2019年北京市海淀区高三二模数学(理科)试卷答案
（Ⅲ）方法 1：
设骑手每日完成快递业务量为 X 件
方案（1）的日工资 Y1 50 3X (X N*)，
方案（2）的日工资 Y2
100, X 44, X N* 100 5(X 44), X
44,
X
N*
所以随机变量 Y1 的分布列为
Y1
140
170
200
230
12. 2 2
13. 5 2
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.
14. y x 1（答案不唯一），① ②
（15）（共 13 分）
解：（Ⅰ）在 △ABC 中，因为 a 7 ， b 8 ， A ， 3
所以由正弦定理 sin B sin A
b
a
得 sin B bsin A 8 3 4 3 . a 72 7
x2
联立方程
4
y2 2
1
y k(x 2)
消元得 (1 2k 2 )x2 8k 2 x 8k 2 4 0
所以 16 0
所以
x0
(2)
8k 2 1 2k 2
设线段 PA 中点为 M
，所以 xM
x0 2 2
4k 2
1 2k2
2
)
因为
AP
MQ
，所以 kMQ
1 k
所以直线
MQ
的方程为
y
2t t2
2 5
，
即点 P 的横坐标为 2 . 5
方法 3：
设 P(x0 , y0 ) ，
9 / 16
当 直 线 AP 的 斜 率 为 0 时 ， 点 P 为 右 顶 点 ， 则 点 Q 为 上 （ 或 下 ） 顶 点 ，
AP 4, AQ 6 ，△ PAQ 不是等边三角形，不合题意，所以直线 AP 的斜率不为
x
0
，得到
yQ
y0 2
( x0
2)(x0 2 y0
2)
因为 x02 y02 1 42
所以
yQ
y0 2
因为 △PAQ 为正三角形，
所以 | AP || AQ | ，即
(x0 2)2 y02
22 y02 4
8 / 16
化简，得到 5x02
32x0
12
所以 BG CM
又因为 CM 平面 D1EC ， BG 平面 D1EC 所以 BG 平面 D1EC
（Ⅱ）因为平面 D1EC 平面 ABCE ，
平面 D1EC 平面 ABCE EC ,
D1E EC, D1E 平面 D1EC ，
所以 D1E 平面 ABCE 又因为 AB 平面 ABCE
2k 1 2k2
因为 △PAQ 为正三角形， 所以 | AP || AQ |
所以
1 k2
4 1 2k2
4
( 1
2k 2k
2
)2
化简，得到 4k4 k2 3 0 ，解得 k 2 3 , k 2 1（舍）
4
所以
x0
4k 2 2 1 2k 2
因为 △ABC 为钝角三角形，所以 B 为钝角
1 / 16
因为 sin B 4 3 ，所以 cos B 1
7
7
所以 sinC sin(A B)
sin Acos B cos Asin B 3 3
14
设 BC 边上的高为 h ，所以 h bsin C 12 3 7
所以 c 4 2 2 ，
焦点坐标分别为 F1( 2,0), F2( 2,0),
(Ⅱ)方法 1：
设 P(x0 , y0 ) ，则
x02 4
y02 2
1，且
A(2,0),
若点 P 为右顶点，则点 Q 为上（或下）顶点， AP 4, AQ 6 ，△ PAQ 不是等边
三角形，不合题意，所以 x0 2, y0 0 .
，
yM
k( 4k2 1 2k2
2) 2k 1 2k 2
所以
M
4k 2
( 1
2k
2
, 2k 1 2k
2
)
因为
AP
MQ
，所以
KMQ
1 k
所以直线 MQ 的方程为
y
1
2k 2k
2
1 (x k
4k 2 1 2k 2
)
令x0
，得到
yQ
2k 1 2k2
1 4k2 k 1 2k2
假设存在点 G 满足题意，
A
设 AG AD1,0 1，则 AG (2,0,1) ，
B
所以 EG EA AG (2,0,0) (2,0,1) (2 2,0,)
设平面 GBE 的法向量为 m (a,b,c) ，
所以
EB m EG m
设线段 PA 中点为 M ，所以 M ( x0 2 , y0 ) 22
因为 PA MQ ，所以 kPA kMQ 1
因为直线 PA 的斜率 kAp
y0 x0
2
所以直线
MQ 的斜率
kMQ
x0 y0
2
又直线 MQ 的方程为
y
y0
x0
2(x
x0
2 )
2
y0
2
令
所以 D1E AB
又 AB 2, BE 2, AE 2 ，满足 AE2 AB2 BE2 ，
所以 BE AB
又 BE D1E E
所以 AB 平面 D1EB
（Ⅲ）因为 EA, EC, ED1 三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 E ACD1 ,
所以 A(2,0,0) ， D1(0,0,1) ， B(1,1, 0) ， AD1 (2,0,1), EB (1,1,0) .
(Ⅱ) 设事件 B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”
设事件 Ci 为“甲乙丙三名骑手中恰有 i(i 0,1, 2,3) 人选择方案（1）”，
则 P(B) P(C2 ) P(C3)
C32
(1)2 3
(
2 3
)1
C33
(
1 3
)3
6 27
1 27
7 27
所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为 7 27
260
290
320
P
0.05 0.05 0.2
0.3
0.2
0.15 0.05
所以 EY1 140 0.05 170 0.05 200 0.2 230 0.3 260 0.2 290 0.15 320 0.05 236
同理随机变量 Y2 的分布列为
Y1
100 130 180 230 280 330
0 0
，即
a b (2 2
0 )a
c
0
取 a ，则 m (,,2 2) ，
6 / 16
D1
E C
由（Ⅱ）， AB (1,1,0) 为平面 BED1 的法向量，
令 cos AB, m A (2 2)2 3
0. 设直线 AP 的方程为 x ty 2
联立方程
x2
y2
1
4 2
x ty 2
消元得， (t2 2) y2 4ty 0
所以
y0
4t t2
2
设线段 PA 中点为 M
所以 yM
t
2
2t
2
,
xM
4 ， t2 2
所以
M
(
t
4 2
2
,
t
2
2t
2 / 16
16.（共 13 分） 解：(Ⅰ) 设事件 A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单” 依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于 65 单的频率分别为： 0.2，0.15，0.05 因为 0.2 0.15 0.05 0.4
所以 P(A) 估计为 0.4 .
