高考数学二轮专题专题跟踪训练22
专题跟踪训练(二十二) 一、选择题 1．(2018·中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( ) A．α⊥β且m⊂α B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β [解析] 对于选项A，α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C. [答案] C 2．已知直线m，l与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是( ) A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ [解析] ∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ.又∵β∩γ＝l，∴l⊂γ，∴l⊥m，故选A. [答案] A 3．(2018·内蒙古赤峰模拟)已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题中正确命题的个数为( ) ①若m∥n，n⊂α，则m∥α； ②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β； ③若l⊥n，m⊥n，则l∥m； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] ①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，不正确；②若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l与m平行、相交或为异面直线，不正确；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，由面面垂直的性质定理得n⊥α，因此正确．综上可知只有②④正确，故选B. [答案] B 4．(2018·福州泉州二模)在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( ) [解析] 如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D. [答案] D 5．(2018·江西赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )
A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 [解析] 连接AC1
，如图：
∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B， ∴AC⊥平面ABC1， 又AC在平面ABC内， ∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1， 则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上，故选B. [答案] B 6．[原创题]如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为( )
A．－3010 B.305 C．－305 D.3010 [解析] 如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE.则在△PBC中，PD＝DB，BE＝EC，所以DE∥PC，且DE＝12PC.故∠EDA为异面直线PC，AD所成的角或其补角．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB.在Rt△ABC中，AC＝BC2＋BA2＝22＋42＝25；在Rt△PAC中，
PC＝PA2＋AC2＝22＋252＝26.故DE＝12PC＝6.在Rt△PAB中，PB＝AB2＋PA2＝42＋22＝25；又PD＝DB，所以AD＝12PB
＝5.在Rt△EAB中，AE＝AB2＋BE2＝42＋12＝17.在△DAE中，
cos∠ADE＝AD2＋DE2－AE22AD×DE＝52＋62－17225×6＝－3010.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cosθ＝|cos∠ADE|＝3010，故选D. [答案] D 二、填空题 7．(2018·定州二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.
[解析] 根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝2. [答案] 2 8．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
[解析] 过三棱柱ABC－A1B1C1
的任意两条棱的中点作直线，其
中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG中(其中D、E、F、G分别为AC，BC，B1C1，A1C1
的中点)．易知经过D、E、F、G
中任意两点的直线共有6条． [答案] 6 9．(2018·运城一模)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△BCM沿CM折起，使点A，B间的距离为2，则点M到平面ABC的距离为________． [解析]
在平面图形中，由已知得AB＝2，AM＝BM＝MC＝1，BC＝3，∴△AMC为等边三角形，取CM的中点D，连接AD，则AD⊥CM，设AD的延长线交BC于E，则AD＝32，DE＝36，CE＝33.根据题
意知，折起后的图形如图所示，由BC2＝AC2＋AB2，知∠BAC＝90°，又cos∠ECA＝33，连接AE，则AE2＝CA2＋CE2－2CA·CEcos∠ECA＝23，于是AC2＝AE2＋CE2，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AD2＝AE2＋ED2，∴AE⊥DE，又BC，DE⊂平面BCM，BC∩DE＝E，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A－BCM的高，设点M到平面ABC的距离为h，∵S△BCM＝34，AE＝63，所以由VA－BCM＝VM－ABC，可得13×34×63
＝13×12×2×1×h，∴h＝12.
[答案] 12 三、解答题 10．(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA＝AD.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求证：平面PEC⊥平面PCD. [证明] (1)取PC的中点G，连接FG、EG， ∵F为PD的中点，G为PC的中点， ∴FG为△CDP的中位线，∴FG∥CD，FG＝12CD.
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE＝12CD.
∴FG＝AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形， ∴AF∥EG，又EG⊂平面PEC，AF⊄平面PEC， ∴AF∥平面PEC. (2)∵PA＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD， 又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF， 又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD， 由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD， 又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD. 11. (2018·河南洛阳一模)如图，在四棱锥E－ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝12AB，且AE⊥BD.
(1)证明：平面EBD⊥平面EAD； (2)若△EAD的面积为3，求点C到平面EBD的距离． [解] (1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可
知四边形BCDM为平行四边形，∴DM＝CB＝AD＝12AB，
即点D在以线段AB为直径的圆上， ∴BD⊥AD， 又AE⊥BD，且AE∩AD＝A， ∴BD⊥平面EAD. ∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD. (2)∵BD⊥平面EAD，且BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EAD. ∵等边△EAD的面积为3，∴AD＝AE＝ED＝2，
取AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝3， ∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD， ∴EO⊥平面ABCD. 由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形， ∴BD＝AB2－AD2＝23， S△EBD＝12ED·BD＝23， 设点C到平面EBD的距离为h， 由VC－EBD＝VE－BCD，得13S△EBD·h＝13S△BCD·EO，
又S△BCD＝12BC·CDsin120°＝3，
∴h＝32.
∴点C到平面EBD的距离为32.
