高考数学一轮复习： 第十四章 平面解析几何初步 14.1 直线方程与两直线位置关系
例1
(1)直线2xcos
α-y-3=0
π 6
,
π 3
的倾斜角的取值范围是
.
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, 3 )为端点的线段有公共点,则直
线l斜率的取值范围为
.
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解析 (1)直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,
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7.两条平行线间的距离
| C1 C2 |
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=⑩ A2 B2.
拓展延伸 1.求斜率可用k=tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,斜率k是一个实数,每条 直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率.倾斜角为9 0°的直线斜率不存在.
(x1 x2 )2 (y1 y2 )2 .
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= x2 y2 .
6.点到直线的距离
| Ax0 By0 C |
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=⑨
A2 B2
.
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(4)过A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系:A1x+B1y+C1+λ(A2x +B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). 5.两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式:
|P1P2|=⑧
高考数学
第十四章 平面解析几何初步
§14.1 直线方程与两直线位置关系
知识清单
1.直线的倾斜角和斜率 (1)对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时,所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角,规 定直线与x轴平行或重合时,直线的倾斜角为0.α的取值范围为① [0,π) . (2)若直线的倾斜角不是90°,则它的倾斜角的② 正切值 叫做这条直 线的斜率,直线的斜率常用k表示,即k=tan α,α为直线的倾斜角,由正切函 数的单调性可知倾斜角不同的直线,其斜率也不同. (3)经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为③ k=
求直线方程可分为两种类型:一是根据题目条件确定一个点和斜率或两 个点,进而选择相应的直线方程形式写出方程,这是直接法;二是根据直 线在题目中所具有的某些性质,先设出方程(含参数),再确定其中的参数 值,然后写出方程,这是间接法. 例2 (2016江苏南通中学检测,15,14分)已知直线l经过直线l1:3x+2y-1=0 和l2:5x+2y+1=0的交点.求: (1)平行于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程; (2)在x轴,y轴上的截距相等的直线l的方程; (3)直线l与x轴负半轴,y轴正半轴所围成的三角形面积最小时直线l的方程.
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方法 3 有关直线的位置关系问题
判断两条直线的位置关系时,有两个高频出错点:一是忽视了直线的斜
率不存在的情况,二是忽视了两直线重合的情况.解答这类试题时要根
据直线方程中的系数进行分类讨论,求出结果后再代入直线方程中进行
检验,这样能有效地避免错误. Nhomakorabea例3 在平面直角坐标系xOy中,已知过点M(1,1)的直线l与圆(x+1)2+(y-
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方法技巧
方法 1 求直线的斜率及倾斜角范围的方法
当α∈ 0, π2
且由0增大到 π2
π 2
时,k由0增大到+∞;当α∈ π2 ,
π
时,k也
是关于α的单调函数,当α在此区间内由 π2
π 2
增大到π(α≠π)时,k由-
∞趋近于0(k≠0),另外,解决此类问题时,也可借助图形直观地作出判断.
如图1,α∈ 0, π2时,k单调递增且k≥0;α∈ 时π2 ,,πk单 调递增且k<0.
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如图2,k2>k1>0>k4>k3,π>α4>α3> π2>α2>α1>0(斜率为k1,k2,k3,k4的直线对应的
倾斜角为α1,α2,α3,α4).
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∵kAP= 1201 =1,kBP=
30
=- 3 ,
0 1
∴直线l的斜率k∈(-∞,- 3 ]∪[1,+∞).
答案
(1) π4 ,
π 3
(2)(-∞,- 3 ]∪[1,+∞)
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方法 2 直线方程的求法及应用
2)2=5相切,且与直线ax+y-1=0垂直,则实数a=
.
解析 易知点M在圆上,所以切线方程为(1+1)(x+1)+(1-2)(y-2)=5,即2x-
y-1=0.由直线2x-y-1=0与直线ax+y-1=0垂直,得2a-1=0,即a= 1 .
2
答案 1
2
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此时直线l与x轴负半轴,y轴正半轴所围成的三角形面积S= 1 |k+2| 2 1
2
k
= 12 k
4 k
4
≥ 1 (2 4
2
+4)=4,当且仅当k= 4 ,即k=2时取等号,从而k=2时,
k
三角形的面积最小,此时直线l的方程为y=2x+4.
当a≠0时,直线l的方程为 x + y =1,将(-1,2)代入,可得a=1,从而所求直线方
aa
程为x+y-1=0. (3)由题意知直线l的斜率存在,设为k,且k>0,则直线l的方程为y-2=k(x+
1),
分别令x=0,y=0可得:直线l与坐标轴的交点为(0,k+2), k2 1,0,
因为α∈ π6 ,
π 3
,所以 1 ≤cos
2
α≤ 3 , 2
因此k=2cos α∈[1, 3].