2ac 当 c 3 时， cos B a2 c2 b2 0 ， △ABC 为钝角三角形，
2ac 所以 c 3
设 BC 边上的高为 h ，所以 h csin B 12 3 7
方法 2：
因为 b a ，所以 B A π ，所以 C π ，
3
3
所以 B 为 △ABC 中最大的角
解得 2 或 2 （舍） 3
所以存在点 G ，使得二面角 G BE D1 的余弦值为
6 3
，且
AG
2 3
AD1
，
得 AG 2 5 . 3
7 / 16
18.（共 13 分）
解：(Ⅰ)依题意，有 4 b2 6
所以 b2 2
所以椭圆方程为
x2 y2 1
42
所以四边形 BCEF 为正方形， AF FE ED 1 ，得 AE 2
5 / 16
所以 BC AE，BC= 1 AE 2
在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点，连结 MG, MC ， 因为点 G 是 AD1 的中点，
北京市海淀区2019届高三下学期期末练习(二模)数学(文)试题 Word版含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科） 2019.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。
(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则AB = (A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6](2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为(A) 12- (B) 12 (C) -2 (D)2 (3)已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的右顶点和抛物线28y x =的焦点重合，则a 的值为 (A)1 (B)2(C)3 (D)4(4)若关于x 的方程1x a x+=在(0,)+∞上有解，则a 的取值范围是 (A)(0， +∞) (B)[1， +∞)(C)[2， +∞) (D)[3， +∞)(5)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的所有棱长构成的集合为(A){} (B){} (C){} (D){2,4,(6)把函数2x y =的图象向左平移t 个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为32x y =⋅，则t 的值为(A ) 3log 2 (B) 2log 3 (C)(D)(7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)记221x y +≤表示的平面区域为W ，点O 为原点，点P 为直线22y x =-上的一个动点．若区域W 上存在点Q ，使得OQ PQ =，则OP 的最大值为(A)1 (B) 第二部分（非选择题共1 10分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离 为( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =( 11)41,log 3,sin 28a b c π===，则这三个数中最大的是 ( 12)已知数列{}n a 满足11n n a a n n+=+，且515a =，则8a =_____． (13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则AF =(14)已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ ”． (I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ； (Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②2x y =；③s ()12y in x π=+，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． ( 15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，7,8,3a b A π===．(Ⅰ)求sin B 的值；(Ⅱ)若ABC ∆是锐角三角形，求ABC ∆的面积．(16)（本小题满分13分）已知数列{}n a 为等比数列，且1=23nn n a a +-⋅． (I)求公比q 和3a 的值；(Ⅱ)若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：13,,n n S a +-成等差数列．(17)（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 的中点。
北京市海淀区2019届高三期末练习(二模)数学(理)试题分析
2019北京市海淀区高三二模理科数学试卷分析历年高三二模的定位主要在查漏补缺和提升考生在面对接下来的高考的应试信心上，这一点我们不难从昨天西城二模试卷上看出。
西城二模的导数选择了许久未考过的渐近线问题，解析几何则选择了熟悉的向量点乘问题，难度较一模都有所下降。
除此之外8、14、20三道压轴题的考查也基本走的“善良”路线。
我们再来看看今天刚考完的海淀二模数学试卷，总体来说，难度较一模也有明显的下降，跟2019年高考基本持平。
“求新”和“难度把控”是命题人永远无法逃避的两个词，也是命题难度之所在。
从这两点来说这次海淀二模试卷出的还是很成功的，试题主要以常规题为主，在8、14、18、19、20几道题上都有一定量的创新，同时难度上也把控的相当不错。
这次海淀二模选择填空基础题考查的知识点跟高考基本一致，解答题中的15、16、17三道题也是如此，没有给考生设太多陷阱。
在这些题上考生比较需要关注的还是自己的解题速度和准确率，为后面综合题的解答预留足够的时间。
具体知识点上的问题我们这里就不再一一赘述。
回到选择填空的压轴题，选择压轴使用的直线与单位圆都是考生们常见的，但是本题角度非常巧妙，如果同学们只是画出一个潦草的图形，很可能会做错。
但是如果把题目中需要表示的量都计算出来，其实答案不难得出。
世上无难事，只怕有心人啊。
再来看第14题，这次第14题依然是北京高考压轴题的常客立体几何，这次考查结合了常见的正方体的内容，题型不是很新颖，相信很多学生在平时的训练中遇到过很多相似的题。
就算没有碰到过类似的，也对正方体这个立体图形非常熟悉。
这次18题的导数难度一般，第一问贯彻了一如既往的送分原则，第二问虽然问法比较新颖，但依然是对函数零点问题的考查，相信只要学生认真分析原函数及导函数的图像就不难得到结论。
19题解析几何，命题老师竟然也祭出了抛物线这种圆锥曲线。
要知道，抛物线虽然同学们平时的练习少，但是计算量相比椭圆，可是大大的容易些。
北京市海淀区2019高三期末(理科)数学试题及答案
F
(
a
2
2
)
2
e1
a 2
，而
F
(
a
2
2 )
2
e1
a 2
2 e
注意到 x2
a2 2
a2
4
0，
所以
2 f (x2 ) F (x2 ) e ，问题得证
法二：
因为“对任意的 x
0，
ax x2 ex
2 ”等价于“对任意的 x e
0，
ax x2 ex
2 e
0”
即“ x 0 ， 2ex e(ax x2 ) 0”，故只需证“ x 0 ， 2ex e(ax x2 ) 0 ” e x +1
因为
( x1
x2 )2
( x1
x2 )2
4 x1 x2
8 16k 2 (2k 2 1)2
4k y1 y2 k(x1 2) k(x2 2) k(x1 x2 ) 4 2k 2 1
所以 |AB ' |
8 16k 2
16k 2
(2k 2 1)2 (2k 2 1)2
8
(2k 2 1)2
22 2k 2 1
因为
0
k2
1 2
，所以 |AB' |(
2,2
2]
法二：
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )
当直线 l 是 x 轴时， |AB' | 2 2
当直线 l 不是 x 轴时，设直线 l 的方程为 x t y 2
x2
所以
2
y2
1 ，所以 (t2
2) y2 -4t
y
2
0，
x t y 2
2019年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2019年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2019年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2019年9月3日。
2019海淀区二模数学(文)试题及答案-10页文档资料
