(2019年江苏省中考数学真题汇编)专题01数与式
D．x＞﹣2
【答案】解：依题意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的
被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
31．（2019•常州）下列各数中与 2 的积是有理数的是（ ）
A．2
B．2
C．
D．2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】解：∵（2 ）（2 ）＝4﹣3＝1；
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
12．（2019•南京）2018 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到 13000 亿美元．用科学记数
法表示 13000 是（ ）
故选：D．
【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．
二．填空题（共 34 小题） 1．（2019•镇江）﹣2019 的相反数是 2019 ．
【答案】解：﹣2019 的相反数是：2019． 故答案为：2019． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
9．（2019•连云港）﹣2 的绝对值是（ ）
A．﹣2
B．
C．2
D．
【答案】解：因为|﹣2|＝2，
故选：C．
【点睛】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值
是 0．
10．（2019•淮安）同步卫星在赤道上空大约 36000000 米处．将 36000000 用科学记数法表示应为（ ）
专题 01 数与式
参考答案与试题解析
一．选择题（共 31 小题） 1．（2019•徐州）如图，数轴上有 O、A、B 三点，O 为原点，OA、OB 分别表示仙女座星系、M87 黑洞与地
球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点 B 表示的数最为接近的是（ ）
A．5×106
B．107
C．5×107
D．108
A．﹣1
B．1
【答案】解：4a2﹣6ab+3b，
C．2
D．3
＝2a（2a﹣3b）+3b，
＝﹣2a+3b，
＝﹣（2a﹣3b），
＝1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
19．（2019•连云港）计算下列代数式，结果为 x5 的是（ ）
A．x2+x3
B．x•x5
C．x6﹣x
A．a2•a3＝a6
B．a7÷a3＝a4
C．（a3）5＝a8
D．（ab）2＝ab2
【答案】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、a7÷a3＝a4，正确；
C、（a3）5＝a15，故此选项错误；
D、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则
11．（2019•苏州）苏州是全国重点旅游城市，2018 年实现旅游总收入约为 26000000 万元，数据 26000000
用科学记数法可表示为（ ）
A．0.26×108
B．2.6×108
C．26×106
D．2.6×107
【答案】解：将 26000000 用科学记数法表示为：2.6×107．
故选：D．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则
是解题关键．
25．（2019•盐城）下列运算正确的是（ ）
A．a5•a2＝a10
B．a3÷a＝a2
C．2a+a＝2a2
D．（a2）3＝a5
【答案】解：A、a5•a2＝a7，故选项 A 不合题意；
B、a3÷a＝a2，故选项 B 符合题意；
用科学记数法应表示为（ ）
A．0.14×108
B．1.4×107
C．1.4×106
D．14×105
【答案】解：
科学记数法表示：1400 000＝1.4×106
故选：C．
【点睛】本题主要考查科学记数法，科学记数法是指把一个数表示成 a×10 的 n 次幂的形式（1≤a＜10，
n 为正整数．）
14．（2019•南京）面积为 4 的正方形的边长是（ ）
D．2（x+y）（x﹣y）
【答案】解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
27．（2019•常州）若代数式
有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1
B．x＝3
C．x≠﹣1
D．x≠3
【答案】解：∵代数式 ∴x﹣3≠0，
是解题关键．
24．（2019•宿迁）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5
B．（a2）3＝a5
C．a6÷a3＝a2
D．（ab2）3＝a3b6
【答案】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；
B、（a2）3＝a6，故此选项错误；
C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
D、（ab2）3＝a3b6，正确；
A．
B．﹣2019
C．
【答案】解：2019 的相反数是﹣2019．
D．2019
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
5．（2019•无锡）5 的相反数是（ ）
A．﹣5
B．5
C．
D．
【答案】解：5 的相反数是﹣5，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数
D．a3•a2＝a6
【答案】解：A、a2+a2＝2a2，故选项 A 不合题意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项 B 不合题意；
C．（a3）3＝a9，故选项 C 符合题意；
D．a3•a2＝a5，故选项 D 不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算法则以及完全平方公式，熟练掌握法则是解答本
题的关键．
22．（2019•南京）计算（a2b）3 的结果是（ ）
A．a2b3
B．a5b3
C．a6b
D．a6b3
【答案】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．积的乘方，等于每个因式乘方的
积．
23．（2019•镇江）下列计算正确的是（ ）
17．（2019•南京）下列整数中，与 10
A．4
B．5
最接近的是（ ） C．6
D．7
【答案】解：∵9＜13＜16，
∴3
4，
∴与 最接近的是 4，
∴与 10
最接近的是 6．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
18．（2019•泰州）若 2a﹣3b＝﹣1，则代数式 4a2﹣6ab+3b 的值为（ ）
2．（2019•南京）﹣2 的相反数是 2 ； 的倒数是 2 ．
【答案】解：﹣2 的相反数是 2； 的倒数是 2， 故答案为：2，2． 【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 3．（2019•宿迁）宿迁近年来经济快速发展，2018 年 GDP 约达到 275000000000 元．将 275000000000 用科 学记数法表示为 2.75×1011 ． 【答案】解：将 275000000000 用科学记数法表示为：2.75×1011． 故答案为：2.75×1011． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（2019•扬州）2019 年 5 月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约 1790000 米，
负．
16．（2019•扬州）下列各数中，小于﹣2 的数是（ ）
A．
B．
C．
D．﹣1
【答案】解：比﹣2 小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数，
分析选项可得，
2
故选：A．
1，只有 A 符合．
【点睛】本题考查的是有理数大小比较的法则：①正数都大于 0； ②负数都小于 0； ③正数大于一切
负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小．
有意义，
∴x≠3．
故选：D．
【点睛】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为 0 是分式有意义的条件．
28．（2019•扬州）分式
可变形为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】解：分式
可变形为：
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键．
29．（2019•连云港）要使
A．0.13×105
B．1.3×104
C．13×103
D．130×102
【答案】解：13000＝1.3×104
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
13．（2019•盐城）正在建设中的北京大兴国际机场规划建设面积约 1400000 平方米的航站楼，数据 1400000
有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）
2019年江苏省南京市中考数学真题试卷附解析
2019年江苏省南京市中考数学真题试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．若⊙O 1 和⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1 和⊙O 2的半径分别为2 和，公共弦长为 2，∠O 1AO 2的度数为（ ）A ．105°B ．75°或 15°C ．105°或 15°D ．15° 2．若半径为1cm 和2cm 的两圆相外切，那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 3．已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为4210⨯小时，这种显示器工作的天数为d（天），平均每天工作的时间为t （小时），那么能正确表示d 与t 之间的函数关系的图象是（ ）4．线段 PQ 的黄金分割点是R （PR>RQ ），则下列各式中正确的是（ ）A ．PR RQ PQ PQ= B ．PR QR PQ PR = C ．PQ RQ PR PQ = D ．PR PQ PQ QR = 5．二次函数28y x x c =−+的最小值是（ ）A ．4B ．8C ．-4D ．16 6．把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ） A ．41x x >⎧⎨−⎩，≤ B ．41x x <⎧⎨−⎩，≥ C ．41x x >⎧⎨>−⎩， D ．41x x ⎧⎨>−⎩≤， 7．把m 2（m-n ）+m （n-m ）因式分解等于（ ） A ．（m-n ）（m 2-m ） B ．m （m-n ）（m+1） C ．m （n-m ）（m+1） D ．m （m-n ）（m-1）8．现有两根木棒，它们的长度分别是40 cm ，50 cm ，若要钉一个三角形的木架，则下列四根木棒中应选取（ ）A ．lOcm 的木棒B ． 40 cm 的木棒C ． 90 cm 的木棒D. 100 cm 的木棒9． 一副三角板按如图方式摆放，且∠1 的度数比∠2 的度数大50°，若设∠1 =x °，∠2 =y °，则可得到方程组为（ ）A ． 50180x y x y =−⎧⎨+=⎩B ． 50180x y x y =+⎧⎨+=⎩C ． 5090x y x y =−⎧⎨+=⎩D ． 5090x y x y =+⎧⎨+=⎩10．如图，△BEF 是由△ABC 平移所得，点A ，B ，E 在同一直线上，若∠F=35°，∠E= 50°，则∠CBF 是（ ）A ．35°B ．60°C ．80D ．无法确定11．如图所示，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆孔，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（ ）12．一件商品按成本价提高40％后标价，再打8折（标价的80％）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是 （ ）A ．x ·40％×80％＝240B ．x （1＋40％）×80％＝240C ．240×40％×80％＝xD ．x ·40％＝240×80％13． 甲、乙、丙三筐青菜的质量分别是 102 kg 、97 kg 、99 kg ，若以 100 kg 为基准，并记为0，则甲、乙、丙三筐青菜的质量分别表示为（ ）A ．2，3，1B ．2，-3，1C ．2，3，-1D ．2，- 3，-1二、填空题14．在Rt △ABC 中，若∠C= 90°，AC=24，AB=25，则sinB= ．15．如图，将矩形纸片ABCD 的一角沿EF 折叠，使点C 落在矩形ABCD 的内部C '处，若35EFC ∠=°，则DEC '∠= 度．16．计算题： (1) 12－18－5.0＋31 (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−÷1213112 (3)221811139134187⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎭⎫ ⎝⎛−17．等角的余角相等，改写成“如果……那么……”的形式： ，该命题是(填“真”或“假”)命题．18．如图，是一个圆形转盘，现按1:2:3:4分成四个部分，分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色，自由转动转盘，停止后指针落在绿色区域的概率为 ．19．方程组233410x y x y −=⎧⎨+=⎩的解是 ,方程组23431y x x y =−⎧⎨−=⎩的解是 ． 20．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)面积相等的两个三角形全等． ( )(2)周长相等的两个三角形全等．’( )(3)三边对应相等的两个三角形全等． ( )(4)全等三角形的面积相等，周长相等． ( )21．有 3、4、-6、10四个数，每个数用且只用一次进行加减乘除运算，使其结果等于24，列式为 .三、解答题22．某市在城市建设中，要折除旧烟囱AB （如图所示），在烟囱正西方向的楼CD 的顶端C ，测得烟囱的顶端A 的仰角为45，底端B 的俯角为30，已量得21m DB =．(1）在原图上画出点C 望点A 的仰角和点C 望点B 的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小．(2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方35m 远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．23．如图所示，抛物线245y x x =−++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于D 点，抛物线的顶点为 C ，求四边形 ABCD 的面积.24．试写出一个实际生活中的反比例函数.25．推动信息技术的发展，举行了电脑设计作品比赛，各班派学生代表参加，现将所有比赛成绩(得分取整数，满分为100分)进行处理然后分成五组，并绘制了频数分布直方图，请结合图中提供的信息，解答下列问题：(1)参加比赛学生的总人数是多少?(2)80．5～90．5这一分数段的频数、频率是多少?(3) 根据统计图，请你也提出一个问题，并做出回答．26．如图，已知 B，A，E三点在同一直线上，AD⊥BC，垂足为 D，EG⊥BC，垂足为G，EG交AC于点F，且AE=AF，请说明AD平分∠BAC的理由.27．如图，△ACB 和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB= ∠ECD = 90°，D为 AB边上的一点，试说明：(1)△ACE≌△BCD；(2) AD2+BD2=DE2.28．画出如图所示的轴对称图形的对称轴，并回答下列问题：(1）连结BD，则对称轴和线段BD有怎样的位置关系？(2）原图形中有哪些相等的角？哪些全等的三角形？(3）分别作出图形中点F、G的对称点．29．某班同学去社会实践基地参加实践活动，一部分同学抬土，另一部分同学挑土. 已知全班共有竹筐 58 只，扁担 37 根，要使每一位同学都能同时参加抬土或挑土，应怎样分配抬土和挑土人数？30．在y kx b=+中，当 x=2 时，y=8；当 x=-1时，y=-7，求k，b 的值.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．A3．C4．B5．D6．B7．A8．B9．D10．A11．CB13．D二、填空题14．242515． 7016． ⑴227337−； ⑵12； ⑶ 0． 17．如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等18．52 19． 21x y =⎧⎨=⎩，45x y =⎧⎨=⎩ 20．(1)× (2)× (3)√ (4)√21．3(6104)24⨯−++=三、解答题22．解：（1）略；(2）画CG ⊥AB ，垂足为G ，连结CA ，CB ，在Rt AGC △中，45ACG =∠．()21m AG CG DB ∴===，在Rt BCG △中，)3tan 30tan 3021m 3BG CG DB =⋅=⋅=⨯=，∴烟囱高)()21m 33.124m AB =+≈，33.12435m m <，∴这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．连结OC ，令245=0x x −++，解得15x =，21x =−，∴A(- 1 ,0) ,B(5 ,0) , D(0 , 5).∵2245(2)9y x x x =−++=−−+，∴C(2，9).连结CO. ∴11115525930222AOD COD BOC ABCD s s s S ∆∆∆=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=四边形 24．化肥厂生产化肥的总任务一定时，每天生产化肥 y(吨)和生产天数 x(天)之间成反比例关系 25．⑴52人；(2)80．5～90．5这一分数段的频数为10，频率是265 ；(3)答案不唯一，提问题举例： 90．5～100．5分数段内的学生与50．5～60．5分数段内的学生哪一个多？答：在90．5～100．5分数段内的学生多．26．略27．(1)∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE ，即∠BCD=∠ACE ， ∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，DC=EC ，∴△ACE ≌△BCD ．(2)∵△ACB 是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE=∠B=45°，∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°． ∴△ADE 是直角三角形，∴AD 2+AE 2=DE 2．由(1)知，AE=BD ，∴AD 2+BD 2=DE 2．28．如图所示，连结BD ，作线段BD 的垂直平分线m ，直线m•就是所求的对称轴．(1）对称轴垂直平分线段BD ；(2）原图形中相等的角有：∠B=∠D ，∠BAC=∠DEC ，∠BCA=∠DCE ，∠CAE=∠CEA ，∠BCE=∠DCA ，∠BAE=∠DEA ．全等的三角形有：△ABC 和△EDC ；(3）点F 、G 的对称点分别是F ′、G ′，如图所示．29．分配抬土 32 人，挑土21 人30．k=, b=-25。
2019年-江苏省南京市中考数学试卷(word版-含详解)
南京市2019年初中学业水平考试数学注意事项：1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上）1．2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13 000亿美元，用科学计数法表示13 000是（）A．0.13×105B．1.3×104C．13×103D．130×102【答案】B．【考点】科学记数法．【分析】把一个大于10或小于1的正数写成a×10n的形式，其中：1≤a＜10，n是整数．应用方法：把小数点移动到第一个不是0的数字后面，移几位就乘以10的几次幂（小数点向左移则指数为正，向右移则指数为负。
