10＝2＞0， ∴f（2）f（3）＜0， 即函数在（2，3）内存在一个零点 x0， ∵零点 x0∈（k，k+1）， ∴k＝2， 故选：C． 6．【解答】解：∵T＝ ＝π，即完成一次完整的摆动需时 π，
。.
2018-2019 学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（5 分）与角﹣390°终边相同的最小正角是（ ）
A．﹣30°
B．30°
C．60°
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上．）
9．（5 分）已知圆心角为 60°的扇形，其半径为 3，则该扇形的面积为
．
10．（5 分）若点 P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数 y＝f（x）的图象上，则实数 y0＝
21．（12 分）开发商现有四栋楼 A，B，C，D．楼 D 位于楼 BC 间，到楼 A，B，C 的距离分 别为 1200m，600m，400m，且从楼 D 看楼 A，B 的视角为 90°．如图所示，不计楼大小 和高度． （1）试求从楼 A 看楼 B，C 视角大小； （2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼 M，P，N，形成以楼 AMPN 为顶点的 矩形开发区域．规划要求楼 B，C 分别位于楼 MP 和楼 PN 间，如图所示，记∠MAB＝θ， 当 θ 等于多少时，矩形开发区域面积最大？
江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学第Ⅰ卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将依次加求得终边相同的最小正角【详解】.依题意，，故选D.【点睛】本小题主要考查终边相同的角，考查正角的概念，属于基础题.2.函数的零点是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，解方程求得的值，也即是零点.【详解】令，即，故选A.【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，考查指数式和对数式互化，属于基础题.3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】将转化为，由此得出正确选项.【详解】即，故只需将向左平移个单位得到，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查变换前后解析式的关系，属于基础题.4.已知角，是中的两个内角，则“”是“”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分又不必要D. 充要【答案】D【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推出的情况判断正确选项.【详解】当“”时，由于，在上为减函数，故“”.当“”时，由于,在上为减函数，可得到“”.故为充要条件.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，属于基础题.5.已知函数的零点，则整数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，验证，由此判断整数的值.【详解】函数的增函数，且，，根据零点存在性定理可知，函数零点位于区间，故，故选C.【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理，考查函数的单调性，属于基础题.6.一个单摆如图所示，以为始边，为终边的角与时间的函数满足：，则单摆完成次完整摆动所花的时间为（）.A. B. C. D. ．【答案】D【解析】【分析】求得函数的最小正周期，然后乘以得出正确选项.【详解】函数的周期为，个周期即，故选D.【点睛】本小题主要考查的周期性，考查单摆的知识，属于基础题.7.已知若角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于终边经过点，则，所以，.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查符合函数函数值的计算，考查分段函数求值，属于中档题.如果一个角的终边经过点，令，则，，这就是三角函数的定义.要求有多个函数复合而成的函数值，要先从最里面的函数值开始求起，然后逐步求到最外面的函数值.8.已知函数，，则方程的解的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得到，分别画出和的图像，根据两个函数图像交点的个数，得出解得个数.【详解】由得到，，画出和的图像如下图所示，由图可知，解得个数为，故选C.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查对数函数和含有分式的函数图像的画法，考查含有绝对值函数图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要判断一个方程有几个解，可以将方程转化为两个函数，然后利用两个函数图像交点个数来判断.二、填空题（将答案填在答题纸上）9.已知圆心角为的扇形，其半径为，则该扇形的面积为___．【答案】【解析】【分析】现将转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积.【详解】转化为弧度制是，故扇形的面积为.【点睛】本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题.10.若点，均在幂函数的图象上，则实数_____．【答案】9【解析】【分析】设出幂函数的解析式，代入点坐标求得这个解析式，然后令求得的值.【详解】设幂函数为，将代入得，所以，令，求得.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数上点的坐标，属于基础题.11.已知，则____．【答案】3【解析】【分析】对原方程分子分母同时除以，转化为的形式，解方程求得的值.【详解】依题意，解得.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程，属于基础题.12.计算：_____．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.【详解】依题意，原式.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.13.已知函数，若对任意都有恒成立，则实数的取值范围为____．【答案】【解析】【分析】先根据的取值范围，求得的取值范围，对分成两类，结合不等式，求得的取值范围.【详解】由得.当时，由得.当时，，由得.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查不等式的性质，考查恒成立问题的求解策略.属于中档题.14.求值：_____．【答案】4【解析】试题分析：由题意得考点：三角函数两角和公式、二倍角公式.15.已知，，则_____．【答案】【解析】【分析】将已知和联立，解方程求得的值，用二倍角公式求得的值.【详解】由于，由，解得，所以.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查解二元二次方程的方法，考查二倍角公式的应用求证，属于中档题.已知这三者其中的一个，都可以通过结合以及终边所在的位置，求出另外两个.二倍角的余弦有三个公式，要注意选择合适的公式来计算.16.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过．．．，则速度的取值范围为___．【答案】【解析】【分析】先利用时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由于“汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为”，所以，解得，故每小时油耗为，依题意，解得，依题意，故.所以速度的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，考查实际应用问题，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设全集，集合，.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）当时，解对数不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.（2）根据得到是的子集，解对数不等式求得集合，根据集合是集合的子集列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）当时，由于，即，所以.由于，即，所以.所以.（2）因为，所以.由于，则所以.【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查子集的概念及运算.属于基础题. 18.已知，均为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求得的值.（2）先根据的取值范围，利用同角三角函数的基本关系式求得的值.方法一：先求得的值，进而求得的值，利用，利用两角差的正弦公式展开代入数据求得结果.方法二：先求得的值，由此利用两角差的正弦公式，求得的值.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，为锐角，所以，则.