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）2019.5本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =U A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞ 2 已知a =ln21,b=sin 21,c=212-，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1+1+D.2+俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若m=54，则a 5＝3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 复数ii-12=______ 10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计 如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 已知数列{a n }是等比数列，且a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为____. 12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2-3 =0所截得的弦长为_____ 13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-ωπωx 的图象经过点[0, π]上的单调递增区间为________14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k 0,>∈k R(I)当k=1时的最大值为______； (II)若2x y的最大值为1，则实数a 的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分13分）已知等差数列{a n }的前n 项和为 S n (I)若a 1=1，S 10= 100，求{a n }的通项公式; (II)若S n =n 2-6n ，解关于n 的不等式S n +a n >2n 16 (本小题满分13分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ADB ∠=750，ACB ∠=30°,AD =2.(I)求CD 的长； (II)求ΔABC 的面积 17 (本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC, ADC ∠=900，BA=BC 把ΔBAC 沿AC 折起到PAC∆的位置,使得点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点,E F 分别为线段PC ，CD 的中点． (I) 求证：平面OEF//平面APD ； (II)求直线CD 与平面POF(III)在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点P,O,C,F 四点的距离相等？请说明理由. 18 (本小题满分13分） 已知函数f(x) =lnx g(x) =-)0(>a ax(1)当a=1时，若曲线y=f(x)在点M (x 0,f(x 0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x 0, g(x 0））处的切线平行，求实数x 0的值；(II)若∈∀x (0,e]，都有f(x)≥g(x) 23，求实数a 的取值范围. 19 (本小题满分丨4分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点.(I)求椭圆C 的方程；(II)若直线y =kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB 为等边三角形,求k 的值.20 (本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每1237-2- 1 0 1列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.数 学 （文科）参考答案及评分标准 2019．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分 所以1101,19a a == ……………………4分 所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分 所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n --> 所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=o ，所以45DAC ∠=o在ACD ∆中，AD =， 根据正弦定理有sin 45sin30CD AD=o o……………………4分所以2CD = ……………………6分 （II ）所以4BD = ……………………7分 又在ABD ∆中，75ADB ∠=o ，sin75sin(4530)=+=o o o ……………………9分所以1sin7512ADB S AD BD ∆=⋅⋅=+o ……………………12分所以32ABC ABD S S ∆∆== ……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD=o o而 sin105sin(4560)=+=o o o ……………………8分所以1AC =+ ……………………10分 又4BD =，6BC = ……………………11分 所以 ……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分 同理//OF AD又,OE OF O PA AD A ==I I所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………8分 又OF PO O =I所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行，所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+ 记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-= …………………6分 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：…………………8分 当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥ 所以e a ≥ …………………10分 当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得a ≥ e a ≤< ………………12分 a ≤ ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o的菱形的四个顶点, 所以1a b ==,椭圆C的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为|||3AB PO ==，所以60PAO ∠=o ，所以PAB∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x +=所以 1||x =，则||AO ==………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k =-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则||PO =………………10分因为PAB ∆为等边三角形，所以应有||||PO AO =代入得到=0k =（舍），1k =-……………13分 此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：（I ）法1： 法2： 法3： （写出一种即可） …………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a = …………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||mnij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立…………………13分。