）注意：本题要审题，用科学记数法表示的数：是不带单位的13 000，而不是13 000亿．【解答】解：13 000＝1.3×104.故选B.2．计算（a2b）3的结果是（）A．a2b3B．a5b3C．a6b D．a6b3【答案】D．【考点】幂的运算：(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n b n．【分析】利用幂的运算法则直接计算．【解答】解：原式＝a2×3×b3．＝a6b3．3．面积为4的正方形的边长是（）A．4的平方根B．4的算术平方根C．4开平方的结果D．4的立方根【答案】B．若x2＝a（a≥0），则x叫做a的平方根，a（a≥0）的平方根表示为± a ；正数的正的平方根也叫它的算术平方根，a（a≥0）的算术平方根表示为 a ；若x3＝a，则x叫做a的立方根，a的立平方根表示为3a ；求一个数a的平方根的运算,叫做开平方，求一个数的立方根的运算叫做开立方；a（a≥0）开平方的结果表示为± a .【分析】正方形的边长是正数，所以边长为正方形面积的算术平方根．【解答】边长为正方形面积的正的平方根，即：算术平方根，故选：B.４．实数a、b、c满足a＞b，且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）【答案】A．【考点】在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．不等式的性质：（1）不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.如：a＞b→a±c>b±c.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，如a＞b，c＞0→ac＞bc；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，如a＞b，c＜0→ac＜bc.【分析】由a＞b得：在数轴上数a表示的点在数b表示的点的右边；由ac＜bc得：a、b同时乘以数c后，不等号改变了方向，所以数c是负数．【解答】在数轴上数a表示的点在数b表示的点的右边，数c是负数，故选：A.5．下列整数中，与10－13 最接近的是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C．【考点】估算．【分析】用平方法分别估算13 的取值范围，借助数轴进而估算出10－13 的近似值．【解答】□解法1：估算10 ：∵32＝9，42＝16．∴3＜13 ＜4．∵3.52＝12.25.∴6＜10－13 ＜6.5 .□解法2：借助数轴估算：13 的近似值.画数轴：观察数轴可得：3.5＜13 ＜4．∴6＜10－13 ＜6.5.故选：C.6．如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【答案】D．【考点】轴对称的有关性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.平移的有关性质：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等.旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.中心对称的有关性质：成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 【分析】利用轴对称、旋转的性质，先进行1次旋转或轴对称，计作△A″B″C″，不妨将B与B′经过一次变换先重合，再进行二次变换，看二次变换后△A″B″C″能否与△A′B′C′重合．【解答】■结论①1次旋转：不妨以线段BB′的中点O为旋转中心.故①错，A错■结论②1次旋转和1次轴对称：1次旋转——以线段BB′的中点O为旋转中心.1次轴对称——以A′A″的中垂线为对称轴.或1次轴对称——以C′C″的中垂线为对称轴.故②错，B、C错至此，通过排除法即可得：选项D正确，验证如下. ■结论③2次旋转.1次旋转：以线段BB′的中点O为旋转中心；2次旋转：以线段A ″A ′的中点为旋转中心.两次旋转后图形重合.■结论④2次轴对称.1次轴对称：以BB ′的中垂线为对称轴；2次轴对称：以C ″C ′的中垂线为对称轴. 两次轴对称后图形重合.故选：D.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置．．．上） 7．－2的相反数是______；12 的倒数是_________. 【答案】2；2．【考点】相反数、倒数的概念．若两个数的积等于1，这两个数互为倒数；a ≠0时，a 的相反数表示为1a ，0没有倒数.表示为－a.【分析】利用相反数、倒数的概念直接写出答案．【解答】－2的相反数是－（－2）＝2；∵12×2＝1，∴12的倒数是2.8．计算147－28 的结果是_____________.【答案】0．【考点】二次根式的化简．【分析】根据二次根式运算法则进行化简，掌握常用化简方法、结论即可；本题涉及到的运算法则：（a）2＝a（a≥0）；常用结论：m2n ＝m n （m≥0，n≥0）．【解答】147－28 .＝1477 ·7－22×7 . ＝1477－27 .＝27 －27 .＝0.9．分解因式（a－b）2＋4ab的结果是________________.【答案】（a＋b）2．【考点】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2及逆用完全平方公式分解因式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．【分析】本题无公因式可提取，也不能直接应用公式进行解法分解因式，先将（a－b）2应用完全平方公式展开，再合并同类项，会发现，其可逆用完全平方公式进行分解因式.【解答】（a－b）2＋4ab.＝a2－2ab＋b2＋4ab.＝a2＋2ab＋b2.＝（a＋b）2.10．已知2＋ 3 是关于x的方程x2－4x＋m＝0的一个跟，则m＝____________.【答案】1．一元二次方程a x 2＋b x ＋c ＝0（a ≠0）根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca . 【分析】解法有2种：解法一：根据根的定义，把根“2＋ 3 ”代入原方程中，得到两个关于m 的方程，解此方程即可求解；解法二：根据一元二次方程a x 2＋b x ＋c ＝0（a ≠0）根与系数的关系，设另一个根为：x 1. 根与系数的关系列出含有x 1与m 的方程组，解此方程组即可．【解答】解法一：根据题意，得：（2＋ 3 ）2－4（2＋ 3 ）＋m ＝0. 解这个方程，得：m ＝1. 解法二：设这个方程的另一个根为x 1.根据题意得：⎩⎨⎧2＋ 3 ＋x 1＝4 ①（2＋ 3 ）x 1＝m ②．由①得：x 1＝2－ 3 ③.把③代入②得：m ＝（2＋ 3 ）（2－ 3 ）. 即：m ＝1．比较上述两种解法，解法一、二都比较便捷．11．结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵______________________ ∴a ∥b.【答案】∠1＋∠3＝180°．【考点】三线八角——同旁内角的识别：在截线c 的同侧，夹在截线a 、b 之间，呈“U ”字型.【分析】图形中呈现了不同关系的角：对顶角（如∠2与∠4）、邻补角（如∠2与∠3）、同位角（如∠1与∠2）、内错角（如∠1与∠4）、同旁内角（∠1与∠3）；考试时需要根据题意进行识别. “同旁内角互补，两直线平行”的符号语言只能选择“∠1与∠3”． 【解答】∵∠1＋∠3＝180°．∴a ∥b.12．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示，将一根长20cm 的细木筷斜放在杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有_________cm.【答案】5．【考点】圆柱的侧面展开图，勾股定理等．【分析】如图1，画出圆柱体及其侧面展开图，确定对应线段的长度；图1 图2 图3根据题意“细木筷斜放在杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少多少cm ”，确定细木筷斜放在杯子内中位置——最多在杯子内的长度，显然应置杯底与杯口斜对角位置（如图2），即圆柱体截面图中的对角线位置（如图3），其与杯高与底面直径构成直角三角形（图3中Rt △ABC ），利用勾股定理即可求出此时杯内木筷的长度．【解答】AB ＝12²＋9² .＝15．露在外面的长度＝20－15＝5（cm ）．13．为了了解某区初中生学生视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该区12 000名初中学生视力不低于4.8的人数是_____________. 【答案】7200． 【考点】样本估计总体．【分析】利用样本中“视力不低于4.8人数的频率”可以近似看做总体中“视力不低于4.8人数的频率”；样本中“视力不低于4.8人数的频率”＝视力不低于4.8人数样本容量 .【解答】12000×80＋93＋127500 ＝7200.14．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上，若∠P ＝102°，则∠A ＋∠C ＝_____°.【答案】219．【考点】圆的切线垂直于经过切点的半径，同（等）弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等；常规辅助线：过切点的半（直）径，构造直径所对的圆周角等；由特殊到一般的数学思想方法等.【分析】本题求“∠A ＋∠C 等于多少度”，显然其是一个定值，其与点D 在圆上的位置没有关系，根据图示，只要点D 在图中优弧︵AC 上即可，根据由特殊到一般的数学思想方法，可将点D 在优弧︵AC 上移动到一个特殊位置，即弦AD （或AC ）经过圆心，不妨让弦AD 经过圆心，即AD 为⊙O 的直径，如图1；AD 为直径时：（1）由于PA 为切线，所以∠A ＝90°；（2）AD 所对圆周角为直角，连接AC ，∠C ＝∠1＋∠2＝90°＋∠2，如图2；∠2等于︵AB 所对圆心角的一半，所以连接OB ，∠2＝12 ∠3，∠4＝90°，如图3； ∠3放在四边形OAPB 中即可求得为39°. ∴“∠A ＋∠C ”＝90°＋90°＋39°＝219°.如果是一般的图形，只要作直径AE 连接EC ，如图4.由于∠1＝∠2，所以∠DAP ＋∠DCB ＝∠EAP ＋∠ECP ，也就转化为图1了.图1 图2 图3 图4【解答】以下给出的是一般情况下的求解过程，在考试时，可选择用特殊情况下的图形来求解，其结果是不变的.如图，作直径AE ，连接EC 、AC 、OB ．∵∠1＝∠2.∴∠DAP ＋∠DCB ＝∠EAP ＋∠ECP. ∵PA 、PB 为切线. ∴∠OAP ＝∠5＝90°.∴∠4＝360°－∠OAP －∠5－∠P. ∵∠P ＝102°. ∴∠4＝78°. ∴∠3＝12 ∠4＝39°. ∵AE 为直径. ∴∠ECA ＝90°.∴∠EAP ＋∠ECP ＝∠EAP ＋∠ECA ＋∠3.＝90°＋90°＋39°. ＝219°.即：∠DAP ＋∠DCB ＝219°.15．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分∠ACB.若AD ＝2，BD ＝3，则AC 的长为_____________.【答案】10 ．【考点】线段垂直平分线性质及基本图形，如图1，角平分线性质及基本图形如图2、图3，图形的相似等图1中：DB＝DC，两个Rt△全等；图2中：作DG⊥AC，则DE＝DG，△DCE≌△DCG等；图3中：作DF∥AC，则∠1＝∠2＝∠3，DF＝FC，△BDF∽△BAC等；综合图1~3，除了上述结论外，还可应用勾股定理等.【分析】与已知条件中长度联系最紧的是相似，依此逐步推理：如图4，DF∥AC→△BDF∽△BAC→DFAC＝BDBA＝35，设DF＝3k，AC＝5k，则FC＝DF＝3k.；DF∥AC→△BDF∽△BAC→BFBC＝BDBA→BFFC＝BDDA＝32→BF＝92k，则BC＝152k，BE＝EC＝154k，EF＝34k；根据勾股定理：BD²－BE²＝DF²－EF²＝DE²即可求出k的值.据上分析，本题不需要应用图2的结论.【解答】如图，作DF∥AC交BC于点F，设MN交BC于点E.则：∠2＝∠3.∵DC平分∠ACB.∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴DF＝FC.∵DF∥AC.∴△BDF∽△BAC.DF AC＝BDBA＝BFBC.∵AD＝2，BD＝3∴DFAC＝BFBC＝35，设DF＝3k.则AC＝5k，FC＝DF＝3k.∵BFBC＝35.∴BFFC＝32.∴BF ＝92 k. 则BC ＝152 k. ∵E 为BC 中点. ∴BE ＝EC ＝154 k. EF ＝EC －FC ＝34 k. 在Rt △ADE 与Rt △DFE 中. BD ²－BE ²＝DF ²－EF ²＝DE ².∴3²－（154 k ）²＝（3k ）²－（34 k ）². 解得：k ＝105 （负值舍去）. ∴AC ＝5k ＝10 .16．在△ABC 中，AB ＝4，∠C ＝60°，∠A ＞∠B ，则BC 的长的取值范围是____________________. 【答案】4＜BC ≤8 33 ．【考点】线段的运动与变化，三角函数，斜边大于直角边等．【分析】■可利用含60°的三角板直观演示点A 运动过程中线段AB 、BC 的变化规律，注意AB 在运动过程中的特殊位置，即△ABC 为直角三角形、等腰三角形等．图1 图2 图3 图4 图5图1：起始图，点A 与点C 重合，初步演示观察，不难发现：点A 沿三角板斜边所在的射线向左上方的运动过程中，∠A 逐渐减小，∠B 逐渐增大，BC 长线增大，然后又逐渐减小；图2：点A 沿三角板斜边所在的射线运动，此时∠A 为钝角，此过程中∠A ＞∠B ，BC 逐渐增大； 图3：点A 运动到第一个特殊位置，∠A ＝90°，此过程中∠A ＞∠B ，BC 达到最大，应用三角函数可求得其最大值为8 33 ；图4：点A 运动到第二个特殊位置，∠A ＝60°，此过程中∠A ＞∠B ，BC 逐渐减小，当∠A ＝60°时，∠B ＝60°；可见BC ＞4图5：点A 继续运动，则∠BAC ＜60°，∠B ＞60°，此过程中，∠A ＜∠B ，不满足题意.■也可从特殊的三角形开始分析，即∠A ＝∠B ，此时△ABC 为等边三角形，如图6；此时，若点A 沿射线CA 方向运动，则∠A ＜60°（如图7），故点A 只能沿射线AC 方向运动，其运动过程中的特殊位置为∠A ＝90°（如图9）；满足条件的一般图形分两类：60°＜∠A ＜90°，90°＜∠A ＜180°，即∠A 分别为锐角或钝角（如图9、10）.图6 图7 图8 图9 图10 【解答】（1）当∠A ＝60°时.△ABC 为等边三角形，BC ＝AB ＝4. （2）当∠A ＝90°时.△ABC 为Rt △，BC ＝AB sinC ＝8 33 . （3）当60°＜∠A ＜90°.作BD ⊥AC 于D. BD ＝BC ·sinC. 在Rt △ABD 中. BD ＜AB. ∴BC ·sinC ＜AB. BC ·sin60°＜4. 即：BC ＜8 33 .（4）当90°＜∠A ＜180°.作BD ⊥AC 交CA 延长线于D.同（3）解法：BC ＜8 33 . 综上：4＜BC ≤8 33 .三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）． 【考点】多项式乘以多项式，合并同类项．【分析】直接应用多项式乘以多项式法则，注意不要漏乘． 【解答】原式＝x 3－x 2y ＋xy 2＋x 2y －xy 2＋y 3．＝x 3＋y 3.【考点】多项式乘以多项式，合并同类项．【分析】直接应用多项式乘以多项式法则，注意不要漏乘． 【解答】18．（7分）解方程x x －1 －1＝3x 2－1 .【考点】分式方程的解法．【分析】根据解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等即可得解 ．注意点主要有：去分母时不要漏乘，去分母后分子如是多项式需要添加括号．本题将x 2－1分解因式，确定最简公分母后，去分母即可转化为整式方程． 【解答】原方程可转化为：x x －1 －1＝3（x ＋1）（x －1）. 方程两边乘（x ＋1）（x －1），得：x （x ＋1）－（x ＋1）（x －1）＝3. 整理，得：x ＋1＝3. 解得：x ＝2.检验：当x ＝2时，（x ＋1）（x －1）≠0. ∴原分式方程的解为：x ＝2.19．（7分）如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，DE ∥BC ，CE ∥AB ，AC 与DE 相交于点F. 求证：△ADF ≌CEF.【考点】中点的定义；三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS，HL；平行四边形的判定：两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等，对角线互相平分．【分析】对照已知条件，观察图形不难发现四边形DBCE是平行四边形，根据D为AB中点，即可得到AD ＝BD＝CE，欲证的两个三角形由平行可得两组内角（均为内错角）相等．【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB.∴四边形DBCE是平行四边形.∴BD＝CE.∵D是AB中点.∴AD＝BD.∴AD＝CE.∵CE∥AB.∴∠A＝∠1，∠2＝∠E.∴△ADF≌CEF.20．（8分）下图是某市连续5天的天气情况（1）利用方差判断该市这五天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论.【考点】从图中获取信息，方差的意义与计算，数据与客观世界之间的联系，分析与综合的能力．【分析】问题（1）利用方差计算公式直接计算，方差越大，波动越大；方差计算分两步，先求平均数，再计算方差：－x ＝1 n （x 1＋x 2＋…x n ）.s 2＝1 n 〔（x 1－－x ）2＋（x 2－－x ）2＋…（x n －－x ）2〕.问题（2）数据与客观世界之间的联系，可以从不同的角度来分析：天气现象与最高气温、天气现象与最低气温，天气现象与温差、天气现象与空气质量等. 【解答】这五天的日最高气温和日最低气温的平均数分别为： （1）－x 高＝1 5 （23＋25＋23＋25＋24）＝24 －x 低＝1 5 （21＋22＋15＋15＋17）＝18. 方差分别为：s 2高＝15 〔（23－24）2＋（25－24）2＋（23－24）2＋（25－24）2＋（24－24）2〕＝0.8.s 2低＝1 5 〔（21－18）2＋（22－18）2＋（15－18）2＋（15－18）2＋（17－18）2〕＝8.8.∵s 2高＜ s 2低.∴这五天的日最低气温波动较大.（2）本题答案不唯一，下列解法供参考.如:①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是2℃、3℃、8℃、10℃、7℃，可以看出雨天的日温差较小；②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了；③27日、28日、29日天气现象依次是晴、晴、多云，最低气温分别为15℃、15℃、17℃，说明晴天的最低气温较低.21．（8分）某校计划在暑期第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动. （1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天．．．．．，其中有一天是星期二的概率是_________. 【考点】概率的计算方法，枚举法、树状图、列表法在求概率中的应用．【分析】选用适当分析工具（枚举法、列表法、树状图）确定所有等可能的结果与符合条件的结果是解决此类问题的常用方法．选择不同的分析工具，解答过程会有差异， 繁简程度也有区别.【解答】（1）枚举法：甲同学随机选择两天，所有可能出现的结果共有6中，即：（星期一，星期二）、（星期一，星期三）、（星期一，星期四）、（星期二、星期三）、（星期二、星期四）、（星期三、星期四）.这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有3种，即（星期一，星期二）、（星期二、星期三）、（星期二、星期四）.∴P （A ）＝36 ＝12 . 列表法：所有可能出现的结果共有12中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有6种.∴P （A ）＝612 ＝12 . 树状图：所有可能出现的结果共有12中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有6种.∴P （A ）＝612 ＝12 .（2）枚举法：乙同学随机选择连续的两天，所有可能出现的结果共有3中，即：（星期一，星期二）、（星期二、星期三）、（星期三、星期四）.这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有2种，即（星期一，星期二）、（星期二、星期三）.∴P （A ）＝23 . 列表法：所有可能出现的结果共有6中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有4种.∴P （A ）＝46 ＝23 . 树状图：所有可能出现的结果共有6中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有4种.∴P （A ）＝46 ＝23 .22．（7分）如图，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ，且AB ＝CD 求证：PA ＝PC.【考点】弦、弧之间的关系，圆周角与弧之间的关系，垂径定理，三角形全等等．【分析】本题条件比较简单，需要结合圆的有关知识进行一般推理：弦等可以得出弧等、圆周角相等，弦可以联想垂径定理，构造垂径定理的基本图形，可进一步得到全等三角形.