《直线》单元复习小结

《直线的方程》复习
重点：（1）直线的斜率与倾斜角；（2）直线方程的几种形式及求法；（3）两直线的位置关系；（4）点到直线的距离；（5）有关对称问题．
难点：（1）注意斜率与倾斜角的区别：
（2）直线方程的五种形式之间要熟练转化，在使用直线方程时，要注意方程表示直线的“局限性”．
（3）判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形．
（4
）运用公式d =,x y 项的系数化成相等．
（5）中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具，解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都归结为关于点的对称问题加以解决．
知识梳理：
1. 直线的斜率与倾斜角：
（1）求斜率的方法；
（2）直线倾斜角的定义，倾斜角的取值范围是[0,)π。

2. 两条直线平行或垂直的判定：
（1）两条直线平行：
（2）两条直线垂直：
3. 直线的点斜式方程：
4. 直线的斜截式方程：
5. 直线的两点式方程：
6. 直线的截距式方程：
7. 直线的一般式方程：
8. 线段的中点坐标公式：
9. 两点间的距离： 10. 点到直线的距离： 11. 两平行直线间的距离： 注意：
1. 要深刻理解每种直线方程的适用范围；
2. 直线在两坐标轴上截距相等的条件：（1）0a b ==；（2）0a b =≠．
3. 在解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式；
4. 确定直线的方程通常有两种途径：一是用方程的五种形式，主要利用待定系数法；二是用轨迹的定义，从直线的几何性质出发，建立方程。

5. 点到几种特殊直线的距离：不必套公式而直接求出，
6. 直线系方程及用法：几种常用的直线系方程如下：
（1）共点直线系方程：过两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=交点的直线系方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（12210A B A B -≠，它不能表示直线2l ）。

（2）过定点00(,)x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-（k 为参数）及0x x =。

（3）平行直线系方程：与直线y kx b =+平行的直线系方程为y kx m =+（m 为参数且m ≠b ）；与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=（是参数，且）．
（4）垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=（
为参数）．
7. 对称问题：
（1）中心对称： ①点关于(,)P a b 对称；②直线关于点的对称；
（2）轴对称： ①点关于直线对称； ②直线关于直线对称；
典型例题：
命题角度1 ： 直线的倾斜角与斜率
例1. 已知两点A （－1，－5）、B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l
的斜率。

命题角度2 求满足某些条件的直线与方程
例2. 求适合下列条件的直线的方程：
（1）在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦是35
； （2）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（3）经过点A （―1，―3），倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍。

命题角度3 ： 直线方程五种形式的灵活运用
例3. 过点M （0，1）作直线，使它被两直线12:3100,:280l x y l x y -+=+-=所截得的
线段恰好被M 所平分，求此直线方程。

命题角度4： 直线方程中参数的讨论
例4. 已知12:40,:(1)0l ax by l a x y b -+=-++=，求满足下列条件的a 、b 的值：
（1）12l l ⊥，且1l 过点（－3，－1）；（2）12||l l ，且坐标原点到这两条直线的距离相等。

命题角度5： 直线方程的应用
例5. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪（如图1），另外△EFA 内部有一
文物保护区不能占用，经测量AB ＝100m ，BC ＝80m ，AE ＝30m ，AF ＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？
命题角度6： 距离公式的应用
例6. 已知直线l 经过点P （3，1），且被两条平行直线12:10,:60l x y l x y ++=++=
截得的线段之长为5，求直线l 的方程。

命题角度7 ： 对称问题
例7. 已知直线:2310,l x y -+=点A （―1，―2）。

求：
（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
（2）求直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m ′的方程；
（3）求直线关l 于点A （－1，－2）对称的直线'l 的方程。

【模拟试题】
1、设两直线123:0,:sin 0((,))2
l x b l x a πααπ+=+-=∈ ，则直线12,l l 的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 平行或重合
C. 垂直
D. 相交但不一定垂直
2、如图，直线12:0,:0l ax y b l bx y a -+=+-=的图象应是（ ）
3、三条直线123:0,:20,:5150l x y l x y l x ky -=+-=--=构成一个三角形，则k 的范围是（ ）
A.
B. 且
C. 且
D. 且
4、已知0,0x y a x y b ++=++=，已知a 、b 是关于x 的方程20x x c ++=的两个实数根，且108
c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（ ）
12 12 12
5、点(sin ,cos )θθ到直线cos sin 10x y θθ++=的距离小于
12
，则θ的取值范围是（ ） A.5(2,2)()1212k k k Z ππππ--∈ B. 5(,)()1212
k k k Z ππππ--∈ C. 1(2,2)()36k k k Z ππππ--∈ D. 1(,)()36
k k k Z ππππ--∈ 6. 过点B （3,4）作直线l ，使之到到点(1,1)A 的距离等于2，则l 的方程为
___________。

7、第一象限内有一动点Q 在过点A （3，2）且方向向量(1,2)n =- 的直线l 上运动，则
22log log x y +的最大值为____________。

8、△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的平分线所在直线方程为10,10y x y +=++=，则直线BC 的方程为____________。

9、若点A(－2,－3),B(－3, －2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A 、k ≤43或k ≥34
B 、k ≤－34或k ≥－4
3 C 、43≤k ≤3
4 D 、－34≤k ≤－4
3 10、实数,x y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y z x -=+的取值范围是（ ） A 、1(1,]3
- B 、11(,]23- C 、1(,)2-+∞ D 、1[,1)2
-
11、直线l 经过点A （2，4），l 被12:10,:20l x y l x y -+=--=所截线段的中点在直线3:230l x y +-=上，求此直线的方程。

12、如图，已知△ABC 的顶点A （2，－7），从顶点B 、C 分别引出的高线和中线所在直线的
方程为3110,270x y x y ++=++=，求此三角形的三条边所在直线的方程。