高中数学基本不等式知识点归纳及练习题
高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
。
技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；3．203x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba33+的最小值是 .变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值.技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号） 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,4259y t t≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
24(2)x t t +=≥，则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： b a 33和都是正数，ba 33+≥632332==⋅+b a b a当ba33=时等号成立，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即当1==b a 时，ba33+的最小值是6．错因：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥x y =，在19xy+≥条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22。
同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2＝x2·1＋y22＝ 2 x ·12 ＋y22下面将x ，12 ＋y22分别看成两个因式： x ·12 ＋y22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b2≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2＝ 2 3x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
高中数学总复习知识点专题讲解与练习2不等式
高中数学总复习知识点专题讲解与练习专题2不等式一、单项选择题1．(2021·江西六校联考)已知集合A ＝{x ∈N |2x －7<0}，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{0，1，2，3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤72D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x ≤72 答案 B解析 由已知得A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－1≤x ≤4}， 则A ∩B ＝{0，1，2，3}．故选B. 2．(2019·课标全国Ⅱ)若a >b ，则( )A ．ln(a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b | 答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln(a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，则B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．故选C.3．(2021·东北三省四市一模)设a >0，b >0，若2a ＋b ＝2，则1a ＋2b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 方法一：1a ＋2b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋4a b ＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2b a ×4a b ＝4，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝12，b ＝1时，等号成立．故选B. 方法二：1a ＋2b ＝2a ＋b 2a ＋2a ＋b b ＝1＋b 2a ＋2ab ＋1≥2＋2b 2a ×2a b ＝4，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝12，b ＝1时，等号成立．故选B.4．已知a ，b 都是实数，则“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵ln 1a <ln 1b ，∴0<1a <1b ，∴a >b >0，∴a 2>b 2.而由a 2>b 2得到|a |>|b |，∴“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的充分不必要条件．故选C.5．下列各函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x答案 D解析 当x >0时，y ＝x ＋1x ≥2，当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2，故A 不正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0，1)，令t ＝sin x ∈(0，1)，则y ＝t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立，t ＝sin x ∈(0，1)，t ＝2取不到，所以y >4，故B 不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，由于x 2＋2＝1x 2＋2无解，所以等号不能取得，故C不正确； y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，故D 正确．故选D.6．(2021·山西晋中月考)已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2（a ＋1）（b ＋2）－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.故选B.7．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥21a ·1b ，当且仅当a ＝b 时取等号，则2≥1ab，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的充分不必要条件．故选A.8．(2021·四川省宜宾二模)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3 答案 C解析 不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，等价于a ≥－x －1x 对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，∵y ＝－x －1x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，∴－x －1x ≤－12－2＝－52，∴a ≥－52，∴a 的最小值为－52.故选C. 9．若log 3(2a ＋b )＝1＋log3ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．6 B.83 C ．3 D.163 答案 C解析 本题考查基本不等式．由题意得log 3(2a ＋b )＝1＋log 3(ab )，所以2a ＋b ＝3ab ，a >0，b >0，即2b ＋1a ＝3，所以a ＋2b ＝13(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋1a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×2a b ×2b a ＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．故选C.10．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1，3) 答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f (a )>0对任意a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，① 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0，② 联立①②，解得x <1或x >3.故选C. 二、多项选择题11．(2021·河北衡水中学二调)已知0<log 12a <log 12b <1，则下列说法正确的是( )A ．1>a 2>b 2>14B ．2>1a >1b >1C.a b －1>b a －1D.1e >e －b >e －a >1e 答案 ACD解析 已知0<log 12a <log 12b <1，因为y ＝log 12x 在区间(0，＋∞)上单调递减，所以12<b <a <1，所以14<b 2<a 2<1，故A 正确；因为函数y ＝1x 在区间(0，＋∞)上单调递减，且12<b <a <1，所以2>1b >1a >1，故B 错误；因为a b －1－ba －1＝a （a －1）－b （b －1）（b －1）（a －1）＝（a 2－b 2）－（a －b ）（b －1）（a －1）＝（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）.又12<b <a <1，所以（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）>0，故C 正确；因为－12>－b >－a >－1，函数y ＝e x 为单调递增函数，所以1e <e －a <e －b <1e，故D 正确．12．(2021·长郡模拟)设a >b >1，0<c <1，则下列不等式中成立的是( ) A ．a c <b c B ．a b >b c C ．log b c <log a c D ．log c b <log c a 答案 BC解析 0<c <1⇒a c >b c ，故A 错误；因为a >b >1，0<c <1，所以a b >b b >b c ，故B 正确；由对数函数的单调性可得log c b >log c a ，故D 错误；因为log b c ＝1log cb ，log ac ＝1log ca ，0>log c b >log c a ，所以log b c <log a c ，故C 正确．故选BC. 13．下列结论正确的是( )A ．