由于，所以..【方法一】因为为锐角，，则，所以，从而.则【方法二】因为为锐角，，则，所以.则，.从而.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题.19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：（1）求函数的解析式，并补全表中其它的数据；（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；（3）写出函数的单调减区间.【答案】(1)见解析；(2)图象见解析；（3）单调减区间，.【解析】【分析】（1）根据最大值求得，利用已知条件列方程组，求得的值.由此求得的表达式，并将表格补全.（2）根据表格的数据画出函数的图像.（3）根据图像可知，函数的一个减区间是，加上函数的周期即得到函数的减区间.【详解】（1）因为当时，，所以.由表中数据有：解得所以.表中数据补全得表:（2）函数图象见图：（3）因为函数在一个周期内的减区间为，所以函数的单调减区间，.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像，求三角函数解析式，考查三角函数图像的五点作图法，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.20.已知函数.（1）若的定义域为（是自然对数的底数），求函数的最大值和最小值；（2）求函数的零点个数.【答案】（1），（2）2个【解析】【分析】（1）先化简得到的解析式，利用换元法将函数转化为二次函数的形式，根据二次函数的知识求得的最大值和最小值.（2）先求得的表达式，求得函数的定义域，判断出的奇偶性，当时根据函数的单调性判断出函数在上存在唯一的零点，根据函数的奇偶性可判断出在定义域内的零点个数.【详解】（1）由于的定义域为，则设，则在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，则.（2）函数，，因为，所以是偶函数.当时，在上连续不间断，且单调递增，又，，则函数在上存在唯一的零点由于函数为偶函数，则函数在上也存在唯一的零点.综上，函数在定义域内零点的个数为个.【点睛】本小题主要考查复合函数最值的求法，考查利用换元法求函数的最值，考查函数的奇偶性以及单调性，考查函数的零点问题，属于中档题.对于结构和二次函数类似的函数，可以通过换元法，将函数转化为二次函数，根据二次函数的对称轴和定义域，求得函数的最大值和最小值.21.开发商现有四栋楼，，，楼位于楼间，到楼，，的距离分别为，，，且从楼看楼，的视角为.如图所示，不计楼大小和高度.（1）试求从楼看楼，视角大小；（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼，，，形成以楼为顶点的矩形开发区域.规划要求楼，分别位于楼和楼间，如图所示记，当等于多少时，矩形开发区域面积最大？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可知，由此求得，的值，进而求得的值，由此求得从楼看楼，视角大小.（2）先计算出的长，用表示出的长，由此求得矩形面积的表达式，化简后可求得当时，矩形开发区域的面积最大【详解】（1）因为楼到楼，的距离分别为和，到楼的距离为，所以百米，百米，百米.因为从楼看楼，的视角为，则.则，，所以.又，即.所以.答：从楼看楼，视角的大小为.（2）在和中，，，则在中，，在中，.记矩形开发区域的面积为，则.又当时，即时，矩形开发区域的面积最大.答：当时，矩形开发区域的面积最大.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查矩形面积的计算，考查三角函数求最值，属于中档题.22.已知函数.（1）解不等式：；（2）求函数的奇偶性，并求函数在上的单调性；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）在上单调递增.（3）【解析】【分析】（1）化简为，利用换元法将不等式转化为一元二次不等式，求得一元二次不等式的解集，进而求得的范围.（2）通过计算证得函数为偶函数.利用定义法，通过计算得，由此判断函数在上单调递增.（3）将原不等式转化为，利用换元法将其转化为，分离常数后，利用函数的单调性求得的取值范围.【详解】（1）因为，则，即.令，则有，解得，即.所以，故不等式解集为.（2）因为的定义域为，且，则为偶函数设，则，由于，则，.所以，即.故函数在上单调递增.（3）由于不等式恒成立，即恒成立，从而有恒成立.因为，则等价于不等式恒成立.令，则.由于是偶函数，由（2）得函数在上单调递增，则函数在上单调递减.故，则，即.则原不等式等价于，恒成立.由于在上恒成立，则在上恒成立.记，则在上单调递增，有，.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查利用定义法求函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 对于结构和一元二次不等式类似的不等式，可以通过换元法，将其转化为一元二次不等式来求解，由此求得不等式的解集.。
2018-2019学年江苏省镇江市高一上学期期末考试数学试题(答案+解析)
江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.[答案]D[解析]依题意，，故选D.2.函数的零点是（）A. B. C. D.[答案]A[解析]令，即，故选A.3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位[答案]B[解析]即，故只需将向左平移个单位得到，故选B.4.已知角，是中的两个内角，则“”是“”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分又不必要D. 充要[答案]D[解析]当“”时，由于，在上为减函数，故“”.当“”时，由于,在上为减函数，可得到“”.故为充要条件.所以本题选D.5.已知函数的零点，则整数的值为（）A. B. C. D.[答案]C[解析]函数的增函数，且，，根据零点存在性定理可知，函数零点位于区间，故，故选C.6.一个单摆如图所示，以为始边，为终边的角与时间的函数满足：，则单摆完成次完整摆动所花的时间为（）.A. B. C. D. ．[答案]D[解析]函数的周期为，个周期即，故选D.7.已知若角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.[答案]A[解析]由于终边经过点，则，所以，.故选A.8.已知函数，，则方程的解的个数为（）A. B. C. D.[答案]C[解析]由，得到，，画出和的图像，由图可知，解得个数为，故选C.二、填空题9.已知圆心角为的扇形，其半径为，则该扇形的面积为___．[答案][解析]转化为弧度制是，故扇形的面积为.10.若点，均在幂函数的图象上，则实数_____．[答案]9[解析]设幂函数为，将代入得，所以，令，求得.11.已知，则____．[答案]3[解析]依题意，解得.12.计算：_____．[答案][解析]依题意，原式.13.已知函数，若对任意都有恒成立，则实数的取值范围为____．[答案][解析]由得.当时，由得.当时，，由得.综上所述，的取值范围是.14.求值：_____．[答案]4[解析]由题意得．15.已知，，则_____．[答案][解析]由于，由，解得，所以.16.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为___．[答案][解析]由于“汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为”，所以，解得，故每小时油耗为，依题意，解得，依题意，故.所以速度的取值范围为.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设全集，集合，.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，由于，即，所以.由于，即，所以.所以.（2）因为，所以.由于，则，所以.18.已知，均为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为，所以.（2）因为，为锐角，所以，则.由于，所以.[方法一]因为为锐角，，则，所以，从而.则．[方法二]因为为锐角，，则，所以.则，.从而.19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：（1）求函数的解析式，并补全表中其它的数据；（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；（3）写出函数的单调减区间.解：（1）因为当时，，所以.由表中数据有：解得，所以.表中数据补全得表:（2）函数图象见图：（3）因为函数在一个周期内的减区间为，所以函数的单调减区间，.20.已知函数.（1）若的定义域为（是自然对数的底数），求函数的最大值和最小值；（2）求函数的零点个数.解：（1）由于的定义域为，则设，则在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，则.（2）函数，，因为，所以是偶函数.当时，在上连续不间断，且单调递增，又，，则函数在上存在唯一的零点由于函数为偶函数，则函数在上也存在唯一的零点.综上，函数在定义域内零点的个数为个.21.开发商现有四栋楼，，，楼位于楼间，到楼，，的距离分别为，，，且从楼看楼，的视角为.如图所示，不计楼大小和高度.（1）试求从楼看楼，视角大小；（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼，，，形成以楼为顶点的矩形开发区域.规划要求楼，分别位于楼和楼间，如图所示记，当等于多少时，矩形开发区域面积最大？解：（1）因为楼到楼，的距离分别为和，到楼的距离为，所以百米，百米，百米.因为从楼看楼，的视角为，则.则，，所以.又，即.所以.答：从楼看楼，视角的大小为.（2）在和中，，，则在中，，在中，.记矩形开发区域的面积为，则.又，当时，即时，矩形开发区域的面积最大.答：当时，矩形开发区域的面积最大.22.已知函数.（1）解不等式：；（2）求函数的奇偶性，并求函数在上的单调性；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）因为，则，即.令，则有，解得，即.所以，故不等式解集为.（2）因为的定义域为，且，则为偶函数设，则，由于，则，.所以，即.故函数在上单调递增.（3）由于不等式恒成立，即恒成立，从而有恒成立.因为，则等价于不等式恒成立.令，则.由于是偶函数，由（2）得函数在上单调递增，则函数在上单调递减.故，则，即.则原不等式等价于，恒成立.由于在上恒成立，则在上恒成立.记，则在上单调递增，有，.。
