北京科技大学应用计算方法作业与答案
精品文档 。 1欢迎下载 一、第一次作业 （一）2-6计算下列向量的1-范数、∞-范数、2-范数。 （1）x=(12,-4,-6,2)T >> A=[12,-4,-6,2] A = 12 -4 -6 2 >> norm(A,1) ans = 24 >> norm(A,inf) ans = 12 >> norm(A,2) ans = 14.1421 (2) x=(1,3,-4)T >> A=[1,3,-4] A = 1 3 -4 >> norm(A,1) ans = 8 >> norm(A,inf) ans = 4 >> norm(A,2) ans = 5.0990 （二）2-9 计算下列矩阵的行范数、列范数、谱范数、F范数。
（1）112111113A >> A=[3,-1,1;1,1,1;2,1,-1] A = 3 -1 1 1 1 1 2 1 -1 >> norm(A,1) ans = 6 >> norm(A,inf) ans = 精品文档 。 2欢迎下载 5 >> norm(A,2) ans = 3.7888 >> norm(A,'fro') ans = 4.4721
（2）RaaaA,00 >> A=[0,1;-1,0] A = 0 1 -1 0 >> norm(A,1) ans = 1 >> norm(A,inf) ans = 1 >> norm(A,2) ans = 1 >> norm(A,'fro') ans = 1.4142
二、第二次作业 用牛顿迭代法求方程0133xx在20x附近的根。要求：给成程序和运行结果. 1、牛顿法的基本原理
在求解非线性方程0)(xf时，它的困难在于)(xf是非线性函数，为克服这一困难，
考虑它的线性展开。设当前点为kx，在kx处的Taylor展开式为 ))(()()('kkkxxxfxfxf )1.2(
令0)(xf，解其方程得到
),1,0(,)()('1kxfxfxxkk
kk )2.2( 精品文档 。 3欢迎下载 )2.2(式为牛顿迭代公式，用牛顿迭代公式求方程0)(xf根的方法称为牛顿迭代法。此即
牛顿迭代法的设计原理。 2、matlab程序代码 function root=NewtonRoot(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4; end f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); if(f1==0) root=a; end if(f2==0) roor=b; end if(f1*f2>0) disp('两端点函数值乘积大于0！') return; else tol=1; fun=diff(sym(f)); fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a); dfb=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),b); if(dfa>dfb) root=a-fa/dfa; else root=b-fb/dfb; end while(tol>eps) r1=root; fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1); dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1); root=r1-fx/dfx; tol=abs(root-r1); end end 3、运行结果截图 精品文档 。 4欢迎下载 结论：通过计算可以看出0133xx在20x附近的根为1.8794. 三、第三次作业 编写高斯顺序消元法求解下面方程组的程序并计算结果。
2.3525.82102.610321321321xxxxxxxxx
)1.3(
1、高斯顺序消元法的设计原理 高斯顺序消元法的基本思想是将线性方程组
nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa
22112222212111212111
)2.3(
通过消元，逐步转化为等价的上（或下）三角形方程组，然后用回代法求解。 2、matlab程序代码 function [x,XA]=GaussXQByOrder(A,b) %高斯顺序消元法 N = size(A); n = N(1); for i=1:(n-1) for j=(i+1):n if(A(i,i)==0) disp('对角元素为0！'); %防止对角元素为0 return; end l = A(j,i); m = A(i,i); A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m; %消元方程 b(j)=b(j)-l*b(i)/m; end end x=SolveUpTriangle(A,b); %通用的求上三角系数矩阵线性方程组的函数 XA = A; %消元后的系数矩阵 function x=SolveUpTriangle(A,b) 精品文档 。 5欢迎下载 N=size(A); n=N(1); for i=n:-1:1 if(i s=A(i,(i+1):n)*x((i+1):n,1); else s=0; end x(i,1)=(b(i)-s)/A(i,i); end 3、运行结果截图
结论：高斯顺序消元法求解出)1.3(的结果为2200.1,1800.1,8600.0321xxx。 四、第四次作业 编写Jacobi迭代法和Seidel迭代法求解方程组的程序，并计算出结果。
2.3525.82102.610321321321xxxxxxxxx
)1.4(
精度要求：3)()1(10kkxx
（一）用Jacobi求解题设方程组 1、Jacobi迭代原理 设有一个n元线性方程组
nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa
22112222212111212111
)2.4(
它的矩阵形式为BAX，如果nnijaA)(非奇异，且niaii,2,1,0。由上式方程组可以得到 精品文档 。 6欢迎下载 ),,2,1(),(111nixabaxnjjjijiiii )3.4(