若ab >0，则b a ＋ab ≥2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．若x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，则1x 2＋4y 2≥9 D ．函数f (x )＝e －x ＋e x (x >0)有最小值2 答案 AC解析 因为ab >0，所以a b >0，b a >0，所以由基本不等式可得b a ＋ab ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，A 正确；易知y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2，因为x 2＋2≥2，f (x )＝x ＋1x 在[2，＋∞)上单调递增，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2＋12＝322，所以函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为322，B 错误；因为x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，所以1x 2＋4y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋y 2x 2＋4x 2y 2≥9，当且仅当y 2＝2x 2时等号成立，C 正确；f (x )＝e －x ＋e x ＝1e x ＋e x ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，而x >0，故D 错误．故选AC.14．(2021·唐山市三模)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (a )＝f (b )，且a <b ，则下列不等式成立的有( )A ．ab ＝1B ．a 2＋b 2>2 C.1a ＋2b ≥22 D ．log a b <log b a 答案 ABC解析 ∵f (x )＝x ＋1x (x >0)，f (a )＝f (b )，∴a ＋1a ＝b ＋1b ，即a －b ＝1b －1a ＝a －b ab .∵a <b ，∴a －b ≠0，∴1ab ＝1，即ab ＝1，故A 正确． ∵a <b ，ab ＝1，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 2>2，故B 正确． 1a ＋2b ≥22ab ＝22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，ab ＝1，即⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2时“＝”成立，故C 正确． ∵ab ＝1，∴a ＝1b ，b ＝1a，∴log a b ＝log b a ＝－1，故D 错误．故选ABC. 15．已知2a ＝3b ＝6，则下列选项一定正确的是( ) A ．ab >4 B ．(a －1)2＋(b －1)2<2 C ．log 2a ＋log 2b >2 D ．a ＋b >4 答案 ACD解析 ∵2a＝3b＝6，∴a ＝log 26，b ＝log 36.∴1a ＝log 62，1b ＝log 63，∴1a ＋1b ＝1.∵1＝1a ＋1b ≥21ab ，∴ab ≥4.∵a ≠b ，∴ab >4，故A 正确．∵log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )>log 24＝2，故C 正确．∵a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a b ＋ba ＋2≥4.∵a ≠b ，∴a ＋b >4，故D 正确． ∵a －1＝log 23，b －1＝log 32，∴(a －1)·(b －1)＝1，∴(a －1)2＋(b －1)2≥2(a －1)·(b －1)＝2.∵a －1≠b －1，∴(a －1)2＋(b －1)2>2.故B 不正确．故选ACD.三、填空题16．(2021·济南学情诊断)若实数x ，y 满足lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则xy 的最小值为________． 答案 4解析 依题意可知x >0，y >0，由lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )得lg(xy )＝lg(x ＋y )，得xy ＝x ＋y .由基本不等式得xy ＝x ＋y ≥2xy ，即xy －2xy ＝xy (xy －2)≥0，所以xy ≥2，xy ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以xy 的最小值为4.17．(2021·辽宁五校期末联考)已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a ＋4b 的最小值是________． 答案 9解析 本题考查基本不等式的应用．∵ab －b ＋1＝0，∴a ＝b －1b >0，∴b －1>0. 又1a ＋4b ＝b b －1＋4b ＝5＋1b －1＋4(b －1)≥5＋21b －1·4（b －1）＝5＋4＝9，当且仅当1b －1＝4(b －1)，即b ＝32，a ＝13时等号成立，则1a ＋4b 的最小值是9.18．(2021·吉林五校联考)若正实数a ，b 满足ab ＝1，则1a ＋1b ＋1a ＋b 的最小值为________．答案 52解析 方法一：因为a >0，所以a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ＝1时等号成立，又ab ＝1，所以a ＝1b ，则1a ＋1b ＋1a ＋b＝1a ＋a ＋1a ＋1a .令t ＝a ＋1a ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (2)＝2＋12＝52，所以1a ＋1b ＋1a ＋b的最小值为52.方法二：因为ab ＝1，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”.1a ＋1b ＋1a ＋b ＝b ＋a ＋1a ＋b ，令t ＝a ＋b ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以1a ＋1b ＋1a ＋b 的最小值为2＋12＝52.19．(2021·临渭期末)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．12 答案 B解析 ∵x 2＋2xy －3＝0，∴y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝3x 2＋32x ≥23x 2·32x＝3，当且仅当3x 2＝32x ，即x ＝1时取等号．故选B.20．(2021·毕业班第二次文科卷)已知a －5＝ln a 5<0，b －4＝ln b 4<0，c －3＝ln c3<0，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <c <aB ．a <c <bC ．a <b <cD ． c <b <a 答案 C解析 令f (x )＝x －ln x ，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增．当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，故f (5)>f (4)>f (3)， ∴5－ln 5>4－ln 4>3－ln 3. ∵a －5＝ln a5＝ln a －ln 5<0， ∴a －ln a ＝5－ln 5，∴f (a )＝f (5)，且a ∈(0，1)．同理f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，且b ∈(0，1)，c ∈(0，1)， ∴f (a )>f (b )>f (c )，∴a <b <c .故选C.1．(2021·山东滨州市一模)已知p ：|x －a |<1，q ：3x ＋1>1，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[－1，2)D ．(－1，2) 答案 A解析 因为|x －a |<1，所以a －1<x <a ＋1，即p ：a －1<x <a ＋1， 因为3x ＋1>1，所以－1<x <2，即q ：－1<x <2. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧a －1≥－1，a ＋1≤2，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤1.故选A.2．不等式x2x －1>1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 答案 A解析 原不等式等价于x2x －1－1>0，即x －（2x －1）2x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.故选A.3．【多选题】(2021·梅州市高三总复习)若1a >1b >0，下列不等式中正确的是( )A ．a 2(1＋b )<ab (1＋a )B ．a 3＋b 3>2ab 2 C.b －a <b －a D ．log a ＋23>log b ＋13答案 AC解析 ∵1a >1b >0，∴b >a >0.a 2(1＋b )－ab (1＋a )＝a 2＋a 2b －ab －a 2b ＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，故a 2(1＋b )<ab (1＋a )，故A 正确．a 3＋b 3－2ab 2＝a 3－ab 2＋b 3－ab 2＝a (a －b )·(a ＋b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2＋ab －b 2)． 令a ＝2，b ＝3，则a 2＋ab －b 2>0.∴此时a 3＋b 3<2ab 2，故B 不正确．b －a <b －a 等价于b ＋a －2ab <b －a ，即a <ab .即a <b .∴b －a <b －a 成立，故C 正确．令b ＝2，a ＝1，则log a ＋23＝log b ＋13＝1，故D 错误．故选AC.4．(2021·A 佳湖南大联考)已知a >0，b >0，则“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a >b >0，则1b >1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，所以a －b >1a －1b ，充分性成立．若a －b >1a －1b ，则a ＋1b －b －1a >0，即(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，又a >0，b >0，所以1＋1ab >0，所以a －b >0，即a >b ，必要性成立．