据此分析，由弦等连接AC，只要证∠A＝∠C；若构造垂径定理的基本图形，可用全等来证．【解答】方法一：如图，连接AC.∵AB＝CD.∴︵AB ＝︵CD .∴︵AB ＋︵BD ＝︵CD ＋︵BD .即︵AD ＝︵BC .∴∠A＝∠C.∴PA＝PC.方法二：如图，连接AD、BC.∵AB ＝CD. ∴︵AB ＝︵CD .∴︵AB ＋︵BD ＝︵CD ＋︵BD . 即︵AD ＝︵BC . ∴AD ＝BC. ∵∠1＝∠2. ∴∠3＝∠4. 又∵∠A ＝∠C. ∴△PAD ≌△PCB. ∴PA ＝PC. 方法三：如图，连接OA 、OC 、OP ，作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F.∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD. ∴AE ＝12 AB ，CF ＝12 CD. ∵AB ＝CD. ∴AE ＝CF. ∵OA ＝OC.∴Rt △AOE ≌Rt △COF ∴OE ＝OF. 又∵OP ＝OP.∴Rt △POE ≌Rt △POF. ∴PE ＝PF.∴PE ＋AE ＝PF ＋CF 即：PA ＝PC.23．（8分）已知一次函数y1＝kx＋2（k为常数，k≠0）和y2＝x－3.（1）当k＝－2时，若y1＞y2，求x的取值范围.（2）当x＜1时，y1＞y2.结合图像，直接写出k的取值范围.【考点】一次函数的图像和性质，三个“一次”的关系，一次函数图像与k、b值之间的关系等.【分析】问题（1）可用代入法并建立不等式解答，也可利用函数图像解答.问题（2）关键积累并熟悉函数图像随着k值的变化，y＝kx（k≠0）、y＝kx＋b（k≠0）函数图像变化规律，即“操作实践经验”：实数范围内，当k＞0时，在k值逐渐增大过程中，y＝kx（k≠0）位于第一象限的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向y轴无限接近，简单的看成其图像绕原点作逆时针旋转；k＜0时，在k值逐渐增大过程中，y＝kx（k≠0）位于第二象限的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向x轴无限接近，简单的看成绕原点作逆时针旋转，如图1.图1 图2y＝kx＋b（k≠0）的图像即把y＝kx（k≠0）的图像平移|b|单位后所得，在k值逐渐增大过程中，其图像的变化与y＝kx（k≠0）的图像类似：当k＞0时，在k值逐渐增大过程中，y＝kx＋b（k≠0）位于x轴上方的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向y轴无限接近，简单的看成其图像绕点（0，b）作逆时针旋转；k＜0时，在k值逐渐增大过程中，y＝kx＋b（k≠0）位于x轴上方的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向过点（0，b）且平行于x轴的直线无限接近，简单的看成绕点（0，b）作逆时针旋转，如图2.两个图像不重合的一次函数y1＝k1x＋b1（k1≠0）与y2＝k2x＋b2（k2≠0）且b1≠b2的位置关系：当k1≠k2时，y1与y2相交，当y1＝y2时，y1与y2平行，如图3.图3本题首先求出x ＝1时，两函数图像的交点坐标为A （1，－2），此点是分析问题的关键点，同时过点（1，0）作垂直于x 轴的直线l ；y 1 的b ＝2，可知y 1 过点（0，2），设为点B ，此时y 1即为直线AB ，可以求出此时k ＝－4，发现当x ＜1时，即在直线l 的左侧y 1＞y 2，故k ＝－4是符合题意的解，如图4；只要点A 沿着y 1的图像向右上方移动，即y 1绕点B 逆时针旋转，所得到的k 值均符合题意，如图5、图6；随着k 的增大，A 沿着y 1的图像向右上方移动，当k ＝1时，y 1的图像∥y 2的图像，符合题意，如图7； 当k ＞1时， y 1与y 2图像交点在第四象限，如图8，此时图像上存在y 1＜y 2的点，即当x ＜x A ′时，y 1＜y 2，故不符合题意.图4（k ＝－4） 图5（k ＝－1） 图6（k ＝14 ） 图7（k ＝1）图8（k ＝3）注意，已知条件中k ≠0.综上分析，k 的取值范围为：－4≤k ≤1，且k ≠0. 【解答】－4≤k ≤1，且k ≠0.24．（8分）如图，山顶有一塔AB ，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF.从与点E 相距80m 的C 处测得A 、B 的仰角分别为27°、22°，从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°.求隧道EF 的长度.（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）【考点】三角函数的应用．【分析】三角函数的应用通常需要构造直角三角形，解法有两种，其一为直接计算，其二为不能直接计算时需要建立方程（组）进行解答，方程模型通常有：线段的和差、三角函数式、勾股方程等．本题可以通过延长AB 交CD 于点G ，则AG ⊥AD 来构造直角三角形，如图1.图1已知条件中CE ＝80，DF ＝50，只要求出CD 长，即可求出EF 长.从而构造出三个直角三角形中，公共边AG 是连接三个三角形之间的桥梁，不难发现DG ＝AG ，Rt △ACG 、Rt △BCG 的公共边CG 是联系两个直角三角形的桥梁，方程可以由：AG －BG ＝AB （33m ）建立，只要选择一个线段长为未知数（x ），把AG 、BG 分别用x 的代数式表示出来即可求解，显然，选择CG 为未知数最为合适．【解答】如图，延长AB 交CD 于点G ，则AG ⊥AD ，设CG ＝x ．在Rt △ACG 中，∠ACG ＝27° ∵kan ∠ACG ＝AG CG ．∴AG ＝CG ·tan ∠ACG ＝x ·tan27°． 在Rt △BCG 中，∠BCG ＝22°∵kan ∠BCG ＝BGCG ．∴BG ＝CG ·tan ∠ACG ＝x ·tan22°． ∵AB ＝AG －BG.x ·tan27°－x ·tan22°＝33. 解得：x ≈300. ∴CG ≈300.∴AG ＝x ·tan27°≈153． 在Rt △ADG 中，∠ADG ＝45° ∵kan ∠ADG ＝AGDG ． ∴AD ＝AG ＝153． ∴EF ＝CD －CE －DF.＝CG ＋DG －CE －DF. ＝300＋153－80－50． ＝323.∴隧道EF 的长度约为323m ．25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m ，宽40m.要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖.铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】根据题意描述的相等关系，选择适当的设未知数的方法进行解答即可.本题描述的数量关系有：扩充后：矩形广场长∶宽的比＝3∶2；扩建费用＋铺地砖的费用＝642 000．【解答】设扩充后广场的长为3xm ，宽为2xm.根据题意，得：30（3x ·2x －50×40）＋3x ·2x ·100＝642 000. 解得：x 1＝30，x 2＝－30（不合题意，舍去）. ∴3x ＝90，2x ＝60.答：扩充后广场的长和宽应分别为90m 和60m.26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形.（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.【考点】菱形的判定，直线与圆的位置关系，相似三角形，实践与操作经验等．【分析】问题（1）由已知可得DG∥EF，DG＝DE＝EF，易证四边形DEFG是菱形；问题（2）随着点D的位置变化，DG的长度也在变化，作法的第2步，弧与直线AB和线段AB交点的个数也发生变化，弧与直线AB和线段AB交点的个数由弧的半径（DE长）与点D到直线AB的距离（表示为DM）大小关系来决定，不妨看作点D从点C开始沿CA方向移动，随着CD的增大，DE长度逐渐增大，D到直线AB的距离（DM长）逐渐减小：当DM＞DG时，弧与AB没有交点，不能作出菱形，如图1；当DM＝DG时，弧与AB相切，只有1个公共点M，即点E，可作出1个菱形DEFG，如图2；当DM＜DG时，分为以下几种情况：1）弧与线段AB有2个交点，点E1、E2，可作出2个菱形DE1F1G和DE2F2G，如图3；2）弧与线段AB有2个交点，点E1、E2，其中点E1与点A重合，可作出2个菱形DE1F1G和DE2F2G，此时DG＝DA，如图4；3）弧与直线AB有2个交点，与线段AB只有1个交点，点E1、E2，其中点E1在直线AB上，不在线段AB上（即在点A的左侧），可作出1个菱形DE2F2G，如图5；4）弧与直线AB有2个交点，与线段AB只有1个交点，点E1、E2，其中点E1在直线AB上，不在线段AB上（即在点A的左侧），DE2与BC平行，即点F2与点B重合，可作出1个菱形DE2F2G，如图6；5）弧与直线AB有2个交点，与线段AB没有交点，不能作出菱形，如图7.图1 图2 图3图4 图5 图6图7只要求出图2、图4、图6中线段CD的长即可，根据△CDG∽△CAB及相似三角形的有关性质即可求得对应的CD长.【解答】（1）证明：∵DG＝DE，DE＝EF.∴DG＝EF.∵DG∥EF.所有四边形DEFG是平行四边形.又∵DE＝EF.∴□DEFG是菱形.（2）参考解法：图2中：设DG＝x.DG＝DM，四边形DMFG为特殊菱形，即正方形.作CH⊥AB于H，交DG于点N.则：DG＝DE＝NH＝x.由DG∥AB可得：△CDG∽△CAB.AC＝3，BC＝4，根据勾股定理：AB＝5AB·CH＝AC·BC＝2S△ABC，求得：CH＝12 5.由△CDG ∽△CAB 得： DG AB ＝CN CH →DG AB ＝CH －NH CH →x 5 ＝125 －x 125 →x ＝6037 →DG ＝6037 .由△CDG ∽△CAB 得：CD CA ＝DG AB →CD 3 ＝60375 →CD ＝3637 . 图4中：AD ＝DG.由△CDG ∽△CAB 得：DG AB ＝CD CA →DG CD ＝AB CA ＝53 . 【注：也可用cos ∠CDG ＝cos ∠CAB →CD DG ＝CA AB ＝35 】 设DG ＝5y ，CD ＝3y. 则AD ＝DG ＝5y.由CD ＋AD ＝AC →3y ＋5y ＝3→y ＝38 →CD ＝3y ＝98 . 图6中：DG ＝BG.与图4的解法一样：DG CG ＝AB BC ＝54 . 设DG ＝5n ，CG ＝4n. 则BG ＝DG ＝5n.由CG ＋BG ＝BC →5n ＋4n ＝4→n ＝49 →CG ＝169 ，DG ＝209 . 由DG CD ＝AB CA ＝53 →CD ＝43∴当0≤CD ＜3637 或43 ＜CD ≤3时，菱形的个数为0； 当CD ＝3637 或98 ＜CD ≤43 时，菱形的个数为1； 当3637 ＜CD ≤98 时，菱形的个数为2.27．（11分）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1－x2|＋|y1－y2|.【数学理解】（1）①已知点A（－2，1），则d（O，A）＝__________；②函数y＝－2x＋4（0≤x≤2）的图像如图①所示，B是图像上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是___________________.①②③（2）函数y＝4x（x＞0）的图像如图②所示.求证：该函数的图像上不存在点C，使d（O，C）＝3.（3）函数y＝x2－5x＋7（x≥0）的图像如图③所示，D是图像上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D 的坐标.【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【考点】．新概念的理解与应用，含绝对值的代数式的化简，分式方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，二次函数最值的解法，【分析】．问题（1）①根据新概念直接代入计算即可.②根据函数表达式，设B（x，－2x＋4），根据新概念，。
中考数学总复习《数与式》专题测试卷及答案
中考数学总复习《数与式》专题测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(时间：40分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共40分) 1.实数－12 025 的相反数是（ ）A.2 025B.－2 025C.－12 025D.12 0252.月球表面的白天平均温度零上126 ℃记作＋126 ℃，夜间平均温度零下150 ℃应记作（ ）A.＋150 ℃B.－150 ℃C.＋276 ℃D.－276 ℃ 3.下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 4 B ．－13 C ．0 D ．－34.下列运算中正确的是（ ）A.a 10÷a 2＝a 5B.a 2＋a 2＝a 4C.(a ＋b)2＝a 2＋b 2D.(a 2)3＝a 6 5.一个运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（ ）A.1x －3 B.x ＋3x －3C.2D.1 6.“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3 010 000 000人一年的口粮，用科学记数法表示3 010 000 000为（ ）A.30.1×108B.3.01×109C.3.01×108D.301×1077.如图，数轴上有A ，B 两点，表示的数分别为－3，2，则下列各数在数轴上对应的点落在线段AB 上的是（ ）A.－4B.－1.3C. 5D.38.如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A.12 6B.12 3C.12 2D.1869.有一组单项式依次为a，－2a2，3a3，－4a4，5a5，…，根据它们的规律，第100个单项式为（）A.－100a100B.100a100C.－10a100D.10a10010.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数.如图①，孩子出生后的天数是4×71＋2×70＝30(天)，那么图②所表示孩子出生后的天数是（）A.1 234B.466C.396D.284二、填空题(每小题3分，共15分)11.分解因式：2a3－8a2b＋8ab＝.12.把0.002 58写成a×10n(1≤a＜10，n为整数)的形式，则a＋n的值为. 13．根据如图所示的数值转换器，当输入的x，y满足(x－2)2＋|y+12|＝0时，输出的结果为.14.实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a－2|＋a2－8a＋16＝.15.如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为S1，S2，两个小正方形，面积分别为S3，S4，若2S1－S2的值与AB的长度无关，则S3与S4之间的关系是.三、解答题(共45分)16.(8分)计算：36÷2＋(5＋3)(5－3)．17.(9分)先化简，再求值：(x＋2y)2－(x＋3)(x－3)－4y2，其中x＝2，y＝－1.18.(9分)先化简，再求值：a 2－6a ＋9a －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2＋52－a ，其中a 是使不等式a －12≤1成立的正整数.19.(9分)一个正数x 的两个不同的平方根分别是2a －1和－a ＋2. (1)求a 和x 的值；(2)若2a ＋b ＋2的立方根是2，求3b －a 的算术平方根.20.(10分)【观察思考】如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；……依此规律，请解答下面的问题： 【规律发现】(1)第5个图案有正方形 个； (2)第n 个图案有正方形 个； 【规律应用】(3)结合图案中正方形的排列方式，现有4 052 个正方形，若干个三角形(足够多).依此规律，是否可以组成第n 个图案(正方形一次性用完)，若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题(每小题4分，共40分) 1.实数－12 025 的相反数是（D ）A.2 025B.－2 025C.－12 025D.12 0252.月球表面的白天平均温度零上126 ℃记作＋126 ℃，夜间平均温度零下150 ℃应记作（B ）A.＋150 ℃B.－150 ℃C.＋276 ℃D.－276 ℃ 3.下列四个数中，绝对值最大的是（D ） A. 4 B ．－13 C ．0 D ．－34.下列运算中正确的是（D ）A.a 10÷a 2＝a 5B.a 2＋a 2＝a 4C.(a ＋b)2＝a 2＋b 2D.(a 2)3＝a 6 5.一个运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（D ）A.1x －3 B.x ＋3x －3C.2D.1 6.“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3 010 000 000人一年的口粮，用科学记数法表示3 010000 000为（B）A.30.1×108B.3.01×109C.3.01×108D.301×1077.如图，数轴上有A，B两点，表示的数分别为－3，2，则下列各数在数轴上对应的点落在线段AB上的是（B）A.－4B.－1.3C. 5D.38.如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（A）A.12 6B.12 3C.12 2D.1869.有一组单项式依次为a，－2a2，3a3，－4a4，5a5，…，根据它们的规律，第100个单项式为（C）A.－100a100B.100a100C.－10a100D.10a10010.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数.如图①，孩子出生后的天数是4×71＋2×70＝30(天)，那么图②所表示孩子出生后的天数是（B）A.1 234B.466C.396D.284二、填空题(每小题3分，共15分)11.分解因式：2a3－8a2b＋8ab＝2a(a2－4ab＋4b).12.把0.002 58写成a×10n(1≤a＜10，n为整数)的形式，则a＋n的值为－0.42. 13．根据如图所示的数值转换器，当输入的x，y满足(x－2)2＋|y+12|＝0时，输出的结果为12.14.实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a－2|＋a2－8a＋16＝2.15.如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为S1，S2，两个小正方形，面积分别为S3，S4，若2S1－S2的值与AB的长度无关，则S3与S4之间的关系是S4＝4S3.三、解答题(共45分)16.(8分)计算：36÷2＋(5＋3)(5－3)．解：原式＝36÷2＋(5)2－(3)2＝33＋5－3＝33＋2.17.(9分)先化简，再求值：(x ＋2y)2－(x ＋3)(x －3)－4y 2，其中x ＝2，y ＝－1. 解：原式＝x 2＋4xy ＋4y 2－x 2＋9－4y 2 ＝4xy ＋9当x ＝2，y ＝－1时原式＝4×2×(－1)＋9＝－8＋9＝1.18.(9分)先化简，再求值：a 2－6a ＋9a －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2＋52－a ，其中a 是使不等式a －12≤1成立的正整数.解：原式＝（a －3）2a －2÷4－a 2＋52－a＝（a －3）2a －2·a －2（a －3）（a ＋3）＝a －3a ＋3∵a －12≤1，解得a ≤3∵a 是正整数，且a －2≠0，a －3≠0 ∴a ＝1，∴原式＝1－31＋3＝－12.19.(9分)一个正数x 的两个不同的平方根分别是2a －1和－a ＋2.(1)求a和x的值；(2)若2a＋b＋2的立方根是2，求3b－a的算术平方根.解：(1)由题意得2a－1－a＋2＝0解得a＝－1，∴2a－1＝－3，－a＋2＝3∴x＝(±3)2＝9.(2)由题意得2a＋b＋2＝8∵a＝－1，∴－2＋b＋2＝8∴b＝8，∴3b－a＝25∴3b－a的算术平方根是5.20.(10分)【观察思考】如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；……依此规律，请解答下面的问题：【规律发现】(1)第5个图案有正方形12个；(2)第n个图案有正方形(2n＋2)个；【规律应用】(3)结合图案中正方形的排列方式，现有4 052 个正方形，若干个三角形(足够多).依此规律，是否可以组成第n个图案(正方形一次性用完)，若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由.解：(3)存在.令2n＋2＝4 052，解得n＝2 025.∴可以组成第n个图案，n的值为2 025.。
2024年全国中考数学试题分类汇编——数与式之计算题(文字版,含答案)
4.
5.【答案】 ，
6.【答案】－1
7.【答案】从第②步开始出现错误，正确过程如下：
解： ①
10.【详解】解：
，
当 时，原式 ．