而其相应的迭代公式 ),,2,1(),(111)(nixabaxnjjkjijiiii )4.4(
此迭代公式即为Jacobi迭代。 2、Jacobi迭代法matlab程序代码 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) % 求解线性方程组的迭代法其中 % A为方程组的系数矩阵 % b为方程组的右端项 % eps为精度要求，默认值为1e-5 % varargin为最大迭代次数，值100 % x为方程组的解 % n为迭代次数 if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f; n=1; while norm(x-x0)>=eps x0=x; x=B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end
3、运行结果截图
北京科技大学第1-8章作业答案(必做题)
（b）
解：求反馈通道的传函
R(s)
C (s)
G1 ( s )
G2 ( s )
H1 (s) 1 H1 (s) H 2 (s)
G1 ( s)G2 ( s) 1 H1 ( s) H 2 ( s) G1 ( s) C ( s) G2 ( s) H1 ( s) R( s ) 1 G ( s) 1 G1 ( s) H1 ( s) H1 ( s) H 2 ( s) 1 1 H1 ( s) H 2 ( s)
2 1 (0) sc(0) 3c(0) R ( s ) c 2 2 s 3s 2 s 3s 2 2 1 2 R( s) 2 ( s 3) 零初态响应C1(s) 零输入响应C2(s) s 3s 2 s 3s 2
所以零初态响应：
2 1 1 2 1 C1 ( s) 2 ， c1 (t ) 1 2et e 2t s 3s 2 s s s 1 s 2
零输入响应：
1 2 1 C2 ( s ) 2 ( s 3) ， c2 (t ) 2e t e 2t s 3s 2 s 1 s 2
系统的输出响应： c(t ) c (t ) c (t ) 1 4et 2e2t 1 2
2-4 如图，已知G(s)和H(s)两方框相对应的微分方程分 别是： dc(t ) 6 10c(t ) 20e(t ) dt db(t ) 20 5b(t ) 10c(t ) dt
E (s) 1 10 R( s) 1 G (s) H (s) 1 10 20 10 6s 10 20s 5 10(6 s 10)(20s 5) 10(12s 2 23s 5) 2 120s 230s 250 12s 2 23s 25
2022年北京科技大学计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A(有答案)
2022年北京科技大学计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、用有向无环图描述表达式(A+B)*((A+B)／/A)，至少需要顶点的数目为（）。
A.5B.6C.8D.92、若需在O（nlog2n）的时间内完成对数组的排序，且要求排序是稳定的，则可选择的排序方法是（）。
A.快速排序B.堆排序C.归并排序D.直接插入排序3、线性表的顺序存储结构是一种（）。
A.随机存取的存储结构B.顺序存取的存储结构C.索引存取的存储结构D.Hash存取的存储结构4、循环队列A[0..m-1]存放其元素值，用front和rear分别表示队头和队尾，则当前队列中的元素数是（）。
A.（rear-front+m）%mB.rear-front+1C.rear-front-1D.rear-front5、已知有向图G=(V，E)，其中V={V1，V2，V3，V4，V5，V6，V7}， E=｛<V1，V2>，<V1，V3>，<V1，V4>，<V2，V5>，<V3，V5>， <V3，V6>，<V4，V6>，<V5，V7>，<V6，V7>｝，G的拓扑序列是（）。
A.V1，V3，V4，V6，V2，V5，V7B.V1，V3，V2，V6，V4，V5，V7C.V1，V3，V5，V2，V6，V7D.V1，V2，V5，V3，V4，V6，V76、已知字符串S为“abaabaabacacaabaabcc”，模式串t为“abaabc”，采用KMP算法进行匹配，第一次出现“失配”（s!＝t）时，i＝j＝5，则下次开始匹配时，i和j的值分别（）。
A．i＝1，j＝0 B．i＝5，j＝0 C．i＝5，j＝2 D．i＝6，j＝27、下列叙述中，不符合m阶B树定义要求的是（）。
A．根结点最多有m棵子树 B．所有叶结点都在同一层上C．各结点内关键字均升序或降序排列 D．叶结点之间通过指针链接8、已知一棵二叉树的前序遍历结果为ABCDEF，中序遍历结果为CBAEDF，则后序遍历结果为（）。
北京科技大学matlab作业1
《数学实验》报告
2016年3月
一、【实验目的】
1、熟悉matlab的基本命令和基本操作。
2、掌握matlab命令文件和函数文件的建立、运行和保存
二、【实验任务】
P16第4题
编写函数文件，计算，并求出当k=20时表达式的值。
P27第2题
矩阵A=，B=，计算A*B,A.*B,并比较两者的区别。
三、【实验程序】
P16第4题
function zr01=jiecheng(n)
zr01=0;
for t=1:n
zr01=zr01+prod(1:t);
end
jiecheng(20)
P27第2题
>>A=[123;456;789];
>>B=[468;556;322];
>>A*B
>>A.*B
四、【实验结果】
P16第4题
P27第2题
两种运算方式的区别：A*B是按矩阵的运算法则进行矩阵的乘法计算, A.*B是
两个矩阵中对应的元素相乘
五、【实验总结】
基本熟悉了matlab的基本命令和基本操作。
掌握了matlab命令文件和函数文件的建立、运行和保存。
学会了利用matlab编写简单的程序及使用。
北京科技大学第1-8章作业答案(必做题)
第二章作业
2-1：试求图中以电枢电压ua为输入量，以电动机转角 θ为输出量的微分方程形式和传递函数。
