湘教版八年级数学上册第一章分式小结复习
三. 分式的运算
知能点1. 分式的乘除、乘方：
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作 为积的分子，分母的积作为积的分母。
������ ������ ������ ·������ · = ������ ������ ������ ·������
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后， 与被除式相乘。 ������ ������ ������ ������ ������ ·������
知能点3. 分式值为0：
（1）分母不等于0 （2）分子等于0
知能点4. 分式值为正负数：
（1）分子分母同号 （2）分子分母异号
二. 分式的性质
知能点1. 分式的性质： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整 式，分式的值不变。
用字母表示：
A B
=
A· C
A分式的变号法则：源自B· C B B÷ C a a a a b b b b
=
A÷ C
(C≠ 0)
知能点2. 分式的约分：
把一个分式的分 子与分母的公因 式约去，叫做分 式的约分。
确定最大公因式的方法： ①最大公因式的系数取 分子、分母系数的最大 公约数； ②取分子、分母相同的 字母因式的最低次幂.
知能点3. 最简公分母、通分： 分式的分子与分母没有公因式的分式叫最简单分式 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母的分式，叫做分式的通分
知能点1. 分式方程的意义和解法：
分母中含有未知数的方程叫分式方程。 解分式方程的一般步骤 （1）去分母 （2）解整式方程 （3）检 验
±
������ ������
=
������������ ������������
±
������������ ������������± ������������ = ������������ ������������
知能点3. 整数指数幂、科学计数法：
1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 m 2. 零次幂和负整数指数幂
一. 分式的定义
知能点1. 分式的定义：
母，那么式子 A 叫做分式，分式 A 中，A叫做分子，B叫做 B B 分母。 （1）分子，分母都是整式 分式应具备哪些要素？ （2）分母中含有未知数字母
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有未知数字
知能点2. 分式有意义：
答：分式的分母不等于0，分式才有意义。
������
÷
������
=
· = ������ ������ ������ ·������
知能点2. 分式的加减：
｛｛
异分母
分 式 的 加 减
同分母
｛
法 则 ： 分母不变，分子相加减
字母表示：
a b a± b ± = c c c
法 则 ： 先通分，变为同分母的分式，再加减
������ 字母表示： ������
a a m n ( 其中a 0，m、n为正整数，m n) n a
3. 整数指数幂的运算法则
4. 科学记数法
（1）用科学记数可以把绝对值较 小的数表示成： n为正整数）的形式。 （2）确定n的具体数值，通常从 小数点往后至第一个不为零的数字 上，所有零的个数，包括小数点前 面的那个零。
三. 分式方程
湘教版-数学-八年级上册-第1章复习 教案
分式教学目标1 使学生系统了解本章的知识体系及知识内容；2 进一步了解分式的基本性质、分式的运算法则以及整数指数幂，会熟练地进行分式的运算。
重点、难点重点：梳理知识内容，形成知识体系。
难点：熟练进行分式的运算。
教学过程一 知识结构与知识要点1浏览第2章目录，阅读p 61---63 复习与小结2 这章学习了哪些内容？（学生交流）教师投影本章知识结构图3 你还记得下面知识要点吗？（1）什么叫分式？设f 、g 都是整式，且g 中含有字母，我们把f 除以g 所得的商记作f g ，把fg 叫做分式。
（2）分式基本性质设h ≠0，则f f h gg h ⋅=⋅即：分式的分子与分母同时乘以一个非零的多项式，所得分式与原分式相等；分式的分子分母同时约去公因式，所得分式与原分式相等。
（3）分式的符号变换法则是什么？,f f f f f g g g g g --===--- 形象的理解为：分式的分子分母的符号可以移动（4）分式的运算法则⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩分式的概念约分分式的性质通分分式的符号变号法则分式乘除法分式的运算乘方加减法分式方程的解法分式方程分式方程的应用①分式的乘法：f u f ug v g v ⋅⋅=⋅可以先把分子、分母分别相乘再约分，也可以先约分再分子、分母分别相乘。
②分式的除法：f u f v f vg v g u g u ⋅÷=⋅=⋅，分式除以分式，把被除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式加减法：同分母：fh f h g gg ±±=，分母不变，分子相加减。
异分母:先通分，化为同分母的分子然后相加减。
怎样找最简公分母？系数：取各分母的系数最少公倍数。
字母因式：取所有的，指数最高的。