2017-2018学年江苏省镇江市高一(上)期末数学试卷(含精品解析)
2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）1.已知集合A ={x |x ＞1}，B ={x |-3≤x ≤2}，则A ∩B =______．2.若函数y =cos （ωx -）（ω＞0）最小正周期为，则ω=______．π6π33.函数y =+lg （3-x ）的定义域为______．x +24.已知幂函数f （x ）满足f （2）=8，则f （-2）=______．5.不等式x 2-2x -3＜0的解集为______．6.函数f （x ）=2sin （2x +）在[0，π]上的减区间为______．π37.将函数f （x ）=sin （2x +）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得函数图象关于原点对称，则π4π2φ=______．8.方程（）x =|ln x |的解的个数为______．129.直径为20cm 的轮子以45rad /s （弧度/秒）的速度旋转，则轮周上一点5s 内所经过的路程为______cm ．10.点P （sin ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为______．π3，‒cos π311.函数f （x ）=|tan x |-cos x 的定义域为[]，则其值域为______．‒π4，π412.已知α为锐角，且sinαtanα=，则的值为______．920sinα+cosαsinα‒cosα13.计算=______．2sin40°‒cos10°sin 10∘14.已知m ∈R ，函数f （x ）=，若函数y =f （x ）-m 有3个不同的零点，则实数m 的取值{|2x +1|,x ≤1log 2(x ‒1),x >1范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知角α终边在第四象限，与单位圆的交点A 的坐标为（，y 0），且终边上有一点P 到原点的距离15为．5（1）求y 0的值和P 点的坐标；（2）求tan （α-3π）cos （π-2α）+cos （+2α）的值．3π216.已知α，β为锐角，cos，sin （α-β）=．α=173314（1）求tan2α；（2）求β．17.已知函数f （x ）=4x -a •2x -6，a ∈R ，且为常数．（1）当a =5时，求函数y =f （x ）的零点；（2）当x ∈[0，2]，恒有f （x ）＞0，求实数a 的取值范围．18.已知函数f （x ）=x 3-2x ．（1）求函数y =f （x ）的奇偶性；（2）证明y =f （x ）在（0，1）上为单调减函数，在（1，+∞）为单调增函数；（3）判断方程f （x ）=-的解的个数，并求其最小正数解的近似值x 0（精确到0.1）．1419.如图，政府有一个边长为400米的正方形公园ABCD ，在以四个角的顶点为圆心，以150米为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现放在中间修建一块长方形的活动广场PQMN ，其中P 、Q 、M 、N 四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠QBC =α，长方形活动广场的面积为S ．（1）请把S 表示成关于α的函数关系式；（2）求S 的最小值．20.已知b ∈R ，b 为常数，函数f （x ）=x 2-bx +b -1．（1）求关于x 的不等式f （x ）≥0的解集；（2）若函数F （x ）=|f （x ）|-（x ）-有两个不同的零点，求实数b 的取值范围；12（3）对于给定的x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f （x 1）≠f （x 2），证明：关于x 的方程f （x ）=[f （x 1）13+2f （x 2）]在区间（x 1，x 2）内有且仅有一个实根．答案和解析1.【答案】（1，2]【解析】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|-3≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故答案为：（1，2]．利用集合A={x|x＞1}，B={x|-3≤x≤2}，能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】6【解析】解：∵f（x）=cos（ωx-）的最小正周期为，∴函数的周期T==，∴解得ω=6．故答案为：6．根据余弦函数的周期公式即可得到结论．本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．3.【答案】[-2，3）【解析】解：由，解得-2≤x＜3．∴函数y=+lg（3-x）的定义域为：[-2，3）．故答案为：[-2，3）．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.【答案】-8【解析】解：设幂函数f （x ）=x α，α∈R ，由f （2）=8，∴2α=8，解得α=3，∴f （x ）=x 3；∴f （-2）=（-2）3=-8．故答案为：-8．设出幂函数f （x ）=x α，由f （2）=8求得α的值，写出函数解析式，再计算f （-2）的值．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.【答案】{x |-1＜x ＜3}【解析】解：∵方程x 2-2x-3=0的实数根是x 1=-1，x 2=3；∴不等式x 2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x ＜3}，故答案为：{x|-1＜x ＜3}，先求对应方程x 2-2x-3=0的实数根，再写出不等式的解集本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答即可．6.【答案】[，]π127π12【解析】解：对于函数f （x ）=2sin （2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k ∈Z ．再根据x ∈[0，π]，可得函数的减区间为[，]，故答案为：[，]．由题意利用正弦函数的单调性，求得函数f （x ）在[0，π]上的减区间．本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．7.【答案】3π8【解析】解：函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数解析式为y=3sin[2（x+φ）+]=3sin（2x+2φ+），∵新函数的图形关于原点对称，∴y=3sin（2x+2φ+）是奇函数，∴2φ+=π+2kπ，解得φ=，k∈Z．∵0＜φ＜，∴φ=．故答案为：．利用图象平移规律得出平移后的函数解析式，根据新函数为奇函数和诱导公式列方程解出φ．本题考查了正弦函数的性质，函数图象的变换，属于中档题．8.【答案】2【解析】解：方程（）x=|lnx|的解的个数即为函数y=（）x与y=|lnx|的图象交点的个数在同一坐标系中画出函数y=（）x与y=|lnx|的图象如下图所示由图可得函数y=（）x与y=|lnx|的图象有2个交点．故方程（）x=|lnx|的解有2个．故答案为：2，方程（ ）x =|lnx|的解的个数，即为函数y=（ ）x 与y=|lnx|的图象交点的个数，在同一坐标系中画出函数y=（ ）x 与y=|lnx|的图象，数形结合，可得答案．本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，其中将方程根的个数转化为函数图象交点个数是解答的关键．9.【答案】2250【解析】解：轮周上一点5s 内所经过的路程=45×5×10=2250cm ，故答案为：2250．利用弧长公式即可得出．本题考查了弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】11π6【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ 和sinθ的值，可得θ的值．【解答】解：∵点P （sin）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则cosθ=sin =>0，sinθ=-cos =-<0，∴θ=2π-=，故答案为．11.