解 Q m (t) &(t) 系统运动方程为：
d 3 (t)
d 2 (t)
d (t)
La Jm dt3 (La fm Ra Jm ) dt 2 (Ra fm CmCe ) dt
Cmua (t)
s2C(s) sc(0) c&(0) 3sC(s) c(0) 2C(s) 2R(s)
C(s)
s2
2 3s
2
R(s)
s2
1 3s
2
c&(0)
sc(0)
3c(0)
s2
2 3s
2
R(s)
s2
1 3s
2
(s
3)
零初态响应C1(s)
零输入响应C2(s)
阶跃输入 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
y0.25 y 12.1137y
2-3
设系统传递函数为：C ( s) R(s)
s2
2 3s
2
且初始条件 c(0) 1，c&(0) 0 。
试求阶跃输入r（t）=1（t）时，系统的输出响应
c（t）。
解：系统的传递函数：
C(s) R(s)
s2
2 3s
2
初始条件： c(0) 1，c&(0) 0
微分方程： c&&(t) 3c&(t) 2c(t) 2r(t) 拉氏变换可得：
系统方块图如图所示：
1-2图是电炉温度控制系统原理示意图。试分析系统保持 电炉温度恒定的工作过程，指出系统的被控对象、被控 量以及各部件的作用，最后画出系统方块图。
计算方法各习题及参考答案
第二章 数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造一多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使用多少个节点能够保证误差不超过61102-⨯． 答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b ah n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章 函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差．答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-，二次最佳平方逼近的平方误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平方逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章 数值积分与数值微分4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =⎰，并与精确值比较．答案：计算结果如下表所示4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度． （１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰ （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-⎰答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++⎰中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的二次插值多项式，用2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =⎰的数值积分公式h I ，并用台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+． 答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+⎰．4.5 给定积分10sin xI dx x =⎰（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-⨯． （２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ 答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=⨯ （３）取７个节点处的函数值．4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分10sin xI dx x =⎰．要求用事后误差估计法时，截断误不超过31102-⨯和61102-⨯． 答案：使用复化梯形公式时，80.946I T ≈=满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，40.946 083I s ≈=满足精度要求．4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+⎰，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈． （２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--⎰，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，而 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 用龙贝格方法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字． 答案：49.6884l I =≈．4.9确定高斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+⎰的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证高斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+⎰的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章 解线性方程组的直接法5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中111210110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭． 