（5）整数指数幂的运算法则①同底数的幂的除法：(n m n m n a a a m -÷=≠、都是正整数，m>n,a 0) ②零次幂和负整数指数幂：01(0)a =≠a ，1(0,n n a a n a -=≠是正整数），11(0a a a -=≠）③整数指数幂有哪些运算法则：设a ≠0，m ，n 都是整数，则：()(),n nm n m n m mn n n a a a a a ab a b +⋅===，二 例题精讲例1 填空：当x=_____，分式()3(5)(1)2x x x --+无意义。
湘教版八上数学知识点归纳
八年级上数学知识点1、分式的定义：如A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、分式BA 有意义的条件是：分母B 0≠， 3、分式B A 值为零的条件是：⎩⎨⎧≠=00B A 分母分子 4、分式B A 值大于零的条件是；分子A 与分母B 同号⇔⎩⎨⎧>>00B A 分母分子 或 ⎩⎨⎧<<00B A 分母分子 5、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）6、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分。
7、分子与分母中没有公因式的分式叫最简分式。
8、任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1=- ＝n a)1( （)0≠a ，特别地，a a 11=-（)0≠a 9、正整数指数幂运算性质也可推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加：m n m n a a a +•=；（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘：()m n mn a a =;（3）积的乘方，等于把积中每个因式分别乘方：()n n n ab a b =；（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减：n m n mnm a a a a a -==÷ ( a ≠0)； （5）商的乘方，分子分母各自乘方：()nn n a a b b=；(b ≠0) 10、科学记数法的形式：n a 10⨯（其中101<≤a ，即a 是一位整数的数，n 是整数） 若原数是绝对值大于10的整数时，n 为正，n 等于原数的整数位数减1若原数是绝对值小于1的正小数时, n 为负，n 等于原数的第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面那个0)11、分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程。
12、解分式方程的步骤 ：(1) 去分母：方程两边同乘以最简公分母后，化为整式方程；(2)解整式方程；(3)检验．将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母0≠，则它是原分式方程的解；A A CB B C•=•A A C B B C ÷=÷若最简公分母＝0，则它是增根，原分式方程无解。
湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点
湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点一、分式的概念咱先来说说啥是分式哈。
分式呢，就是形如A/B 的式子，其中A、B 是整式，且 B 中含有字母。
比如说2/x，x/y+1 这些都是分式。
可别把分式和整式弄混了哈，整式里可没有分母含字母这一说。
那啥时候分式有意义呢？很简单，当分母 B 不等于0 的时候，分式就有意义。
举个例子，对于分式1/(x-1)，当x-1≠0，也就是x≠1 的时候，这个分式就有意义。
要是分母等于0 了呢，那分式就没意义了。
比如还是这个分式，当x=1 的时候，分母为0，这时候分式就没意义了。
再说说分式值为零的情况。
那得满足两个条件，一是分子 A 等于0，二是分母B 不等于0。
比如说分式(x-1)/(x+1)，要让这个分式值为零，那就得x-1=0，同时x+1≠0。
解第一个方程得x=1，再看第二个条件，当x=1 的时候，x+1=2≠0，所以当x=1 的时候，这个分式值为零。
咱再来几个式子让大家判断判断哈。
像3/x²，这肯定是分式。
当x=0 的时候，这个分式没意义，因为分母为0 了。
当x≠0 的时候，这个分式有意义。
那这个分式啥时候值为零呢？因为分子是3，恒不为0，所以这个分式值永远不可能为零。
再看(x²-4)/(x-2)，先化简一下，分子可以因式分解为(x+2)(x-2)，这样这个式子就变成了(x+2)(x-2)/(x-2)，约分后就是x+2。
当x=2 的时候，原来的式子分母为0，没意义。
当x≠2 的时候，这个式子就等于x+2。
那这个式子啥时候值为零呢？当x+2=0，也就是x=-2 的时候，这个式子值为零。
大家可都得把分式的概念弄清楚了哈，这可是学好分式这一章的基础呢。
二、分式的基本性质咱先来说说分式的基本性质是啥哈。
那就是分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
听起来有点绕口不？咱举个例子就明白啦。
比如说有个分式$\frac{2}{3}$，要是分子分母都乘以2，那就变成了$\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}$。
新版湘教版秋八年级数学上册第一章分式小结与复习教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第一章分式小结与复习教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第一章分式小结与复习主要内容包括分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等。