12．(2018·山西太原一模)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AF∥DE，AF⊥AD，且平面BED⊥平面ABCD.
2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二理
2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二理一、选择题1．(xx·沈阳质检)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知a ＝2，b ＝3，c ＝25，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝2＝4，b ＝3，c ＝25＝5. ∵y ＝x 在第一象限内为增函数， 又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .3．(xx·陕西质检)已知a ＝2，b ＝(2)，c ＝14⎠⎛0πsin xdx ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a解析：选C 依题意得，a ＝2，b ＝3，c ＝－14cos x |π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，则a 6>b 6>c 6，即a >b >c ，故选C. 4．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，∴f (0)·f (1)<0，故函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C.5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司xx 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年解析：选B 设xx 年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，f ′(x )＝2＋1x，由x >0知f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4<0，f (e)＝2e －5>0，f (1)·f (e )<0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f (x )的零点个数是2.7．(xx·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 8．(xx·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(xx 届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4C.52D.92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(xx·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：选A 令F (x )＝f (x )＋2x ，由对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，可得f (x 1)＋2x 1<f (x 2)＋2x 2，即F (x 1)<F (x 2)，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，f (log 2|3x－1|)<3－log 2|3x－1|等价于f (log 2|3x－1|)＋2log 2|3x－1|<3，令t ＝log 2|3x－1|，则f (t )＋2t <3，即F (t )<3，所以t <1，即log 2|3x－1|<1，从而0<|3x－1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A.11．(xx·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln 1＋x ＋x 2，x ≥0，－x ln 1－x ＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：选D 若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.12．(xx·合肥质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋e ，x ≤2，xln x＋a ＋10，x >2，(e 是自然对数的底数)，若f (2)是函数f (x )的最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,6]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,6]解析：选D 当x >2时，f (x )＝x ln x ＋a ＋10，f ′(x )＝ln x －1ln x 2，令f ′(x )>0，解得x >e ，令f ′(x )<0，解得x <e ，所以f (x )在(2，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，即函数f (x )在x >2时的最小值为f (e)；当x ≤2时，f (x )＝(x －a )2＋e 是对称轴方程为x ＝a 的二次函数，欲使f (2)是函数的最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，f 2≤f e ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，2－a 2＋e≤e＋a ＋10，解得2≤a ≤6，故选D.二、填空题13．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤0，1－log 2x ，x >0，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1，所以21－a≥2，即|f (a )|≥2恒成立；当a >0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得a ≥8或0<a ≤12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞)．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞) 14．(xx·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0， 且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象(图略)，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)15．(xx 届高三·广西三市联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f (log 3x ＋1)≤5的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫log 144x －1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1，log 2x ＋2log 144x －1≤5，解得1≤x ≤4或13<x <1，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤13，416．(xx·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m＝9.答案：9B 组——能力小题保分练1．(xx·长沙模拟)对于满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则a ＋b －ca的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，74 B ．(1,2] C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意，对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2－4ac >0，于是c <b 24a，从而a ＋b －c a >a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，对满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立．令t ＝ba ，因为0<b ≤3a ，所以0<t ≤3.因此1＋b a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－14t 2＋t ＋1＝－14(t －2)2＋2∈(1,2]，故a ＋b －ca>2.故选D. 2．(xx·云南检测)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.3．(xx·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，若函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26 D.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－16，1－ln 28 解析：选A 函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－xx<0，此时f (x )单调递减，且f (1)＝0，f (2)＝ln 2－1.由f (2－x )＝f (x )知函数图象关于x ＝1对称，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的函数．易知m ≠0，当－m <0时，作出函数y ＝f (x )与y ＝－mx 的图象，如图所示．则要使函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx的图象有7个交点，需有⎩⎪⎨⎪⎧－8m <f8，－6m >f 6，即⎩⎪⎨⎪⎧－8m <ln 2－1，－6m >ln 2－1，解得1－ln 28<m <1－ln 26.同理，当－m >0时，可得ln 2－16<m <ln 2－18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≥0，log 3－x ，x <0，函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＋t ，t ∈R ，则下列判断不正确的是( )A ．若t ＝14，则g (x )有一个零点B ．若－2<t <14，则g (x )有两个零点C ．