【答案】[-1，1-]22【解析】解：当x ∈[-，0]时，f （x ）=|tanx|-cosx=-tanx-cosx ，该函数在[-，0]上为减函数，则f （x ）∈[-1，1-]；由f （-x ）=|tan （-x ）|-cos （-x ）=|tanx|-cosx=f （x ），可知f （x ）为偶函数，∴当x∈[0，]时，f（x）∈[-1，1-]．∴函数f（x）=|tanx|-cosx（x∈[]）的值域为[-1，1-]．故答案为：[-1，1-]．利用单调性求出函数在[-，0]上的值域，结合函数为偶函数得答案．本题考查利用函数的单调性与奇偶性求函数的值域，是中档题．12.【答案】-7【解析】解：α为锐角，且sinαtanα=，则：，整理得：20cos2α+9cosα-20=0，解得：或（负值舍去），故：．则：==-7，故答案为：-7直接利用三角函数关系式的恒等变变换，转换成一元二次方程，进一步求出sinα和cosα，最后求出结果．本题考查的知识要点：一元二次方程的解法，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】3【解析】解：===．故答案为：直接利用三角函数关系是的恒等变换和角的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：利用三角函数关系是的恒等变换和角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14.【答案】（0，3]【解析】解：画出函数y=f （x ）=，与y=m 的图象，如图所示：∵函数y=f （x ）-m 有三个不同的零点，∴函数y=f （x ）与y=m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为（0，3]，故答案为：（0，3]．画出函数y=f （x ）与y=m 的图象，由图象可得m 的取值范围．本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，数形结合的应用，属于中档题．15.【答案】解：（1）∵角α终边在第四象限，与单位圆的交点A 的坐标为（，y 0），15且终边上有一点P 到原点的距离为，5∴=1，∴y 0=-，或y 0=（不合题意，舍去），15+y 202525故有y 0=-．255设点P （a ，b ），a ＞0，b ＜0，则根据tanα==-2=，=，‒25515ba a 2+b 25求得a =1，b =-2，故有点P 的坐标为（1，-2）．（2）求tan （α-3π）cos （π-2α）+cos （+2α）=tanα•（-cos2α）+sin2α3π2=-tanα•+cos 2α‒sin 2αcos 2α+sin 2α2sinαcosαcos 2α+sin 2α=-tanα•+=-2×+=2．1‒tan 2α1+tan 2α2tanα1+tan 2α1‒41+42×21+4【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得y 0的值和P 点的坐标．（2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．16.【答案】解：（1）∵α为锐角，cos，α=17∴sinα=，则tanα=．1‒cos 2α=437sinαcosα=43∴tan2α=；2tanα1‒tan 2α=‒83（2）∵α，β为锐角，∴＜α-β＜，‒π2π2又sin （α-β）=∴cos （α-β）==．33141‒sin 2(α‒β)1314∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos （α-β）-cosαsin （α-β）=，437×1314‒17×3314=32∴β=．π3【解析】（1）由已知求得sinα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解；（2）求出cos （α-β），由sinβ=sin[α-（α-β）]，展开两角差的正弦求得sinβ，则β可求．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查两角和与差的三角函数，是中档题．17.【答案】解：（1）当a =5时，f （x ）=4x -5×2x -6，设t =2x ，t ＞0，∴g （t ）=t 2-5t -6，令g （t ）=t 2-5t -6=0，解得t =6或t =-1，∴2x =6，∴x =log 26；（2）由（1）可得g （t ）=t 2-at -6，且t ∈[1，4]，其对称轴为t =，a2当t ≤1时，g （t ）在[1，4]上单调递增，f （x ）min =g （t ）min =f （1）=1-a -6＞0，解得a ＜-5，当t ≥4时，g （t ）在[1，4]上单调递减，f （x ）min =g （t ）min =f （4）=16-4a -6＞0，解得a ＜-，52当1＜t ＜4时，f （x ）min =g （t ）=g （）=--6＜0，即a 2+24＞0恒成立，a 2a 24a 22综上所述a 的取值范围a ＜-5【解析】（1）利用换元法和函数零点存在定理即可求出，（2）根据二次函数的性质，分类讨论，即可求a 的取值范围．本题考查了函数零点存在定理以及二次函数的性质，函数恒成立的问题，属于中档题18.【答案】解：（1）根据题意，函数f （x ）=x 3-2x ，则f （-x ）=（-x ）3-2（-x ）=-（x 3-2x ）=-f （x ），则函数为奇函数；（2）根据题意，设0＜x 1＜x 2＜1，则f （x 1）-f （x 2）=（x 13-2x 1）-（x 23-2x 2）=（x 1-x 2）（x 12+x 1x 2+x 22-3），又由0＜x 1＜x 2＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0，则在（0，1）上为单调减函数；再设1＜x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=（x 13-2x 1）-（x 23-2x 2）=（x 1-x 2）（x 12+x 1x 2+x 22-3），又由1＜x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）＜0，则在（1，+∞）上为单调增函数；（3）根据题意，方程f （x ）=-，即x 3-2x =-，1414设g （x ）=x 3-2x +，14g （-2）=-＜0，g （-1）=＞0，则函数在区间（-2，-1）上有零点，15454g （0）=＞0，g （1）=-＜0，则函数在区间（0，1）上有零点，1434g （2）=＞0，则函数在区间（1，2）上有零点，174则函数g （x ）有三个零点，其最小正数解在（0，1）中，g （）=-＜0，其最小正数解在（0，）中，125812g （）=-＜0，其最小正数解在（0，）中，14156414g （）=＞0，其最小正数解在（，）中，1815121814g （）＜0，其最小正数解在（，）中，31618316此时-=＜0.1，符合题意，31618116即g （x ）的最小正数解的近似值约为0.15；则方程f （x ）=-的最小正数解的近似值x 0=0.15．14【解析】（1）根据题意，由函数的解析式可得f （-x ），分析可得f （-x ）=-f （x ），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，用作差法分析可得答案；（3）根据题意，设g （x ）=x 3-2x+，函数g （x ）的零点就是方程f （x ）=-的解，由函数零点判定定理分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及函数零点，属于基础题．19.【答案】解：（1）∠QBC =α，如图所示，在直角三角形BQE 中，BE =150cosα，QE =150sinα，0≤α≤，π2可得矩形PQMN 的PQ =400-300sinα，QM =400-300cosα，则S =PQ •QM =（400-300sinα）（400-300cosα）=10000（4-3sinα）（4-3cosα），α∈[0，]；π2（2）由（1）知，S =10000[16-12（sinα+cosα）+9sinαcosα]，设t =sinα+cosα=sin （α+），则≤α+≤，2π4π4π43π4可得1＜t ≤，sinαcosα=，2t 2‒12可得S =10000[16-12t +（t 2-1）]92=5000[9（t -）2+7]，43当t =∈[1，]，S 取得最小值5000×7=35000m 2．432【解析】（1）在直角三角形BQE 中，求得BE 、QE ，写出矩形的长和宽，计算面积即可；（2）利用换元法，结合三角函数的恒等变换，借助二次函数的最值求法，求得最小值．本题考查了矩形的面积计算问题，也考查了三角函数的恒等变换和正弦函数的性质应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）x 2-bx +b -1≥0，即（x -1）（x -b +1）≥0，当b =2时，x ∈R ；当b ＞2时，x ∈（-∞，1]∪[b -1，+∞）；当b ＜2时，x ∈（-∞，b -1]∪[1，+∞）；（2）函数F （x ）=|f （x ）|-f （x ）-有两个不同的零点，12f （x ）≥0，即-≥0不满足题意；12f （x ）≤0可得y =2f （x ）（f （x ）≤0）与有两个交点，可得y =‒122•＜-，解得b ＜1或b ＞3；4b ‒4‒b 2412（3）证明：对于给定的x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f （x 1）≠f （x 2），关于x 的方程f （x ）=[f （x 1）+2f （x 2）]，13可设，H(x)=f(x)‒13[f(x 1)+2f(x 2)]H （x 1）H （x 2）=（f （x 1）-f （x 2））•（f （x 2）-f （x 1））2313=-（f （x 1）-f （x 2））2＜0，29且H （x ）在（x 1，x 2）单调，可得关于x 的方程f （x ）=[f （x 1）+2f （x 2）]在区间（x 1，x 2）内有且仅有一个实根．13【解析】（1）因式分解对b 讨论，当b=2时，x ∈R ；当b ＞2时，x ∈（-∞，1]∪[b-1，+∞）；当b ＜2时，x ∈（-∞，b-1]∪[1，+∞）；（2）f （x ）≥0不满足题意，即y=2f （x ）（f （x ）≤0）与有两个零点，所以b ∈（-∞，1）∪（3，+∞）；（3）“关于x 的方程在区间（x 1，x 2）内有且仅有一个实根”转化为“在区间（x 1，x 2）内有且仅有一个零点”，运用函数零点存在定理即可得证．本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及函数零点问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．。