故“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的充要条件．故选C.5．【多选题】(2021·山东滨州二模)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则2a －b >12B ．若a >b >0，则lg a lg b >1C ．若a >0，b >0，则ab ≥2ab a ＋bD ．若a >b ，则ac 2>bc 2 答案 AC 解析 对于A ，因为a >b ，所以a －b >0，所以2a －b >1>12，故正确；对于B ，a ＝10，b ＝110，lg a lg b >1不成立；对于C ，因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，所以ab ＝2ab 2ab ≥2ab a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故正确；对于D ，当c ＝0时不成立．故选AC.6．【多选题】(2021·高三5月数学)已知两个不为零的实数x ，y 满足x <y ，则下列结论正确的是( )A ．3|x －y |>1B ．xy <y 2C ．x |x |<y |y | D.1x －1y <e x －e y答案 AC解析 因为x <y ，所以|x －y |>0，所以3|x －y |>1，则A 正确；因为x <y ，当y >0时，xy <y 2，当y <0时，xy >y 2，则B 错误；令f (x )＝x |x |，易知f (x )在R 上单调递增，又x <y ，所以f (x )<f (y )，即x |x |<y |y |，则C 正确；对于D ，方法一：令g (x )＝1x －e x ，易知g (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，不妨设0<x <y ，则g (x )>g (y )，即1x －e x >1y －e y ，亦即1x －1y >e x －e y ，则D 错误；方法二：取x ＝－1，y ＝1，则1x －1y ＝－2>e －1－e ，则D 错误．故选AC.7．【多选题】(2021·茂名第三次联考)已知1a <1b <0，则下列不等式错误的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b >1B.1b －a >1b C ．a 3>b 3 D.b a ＋b <1a答案 ABD解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b ∈(0，1)，故A 错误；不妨设b ＝－2，a ＝－1， ∴1b ＝－12，1b －a ＝－1，∴1b －a<1b ，故B 错误；∵b <a <0，y ＝x 3在R 上单调递增，∴a 3>b 3，故C 正确；不妨设b ＝－2，a ＝－1，∴b a ＋b ＝－2－3＝23，1a＝－1， ∴b a ＋b >1a，故D 错误．故选ABD. 8．【多选题】(2021·山东4月联考)若a >b >0，且ab ＝1，则( )A ．a >b ＋1 B.1a 2＋1<1b 2＋1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．log 2(a ＋b )>1 答案 BD解析 ∵a >b >0且ab ＝1，∴a >1>b >0，∴a －b －1＝1b －b －1＝1－b 2－b b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋54b，不能确定正负，故A 错误． ∵a >b >0，∴a 2>b 2.∴a 2＋1>b 2＋1>0.∴1a 2＋1<1b 2＋1，故B 正确． ∵a >b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故C 错误． 由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2.∵a ≠b ，∴a ＋b >2，∴log 2(a ＋b )>1，故D 正确．故选BD.9．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 (－4，2)解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m <t min .因为2x ＋1y ＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y . 而x >0，y >0，所以4y x ＋x y ≥2 4y x ·xy ＝4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时等号成立 所以t ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m <8，即(m －2)(m ＋4)<0，解得－4<m <2.所以实数m 的取值范围为(－4，2)．10．已知正实数x ，y 满足2xy ＋2x ＋y ＝3，则2x ＋3y 的最小值为________． 答案 43－4解析 由2xy ＋2x ＋y ＝3得2x ＝3－y y ＋1. 又x ，y 为正实数，所以2x ＝3－y y ＋1>0，得0<y <3. 则2x ＋3y ＝3－y y ＋1＋3y ＝4y ＋1＋3(y ＋1)－4≥2 4y ＋1×3（y ＋1）－4＝43－4， 当且仅当4y ＋1＝3(y ＋1)，即y ＝233－1时取等号．。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立 故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（ ）A ．a >0，ab =12B ． a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a)(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解 由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B4、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m 4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.5、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可.不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b a(−12)⋅13=2a，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A6、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B7、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |−1<a <2}B ．{a |−2<a <1}C ．{a |a <−2}D ．{a |a >1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1.故选：B.8、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 23,21<<-<<-a b故选：D ．多选题9、已知a >b ⩾2，则（ ）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b 答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2，A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10、若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 2<aC ．若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b aD ．a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A ，当a <0<b 时，结论不成立，故A 错误；对于B ，a 2<a 等价于a (a −1)<0，又0<a <1，故成立，故B 正确；对于C ，因为a >b >0且c >0，所以b+c a+c >b a 等价于ab +ac >ab +bc ，即(a −b )c >0，成立，故C 正确； 对于D ，a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)等价于(a −1)2+(b +2)2≥0，成立，故D 正确.故选：BCD. 0ab11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.12、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，则下列结论正确的是（）A．a>0B．b>0C．c>0D．a+b+c>0答案：BCD分析：对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及b>0，即可求解.解：对A，∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，即a<0，故A错误；对B，C，由题意知：2和−12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba=2+(−12)=32>0，又∵a<0，故b>0,c>0，故B，C正确；对D，∵ca=−1，∴a+c=0，又∵b>0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.13、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的值可为（ ） A ．60B ．80C ．100D ．120答案：ABC解析：先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围.由汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，∴15(120−k +4500120)=11.5，解得：k =100，故每小时油耗为15(x +4500x )−20， 由题意得15(x +4500x )−20≤9，解得：45≤x ≤100，又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 填空题14、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示） 答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论．