第12讲 线性规划模型、图解法和单纯形法基本思想
单纯形法基本原理和实例演示
在求解LP问题时,有人给出了图解法,但对 多维变量时,却无能为力,于是
美国数学家G·B·Dantgig(丹捷格)发明了 一种“单纯形法”的代数算法，尤其是 方便于计算机运算。这是运筹学史上最 辉煌的阶段。
一、关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题标准型的矩阵形式：
Max Z = CX
如果CN- CB B-1N小于0，无论XN取任何大于0值，只会让Z变 小，因此我们可以通过CN- CB B-1N来判断Z取得是不是最大 值。
如果存在一个CN- CB B-1N大于0，则说明Z的值会随着XN增 大而增大，说明Z有调整的余地。
定理一：若某个基本可行解所对应的检验向量CN- CB B-1N <=0,则这个基本可行解就是最优解。
C向量
x1
x2
max z 50
100
0
0
0
s1
s2
CB
CN
s3
每个非基
XB
变量的检
验值
XN j c j z j
Zj=CBNj
s.t.
x1
1 2 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
迭代 基变 次数 量
CB
S1 0 S2 0
x1 X2 s1
50 100 0 111 210
s2 S3
比值
b bi
00
ai 2
0
0
300
300 1
1
0
400
400 1
2 x2
0 ①1 0 0 1 250 250
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
1.1 72线性规划问题及其数学模型
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
运筹学第2章 单纯形法
所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3
x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
2020/3/4
14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min
bi aik
aik
0
bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数
单纯形法
-M X6 0 1 0 0 0 1
-M X7 0 0 1 0 -1 -2 1 θ 11 3/2 1
-1
X3 cj-zj
1
-2 -1
0 -1+M
0 1 0 0
1 0
0 0 1 0
0 0
1 0 0 0
0 -M
-2 -1 0 -1
0 0
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
人工变量
第2页
cj CB 0 -M -M XB X4 X6 X7 cj-zj b 11 3 1
3 X1 1 -4 -2 3-6M
-1 X2 -2 1 0 -1+M
-1 X3 1 2 1 -1+3M
0 X4 1 0 0 0
0 X5 0 -1 0 -M
-M X6 0 1 0 0
-M X7 0 0 1 0 θ
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
X4 X2 X3 cj-zj
12 1 1
3 0 -2 1
4 -
第14页
cj CB 0 -1 -1 XB X4 X2 X3 cj-zj 3 X1 4 b 12 1 1
3 X1 3 0 -2 1 1
-1 X2 0 1 0 0 0
-1 X3 0 0 1 0 0
-1 X3 1 2 1 -1+3M 0 0 1 0 0 0
0 X4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 X5 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1
-M X6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1
第一章线性规划与单纯形法ppt课件
x2
解，也不存在最优解。
x11.5x2 8
目 标 函 数 m ax z 2 x1 3x2
4x1=16
x1 2 x2 8
约
束
条
件
:
4 x1
16 4x2 12
3
4x2=12
x1 , x2 0
原可行 域
0
无可行解
增加一个新的约束条件
x1+2x2=8
8
x1
x11.5x28
23
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Q3
x1 , x2 0
3
Q2
可行域
4x2=12
0
x1+2x2=8
x1
4
8
无穷多最优解（多重最优解）
20
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
x2
可行 域
max z 2 x1 3x2
8—
x1 + x2 5
7—
x2 = -2x1 6 —
5— 4— 3—
x1、 x2 0
6x1 +2x2 24
6x1+ 2x2=24 x1+ x2=5
5
x2
15
最优解
2—
(3.5,1.5)
1—
x1 + x2 5
0
|| | | || | | | 12 3 4 5 6 7 8 9
x1
第五章 单纯形法
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
存在3阶单位阵 （初始可行基）