答案： 1110331203321133A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭5.2 用矩阵的直接三角分解法解方程组1234102050101312431701037x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 用追赶法求解三对角方程组123421113121112210x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章 解线性代数方程组的迭代法６.１ 对方程1212123879897x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，用该方法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤． 答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２ 讨论松弛因子 1.25ω=时，用SOR 方法求解方程组121232343163420412x x x x x x x +=⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩ 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<⨯． 答案：方程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３ 给定线性方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛．６.４ 设有方程组112233302021212x b x b x b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，讨论用雅可比方法和高斯－赛得尔方法解此方程组的收敛性．如果收敛，比较哪种方法收敛较快．答案：雅可比方法收敛，高斯－赛得尔方法收敛,且较快．６.５ 设矩阵A 非奇异．求证：方程组Ax b =的解总能通过高斯－赛得尔方法得到．６.６ 设()ij n nA a ⨯=为对称正定矩阵，对角阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：高斯－赛得尔方法求解方程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章 非线性方程求根例７.４ 对方程230xx e -=确定迭代函数()x ϕ及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ∀∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ϕ+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<． 答案：若取2()x x ϕ=，则在[1,0]-中满足收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟一解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ϕ=，在[0,1上满足收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟一解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原方程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ϕ==．满足收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟一解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６ 对于迭代函数2()(3)x x c x ϕ=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ϕ+=产生的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ϕ51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所示表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ϕ+=的迭代函数()x ϕ具有二阶连续导数，*x 是()x ϕ的不动点，且*()1x ϕ'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y xϕϕ+==⎧⎪=-⎨=-⎪-+⎩二阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ϕ=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ϕ为迭代函数的迭代法至少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有高阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第八章 矩阵特征值8.1 用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这里()1k λ表示1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 用反幂法求矩阵110242012A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的按模最小的特征值．