2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3，−2≤−12(x +y )≤12,5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4，解得{m =−1n =2， 所以3x −4y =−(x +2y)+2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； {c a >d b bc >ad ⇒{bc−ad ab >0bc >ad ⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.解答题17、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P =at t+1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q =bt ．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元（1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y =ax x+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3−x 万元，由题意知：y =P +Q =ax x+1+b(3−x)，当x =3时，f(x)=94，当x =0时，f(x)=1， 则{3a 4=94,3b =1,解得a =3,b =13， 则y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3． （2）由（1）可得f(x)=3x x+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x =133−[3x+1+13(x +1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x =2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1或x >b }．(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x 的最小值．答案：(1)a =−1，b =2(2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值.（1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g(x)=f(x)+4x =x2−x+2x=x+2x−1，因为x>0，由基本不等式可得g(x)=x+2x −1≥2√x⋅2x−1=2√2−1，当且仅当x=2x时，即x=√2时，等号成立故函数g(x)的最小值为2√2−1.。
高中数学基本不等式及其应用知识归纳+经典例题+变式+习题巩固(带解析)
基本不等式及其应用一、知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.二、基础演练1.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.2.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋2B.1＋3C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.3.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.三、典型例题与变式训练考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝⎛⎭⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝mn ，即m ＝4，n ＝2时等号成立.角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华 利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】 已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A.6B.62C.3D.32答案 A 解析 由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6， 当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用【例4】 (1) (多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝⎛⎭⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD.(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53(2) 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，求x ＋3y 的最小值.答案 (1)C解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.四、练习巩固 一、选择题1.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.42C.2D.22答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.2.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A.3B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.3.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1， ∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B.4.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( ) A.2 B.23C.4D.22答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.5.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2 B.22C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.6.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( )A.13B.1C.2D.59答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.二、填空题7.若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a ＝4时，等号成立.故2a ＋b 的最小值为8. 8.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.9.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.10.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.11.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 12.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结单选题1、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错. 故选：A.2、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<abC．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B3、已知x>0，则下列说法正确的是（）A．x+1x −2有最大值0B．x+1x−2有最小值为0C．x+1x −2有最大值为－4D．x+1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x+1x ≥2√x×1x=2，分析即得解由题意，x>0，由均值不等式x+1x ≥2√x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立故x+1x−2≥0，有最小值0故选：B4、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C5、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误. 故选：C6、若a,b,c∈R，则下列命题为假命题的是（）A．若√a>√b，则a>b B．若a>b，则ac>bcC ．若b >a >0，则1a >1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案.解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a >1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确.故选：B.7、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．8、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.， 23,21<<-<<-a b故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B多选题9、已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有（ ）A ．2abB ．a 2＋b 2C ．1a ＋1bD ．2ab 答案：BCD分析：利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒∵a ，b ＞0，∴2＝a ＋b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．由ab ≤1，得2ab ≤2，∴2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a+1b =a+b ab =2ab ≥2，C 正确； 2ab ≥2，D 正确．故选：BCD ．10、解关于x 的不等式：ax 2+(2−4a)x −8>0，则下列说法中正确的是（ ）A ．当a =0时，不等式的解集为{x |x >4}B ．当a >0时，不等式的解集为{x|x >4或x <−2a }C ．当a <0时，不等式的解集为{x |−2a <x <4}D ．