若t <－2，则g (x )有四个零点D ．若t ＝－2，则g (x )有三个零点解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，当t ＝14时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0得f (x )＝－12，结合图象知g (x )有一个零点，故A 正确；当－2<t <14时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0知f (x )的一个值小于－12，另一个值大于－12小于1，结合图象知g (x )有两个零点，故B 正确；当t <－2时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0知f (x )的一个值小于－2，另一个值大于1，结合图象知g (x )有三个零点，故C 不正确；当t ＝－2时，f (x )＝1或－2，结合图象知，g (x )有三个零点，故D 正确．5．(xx 届高三·广东五校联考)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．(1，e]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e 解析：选C 令f (x 1)＝a －x 1，则f (x 1)＝a －x 1在x 1∈[0,1]上单调递减，且f (0)＝a ，f (1)＝a －1.令g (x 2)＝x 22e x 2，则g ′(x 2)＝2x 2e x 2＋x 22e x 2＝x 2e x 2(x 2＋2)，且g (0)＝0，g (－1)＝1e，g (1)＝e.若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，即f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)＝a －x 1的最大值不能大于g (x 2)的最大值，即f (0)＝a ≤e，因为g (x 2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e 时，存在两个x 2使得f (x 1)＝g (x 2)．若只有唯一的x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)的最小值要比1e 大，所以f (1)＝a －1>1e ，即a >1＋1e ，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e ，故选C. 6．(xx·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)解析：选D 首先作出函数f (x )的图象(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1－a ＋b <0，4－2a ＋b >0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)，故选D.。
高考数学二轮复习高考22题12+4分项练12统计与统计案例文
高考数学二轮复习高考22题12+4分项练12统计与统计案例文 12＋4 分项练 12 统计与统计事例
1．(2017 ·贵州省贵阳市第一中学适应性考试 ) 从编号为 01,02 ， ， 49,50 的 50 个个体中利 用下边的随机数表选用 5 个个体，选用方法从随机数表第 1行第 5 列的数开始由左到右挨次 抽取，则选出来的第 5 个个体的编号为 ( )
7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.14 B ． 07 C．32 D ．43 答案 D 分析 由题意知选定的第一个数为 65( 第 1 行的第 5 列和第 6 列 ) ，按由左到右选用两位数 ( 大 于 50 的跳过、重复的不选用 ) ，前 5 个个体编号为 08、12、14、07、43. 应选出来的第 5 个个 体的编号为 43，应选 D. 2．(2017 届重庆市一诊 ) 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡 八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北 乡遣( ) A．104 人 B ． 108 人 C．112 人 D ． 120 人 答案 B
解 析 由题设可知这是一个分层抽样的问题，此中北乡可抽取的人数为
300× 8 100 8 100 ＝300× ＝108，应选 B. 8 100 ＋ 7 488 ＋6 912 22 500
3．(2017 ·河北省武邑中学质检 ) 某学校随机抽查了本校20 个同学，检查他们均匀每日在课
外从事体育锻炼的时间 ( 分钟 ) ，依据所得数据的茎叶图，以 5 为组距将数据分为八组，分别 是 [0 ，5) ， [5 ，10) ， ， [35 ， 40] ，作出的频次散布直方图以下图，则原始的茎叶图可能 是 () 高考数学二轮复习高考22题12+4分项练12统计与统计案例文 答案 B
2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：22 Word版含解析
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：22Word版含解析______年______月______日____________________部门1.(20xx ·济南质检)如图，在直三棱柱ADE －BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点．证明：(1)OM∥平面BCF ； (2)平面MDF⊥平面EFCD.[证明] 证法一：由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M ，O.(1)＝，＝(－1,0,0)， ∴·＝0，∴⊥.∵棱柱ADE －BCF 是直三棱柱，∴AB ⊥平面BCF ，∴是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)， 由n1·＝n1·＝0，得解得⎩⎪⎨⎪⎧y1＝12x1，z1＝－12x1，令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD. 证法二：(1)＝＋＋BM →＝－＋12BA →＝(＋)－＋12BA →＝－－＋12BA →＝－(＋)－＋12BA →＝－－.∴向量与向量，共面，又OM ⊄平面BCF ，∴OM∥平面BCF. (2)由题意知，BF ，BC ，BA 两两垂直， ∵＝，＝－， ∴·＝·＝0， OM →·＝·(－) ＝－2＋2＝0.∴OM ⊥CD ，OM ⊥FC ，又CD ∩FC ＝C ， ∴OM ⊥平面EFCD.又OM ⊂平面MDF ，∴平面MDF⊥平面EFCD.2．(20xx·郑州质检)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．[解] (1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝AC.又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)．所以＝，＝，＝.设平面A1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由得⎩⎪⎨⎪⎧－a2x ＋ay ＝0，32az ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2,1,0)．设直线BC 与平面A1CD 所成的角为θ，则sin θ＝＝＝. 所以直线BC 与平面A1CD 所成角的正弦值为.3．(20xx·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD∥平面MAC ，PA ＝PD ＝，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． [解] (1)证明：设AC ，BD 交点为E ，连接ME.因为PD∥平面MAC ，平面MAC∩平面PDB ＝ME ，所以PD∥ME. 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点． 所以M 为PB 的中点．(2)取AD 的中点O ，连接OP ，OE. 因为PA ＝PD ，所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP⊥平面ABCD.因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP⊥OE. 因为ABCD 是正方形，所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝. 于是n ＝(1,1，)．平面PAD 的一个法向量为p ＝(0,1,0)． 所以cos 〈n ，p 〉＝＝.由题意知二面角B －PD －A 为锐角，所以它的大小为. (3)由题意知M ，C(2,4,0)， MC →＝.设直线MC 与平面BDP 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈n ，〉|＝＝.所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为.4．(20xx·沈阳二模)如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE 为矩形，且CF⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF.(1)求证：EF⊥平面BCF ；(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．[解] (1)证明：在梯形ABCD 中，设AD ＝CD ＝BC ＝1，∵AB ∥CD ，∠BCD ＝，∴AB ＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB ·BC ·cos ＝3.∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC ⊥AC. ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC ＝C ， ∴AC ⊥平面BCF.∵四边形ACFE 是矩形，∴EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BCF.(2)由(1)，以CA ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD ＝CD ＝BC ＝CF ＝1，令FM ＝λ(0≤λ≤)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，∴＝(－，1,0)，＝(λ，－1,1)， 设平面MAB 的法向量为n1＝(x ，y ，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，令x ＝1，则n1＝(1，，－λ)，为平面MAB 的一个法向量． 易知n2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量， 设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ， 则cos θ＝＝错误! ＝.∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cos θ有最小值，∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.。