知A 的按模较大的特征值的近似值为15λ=，用5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最小的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设方阵A 的特征值都是实数，且满足121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ而作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 用二分法求三对角对称方阵1221221221A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小特征值，使它至少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 用平面旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平行的向量．答案：203/2/00001010/0T ⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎝0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭8.6 若532644445A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后用QR 方法求A 的全部特征值．第九章 微分方程初值问题的数值解法9.1 用反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤⎧⎨=⎩，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-． 答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ⎧=+≤⎪⎨⎪=⎩的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位小数)．答案：用二阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈用二阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 用如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，小数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使二阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-⎧⎨=⎩为实常数绝对稳定，试求步长h 的大小应受到的限制条件． 答案：2h λ≤．9.5 用如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++⎧=+⎪⎪=++⎨⎪⎪==⎩，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '⎧=<≤⎨=⎩时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛． 答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式二步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能高，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时方法的局部截断误差阶最高，为五阶5()O h ．9.7 试用欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx⎧=-⎪⎪≤⎨⎪=+=⎪⎩，取步长0.1h =，小数点后至少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =⎧⎨=⎩ ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩ 220.604 820z 2.090 992y =⎧⎨=⎩ ， 22(0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩。
计算方法上机作业
方程求根一、目的和意义非线性方程在科学研究与工程实践中广泛出现，例如，优化问题、特征值问题、微分方程问题等。
但是，除少量方程外，大多数非线性方程求根相当困难，常见的几个简单、有效的数值求根方法，包括二分法、迭代法、牛顿法、割线法等，本实验旨在比较各种算法的计算性能和使用范围。
二、计算公式1.二分法2.不动点迭代法三、结构程序设计代码1.二分法1).定义所求解函数function [ y ] = f( x )y = x^3 + 4*x^2 - 10;end2).执行算法%初始化，设置区间端点a、b，误差限tola = 1;b = 2; tol = 0.5*10^(-6);k = 0; fa = f(a);%设置最大二分次数为30for k = 1:50p = (a + b)/2; fp = f(p);if(fp == 0 || (b - a)/2 < tol)breakendif(fa * fp < 0)b = p;elsea = p;enddisp('近似解p = ');disp(vpa(p,10)); disp('迭代次数k = ');disp(k);end2.不动点迭代法1).定义不动点方程g(x)function [ y ] = g( x )y = x^3 + 4*x^2 + x - 10;end2).执行算法%初始化，设置误差限，设置初值p0tol = 0.5*10^(-6);k = 1; p0 = 1.5;%迭代次数为10次while k <= 10p = g(p0);if abs(p - p0) < tolbreakenddisp('近似解p = ');disp(vpa(p,10)); disp('迭代次数k = ');disp(k);k = k + 1; p0 = p;end四、结果及其讨论1.二分法结果由于结果较长，只取了一部分，从图中可以看出，迭代20次可得到误差限范围内的近似解p=1.36522。