当a =−12时，不等式的解集为∅ 答案：ABD分析：讨论参数a ，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.A ：a =0，则2x −8>0，可得解集为{x |x >4}，正确；B ：a >0，则(ax +2)(x −4)>0，可得解集为{x|x >4或x <−2a }，正确；C ：a <0，当−2a <4时解集为{x |−2a <x <4}；当−2a =4时无解；当−2a >4时解集为{x |4<x <−2a }，错误；D ：由C 知：a =−12，即−2a =4，此时无解，正确.11、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（ ）A ．a 2−b 2≤4B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），且，则c =4 答案：ABD解析：因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0， 再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0，对A ：a 2−b 2≤4等价于b 2−4b +4≥0，显然(b −2)2≥0，故A 正确；对B ：a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ×1b =4，故B 正确；对C ：因为不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，故可得x 1x 2=−b <0，故C 错误；对D ：因为不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则方程x 2+ax +b −c =0的两根为x 1，x 2，故可得√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 2−4(b −c )=√4c =2√c =4，故可得c =4，故D 正确.故选：ABD .小提示：本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 124x x -=124x x -=分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.13、下列说法正确的是（）A．x+1x(x>0)的最小值是2B．2√x2+2的最小值是√2C．2√x2+4的最小值是2D．2−3x−4x的最小值是2−4√3答案：AB分析：利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2（当且仅当x=1x，即x=1时取等号），A正确；2√x2+2=√x2+2，因为x2≥0，所以2√x2+2=√x2+2≥√2，B正确；2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2，当且仅当√x2+4=√x2+4，即x2=−3时，等号成立，显然不成立，故C错误；当x=1时，2−3x−4x=2−3−4=−5<2−4√3，D错误.故选:AB.填空题14、若一个直角三角形的面积为4cm2，则此三角形周长的最小值是________cm.答案：4+4√2分析：设两条直角边长分别为xcm、8xcm，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.设两条直角边长分别为xcm、8xcm，则该直角三角形的周长为x+8x +√x2+64x2≥2√x⋅8x+√2√x2⋅64x2=4√2+4(cm)，当且仅当{x=8xx2=64x2x>0时，即当x=2√2时，等号成立. 所以答案是：4√2+4.15、已知正实数x，y满足1x +1y=1，则x+4y最小值为______．答案：9分析：利用基本不等式的性质直接求解即可.∵正数x，y满足：1x +1y=1，∴x+4y=(x+4y)⋅(1x +1y)=5+4yx+xy≥5+2√4yx⋅xy=9，当且仅当4yx =xy，即x=2y，x=3，y=32时“=”成立，所以答案是：9.16、若x>−1，则x+3x+1的最小值是___________. 答案：2√3−1分析：由x+3x+1=x+1+3x+1−1，结合基本不等式即可.因为x>−1，所以x+1>0，所以x+3x+1=x+1+3x+1−1≥2√3−1，当且仅当x+1=3x+1即x=√3−1时，取等号成立.故x+3x+1的最小值为2√3−1，所以答案是：2√3−1解答题17、某旅游公司在相距为100km的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km/ℎ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km/ℎ时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30km/ℎ航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入−成本）（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？答案：（1）4750元；（2）游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．分析：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，根据利润=收入−成本建立函数关系式，所以y=6000−15v−24000v(0<v⩽50)，代入v=30km/ℎ即可求得；（2）利用基本不等式求出最大利润即可．解：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，因为游船的燃料费用为每小时k·v2元，依题意k·202=60，则k=320．所以y=6000−(320v2·100v+240·100v)=6000−15v−24000v(0<v⩽50)．v=30km/ℎ时，y=4750元；（2）y=6000−15v−24000v ⩽6000−2√15v×24000v=4800，当且仅当15v=24000v，即v=40时，取等号．所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．18、某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？答案：每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）分析：由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知(50+10x)(200−10x)>12600，解不等式可求解.设该旅店某晚的收入为y元，则y=(50+10x)(200−10x),x∈N∗由题意y>12600，则(50+10x)(200−10x)>12600即10000+1500x−100x2>12600，即x2−15x+26<0，解得：2<x<13，且x∈N∗所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、已知a>0，b>0且ab＝1，不等式12a +12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≥4C．m≥6D．m≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a+b的范围，化简不等式可得m≥4(a+b)−(a+b)22，利用二次函数性质求4(a+b)−(a+b)22的最大值，由此可求m的取值范围.不等式12a +12b+ma+b≥4可化为a+b2ab+ma+b≥4，又a>0，b>0，ab＝1，所以m≥4(a+b)−(a+b)22，令a+b=t，则m≥4t−t22，因为a>0，b>0，ab＝1，所以t=a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立，又已知m≥4t−t22在[2,+∞)上恒成立，所以m≥(4t−t22)max因为4t−t22=12(8t−t2)=−12(t−4)2+8≤8，当且仅当t=4时等号成立，所以m≥8，当且仅当a=2−√3，b=2+√3或a=2−√3，b=2+√3时等号成立，所以m的取值范围是[8,+∞)，故选：D.2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B，若c=0，则ac=bc=0，此时a=b未必成立，B错误；对于C，当a>0>b时，1a >0>1b，C错误；对于D，当ac2>bc2时，由不等式性质知：a>b，D正确.故选：D.4、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D 错误， 故选：A5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（ ） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A 多选题9、（多选题）下列命题为真命题的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2≥bc 2B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．若a >b >0且c >0，则ca 2>cb 2D ．若a >b 且1a >1b ，则ab <0 答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A ，若a >b >0，则ac 2−bc 2=c 2(a −b )≥0，即ac 2≥bc 2，故A 正确； 对于B ，若a <b <0，则a 2−ab =a (a −b )>0，ab −b 2=b (a −b )>0， 所以a 2>ab >b 2，故B 正确；对于C ，若a >b >0且c >0，则ca 2−cb 2=c (b 2−a 2)a 2b 2=c (b−a )(b+a )a 2b 2<0，所以c a 2<c b 2，故C 错误；对于D ，若a >b 且1a >1b ，则b −a <0，1a −1b =b−a ab>0，所以ab <0，故D 正确. 故选：ABD.10、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（ ） A ．a 2−b 2≤4 B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则c =4答案：ABD分析：由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a ，b 的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A ；由基本不等式可判断B ；由二次方程的韦达定理可判断C ，D ．