本章内容是初中的重要知识点，也是学生学习高中数学的基础。
通过本章的学习，使学生掌握分式的基本概念和运算方法，能够解决简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和运算方法，但对分式方程的解法还不够熟练。
学生在学习过程中，对分式的理解存在一定的困难，特别是分式方程的解法，部分学生可能会感到迷茫。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生加深对分式的理解，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握分式的基本概念和运算方法，能够解决简单的实际问题。
2.过程与方法：通过复习，引导学生自主探究，总结分式的性质和运算规律，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：培养学生热爱数学，勇于探究的精神，增强学生团队合作的意识。
四. 教学重难点1.重点：分式的基本概念和运算方法。
2.难点：分式方程的解法及其应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究，总结分式的性质和运算规律。
2.运用小组合作学习，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
3.利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.安排学生进行预习，了解分式的基本概念和运算方法。
3.设计好课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习分式的基本概念，引导学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示分式的性质和运算规律，让学生自主探究，总结出分式的基本性质和运算方法。
3.操练（20分钟）教师设计一些分式运算的题目，让学生独立完成，检验学生对分式运算方法的掌握程度。
4.巩固（15分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用所学的分式知识解决，巩固学生对分式的应用能力。
新湘教版八年级数学上册第一章分式小结与复习
混合运算
03
CHAPTER
分式方程
根据实际问题或数学问题，通过数学模型将问题转化为分式方程。
方程的建立
利用分式方程的解法，如去分母、换元法等，求解分式方程。
方程的求解
方程的建立与求解
利用分式方程解决与速度、时间和距离相关的实际问题，如追及问题、相遇问题等。
通过建立分式方程，解决与工作效率相关的实际问题，如工程问题、工作分配问题等。
分式与其他知识点的联系
整式和分式都是代数的基本形式，整式是由数字和字母通过有限次加、减、乘运算得到的代数式，而分式是整式的一种特殊形式，其分母中含有字母。
分式可以看作是整式的除法运算，即一个分式除以另一个分式等于被除数乘以除数的倒数。
分式的约分和通分也是基于整数的约分和通分原理，通过因式分解或找最大公约数来实现。
在几何学中，我们经常需要计算图形的面积或体积。当知道图形的边长或其他尺寸时，我们可以通过分式来表示和计算面积或体积。例如，计算矩形的面积时，我们可以用分式来表示长度和宽度的关系。
详细描述
面积、体积问题
分式在解决其他实际问题中也有广泛应用，如溶液的稀释、金融投资等。
总结词
除了速度、时间、距离和面积、体积问题外，分式在现实生活中还有许多应用。例如，在化学实验中，我们经常需要稀释溶液，这时可以用分式来表示稀释的比例。在金融领域，分式可以用来表示投资回报率或利率等经济指标。
Hale Waihona Puke 与整式的联系分式方程可以转化为整式方程，通过去分母或消去分母的方法，将分式方程转化为整式方程进行求解。
解分式方程时，需要注意验根，因为分母不能为零。
分式经常出现在方程中，尤其是高次方程和分式方程。
与方程的联系
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第3章 实 数
要点梳理
一、平方根
1. 平方根的概念及性质 a (1)定义：若r2=a，则r叫作a的一个平方根. (2)性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0，负数没有平方根.
2. 算术平方根的概念及性质 a (1)定义：a的正平方根叫作a的算术平方根. (2)性质：0的算术平方根是0，只有非负数才有算术平
2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定) 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3. 线段垂直平分线的作法
五、全等三角形 1.全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等
2.全等三角形的判定 SAS ASA AAS SSS
3.三角形的稳定性
依据：SSS
六、用尺规作三角形 1.作一个角的平分线
方程； （2）解：解这个整式方程； （3）验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解，而是其增根，舍去；
（4）写根：写出原方程的根.