11.解：
；
12.解：
．
13.
14.
．
15. 16.
17. 18.
19.
20.
第三组数与式计算题 专题分类汇编
1.（内蒙古赤峰市卷）计算： ；
2.（内蒙古赤峰市卷）已知 ，求代数式 的值．
3.（吉林省长春市卷）先化简，再求值： ，其中 ．
4.（吉林省卷）先化简，再求值： ，其中 ．
5.（江苏省常州市卷）先化简，再求值： ，其中 ．
6.（江苏省连云港市卷）17.计算 ．
7.（江苏省连云港市卷）19.下面是某同学计算 解题过程：
解： ①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
解： …①
…②
…③
…④
…⑤
当 时，原式 ．
（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
17.（黑龙江省齐齐哈尔市卷）计算：
18.（黑龙江省齐齐哈尔市卷）分解因式：
19.（湖北省卷）计算：
20.（湖南省长沙市卷）计算： ．
第一组 中考 数与式计算题 试题汇编答案
【一】
1.【详解】解：原式
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
2.【详解】解：原式 ．
3.
6.解：原式＝|﹣2|﹣3+1
＝2﹣3+1
＝2+1﹣3
6.（四川省广安市卷）计算： ．
中考数学 新定义题型专题01 数与式中的新定义问题(老师版)
专题01 数与式中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。
这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。
（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。
二、精选考题1．定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有13a b a b =-⊗，则12x x -⊗⊗的值为 1 ． 【解答】解：13a b a b =-⊗， 12131(132)x x x x ∴-=---⊗⊗131132x x =--+1=．故答案为：1．2．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕(1)b a b b =+-，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕23(21)2927=⨯+-=-=． （1）2⊕(3)-= 1- ．（2）若2-⊕x 等于5-，则x = ． 【解答】解：（1）原式2(31)(3)=⨯-+-- 2(2)3=⨯-+ 43=-+1=-．故答案为：1-．（2）由题意可知：2(1)5x x -+-=-， 225x x ∴---=-， 33x ∴-=-， 1x ∴=，故答案为：1．3．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =+⊗．例如3523511=⨯+=⊗；4(3)24(3)5-=⨯+-=⊗．若()2x y -=⊗，且21y x =-⊗，则20202020x y +=20203． 【解答】解：()2x y -=⊗，2()2x y ∴+-=①． 21y x =-⊗，41y x ∴+=-②．①+②得：331x y +=． 13x y ∴+=． 2020202020202020()3x y x y ∴+=+=． 故答案为：20203． 4．对于非零的两个实数m ，n ，定义一种新运算“&”，规定2&m n m n =-，若2&(3)7-=，则(3)&(2)--的值为 11 ． 【解答】解：(3)&(2)--2(3)(2)=--- 92=+11=，故答案为：11．5．有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a ，b ，都有a ☆221b b a =++．例如7☆24427131=+⨯+=．（1）已知m -☆3的结果是4-，则m = 7 ．（2）将两个实数2n 和2n -用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题意可得：m -☆233214m =-+=-， 解得：7m =； 故答案为：7；（2）根据题意可得：2n ☆(2)9n -=， 即2(2)419n n -++=， 解得：2n =或2-，(2)n -☆2242(2)19n n n =+-+=，解得：2n =-或32， 则2n =-或32或2． 6．规定：符号[]x 叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]5=，[2.6]2=，[0.2]0=．现在有一列非负数1a ，2a ，3a ，⋯，已知110a =，当2n 时，11215([][])55n n n n a a ---=+--，则2022a 的值为 11 ． 【解答】解：110a =， 21115([]0)115a a ∴=+--=，322115([][])1255a a =+--=，433215([][])1355a a =+--=，544315([][])1455a a =+--=，65415([1][])105a a =+--=，⋯1a ∴，2a ，3a ，⋯，每5个结果循环一次，202254042÷=⋯，2022211a a ∴==，故答案为：11．7．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a ，b 都有a ☆2b b a =+．例如7☆244723=+=．（1）已知m ☆2的结果是6，则m 的值是多少？（2）将两个实数n 和2n +用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m ☆246m =+=， 解得：2m =；（2）根据题意得：n ☆(2)4n +=，即2(2)4n n ++=， 解得：0n =或5n =-； (2)n +☆224n n n =++=，解得：2n =-或1n =， 则0n =或5-或2-或1．8．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x ⊕1y =，x ⊕22y =-，分别求出x 和y 的值； （2）若x 满足x ⊕20，且3x ⊕(8)0->，求x 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得4314322x y x y -=⎧⎨-⨯=-⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩；（2）根据题意得4320433(8)0x x -⨯⎧⎨⨯-⨯->⎩，解得322x-<． 故x 的取值范围是322x-<． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※23n m n mn n =--，如：1※221212326=⨯-⨯-⨯=-．则(2)-( )A ．B ．-C ．D ．【解答】解：原式2(2)(2)=--==故选：A ．10．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(3)(53)(35)(13)82i i i i -++=++-+=+；2(1)(3)1333(13)142i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+． 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：3i = i - ，4i = ； （2）计算：(2)(34)i i +⨯-； （3）计算：2342022i i i i i ++++⋯+．【解答】解：（1）321i i i i i =⋅=-⋅=-，4221(1)1i i i =⋅=-⋅-=， 故答案为：i -，1； （2）(2)(34)i i +⨯-； 6834i i =-++105i =-；（3）2342022i i i i i ++++⋯+ 111i i i =--++⋯+-1i =-．11．阅读理解：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a bi a +，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：2(1)(23)13234i i i i i i +⨯-=-+-=-． （1）填空：3i = i - ，4i = ； （2）(7)(7)i i +-； （3）计算：2(2)i +；（4化简成a bi +的形式． 【解答】解：（1）21i =-，32(1)i i i i i ∴=⋅=-⋅=-， 4222()(1)1i i ==-=， 3i i ∴=-，41i =，故答案为：i -，1； （2）(7)(7)i i +- 249i =- 49(1)=-- 50=；（3）2(2)i + 244i i =++ 34i =+；（4=====∴= 12．先阅读下列材料，再解答后面的问题：材料：一般地，若(0n a b a =>且1a ≠，0)b >，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log )a b n =．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814)=．问题：（1）计算：2log 16= 4 ，2331(log 9)813log += ．（2）5log 5、5log 25、5log 125之间满足怎样的关系式，请说明理由． （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log log a a M N += (0a >，且1a ≠，0M >，0)N >．根据幂的运算法则：n m n m a a a +⋅=以及对数的含义证明上述结论． 【解答】解：（1）4216=， 2log 164∴=，239=，4381=， 3log 92∴=，8143log =，2331(log 9)813log ∴+21243=+⨯443=+ 163=， 故答案为：4；163； （2）555log 5log 25log 125+=，理由如下： 根据题意，5log 51=，5log 252=，5log 1253=， 555log 5log 25log 125∴+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=，证明如下：设1log a M b =，2log a N b = 则1b a M =，2b a N =，∴1212b b b b MN a a a +=⋅=，又n m n m a a a +⋅=，∴1212b b b b a a a +⋅=，即log log log ()a a a M N MN +=， 故答案为：log ()a MN ．13．定义：如果4(0,1)a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．例如：因为2749=，所以7log 492=；因为3125s =，所以log 1253S =．则下列说法中正确的有()个．①6log 636=；②3log 814=；③若4log (14)4a +=，则50a =；④222log 128log 16log 8=+； A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：166=， 6log 61∴=，故①不符合题意；4381=，3log 814∴=，故②符合题意；44256=， 14256a ∴+=，242a ∴=，故③不符合题意；72128=， 2log 1287∴=，4216=， 2log 164∴=，328=， 2log 83∴=，743=+，222log 128log 16log 8∴=+，故④符合题意；综上所述，符合题意的有2个， 故选：C ．14．对a ，b ，c ，d 定义一种新运算：a c ad bcb d =-，如232413514=⨯-⨯=，计算2x yx x y=+ 22x xy + ．【解答】解：原式2()x x y xy =+-222x xy xy =+- 22x xy =+，故答案为：22x xy +．15．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号a b c d 的意义是：a bad bc c d=-．例如：14232=⨯-⨯=-．按照这个规定，解决下列问题： （1）请你计算3574-的值． （2）求当3x =，1y =-时，2222332x xy yx xy y+--+的值．（3）如果2157353x x -=--，求x 的值．【解答】解：（1）原式345(7)=⨯-⨯- 1235=+47=；（2）原式222(32)3(2)x xy y x xy y =-+-+-22642633x xy y x xy y =-+--+ 75xy y =-+；当3x =，1y =-时， 原式73(1)5(1)=-⨯⨯-+⨯- 216=-16=；（3）(3)(21)5(35)7x x ----=， 6315257x x -+-+=， 6257153x x -+=+-， 1919x =， 1x =．16．材料1：对于一个四位自然数M ，如果M 满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M 为“满天星数”．对于一个“满天星数” M ，同时将M 的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N ，规定：()9M NF M -=． 例如：2378M =，因为321-=，871-=，所以2378是“满天星数”；将M 的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到2783N =，23782783(2378)459F -==-．材料2：对于任意四位自然数100010010(abcd a b c d a =+++、b 、c 、d 是整数且19a ，0b ，c ，9)d ，规定：()G abcd c d a b =⋅-⋅．根据以上材料，解决下列问题：（1）请判断2467、3489是不是“满天星数”，请说明理由；如果是，请求出对应的()F M 的值；（2）已知P 、Q 是“满天星数”，其中P 的千位数字为(m m 是整数且17)m ，个位数字为7；Q 的百位数字为5，十位数字为(s s 是整数且28)s ．若()()G P G Q +能被11整除且s m >，求()F P 的值．【解答】解：（1）2467不是“满天星数”，3489是“满天星数”，理由如下： 2467的百位数字为4，千位数字为2，4221∴-=≠，2467∴不是“满天星数”．3489的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为8，个位数字为9，431∴-=，981-=，3489M ∴=是“满天星数”， 3894N ∴=，34893894(3489)459F -∴==-． （2）由题意可得：(1)67P m m =+，45(1)Q s s =+，则1000100(1)6071100167P m m m =++++=+，4000500101450111Q s s s =++++=+． 2()67(1)42G P m m m m ∴=⨯-+=--，2()(1)2020G Q s s s s =+-=+-，2222()()422022G P G Q m m s s s s m m ∴+=--++-=+--+．()()G P G Q +能被11整除且s m >，∴只要22()()()(1)s s m m s m s m s m s m s m +--=+-+-=-++能被11整除．28s ，17m ，s 、m 均为整数，s m >，4116s m ∴++，111s m ∴++=即10s m +=．∴876234s s s m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或． 2367P ∴=或3467或4567．23672673(2367)349F -∴==-，34673674(3467)239F -==-，45674675(4567)129F -==-． 17．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数-- “好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且426+=，6能被6整除；643不是“好数”，因为6410+=，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<的整数），525a a a ∴++=+，当1a =时，257a +=，7∴能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当2a =时，259a +=，9∴能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当3a =时，2511a +=，11∴能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当4a =时，2513a +=，13∴能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．故答案为：7．18．阅读下列材料，解决问题．【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n 所得的余数与它自身除以这个正整数n 所得的余数相同，我们就称这个多位数是n 的“余同数”．例如：对于多位数2714，271439042÷=⋯，且(2714)342+++÷=⋯，则2714是3的“余同数”．【材料2】对于任意两个多位数A ，B ，若A 除以正整数n 所得的余数与B 除以正整数n 所得的余数相同，则A 与B 的差一定能被n 整除．（1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由；（2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数．【解答】解：（1）不是，理由如下：31425628......2÷=，(3142)52+++÷=，3142∴不是5的同余数；（2）设这个三位数为10010a b c ++，则9a b +<，1c a =+，这个三位数是7的“余同数”，10010()a b c a b c ∴++-++能被7整除，10010()7a b c a b c ++-++ 100107a b c a b c ++---= 9997a b += 2147a b a b +=++， ∴27a b +是整数， 又18a ，09b ，9a b +<，1218a b ∴+<，27a b ∴+=或214a b +=，∴708a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或516a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或263a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，综上，这个三位数为708或516或324或132或263．19．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 2202 ．（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式126⨯□=□621⨯成立？ 请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．①设这个数字为x ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x 的代数式表示分别为 和 ；②列出关于x 的满足条件的方程，并求出x 的值；③经检验，所求x 的值符合题意吗？ （填“符合”或“不符合” )【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，故答案为：2202，；（2）①设这个数字为x ，自然数“6□”用含x 的代数式表示为：61060x x ⨯+=+，自然数“□6”用含x 的代数式表示为：106x +，故答案为：60x +，106x +；②由题意得：12(60)21(106)x x +=+，解得：3x =，x ∴的值为3；③检验：1263756⨯=，3621756⨯=，12633621∴⨯=⨯，3x ∴=符合题意，故答案为：符合．20．我们规定用(,)a b 表示一对数对，给出如下定义：记m=0,0)n a b =>>，将(,)m n 与(,)n m 称为数对(,)a b 的一对“对称数对”．例如：(4,1)的一对“对称数对”为1(2，1)与1(1,)2． （1）数对(25,4)的一对“对称数对”是 1(,2)5 和 ； （2）若数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，求y 的值；（3）若数对(,2)x 的一对“对称数对”的一个数对是1)，求x 的值；（4）若数对(,)a b 的一对“对称数对”的一个数对是，求ab 的值．【解答】解：（1）由题意知：1,25m n ====， ∴数对(25,4)的一对“对称数对”是1(,2)5和1(2,)5， 故答案为：1(,2)5；1(2,)5．（2）数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，∴=，∴= ∴13y =．