计算方法作业3(1)
《计算方法》上机指导书实验1 MATLAB 基本命令1．掌握MATLAB 的程序设计实验内容：对以下问题，编写M 文件。
(1) 生成一个5×5矩阵，编程求其最大值及其所处的位置。
(2) 编程求∑=201!n n 。
(3) 一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。
求它在第10次落地时，共经过多少米？第10次反弹有多高？2．掌握MATLAB 的绘图命令实验内容：对于自变量x 的取值属于[0，3π]，在同一图形窗口画出如下图形。
（1）1sin()cos()y x x =⋅；（2）212sin()cos()3y x x =-；实验2 插值方法与数值积分1. 研究人口数据的插值与预测实验内容：下表给出了从1940年到1990年的美国人口，用插值方法推测1930年、1965年、2010年人口的近似值。
美国人口数据1930年美国的人口大约是123,203千人，你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度如何？2．最小二乘法拟合经验公式实验内容：某类疾病发病率为y ‰和年龄段x (每五年为一段，例如0~5岁为第一段，6~10岁为第二段……)之间有形如bx ae y =的经验关系，观测得到的数据表如下（1）用最小二乘法确定模型bx ae y =中的参数a 和b 。
（2）利用MATLAB 画出离散数据及拟合函数bx ae y =图形。
3. 复化求积公式实验内容：对于定积分⎰+=1024dx x xI 。
（1）分别取利用复化梯形公式计算，并与真值比较。
再画出计算误差与n 之间的曲线。
（2）取[0，1]上的9个点，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算，并比较精度。
实验3 非线性方程与线性方程组1．矩阵的范数与条件数 实验内容：已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111A 求1A ，2A ，∞A 和)(2A cond 。
2．研究高斯消去法的数值稳定性 实验内容：设方程组b Ax =，其中（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⨯=-11212592.1121130.6291.51314.59103.0151A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2178.4617.591b （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=201015152699990999999999.23107102A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1500019000000000.582b 分别对以上两个方程组（1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的？ （2）用列主元消去法求得L 和U 及解向量421,R x x ∈；（3）用不选主元的高斯消去法求得L 和U 及解向量421~,~R x x ∈； （4）观察小主元并分析对计算结果的影响。
北京科技大学c++作业
第三章课后作业输入输出和分支语句练习1．编写单条C++语句，完成下述任务。
a)采用cint>>，输入整型变量x。
b)采用cin和>>，输入整型变量y。
c)设置整型变量i为1。
d)设置整型变量power为1.e)变量power乘以变量x后，结果赋值给变量power。
f)变量i前置方式自增1。
g)判断变量i是否小于或等于变量y。
h)采用cout和<<输出整型变量power。
2．e lse摇摆问题在x等于9、y等于11和x等于11、y等于9这两种情况下，请说出下面程序段的输出。
a)if ( x < 10 )if ( y > 10 )cout<<“*****”<<endl;elsecout<<“#####”<<endl;cout<<“$$$$$”<<endl;b)if ( x < 10 ){if ( y > 10 )cout<<“*****”<<endl;}else{cout<< “#####”<<endl;cout<<“$$$$$”<<endl;}3．e lse摇摆问题二修改以下代码，以产生指定的输出。
请使用正确的缩进格式。
请注意，除了可以插入花括号之外，程序不得做任何其他改动，也有可能无须做任何修改。
if ( y == 8 )if ( x == 5 )cout<<“@@@@@”<<endl;elsecout<<“#####”<<endl;cout<<“$$$$$”<<endl;cout<<“&&&&&”<<endl;a)假定x=5，y=8，产生的输出如下所示。
b)假定x=5，y=8，产生的输出如下所示。
北京科技大学计算机基础考试题及答案
北京科技大学计算机基础考试题及答案一、单选题1、486DX2/80 中的数字486代表（），数字80代表（）。