设直线的倾斜角为θ,
则有tan
θ∈[1, 3
].又θ∈[0,π),所以θ∈ π4 ,
π 3
,
即倾斜角的取值范围是 π4 ,
π 3
.
(2)如图,
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y2 y1
x2 x1 .
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3.两直线平行与垂直 (1)若直线l1的方程为y=k1x+b1,直线l2的方程为y=k2x+b2,则l1∥l2的充要条 件是④ k1=k2且b1≠b2 ,l1⊥l2的充要条件是⑤ k1k2=-1 . (2)若直线l1的方程为A1x+B1y+C1=0,直线l2的方程为A2x+B2y+C2=0, 则l1∥l2的充要条件是⑥ A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 ; l1⊥l2的充要条件是⑦ A1A2+B1B2=0 . 4.常见直线系 (1)过定点(x1,y1)的直线系:A(x-x1)+B(y-y1)=0(A2+B2≠0). (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系:Ax+By+λ=0(λ≠C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系:Bx-Ay+λ=0.
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解析 由直线l1:3x+2y-1=0,l2:5x+2y+1=0得交点(-1,2). (1)由已知可设直线l的方程为3x-5y+c=0(c≠6),将(-1,2)代入可得c=13,从 而直线l的方程为3x-5y+13=0. (2)设直线l在x轴,y轴上的截距皆为a,当a=0时,设直线l的方程为y=mx(m ≠0),将(-1,2)代入,可得m=-2,从而直线l的方程为y=-2x.
在平面直角坐标系中,直线越陡,|k|越大.
2.对称问题:
(1)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(2)点(x,y)关于x轴、y轴、原点、直线y=x、直线y=-x的对称点分别为
(x,-y)、(-x,y)、(-x,-y)、(y,x)、(-y,-x).
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高考数学一轮专项复习讲义(通用版)-直线、平面平行的判定及性质(含解析)
直线、平面平行的判定及性质复习要点1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质定理与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．一直线与平面平行1．直线与平面平行的定义直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行．2．判定定理与性质定理二平面与平面平行1．平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．2．判定定理与性质定理常/用/结/论1．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．2．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．4．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．1．判断下列结论是否正确．(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)2．(2024·广东深圳福田区统考)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下说法：①若m∥α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；③若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n；④若m⊂α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n.其中正确的说法是()A．①④B．①②④C．①②③D．②③④解析：对于①，由m∥α，则存在直线a⊂α，使得m∥a，∵m⊥β，∴a⊥β，则α⊥β，故①正确；对于②，假设m∥n时，存在α∩β＝b，m⊂α，n⊂β，m∥b，n∥b，且m⊄β，n⊄α，符合条件，但α与β相交，故②错误；对于③，由α⊥β，设α∩β＝c，当m∥c∥n，且m⊄α，n⊄β时，m∥α，n∥β，故③错误；对于④，由m∥β，则任意直线d⊂β，直线d与直线m的位置关系为异面或平行，∵m⊂α，且α∩β＝n，∴m∥n，故④正确．故选A.答案：A3．在三棱柱ABCA1B1C1中，D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若A1C∥平面BC1D，则D为()A．棱AB的中点B．棱A1B1的中点C．棱BC的中点D．棱AA1的中点解析：如图，当D为棱A1B1的中点时，取AB的中点E，连接A1E，EC，易知A1E∥BD，DC1∥EC，又DC1∩BD＝D，A1E∩EC＝E，∴平面A1CE∥平面BC1D，又A1C⊂平面A 1CE ，则A 1C ∥平面BC 1D .故选B.答案：B4．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________．解析：∵平面ABFE ∥平面DCGH ，平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH ∩平面DCGH ＝HG ，∴EF ∥HG .同理，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．答案：平行四边形题型线面平行的判定与性质典例1(2023·全国乙卷，文)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝22，PB ＝PC ＝6，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，点F 在AC 上，BF ⊥AO .本题的核心条件，特殊的位置关系，必有点F 特殊的数量关系．(1)求证：EF ∥平面ADO ；(2)若∠POF ＝120°，求三棱锥P ABC 的体积．