2018--2019海淀二模数学理科(word版)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2019.5本试卷共 4 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中, 选出符合题目要求的一项 .1.集合 A x|（x 1）（x 2） 0 ，B x x 0 ，则 A B A ．（ ,0] B ．（ ,1] C ． [1,2] D ． [1, ）2.已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列，且 a 1 a 3 4，a 4 8，则 a 1 q 的值为ABCD 为平行四边形”的6.用数字 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且 5 不排在百位， 2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A. 32B. 36C. 42D. 48 7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F 1,F 2，且 F 2恰为抛物线 y 2 4 x 的焦点，设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ，若 AF 1F 2是以 AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为A. 2B. 1 2C. 1 3D. 2 38. 若数列 {a n } 满足：存在正整数 T ，对于任意正整数 n 都有 a n T a n 成立，则称数列 {a n }A ． 3．2 ． 3或 2 D ．3或 33. 如图，在边长为 a 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 m,n ，则图形面积的估计值为A. manB.na mC.2ma nD.2na m4. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A. 180 B. 240C. 276D. 3005. 在四边形 ABCD 中，R ，使得 AB DC, AD BC ”是“四边形A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件a n 1, a n 1，为周期数列，周期为T .已知数列{an }满足a1 m (m 0) ，a n 1= 1 , 0 a n1.an则下列结论中错．误．的是A. 若a3 4，则m可以取 3 个不同的值B. 若m 2，则数列{a n}是周期为3的数列C. T N*且T 2，存在m 1，{a n} 是周期为T 的数列D. m Q 且m 2，数列{a n} 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线cos 2 的距离为 __________ .1 1110. 已知a ln 1,b sin1,c 2 2，则a,b,c按照从．大．到．小．排列为_______2 2．．．．11. 直线l1过点( 2,0)且倾斜角为30 ，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为___ .12. ________________________________________________ 在ABC中，A 30, B 45,a 2，则b __________________________________________________ ; S ABC _______________ .13. 正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC AP的取值范围是_____________ .14. 在平面直角坐标系中，动点P( x, y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W .(I) 给出下列三个结论：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y x 对称；③曲线W 与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于1；2 其中，所有正确结论的序号是_________________ ;(Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为_______ .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13 分）已知函数cos2xf(x) 1 π.2 sin( x π)4（Ⅰ）求函数f （x）的定义域；（Ⅱ ）求函数f （x）的单调递增区间.16. （本小题满分13 分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业, 现在福彩中心准备发行一种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元，50 元和150 元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150 元奖金的概率为p，获得50 元奖金的概率为2%.（I）假设某顾客一次性花10 元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.17. （本小题满分14 分）如图1，在直角梯形ABCD 中，ABC DAB 90 ，CAB 30 ，BC 2 ，AD 4. 把DAC沿对角线AC折起到PAC的位置,如图 2 所示,使得点P在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC上，连接PB,点E,F 分别为线段PA,AB的中点．（I）求证：平面EFH / / 平面PBC ；（II）求直线HE与平面PHB 所成角的正弦值；（III）在棱PA上是否存在一点M , 使得M 到点P,H,A,F 四点的距离相等？请说明理由.CBC18. (本小题满分 13 分)已知函数 f (x) e x , 点 A(a,0) 为一定点 ,直线 x t(t a)分别与函数 f (x) 的图象和 x 轴交于点M , N ,记 AMN 的面积为 S(t).(I )当 a 0时, 求函数 S(t)的单调区间；(II )当 a 2时, 若 t 0 [0,2] , 使得 S(t 0) e , 求实数 a 的取值范围 .19. (本小题满分 14 分)22 已知椭圆 M : x 2 y21(a b 0)的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为 60 的菱形 ab的四个顶点I )求椭圆 M 的方程；1II )直线 l 与椭圆 M 交于 A ， B 两点，且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, 1) ，求 AOB O为原点)面积的最大值 .20. (本小题满分 13 分)设 A 是由 m n 个实数组成的 m 行 n 列的数表， 如果某一行 (或某一列) 各数之和为负数， 则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”1(Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示，若必须经过两次 “操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．． a 的所有可能值； (Ⅲ)对由 m n 个实数组成的 m 行n 列的任意一个数表 A ， 能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由表2海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 参考答案及评分标准 2019.5、选择题（本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分）二、填空题（本大题共 6小题, 每小题 5分, 有两空的小题，第一空 3分，第二空 2分， 共 30 分）所以 x π k π, k Z4所以函数的定义域为 {x|x k π+π, k Z} 4 22 cos x sin xsinx cosx= 1 (cosx sin x)1 sinx cosx= 1 2sin( x 4π)又 y sin x的单调递增区间为 (2k π π,2k π π) ， k Z22πππ令2k πx2k π2 4 2解得 2k π 3π x 2k π π ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 44 又注意到 x k π+ π,4所以 f ( x)的单调递增区间为 (2k π 3π,2k π π) ， k Z ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分4416. 解：（I ）设至少一张中奖为事件 A9． 2 10 ． c b a 11. (1, 3) 12．2; 32 113 ． [0,1]14．②③ ; 2 2三、解答题 （ 本大题共 6 小题 , 共 80 分 )15． 本小题满分 13 分）解： I )因为 sin(x π) 04II )因为 f (x) 12分 4分 6分8则P(A) 1 0.52 0.754分（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为则可以取5,0, 45, 145 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分的分布列为⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以的期望为 E 5 50% 0 (50% 2% p) ( 45) 2% ( 145) p2.5 90% 145p ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分所以当 1.6 145p 0时，即p 8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分7258所以当0 p 时，福彩中心可以获取资金资助福利事业⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分72517. 