（3）数对(,2)x的一对“对称数对”是和，∴=，∴1=，1x∴=．（4）数对(,)a b的一对“对称数对”是和，∴====或，∴11327273a ab b⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩或，∴199ab=或．21．若一个三位正整数m abc=（各个数位上的数字均不为0)满足9a b c++=，则称这个三位正整数为“长久数”．对于一个“长久数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记()9m nF m+=．如：216m=满足2169++=，则216为“长久数”，那么612n=，所以216612(216)929F+==．（1）求(234)F、(522)F的值；（2）对于任意一个“长久数”m，若()F m能被5整除，求所有满足条件的“长久数”．【解答】解：（1）当234m=时，2349++=，m是长久数，432n∴=，234432(234)749F+∴==．当522m=时，5229++=，m是长久数，225n∴=，522225(522)839F+∴==．（2）由题意得：10010m a b c=++，10010n c b a=++．1001010010()9a b c c b aF m+++++∴=101101209a c b ++= 101()209a cb ++=． 9a bc ++=，101(9)20()9b b F m -+∴= 901819b -= 1019b =-．又a 、b 、c 均为不为0的正整数，1b ∴=，2，3，⋯⋯，7． ∴当1b =时，()1019192F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当2b =时，()1019283F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当3b =时，()1019374F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当4b =时，()1019465F m =-⨯=，能被5整除，此时5a c +=，∴12344321a a a a c c c c ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或． 144m ∴=或243或342或441．当5b =时，()1019556F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当6b =时，()1019647F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当7b =时，()1019738F m =-⨯=，不能被5整除，舍去．综上所述，所有满足条件的“长久数”有144或243或342或441．22．对于一个四位自然数N ，如果N 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N 为“差同数”．对于一个“差同数” N ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：2()29s t F N +=．例如：7513N =，因为7351-=-，故：7513是一个“差同数”．所以：735122715318s t =-==-=，则：2236(7513)229F +==． （1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出()F N 的值；（2）若自然数P ，Q 都是“差同数”，其中100010616P x y =++，1003042(19Q m n x =++，08y ，19m ，07n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()F P k F Q =，当3()()F P F Q -能被11整除时，求k 的最小值．【解答】解：（1）对于2586，其各数位上的数字不全相同且均不为0，2658-≠-， 2586∴不是“差同数”， 对于8734，其各数位上的数字不全相同且均不为0，8473-=-，8734∴是“差同数”， 847311s ∴=-=，83749t =-=，1129(8734)129F +⨯∴==， 2586∴不是“差同数”，8734是“差同数”， (8734)1F =； （2）100010616100060010(1)6P x y x y =++=++++，P ∴的千位数字为x ，百位数字为6，十位数字为(1)y +，个位数字为6， 又自然数P 是差同数，66(1)x y ∴-=-+即11x y +=，(106)(61)1055p S x y x y ∴=+-+=--，(101)661065p t x y x y =++-=+-，10552(1065)()629y x y F P x --++-∴==-， 10030423000100402Q m n m n =++=++++，Q ∴的千位数字为3，百位数字为m ，十位数字为4，个位数字为(2)n +， 又自然数Q 是差同数，3(2)4n m ∴-+=-，即5m n +=，302(104)1028Q s n m n m ∴=++-+=-+，34(102)3210Q t m n m n =-++=--，10282(3210)()329n m m n F Q m -++--∴==-， 3()()3(6)(3)321F P F Q x m x m ∴-=---=+-，19x ，08y ，且11x y +=，39x ∴，19m ，07n ，且5m n +=，15m ∴，1132111x m ∴-+-，又321x m +-能被11整除，32111x m ∴+-=±或0，①当32111x m +-=-时，3x =，1m =，8y =，4n =， 此时，()363()312F P k F Q -===--； ②当32111x m +-=时，9x =，5m =，2y =，0n =， 此时，()963()352F P k F Q -===--； ③当3210x m +-=时，6x =，3m =，此时，()0F Q =，k ∴值不存在，综上，k 的最小值为32-．23．对于实数P ，我们规定：用的最小整数．2=，2=，现在对72进行如下操作： {}{}{}727299332===第一次第二次第三次，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为 ．【解答】解：由题意得：现在对36进行如下操作： {}{}{}363666332===第一次第二次第三次，∴对36只需进行3次操作后变为2；现在对256进行如下操作： {}{}{}2562561616442===第一次第二次第三次，如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：3，256．24．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个数为“阶梯数”．若s ，t 都是“阶梯数”，将组成s 的各数位上的数字中最大数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m 叫做s ，t 的“萌数”，将组成s 的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n 叫做s ，t 的“曲数”，记(,)2F s t m n =+．例如：因为211-=，615-=，所以211和654都是“阶梯数”；211和654的“萌数” 24m =，“曲数” 16n =，(211,654)2241664F =⨯+=．（1）判断435 是 （填“是”或“否” )为“阶梯数”；（2）若(1)6s a a =-，(1)5t b b =+（其中25a <，69b <，且a ，b 都是整数），且(,)167F s t =，求满足条件的s 、t 的值；（3）若p 、q 都是“阶梯数”，其中100103p x y =++，20010q a b =++（其中23x ，18y ，28b 且a ，b ，x ，y 都是整数），当(F p ，132)(F q +，824)157=时，求(,)F p q 的值． 【解答】解：（1）435中，百位4比十位3大1，符号阶梯数定义．故答案为：是．（2）s 和t 的萌数为65，曲数为(1)(1)a b -+，(F s ∴，)265(1)(1)167t a b =⨯+-+=，解得4a =，6b =．436s ∴=，765b =．（3）p 、q 都是阶梯数，1y x ∴=-，1a =，又23x ，28b ，10010(1)3213p x x ∴=+-+=或323，212q =、213、214、215、216、217、218． (F p ∴、132)31210(1)3x =⨯+-+，(F q ，824)(102)218b =+⨯+，由(F p 、132)(F q +，824)157=，得102080x b +=，其中x 为偶数，2x ∴=，3b =，即213p =，213q =．(F p 、)2311375q =⨯+=．25．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 能 （选填“能”或“不能” )被13整除；（2）证明：任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，若让个位之前的数加上个位数的k 倍(k 为正整数），所得之和能被13整除，且原多位自然数也能被13整除，求当150k 时，所有满足条件的k 的值．【解答】（1）解：266357能被13整除；理由如下：266357的末三位数为357，末三位以前的数为266，35726691∴-=，91137÷=，266357∴能被13整除，故答案为：能；（2）证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b ，则这个多位数可表示为1000b a +，根据题意得：13(a b n n -=为整数），13a n b ∴=+，则1000100013100113b a b n b b n +=++=+，100113b n +可以被13整除，1000b a ∴+可以被13整除，∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律，即任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）解：设个位之前及个位数分别为m 、n （出现的字母均为自然数），依题意不妨设13m kn t +=，则原多位数为10m n +，依题意不妨设1013m n s +=， 联立可得：3110(101)101313n k s t k t kn +=--=-+， 则31k +为13倍数，分别将1k =、2、3、4、550⋯代入可知，4k ∴=或17k =或30k =或43k =．26．一个三位自然数a ，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a 的个位数字与百位数字交换得到一个新数a '，记G （a ）11a a '-=．例如，当125a =时，521a '=，125521(125)3611G -==-；当370a =时，73a '=，37073(370)2711G -==． （1）判断236 不是 （选填“是”或“不是” )完美数，计算(321)G = ；（2）已知两个“完美数” m ，n ，满足10010m a b =++，100(09n c d b a =+<，09c ，09d ，a ，b ，c ，d 为整数），若()G m 能被7整除，且()()9(2)G m G n d +=+，求m n -的最小值．【解答】解：（1）2361110++=>，236∴不是完美数， 根据题意，321123(321)1811G -==； 故答案为：不是；18．（2）10010m a b =++，10010m b a '∴=++，100n c d =+，100n d c '∴=+，()()9(2)112m m n n G m G n d -'-'∴+=+=+， 22a b c d ∴-+=+，设()7G m x =，x 为整数， ∴9999711a b x -=，即9()7a b x -=， 09b a <，∴满足条件的a 只有7或8或9，当9a =时，m 不是完美数，故舍去，当8a =时，1b =，这个数是811，是完美数，此时，8122c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则510m n -=；4d =，3c =时，403n =，则811403408m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则811505306m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为306；当7a =时，0b =，这个数是710，是完美数，此时，7022c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则710301409m n -=-=；4d =，3c =时，403n =，则710403302m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则710505205m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为205；综上，m n -的最小值为205．27．阅读材料：我们知道，任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n=．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f ==． （1）计算：f （6）=23 ，f （4）= ，2()f x = ．（其中x 为正整数） （2）若21010(2)1011f x x +=，其中x 是正整数，求x 的值． （3）若2(9)1f x -=，其中x 是正整数，求x 的值．【解答】解：（1）6的最佳分解为23⨯，所以f （6）23=；4的最佳分解为22⨯，所以f （4）1=；2x 的最佳分解为x x ⋅，所以2()1f x =． 故答案为：23；1；1． （2）22x x +的最佳分解为：(2)x x +， ∴2(2)2x f x x x +=+， 又21010(2)1011f x x +=， 所以101021011x x =+， 解得2020x =，经检验，2020x =符合题意．（3）由2(9)1f x -=，可设229(x t t -=为正整数），即2(3)(3)x x t +-=，33x t x ∴-<<+，有以下几种情况：①当2t x =-时，229(2)x x -=-，解得134x =（舍去）； ②当1t x =-时，229(1)x x -=-，解得5x =；③当t x =时，229x x -=，无解；④当1t x =+时，229(1)x x -=+，解得5x =-；⑤当2t x =+时，229(2)x x -=+，解得134x =-； 综上所述，5x =．28．阅读下列材料：材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数M ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数m ，若m 等于M 的千位数字与个位数字的平方差，则称数M 为“平方差数”．例如：7136是“平方差数”，因为227613-=，所以7136是“平方差数”；又如：4251不是“平方差数”，因为22411525-=≠，所以4251不是“平方差数”．材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若p ，q 为两个正整数()18p q pq >=，则p ，q 为18的正因数，又因为18可以分解为181⨯或92⨯或63⨯，所以方程18pq =的正整数解为181p q =⎧⎨=⎩或92p q =⎧⎨=⎩或63p q =⎧⎨=⎩． 根据上述材料解决问题：（1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若一个四位“平方差数” M ，将它的千位数字、个位数字及m 相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数” M ．【解答】解：（1）9810是“平方差数”，229081-=，9810∴是“平方差数”； 6361不是“平方差数”，22613536-=≠，6361∴不是“平方差数”． （2）设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，由题意得2230a b a b ++-=，即()(1)30a b a b +-+=．a b +>，11a b -+>且均为30的正因数，∴将30分解为215⨯或310⨯或56⨯．①()(1)215a b a b +-+=⨯，解得87a b =⎧⎨=⎩，即8157M =； ②()(1)310a b a b +-+=⨯，解得64a b =⎧⎨=⎩，即6204M =； ③()(1)56a b a b +-+=⨯，解得50a b =⎧⎨=⎩，即5250M =； 解得51a b =⎧⎨=⎩，即5241M =．8157∴=或6204或5250或5241．M29．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为AB a b=-．||例如：两点A，B表示的数分别为3，1AB=--=．-，那么|3(1)|4（1）若|3|2x-=，则x的值为1或5．（2）当x=(x是整数）时，式子|1||2|3-++=成立．x x（3）在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当||1-=时，点P叫点A的1倍伴随点，p a当||2-=时，点P叫点A的2倍伴随点，p a⋯当||-=时，点P叫点A的n倍伴随点．p a n试探究下列问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）|3|2x-=，表示到表示数x的点到表示数3的点的距离为2，当表示数x的点在表示数3的点的左侧时，321x=-=；当表示数x的点在表示数3的点的右侧时，325x=+=；故答案为：1或5；（2）|1||2|3-++=表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数2x x-的点的距离之和，分下列三种情况：①当表示数x的点在2-到1之间时，如图1，此时|1||2|3-++=成立；x x满足条件的x的整数为2-，1-，0，1；②当表示数x的点在2-左侧时，如图2，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x③表示数x的点在1右侧时，如图3，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x故答案为：2-或1-或0或1；（3）存在，理由如下：设点M 所表示的数位m ，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，点M 和N 重合，∴点N 所表示的数为n ，点M 是点A 的1倍伴随点，点N 是点B 的2倍伴随点，||1m a ∴-=，||2m b -=，12m a b ∴=±=±，当12a b +=+时，1a b -=，此时1AB =；当12a b +=-时，3a b -=-，此时3AB =；当12a b -=+时，3a b -=，此时3AB =；当12a b -=-时，1a b -=-，此时1AB =；综上，存在，此时AB 的长为1或3．30．如果一个自然数M 能分解成A B ⨯，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A B ⨯的过程称为“全美分解”，例如：28384366=⨯，4610+=，369+=，2838∴是“十全九美数“；3912317=⨯，2110+≠，391∴不是“十全九美数”． （1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M 是“十全九美数“，“全美分解”为A B ⨯，将A 的十位数字与个位数字的差，与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M ；将A 的十位数字与个位数字的和，与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M ．当()()S M T M 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M ． 