此条件暗示△POF 的特殊性，即平面POF ⊥平面ABC.(1)证明：如图，连接DE .设AF ＝tAC ，t ∈[0,1]，则BF →＝BA →＋AF →＝(1－t )BA →＋tBC →，AO →＝－BA →＋12BC →.由BF ⊥AO ，AB ⊥BC ，(t －1)BA →2＋12tBC →2＝4(t －1)＋4t ＝0，以{BA →，BC →}为基底，进行数量积的运算，从而求得点F 的特殊数量关系.以上计算集中于△ABC 中．解得t ＝12，则F 为AC 的中点．另一种有意义的逆推：因为PC ∥平面DAO ，若EF 不平行于PC ，且满足EF ∥平面DAO ⇒平面PAC ∥平面DAO ，显然错误！从而判断EF ∥PC.由D ，E ，O ，F 分别为PB ，PA ，BC ，AC 的中点，可得DE ∥AB ，DE ＝12AB ，OF ∥AB ，OF ＝12AB ，即DE ∥OF ，DE ＝OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，所以EF ∥DO ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .(2)解：过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M .因为PB ＝PC ，O 是BC 的中点，所以PO ⊥BC ，在Rt △PBO 中，PB ＝6，BO ＝12BC ＝2，所以PO ＝PB 2－OB 2＝6－2＝2.因为AB ⊥BC ，OF ∥AB ，所以OF ⊥BC .又PO ∩OF ＝O ，PO ，OF ⊂平面POF ，所以BC ⊥平面POF .可推得平面POF ⊥平面ABC ，从而作PM ⊥平面ABC 时点M 在FO 的延长线上．又PM ⊂平面POF ，所以BC ⊥PM .又BC ∩FM ＝O ，BC ，FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥P ABC 的高为PM .因为∠POF ＝120°，所以∠POM ＝60°，所以PM ＝PO sin 60°＝2×32＝ 3.又S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×22＝22，所以V P ABC ＝13△ABC ·PM ＝13×22×3＝263.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)．(3)利用面面平行定义的逆定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．对点练1(1)(2024·四川成都模拟)如图，在四棱锥P ABCD 中，△BCD 为等边三角形，∠DAB ＝120°，AD ＝AB ＝PD ＝PB ＝2，点E 为PC 的中点．证明：BE ∥平面PAD .(2)(2024·福建厦门双十中学月考)如图1所示，在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，E 为BC 上一点，AE ＝BE ＝AD ＝2CD ＝2，CE ＝3，将四边形AECD 沿AE 折起，使得BC ＝3，得到如图2所示的四棱锥．若平面BCD ∩平面ABE ＝l ，证明：CD ∥l .图1图2(1)证明：如图，取CD 的中点M ，连接EM ，BM ，∵E 为PC 中点，∴EM ∥PD ，又EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴EM ∥平面PAD .∵△BCD 为等边三角形，∴MB ⊥CD ，∵∠DAB ＝120°，AD ＝AB ，∴∠ADB ＝∠ABD ＝30°，∠ADC ＝∠CDB ＋∠ADB ＝60°＋30°＝90°，∴AD ⊥CD ，∴MB ∥AD .又MB ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴MB ∥平面PAD .∵EM ∩MB ＝M ，EM ，MB ⊂平面EMB ，∴平面EMB ∥平面PAD ，∵EB ⊂平面EMB ，∴EB ∥平面PAD .(2)证明：连接DE (图略)，因为CE ⊥CD ，CE ＝3，CD ＝1，所以DE ＝2，sin ∠CDE ＝32，又∠CDE CDE ＝π3，因为DE ＝2，AE ＝AD ＝2，所以△ADE 是等边三角形，所以∠DEA ＝π3，故CD ∥AE .又AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以CD ∥平面ABE ，因为CD ⊂平面BCD ，平面BCD ∩平面ABE ＝l ，所以CD ∥l .题型面面平行的判定与性质典例2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点．求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG .思考判定定理，即需要两组平行线的关系．证明：(1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1，又在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．两条平行线确定一个平面．(2)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG .∵在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1B 1綉AB ，∴A 1G ∥EB ，A 1G ＝12A 1B 1＝12AB ＝EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，∴A 1E ∥平面BCHG .应用判定定理.平面A 1EF 内两条相交直线A 1E ，EF 都平行于平面BCHG.∵A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面EFA 1，∴平面EFA 1∥平面BCHG .证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．(6)向量法：证明两平面的法向量平行．对点练2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ＝()A.223aB.23aC.22a D.233a解析：如图，连接BD ，PD 1，PB 1，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥DD 1，BB 1＝DD 1，∴四边形DD 1B 1B 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD .又∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，∴B 1D 1∥PQ ，∴PQ ∥BD ，∴∠PQD ＝∠BDC ，又∵∠PDQ ＝∠BCD ＝90°，∴△PDQ ∽△BCD ，∴PQ BD ＝PD BC.又∵正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，∴BC ＝a ，PD ＝AD －AP ＝a －a 3＝2a3，BD ＝2a ，∴PQ ＝PD ·BD BC ＝2a3×2a a ＝223a .故选A.答案：A题型平行关系的综合应用典例3(2024·河北邯郸一中模拟)如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AB ＝3，CD ＝2，PD ＝AD ＝5，E 是PD 上的一点．(1)若PB ∥平面ACE ，求PEED的值；此问关键在于由位置关系，推导数量关系．(2)若E 是PD 的中点，过点E 作平面α∥平面PBC ，平面α与棱PA 交于点F ，求三棱锥P CEF 的体积．解：(1)连接BD 交AC 于点O ，在△PBD 中，连接OE (图略)，∵OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，PB ∥平面ACE ，∴OE ∥PB .∵AB ＝3，CD ＝2，利用PB ∥平面ACE ，由性质定理，作辅助面．平面PBD∩平面EAC ＝OE ，这样OE ∥PB.∴AB CD ＝BO DO ＝PE ED ＝32，∴PE ED 的值为32.(2)过点E 作EM ∥PC 交CD 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AB 于点N ，连接EN ，则平面EMN 即平面α，逆推：α∩平面PCD ＝EM α∥平面PBCEM ∥PC .同理：α∩平面ABCD ＝MN ⇒MN ∥BC .α∩平面PAB ＝NFα∥平面PBCNF ∥PB ，由此E 为中点→M 为中点→N 为3等分点→F 为3等分点．易证平面α与平面PAB 的交线与PB 平行，过点N 作NF ∥PB 交PA 于点F ，连接CF ，EF ，CE ，∵E 是PD 的中点，CD ＝2，∴CM ＝1，则BN ＝CM ＝1，又AB ＝3，∴AN NB ＝2,则FA FP ＝2，∵PD ＝AD ＝5，∴F 到平面PCD 的距离为53，则V P CEF ＝V F PCE ＝13×12×52×2×53＝2518.平行关系的互相转化对点练3如图所示，空间四面体ABCD 的两条对棱AC ＝5，BD ＝4，求平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，截面周长的取值范围．解：∵直线AC ∥平面EFGH,AC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，∴EF ∥AC ，同理可证，HG ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．设DH DA ＝GHAC ＝k (0<k <1)，则AH AD ＝EHBD＝1－k ，∴GH ＝kAC ＝5k ，EH ＝(1－k )BD ＝4(1－k )，∴截面EFGH 的周长为2(EH ＋HG )＝10k ＋8(1－k )＝2k ＋8.又∵0<k <1，∴截面周长的取值范围为(8,10)．。
【步步高】2014届高考数学一轮复习 1.2.3直线与平面的讲解
1.2.3 直线与平面的位置关系第一课时一、基础过关1. 在空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 和BC 上的点,若AE ∶EB=CF ∶FB =1∶3,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是________.2. 过直线l 外两点,作与l 平行的平面,则这样的平面有____________个.3. 过平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有________条.4. 经过直线外一点有______个平面与已知直线平行.5. 如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面中:(1与直线AB 平行的平面是______________;(2与直线AA 1平行的平面是_______________________________;(3与直线AD 平行的平面是______________.6. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1的中点,则BD 1与过点A ,E ,C 的平面的位置关系是____________.7. 如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱BC 、C 1D 1 的中点.求证:EF ∥平面BDD 1B 1.8. 如图所示,P 是▱ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE ∶EA =BF ∶FD .求证:EF ∥平面PBC .二、能力提升9. 设m 、n 是平面α外的两条直线,给出三个论断:①m ∥n ;②m ∥α;③n ∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题:______________.(用序号表示10.如图所示,ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP =a 3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =______.它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=________.12.如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为(1求证:BC∥l;(2MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.三、探究与拓展有一点P,Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.(用两种方法证明答案1.