解：（I ）因为点P在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH 平面ABC ，所以PH AC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分因为在直角梯形ABCD 中，ABC DAB 90 ，CAB 30 ，BC 2 ，AD 4所以AC 4 ，CAB 60 ，所以ADC 是等边三角形，所以H 是AC 中点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以HE / /PC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分同理可证EF //PB又HE EF E,CP PB P所以平面EFH / /平面PBC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分II )在平面ABC 内过H 作AC 的垂线如图建立空间直角坐标系，则A(0, 2,0) ，P(0,0,2 3) ，B( 3,1,0) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分因为 E(0, 1, 3) ， HE (0, 1, 3)因为 HB ( 3,1,0) ， HP (0,0,2 3)所以有HB n 0 ，即 3x y 0HP n 0 z 01t令 S'(t) (t 1)e t 0 ，2设平面 PHB 的法向量为 n (x,y,z) y3n ( 3, 3,0)8分cos n,HE n HE|n||HE |10分直线HE成角 的正弦 值为11 分(III)存在，事实上记点 E 为M 即可12 分因为在直角三角形 1PHA 中， EH PE EA PA 2，213 分1 在直角三角形PHB中，点 PB 4, EF PB 22个 点 P,O,C,F以 点 E 到 四的距离相14 分118.解: (I) 因为 S(t) 1|t a|e t ，其中 t a1 当a 0，S(t) 1|t|e t ，其中 t 02 1tS(t) te t ， 2 S' t (当t 0 时，1tS'(t) (t 1)e t ， 2所S(t) 在2分(0, ) 上 递增，4分当 t 0 时， S(t) 2te t ，S'(t) 2(t 1)e t ，解得 t1，所以 S(t) 在 ( , 1)上递增z令S'(t) 1(t 1)e t 0，解得t 1，所以S(t) 在( 1,0)上递减⋯⋯⋯⋯⋯7 分2综上，S(t )的单调递增区间为(0, )，( , 1)S(t) 的单调递增区间为( 1,0)1(II )因为S(t) 1|t a | e t，其中t a2当 a 2 ，t [0,2] 时，S(t) 1 (a t)e t2因为t0 [0,2] ，使得S(t0) e，所以S(t)在[0,2] 上的最大值一定大于等于 e 1t S'(t ) [t (a 1)]e t，令S' t ( ，2t a 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分当a 1 2 时，即 a 3时1S'(t) 1[t (a 1)]e t 0对t (0,2) 成立，S(t) 单调递增2所以当t 2时，S(t) 取得最大值S(2) 1(a 2)e221 2 2令(a 2)e2 e ，解得a 2 ，2e所a3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分当a 1 2 时，即 a 3时S'(t) 1[t (a 1)]e t 0对t (0,a 1)成立，S(t) 单调递增2S'(t) 1[t (a 1)]e t 0对t (a 1,2)成立，S(t) 单调递减2所以当t a 1时，S(t)取得最大值S(a 1) 1e a 121 a 1令S(a 1) e a 1 e ，解得 a ln 2 22所la⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分综上所述la13 分高三数学(理科)试题第8 页(共 4 页)22M: x 2 y 2 1(a b 0)的四个顶点恰好是一边长为 ab方程有两个不同的解6kt x1 x2 3k 2 1x 1 x 23kt22 3k 2 1 分19.解: (I)因为椭圆2，一内角为 60 的菱形的四个顶点 ,方程为2x2y134分1(II) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ) ， 显然直线 AB 有斜率，1 12 22 当直线 AB 的斜率为 0时,则AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x 1 x 2,y 1 y 2所以S AOB = 12 | 2 x 1 ||y 1 | |x 1 ||y 1 | |x 1| 1 x 31 x 12(1 x 31 ) 13 x 12(3 x 12)因为 22x 12(3 x 12) x1(3 x 1 ) 23，S AOB3，当且仅当 |x 1| 6时， S AOB 取得最大值为当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y kx t所以7分y kx t所以 x 2 2 ，代入得到 所以x 3 y 2 1，代入得到(3k 2 1)x 2 6ktx 3t 2 3 0当4(9k 2 3 3t 2) 0 ,即 3k 2 1 t 2 ①所以y 1 y 2t223k 21 y 1 y2 1 又 2x x 2 0 x 1 x 2 021，化简得到 k23k 2 1 4t 0t410 分|AB| 1 k1 2|x1 x2 | 1 k 2 4(9k 2 3 3t )3k 13 220.（I ）解：法 1：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（II ） 每一列所有数之和分别为 2，0， 2 ，0，每一行所有数之和分别为 1，1;①如果首先操作第三列，则a a2 1 a 2 a 2a1 a 22a2a则第一行之和为 2a 1，第二行之和为 5 2a ， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 a 1 或 a 5221当 a 1 时，则接下来只能操作第一行，21 2 3 72 1 0 1改变第2行1 2 3 72 1 0 1改变第4列1 2 3 721 0 11 2 3 7 2 1 0112 分因为0 t 4，所以当 t 2时，即 k 7 时， S AOB 3取得最大值综上AOB 面积14 分又原点到直线的距离为2OB3t此时每列之和分别为 2 2a,2 2a2,2 2a,2a2 必有 2 2a2 0 ，解得a 0, 15当 a 5时，则接下来操作第二行2此时第 4 列和为负，不符合题意. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分② 如果首先操作第一行则每一列之和分别为 2 2a ， 2 2a2，2a 2 ，2a2当 a 1 时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当 a 1 时， 2 2a ，2a 2 至少有一个为负数，所以此时必须有 2 2a2 0，即 1 a 1，所以 a 0或 a 1经检验， a 0或 a 1符合要求综上：a0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。
北京市海淀区2019届高三下学期期末练习数学理科试卷【含答案及解析】
北京市海淀区2019届高三下学期期末练习数学理科试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级_______________ 分数____________、选择题1.若集合-£ 2QI1I,:-詁住■■:或i-:-，贝V】1A.1；：' ； ]B.C. 1，"江」D.(2.0 n2.二项式：:忑的展开式的第二项是A.fix'B.-fir4C.D.-Pr4r —v-1 > 0.3.已知实数满足{x + F—3 二0.则一沽I的最小值为A. B. C. D.74.圆斗：二—2i? = 0与曲线| 的公共点个数为A. 4B. 3C . 2 _______________ D.05. 已知;为无穷等比数列，且公比，，记■■为】的前项和，则下面结论正确的是A. 忑> 仏B. 绚+口、> 0C. ｛碍‘｝是递增数列 ______________________D. 头存在最小值6. 已知/（.V）是耳上的奇函数，贝V “対+池=0 ”是”的A. 充分不必要条件_________B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为 • • ，大圆盘上所写的实数分别记为「,如图所示•将小圆盘逆时针旋转_ _ .:次，每次转动「I ，记「I 一二二d 为转动•次后各区域内两数乘积之和，例如 '--•若，，则以下结论正确的是A. T } T-..T, T.