弹塑性断裂力学讲义(ABAQUS)
�; n
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 13
CTOD
� The variation in crack tip opening displacement t or (CTOD) for
different material response is depicted below:
Elastic-Plastic Fracture Mechanics
Professor S. Suresh
Elastic Plastic Fracture
Previously, we have analyzed problems in which the plastic zone was small compared to the specimen dimensions (small scale yielding). In today’s lecture we present techniques for analyzing situations in which there can be large scale yielding, and determine expressions for the stress components inside the
� � � � �E hardening exponent, 0 reference yield strain 0 .
n � 1 For linear elastic material
, for perfectly plastic response
n � 1.
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 12
J
�
G
�
,d
�PE�
da
�
,dUdaM
�
K2 E
,1
,
�2�
K This relationship can be used to infer an equivalent Ic value
J from Ic measurements in high toughness, ductile solids in which
�ij
�
�0
�J ��0�0Inr
�n+1 1
�~ij
��;
n�
�ij
�
��0
J �
�nn+1
��0�0Inr
�~ij
��;
n�
� ~ � � u �� �� J� I r r u i
�
0
�
nn+1
n+1 1
n i 0 0
I n The function n has a weak dependence on .
strength at the crack tip for the case of elastic-plastic material
response.
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 8
J Integral
Derivation
Continued
For the special case of a linear elastic solid,
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 7
J Integral
Derivation
Continued
,dduaM
�
Z
S
�
wdy
,
T
�
@u
@x
�
ds
�J
J represents the rate of change of net potential energy with
depicted below (see C.F. Shih, JMPS, 1982).
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 15
Continued
J J For proportional loading 2 deformation theory and 2 flow
theory (incremental theory of plasticity) give results that are
comparable (i.e. for monotonic loading, stationary cracks).
HRR field
Continued
With these assumptions, the crack tip fields (HRR field) can be
derived. (Ref: J.W. Hutchinson, JMPS, 1968 and J.R. Rice and
G.F. Rosengren, JMPS, 1968.)
The crack tip opening displacement depends on distance from
the crack tip. We need an operational definition for CTOD.
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 14
non-linear elasticity). The (reversible) stress-strain response is depicted schematically below:
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 5
J Integral
Derivation
deformation-induced blunting of crack tip.
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 4
J Integral
Derivation
Continued
J We use the 2 deformation theory of plasticity (equivalent to
CTOD
� The definition of t is somewhat arbitrary since the opening
displacement varies as the crack tip is approached. A commonly
45 used operational definition is based on the � construction
T = traction vector on this curve defined in relation to an outward
T � n � � normal unit vector, i.e.
.
u = corresponding displacement vector.
We consider a small strain analysis; we neglect any
crack tip. It has enormous significance in elastic-plastic fracture mechanics. Key Reference: J. R. Rice, Journal of Applied Mechanics, 1968.
(Related works: Eshelby, Progress in Solid State Physics 1956; Sanders, Journal of Applied Mechanics, 1960; Cherepanov, International Journal of Solids and Structures, 1969)
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 6
J Integral
Derivation
Continued
uM
�
Z
A
wdA
,
Z
S
T
�
uds
In the previous integral:
w � strain energy density (per unit volume); recall that
Not appropriate for situations where significant unloading occurs.
The total mechanical potential energy of the cracked body is
uM � ue + uapp
This represents the sum of the stored strain potential energy and the potential energy of the applied loading.
JS2
�
K2 E
,1
,
�
2�
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 11
HRR field
We now consider the Hutchinson, Rice, Rosengren (HRR)
singular crack tip fields for elastoplastic material response.
J plastic zone. We will begin with a discussion of the integral.