2017-2018学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）1.设集合A={0，1}，B={1，3}，则A∪B=______．2.tan=______．3.设幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（4）=______．4.函数f（x）=x3sin x的奇偶性为______函数．（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）5.已知扇形的面积为4cm2，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为______cm．6.（）+log49•log32=______．7.已知单位向量，的夹角为60°，则||______．8.已知cos（）=，则sin（）=______．9.如图，在△ABC中，==2，若，则λ-μ=______．10.不等式2-x≤log2（x+1）的解集是______．11.已知△ABC的面积为16，BC=8，则的取值范围是______．12.已知函数f（x）=2sin（ωx-）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的零点完全相同，则g（）=______．13.设函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．若f（1）=，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，则m的值为______．14.设a为实数，函数f（x）=（3-x）|x-a|-a，x∈R，若f（x）在R上不是单调函数，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|2≤2x≤16}，非空集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，全集为实数集R．（1）求集合A∩B和∁R B；（2）若A∪C=A，求实数m取值的集合．16.已知向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα）（1）若α=，求证： ⊥；（2）若向量，共线．求||17.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为且过点（0，1）．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间：（3）求f（x）在（-，0）的值域．18.近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益p与投入a（单位：万元）满足p=4-6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足：Q=，，＜，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？19.已知关于x的函数g（x）=mx2-2（m-1）x+n为R上的偶函数，且在区间[-1，3]上的最大值为10．设f（x）=．（1）求函数的解析式；（2）若不等式f（2x）-k•2x≤2在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数t，使得关于x的方程f（|2x-1|）+-3t-2=0有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t的范围，如果不存在，说明理由．20.已知函数f（x）=lg．（1）求不等式f（f（x））+f（1g2）＞0的解集；（2）函数g（x）=2-a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）=或，讨论函数y=h（h（x））-2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．答案和解析1.【答案】{0，1，3}【解析】解：设集合A={0，1}，B={1，3}，则A∪B={0，1，3}，故答案为：{0，1，3}找出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】【解析】解：tan=tan（2π+）=tan=．故答案为：．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．3.【答案】2【解析】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过（2，），则有=2a，∴a=，即f（x）=，∴f（4）==2故答案为：2．设出幂函数的解析式，由图象过（2，），确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的值．考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．4.【答案】偶【解析】解：函数f（x）=x3sinx的定义域关于原点对称，函数y=x3，是奇函数，函数y=sinx也是奇函数，由奇×奇=偶，∴函数f（x）=x3sinx是偶函数．故答案为：偶．定义域关于原点对称，奇×奇=偶，可得答案．解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，属于基础题．5.【答案】10【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是，∴l=r，∵S=lr=4，扇∴•r•r=4，∴r2=16，r=4．∴其周长c=l+2r=2+8=10．故答案为：10．设扇形的弧长为l，半径为r，利用弧长公式，扇形的面积公式可求r，即可得解周长的值．本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．6.【答案】【解析】解：（）+log49•log32=．故答案为：．直接由分数指数幂和对数的运算性质计算得答案．本题考查了对数的运算性质，是基础题．7.【答案】=解：单位向量，的夹角为60°，则=+2•+=1+2×1×1×cos60°+1=3，∴|+2|=．故答案为：．根据平面向量的数量积求模长即可．本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题．8.【答案】【解析】解：已知cos（）=，则sin（）=-cos（）=-cos（）=-．故答案为：-．利用已知条件，对三角函数的关系式进行变换，利用sin进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于与基础题型．9.【答案】-【解析】解：根据题意得：AD=2DC，BE=2EA，∴=；=，∴=-=（+）-=-+∴λ=-，μ=；故答案为-．=-，运用共线向量的知识可得λ和μ的值．本题考查平面向量基本定理的应用．10.【答案】[1，+∞）解：令g（x）=log2（x+1）-（2-x），则不等式2-x≤log2（x+1）⇔g（x）≥0，∵g′（x）=，故g（x）=log2（x+1）-（2-x）在（-1，+∞）上为增函数，又g（1）=log22-（2-1）=0，∴g（x）≥0⇒g（x）≥g（1）⇒x≥1．∴不等式2-x≤log2（x+1）的解集是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．构造函数g（x）=log2（x+1）-（2-x），利用导数证明g（x）=log2（x+1）-（2-x）在（-1，+∞）上为增函数，且g（x）≥0，可得g（x）≥g（1），则x≥1，由此可得原不等式的解集．本题考查对数不等式的解法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．11.【答案】[0，+∞）【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，设△ABC边BC上的高为h，则面积为×8h=16，解得h=4，又A（0，4），设C（x，0），则B（x-8，0），x∈R；∴=（x-8，-4），=（x，-4）；则=x（x-8）+16=x2-8x+16=（x-4）2≥0，∴•的取值范围是[0，+∞）．建立平面直角坐标系，利用坐标表示△ABC顶点的坐标，求出的取值范围．