2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 22不等式选讲 理数(含答案解析)
课时跟踪检测不等式选讲1．已知定义在R上的函数f(x)=|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：4α＋1β≥3.2．设f(x)=|x|＋2|x－a|(a>0)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．3．设函数f(x)=|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．4．已知函数f(x)=|x－m|，m<0.(1)当m=－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．5．设函数f(x)=|x －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)． (1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．6．已知函数f(x)=|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)=f(x)＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t.7．设函数f(x)=|x －1|.(1)求不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．8．已知f(x)=|2x －1|＋|ax －5|(0<a<5)． (1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a 的值．答案解析1．解：(1)因为|x －m|＋|x|≥|(x －m)－x|=|m|. 所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.因为m ∈N *，所以m=1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)=2α－1＋2β－1=4，即α＋β=3，所以4α＋1β=13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)=13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ=3. 当且仅当4βα=αβ，即α=2，β=1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．解：(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x －1|=⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x<0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x>1.当x<0时，由2－3x ≤4，得－23≤x<0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1； 当x>1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f(x)≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f(x)=|x|＋2|x －a|=⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x<0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x>a.可见，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x=a 时，f(x)取得最小值a. 若f(x)≥4恒成立，则应a ≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)．3．解：(1)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x<－12，x ＋2，－12≤x<1，3x ，x ≥1.y=f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f(x)≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5. 4．解：(1)设F(x)=f(x)＋f(－x)=|x －1|＋|x ＋1| =⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x<－1，2，－1≤x<1，G x ＝2－x ，2x ，x ≥1，由F(x)≥G(x)解得{x|x ≤－2或x ≥0}．(2)f(x)＋f(2x)=|x －m|＋|2x －m|，m<0. 设g(x)=f(x)＋f(2x)，当x ≤m 时，g(x)=m －x ＋m －2x=2m －3x ，则g(x)≥－m ；当m<x<m 2时，g(x)=x －m ＋m －2x=－x ，则－m2<g(x)<－m ；当x ≥m 2时，g(x)=x －m ＋2x －m=3x －2m ，则g(x)≥－m 2.则g(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞， 不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>－m2，解得m>－2，由于m<0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．解：(1)当a=1时，f(x)=|x －1|＋|x ＋2|， 故f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x>1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x<－2.①当x>1时，由2x ＋1≤5，得x ≤2，故1<x ≤2；②当－2≤x ≤1时，由3≤5，得x ∈R ，故－2≤x ≤1； ③当x<－2时，由－2x －1≤5，得x ≥－3，故－3≤x<－2. 综上，不等式的解集为[－3,2]．(2)f(x)=|x －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立， 所以g(a)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ， 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a =|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a =22， 当且仅当|a|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ，即a=±2时等号成立， 所以g(a)min =2 2.6．解：(1)依题意，得f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x<12，3x ，x ≥12，于是f(x)≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤1}．(2)证明：g(x)=f(x)＋|x ＋1|=|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|=3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M=[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t =t 3－3t 2＋t －3t =t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0，∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t.7．解：(1)因为f(x)≤3－f(x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|，即|x －1|＋|x －2|≤3， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x<1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －3≤3， 解得0≤x<1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|恒成立， 而f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|⇔|x －1|－|x|＋|x －a|≤0⇔|x －a|≤|x|－|x －1|，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x －a|≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a ≤2， 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 8．解：(1)当a=1时，f(x)=|2x －1|＋|x －5|=⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x<12，x ＋4，12≤x<5，3x －6，x ≥5，∴f(x)≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x<12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x<5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a<5，∴5a>1，则f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2x ＋6，x<12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a，a ＋2x －6，x>5a.∵当x<12时，f(x)单调递减，当x>5a时，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得， ∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f(x)单调递增，当2<a ≤5时，f(x)单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a=2.。