平行2.0,1或无数3.124.无数5.(1平面A 1C 1和平面DC 1 (2平面BC 1和平面DC 1 (3平面B 1C 和平面A 1C 16.平行7.证明取D 1B 1的中点O ,连结OF ,OB .∵OF 綊12B 1C 1,BE 綊12B 1C 1,∴OF 綊BE .∴四边形OFEB 是平行四边形,∴EF ∥BO . ∵EF ⊄平面BDD 1B 1,BO ⊂平面BDD 1B 1, ∴EF ∥平面BDD 1B 1.8.证明连结AF 延长交BC 于G ,连结PG .在▱ABCD 中,易证△BFG ∽△DFA .∴GF FA =BF FD =PE EA ,∴EF ∥PG .而EF ⊄平面PBC ,PG ⊂平面PBC ,∴EF ∥平面PBC .9.①②⇒③(或①③⇒② 10.223a11.m ∶n12.(1证明因为BC ∥AD ,AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC ∥平面PAD .又平面PAD ∩平面PBC =l ,BC ⊂平面PBC ,所以BC ∥l .(2解 MN ∥平面PAD .证明如下:如图所示,取PD 中点E ,连结AE ,EN .又∵N 为PC 的中点,∴EN 綊12DC , 又∵AM 綊12DC , ∴EN 綊AM .即四边形AMNE 为平行四边形.∴AE ∥MN ,又MN ⊄平面PAD ,AE ⊂平面PAD .∴MN ∥平面PAD .13.证明方法一如图(1所示,作PM ∥AB 交BE 于M ,作QN ∥AB 交BC 于N ,连结MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ,∴AE =BD .又∵AP =DQ ,∴PE =QB .又∵PM ∥AB ∥QN ,∴PM AB =PE AE ,QN DC =BQ BD.∴PM 綊QN . ∴四边形PQNM 是平行四边形.∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ,PQ ⊄平面BCE ,∴PQ ∥平面BCE .方法二如图(2所示,连结AQ 并延长交BC (或其延长线于K ,连结EK .∵KB ∥AD ,∴DQ BQ =AQ QK. ∵AP =DQ ,AE =BD ,∴BQ =PE .∴DQ BQ =AP PE .∴AQ QK =AP PE.∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ,EK ⊂平面BCE , ∴PQ ∥平面BCE .。
第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.直线与圆 第11题第11题第14题第15题第6题第15题2.圆锥曲线的定义与方程第9题,第13题第10题,第14题第5题,第14题第3题,第13题第16题第5题,第16题3.直线与椭圆的综合问题第22题第21题 第20题 第16题 第5题4.直线与双曲线的综合问题 第21题 第21题第21题 第21题5.直线与抛物线的综合问题第11题第10题第22题第10题优化备考策略考情分析:1.题型、题量稳定:近几年高考试题对解析几何的考查一直以“两小一大”或“三小一大”的形式出现,分值约22~27分.2.重点突出:本章在高考中均以重要知识模块命制试题,题型覆盖面广.客观题重点考查直线与圆、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系等;主观题主要考查圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值及证明等问题,常与函数、不等式等知识综合,有时会以探索性问题形式呈现,难度较大.复习策略:1.注重夯实基础.直线、圆、圆锥曲线的定义、方程是解析几何的根本,也是高考的重要命题点.2.既要掌握解题的基本方法和基本规律,也要掌握解题的重要结论和解题的技巧,注重条件的转化及方法的提炼、优化.3.强化审题中的作图意识.依据题意画出比较准确的图形是研究解析几何问题的基础,作图的过程是读题、审题、理解题意与探索解题思路的过程,将条件标在图形的过程则是条件转化及建立条件与结论联系的过程.课标解读1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).1 强基础 固本增分知识梳理1.直线倾斜角的定义(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l,把x 轴(正方向)按 方向绕着交点旋转到 时所成的角,称为直线l 的倾斜角.通常倾斜角用α表示.当直线l 和x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 . 直线的倾斜角α的取值范围为[0,π) (2)在平面直角坐标系中,直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度,倾斜角越接近 ,倾斜程度越大.逆时针和直线l 首次重合 0微点拨斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中可以同时调换.就是说,如果分子是y 2-y 1,那么分母必须是x 2-x 1;反过来,如果分子是y 1-y 2,那么分母必须是x 1-x 2.2.直线的斜率所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率微思考直线的倾斜角越大,斜率越大对吗?提示不对.设直线的倾斜角为α,斜率为k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k=0k>0不存在k<0k的增减性—随α的增大而增大—随α的增大而增大(3)直线的倾斜角与方向向量的关系:若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,3.直线方程的五种形式 名称几何条件方程适用条件点斜式过点(x 0,y 0),斜率为k 与x 轴不垂直的直线斜截式在y 轴上的截距为b ,斜率为k 两点式过两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1≠x 2,y 1≠y 2) 与两坐标轴均不垂直的直线截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b (a ,b ≠0) 不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线一般式—Ax +By +C=0(A 2+B 2≠0)平面内所有直线“截距式”中截距不是距离,在用截距式时,应先判断截距是否为0y-y 0=k (x-x 0) y=kx+b误区警示求直线方程时,若不能判断直线是否具有斜率,应对斜率存在与不存在加以讨论.