本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．12.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=2sin（ωx-）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的零点完全相同，∴两函数周期相同，则ω=2，∴f（x）=2sin（2x-），由，可得x=，k∈Z；∴g（）=cos（）=±cos（）=0，则=，k∈Z．∴θ=，k∈Z．取k=0，可得．则g（x）=cos（2x+θ）=cos（2x），∴g（）=cos（）=cos=．故答案为：．由已知可知两函数周期相等，求得ω，由两函数零点相同求得θ值，则g（）可求．本题考查三角函数的化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．13.【答案】【解析】解：函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，即1-（k-1）=0，可得k=2，由f（1）=，可得a-a-1=，解得a=2，则g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），可令t=2x-2-x，由x≥1，可得t≥，可得函数y=t2+t（2-2m），当m-1≥时，g（x）的最小值为-（m-1）2，由-（m-1）2=-2，解得m=1±＜，不成立；当m-1＜时，g（x）的最小值为+（2-2m），由+（2-2m）=-2，解得m=＜成立．故答案为：．由奇函数的性质可得f（0）=0，可得k=2，由条件解方程可得a=2，求得g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），可令t=2x-2-x，由x≥1，可得t≥，可得函数y=t2+t（2-2m），讨论对称轴与区间的关系，结合单调性可得最小值，解方程可得m 的值．本题考查函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性，考查换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．14.【答案】{a|a≠3}【解析】解：根据题意，f（x）=（3-x）|x-a|-a=，二次函数y=x2-（a+3）x+2a的对称轴为x=＜a，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a的对称轴也为x=，若＜a，即a＞3时，二次函数y=x2-（a+3）x+2a在（0，a）上不单调，符合题意；若＞a，即a＜3时，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a在（a，+∞）上不单调，符合若=a，即a=3时，二次函数y=x2-（a+3）x+2a在（0，a）上单调减，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a在（a，+∞）上单调减，此时函数f（x）在R上单调递减，不符合题意；则a的取值范围为{a|a≠3}；故答案为：{a|a≠3}．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式即f（x）=，结合二次函数的性质分析其对称轴，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数的单调性的性质，注意结合二次函数的性质进行分析．15.【答案】解：（1）由-x2+5x-6≥0得：2≤x≤3，故A=[2，3]，集合B={x|2≤2x≤16}=[1，4]，则A∩B=[2，3]，∁R B=（-∞，1）∪（4，+∞）；（2）若A∪C=A，则C⊆A＋，解得：1≤m≤2，∴m=2，当m≥2时，C≠∅，则综上可得实数m取值的集合．【解析】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．（1）解不等式分别求出AB，进而可得集合A∩B和∁R B；（2）若A∪C=A，则C⊆A，求出满足条件的m，可得答案．16.【答案】证明：（1）∵向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα），α=，∴=（sin，2cos）=（，-），∴=2×+1×（-）=0．∴ ⊥．解：（2）∵向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα）向量，共线．∴sinα=4cosα，∵sin2α+cos2α=17cos2α=1，∴sin2α=，cos2α=，∴||====．【解析】（1）向量=（2，1），α=时，=（sin，2cos）=（，-），由=0．能证明⊥．（2）由向量，共线．得sinα=4cosα，从而sin2α+cos2α=17cos2α=1，进崦sin2α=，cos2α=，由此能求出||．本题考查向量垂直的证明，考查向量模的求法，考查向量垂直、向量共线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，∴=2×，∴ω=2．再根据图象过点（0，1），可得1=2sinφ，即sinφ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．（3）在（-，0）上，2x+∈（-，），故当2x+=-时，函数取得最小值为-2，当2x+趋于时，函数趋于最大值1，股函数f（x）的值域为[-2，1）．【解析】（1）利用正弦函数的周期性求的ω，根据图象经过定点，求得φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求的f（x）的单调增区间．（3）利用正弦函数的定义域以及值域，求的f（x）在（-，0）的值域．本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域以及值域，属于基础题．18.【答案】解：（1）当投资甲城市128万元时，投资乙城市112万元，此时公司总收益：f（x）=4-6+=4×16-6+28+2=88（万元）．（2）甲城市的投入为x，则乙城市投资240-x万元，当80≤x≤120时，f（x）=4-6+（240-x）+2=4-x+56，∴f′（x）=2•-==＞0恒成立，∴f（x）在[80，120]上单调递增，∴f（x）max=f（120）=16+26，当120＜x≤160时，f（x）=4-6+32=4+26，∴f（x）在（120，160]上单调递增，∴f（x）max=f（160）=4+26=16+26，∵16+26＞16+26，∴该公司在甲城市投资160万元，在乙城市投资80万元，总收益最大．【解析】（1）根据收益公式计算；（2）得出f（x）的解析式，判断f（x）在定义域上的单调性，从而可得f（x）取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案．本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵函数g（x）=mx2-2（m-1）x+n为R上的偶函数，可得m-1=0，即m=1．则g（x）=x2+n，由g（x）在区间[-1，3]上的最大值为10．即g（3）=10，可得n=1．∴函数的解析式为g（x）=x2+1；（2）由f（x）==不等式f（2x）-k•2x≤2在x∈[-1，1]上恒成立，即在x∈[-1，1]上恒成立，∴k≥设，∵x∈[-1，1]∴s∈[，2]．则s2-2s+1=（s-1）2∈[0，1]；∴k≥1，即所求实数k的取值范围为[1，+∞）．（3）由方程f（|2x-1|）+-3t-2=0，可得|2x-1|+-3t-2=0，可化为：|2x-1|2-（3t+2）|2x-1|+（2t+1）=0（|2x-1|≠0），令r=|2x-1|，则r2-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），方程f（|2x-1|）+-3t-2=0有四个不相等的实数根；则关于r的方程r2-（3t+2）r+（2t+1）=0必须有两个不相等的实数根r1和r2，并且0＜r1＜1，0＜r2＜1，记h（r）=r2-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），其对称轴＜＜，可得：＜＜∴＞△＞＞即＞＞＞解得：＜＜故得存在实数t的范围为（，）．【解析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可得m的值．在区间[-1，3]上的最大值为10，即可求解n，可得解析式；（2）利用换元法，分离参数即可求解实数k的取值范围；（3）利用换元法，转化为函数图象交点的问题．根据函数与方程之间的关系，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解，函数恒成立以及函数与方程的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．20.