2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 22不等式选讲 理数 学生版
课时跟踪检测 不等式选讲1．已知定义在R 上的函数f(x)=|x －m|＋|x|，m ∈N *，存在实数x 使f(x)<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：＋≥3.4α1β2．设f(x)=|x|＋2|x －a|(a>0)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a 的取值范围．3．设函数f(x)=|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．4．已知函数f(x)=|x－m|，m<0.(1)当m=－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．5．设函数f(x)=|x －a|＋(a ≠0，a ∈R)．|x ＋2a|(1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．6．已知函数f(x)=|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)=f(x)＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥＋3t.3t7．设函数f(x)=|x －1|.(1)求不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|的解集为M ，若⊆M ，求实数a 的取[1，32]值范围．8．已知f(x)=|2x －1|＋|ax －5|(0<a<5)．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a 的值．。
通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文94
学 习 资 料 汇编课时跟踪检测（二十二）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a ，又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.若x ≤1，则g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；若x >1，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，等号成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，若x ≤1，则h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；若x >1，则h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，等号成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________． 解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x <0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案：(－3，－1)∪(1,2)B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a＋2b ＝3.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴1a ＋2b的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选 A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13nn ＋＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP ―→＋OQ ―→|的最小值为( )A.255 B.55 C.233D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P (x ，y )，Q (a ，－2a )，则OP ―→＋OQ ―→＝(x ＋a ，y －2a )，则|OP ―→＋OQ ―→|＝x ＋a2＋y －2a2，设z ＝|OP ―→＋OQ ―→|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M (－a,2a )的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝122＋1＝15＝55. 5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2 B ．6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2（当且仅当t ＝62时等号成立），当t ＝0时，b2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.6．(2017·广州模拟)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －，0≤x ≤a 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a .画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0所表示的平面区域如图中△ABC 及其内部，易知A (1,2)，因为S△ABC＝12×1×2＝1<5，所以a >1.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －，0≤x ≤a所表示的平面区域， 如图中的△ABC 和△ADE 所示．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a所对应的平面区域是△ADE 及其内部，易知D (a ，a ＋1)，E (a,3－a )，所以S △ADE ＝12×(a －1)×(a ＋1－3＋a )＝5－1，解得a ＝3(a ＝－1舍去)．答案：3敬请批评指正。
2022高考数学二轮复习 专题限时集训(二十二)B 不等式选讲配套作业 文（解析版）
专题限时集训二十二B
[第22讲不等式选讲]
时间：30分钟
1．设函数f＝|2＋1|－|－2|
1求不等式f>2的解集；
2若对任意∈R，f≥t2－错误!t恒成立，求实数t的取值范围．
2．1求函数＝3错误!＋4错误!的最大值；
2已知a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4>4aba2＋b2．
3．1已知|－a|0，>0，>0且2＋2＋2＝1，求证：错误!＋错误!＋错误!≥错误!
4．设min A表示数集A中的最小数，ma A表示数集A中的最大数．
1若a，b>0，h＝min错误!，求证：h≤错误!；
2若H＝ma错误!，求H的最小值．
专题限时集训二十二B
1．解：1f＝错误!2，2，>1，∴12，>1，∴≥2
综上所述不等式的解集为{|>1或0
∵＝3错误!＋4错误!＝3·错误!＋4·错误!≤错误!×错误!＝＝4错误!时等号成立，故
ma＝5
2证明：a4＋6a2b2＋b4－4aba2＋b2
＝a4－2a2b2＋b4－4aba2－2ab＋b2
＝a2－b22－4aba－b2＝a＋b2a－b2－4aba－b2
＝a－b2a2＋2ab＋b2－4ab＝a－b2a－b2＝a－b4
∵a≠b，∴a－b4>0由此可知原命题成立．
3．证明： 1分析：根据条件凑－a，－b
|－ab|＝|－a＋a－ab|
＝|－a＋a－b|≤|||－a|＋|a|·|－b|0，H≥错误!>0，H≥错误!>0，∴H3≥
错误!·错误!·错误!＝错误!≥错误!＝2，∴H≥错误!所以H的最小值为错误!。
高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二基本初等函数函数与方程小题练理0220382
课时跟踪检测（二十二） 基本初等函数、函数与方程 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·河北监测)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5-12，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C 因为c ＝5-12＝15<12，a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，a ＝log 32>log 33＝12，所以c <a <b ，故选C.2．(2018·郑州质量预测)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象(图略)，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.3．若函数f (x )＝(x 2＋1)·2x＋m2x －1是奇函数，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选B 设g (x )＝x 2＋1，h (x )＝2x＋m 2x －1，易知g (x )＝x 2＋1是偶函数，则依题意可得h (x )＝2x＋m 2x －1是奇函数，故h (－x )＝2－x＋m 2－x －1＝－h (x )＝－2x＋m 2x －1，化简得2x ＋m ＝m ·2x＋1，解得m ＝1.选B.4．若函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选A ∵函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，∴方程m ＋log 2x ＝0在x ≥1时有解，∴m ＝－log 2x ≤－log 21＝0.5．已知实数a ＝log 23，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，c ＝log 13130，则它们的大小关系为( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >c >a解析：选B 由对数函数的性质知1<a ＝log 23<2，c ＝log 13130>log 13127＝3>2， 又b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19<1，从而c >a >b .