中至少有一个为正数 ____________B. T.T^I.T.中至少有一个为负数C.中至多有一个为正数 _________ D. 丁、工工工 中至多有一个为负数二、填空题9.在极坐标系中，极点到直线 ；1的距离为•10.已知复数二=——，则匕|= _________ .111.在 24百匚中， ， 阳=3占，贝V cosJJ _________ .1、图2、A.①B.①② C.7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图 一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是12.已知函数/(r)=--2x，则/丄 _________________ /⑴ (填“ > ”或“ < ”)；/ (x)在区间_- —|上存在零点，则正整数打= __________ .v 7I冲"1丿13.在四边形点鹽羔中，心二-.若；(:;、门，则；存>■：-=14.已知椭圆G : 一—一•■ .■■■.的两个焦点分别为.■和，，短轴K A-的两个端点分别为站和& ，点P在椭圆G上，且满足p迓卅尸釦|殆出丹；当,变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于轴对称；②存在，使得椭圆—上满足条件的点仅有两个；③|0P|的最小值为,其中，所有正确命题的序号是________________ .三、解答题15.已知函数匸丨-| 「I —-I-. ' iv. ；■,—-.(I)求」丨的最小正周期和对称轴的方程；(n)求—在区间 | 上的最小值.16.为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.lAViFGH为自然科学类课程•为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取为研究样本组(以下简称“组M”).(I )在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？(n)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元•(i )设随机变量■-表示选出的4名同学中选择课程-的人数，求随机变量的分布列；(ii)设随机变量•：表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量-：的期望•17.如图，三棱锥“遺二、，侧棱宀上.，底面三角形.■ 为正三角形，边长为，顶点.•在平面，上的射影为「，有，且(I)求证：: 平面■:丨;(n)求二面角的余弦值；一CF (川)线段-上是否存在点小使得」丄平面T ，如果存在，求——的CP18.已知动点 /到点「一」和直线I :，- 的距离相等(I)求动点 1 r的轨迹E的方程;(D)已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆：•判断点，和圆：的位置关系，并证明你的结论.19.已知函数(I)若曲线•「I - |在| | - | | .处的切线与直线「AT二：垂直，求■的值；(H)当—时，求证：存在实数使.一.20.对于无穷数列；_•，记r - : v - :；. .■--，若数列i 满足：“存在F.>■，使得只要.(且)，必有迅.—环.7 ”，则称数列I 具有性质/(■ I .(I)若数列；.•.满足判断数列；.是否具有性质「•一 ? 2n-5t ni 3、是否具有性质 J ‘?(H)求证：是有限集”是“数列；_• 具有性质「…”的必要不充分条件； (川)已知I 是各项为正整数的数列，且；.：•：既具有性质一…_ I ,又具有性质. I ,求证：存在整数.，使得. , 是等差数列.参考答案及解析第1题【答案】C由題可知卜21}【解析】第2题【答案】做出如團可彳亍域：当目标函数经过点£（卸〉时取得最小值」故（bf第4题【答案】【解析】 当丈＞0时，y = x-i ■此时对＞匚所以/勻圆的无交点丿当灯0时'}■ = -.V- 1 J 此时岂园无交為 当沉=0时』显然也无交点 ,故综合得无交点第5题【答案】根据展幵式通项可得二第3题【答案】【解析】, / C *■N」亠 ---------- ■_JT/侔r y【解析】根据題意可feb M为无穷等比数列，且公比勾>1,但无法知道数列的项是大于雲还是小于零，故蚌器q + 6二叫〔1亠小因无法确定首项的符耳因此B融而和恒大于軌故孕巳51=A込所以｛^｝是递増数洌｝:正确・同理首顷符号无法确定，因此耳不一定存在最小11第6题【答案】【解析】若\ +=° ;所以一勺二乙,y/Cv)是R上的奇跚,则心s ,=>/(^)+/&i)=9 得/(^)+/(^>o ,所以原命题成立』若/« = 0 ,则伞’"时，/(^)+/(^)= 0仍成立而十广0不成立，所以逆命题不成立，故选A第7题【答案】第9题【答案】根据题意可得三个立体几诃图形湖嚮翩鶴鲫飆翩蒙戟 T 证明得结论,在画立初诃图形第8题【答案】【解析】根据題竟可知；（Xj F 5十X +） ＜片优切切）皿又（丐坨坷十工丿（巧划卢\忧）去掉括爭嚅:（ 旺+6性+耳）铝勺」:惴％）#+兀+F 卢兀山所以可知耳亏壬忑中至少有一个为正数 I 故呛点睛：借此题关犍是要很協题育明m GGG 匚所表达的育思「燃后容易发现（V ）性性+兀）＜+v ）埋帕 知）話+耳- ?； +打＞ Q 从而得岀涪论【解析】ACE 垂肯底面】團三可得侧面ABC.ADC^底面均垂直，园二观察可知无侧面与底面垂直故选B可得面1【解析】』故柢点到直线的距离为1第10题【答案】【解析】第11题【答案】【解析】、、S.IIL4-O£L2B.纟土丄=> —竺兰二2w詔-—=> COL S=—bib sutfi 2 4第12题【答案】> 2彳寸斗2；「又待讶八打=4 ,所心扌<0故如在区间（乎角上存在零点此时沪2= 1的普逋万程為：工"曽】= ；由零点定理：令和也则/2J 2-^2 > 0 ,而第13题【答案】,因为DA=y(p-i Ci) = CE .所以四边册AEB 为平行四边形I 所決AE 二DU1,所以忑 DC =2点暮 根擔题倉明日N 二说明四边形AE8为平行四边形』从而解题，注前化草團去 理解题育，同时要熟^向量曲线性运算第14题【答案】(D®【解析】 _ 由题可得因为呛桶圖吐，且;茜足昭卜|脛冋尸£田尸E| P 亦 净耳，所以可得酣蹴迹为以鬲 屍为焦点的椭圆，故①正确 ,②存在臼使得1SHG 上满足条件的点尸可以有四个.分别为以耳和坊馬点在渝的椭圆与焦点为 耳和2在屛由上的柵圆的交点，③由题可得椭圆庆 —+^—1 , P 的轨迹方程为椭圆：6t>-匸「36胪丁 ,二 一6护_十-犷+ &盼一弘八〉一一『丰6沪一36点睛：根將题青可得p 的轨迹方电便可峻证超两个结论，对于第三个可汰分析到点p 为两桶E1的交点 ,所決联立求出点P 再记住函数分析求出最值第15题【答案】【解析】D’丽匚蕊界岳，当用时刈取到最小值2 联立两方程解得F 的坐标；所決2皿［0•兀］,< I )见解析；(II) -1.试题分祈：（1）要求函数的周期 2x '—\再求解即可（2）求三 角函数在某个区间的最值先分析2x-^€,熬后根掳三角正弦函数的图像即可得出最值■ ■ 试题解析；所以/（x ）的最小正周期I = f得：V =耳匹+丄乃T.上w Z . 20 2屎2（工）的对称轴方程为x 弋*•辰Z •或者：M ）的对称轴方程为2x_¥专十2竝和*¥二-尹2竝.MZ , 即 丁 = 士、+加和X =—^kjl.kE Z .20 20■ ■< II ）因为"0,y ,収当L 牛专即"卸寸,所臥2x_^E 3JI 2n【解析】 令2r-—=第16 题【答案】I )12,8：(n)(l )见解析；(11)6500.【解析】 例抽样(2)根擔题直在自然学科中抽4人即C ；,然后设随机变量X 表示迭出的4名同学中选择课程 G 的人数故随机变量幷可取0, 1, 2•再根据超几何分布__列式即可写出分布列再求期望(3〉设随 机变量】.衰示选出的4名同学参加科学营的费用总和，贝I ］随机变量F =6000十500 X 所纸(】• )=6000+500^( X )试题解析：(I )选择人文类课程的人数为(80+200+400+20Q+300) 乂 1%=L2(A)5选择自然科学类课程的人数为(300十200+300) x 1也8(人).(U)⑴依题意,随机变量X 可取0, b 2.故随机变量X 的分布列为AO 1 23 4 3 p ——— 14 7 14(ii )法1:依题意，随机变量 r =2000 X +1500 (4 一 X) =^000+500 X , 所以随机变量y 的数学期望为3 4 3J(F ) =6000+500J( X )=6000+500(0X —+ lx -+ 2x —)=6500.14 7 14(il)法2；依题意，随机变量F 可取6000, 6500, 7000.所以随机变量y 的分布列为160006500 7000试题分析：(1)分层抽样即按比 p(x=1)=第17 题【答案】cZfiM —r(I)见解析：(II) ; (III)见解析.7【解析】试题分析：(1)证线面平行，则要在平面尸找一线与之平行即可，显然分析DB / /AC即得证，(2)求二面角可侣助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解(3)存在冋题可臥根据结论反推即可，容易得因为PC AB =(2 A-1)0)= -1 0 ;所以PC与曲不垂直，故不存在试题解析：(I )因为・如丄助；&£>5 = 1 , 4B = 2 ,所以血=方,ADBA= 60° •田为ABC为正三角形，所以ACAB = 60s J又由已知可知为平面四边形，所以DBHAC・因为/C(Z平面PDB , DB u平面PDB ,所以平面.