等腰三角形典型例题练习含含答案

等腰三角形典型例题练习含含答案 等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共 2 小题） 1．如图，∠ C=90°，AD 均分∠ BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm ， BD=3cm ，则点 D 到 AB 的距离为（ ）

A ．5cm B ．3cm C．2cm D．不 能确立

2．如图，已知 C 是线段 AB 上的随意一点（端点除外） ，分别以 AC 、 BC 为边而且在 AB 的同一侧作等边 △ ACD 和等边 △ BCE，连结 AE 交 CD 于 M ，连结 BD 交 CE 于 N．给出以下三个结论： ① AE=BD ② CN=CM ③ MN ∥ AB 此中正确结论的个数是（ ）

A ．0 B ．1 C．2 D．3

二．填空题（共 1 小题） 3．如图，在正三角形 ABC 中， D， E， F 分别是 BC， AC ， AB 的面积与 △ABC 的面积之比等于 _________ ． 上的点， DE⊥ AC ， EF⊥ AB ， FD⊥ BC ，则 △ DEF

三．解答题（共 15 小题） 4．在 △ ABC 中， AD 是∠ BAC 的均分线， E、 F 分别为 AB 、 AC 上的点，且∠ EDF+ ∠EAF=180 °，求证

DE=DF ． 5．在 △ ABC 中，∠ ABC 、∠ ACB 的均分线订交于点 O，过点 O 作 DE ∥ BC，分别交 AB 、AC 于点 D 、E．请说明 DE=BD+EC ． 等腰三角形典型例题练习含含答案 6．＞已知： 如图， D 是 △ABC 的 BC 边上的中点， DE ⊥ AB ，DF ⊥ AC ，垂足分别为 E，F，且 DE=DF ．请判断 △ABC 是什么三角形？并说明原因．

7．如图， △ ABC 是等边三角形， BD 是 AC 边上的高，延伸 BC 至 E，使 CE=CD ．连结 DE． （ 1）∠ E 等于多少度？ （ 2） △ DBE 是什么三角形？为何？

8．如图，在 △ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD 是 AB 边上的高，∠ A=30 °．求证： AB=4BD ．

9．如图， △ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 分别在 AB 、 AC 的延伸线上，且 BD=CE ， DE 与 BC 订交于点 F．求证： DF=EF ．

10．已知等腰直角三角形 ABC ， BC 是斜边．∠ B 的角均分线交 AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延伸线 于 E， 求证： BD=2CE ． 等腰三角形典型例题练习含含答案 11．（2012?牡丹江）如图 ① ， △ ABC 中． AB=AC ， P 为底边 BC 上一点， PE⊥ AB ， PF⊥ AC ， CH ⊥AB ，垂足分别为 E、 F、 H．易证 PE+PF=CH ．证明过程以下： 如图 ① ，连结 AP． ∵ PE⊥AB ， PF⊥ AC ， CH ⊥ AB ，

∴ S△ABP= AB ?PE， S△ACP = AC ?PF， S△ABC= AB ?CH ． 又∵ S△ABP+S△ACP=S△ABC ， ∴ AB ?PE+ AC ?PF= AB ?CH ．

∵ AB=AC ， ∴ PE+PF=CH ．

（ 1）如图 ② ，P 为 BC 延伸线上的点时，其余条件不变， PE、 PF、 CH 又有如何的数目关系？请写出你的猜想，并加以证明： （ 2）填空：若∠ A=30 °， △ ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则

AB 边上的高 CH= _________ ．点 P 到 AB 边的距离 PE= _________ ．

12．数学课上，李老师出示了以下的题目： “在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延伸线上，且 ED=EC ，如图，试确立线段 AE 关系，并说明原因 ”． 小敏与同桌小聪议论后，进行了以下解答： （ 1）特别状况，探究结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确立线段 AE 与 DB 的大小关系， 请你直接写出结论： AE _________ “＜ ”或 “=”）． （ 2）特例启迪，解答题目 解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是： AE _________ DB （填 “＞ ”， “＜ ”或“=”）．原因以下：如图 EF∥ BC，交 AC 于点 F．（请你达成以下解答过程） （ 3）拓展结论，设计新题 与 DB 的大小

DB（填 “＞ ”， 2，过点 E 作 等腰三角形典型例题练习含含答案 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC ．若 △ ABC 的边长为 1，AE=2 ，求 CD

的长（请你直接写出结果） ． 13．已知：如图， AF 均分∠ BAC ， BC ⊥ AF 于点 E，点 D 在 AF 上， ED=EA ，点 P 在 CF 上，连结 PB 交 AF 于点 M ．若∠ BAC=2 ∠ MPC ，请你判断∠ F 与∠ MCD 的数目关系，并说明原因．