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 1
J Integral
Derivation
J The integral is a line integral (path-independent) around the
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件
q=100Mpa
k
故应力集中因子为：
Kσφmax 279.42.794 q 100
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
误差分析
每边单元数10，最大应力288 每边单元数15，最大应力299
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
对比分析
网格划分的不同，对数据的拟合具有一定的影响， 划分的密集，计算结果更逼近理论值。
验证小孔处的应力集中系数
K σ φmax q
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
验证
基于结构和荷载的对称性，只 取结构的 1/4 进行分析。
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
验证
圆孔边缘应力最大的部位在
90°处，与理论分析的结果
一致，且最大应力279.4Mpa。
右侧施加的均布荷载为
0.09406
380
0.150
437.00
0.13976
0.13831
400
0.200
480.00
0.18232
0.18072
弹性模量E 3.00E+05
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
PART.03
有限元分析验证
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
平板圆孔应力
σρ
q 2
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
第七讲 弹塑性断裂,疲劳裂纹
第七讲 弹塑性断裂力学简介，疲劳裂纹扩展上节回顾常见的复合型裂纹，I 、II 复合型和I 、III 复合型 复合型裂纹要解决的问题 复合型裂纹准则最大切向应力准则，应变能密度因子准则（S 准则），应变能释放率准则（G 准则） 复合型断裂的工程经验公式无限体内埋藏型裂纹的应力强度因子，Irwin 解 半无限大体表面半椭圆裂纹的应力强度因子 有限体中内埋藏型裂纹的应力强度因子 有限体中表面裂纹的应力强度因子1．线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广如裂纹尖端塑性区尺寸比裂纹长度小一个数量级以上，工程中一般仍采用线弹性断裂力学，以修正的应力强度因子计算。
等效模型法Irwin 假设I 型裂纹的弹性应 力场因塑性区的形成发生平移， 想像裂纹向前扩展r y ，使得按裂 纹长y r a a+=可计算线性解BC 部ζyx分，a 称为等效裂纹长度。
等效模型法：以等效裂纹长度代替裂纹原长对应力强度因子进行修正。
等效裂纹长度和应力强度因子令按等效裂纹长度y r a a +=计算的应力场在r = R -r y （B 点）的应力等于ζys ，则 )(2y Iys r R K -=πσ222ysIyK R r σπ-=K：应力松驰后的应力强度因子（等效应力强度因子）)(y I r a K +=πσζys ：y 方向屈服应力，ζys = ζs （平面应力），sysσυσ211-=（平面应变）。
代入上式并作第一次近似IIK K ≈，得平面应力： 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s I y K r σπ平面应变： 22)21(21υσπ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sIy K r 计算步骤 （1）按aY K Iπσ=计算K I 作为K I 0（2）以K I 0计算r y 作为r y 0 （3）)(01y I r a Y K +=πσ（4）以K I 1计算r y 作为r y 1 （5）反复计算至达到精度等效裂纹概念，线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广 2．Dugdale 模型（Dugdale ，1962）Dugdale 模型认为裂纹两端的塑性区为沿裂纹所在平面向两边延伸的带状，并设塑性区为理想塑性（带状模型）。
第二章 弹塑性断裂力学
J积分的第一项:
Wdy
/2
Wr
/ 2
cos d
(1
v)(1 4E
2v)
K2