【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下： 21002584=⨯，2810+=，549+=，2100∴是“十全九美数”；1681412=⨯，10l l +≠，168∴不是“十全九美数“；（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，则10A m n =+， M 是“十全九美数”， M A B =⨯， B ∴的十位数字为10m -，个位数字为9n -，则10(10)910910B m n m n =-+-=--， 由题知：()109192S M m n m n n =-+-+-=-，()[10(9)]21T M m n m n m =+----=-， 根据题意，令()1925(()21S M n k k T M m -==-为整数）， 由题意知：19m ，09n ，且都为整数，119219n ∴-，12117m -，当k l =时，192521n m -=-， ∴1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213n m -=⎧⎨-=⎩， 解得17m n =⎧⎨=⎩或3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或22m n =⎧⎨=⎩； 17921564M A B ∴=⨯=⨯=或22871914M A B =⨯=⨯=；当2k =时，1921021n m -=-， ∴19210211n m -=⎧⎨-=⎩， 解得192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）； 当3k =时，1921521n m -=-， ∴19215211n m -=⎧⎨-=⎩， 解得12m n =⎧⎨=⎩； 12971164M A B ∴=⨯=⨯=，综上，满足“十全九美数”条件的M 有：1564或1914或1164．31．一个自然数能分解成A B ⨯，其中A ，B 均为两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大1，且A ，B 的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．例如：48197961=⨯，7比6大1，1910+=，4819∴是“分解数”；又如：14964434=⨯，4比3大1，4410+≠，1496∴不是“分解数”．（1）判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；（2）自然数M A B =⨯为“分解数”，若A 的十位数字与B 的个位数字的和为()P M ，A 的个位数字与B 的十位数字的和()F M ，令()()()P M G M F M =，当()G M 为整数时，则称M 为“整分解数”．若B 的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数” M ．【解答】解：（1）3252513=⨯，2比1大1，5310+≠，325∴不是“分解数”； 68513723=⨯，3比2大l ，7310+=，851∴是“分解数”． （2）令10B x y =+，10(1)10A x y =++-，(8l x <<，19y ，且x ，y 为整数）， ()1P M x y =++，()10F m x y =-+，1()10x y G M x y ++∴=-+，2x 为整数， 2x ∴=，4，6，8，当2x =时，315()11212y G M y y +==-+-+-+，为整数， 12y ∴-+的值为3或5，解得9y =或7，13129899M ∴=⨯=，23327891M =⨯=；当4x =或6x =时，不存在()G M 为整数，∴舍去；当8x =时，927()11818y G M y y +==-+-+-+为整数， 189y ∴-+=，解得9y =，391898099M ∴=⨯=．综上所述，M 的值为899，891，8099．32．对于任意一个四位数N ，如果N 满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数N 为“双减数”．对于一个“双减数” N abcd =，将它的千位和百位构成的两位数为ab ，个位和十位构成的两位数为dc ，规定；()12ab dc F N -=． 例如：7028N =．因为2(78)02⨯-=-，故7028是一个“双减数”，则7082(7028)112F -==-． （1）判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出()F N 的值；（2）若自然数A 为“双减数”， F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除，求A 的值．【解答】解：（1）9527:523-=，972-=，不满足“双减数”的定义，故9527不是双减数；6713:716-=，633-=，满足623=⨯，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故6713是双减数；6731(6713)312F -==． 9527∴不是双减数，6713是双减数，(6713)3F =．（2）设A abcd =，由题意可知，F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．()312ab dc F A k -∴==． 13a b c d n +++=②(n 为正整数，能被13整除说明是13的倍数）， 2()b c a d -=-③，由③式可得知，ab dc -的结果中，个位数是十位数的两倍，而且()312ab dc F A k -==①． ∴36ab dc k -=，（说明ab dc -是36的倍数）， 根据“双减数“各位数不重复与0d ≠的性质，ab 最大为98，dc 最小为10，ab dc ∴-最大为88， ∴36ab dc -=或36-或72（舍去）或72-（舍去），（根据“双减数“百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除），3a d ∴-=，6b c -=或3a d -=-，6b c -=-，即3a d =+④，6b c =+⑤或3a d =-⑥，6b c =-⑦，将④⑤代入②可得，(3)(6)13d c c d n ++-++=， 将⑥⑦代入②可得，(3)(6)13d c c d n -+-++=， 同理，根据“双减数“的性质可得a b c d +++的最大值为987630+++=，最小值为01236+++=，630a b c d ∴+++，a b c d ∴+++是13的倍数，a b c d ∴+++只能取13或26．Ⅰ、当13a b c d +++=时，可得2d c +=或11d c +=；当2d c +=时，d 与c 的值可能为20d c =⎧⎨=⎩，02d c =⎧⎨=⎩（舍去），11d c =⎧⎨=⎩（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除）， 即20d c =⎧⎨=⎩； 当11d c +=时，2a b +=，则20a b =⎧⎨=⎩，02a b =⎧⎨=⎩（舍去），11a b =⎧⎨=⎩（舍去）， 即20a b =⎧⎨=⎩，此时，6c =，5d =． Ⅱ、当26a b c d +++=时，可得2()17d c +=，2()35d c +=． 172d c +=（舍去）或352d c +=（由于d ，c 不为整数，与题意不符，故舍去）， 3235a d ∴=+=+=，66b c =+=5602A ∴=或2065．33．对于一个四位自然数(R abcd a =，b ，c ，d 不全相同且均不为0)，如果a d b c -=-，那么称这个数R 为“天平数”，对于一个“天平数” R ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：()10s t f R +=；例如：8734R =，因为8473-=-，故：8734是一个“天平数”．所以：847311s =-=，83749t =-=，则：119()210f R +==． （1）请判断7513是否是“天平数”，如果是，请求出()f R 的值；如果不是，请说明理由；（2）若自然数M ，N 都是“天平数”，其中1007051M x y =++，100010512(19N m n x =++，08y ，19m ，08n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()f M k f N =，当()()4f N f M -=时，求k 的值． 【解答】解：（1）是，且(7513)4f =，理由如下：7351-=-，7513∴是一个“天平数”． 735122s ∴=-=，715318t =-=，2218(7513)410f +∴==； （2）1007051700010050(1)M x y x y =++=++++，M ∴的前位数字是7，百位数字是x ，十位数字是5，个位数字是1y +， M 是“天平数”， 7(1)5y x ∴-+=-，即11x y +=，(701)(105)6610Ms y x x y ∴=++-+=-+，75(101)7410Mt x y x y =-++=--，66107410()1421010s t x y x y f M x +-++--∴===-， 100010512100050010(1)2N m n m n =++=++++，N ∴的前位数字是m ，百位数字是5，十位数字是(1)n +，个位数字是2， N 是“天平数”， 25(1)m n ∴-=+，即6m n +=，(102)(501)1049Ns m n m n ∴=+-++=--，(101)521051Nt m n m n =++-=+-，10491051()2101010s t m n m n f N m +--++-∴===-， 19x ，08y 且11x y +=，39x ∴，19m ，08n ，且6m n +=，16m ∴，()()(210)(142)22244f N f M m x x m -=---=+-=，14x m ∴+=，14x m ∴=-，56m ∴， 此时，()142721()21055f M x m k f N m m m --====----， 当5m =时，k 值不存在；当6m =时，1k =-，综上，k 的值为1-．34．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M 为“团圆数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“欢乐分解”．例如：5722226=⨯，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，572∴是“团圆数”． 又如：2341813=⨯，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，234∴不是“团圆数”．（1）最小的“团圆数”是 187 ；（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；（3）把一个“团圆数” M 进行“欢乐分解”，即M A B =⨯，A 与B 之和记为()P M ，A 与B 差的绝对值记为()Q M ，令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被8整除时，求出所有满足条件的M 的值． 【解答】解：（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7， ∴最小的“团圆数”是1117187⨯=，故答案为：187；（2）1951315=⨯，且358+=，195∴是“团圆数”， 6212327=⨯，378+≠，621∴不是“团圆数”； （3）设10A a b =+，则108B a b =+-，208A B a ∴+=+，|||28|A B b -=-，()()()||P M A B G M Q M A B +==-能被8整除， ∴2088|28|a kb +=-，k 为整数， 52(|4|)4a b k ∴+=-，52a ∴+是4的倍数，∴满足条件的a 有2，6，若2a =，则488|28|k b =-，k 为整数， ∴3|4|k b =-， |4|b ∴-是3的因数，43b ∴-=-，1-，1，3，∴满足条件的b 有1，3，5，7，21A ∴=，27B =或23A =，25B =或25A =，23B =或27A =，21B =，567A B ∴⨯=或575，若6a =，则1288|28|k b =-，k 为整数， ∴8|4|k b =-， |4|b ∴-是8的因数，48b ∴-=-，4-，2-，1-，1，2，4，8，∴满足条件的b 有2，3，5，6，62A ∴=，66B =或63A =，65B =或65A =，63B =或66A =，62B =，62664092A B ∴⨯=⨯=或4095，综上，M 的值为567或575或4092或4095．35．对于任意一个四位数m ，若m 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数” m 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()F m ．例如“智慧数” 1234m =，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234134124123615+++=，6153205÷=，所以(1234)205F =．（1）计算：(2131)F = 262 ；(5876)F = ；（2）若“智想数” 780010(15n x y x =++，19y ，x ，y 都是正整数），()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除，求满足条件的n 的值．【解答】解：（1）(2131)(213211231131)3262F =+++÷=；(5876)(587586576876)3875F =+++÷=；故答案为：262；875；（2） “智慧树” 78001071000810010n x y x y =++=⨯+⨯++， ∴数n 的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x ，个位上的数为y ， ()(7807807001080010)310207F n x y x y x y x y ∴=+++++++++÷=++， 15x ，19y ，()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除， ∴可设()1020712F n x y k =++=，即()F n 是3的倍数，也是4的倍数， ()743403402333F n x y x y k x ++∴==+=++，且()3F n 是4的倍数， 当1x =时，y 可取2，5，8，此时()3433F n =（舍)或344或345（舍)，此时()1032F n =，符合定义，7815n =；当2x =时，y 可取1，4，7，此时()3453F n =（舍)或346（舍)或347（舍)，无符合题意的n ；当3x =时，()340733F n y =++，y 可取3，6，9，此时()3483F n =或349（舍)或350（舍)，此时()7833F n =，不符合题意；当4x =时，y 可取2，5，8，此时()3503F n =（舍)或351（舍)或352，此时()1056F n =，7848n =， 当5x =时，y 可取1，4，7，此时()3523F n =或353（舍)或354（舍)，此时()1056F n =，7851n =， 综上，符合题意的点n 值为7815或7848或7851．。
中考数学专题训练：专题1 数与式
2019-2020年中考数学专题训练：专题1 数与式一、选择题（每小题3分，共30分）1．绝对值大于2而小于5的所有正整数之和为（）A、7B、8C、9D、102．数轴上的点P与表示有理数2的点的距离是6个单位长度，由点P表示的数是（）A、6B、8C、8或－4D、83．若，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．分式有意义的条件是（）A．B．C．D．6．下列计算中，结果正确的是A．2x2+3x3=5x5 B．2x3·3x2=6x6C．2x3÷x2=2x D．(2x2)3=2x6 7．下列计算结果为正数的是( )A. B. C. D.8．－2的绝对值等于A．2 B．－2 C．12D．49．已知，，则的值为（）A、7B、5C、3D、110．下列计算中,正确的有( )①②③④A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（每小题3分，共30分）11．将分式约分可得；12．当时，分式的值为零．13．甲数的与乙数的差可以表示为_________14．．当时，化简的结果是．15．根据如图所示的计算程序，若输出的值为－1，则输入的值为 _ _ ．16．使有意义的的取值范围为 ．17．把一根32㎝长的铁丝弯成长宽之比5:3的长方形，则长方形的面积为（ ） 18．若|m －2|＋|n ＋3|=0，则n m 。
19．一组按规律排列的式子…，其中第8个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）.20．248－1能够被60～70之间的两个数整除，则这两个数是______________. 三、解答题（共60分）21()()22532014⨯-+-+22．先化简，再求值：，其中．23．已知，求()()()32235156a a a a a ++--+的值.24．因式分解：.25．把下列各数填入它所属的集合内：15，－，－5，，0，－5.3，。
专题01 数与式(浙江专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题01 数与式1．（2019·浙江衢州）在12，0，1，﹣9四个数中，负数是A．12B．0 C．1 D．﹣9【答案】D【解析】12，0，1，﹣9四个数中负数是﹣9；故选D．【名师点睛】本题考查实数的分类；能够根据负数的特点进行判断是解题的关键．2．（2019·浙江湖州）数2的倒数是A．–2 B．2 C．12-D．12【答案】D【解析】因为互为倒数的两个数之积为1，所以2的倒数是12，故选D．3．（2019·浙江金华）实数4的相反数是A．14-B．–4 C．14D．4【答案】B【解析】因为4的相反数是–4.故选B．4．（2019·浙江舟山）–2019的相反数是A．2019 B．–2019 C．12019D．12019-【答案】A【解析】因为a的相反数是–a，所以–2019的相反数是2019．故选A．【名师点睛】本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是–a，是解决本题的关键．5．（2019·浙江绍兴）﹣5的绝对值是A．5 B．﹣5 C．15D．﹣15【答案】A【解析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5．故选A．【名师点睛】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．6．（2019·浙江宁波）﹣2的绝对值为A．12B．2 C．12D．﹣2【答案】B【解析】﹣2的绝对值为2，故选B．【名师点睛】本题考查了对绝对值的意义的应用，能理解绝对值的意义是解此题的关键．7．（2019·浙江杭州）计算下列各式，值最小的是A．2×0+1–9 B．2+0×1–9C．2+0–1×9 D．2+0+1–9【答案】A【解析】A.2×0+1–9=–8，B．2+0×1–9=–7，C．2+0–1×9=–7，D．2+0+1–9=–6，故选A．【名师点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．8．（2019·浙江金华）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四【答案】C【解析】依题可得：星期一：10–3=7（℃），星期二：12–0=12（℃），星期三：11–（–2）=13（℃），星期四：9–（–3）=12（℃），∵7<12<13，∴这四天中温差最大的是星期三.故选C．9．（2019·浙江湖州）据统计，龙之梦动物世界在2019年“五一”小长假期间共接待游客约238000人次．用科学记数法可将238000表示为A．238×103 B．23.8×104C．2.38×105 D．0.238×106【答案】C【解析】238000=2.38×105，故选C．10．（2019·浙江绍兴）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中数字126000000用科学记数法可表示为A．12.6×107B．1.26×108C．1.26×109D．0.126×1010【答案】B【解析】数字126000000用科学记数法可表示为1.26×108元．故选B．【名师点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（2019·浙江台州）2019年台州市计划安排重点建设项目344个，总投资595200000000元．用科学记数法可将595200000000表示为A．5.952×1011B．59.52×1010C．5.952×1012D．5952×109【答案】A【解析】数字595200000000科学记数法可表示为5.952×1011元．故选A．【名师点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（2019·浙江温州）太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为A．0.25×1018B．2.5×1017C．25×1016D．2.5×1016【答案】B【解析】科学记数法表示：250000000000000000=2.5×1017，故选B．【名师点睛】本题主要考查科学记数法，科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式（1≤a<10，n为正整数．）13．（2019·浙江舟山）2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆．数据380000用科学记数法表示为A．38×104B．3.8×104C．3.8×105D．0.38×106【答案】C【解析】380000=3.8×105，故选C．【名师点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（2019·浙江衢州）浙江省陆域面积为101800平方千米，其中数据101800用科学记数法表示为A．0.1018×105B．1.018×105C．0.1018×106D．1.018×106【答案】B【解析】101800用科学记数法表示为：1.018×105，故选B．【名师点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．（2019·浙江宁波）宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为1526000000元人民币．数1526000000用科学记数法表示为A．1.526×108B．15.26×108C．1.526×109D．1.526×1010【答案】C【解析】数字1526000000科学记数法可表示为1.526×109元．故选C．【名师点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．16．（2019·浙江温州）计算：（–3）×5的结果是A．–15 B．15 C．–2 D．2【答案】A【解析】（–3）×5=–15；故选A．【名师点睛】本题考查有理数的乘法；熟练掌握正数与负数的乘法法则是解题的关键．17．（2019·浙江湖州）计算11aa a-+，正确的结果是A．1 B．12C．a D．1a【答案】A【解析】11aa a-+=111a aa a-+==，故选A．18．（2019·浙江金华）计算a6÷a3，正确的结果是A．2 B．3a C．a2 D．a3【答案】D【解析】a6÷a3=a6–3=a3．故选D．【名师点睛】同底数幂除法：底数不变，指数相减，由此计算即可得出答案. 19．（2019·浙江台州）计算2a–3a，结果正确的是A．–1 B．1 C．–a D．a【答案】C【解析】2a–3a=–a，故选C．【名师点睛】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．20．（2019·浙江宁波）下列计算正确的是A．a3+a2=a5B．a3•a2=a6C．（a2）3=a5D．a6÷a2=a4【答案】D【解析】A、a3与a2不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、a3•a2=a5，故选项B不合题意；C、（a2）3=a6，故选项C不合题意；D、a6÷a2=a4，故选项D符合题意．故选D．【名师点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．21．（2019·浙江衢州）下列计算正确的是A．a6+a6=a12B．a6×a2=a8C．a6÷a2=a3D．（a6）2=a8【答案】B【解析】A、a6+a6=2a6，故此选项错误；B、a6×a2=a8，故此选项正确；C、a6÷a2=a4，故此选项错误；D、（a6）2=a12，故此选项错误；故选B．【名师点睛】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．22．（2019·浙江宁波）若分式12x有意义，则x的取值范围是A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2 【答案】B【解析】依题意得：x﹣2≠0，解得x≠2．故选B．【名师点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．23．（2019·浙江杭州）因式分解：1–x2=__________．【答案】（1–x）（1+x）【解析】∵1–x2=（1–x）（1+x），故答案为：（1–x）（1+x）．【名师点睛】本题考查因式分解–运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．24.（2019·浙江湖州）分解因式：x2–9=__________.【答案】(x+3)(x–3)【解析】根据平方差公式，有x2–9=(x+3)(x–3).故答案为：(x+3)(x–3)．25．（2019·浙江绍兴）因式分解：x2﹣1=__________．【答案】（x+1）（x﹣1）【解析】原式=（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．【名师点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．26．（2019·浙江台州）分解因式：ax2–ay2=__________．【答案】a（x+y）（x–y）【解析】ax2–ay2=a（x2–y2）=a（x+y）（x–y）．故答案为：a（x+y）（x–y）．【名师点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式的结果一定要彻底．27．（2019·浙江台州）若一个数的平方等于5，则这个数等于__________．【解析】若一个数的平方等于5．【名师点睛】此题主要考查了平方根，正确把握相关定义是解题关键．28．（2019·浙江舟山）分解因式：x2–5x=__________．【答案】x（x–5）【解析】x2–5x=x（x–5）．故答案为：x（x–5）．【名师点睛】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．29．（2019·浙江衢州）计算：12a a+=__________．【答案】3 a【解析】原式12a +=3a=．故答案为：3a ． 【名师点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解本题的关键． 30．（2019·浙江金华）当x =1，y =13-时，代数式x 2+2xy +y 2的值是________． 【答案】49【解析】∵x =1，y =–13， ∴x 2+2xy +y 2=（x +y ）2=（1–13）2=49. 故答案为：49. 31．（2019·浙江舟山）数轴上有两个实数a ，b ，且a ＞0，b <0，a +b <0，则四个数a ，b ，–a ，–b 的大小关系为__________（用“<”号连接）． 【答案】b <–a <a <–b【解析】∵a ＞0，b <0，a +b <0，∴|b |＞a ， ∴–b ＞a ，b <–a ，∴四个数a ，b ，–a ，–b 的大小关系为b <–a <a <–b ． 故答案为：b <–a <a <–b ．【名师点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是本题的关键．32．（2019·浙江金华）计算：|–3|–2tan60°13)–1． 【答案】6【解析】原式=3–+3=6.【解析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.33．（2019·浙江湖州）计算:()31282-+⨯. 【答案】8【解答】原式=–8+4=–4.34．（2019·浙江绍兴）计算：4sin60°+（π﹣2）0﹣（﹣12）-2【答案】﹣3【解析】原式=4×2+1﹣4﹣﹣3.35．（2019·浙江衢州）计算：|﹣3|+（π﹣3）0tan45°．【答案】3【解析】|﹣3|+（π﹣3）0tan45°=3+1﹣2+1=3．【名师点睛】本题考查实数的运算；熟练掌握零指数幂，绝对值运算，二次根式运算，牢记特殊三角函数值等是解题的关键．36．（2019|1(1)---．【答案】【解析】原式=11+=．【名师点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 37．（2019·浙江湖州）化简:(a ＋b )2–b (2a ＋b ).【答案】a 2【解答】原式=a 2+2ab +b 2–2ab –b 2=a 2.38．（2019·浙江杭州）化简：242142x x x ----． 圆圆的解答如下：242142x x x ----=4x –2（x +2）–（x 2–4）=–x 2+2x 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 【答案】见解析． 【解析】圆圆的解答错误， 正确解法：242142x x x ---- =42(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x x +-+---+-+-+=24244(2)(2)x x x x x ---+-+=22(2)(2)x x x x --+ =–2x x +． 【名师点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键． 39．（2019·浙江台州）先化简，再求值：22332121x x x x x --+-+，其中x =12． 【答案】31x -，–6． 【解析】22332121x x x x x --+-+ =23(1)(1)x x --=31x -， 当x =12时，原式=3112-=–6． 【名师点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握同分母分式的减法法则是解题的关键． 40．（2019·浙江温州）计算：（1）|﹣6|（1）0﹣（﹣3）．（2）224133x x x x x+-++． 【答案】（1）7；（2）1x．【解析】（1）原式=6﹣3+1+3=7； （2）原式2413x x x+-=+()33x x x +=+1x=． 【名师点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．41．（2019·浙江舟山）小明解答“先化简，再求值：21211x x ++-，其中1x =．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．【答案】步骤①、②有误．正确解答过程见解析． 【解析】步骤①、②有误． 原式=12(1)(1)(1)(1)x x x x x -++-+-=11(1)(1)1x x x x +=+--．当1x =时，原式3=． 【名师点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握异分母分式的减法法则是解题的关键．。
2019年全国各地中考数学真题汇编：统计与概率(江苏专版)(解析卷)
2019年全国各地中考数学真题汇编（江苏专版）统计与概率参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2019•泰州）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（）A．20B．300C．500D．800解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5＝500次，故选：C．2．（2019•无锡）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是（）A．66，62B．66，66C．67，62D．67，66解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，第3个数是66，所以中位数是66，在这组数据中出现次数最多的是66，即众数是66，故选：B．二．填空题（共8小题）3．（2019•苏州）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为．解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有红色的有8个，故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为：．故答案为：．4．（2019•南京）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是7200．解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人），故答案为：7200．5．（2019•宿迁）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是．解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：＝．故答案为：．6．（2019•盐城）如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为．解：∵圆被等分成6份，其中阴影部分占3份，∴落在阴影区域的概率为，故答案为：．7．（2019•镇江）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝5．解：∵数据4，3，x，1，5的众数是5，∴x＝5，故答案为：5．8．（2019•盐城）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14s2，乙的方差是0.06s2，这5次短跑训练成绩较稳定的是乙．（填“甲”或“乙”）解：∵甲的方差为0.14s2，乙的方差为0.06s2，∴S甲2＞S乙2，∴成绩较为稳定的是乙；故答案为：乙．9．（2019•宿迁）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则队员身高比较整齐的球队是乙．解：∵S甲2＞S乙2，∴队员身高比较整齐的球队是乙，故答案为：乙．10．（2019•镇江）如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是80°．解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，根据题意得：，解得，∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×＝80°．故答案为：80．三．解答题（共20小题）11．（2019•南京）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是．解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；故答案为：．12．（2019•无锡）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为；（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率＝＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，所以两次摸到红球的概率＝＝．13．（2019•南京）如图是某市连续5天的天气情况．（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是＝＝24，＝＝18，方差分别是＝＝0.8，＝＝8.8，∴＜，∴该市这5天的日最低气温波动大；（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．14．（2019•常州）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是30，这组数据的众数为10元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为＝12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．15．（2019•无锡）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．各等级学生平均分统计表（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是4%；（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是1﹣52%﹣18%﹣26%＝4%；故答案为：4%；（2）92.1×52%+85.0×26%+69.2×18%+41.3×4%＝84.1；答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；（3）设总人数为n个，80.0≤41.3×n×4%≤89.9 所以48＜n＜54 又因为4%n为整数所以n ＝50，即优秀的学生有52%×50÷10%＝260 人．16．（2019•苏州）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是；（2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为＝，故答案为：．（2）根据题意列表得：由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为＝．17．（2019•常州）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．18．（2019•连云港）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了200名中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有40人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为144°；（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．解：（1）本次调查共随机抽取了：50÷25%＝200（名）中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有：200×20%＝40（人），故答案为：200，40；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为：360°×（1﹣﹣20%﹣25%）＝144°，故答案为：144；（3）20000×（1﹣﹣20%）＝13000（人），答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．19．（2019•苏州）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；（2）m＝36，n＝16；（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人），航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，即m＝36、n＝16，故答案为：36、16；（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%＝192（人）．20．（2019•淮安）某企业为了解员工安全生产知识掌握情况，随机抽取了部分员工进行安全生产知识测试，测试试卷满分100分．测试成绩按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．（说明：测试成绩取整数，A级：90分～100分；B级：75分～89分；C 级：60分～74分；D级：60分以下）请解答下列问题：（1）该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有40人；（2）补全条形统计图；（3）若该企业共有员工800人，试估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级的人数．解：（1）20÷50%＝40，所以该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有40人；故答案为40；（2）C等级的人数为40﹣8﹣20﹣4＝8（人），补全条形统计图为：（3）800×＝160，所以估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级的人数为160人．21．（2019•连云港）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A盒中摸出红球的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．解：（1）从A盒中摸出红球的概率为；故答案为：；（2）画树状图如图所示：共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为＝．22．（2019•淮安）在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为5、8、8，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．（1）用树状图或列表等方法列出所有可能结果；（2）求两次摸到不同数字的概率．解：（1）画树状图如图所示：所有结果为：（5，5），（5，8），（5，8），（8，5），（8，8），（8，8），（8，5），（8，8），（8，8）；（2）共有9种等可能的结果，两次摸到不同数字的结果有4个，∴两次摸到不同数字的概率为．23．（2019•泰州）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．