124x x -=根据题意，函数y =x 2+ax +b(a >0)有且只有一个零点，必有a 2−4b =0，即a 2=4b ，(b >0)， a 2−b 2−4=4b −b 2−4=−(b 2−4b +4)=−(b −2)2≤0，b =2时，等号成立，即有a 2−b 2≤4，故A 正确；a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ⋅1b =4，当且仅当b =12时，取得等号，故B 正确； 由x 1，x 2为方程x 2+ax −b =0的两根，可得x 1x 2=−b <0，故C 错误； 由x 1，x 2为方程x 2+ax +b −c =0的两根，可得x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b −c ， 则|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=a 2−4(b −c)=a 2−4b +4c =4c =16， 解得c =4，故D 正确． 故选：ABD ．11、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确； 由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1aba b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确.故选：ACD.12、已知a >0，b >0，a 2+b 2=1，则（ ） A ．ab 的最大值为12B ．2ab+3a+b的最小值为2√2C ．a 2(1+2b 2)的最大值为94D ．1a 2+4b 2的最小值为9答案：ABD分析：利用基本不等式判断A 、B 、D 的正误，注意等号成立条件，将a 2(1+2b 2)化为关于a 2的二次函数形式求最值判断C.因为a >0，b >0，a 2+b 2=1， 所以1≥2ab ，即ab ≤12，2ab+3a+b=(a+b )2+2a+b=a +b +2a+b≥2√2，当且仅当a =b =√22时等号成立，则A ，B正确． a 2(1+2b2)=a 2[1+2(1−a2)]=3a 2−2a 4=−2(a 2−34)2+89，当a 2=34时取得最大值98，则C 错误．1a 2+4b 2=(a 2+b 2)(1a 2+4b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√4=9，当且仅当b 2=2a 2=23时等号成立，则D 正确．故选：ABD13、已知a,b ∈R +且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）． A ．ab ⩽14B ．ab +1ab ⩾174C ．√a +√b ⩽√2D ．1a +12b ⩾2√2 答案：ABC分析：利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． ∵a,b ∈R +,a +b =1，∴ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有ab ≤14，设y =x +1x ，则y =x +1x 在(0，14]上单调递减. 所以ab +1ab ≥14+4=174，所以选项B 正确∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2(当且仅当a =b =12时取得等号)， ∴√a +√b ⩽√2．所以选项C 正确. ∵1a +12b=a+b a+a+b 2b=32+b a+a 2b⩾32+2√b a⋅a 2b=32+√2（当且仅当a 2=2b 2时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确 故选：ABC小提示：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题填空题14、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：116、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x1+x2=6a,x1x2=3a2，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，所以x1,x2是方程−x2+6ax−3a2=0(a>0)的实数根，所以x1+x2=6a,x1x2=3a2，因为a>0，所以x1+x2+3ax1x2=6a+1a≥2√6，当且仅当6a=1a，即a=√66时等号成立，所以x1+x2+3ax1x2的最小值是2√6所以答案是：2√6解答题17、已知不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．答案：(1)a=1(2)[−4,4]分析：（1）由题意可得－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，将x=−1代入方程中可求出a的值；（2）由x2+mx+4≥0的解集为R，可得Δ≤0，从而可求出m的取值范围（1）因为不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．所以－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，把x=−1代入方程解得a=1．经验证满足题意（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，即x2+mx+4≥0的解集为R，所以Δ=m2−16≤0，解得−4≤m≤4，所以m的取值范围是[−4,4]．18、为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.答案：（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+160√3)平方米.分析：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)，利用均值不等式，即得最小值.（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得y=400x.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以400x⩾x+9，所以x2+9x−400⩽0，解得−25⩽x⩽16.又x>0，所以0<x⩽16.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=824+8(x+300x)⩾(824+160√3)（平方米）当且仅当x=10√3米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+160√3)平方米.。
人教版高中数学必修第一册知识点及题型总结---不等关系与不等式
目录不等关系与不等式 (2)考点1：不等关系与不等式 (2)考点2：等式性质与不等式性质 (7)考点1：不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．题型1：用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5， 身高超过1.5米可表示为h >1.5， 身高不足1.2米可表示为h <1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示：变式 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(2.5≤x <6.5)．题型2：作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x .考点1：练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ，小华的身高为y ，则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 答案 C解析 对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错误；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 错误；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”，故D 错误．2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x (cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100答案 C解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1，y 2＝x 2－4x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化答案 A5．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 答案 C解析 由题意知a >4b ，根据面积公式可以得到(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简) 答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析 这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 答案 |x －500|≤1解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x 表示商品的重量， 则－1≤x －500≤1， ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)，所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130. ∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．无法确定答案 B解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0， ∴M >N ，故选B.12．若0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 令a 1＝0.1，a 2＝0.9；b 1＝0.2，b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74；B 项，a 1a 2＋b 1b 2＝0.25；C 项，a 1b 2＋a 2b 1＝0.26，故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)．14．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.