故选B.6．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1)∪(1,2) C ．(1,2)D ．[2，＋∞)解析：选C 当a >1时，若y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，∴2>a >1.当1>a >0时，若y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，选C.7．若a ＝2x ，b ＝log 12x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 如图，x ＝x 0时，a ＝b ，∴若a >b ，则得到x >x 0，且x 0<1，∴a >b 不一定得到x >1，充分性不成立；若x >1，则由图象得到a >b ，必要性成立．∴“a >b ”是“x >1”的必要不充分条件．故选B.8．(2018·广东汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)解析：选C ∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图象如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y ＝log a x 的图象，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，a >1，解得3<a <5.故选C.9．(2018·郑州模拟)设m ∈N，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选 C 由f (x )＝0得m ＝2x ＋1010－x .又m ∈N，因此有⎩⎪⎨⎪⎧10－x >0，2x ＋10≥0，解得－5≤x <10，x ∈Z，∴x ＝－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m ＝2x ＋1010－x，一一验证得，符合条件的m 的取值为0,4,11,28，共4个，故选C.10．(2018·唐山模拟)奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选 C 由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选C.11．(2018·成都模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x ．则直线x －5y ＋3＝0与曲线y ＝f (x )的交点个数为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由f (1－x )＝f (1＋x )知，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x ，则当x ∈[0,1]时，f (x )＝ln(2－x )．由f (x )是定义在R 上的偶函数，得f (－x )＝f (x )，所以f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [1－(x ＋1)]＝f (－x )＝f (x )，于是f (x )是周期为2的周期函数，值域为[0，ln 2]，从而可以画出函数f (x )的大致图象(如图所示)，然后画出直线y ＝g (x )＝15x ＋35.当x ＝－3时，f (－3)＝f (3)＝f (1)＝0，g (－3)＝15×(－3)＋35＝0，此时有一个交点；当x ＝0时，f (0)＝f (2)＝ln 2≈0.69，g (0)＝35＝0.6，g (0)<f (0)；当x ＝2时，f (2)＝ln 2≈0.69，g (2)＝1，g (2)>f (2)，于是根据图象，直线x －5y ＋3＝0与曲线y ＝f (x )的交点个数为4，故选B.12．(2019届高三·福州四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x2，x <1，若F (x )＝f [f (x )＋1]＋m 有两个零点x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围是( )A ．[4－2ln 2，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(－∞，4－2ln 2]D ．(－∞，e)解析：选D 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x2，x <1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋＋m ，x ≥1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋m ，x <1，由F (x )＝0得，x 1＝e e －m －1，x 2＝4－2e －m，由⎩⎪⎨⎪⎧x 1≥1，x 2<1得m <ln 23.设t ＝e －m ，则t >32，所以x 1·x 2＝2e t －1(2－t )，设g (t )＝2e t －1·(2－t )，则g ′(t )＝2et －1(1－t )，因为t >32，所以g ′(t )＝2e t －1(1－t )<0，即函数g (t )＝2e t －1(2－t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，所以g (t )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e ，故选D. 二、填空题13．(2018·南宁、柳州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≤0，log 21x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝________.解析：由题可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2114＝2，因为log 216<0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1261log2＝2log 26＝6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝8. 答案：814．(2018·福建模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －a ，x ≥1，－x ，x <1有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x <1时，令ln(1－x )＝0，解得x ＝0，故f (x )在(－∞，1)上有1个零点， ∴f (x )在[1，＋∞)上有1个零点． 当x ≥1时，令x －a ＝0，得a ＝x ≥1. ∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－32x ＋5，0≤x ≤1，2x ＋2－x ，1<x ≤2，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则a ＝________.解析：由题意可知f (x )是周期为4的偶函数，画出函数f (x )与g (x )的大致图象，如图，由图可知若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则有g (1)＝f (1)，解得a ＝2.答案：216．(2018·贵州模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．解析：根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg(A 0·10M)，所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.答案：100B 级——难度小题强化练1．(2018·武汉模拟)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A.a x >b yB ．sin ax >sin byC ．log a x >log b yD ．a x>b y解析：选D 对于A 选项，不妨令x ＝8，y ＝3，a ＝5，b ＝4，显然58＝a x <b y ＝43，A 选项错误；对于B 选项，不妨令x ＝π，y ＝π2，a ＝2，b ＝32，此时sin ax ＝sin 2π＝0，sin by＝sin 3π4＝22，显然sin ax <sin by ，B 选项错误；对于C 选项，不妨令x ＝5，y ＝4，a ＝3，b ＝2，此时log a x ＝log 35，log b y ＝log 24＝2，显然log a x <log b y ，C 选项错误；对于D 选项，∵a >b >1，∴当x >0时，a x>b x，又x >y >0，∴当b >1时，b x>b y，∴a x>b y，D 选项正确．综上，选D.2．(2018·南昌调研)已知函数f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x，若f (x 1)＝g (x 2)＝0，则( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2)解析：选D 易知f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e－4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e>ln 1＝0.又f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．3．已知定义在R上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21x ＋，x ∈[0，，1－|x －3|，x ∈[1，＋，则关于x 的函数f (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( )A ．2a－1 B ．2－a－1 C ．1－2－aD ．1－2a解析：选 D 因为f (x )为R 上的奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 12－x ＋，x－1，，－1＋|－x －3|，x －∞，－1]，画出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a (0<a <1)，如图．由图可知，函数y ＝f (x )与直线y ＝a (0<a <1)共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 22＝－3，x 4＋x 52＝3，而－log 21(－x 3＋1)＝a ，即log 2(1－x 3)＝a ，可得x 3＝1－2a，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－2a，选D.4．