解：画树状图如下由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．24．（2019•盐城）某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析．频数分布表请根据以上信息，解决下列问题：（1）频数分布表中，a＝0.26、b＝50；（2）补全频数分布直方图；（3）如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数．解：（1）根据题意得：b＝3÷0.06＝50，a＝＝0.26；故答案为：0.26；50；（2）根据题意得：m＝50×0.46＝23，补全频数分布图，如图所示：（3）根据题意得：400×（0.46+0.08）＝216，则该季度被评为“优秀员工”的人数为216人．25．（2019•扬州）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．根据以上信息，回答下列问题：（1）表中a＝120，b＝0.1；（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，故答案为：120，0.1；（2）1＜t≤1.5的人数为120×0.4＝48，补全图形如下：（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为1200×（0.4+0.1）＝600（人）．26．（2019•镇江）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是＝．27．（2019•扬州）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是；（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是．故答案为．（2）树状图如图所示：共有12种可能，满足条件的有4种可能，所以抽到的两个素数之和等于30的概率＝＝28．（2019•镇江）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．各类别的得分表已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是6分；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：3+6+12+27＝48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分．故答案为6分；（2）两个班一共有学生：（22+27）÷50%＝98（人），九（1）班有学生：98﹣48＝50（人）．设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．由题意，得，解得．答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人．29．（2019•泰州）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物，它对人体健康和大气环境造成不良影响，下表是根据《全国城市空气质量报告》中的部分数据制作的统计表．根据统计表回答下列问题，2017年、2018年7～12月全国338个地级及以上城市PM2.5平均浓度统计表（单位：μg/m3）（1）2018年7～12月PM 2.5平均浓度的中位数为μg /m 3；（2）“扇形统计图”和“折线统计图”中，更能直观地反映2018年7～12月PM 2.5平均浓度变化过程和趋势的统计图是 折线统计图 ；（3）某同学观察统计表后说：“2018年7～12月与2017年同期相比，空气质量有所改善”，请你用一句话说明该同学得出这个结论的理由．解：（1）2018年7～12月PM 2.5平均浓度的中位数为＝μg /m 3；故答案为：；（2）可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图， 故答案为：折线统计图；（3）2018年7～12月与2017年同期相比PM 2.5平均浓度下降了．30．（2019•宿迁）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图． 男、女生所选类别人数统计表根据以上信息解决下列问题 （1）m ＝ 20 ，n ＝ 2 ；（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 79.2 °；（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．（3）列表得：由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，∴所选取的两名学生都是男生的概率为＝．。
专题1.数与式(解析版)
2019年中考数学典题精选系列专题01 数与式1．3月30日，我区航空经济产业功能区2019年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行．参加此次集中开工仪式项目共计71个，总投资超过249亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都．用科学记数法表示249亿元为（）A．249×108元B．24.9×109元C．2.49×1010元D．0.249×1011元【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将249亿用科学记数法可表示为2.49×1010．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a【答案】C.3．按如图所示的运算程序运算，能使输出的结果为7的一组x，y的值是（）A．x＝1，y＝2 B．x＝﹣2，y＝1 C．x＝2，y＝1 D．x＝﹣3，y＝1【答案】C【解析】【分析】将各项中的x与y代入程序计算，即可得到结果．【详解】A、当x＝1，y＝2时，原式＝2﹣2＝0，不符合题意；B、当x＝﹣2，y＝1时，原式＝8+1＝9，不符合题意；C、当x＝2，y＝1时，原式＝8﹣1＝7，符合题意；D、当x＝﹣3，y＝1时，原式＝18+1＝19，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．4．下列整数中，比小的数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】可根据有理数大小比较的方法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．通过比较直接得出．【详解】∵-3＞-π，0＞-π，1＞-π，-4＜-π故选D．【点睛】本题考查有理数比大小，深刻理解有理数中正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．5．已知23ab=，则代数式a ba+的值为（）A．52B．53C．23D．32【答案】B【解析】由23ab=得到：a=23b，则代入可得2533b ba bb b++==．故选：B．6．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算求出每个式子的值，再根据结果判断即可．【详解】A 、与不是同类项，故本选项错误；B 、，故本选项错误；C 、，故本选项正确；D 、，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．7．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，a n =（n为不小于2的整数），则a100=（）A ．B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解析】根据表达式求出前几个数后发现：每三个数为一个循环组．用100除以3，根据商和余数的情况确定a100的值即可．解：根据题意得，a 2==2，a 3==﹣1，a 4==，a 5==2，…，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， ∵100÷3=33…1，∴a 100是第34个循环组的第一个数，与a 1相同， 即a 100=．故选A ．8．已知a ﹣b=3，则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】C ．【解析】由a ﹣b=3，得到a=b+3，则原式=（b+3）2﹣b 2﹣6b=b 2+6b+9﹣b 2﹣6b=9．故选C ．学科*网 9．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为i )，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对任意正整数n ，我们可得到同理可得那么， 23420162017••••••i i i i i i ++++++。
数学中考专题一：数与式
题一：在 02 2数学中考专题复习专题一：数 与 式经典讲义π 3.14, 8, 4, ( 3 2) , , cos30 , 2tan 45 , 12 , 7 0.1010010001 , 5 1, 3%, 0.31 中,哪些是有理数 ?哪些是无理数 ?题二：对于任意两个实数对 (a,b)和(c,d),规定：当且仅当 a ＝ c 且 b ＝d 时,(a,b)＝ (c,d)．定义运算 “ ”： (a,b) (c,d)＝(ac － bd, ad ＋bc)．若(1,2) (p,q)＝(5,0),则 p ＝ , q ＝ ．题三：某校数学课外小组 ,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下： 第 k 棵树种植在点 P k (x k ,y k )x k处,其中 x 1＝1,y 1＝ 1,当 k ≥2时,x k 1 1 5([k 1] 5k 1 k [ k 2 ]),5 2 y ky k 1[ ] [ ]. 5 5其中[a]表示非负实数 a 的整数部分 ,例如 [2.6]＝2,[0.2]＝ 0．按此方案 ,第 2009 棵树种植点的坐标为 ( )． A ． (5,2009) B ． (6,2010)C ．(3,401)D ．(4,402)题四：计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋ b －1)(a －b ＋1)－a ＋(b ＋2) ．题五：若将代数式中的任意两个字母交换 ,代数式不变 ,则称这个代数式为完全．对．称．式．．,如 a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式： ①(a －b)2；②ab ＋bc ＋ ca ；③ a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是 ()． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③题六：已知 x22 3x 1 0 ,求 x41 x4的值．题七：在解题目 “当 x ＝1949 时,求代数式 .x 2 4x 4 x 2 4x 2 2x x21＋1 的值． ”时,聪聪认为 x 只要任取一 x个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．题八：已知 1＜ x ＜2,化简 x 2 2 x 14 4x x 2.专题 1：数与式经典精讲讲义参考答案题一： 3.14, 4 , ( 3 2) 0, tan 45 , 12 , 5 7 1, 3%, 0.31 ,都是有理数； π 8, ,－cos30°,0.1010010001 都是无理2 数． 题二： 1,－2． 题三： D题四： (1)3x 2＋13x ＋12(2) 6b ＋ 3题五： A题六： 98题七：有道理，理由略 题八： 1 专题 1: 数与式经典精讲课后练习 ( 一)数学中考专题复习专题一：数 与 式经典讲义8, ,2 (2) 6b ＋ 37题四： (1)3x 2＋13x ＋12 数． 题二： 1,－2． 七：有道理，理由略 题三： D 题八： 1 题五： A 题六： 98 题专题 1: 课后练习 ( 一)数与式经典精讲题一：在 02 2π 3.14, 8, 4, ( 3 2) , , cos30 , 2tan 45 , 12 , 7 0.1010010001 , 5 1, 3%, 0.31 中,哪些是有理数 ?哪些是无理数 ?题二：对于任意两个实数对 (a,b)和(c,d),规定：当且仅当 a ＝ c 且 b ＝d 时,(a,b)＝ (c,d)．定义运算 “ ”： (a,b) (c,d)＝(ac － bd, ad ＋bc)．若(1,2) (p,q)＝(5,0),则 p ＝ , q ＝ ．题三：某校数学课外小组 ,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下： 第 k 棵树种植在点 P k (x k ,y k )x k处,其中 x 1＝1,y 1＝ 1,当 k ≥2时,x k 1 1 5([k 1] 5 k 1 k [ k 2 ]),5 2 y ky k 1[ ] [ ]. 5 5其中[a]表示非负实数 a 的整数部分 ,例如 [2.6]＝2,[0.2]＝ 0．按此方案 ,第 2009 棵树种植点的坐标为 ( )． A ． (5,2009) B ． (6,2010)C ．(3,401)D ．(4,402)题四：计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋ b －1)(a －b ＋1)－a ＋(b ＋2) ．题五：若将代数式中的任意两个字母交换 ,代数式不变 ,则称这个代数式为完全．对．称．式．．,如 a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式： ①(a －b)2；②ab ＋bc ＋ ca ；③ a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是 ()． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③题六：已知 x22 3x 1 0 ,求 x41 x4的值．题七：在解题目 “当 x ＝1949 时,求代数式 .x 2 4x 4 x 2 4x 2 2x x21＋1 的值． ”时,聪聪认为 x 只要任取一 x个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．题八：已知 1＜ x ＜2,化简x 2 2 x 14 4x x 2.专题 1：数与式经典精讲讲义参考答案数学中考专题复习专题一：数 与 式经典讲义8, ,2 (2) 6b ＋ 37题四： (1)3x 2＋13x ＋12数． 题二： 1,－2． 七：有道理，理由略 题三： D 题八： 1 题五： A 题六： 98 题专题 1: 课后练习 ( 一)数与式经典精讲题一： 3.14, 4 , ( 3 2) 0, tan 45 , 12 , 5 1, 3%, 0.31 ,都是有理数；π－cos30°,0.1010010001 都是无理数学中考专题复习专题一：数 与 式经典讲义8, ,2 (2) 6b ＋ 37题四： (1)3x 2＋13x ＋12 数． 题二： 1,－2． 七：有道理，理由略 题三： D 题八： 1 题五： A 题六： 98 题专题 1: 课后练习 ( 一)数与式经典精讲题一：在 02 2π 3.14, 8, 4, ( 3 2) , , cos30 , 2tan 45 , 12 , 7 0.1010010001 , 5 1, 3%, 0.31 中,哪些是有理数 ?哪些是无理数 ?题二：对于任意两个实数对 (a,b)和(c,d),规定：当且仅当 a ＝ c 且 b ＝d 时,(a,b)＝ (c,d)．定义运算 “ ”： (a,b) (c,d)＝(ac － bd, ad ＋bc)．若(1,2) (p,q)＝(5,0),则 p ＝ , q ＝ ．题三：某校数学课外小组 ,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下： 第 k 棵树种植在点 P k (x k ,y k )x k处,其中 x 1＝1,y 1＝ 1,当 k ≥2时,x k 1 1 5([k 1] 5k 1 k [ k 2 ]),5 2 y ky k 1[ ] [ ]. 5 5其中[a]表示非负实数 a 的整数部分 ,例如 [2.6]＝2,[0.2]＝ 0．按此方案 ,第 2009 棵树种植点的坐标为 ( )． A ． (5,2009) B ． (6,2010)C ．(3,401)D ．(4,402)题四：计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋ b －1)(a －b ＋1)－a ＋(b ＋2) ．题五：若将代数式中的任意两个字母交换 ,代数式不变 ,则称这个代数式为完全．对．称．式．．,如 a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式： ①(a －b)2；②ab ＋bc ＋ ca ；③ a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是 ()． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③题六：已知 x22 3x 1 0 ,求 x41 x4的值．题七：在解题目 “当 x ＝1949 时,求代数式 .x 2 4x 4 x 2 4x 2 2x x21＋1 的值． ”时,聪聪认为 x 只要任取一 x个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．题八：已知 1＜ x ＜2,化简x 22 x 14 4x x 2.专题 1：数与式经典精讲讲义参考答案数学中考专题复习专题一：数 与 式经典讲义8, ,2 (2) 6b ＋ 37题四： (1)3x 2＋13x ＋12数． 题二： 1,－2． 七：有道理，理由略 题三： D 题八： 1 题五： A 题六： 98 题专题 1: 课后练习 ( 一)数与式经典精讲题一： 3.14, 4 , ( 3 2) 0, tan 45 , 12 , 5 1, 3%, 0.31 ,都是有理数；π－cos30°,0.1010010001 都是无理数学中考专题复习专题一：数 与 式经典讲义8, ,2 (2) 6b ＋ 37题四： (1)3x 2＋13x ＋12 数． 题二： 1,－2． 七：有道理，理由略 题三： D 题八： 1 题五： A 题六： 98 题专题 1: 课后练习 ( 一)数与式经典精讲题一：在 02 2π 3.14, 8, 4, ( 3 2) , , cos30 , 2tan 45 , 12 , 7 0.1010010001 , 5 1, 3%, 0.31 中,哪些是有理数 ?哪些是无理数 ?题二：对于任意两个实数对 (a,b)和(c,d),规定：当且仅当 a ＝ c 且 b ＝d 时,(a,b)＝ (c,d)．定义运算 “ ”： (a,b) (c,d)＝(ac － bd, ad ＋bc)．若(1,2) (p,q)＝(5,0),则 p ＝ , q ＝ ．题三：某校数学课外小组 ,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下： 第 k 棵树种植在点 P k (x k ,y k )x k处,其中 x 1＝1,y 1＝ 1,当 k ≥2时,x k 1 1 5([k 1] 5k 1 k [ k 2 ]),5 2 y ky k 1[ ] [ ]. 5 5其中[a]表示非负实数 a 的整数部分 ,例如 [2.6]＝2,[0.2]＝ 0．按此方案 ,第 2009 棵树种植点的坐标为 ( )． A ． (5,2009) B ． (6,2010)C ．(3,401)D ．(4,402)题四：计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋ b －1)(a －b ＋1)－a ＋(b ＋2) ．题五：若将代数式中的任意两个字母交换 ,代数式不变 ,则称这个代数式为完全．对．称．式．．,如 a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式： ①(a －b)2；②ab ＋bc ＋ ca ；③ a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是 ()． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③题六：已知 x22 3x 1 0 ,求 x41 x4的值．题七：在解题目 “当 x ＝1949 时,求代数式 .x 2 4x 4 x 2 4x 2 2x x21＋1 的值． ”时,聪聪认为 x 只要任取一 x个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．题八：已知 1＜ x ＜2,化简x 22 x 14 4x x 2.专题 1：数与式经典精讲讲义参考答案数学中考专题复习专题一：数 与 式经典讲义8, ,2 (2) 6b ＋ 37题四： (1)3x 2＋13x ＋12数． 题二： 1,－2． 七：有道理，理由略 题三： D 题八： 1 题五： A 题六： 98 题专题 1: 课后练习 ( 一)数与式经典精讲题一： 3.14, 4 , ( 3 2) 0, tan 45 , 12 , 5 1, 3%, 0.31 ,都是有理数；π－cos30°,0.1010010001 都是无理。