常用结论特殊位置的直线方程(1)与x轴重合的直线方程为y=0;(2)与y轴重合的直线方程为x=0;(3)过点(a,b)(b≠0)且平行于x轴的直线方程为y=b;(4)过点(a,b)(a≠0)且平行于y轴的直线方程为x=a;(5)过原点且斜率为k的直线方程为y=k x.自主诊断√ × × × 题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)只根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )(2)若直线的倾斜角为α,则斜率为tan α.( )(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过点P(x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示.( )2.已知直线l的倾斜角为60°,且l在y轴上的截距为-1,则直线l的方程为C( )3.已知直线的点斜式方程是y+2= (x+1),那么此直线的斜率是 ,倾斜角是 . 60°14.已知经过A(a,-1),B(2,a+1)的直线的斜率为3,则实数a的值是 .题组二连线高考4.(2004·北京春季高考,文11)直线x- y+a=0(a为常实数)的倾斜角的大小是 .6.(2015·山东春季高考,10)如图,直线l的方程是( )D2 研考点 精准突破考点一 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线l过相异两点A(-si n θ,cos2θ)和B(0,1),则l的倾斜角的取值范围是 .(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .变式探究1(变条件)若本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l的斜率的取值范围.变式探究2(变条件变结论)若将本例(2)中的B(0, )改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l的倾斜角的取值范围.解设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,∴(2k-1-k)(2k+1-k)≤0,即(k-1)(k+1)≤0,解得-1≤k≤1.故直线l的倾斜角的取值范围是.[对点训练1](1)(2024·山东东营模拟)已知经过两点(m,-2)和(3,2m)的直线的C(2)已知点P(1,2),经过点P作直线l,若直线l与连接A(9,1),B(5,8)两点的线段总有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为( )C考点二 直线的方程例2求符合下列条件的直线方程:(1)过点(1,2),且斜率为3;(2)经过两点A(3,-2),B(5,-4);(3)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2;(4)过点P(2,4)且在坐标轴上的截距相等.解(1)直线的点斜式方程为y-2=3(x-1),化简得3x-y-1=0.(3)斜率k=tan 45°=1,截距b=2,所以斜截式方程为y=x+2,即x-y+2=0.[对点训练2](1)倾斜角为60°,与y轴的交点到x轴的距离是3的直线方程为 .(2)求过点A(5,2),且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线l的方程为 . 2x-5y=0或x+2y-9=0 考点三 直线方程的综合应用例3已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△A O B面积最小时,求直线l的方程.变式探究1(变条件)在本例中,当|M A|·|M B|取得最小值时,求直线l的方程.变式探究2(变条件)在本例中,当|O A|+|O B|取最小值时,求直线l的方程.本 课 结 束。
解析几何
高考题型3：考查两直线的位置关系 两直线之间的位置关系，以两条直线的平 行或垂直的充要条件、两条直线的交点、 点到直线的距离为命题对象，主要以选择、 填空题的形式出现，属于中低档题． 高考题型4：考查对称问题 对称问题是高考考查的热点，涉及直线的 倾斜角与斜率、直线方程、两条直线位置 关系等知识的综合应用，同时还会涉及对 称的几何性质的应用，在解决此类问题时 要注意运用数形结合等数学思想与方法， 一般为选择、填空题中的中档题．
4．本节的高考试题相对稳定，多与平 面几何、平面向量等知识综合命题， 教师要注意复习过程中适当提升综合 性．
本节高考题型
高考题型1：考查双曲线的定义 考查双曲线定义，涉及根据定义求轨迹 方程，以及焦点三角形的应用，一般以 选择、填空题的形式出现，属于容易 题． 高考题型2：考查双曲线的标准方程 考查双曲线标准方程与几何性质，常以 双曲线标准方程中系数的几何意义、离 心率、渐近线为命题对象，一般以选择、 填空题的形式出现，属于容易题．
考 点
考纲要求
考点解读
曲线 与 方程
考查轨迹判断及求轨迹方程， 根据方程研究曲线的简单几何性质， 2.曲线与方程 了解方程的曲线与 考查交点．高考试题通常结合圆锥 曲线的方程的对应 曲线的定义、平面几何性质、向量 关系，理解数形结 等内容设置轨迹问题． 一般在解答题中出现，属于中档题， 合的思想. 分值约为4分，预计2013年仍以解 答题中的综合题的形式出现．
4．本节的高考试题相对稳定，多与平面几何综
合命题，教师要注意把握得当．
本节高考题型
高考题型1：考查倾斜角与斜率 直线的倾斜角与斜率是高考必考内容之一，一 般与直线方程、两直线的位置关系等综合命题， 以斜率定义、斜率的两点式为命题对象，注意 斜率存在性的讨论，主要以选择、填空题的形 式出现，属于中低档题． 高考题型2：考查直线方程 重点考查由一点和斜率确定的直线的点斜式方 程，以及直线方程不同形式之间的转化．常与 方向向量、导数等综合命题，主要以选择、填 空题的形式出现，属于中档题，或是解答题的 第一问，属于容易题．
直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
3
2
.
[易错题]已知点 A (3，4)，则经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
4 x －3 y ＝0或 x ＋ y －7＝0
.