(2019届高三·湘东五校联考)已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且满足①f (4)＝0；②曲线y ＝f (x ＋1)关于点(－1,0)对称；③当x ∈(－4,0)时f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x e |x |＋e x －m ＋1.若y ＝f (x )在x ∈[－4,4]上有5个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－3e－4,1)B ．[－3e－4,1)∪{－e －2}C ．[0,1)∪{－e －2} D ．[0,1)解析：选B ∵曲线y ＝f (x ＋1)关于点(－1,0)对称，∴曲线y ＝f (x )关于点(0,0)对称，∴f (x )在R 上是奇函数，则f (0)＝0.又f (4)＝0，∴f (－4)＝0，而y ＝f (x )在x ∈[－4,4]上有5个零点，故当x ∈(－4,0)时，f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x e |x |＋e x －m ＋1有1个零点，而此时f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x e |x |＋e x －m ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x e －x ＋e x －m ＋1＝log 2(x e x ＋e x －m ＋1)，故x e x ＋e x－m ＋1＝1在x ∈(－4，0)上有1个解．令g (x )＝x e x＋e x－m ，则g ′(x )＝e x＋x e x＋e x＝e x(x ＋2)，故g (x )在(－4，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数．而g (－4)＝－4e －4＋e －4－m ＝－3e－4－m ，g (0)＝1－m ，g (－2)＝－2e －2＋e －2－m ＝－e －2－m ，而g (－4)<g (0)，故g (－2)＝－e －2－m ＝0或－3e －4－m ≤0<1－m ，故m ＝－e －2或－3e －4≤m <1，∴实数m 的取值范围为[－3e－4,1)∪{－e －2}．故选B.5．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－146．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －a t，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
(新高考)2020版高考数学二轮复习专题强化训练(二十二)选修4_4坐标系与参数方程理
专题强化训练(二十二) 选修4－4 坐标系与参数方程1．[2019·济南模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)射线OP 的极坐标方程为θ＝π6，若射线OP 与曲线C 的交点为A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝1＋3sin θ，可得⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y －1＝3sin θ，所以x 2＋(y －1)2＝3cos 2θ＋3sin 2θ＝3， 所以曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝3.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝23， 所以32ρsin θ＋12ρcos θ－23＝0， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0. (2)解法一：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2－2y －2＝0， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0. 由题意设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，得ρ21－ρ1－2＝0，所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)．将θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，得ρ2＝4， 所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2.解法二：因为射线OP 的极坐标方程为θ＝π6，所以射线OP 的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －1)2＝3，y ＝33x (x >0)解得A (3，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －43＝0，y ＝33x (x >0)解得B (23，2)，所以|AB |＝(23－3)2＋(2－1)2＝2.2．[2019·武汉4月调研]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，C 2：ρ2＝13－4sin 2θ. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)曲线C 1和C 2的交点为M ，N ，求以MN 为直径的圆与y 轴的交点坐标． 解：(1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22得ρ⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝22，将⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x代入上式得x ＋y ＝1，即C 1的直角坐标方程为x ＋y －1＝0， 同理由ρ2＝13－4sin 2θ可得3x 2－y 2＝1， ∴C 2的直角坐标方程为3x 2－y 2＝1(2)先求以MN 为直径的圆，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－y 2＝1，x ＋y ＝1得3x 2－(1－x )2＝1，即x 2＋x －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－1，则MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴|MN |＝1＋(－1)2|x 1－x 2|＝2×1－4×(－1)1＝10.∴以MN 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，令x ＝0，得14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94，∴y ＝0或y ＝3，∴以MN 为直径的圆与y 轴的交点的坐标为(0,0)或(0,3)．3．[2019·合肥质检二]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ－3.(1)写出曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求|PQ |的最大值．解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数得，曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1. 将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入曲线C 2的极坐标方程得，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y －3，即x 2＋(y －2)2＝1.(2)由(1)知曲线C 2是以C (0,2)为圆心，1为半径的圆． 设P 点的坐标为(2cos α，sin α)，则|PQ |≤|PC |＋1＝4cos 2α＋(sin α－2)2＋1＝－3sin 2α－4sin a ＋8＋1， 当sin α＝－23时，|PQ |max ＝2213＋1.4．[2019·郑州质量预测二]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值； (2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解：(1)由ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12得x 2＋3y 2＝12，故曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，点P 的直角坐标为(－2,0)， 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t 代入曲线C 的直角坐标方程x 212＋y 24＝1中，得t 2－2t －4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4. (2)由曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos θ，2sin θ)，0＜θ＜π2，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2. 因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当θ＝π6时取得最大值．5．[2019·石家庄一模]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α，(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0＜r ＜2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围．解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为 (x －2)2＋y 2＝r 2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)解法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)＞0， 结合0<r <2，得3<r 2<4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0，∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．