【答案】解：（1）函数f（x）=lg，由＞0，可得-1＜x＜1，f（-x）=lg=-f（x），即f（x）为奇函数，且0＜x＜1时，f（x）=lg（-1+）递减，可得f（x）在（-1，1）递减，且f（x）的值域为R，不等式f（f（x））+f（1g2）＞0，即为f（f（x））＞-f（lg2）=f（-lg2），则-1＜f（x）＜-lg2，即-1＜lg＜lg，即为0.1＜＜，解得＜x＜，则原不等式的解集为（，）；（2）函数g（x）=2-a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）=g（x2）成立，当0≤x＜1，f（x）=lg的值域为（-∞，0]，当a＞1时，g（x）在[0，1）递减，可得g（x）的值域为（2-a，1]，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即有2-a＜0，即a＞2；若0＜a＜1，则g（x）在[0，1）递增，可得g（x）的值域为[1，2-a），由题意可得f（x）和g（x）的值域不存在交集，综上可得a的范围是（2，+∞）；（3）由y=h[h（x）]-2，得h[h（x）]=2，令t=h（x），则h（t）=2，作出图象，当k≤0时，只有一个-1＜t＜0，对应3个零点，当0＜k≤1时，1＜k+1≤2，此时t1＜-1，-1＜t2＜0，t3=≥1，由k+1-==（k+）（k-），得在＜k≤1，k+1＞，三个t分别对应一个零点，共3个，在0＜k≤时，k+1≤，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，综上所述：当k＞1或k=0或k＜-时，y=h[h（x）]-2只有1个零点，当-≤k＜0或＜k≤1时，y=h[h（x）]-2有3个零点，当0＜k≤时，y=h[h（x）]-2有5个零点．【解析】（1）求得f（x）的定义域和值域、单调性，由题意可得0.1＜＜，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当0≤x＜1时，f（x）的值域；以及讨论a＞1，0＜a＜1时，g（x）的值域，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即可得到所求范围；（3）由y=h[h（x）]-2，得h[h（x）]=2，令t=h（x），则h（t）=2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数．本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题．。
2017-2018学年江苏省高一上学期数学期末综合复习试题(一)含答案
2017-2018学年江苏省高一上学期数学期末综合复习试题（一）数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
参考公式：球的体积公式其中是球半径．锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．第I 卷（填空题 70分）一、填空题1.已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 1 .2.已知幂函数)(x f y =的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛214，,则)(x f 21-x .3.两条平行直线210ax y ++=与(1)10x a y +--=之间的距离为423 . 4.计算：()=++-3253ln 125.025loge11 .5.已知空间中两点()3,2,1x P 和()7452，，P 的距离为6，求实数x 91或 .6.函数x x y --=1的值域为 (]1-，∞ . 7.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是棱C C 1与BC 的中点，则直线EF 与直线C D 1所成角的大小是____︒60__.BCD1A1B1C1DEF8.给出的下列命题中，正确的是__①④_____.①//,//b b a 则c a //； ②b a ,异面，c b ,异面，则c a ,异面； ③c b b a ⊥⊥,则c a ⊥ ④αα⊥⊥b a ,则b a //9.设C B A P ,,,是体积为π288的球O 表面积上的四个点，PC PB PA ,,两两垂直，若43==PB PA ，,则=PC __119____.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是 (13,13)- .11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-+-=0),1(log 0,212)(2x x x a ax x x f a 在∞∞（-,+)上是单调减函数，则实数a 的取值范围是 1[,1)2.12.若函数()33(0)x f x m x m =⋅-+<在区间(0,1)上有零点，则m 的取值范围为233m -<<- .13.若圆：()222(1)2(0)x y r r -+-=>与线段：11(02)2y x x =-+≤≤有且只有一个交点，则r 的取值范围r r <≤=14.已知函数()223f x x x-=-，则满足()121log 0x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_()⎪⎭⎫ ⎝⎛12121，， .二、解答题(共6大题，满分共90分.)15. (本题14分)已知直线l ：01)21(=-+-+a y a ax .（1）当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求a 的值； （2）当直线l 不通过第一象限时，求a 的取值范围. 15.（本题14分）解：（1）由条件知，210≠≠a a 且，在直线l 的方程中， 令0=y 得a a x 1-=， 令0=x 得aa y 211--= ∴a a 1-=a a 211--，解得311==a a 或.……………………………………………5分 ⑵ （i ）当21=a 时，直线l 的方程为：02121=+x .即1-=x ，此时l 不通过第一象限； 同理，当0=a 时，l 也不通过第一象限. …………………………………………9分 （ii ）当021≠≠a a 且时，直线l 的方程为：aa x a a y 21121--+--=. l 不通过第一象限，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--<--0211021aa aa，解得210<<a ……………………………13分综上所述，当直线l 不通过第一象限时，a 的取值范围为210≤≤a .…………………14分16.(本题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D 在棱BC 上，且1DC AD ⊥,E 为11B C 的中点．（1）求证：平面⊥1ADC 平面11BCC B ； （2）求证：//1E A 平面1ADC ． 16.AB1A 1B 1ED17.(本题满分15分)如图甲，在直角梯形PBCD 中，//PB CD ，CD BC ⊥，2BC PB CD ==，A 是PB 的中点. 现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA AB ⊥（如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）在PA 上找一点G ，使得//FG 平面PDE .17. （1）设PD 的中点为E ，连AE, NE ，图甲图乙则易得四边形AMNE 是平行四边形则 MN ∥AE,MN PAD AE PAD ⊄⊂平面平面 所以 MN ∥平面PAD ……………………………8分（2）∵PA ⊥平面ABCD ， CD ABCD ⊂平面∴PA ⊥CD 又AD ⊥CD , PA ∩DA=A ∴ CD 平面PAD ∵ AE PAD ⊂平面∴CD ⊥AE ∵MN ∥AE ∴MN ⊥DC ………………15分18.（本题满分15分）将一根长度为24m 的钢筋截成12段，焊接成一个高为2m 的长方体包装箱骨架，设包装的底面矩形一边长为x ，表面积为S ，体积为V ，记SVk = （1）将S 和V 分别表示为x 的函数；（2）若将k 最大时包装箱称为“期望型”，试求“期望型”包装箱的尺寸． 解：（1）[]()40)4(242<<-+⨯=x x x S 即，()401682-2<<++=x x x S()x x V -=42即，())40(82422<<+-=-=x x x x x V（2）()24)2(1622)4(162)4(216422++--=+-=-+-==x x x x x x x S V k 当2=x 时，k 取到最大值，此时31=k 答：当2=x 时，k 取到最大值，此时31=k ，包装箱为棱长为2正方体。
江苏省镇江市高一上学期期末数学试卷