[解析] 设直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a .(讨论截距是否为0)
①若 a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)，
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之 直线的方程
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
(1)定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
定义：当直线l与x轴相交时，
这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，
我们以x轴为基准，x轴正向
π
k＝tan
α
即③
(α≠
D. 8
5−1
＝－2，则线段 lAB ： y －1＝－2( x －4)， x ∈[2，4]，即
2−4
y ＝－2 x ＋9， x ∈[2，4]，故2 x － y ＝2 x －(－2 x ＋9)＝4 x －9， x ∈[2，4].设 h ( x )
1
1
1
1
差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k 3＝(
图1
A. 0.75
B. 0.8
D )
图2
C. 0.85
D. 0.9
[解析] 如图，连接 OA ，延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2，则 OA 2＝4 OD 1.因为 k 1， k 2，
2
k 3成公差为0.1的等差数列，所以 k 1＝ k 3－0.2， k 2＝ k 3－0.1，所以tan∠ AOA 2＝
高考数学一轮复习 专题9.1 直线的方程(讲)
专题9.1 直线的方程【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 已知直线l 经过A (－cos θ，sin 2θ)，B (0，1)不同的两点，直线l 的斜率为____________，倾斜角的取值范围是____________．2． 直线l 的倾斜角α＝60°，且过点(3，1)，则直线l 的方程为____________．【解析】因为α＝60°，所以k ＝tan α＝ 3.又直线l 过点(3，1)，所以直线l 的方程为y －1＝3(x －3)，即y ＝3x －2.3． 直线的斜率为2，在x 轴上的截距为－1，则直线的斜截式方程为__________________． 【解析】直线过点(－1，0)，斜率为2，由点斜式方程得y －0＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋2. 题组二 常错题4．当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0的倾斜角为____________．【解析】当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0可化为3x －1＝0，其倾斜角为90°.5．直线l 经过点(5，10)，且原点到直线l 的距离是5，则直线l 的方程为__________________． 【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝5；当直线l 的斜率存在时，设其为k ，则直线l 的方程为y －10＝k (x －5)，由点到直线的距离公式可得k ＝34，故直线l 的方程为3x －4y ＋25＝0.6．过点P (－1，2)且在两轴上的截距相等的直线方程为____________________．题组三 常考题7．过A (1，2)，B (2，1)两点的直线的斜率为______________． 【解析】k AB ＝2－11－2＝－1.8．过原点且斜率为12的直线方程为______________．【解析】利用点斜式可得直线方程为y ＝12x .【知识清单】考点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=, tan 00k ==.②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k 之间的大小变化关系： （1）当[0,)2πα∈时，0,k α>越大，斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时，0,k α<越大，斜率越大.考点2 直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线 的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y=.特别地，若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+=，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率A k B =-，截距C b B=- 【考点深度剖析】直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查．【重点难点突破】考点1 直线的倾斜角与斜率【1-1】经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为34π，则y ＝ . 【答案】－3 【解析】由()21342y +---＝242y +y 2＝＋，得y 2tan ＋＝34π1.y 3∴＝－＝－. 【1-2】经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.【答案】[1,1]－，0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【思想方法】1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．【温馨提醒】若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．考点2 直线的方程【2-1】三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【答案】5100x y -+=，38150x y ++=，5360x y +-=整理得：5100x y -+=.这就是直线AC 的方程．【2-2】已知点A （-3，-1），B （1，5），直线l 过线段AB 的中点，且在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的2倍.求直线l 的方程． 【答案】230x y +-=【2-3】(1) 直线210mx y m -++=恒过一定点，则此定点为 .(2) 直线l 过点(3,2)P ，且分别交x 轴，y 轴的正半轴于A ,B 两点.求三角形OAB 的面积最小值及此时直线l 的方程.【答案】（1）(2,1)-；（2）243y x =-+. 【解析】（1）法一、直线210mx y m -++=可变形为：1(2)y m x -=+.这是直线的点斜式方程，由这个方程可知．直线恒过点 (2,1)-.法二、直线210mx y m -++=可变形为：(2)(1)0x m y +--=.若该方程对任意m 都成立，则2010x y +=⎧⎨-=⎩，即21x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过点 (2,1)-. 法三、在方程210mx y m -++=中，令0m =得：10y -+=即1y =；令1m =得：30x y -+=，将1y =代入30x y -+=得2x =-.将21x y =-⎧⎨=⎩代入210mx y m -++=得21210m m --++=恒成立，所以直线210mx y m -++=恒过点(2,1)-.（2）由题设知，直线不可能与x 轴垂直，即直线的斜率必存在.设直线的斜率为k ，则其点斜式的方程为【思想方法】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．【温馨提醒】涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为0的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.【易错试题常警惕】求直线方程忽视零截距致误典例(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．易错分析本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．规范解答解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1.[4分]∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分][失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