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如令x1＝0，x2＝0，则 ➢ x3＝300，x4＝400，x5＝250 ➢ 可得到解（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
➢ 又如：令x3＝0，x5＝0， ➢ 由约束条件： ➢ x1+x2+x3＝300 ➢ 2x1+x2+x4＝400 ➢ x2+x5＝250 ➢ 可得到解（50，250，0，50，0）
27500-50x3-50x5
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 典式Z= 27500-50x3-50x5
➢ 如果x3增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50。 ➢ 如果x5的值增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50 。 ➢ 可见要使Z增加，只有使x3和x5减少。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ x3，x5的取值是否有减少的可能？ ➢ 分析：该解中非基变量 x1，x2的取值为
一、问题的提出
❖ 线性规划解的集合关系：
基
可
本最
基
行
可优
本
解
行解
解
解
一、问题的提出
❖显然，将搜索范围控制在基本可行 解内，将大大减少搜索工作量。
❖但是，即使取得一个基，得到的解 还不一定可行。
❖如何才能保证取得一个可行基呢？
一、问题的提出
单纯形法
多目标规划的解法主要有单纯形法和图解法。
图解法一般只适用于两个决策变量的情形。
单纯形法对于求解多目标规划有普遍意义。
多目标规划单纯形表的结构如表1。
表中V j———变量，X1，X2，…，Xn是决策变量，其余 n-n'个是偏差变量；C———价值系数，因多目标规划目标函数不包含决策变量，所以j；b———目标约束常数；iθi———θ判据；BV———基变量名；iC———基变量价值系数；BVia———作业系数；ijQ———单纯形判据矩阵元素；ijP———目标优先权排序；jZ———第 j个优先级目标的目标函数值。
j表1与线性规划单纯形表相比，最大的不同是单纯形判据是一个 N×n矩阵，而不是列向量，且有。
目标优先权排序P1,P2，…，P N给出了单纯形迭代过程中实现目标的顺序。
在实现某一优先级目标后，应依顺序考虑一个优先级能否实现。
但是，不能为实现较低目标而使较高级目标的实现受到影响。
案例一：纺织厂的多目标规划某纺织厂生产窗帘布和衣料两种布料，该厂对这两种布料的生产能力均是1000m/h，工厂正常生产能力每周 80h，根据市场预测，下周最大销售量窗帘布70000m、衣料45000m，窗帘布每米获利 2.50元，衣料每料获利 1.50元。
该厂定出的经营目标是：P：保证生产均衡稳定，避免开工不足；1P：每周加班时间不超过10h；2P：努力实现最大销售量；3P：尽可能减少加班时间。
4本案例多目标规划模型的决策变量为；x1———周内窗帘布生产的小时数；x———周内衣料生产的小时数。
2每周正常生产能力约束：式中和分别表示每周开工低于正常生产能力的负偏差及超出正常生产能力的正偏差。
销售目标约束：x+ y2− = 70000 / 1000 = 701x+ y3− = 45000 / 1000 = 452因产量不能超过最大销售量，所以加班时间限制目标约束：式中取自每周正常生产能力约束的正偏差，即加班小时数，与分别表示加班时间不足 10h的负偏差和超过10h的正偏差。
第一章 线性规划与单纯形法
第一章线性规划与单纯形法线性规划的英文名称为“Linear Programming”，简称LP，它是运筹学中发展最早、理论与计算方法最成熟的分支，应用十分广泛。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好（如产量最多，利润最大，成本最小）。
简单地讲，也就是资源的最优利用问题。
这类问题是在生产管理和经营活动中经常会遇到的。
早在1823年法国数学家傅里叶（Fourier）就提出了与线性规划有关的问题。
1939年，前苏联的经济学家康托洛维奇（Канторович）发表了重要著作《生产组织与计划中的数学方法》，书中针对生产的组织、分配、上料等一系列问题，提出了线性规划的模型，并给出了“解乘数法”的求解方法。
当时这个工作未引起足够的重视。
1947年美国数学家丹捷格（Dantzig）提出了线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法——单纯形法（Simplex method），这标志着线性规划这一运筹学的重要分支的诞生。
此后，对线性规划的研究日渐受到关注。
1960年康托洛维奇再次发表了《最佳资源利用的经济计算》一书，受到国内外的重视，为此他获得了诺贝尔经济学奖。
此外，阿罗、萨缪尔逊、西蒙、多夫曼和胡尔威茨等一批经济学家也因在线性规划研究中的贡献而获得了诺贝尔奖。
在这批经济学家的努力下，线性规划的理论得到了不断的完善，已发展成为一门成熟的理论。
今天，它已成为一个标准的工具，被广泛地应用于工业、农业、交通运输、军事和经济等各种决策领域，为世界上许多具有相当规模的公司和商业企业节省了数千乃至数百万美元的成本。
本章首先通过几个应用实例，引出线性规划问题并建立其数学模型，介绍线性规划的一些基本概念以及简单情形下的几何解法图解法，然后介绍线性规划的基本理论，讨论它的一般求解方法单纯形法，最后，介绍运用软件WinQSB解线性规划问题。
第一节线性规划问题的数学模型一、线性规划问题的实例在生产管理和经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方案。