J积分的第二项(平面应变状态下)：
Tx
ux x
Ty
uy y
ds
1
v3
4E
2v
K2
所以，有J积分：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(1
v)(1 4E
2v)
K2
1
v3 2v
4E
K
2
1 v2 E
K2
G
类似的，平面应力状态下有：
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
BC
(Wdy
T
i
ui x
ds)
(Wdy DA
T
i
ui x
ds)
(2.7)
由于在BC和DA段上dy 0及 Ti 0，所以(2.7)中后两个积分为零,即：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
所以J积分与路径无关。
J积分理论
J积分使用范围的前提条件：
ui x
ds]
应用Green公式，上式可写成：
I
W
x
dxdy
xi
ij
ui x
dxdy
(2.4)
J积分理论
又
W
x
W ij ij x
ij
ij
x
ij
x
1 2
ui,
j u j,i
弹塑性力学部分讲义
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性断裂力学讲解
cos2
2
1
3sin
2
2
r
/
K
2 I
2π
2 s
1.0 平面应力
0.5 平面应变
2)平面应变状态下[ 3 (1 2) ]
r
K
2 I
2π
2 s
cos2
2
(1
2
)2
3 sin2
2
3)裂纹延长线上
0.5
1.0
r
/
COD准则和J积分准则均为弹塑性裂纹起裂准则，从1970s起着力建立裂纹稳定扩 展准则。
最早将断裂力学应用于研究混凝土的是Kaplan,他在1960年首先开展了断裂韧度 的研究，从此混凝土断裂力学就逐步展开。
5 断裂力学的分类
断裂力学根据裂纹尖端塑性区域的范围，分为两大类： （1）线弹性断裂力学---当裂纹尖端塑性区的尺寸远小于裂纹长度，可根据线弹性理 论来分析裂纹扩展行为。 （2）弹塑性断裂力学---当裂纹尖端塑性区尺寸不限于小范围屈服，而是呈现适量的 塑性，以弹塑性理论来处理。
ys
s
平面应力
ys
s 1 2
平面应变
r
/
K
2 I
2π
2 s
1.0 平面应力
0.5 平面应变
0.5
1.0
r
/
K
2 I
2π
2 s
r0’
r0
5)厚板 马鞍形塑性区。外为平面应力，中间平面应 变，由于裂尖钝化效应导致平面应变的塑性 约束降低，实际区域要大于上述解。
第06讲：弹塑性断裂力学基本概念
J积分与COD的关系
取Dugdale模型弹塑性的边界ABC作为
积分路径。
J
u Wdy Ti i ds ABC x
沿AB、BC段： dy 0, ds dx, Ti ys 代入上式得：
J ys
Dugdale模型是在材料理想弹塑性的假设前提下得到的，实际上 材料都存在硬化现象。J积分与COD更一般的关系为：
针对这些情况，必须采用弹塑性力学观点研究。
3
弹塑性断裂力学简况
用弹塑性力学的理论研究裂纹扩展规律及断裂问题 的学科叫弹塑性断裂力学。
弹塑性断裂力学的要解决的中心问题是：如何在大 范围屈服的条件下，确定出能定量描述裂纹尖端区 域应力应变场强度的参量，以便能用理论建立这些 参量与裂纹几何特性、外载荷之间的关系。又易于 用试验测定它们，最后建立便于工程应用的判据。 目前应用最多的是J积分和COD理论。
4
本讲内容
1
塑性力学的基本概念
J积分理论
COD理论 断裂参量小结
2
3 4
5
塑性变形过程和力学特点
弹塑性共存 加载卸载过程应力应变关系不同 塑性变形与变形历史或加载路径有关 材料的硬化或强化现象
6
塑性状态下本构关系
由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历史 有关。因此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应 变之间的普遍关系是不可能的。
四个断裂参量都是描述和判断同一现象——断裂；它 们之间的关系如下：
31
G与K的关系
对于Ⅰ型裂纹：
K G E
E
2 I
其中：E E(平面应力);
E 2 (平面应变) 1
G与K之间有确定的关系，力学等价。
（完整word版）Abaqus弹塑性分析简单实例
（完整word版）Abaqus弹塑性分析简单实例
Abaqus弹塑性分析简单实例
ABAQUS默认的塑性材料特性应用金属材料的经典塑性理论，采用MISES屈服面来定义各向屈服。
金属材料的弹塑性行为可以简述如下：在小应变时，材料性质基本为线弹性，弹性模量E为常数；应力超过屈服应力后，刚度会显著下降，此时材料的应变包括塑性应变和弹性应变两部分；在卸载后，弹性应变消失，而塑性应变是不可恢复的；如果再次加载，材料的屈服应力会提高，即所谓的加工硬化。