江苏省镇江市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·泰安月考) 设＝{1，2，3，4，5} ，若＝{2}，，，则下列结论正确的是（）A . 且B . 且C . 且D . 且2. （2分） (2016高二上·襄阳开学考) 已知函数f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确的是（）A . 函数f（x）在区间[ ]上为增函数B . 函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2πC . 函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x= 对称D . 将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象3. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 已知锐角α满足sinα+cosα= ，则tan（）=（）A . ﹣B .C .D .4. （2分）角的终边经过点，则的可能取值为（）A .B .C .D .5. （2分）在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是（）A . sinA＞sinBB . cosA＞cosBC . sinA＞cosBD . cosA＞sinB6. （2分）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A . -3≤a＜0B . -3≤a≤-2C . a≤-2D . a＜07. （2分）若，是第三象限的角，则等于（）A .B .C .D .8. （2分）要得到函数的图像, 需要将函数的图像（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位9. （2分） (2017高三上·惠州开学考) 设函数f（x）= ，若f[f（a）]＞f[f（a）+1]，则实数a的取值范围为（）A . （﹣1，0]B . [﹣1，0]C . （﹣5，﹣4]D . [﹣5，﹣4]10. （2分）(2020·沈阳模拟) 如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（）A . 2B .C .D . 311. （2分）若sinα+cosα= ，则α在（）A . 第一象限B . 第一、二象限C . 第二象限D . 第二、四象限12. （2分） (2018高二下·深圳月考) 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2016高三上·宁波期末) 若函数f（x）= 为奇函数，则a=________，f（g（﹣2））=________．14. （1分）已知tanα，tanβ是方程3x2+5x﹣7=0的两根，则cos2（α+β）的值为．________15. （1分） (2016高一上·上杭期中) 函数f（x）=x﹣的值域是________．16. （1分）若函数f（x）=2sin（ωx﹣）（0＜ω＜π），且f（2+x）=f（2﹣x），则ω的值为________．三、解答题 (共5题；共26分)17. （1分） (2016高二上·郴州期中) 三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则这个三角形的面积是________cm2 ．18. （5分） (2016高二上·淮南期中) 已知函数g（x）= +lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一个x0 ，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．19. （5分）(2017·海淀模拟) 已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．20. （5分） (2017高一上·乌鲁木齐期末) 如图所示，已知点A（1，0），D（﹣1，0），点B，C在单位圆O 上，且∠BOC= ．（Ⅰ）若点B（，），求cos∠AOC的值；（Ⅱ）设∠AOB=x（0＜x＜），四边形ABCD的周长为y，将y表示成x的函数，并求出y的最大值．21. （10分） (2019高三上·佳木斯月考) 已知函数，其中 .（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共26分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、第11 页共11 页。
江苏省镇江市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷
江苏省镇江市2017-2018学年高一上学期期末数 学 试 题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）1．已知集合{}|1A x x =>，{}|32B x x =-≤≤， 则A B = ▲ . 2．若函数()cos()60πy ωx ω=->最小正周期为3π，则ω= ▲ . 3．函数()lg 3y x =-的定义域为 ▲ .4．已知幂函数()f x 满足()28f =，则()2f -= ▲ . 5．不等式2230x x --<的解集为 ▲ . 6．函数()2sin 23πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π上的减区间为 ▲ . 7．将函数()sin 24πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移φ02πφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数图象关于原点对称，则φ= ▲ .8．方程1|ln |2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数为 ▲ .9．直径为20cm 的轮子以45rad/s （弧度/秒）的速度旋转，则轮周上一点5s 内所经过的路程为 ▲ cm . 10．点sin,cos 33ππP ⎛⎫- ⎪⎝⎭落在角θ的终边上，且[)0,2θπ∈，则θ的值为 ▲ . 11．函数()|tan |cos f x x x =-的定义域为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则其值域为 ▲ . 12．已知α为锐角，且9sin tan 20αα=，则sin cos sin cos αααα+-的值为 ▲ . 13．计算002sin 40cos10sin10-= ▲ .14．已知m R ∈，函数()()2|21|1log 11x x f x x x + , ≤⎧⎪=⎨- , >⎪⎩，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知角α终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为0y ⎫⎪⎭，且终边上有一点P(1)求0y 的值和P 点的坐标； (2)求()()3tan 3cos 2cos 22παππαα⎛⎫--++⎪⎝⎭的值.16．（本小题满分14分） 已知,αβ为锐角，1cos 7α=，()sin 14αβ-=. (1)求tan 2α； (2)求β.已知函数()426xxf x a =-⋅-，a R ∈，且为常数.(1)当5a =时，求函数()y f x =的零点；(2)当[]0,2x ∈，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分16分）已知函数()33f x x x =-.(1)求函数()y f x =的奇偶性；(2)证明()y f x =在()0,1上为单调减函数，在()1,+∞为单调增函数；(3)判断方程()14f x =-的解的个数，并求其最小正数解的近似值0x （精确到0.1）.如图，政府有一个边长为400米的正方形公园ABCD ，在以四个角的顶点为圆心， 以150米为半径的四分之一圆内都种植了花卉. 现放在中间修建一块长方形的活动广场 PQMN ，其中P 、Q 、M 、N 四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记=QBC α∠，长方形活动广场的面积为S .(1)请把S 表示成关于α的函数关系式；(2)求S 的最小值.20．（本小题满分16分）已知b R ∈，b 为常数，函数()21f x x bx b =-+-.(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集； (2)若函数()()()1||2F x f x f x =--有两个不同的零点，求实数b 的取值范围； (3)对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，证明：关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个实根.1. (]1,2，2. 6 ，3. [)2,3x ∈-，4. 8-，5.()1,3x ∈-，6.71212ππ⎛⎫⎪⎝⎭， (或闭区间)，7. 38π ， 8. 2 ， 9. 2250 ， 10. 116π，11.-12⎡⎢⎣⎦， ，12，-7，14.(]03，15. (1)0y 5=-；()1,2P - (2)化简为tan 2α=-16. (1)tan 2α= (2) 3π17. (1)2log 6x = (2) 要将对称轴2ax =与区间[]1,4位置进行讨论，5a <- 18. (1)奇函数(2) 提示：()2212121122()()(3)f x f x x x x x x x -==-++-(3) 提示：利用零点存在定理知3个零点，0 1.7x = 19. (1) ()()1000043sin 43cos 0,2πS ααα⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.(2) 提示：令sin cos 4πt ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 得二次函数，S 最小值为35000平方米.20. (1) 提示：因式分解对b 讨论，当2b =时，x R ∈；当2b >时，(][),11,x b ∈-∞⋃-+∞；当2b <时，(][),11,x b ∈-∞-⋃+∞.(2) 提示：()0f x ≥不满足题意，即()()()20y f x f x =≤ 与12y =- 有两个零点， 所以()(),13,b ∈-∞⋃+∞. (3) 提示：“关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个 实根”转化为“()()()121()23H x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个 零点”，即研究1()H x 与2()H x 可证.。