(K )由点P在平面ABC上的射影为D可得PD丄平面ACBD ,所以FDJLQzl , PD 丄DB •臥DB、DA、DP分别为r.y.z建立空间直角坐标系，则由已矢呵知B(L0.0) , ^(0.73.0),P(0.0.1) ; C(2皿).平面JBC的法向fin = (0.0,1),设m = (x. y.二)为平面PAB的一个法向量，则由｛亘心①可得产⑥皿5P in-0 -工 + 二=0.令)口 ,则2也，忑,所以平面血B的一个法向量m二苗丄近),=-F—= ------ >V7xi 7第18 题【答案】(I ) ,v 2 =4x ; (ID 见解析•［解析】 试题分析 j 艮IB 抛物线定义 可得方程（2 ）次砂）直径作圆C ,判断点N 和圆C 的位置关系则只需脸证NA NP 等于零否从而 可得结论< I ）设动点站（2）,由拋物线定义可知点M 的轨迹碇叹"（L0）为焦点，直线止工二-1为准线的抛物线， 所臥轨迹硒］方程为y 2 = 4x .（1［〉法1；由題童可设直线/'：X = g+7 , r v 2 = 4x因为直线］与曲线硝唯一公共点厶戶砌、A= 16刃’十16” =0 > >7 = -nr •所以（*）可化简为y 1-4wv+4w 3 =0 ,因为打=一脚、,所叹而丽=［-2-山］=-2川十2-2-2?2 0所以Mi 丄,护,所次点N 在以閃为直径的圆C 上.法2；依题竜可设直线尸:厂后+人（疋=0）, 由｛"： 了•可得F/+2（*-2）X +，=O （*）,>■ =4x因为直线/'与曲线賄唯一公共点心且与直线/的交点为F ,令工二-1得心可得 y 2-4〃1+Q第19 题【答案】< I ) a=3 : (II)见解析.【解析】试题分析；(1)先根据題意可得在(0./3))处的切线/的斜率为2,从而求得a (2)对于存在冋题可根抿题青赋值验证，当aSO时,fi^W/(l)<e a-l<O<l ,即存在实数忌使/(耳)<1 ;当QA04穽】时分祈国数单调性，得函数最小值，若最小值小于1即得证试题解析：< I ) f (x)=a占 T ,因为曲线.u = /(X)在(O./(O))处的切线与直线"2y4 2 0垂直，所叹切线/的斜率为2,嬲f (0)",所以.(II)>±1：当必0时，显然有/(1)7七0<1 ,即存在实数兀ft/(x0)<l ；当"0,"1时，由/,(-V)= 0可得工二丄In丄,a a(11、/ 1 1、所以在XW -00,-111-1时，r(x)<0，所以函数/(工)在；Y,_ln—上递减；\ a a J \ a a J胡亠丄严］时，f(x)>0 ,所以函数/(X)在［丄11上严］上递増\a a J \a a }所叹/pm丄卜丄(1+111/7)ft/(x)的极小值.kCT a} a由函数/(gf可得/(0) = l ；由可得丄In丄HO ,a a\a a J综上，若"1,存在卖数耳-第20 题【答案】<I )数列S｝不具有性质尸(2);具有性质尸(4)：(］［)见解析：(III)见解析.【解析】试题分析；(1)根据新定冥直接验证即可的结论⑵对于5是有限集"是"数列& ｝具有性质P(0) ”的必要不充分条件，先证不充分性对于周期数列1丄2.2.L122.…，T = ｛-1.0.1｝是有限集，但罡由于a2 -竹=0.码_勺=1 ,所以不具有性质尸(0)、再证必要性因为数列匕｝具有性质尸(0儿所以一走存在一组最小的mMN'且m>k,满足弘-依“，即％二血，所以数列｛©｝中必然会以某个周期进行，所以数列"”｝中最多有血-1个不同的项，从而得证(3)因为数列｛心｝具有性质尸⑵,数列｛%｝具有性质卩⑴，所以存在6 N4 ,使得％卄-% = 2 , ,茸中p冷分别是满足上述关系式的最小的正整数，然后根据其性质列出相关等式可得结论，然后逐一分析取值讨论试题解析；<I)数列M不具有性质戸(2) 5具有性质戸⑷•(II)(不充分性)对于周期数列1.1.2.2.1.L2.2/ • , r = ｛>1.0.1)S有限集，但是由于仏-q =0•込=］，所以不具有性质沪(0)；〈必要性〉因为数列｛①｝具有性质卩(0)，所以一定存在一组最小的且rn>k ,满足a… = 0 ,即心=©由" (° )的含乂可■(寸=©-］、4力=①十］，…,的恿-*-) =“•》-］‘ ①in-R =^m，…所臥数列&｝中，从第k顷开始的各项呈现周期性规律；％叫,…•叽］为一个周期中的各项，所以数列｛偽｝中最多有W-1个不同的项、所以丁最多有个元素，即：T是有限集・<1ID因対数列｛©｝具有性质P(2),数列&｝具有性质P(5),所以存在M'.N' e N* ,使得他” 一Q” = 2 ,蚣十-农=5 ,其中P4分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质F(2).F(5)的含义可得VA-eN ,亿0仔大Pz =2.a v.^ -g眾=5 ,。
北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题(含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 0B ．12±C ．1±D ．22±4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 .13.在∆ABC 中，3b a =，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知函数2()xa x f x e-=． （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.232，12.0 13.3214.622，三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =-- 22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+- 其对称轴为4a t =- 当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===，21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===，353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为Y 0123P156155630561056115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD（Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)D A P C B -000200013020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,,),(,,)DP DB =-=013210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩3020令2z = ，则23,3y x =-=- ，所以(,,)n =-3232r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>==-=-235719219uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为5719（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以33(1,,)(2,1,0)22MF MB BF λ=+=-+-因为MFPC ，所以(0,3,3)MF PC μμ==-所以有120332332λλμμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,,a b c ===211所以离心率c e a ==22（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以22222281616|'|(21)(21)k k AB k k -=+++ 228(21)k =+22221k =+因为k ≤<2102，所以|'|(2,22]AB ∈ 法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时，|'|22AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=->，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB =222222168(1)(2)2t t t t t +-++ 4222222282222222(1)(2)222t t t t t t t ====-++++ 因为t >22，所以|'|(2,22)AB ∈综上，|'|AB 的取值范围是(2,22].19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e22，令()'()x x a x a f