在abaqus中，等效塑性应变PEEQ大于0表明材料发生了屈服。
在工程结构中，等效塑性应变一般不应超过材料的破坏应变。
对于金属成形等大变形问题，应根据生产工艺要求来确定许可的等效塑性应变量。
需要注意的是在比例加载时，大多数材料的PEMAG和PEEQ相等。
这两个量的区别在于，PEMAG描述的是变形过程中某一时刻的塑性应变，与加载历史无关，而PEEQ是整个变形过程中塑性应变的累积结果。
下面我们以单向压缩过程的模拟来演示ABAQUS弹塑性仿真设置。
模型如图所示，压头用解析刚体来模拟，试样用SHELL来模拟。
采用轴对称模型。
试样的截面属性设置如下图所示，注意塑性应变必须从0开始。
在压头与试样之间定义无摩擦的接触。
固定对称轴
上的径向位移U1和底边的轴向位移U2。
压头是轴对称刚体，U2边界条件需要施加在压头的参考点上。
设定两个分析步，第一个分析步让压头与试样建立平稳的接触，设置压头下移-5.001mm。
第二个分析步，设定压头下移20mm。
具体如下图所示：
提交分析，结果如下图所示：有限元在线因为专注所以卓越。
第三章-弹塑性断裂力学PPT课件
（20）
对弹塑性情况， δ可由弹性的δe和塑性的δp两部分
组成，即：
.
27
e P
（21）
式中， δe为对应于载荷P的裂纹尖端弹性张开位移，
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σs 。
.
9
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力σ作用下
裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带 状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
按等效原则，令非贯穿裂纹的等于无限大板中心穿透裂纹
的，则等效穿透裂纹长度为：. a*= α2 a
（17）
22
（c）材料加工硬化修正
考虑材料的加工硬化修正，可用流变应力σf代替 屈服点，对于σs =200~400MPa的低碳钢，一般取：
σf =0.5（ σs + σb）
(18)
式中σb为材料的抗拉强度。
δ与应变e、裂纹几何和材料性能之间的关系，即引入 应变这一物理量。
由含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，可绘出无量 钢COD即/2esa 与标称应变 e / e s 之间的关系曲线 。
.
16
其中es是相应于材料屈服点σs的屈服应变，a是裂 纹尺寸，标称应变e是指一标长下的平均应变，通常 两个标点取在通过裂纹中心而与裂纹垂直的线上。
R
a
sec
2
s
1
若将 s e c 按级数展开，则 2 s
12 54 sec2s 122s242s
2
当
弹塑性力学讲义 第三章应变分析
2 11 ( 23 31 12 ) x2 x3 x1 x1 x2 x3
2 22 ( 31 12 23 ) x3x1 x2 x2 x3 x1 2 33 ( 12 23 31 ) x1x2 x3 x3 x1 x2
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应变张量 kl 和转动张量kl，则 在新笛卡尔坐标系 x’i 中此点应变张量’ij 和’ij 均可以通过二阶张量的坐标 转换式求出它们。
' Q ij 即：
' ij Q
i 'k
Q
j 'l
j 'l kl
kl
i 'k
Q
Qi 'k ei' ek Qki'
+
12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2 12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2 11=u1 ,1
11，12= 21，22 纯变形
2.3 转动张量的对偶矢量
12= -21
纯转动
由纯刚体转动可见，12= -21，正好相当于一个沿 x3 轴方向的转动矢 量 3e3 ，方向为 e3 ，其大小 3 ：
Ⅱ＝ 1 2 2 3 3 1
Ⅲ 1 2 3
当1 2 3 时（三个主应变不相等） ，三个主方向相互垂直。
第5节
变形协调条件（相容条件）
在本章第二节中我们讨论了一点的应变张量，它包含了一点的变形信 息，应变张量与位移微分关系称为几何方程（共六个） 。如果已知变形体的 位移状态 u ，则由这六个方程直接求出应变张量，但反之由六个独立的任 意
3 (12 21 ) (e12312 e213 21 )
弹塑性力学基础与有限元分析-ABAQUS的基本使用方法37页文档
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you