解法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t y ＝32t(t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)>0， 结合0<r <2，得3<r 2<4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1>0，t 2>0，∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3<r 2<4，∴0<4－r 2<1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)． 6．[2019·长沙一模]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A ，B 两点．以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，求|OA |＋|OB |的取值范围．解：(1)由题意可得，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以M 的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0.(2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0， 得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0，当α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，Δ＝4sin2α＞0， 所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，根据极坐标的几何意义，|OA |，|OB |分别是点A ，B 的极径． 从而|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2， 故|OA |＋|OB |的取值范围是(2,22]．7．[2019·福州质检]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t y ＝a ＋32t (t为参数，a ∈R )．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C 交于O ，P 两点，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)当|AB |＝|OP |时，求a 的值．解：(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，得 3x ＋y －a ＝0.由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，从而x 2＋y 2＝4x ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0.(2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4cos θ，θ＝π3(ρ≥0)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.所以|OP |＝2，将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2－4x ＋y 2＝0中， 得t 2＋(2＋3a )t ＋a 2＝0， 由Δ>0，得23－4<a <23＋4. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋43a －a 2＝2， 解得，a ＝0或a ＝4 3. 所以，所求a 的值为0或4 3.解法二：将θ＝π3(ρ≥0)化为直角坐标方程，得3x －y ＝0(x ≥0)，由(1)知，曲线C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，由点到直线的距离公式，得点C 到该射线的最短距离d ＝233＋1＝3，所以该射线与曲线C 相交所得的弦长为 |OP |＝222－(3)2＝2. 圆心C 到直线l 的距离为：|23－a |3＋1＝|23－a |2，由⎝⎛⎭⎪⎫|23－a |22＋12＝22，得(23－a )2＝12， 即23－a ＝±23， 解得，a ＝0或a ＝4 3. 所以，所求a 的值为0或4 3. 8．[2019·洛阳统考]在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝－2＋t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y 得到曲线C 3，M (x ，y )是曲线C 3上任意一点，求点M 到曲线C 1的距离的最大值．解：(1)根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝－2＋t ，消参可得曲线C 1的普通方程为x －2y －5＝0，∵ρ2＝41＋3sin 2θ，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsiin θx 2＋y 2＝ρ2，代入可得：x 2＋4y 2＝4.故曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)曲线C 2：x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y得到曲线C 3的方程为x ′216＋y ′2＝1，∴曲线C 3的方程为x 216＋y 2＝1.设M (4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得点M 到曲线C 1的距离d ＝|4cos α－2sin α－5|12＋(－2)2＝|2sin α－4cos α＋5|5＝|25sin (α－φ)＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tan φ＝2)，∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2＋ 5.。
通用版2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文
课时跟踪检测（二十二）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a ，又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.若x ≤1，则g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；若x >1，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，等号成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，若x ≤1，则h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；若x >1，则h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，等号成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a ·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________． 解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________． 解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x <0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ． 1 B.324C.116D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴1a ＋2b的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选 A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n ·3n ＋3＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP ―→＋OQ ―→|的最小值为( )A.255 B.55 C.233D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P (x ，y )，Q (a ，－2a )，则OP ―→＋OQ ―→＝(x ＋a ，y －2a )，则|OP ―→＋OQ ―→|＝x ＋a2＋y －2a2，设z ＝|OP ―→＋OQ ―→|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M (－a,2a )的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝122＋1＝15＝55.5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2 B ．6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2（当且仅当t ＝62时等号成立），当t ＝0时，b2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.6．(2017·广州模拟)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y －3≥0，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y －3≥0，0≤x ≤a等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a .画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0所表示的平面区域如图中△ABC 及其内部，易知A (1,2)，因为S△ABC＝12×1×2＝1<5，所以a >1.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y －3≥0，0≤x ≤a 所表示的平面区域， 如图中的△ABC 和△ADE 所示．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a所对应的平面区域是△ADE 及其内部，易知D (a ，a ＋1)，E (a,3－a )，所以S △ADE ＝12×(a －1)×(a ＋1－3＋a )＝5－1，解得a ＝3(a ＝－1舍去)．答案：3。