2.4.2(抛物线的简单性质)

答案： 答案：C
4．过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的 ． 的焦点 的 直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p＝ 、 两点， ， ＝ 2 ________.
p p 解析： 联立， 解析：∵F( ，0)，∴设 AB：y＝x－ 与 y2＝2px 联立， ， ： ＝ － 2 2 p2 得 x2－3px＋ ＝0.∴xA＋xB＝3p. ＋ ∴ 4 ∴xA＋xB＋p＝4p＝8，得 p＝2. ＝ ＝ ， ＝
思考探究 1 抛物线根据什么判断开口大小？ 抛物线根据什么判断开口大小？
提示： 的大小确定开口大小， 提示：抛物线根据 p 的大小确定开口大小，当|p|越大 越大 抛物线的开口越大；反之，开口就越小． 时，抛物线的开口越大；反之，开口就越小．
思考探究 2 的连线的线段叫做焦半径， 抛物线上一点到焦点 F 的连线的线段叫做焦半径，在 y2＝2px(p>0)中，焦半径 怎样表示？ 中 焦半径|PF|怎样表示？ 怎样表知 ＝ 2 12 3 3 ∴抛物线准线方程为 x＝－ ， ＝－ 12 3 焦点坐标为( ，0)，离心率 e＝1. 焦点坐标为 ， ＝ 12
[点拨 点拨] 1. 求抛物线的标准方程及其几何性质的题 点拨 目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准 关键是求抛物线的标准方程， 方程，则其几何性质就会迎刃而解． 方程，则其几何性质就会迎刃而解． 2. 几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中，解 几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中， 题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的范围求解． 题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的范围求解．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
1.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程， 经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程， 经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程 掌握抛 物线的几何性质． 物线的几何性质． 2．能运用性质解决有关的简单几何问题. ．能运用性质解决有关的简单几何问题
1.抛物线的简单几何性质如下表： 抛物线的简单几何性质如下表： 抛物线的简单几何性质如下表 定义 平面上， 平面上 ，到定直线与到该定直线外一点的距 (几何 几何 离相等的点的轨迹叫做抛物线 条件) 条件 标准 y＝2px y2＝－ ＝－2px x2＝－ ＝－2py x2＝2p ＝ (p>0) y(p>0) 方程 (p>0) (p>0)
2.椭圆、双曲线、抛物线在几何性质上的联系与区别． 椭圆、双曲线、抛物线在几何性质上的联系与区别． 椭圆 (1)联系：三种曲线都有范围、对称轴、顶点和离心率 联系： 联系 三种曲线都有范围、对称轴、 四个基本的几何性质． 四个基本的几何性质． (2)区别：抛物线与椭圆、双曲线相比，主要区别于抛 区别： 相比， 区别 抛物线与椭圆、双曲线相比 且只有一个焦点、一个顶点、 物线的离心率等于 1 且只有一个焦点、一个顶点、一条对 称轴、一条准线，没有中心．就标准方程而言，椭圆、 称轴、一条准线，没有中心．就标准方程而言，椭圆、双 曲线有两个参数，而抛物线只有一个参数．另外需注意， 曲线有两个参数，而抛物线只有一个参数．另外需注意， 抛物线不是双曲线的一支，抛物线无渐近线． 抛物线不是双曲线的一支，抛物线无渐近线．
等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点， 练 1 等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个 顶点在抛物线 y2＝2px(p>0)上，求此三角形的面积． 上 求此三角形的面积．
[解] 设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上， 解 、 在抛物线上， 2 且坐标分别为(x 且坐标分别为 1， y1)、(x2， y2)，则 y2＝2px1， y2＝2px2 、 ， 1 又|OA|＝|OB|，故 x2＋y2＝x2＋ y2 ＝ ， 1 1 2 2 即 x2－x2＋2px1－2px2＝0 (x1－ x2)(x1＋x2＋2p)＝0 ＝ 1 2 ∵x1>0，x2>0,2p>0 ∴x1＝x2，|y1|＝|y2|， ， ＝ ， 轴对称． 即线段 AB 关于 x 轴对称． y2 1 由于∠ 由于∠AOx＝45°，y1＝x1，x1＝ ＝ ， 2p ∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p ， ＝ ∴|OA|＝|OB|＝2 2p，S△AOB＝4p2. ＝ ＝ ，
答案： 答案：C
3． ． 已知抛物线 y＝－ 2＋3 上存在关于直线 x＋y＝0 对 ＝－x ＝－ ＋ ＝ 等于( ) 称的相异两点 A、B，则|AB|等于 、 ， 等于 A．3 ． B．4 ． C．3 2 ． D．4 2 ．