(填“>”“<”“＝”) 答案 >解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(b 1－b 2)(a 1－a 2)， ∵a 1<a 2，b 1<b 2， ∴b 1－b 2<0，a 1－a 2<0， 即(b 1－b 2)(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2：等式性质与不等式性质知识点一 等式的基本性质 (1)如果a ＝b ，那么b ＝a . (2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c . (3)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c . (4)如果a ＝b ，那么ac ＝bc . (5)如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .知识点二 不等式的性质题型1：利用不等式的性质判断或证明例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．答案 ①③解析 对于①，若ab >0，则1ab>0， 又a >b ，所以a ab >b ab ，所以1a <1b ，所以①正确；对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a ，b ，m ， 若a <b ，则am <bm ， 所以am ＋ab <bm ＋ab ， 所以0<a (b ＋m )<b (a ＋m )， 又1b (b ＋m )>0，所以a b <a ＋m b ＋m ，③正确．综上，真命题的序号是①③.(2)已知a >b >0，c <d <0.求证：3a d<3b c. 证明 因为c <d <0，所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0，所以－a d >－bc>0.所以3－ad>3－bc，即－3a d>－3b c， 两边同乘－1，得3a d<3b c.变式 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确． 故不正确的不等式的个数为2.题型2：利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋5＋a ＋8(a >－5)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定答案 C解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7)， Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8)，因为(a ＋6)(a ＋7)－(a ＋5)(a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－(a 2＋13a ＋40)＝2>0， 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8)，所以P 2>Q 2，所以P >Q .变式 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d 答案 A解析 对于A ，∵1a >1b ，∴b －a ab >0，又a >b ，∴b －a <0，∴ab <0， ∴a >0，b <0，故A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，有ab<1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3， 故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D 错．题型3：利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，即13<a b <4. 故－24<a －b <45，13<a b <4.变式 已知0<a ＋b <2，－1<b －a <1，则2a －b 的取值范围是____________． 答案 －32<2a －b <52解析 因为0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得，－32<2a －b <52.考点2：练习题1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |答案 A解析 ∵a <0，b >0，∴1a <0，1b >0，∴1a <1b ，故选A.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．(a －b )c 2≥0答案 D解析 ∵a >b ，∴a －b >0，∴(a －b )c 2≥0，故选D.3．已知a >b >c ，则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数答案 A解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a )， ∵a >b >c ，∴b －c >0，c －a <0，b －a <0，∴1b －c ＋1c －a>0，故选A. 4．若x >1>y ，下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 答案 C解析 利用性质可得A ，B ，D 均正确，故选C.5．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D解析 ∵a <0，b <－1，∴a b>0，b 2>1， ∴0<1b 2<1，∴0>a b 2>a 1， ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________． 答案 a >0>b解析 若a ，b 同号，则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立；②一定成立；③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； ④当b <0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z >y >x解析 ∵a >b >c >0，y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x .同理可得z >y ，故z >y >x .9．判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)若a <b ，c <0，则c a <c b； (2)a c 3<b c 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；(4)若a >b ，b >c ，则a －b >b －c .解 (1)假命题．∵a <b ，不一定有ab >0，∴1a >1b不一定成立， ∴推不出c a <c b，∴是假命题． (2)假命题．当c >0时，c －3>0，则a <b ，∴是假命题．(3)假命题．当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题．(4)假命题．当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．解 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132， 所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ，则a >bB ．若a 2>b 2，则a >bC ．若1a >1b，则a <b D ．若a <b ，则a <b答案 D 解析 对于A ，若c <0，其不成立；对于B ，若a ，b 均小于0或a <0，其不成立；对于C ，若a >0，b <0，其不成立；对于D ，其中a ≥0，b >0，平方后显然有a <b .12．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 答案 C解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b<0， 此时1a >1b，∴A 不成立； 对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立，∴C 成立； 对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A ．d >b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b答案 A解析 ∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d .又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.。
高中数学知识点总结(不等式选讲 第二节 不等式的证明)
第二节 不等式的证明一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b . (2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一 比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [题组训练]1．当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，求证：(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2. 解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b ab+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b.考点二 综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3a ＋b 24(a ＋b )＝2＋3a ＋b 34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a ，b ，c ，d 均为正数，若a ＋b ＝c ＋d ，且ab >cd ，求证：a ＋b >c ＋d . 证明：因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd . 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此 a ＋b >c ＋d .2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， ∴⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy .考点三 分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解] (1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2，得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语． [题组训练]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ， 只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 即证2a 2－ab －b 2>0， 即证(a －b )(2a ＋b )>0， 即证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0， ∴(a －b )(a －c )>0显然成立， 故原不等式成立．2．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b )． 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角． 证明：要证∠B 为锐角，只需证cos B >0， 所以只需证a 2＋c 2－b 2>0， 即a 2＋c 2>b 2，因为a 2＋c 2≥2ac ， 所以只需证2ac >b 2， 由已知得2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证b (a ＋c )>b 2，即a ＋c >b ，显然成立． 所以∠B 为锐角．2．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4； (2)若a ，b 满足(1)中不等式，求证：2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.解：(1)当x <－3时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1－x －3＝－2x －4<4，解得x >－4，所以 －4<x <－3；当－3≤x <－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1＋x ＋3＝2<4恒成立， 所以－3≤x <－1；当x ≥－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝x ＋1＋x ＋3＝2x ＋4<4，解得x <0，所以－1≤x <0. 综上，不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4的解集为{x |－4<x <0}． (2)证明：因为4(a －b )2－(ab ＋2a ＋2b )2 ＝－(a 2b 2＋4a 2b ＋4ab 2＋16ab ) ＝－ab (b ＋4)(a ＋4)<0， 所以4(a －b )2<(ab ＋2a ＋2b )2， 所以2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.4．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1， 解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1， 解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，∴M ＝[3，＋∞)． t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t，∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .6．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9，x <32，－x ＋3，32≤x ≤2，5x －9，x >2.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115. (2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1， 由基本不等式可知a ＋b2≤ a ＋b2＝ 14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 7．已知函数f (x )＝|2x －1|－⎪⎪⎪⎪x ＋32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：3|a ＋b |<|ab ＋9|.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧52－x ，x <－32，－3x －12，－32≤x ≤12，x －52，x >12.当x <－32时，f (x )<0，即52－x <0，无解；当－32≤x ≤12时，f (x )<0，即－3x －12<0，得－16<x ≤12；当x >12时，f (x )<0，即x －52<0，得12<x <52.综上，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－16<x <52. (2)证明：要证3|a ＋b |<|ab ＋9|，只需证9(a 2＋b 2＋2ab )<a 2b 2＋18ab ＋81， 即证a 2b 2－9a 2－9b 2＋81＞0， 即证(a 2－9)(b 2－9)＞0.因为a ，b ∈M ，所以－16<a <52，－16<b <52，所以a 2－9<0，b 2－9<0， 所以(a 2－9)(b 2－9)>0， 所以3|a ＋b |<|ab ＋9|.8．已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)法一：依题意知f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0， 即|x ＋2|≤m ⇔－m －2≤x ≤－2＋m .由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，解得m ＝1.法二：因为不等式f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]，所以－3，－1为方程f (x －2)＝0的两根，即－3，－1为方程m －|x ＋2|＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －|－3＋2|＝0，m －|－1＋2|＝0，解得m ＝1.(2)证明：由(1)可知1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号．。
高中数学必修五第三章不等式复习知识点与例题
一对一个性化辅导教案例1:解下列不等式题型2:简单的无理不等式的解法例1 ：解下列不等式(2) x 2x 2 1题型3 :指数、对数不等式2例1 ：若log a 1，则a 的取值范围是()3A. a 1B . 0 a —C - — a 133练习:1 2x 1 .x 1 ；(1) x 3 4x 0 ；2 2(2) (x 1) (x 5x 6) 0 ；(3)2x 2 x 1 2x 1练习： 解不等式（1）3x 5 x 2 2x 3(2) (2x 1)2(x 7)3(3 2x)(x 4)6D. 0 a -或 a 131、不等式2x 3 4x的解集是__________________ 。
2、不等式log1(x 2) 0的解集是_____________ 。
22e x 1x 23、设f(x)=‘1则不等式f(x) 2的解集为( )log3(x2 1),x 2,A. (1,2) (3, ) B . (710, ) C. (1,2) ) D . (1,2)题型4 :不等式恒成立问题1 2例1：若关于x的不等式一X 2x mx的解集是｛x |0 x 2｝，则m的值是2练习：2 1 1一元二次不等式ax bx 2 0的解集是(一，—)，贝U a b的值是( )2 3A. 10 B . 10 C. 14 D . 14例2：已知不等式x2 (a 1)x a 0,(1)若不等式的解集为(1,3)，则实数a的值是_________________ 。
(2) __________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是 _______________________________________________________ 。
(3) ____________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a的取值范围是 _____________________________________________________ 。
高一不等式性质知识点总结
高一不等式性质知识点总结在高中数学中，不等式是一个重要且常见的概念。
不等式性质是解不等式以及进行数学推理的基础。
在高一学习阶段，学生需要掌握一些基本的不等式性质，并能够运用它们解决问题。
本文将对高一不等式性质进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和运用相关知识。
一、基本的不等式性质1. 加减性质：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。
这个性质表示不等式两边同时加（减）相同的数时，不等关系保持不变。
2. 倍数性质：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。
这个性质表示不等式两边同时乘以正数时，不等关系保持不变。
3. 倒数性质：如果a>b，且c<0，那么ac<bc。
这个性质表示不等式两边同时乘以负数时，不等关系改变。
4. 等价性质：如果a>b，并且c是一个正数，那么ac>bc；如果c是一个负数，那么ac<bc。
这个性质可以用于推导和证明不等式。
二、不等式的求解方法1. 基于图形的方法：对于简单的一元一次不等式，可以通过在数轴上绘制相关函数的图像来直观地找到解。
2. 基于性质的方法：利用不等式的性质进行数学推理和变形，以求得解的范围。
3. 基于代数的方法：对于复杂的不等式，可以利用代数的方法进行推导和解答。
常用的方法包括因式分解、配方法、平方根法等。
三、常见的不等式类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b是已知的实数，x是未知数。
通过代数的方法解题，可以得到解的范围。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b 和c是已知的实数，x是未知数。
解一元二次不等式的方法包括图像法、配方法和因式分解等。
3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b和c是已知的实数，x是未知数。
解绝对值不等式的方法包括分情况讨论和代数方法等。
4. 分式不等式：形如f(x)>g(x)的不等式，其中f(x)和g(x)是已知的分式函数，x是未知数。