A、CPU的型号B、CPU的主频C、存储的容量D、存取速度【答案】AB2、下列部件中，直接通过总线与CPU连接的是（）A、键盘B、内存储器C、磁盘驱动器D、显示器【答案】B3、CPU不能直接访问的存储器是（）A、ROMB、RAMC、CacheD、CD-ROM【答案】D4、书籍高密度双面软磁盘容量为1.44MB；每道18个扇区，每扇区为512字节，那么，每面磁道数应是（）A、8B、40C、80D、160【答案】C5、微型计算机使用的键盘中，Shift键是（）A、换档键B、退格键C、空格键D、回车换行键【答案】A6、微型计算机的主机包括（）A、运算器和控制器B、运算器、控制器和硬磁盘存储器C、CPU和内存储器D、CPU和键盘【答案】C7、微型计算机的性能主要取决于（）A、内存B、中央处理器C、硬盘D、显示卡【答案】B8、执行下列逻辑加运算（即逻辑或运算）10101010ν01001010其结果是（）A、11110100B、11101010C、 10001010D、11100000【答案】B9、执行下列逻辑加运算（即逻辑或运算）10101010ν01001010其结果是（）A、11110100B、11101010C、 10001010D、11100000【答案】B10、在微型计算机中ROM是（）A、顺序读写存储器B、随机读写存储器C、只读存储器D、高速缓冲存储器【答案】C11、执行下列逻辑加运算（即逻辑或运算）10101010ν01001010其结果是（）A、11110100B、11101010C、 10001010D、11100000【答案】B12、IBM PC/AT 微型机采用的CPU芯片是（）A、Z-80B、8086C、8088D、80286【答案】D13、一个完整的计算机系统应包括（）A、系统硬件和系统软件B、硬件系统和软件系统C、主机和外部设备D、主机、键盘、显示器和辅助存储器【答案】B14、最先实现程序存储的计算机是（）A、ENIACB、EDSACC、EDVACD、UNIVA【答案】B15、在微型计算机中，常见到的EGA、VGA等是指（）A、微型型号B、显示适配卡类型C、CPU类型D、键盘类型【答案】B16、下列四条叙述中，属RAM特点的是（）A、可随机读写数据，且断电后数据不会丢失B、可随机读写数据，断电后数据将全部丢失C、只能顺序读写数据，断电后数据将部分丢失D、只能顺序读写数据，且断电后数据将全部丢失【答案】B17、下列四条叙述中,有错误的一条是（）A、以科学技术领域中的问题为主的数值计算称为科学计算B、计算机应用可分为数值应用和非数值应用两类C、计算机各部件之间有两股信息流,即数据流和控制流D、对信息(即各种形式的数据)进行收集、储存、加工与传输等一系列活动的总称为实时控制【答案】D18、在微机系统中向计算机输入数据的设备是（B ），在主机中存储当前可随时使用的程序和数据的设备是（ E），可永久保留程序和数据的设备是（D ）A、打印机B、键盘C、显示器D、磁盘E、内存储器【答案】B,E,D19、下列四条描述中，正确的一条是（）A、鼠标器是一种既可作输入又可作输出的设备B、激光打印机是非击打式打印机C、Windows是一种应用软件D、PowerPoint是一种系统软件【答案】B20、计算机中的信息用二进制表示的主要理由是（）A、运算规则简单B、可以节约元器件C、可以加快运算速度D、元器件性能所致【答案】A21、微型计算机中普遍使用的字符编码是（）A、BCD码B、拼音码C、补码D、ASCII码【答案】D22、在学校里，能用于打印蜡纸的打印机是（）A、激光打印机B、针式打印机C、喷墨打印机D、热敏式打印机23、下列四条叙述中,有错误的一条是（）A、以科学技术领域中的问题为主的数值计算称为科学计算B、计算机应用可分为数值应用和非数值应用两类C、计算机各部件之间有两股信息流,即数据流和控制流D、对信息(即各种形式的数据)进行收集、储存、加工与传输等一系列活动的总称为实时控制【答案】D24、计算机中常用的英文词Byte,其中文意思是A、位B、字C、字长D、字节【答案】D25、十进制数（-123）的原码表示为（）A、 11111011B、 10000100C、 1000010D、 01111011【答案】A26、一台微机的内存储器容量是640KB，这里的1KB为（）A、1024个字节B、1024个二进制单位C、1000个字节D、1000个二进制单位【答案】A27、最先实现程序存储的计算机是（）A、ENIACB、EDSACC、EDVACD、UNIVA【答案】B28、书籍高密度双面软磁盘容量为1.44MB；每道18个扇区，每扇区为512字节，那么，每面磁道数应是（）A、8B、40C、80D、160【答案】C29、微机计算机中运算器、控制器及内存储器的总称是（）A、CPUB、PentiumC、主机D、MPU30、计算机中根据（）访问内存。
计算方法习题集及答案
习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何? 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法max X i , x (为必，X n )T R n 及 || A1 i n1证明：F 面证明存在向量x o 0 ,使得X onn显然||x o|| 1且Ax o 任意分量为a i o j X ja o j ，i 1i 1nmax a ij ,A (a ij ) R n n | n j 12. 试证明|xp /xrmxrxmH pp /xrX rX r设 X (X i ,...X n )0 , 不妨设令 max1 i n ja j Ax max 1 i nj 1a ij X j max1 i na ijX jmax X 1 i n max 1 i nj 1a ij即对任意非零X R n ，有弊a i o j，取向量 X o (X i ,...X n )T 。
其中 X jsign(a i o j )( j 1,2,..., n)。
故有Ax onnmaxa ij X ja i o jii 1j 13553.古代数学家祖冲之曾以作为圆周率1133251解：x & 0.314159292 1o即证。
的近似值，问此近似值具有多少位有效数字?3551130.266 10 6 0.5 101 7该近似值具有7为有效数字。
(1)令 x r max x i1 i nm4. 若T(h)逼近其精确值T 的截断误差为R(T): T(h) TAh 2ii 1T o (h) T(h)其中，系数A i 与h 无关。
试证明由4m T mi (—) T m l (h)Tm(h) ----------- --------------- , m 1,2,4 1所定义的T 的逼近序列｛T m (h)｝的误差为T m (h) TA (m)h 2m 2，i 1其中诸A (m )是与h 无关的常数。
证明：当m=0时 左边 T (h )-T= i h 2i 右边i 1设m=k 时等式成立，即T k (h) -T=(k)h 2k 2ii 1当m=k+1时(k)(h)2(k1) 2i 即证。