解析： 解析：设直线 AB 的方程为 y＝x＋b， ＝ ＋ ， y＝－ 2＋3， ＝－x ， ＝－ 消去 y 化简整理得 x2＋x＋b－3＝0， 由 ＋ － ＝ ， y＝ x＋b， ＝ ＋ ， 1 1 ＝－1， ∴x1＋x2＝－ ，进而可求出 AB 的中点 M(－ ，－ ＋b)， － ， 2 2 1 1 又由 M(－ ，－ ＋b)在直线 x＋y＝0 上可求出 b＝1，∴x2＋x－ － 在直线 ＋ ＝ ＝ ， － 2 2 2＝0，∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ ， ＝－1， ＝－2， ＝ ， 2(x1－ x2)2 ＝ ∴ |AB| ＝ (x1－x2)2＋(y1－ y2)2 ＝ ( 2(x1＋ x2)2－8x1x2＝3 2. (
1.顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离 顶点在原点， 顶点在原点 的抛物线的标准方程是( ) 等于 3 的抛物线的标准方程是 A．x2＝±3y B．y2＝±6x ． ． C．x2＝±12y D．x2＝±6y ． ．
解析：因为顶点在原点， 解析：因为顶点在原点，对称轴是 y 轴，则开口向上 p 或向下， 或向下，由 ＝3，得 p＝6.故方程为 x2＝±2py＝±12y. ， ＝ 故方程为 ＝ 2 答案： 答案：C
3． ． 与抛物线有关的综合问题包含知识较多， 综合性强， 与抛物线有关的综合问题包含知识较多， 综合性强， 难度跨度大，能考查学生分析问题、 难度跨度大，能考查学生分析问题、解决问题的能力和运 推理能力及严密的逻辑思维能力. 算、推理能力及严密的逻辑思维能力
抛物线的简单几何性质 如图， 例 1 如图，已知边长为 2 的等边三角形 AOB，O 为坐 ， 标原点， ⊥ 标原点，AB⊥x 轴，
5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且 ．已知抛物线的顶点在坐标原点， 在坐标原点 与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的 ， 方程． 方程．
解 ： 设 所 求 抛 物 线 方 程 为 y2 ＝ 2px(p>0) 或 y2 ＝ － 2px(p>0)． ． y ， B(x y y 设圆与抛物线的交点为 A(x1， 1)， 2， 2)(y1>0， 2<0)， ， ， 则|y1|＋|y2|＝2 3，即 y1－y2＝2 3， ＋ ＝ ， ， 由对称性知： ＝－y 由对称性知：y2＝－ 1，代入上式得 y1＝ 3. 把 y1＝ 3代入 x2＋y2＝4，得 x1＝±1， 代入 ， ， ∴点 A(1， 3)在抛物线 y2＝2px 上，或点 A(－1， 3) ， 在抛物线 － ， ＝－2px 上，∴3＝2p 或 3＝－ ×(－1)， ＝－2p× － ， 在抛物线 y2＝－ ＝ ＝－ 3 ＝－3x. ∴p＝ ，所求抛物线方程为 y2＝3x 或 y2＝－ ＝ 2
p2 (1)x1x2＝ ，y1y2＝－ 2； ＝－p 4 2p (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 ； ＝ ＝ sin θ 1 1 2 (3) 定值)； ＋ ＝ (定值 ； 定值 |AF| |BF| p (4)以 AB 为直径的圆与准线相切； 为直径的圆与准线相切； 以 (5)∠ANB＝90°； ∠ ＝ ； (6)∠CFD＝90°； ∠ ＝ ； (7)以 CD 为直径的圆切 AB 于点 F； 以 ； p2 . (8)S△AOB＝ 2sinθ
(1)求以 O 为顶点且过 AB 的抛物线方程． 求以 的抛物线方程． (2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率 e. 求抛物线的焦点坐标， 求抛物线的焦点坐标 准线方程及离心率
[分析 (1)由等边三角形边长为 2，得出 A 点坐标，设 分析] 点坐标， 分析 由等边三角形边长为 ， 出抛物线方程，代入 A 点坐标可求． 出抛物线方程， 点坐标可求． (2)由抛物线方程可求焦点坐标，准线方程及离心率． 由抛物线方程可求焦点坐标，准线方程及离心率． 由抛物线方程可求焦点坐标
2．抛物线的定义很重要，利用抛物线定义可以得知， ．抛物线的定义很重要，利用抛物线定义可以得知， 抛物线的焦点弦有许多特殊性质： 抛物线的焦点弦有许多特殊性质 ： AB 是过抛物线 y2 ＝ 2px(p>0)的焦点 F 的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的 的焦点 的弦， ， ， 倾斜角为 θ，如图，可有以下结论： ，如图，可有以下结论：
1．抛物线是圆锥曲线中最为特殊的一种曲线 ＝ 1)， ．抛物线是圆锥曲线中最为特殊的一种曲线(e＝ ， 由于抛物线上任一点到其焦点与准线的距离都是相等的， 由于抛物线上任一点到其焦点与准线的距离都是相等的， 所以应充分利用图形及其抛物线的定义进行相互转化， 所以应充分利用图形及其抛物线的定义进行相互转化，有 利于灵活解题． 利于灵活解题．
2． ． 已知直线 y＝kx－k 及抛物线 y2＝2px(p>0)， ( ＝ － ， 则 A．直线与抛物线有一个公共点 ． B．直线与抛物线有两个公共点 ． C．直线与抛物线有一个或两个公共点 ． D．直线与抛物线可能没有公共点 ．
)
解析： 解析：∵直线 y＝kx－k 过点 ＝ － 过点(1,0)，且点 ，且点(1,0)在抛物线 在抛物线 y2＝2px 的内部， 的内部， 直线与抛物线有一个公共点； ∴当 k＝0 时，直线与抛物线有一个公共点； ＝ 直线与抛物线有两个公共点． 当 k≠0 时，直线与抛物线有两个公共点． ≠
图形
对称轴 顶点坐标 焦点坐标
x轴 ________