x -++==e 220 得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到a a x +++=>222402，所以(())f x x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)xg x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)x 30 x 3(,)x +∞3'()f x -0 + ()f x]极小值Zx(,)011(,)+∞1'()h x -0 + ()h x]极小值Z因为()'()x x a x af x -++=e 22，令'()f x =0得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222 注意到a a x +++=22242和a >0，所以a a x +++=>222422设()x xF x -=e2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e 2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242 而()--=-->e e e e2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Zx(,)022(,)+∞2所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >- 所以()()f x F x >>-e220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n '()F x -0 + ()F x]极小值Z当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个， 所以1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=. （Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β=其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
2019届北京市海淀区高三年级第二学期期末练习(二模)数学(理)试题(解析版)
2019届北京市海淀区高三年级第二学期期末练习（二模）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则( )A．[1,3] B．[3,5] C．[5,6] D．[1,6]【答案】B【解析】由交集的概念，直接可得出结果.【详解】因为集合，，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．复数的实部是虚部的2倍，则的值为( )A．B．C．-2 D．2【答案】D【解析】根据复数的概念，可直接得出结果.【详解】的实部为，虚部为1，实部是虚部的2倍，所以，.故选D【点睛】本题主要考查由复数的实部与虚部的关系求参数，熟记复数概念即可，属于基础题型. 3．若直线：(为参数)，经过坐标原点，则直线的斜率是( )A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【解析】先由参数方程消去参数，再由直线过原点，即可得出结果.【详解】直线方程消去参数,得：，经过原点，代入直线方程，解得：，所以，直线方程为：，斜率为2.故选D本题主要考查直线的参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可，属于基础题型. 4．在的展开式中，的系数是( )A．-80 B．-10 C．5 D．40【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【详解】因为的展开式的通项为，令，则的系数是.故选A【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 5．把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】先将函数按题意平移得到，再由题中条件得到＝3，进而可得出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得：，所以，＝3，得：.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.6．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为( )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.【详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、2413。
北京市海淀区2019届高三5月期末练习(二模)数学(文)试题word版含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科） 2019.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。
(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则A B =I(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6](2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为(A) 12- (B) 12 (C) -2 (D)2 (3)已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的右顶点和抛物线28y x =的焦点重合，则a 的值为 (A)1 (B)2(C)3 (D)4(4)若关于x 的方程1x a x+=在(0,)+∞上有解，则a 的取值范围是 (A)(0， +∞) (B)[1， +∞)(C)[2， +∞) (D)[3， +∞)(5)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的所有棱长构成的集合为(A) {}2,4,23,6 (B) {}2,4,25,43,6 (C) {}2,4,25,42,6 (D) {}2,4,25,43 (6)把函数2x y =的图象向左平移t 个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为32x y =⋅，则t 的值为 (A ) 3log 2 (B) 2log 3 (C)2 (D)3 (7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)记221x y +≤表示的平面区域为W ，点O 为原点，点P 为直线22y x =-上的一个动点．若区域W 上存在点Q ，使得OQ PQ =，则OP 的最大值为(A)1 (B) (C)第二部分（非选择题共1 10分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离 为( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =( 11)41,log 3,sin 28a b c π===，则这三个数中最大的是 ( 12)已知数列{}n a 满足11n n a a n n+=+，且515a =，则8a =_____． (13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=u u u r u u u r u u u r ，且点P 在直线AC 上，则AF =u u u r(14)已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n n A A φ-=I 对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ ”．(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ；(Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②2x y =；③s ()12y in x π=+，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．( 15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，7,8,3a b A π===．(Ⅰ)求sin B 的值；(Ⅱ)若ABC ∆是锐角三角形，求ABC ∆的面积．(16)（本小题满分13分）已知数列{}n a 为等比数列，且1=23nn n a a +-⋅．(I)求公比q 和3a 的值；(Ⅱ)若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：13,,n n S a +-成等差数列．(17)（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 的中点。