14．如图，已知 △ ABC 是等边三角形，点 D、 E 分别在 BC 、AC 边上，且 AE=CD ， AD 与 BE 订交于点 F．

（ 1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论． （ 2）求∠ BFD 的度数．

15．如图，在 △ ABC 中， AB=BC ，∠ ABC=90 °， F 为 AB 延伸线上一点，点 E 在 BC 上， BE=BF ，连结 AE 、EF 和 CF， 求证： AE=CF ．

16．已知：如图，在 △ OAB 中，∠ AOB=90 °， OA=OB ，在 △ EOF 中，∠ EOF=90 °， OE=OF，连结 AE 、 BF．问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明原因． 等腰三角形典型例题练习含含答案 17．（ 2006?郴州）如图，在 △ ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 上随意一点，过 D 分别向 AB ，AC 引垂线，垂足分别为 E， F，CG 是 AB 边上的高． （ 1） DE ， DF， CG 的长之间存在着如何的等量关系？并加以证明； （ 2）若 D 在底边的延伸线上， （ 1）中的结论还建立吗？若不建立，又存在如何的关系？请说明原因．

18．如图甲所示，在 △ ABC 中， AB=AC ，在底边 BC 上有随意一点 P，则 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上 的高），即 PD+PE=CF ，若 P 点在 BC 的延伸线上，那么请你猜想 PD 、PE 和 CF 之间存在如何的等式关系？写出你 的猜想并加以证明． 等腰三角形典型例题练习含含答案 等腰三角形典型例题练习 参照答案与试题分析 一．选择题（共 2 小题） 1．如图，∠ C=90°，AD 均分∠ BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm ， BD=3cm ，则点 D 到 AB 的距离为（ ）

A ．5cm B ．3cm C．2cm D．不 能确立

考点 ： 剖析：

解答：

角均分线的性质． 由已知条件进行思虑，联合利用角均分线的性质可得点 的长，问题可解． 解：∵∠ C=90°， AD 均分∠ BAC 交 BC 于 D ∴D 到 AB 的距离即为 CD 长 CD=5 ﹣ 3=2 应选 C．

D 到 AB 的距离等于 D 到 AC 的距离即 CD

2．如图，已知 C 是线段 AB 上的随意一点（端点除外） ，分别以 AC 、 BC 为边而且在 AB 的同一侧作等边 △ ACD 和等边 △ BCE，连结 AE 交 CD 于 M ，连结 BD 交 CE 于 N．给出以下三个结论： ① AE=BD ② CN=CM ③ MN ∥AB 此中正确结论的个数是（ ）

A ．0 B ．1 C．2 D．3 考点 ： 平行线分线段成比率；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质． 剖析： 由△ ACD 和 △ BCE 是等边三角形，依据 SAS 易证得 △ ACE ≌△ DCB ，即可得 ① 正确；由 △ACE ≌△ DCB ，可得∠ EAC= ∠ NDC ，又由∠ ACD= ∠ MCN=60 °，利用 ASA ，可证得 △ACM ≌△ DCN ，即可得 ② 正确；又可证得 △ CMN 是等边三角形，即可证得 ③ 正确． 解答： 解：∵△ ACD 和 △BCE 是等边三角形，∴∠ ACD= ∠ BCE=60 °， AC=DC ，EC=BC ， ∴∠ ACD+ ∠ DCE= ∠ DCE+ ∠ECB ，即∠ ACE= ∠DCB ，∴△ ACE ≌△ DCB （ SAS）， ∴AE=BD ，故 ① 正确； ∴∠ EAC= ∠NDC ，∵∠ ACD= ∠ BCE=60 °，∴∠ DCE=60 °，∴∠ ACD= ∠ MCN=60 °， ∵AC=DC ，∴△ ACM ≌△ DCN （ ASA ），∴ CM=CN ，故 ② 正确； 又∠ MCN=180 °﹣∠ MCA ﹣∠ NCB=180 °﹣ 60°﹣ 60°=60°， ∴△ CMN 是等边三角形，∴∠ NMC= ∠ACD=60 °，∴ MN ∥ AB ，故 ③ 正确．应选 D ．

二．填空题（共 1 小题） 3．如图，在正三角形 ABC 中， D， E， F 分别是 BC， AC ， AB 上的点， DE⊥ AC ， EF⊥ AB ， FD⊥ BC ，则 △ DEF 的面积与 △ABC 的面积之比等于 1：3 ．