版高考数学一轮总复习解析几何中的位置关系问题分析
版高考数学一轮总复习解析几何中的位置关系问题分析解析几何是高考数学中的重要内容之一，而在解析几何中，位置关系问题又是一个关键的考点。
理解和掌握解析几何中的位置关系问题对于解题至关重要。
在本文中，将对解析几何中的位置关系问题进行详细分析和解读。
一、点与点的位置关系在解析几何中，最基本的元素就是点。
而点与点之间的位置关系主要有三种情况：重叠、异点和共线。
1. 重叠：当两个点的坐标完全相同时，这两个点重叠在一起，即位置完全相同。
例如，点A(2,3)与点B(2,3)重叠。
2. 异点：当两个点的坐标不完全相同时，这两个点被称为异点。
异点之间没有任何关系，表示物体的两个不同位置。
例如，点C(4,5)与点D(3,7)是异点。
3. 共线：当三个或更多个点位于同一条直线上时，这些点被称为共线。
共线的点可以通过斜率相等或者坐标之间满足一定关系来判断。
例如，点E(2,3)、点F(3,4)和点G(4,5)共线。
通过对点与点的位置关系的理解，我们可以更好地把握解析几何中的图形变换和平移等操作。
二、直线与直线的位置关系在解析几何中，直线与直线之间的位置关系主要有三种情况：相交、平行和重合。
1. 相交：当两条直线有一个公共点时，这两条直线被称为相交。
相交的直线可以通过解方程组来求解公共点的坐标。
例如，直线l1：y =2x + 1和直线l2：y = -x + 3在点(1,3)相交。
2. 平行：当两条直线的斜率相等且不相交时，这两条直线被称为平行。
平行的直线可以通过斜率相等来判断。
例如，直线l3：y = 2x + 1和直线l4：y = 2x + 3是平行的。
3. 重合：当两条直线的方程完全相同时，这两条直线被称为重合。
重合的直线表示同一直线上的不同方程形式。
例如，直线l5：y = 2x +1和直线l6：2y = 4x + 2是重合的。
通过对直线与直线的位置关系的理解，我们可以更好地解决解析几何中的平行线与垂直线、直线的倾斜度等问题。
平面解析几何初步直线圆的方程等一轮复习专题练习(二)含答案新教材高中数学
高中数学专题复习《平面解析几何初步直线圆的方程等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线2．若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， (2020湖南理)3．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为（ ） A ．－3或7 B ．－2或8C ．0或10D ．1或11（2020天津）4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为 ( ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y x D ．0422=-+x y x （2020全国文8） 5．圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y=33x 的距离是（ ） A ．21 B ．23 C ．1D ．3（2020全国理）6．过点(2,1)P 作圆22:2210C x y ax ay a +-+++=的切线有两条，则a 取值范围是_____7．过点P （2，1），且倾斜角是直线l ：01=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程为（ ）A 、012=--y xB 、2=xC 、)2(21-=-x yD 、012=--y x8．圆222460x y x y ++--=的圆心和半径分别是（ ）Ａ、(1,2),11- Ｂ、(1,2),11 Ｃ、(1,2),11-- Ｄ、(1,2),11-9．下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是（ ） Ａ、22(2)(3)4x y -++= Ｂ、22(2)(3)4x y ++-= Ｃ、22(2)(3)9x y -++= Ｄ、22(2)(3)9x y ++-=10．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（山东卷11） A ．106B ．206C ．306D ．406第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．若第一象限内的动点P （x ，y ）满足，则以P 为圆心R 为半径且面积最小的圆的方程为＿＿＿＿O 1C2C（第18题） xy. .12．在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的重心（三角形三条中线的交点），则AP = ▲ ．13．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准．．方程是__________； 14．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是 ．15．设A ,B ,C 为单位圆O 上不同的三点，则点集{(,)|,A x y OC xOA yOB ==+02,02}x y <<<<所对应的平面区域的面积为 ▲ ．16．直线x ＋2y －2＝0与直线2x －y ＝0的位置关系为 ▲ ．（填“平行”或“垂直”） 评卷人得分三、解答题17．（本题满分15分）设ABC ∆顶点坐标()()()0,1,3,0,3,0A B C -，圆M 为AB C ∆的外接圆．（Ⅰ）求圆M 的标准方程（Ⅱ）直线l 过点（1，3）且与圆M 相交于P 、Q ，弦PQ 长为23，求直线l 的方程．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动； ②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．(本小题满分16分)关键字：直线与圆；已知弦长；求直线方程；垂径定理；求轨迹方程；过定点问题19．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝1＋sin θ，则x ＋y ＝1＋sin θ＋cos θ＝1＋2sin(θ＋π4)≥1－2，由不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立， 得不等式x ＋y ≥－m 恒成立， ∴1－2≥－m ，∴m ≥2－1.20．已知点A 是圆22:450C x y ax y +++-=上任意一点，且A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，求实数a 的值。
2025届高中数学一轮复习课件：第九章 第1讲直线方程(共59张ppt)
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高考一轮总复习•数学
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对点练 1(1)(2024·湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，
若 fπ4－x＝fπ4＋x，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为(
)
π π 2π 3π A.4 B.3 C. 3 D. 4
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2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k
表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝yx22－－yx11. 3．直线的方向向量 若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上两点，则 l 一个方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)； 若 l 的斜率为 k，则一个方向向量的坐标为 (1，k) .
切线问题可利用导数的几何意义：设切点 P(x0，ln x0)，则 k＝f′(x0)．
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x.设切点为 P(x0，ln x0)，则
切线的斜率 k＝f′(x0)＝x10＝lnx0x0，
∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝x10＝1e. 方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线 f(x)＝ln x 及其经过原点的切线，如图
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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