3.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，弄清楚已知量和未知量的关系； （2）找：找出题目中的等量关系； （3）设：根据题意设出未知数； （4）列：列出分式方程； （5）解：解这个分式方程； （6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程
分式的除法
（1）同分母分式相加减
分式的乘方
（2）异分母分式加减时需通分化为同分母分式加减.这个相同的 分母叫公分母.
(确定公分母的方法:一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各 个因式的最高次幂的积为公分母)
三、整数指数幂
1.同底数幂除法：a m an
amn
(a≠0, m、n为正整数且m>n)
湘教版八年级数学上册第1章分式复习知识点及复习题解析
即 分式的分子、分母都乘 它们的公因式 ， 所得分式与原分式相等。
f f f . g g g
分式及其分子、分母三处法符号，任意改 变两处的符号，即把负号移到另一处，分式的 值不变。
f mk m . g nk n
即 分式的分子、分母都约去 公因式 ， 所得分式与原分式相等。
1. 分式乘分式把分子相乘的积作分子，把分母相 乘的积作分母。最后结果约分成 最简分式 .
概念和性质
乘、除运算
分
式
运算
整数指数幂的运算
加、减运算
可化为一元一次方程的分式方程
1. 整式f除以 非零 整式g(g中含有 字母 )所得 的商 f ，叫做分式。
g
2. 当分母 等于0 时，分式的值不存在(无意义)； 当分子等于 等于0 但分母 不等于0 时，分式
的值等于0.
f f h h 0.
(ab)n=anbn
a b
n
an bn
am an
amn
1.同分母分式相加减，分母 不变 ，把分子 相加减 .
2.各分式的分母的 所有因式 的最高次幂的积，叫做 这些分式的最简公分母.
3.根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母 分式的过程叫做 通分 .通分的方法：先确定各分 母的 最简公分母 ，再将各分式的分子、分母都 乘最简公分母约去各分式的分母所得的整式。
【答案】x=±2.
2.先约分，再求值：
2x 6 x2 4x
4
x2 x2 3x
，其 中x
3.
【答案】原式=
2
xx
2
2 3
.
3.计算：
16a3b 3b；
2 24x5 y3 36x4 y4；
湘教版八年级上册数学 1.5.3分式方程的应用 复习课后习题练习课件
答：商店可以盈利 1 900 元．
6．2019年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌， 房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾 区．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车 每辆多装20件帐篷，且甲种货车装运1 000件帐篷所用 车辆与乙种货车装运800件帐篷所用车辆相等．
(1)求第一批套尺购进时单价是多少？ 解：设第一批套尺购进时单价是 x 元/套．
由题意，得1 5500－1 0x00＝100， 4x
即1 2x00－1 0x00＝100， 解得 x＝2.经检验，x＝2 是所列方程的解．
答：第一批套尺购进时单价是 2 元/套；
(2)若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以 盈利多少元？
(2)如果这批帐篷有1 490件，用甲、乙两种货车共16辆来 装运，甲种货车刚好装满，乙种货车最后一辆只装了 50件，其他装满，求甲、乙两种货车各有多少辆． 解：设甲种货车有z辆，则乙种货车有(16－z)辆，依 题意有100z＋80(16－z－1)＋50＝1 490， 解得z＝12，16－z＝16－12＝4(辆)． 答：甲种货车有12辆，乙种货车有4辆．
第1章 分 式
1. 5 可化为一元一次方程的分式方程 第3课时 分式方程的应用
1．【中考•吉林】如图是学习分式方程的应用时，老师板 书的问题和两名同学所列的方程．
根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的x表示_甲__队__每__天__修__路__的__长___度__，
庆庆同学所列方程中的y表示_甲__队__修__路__4_0_0_米__所__用__时__ _间__或__乙__队__修__路__6_0_0_米__所__用__时__间__；
八年级分式知识点总结
八年级分式知识点总结分式知识是比较容易拿分的题目，那么相关的分式知识点我们又要掌握什么呢?以下是小编为大家精心整理的八年级分式知识点总结，欢迎大家阅读。
八年级分式知识点总结1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB =0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为 (其中A、B、C是整式 )，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
湘教版八年级数学上册知识点总结
湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程】本章复习与测试第2章三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形-本章复习与测试第3章实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第4章一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质(4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法…本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：回顾相关知识：认真阅读教材P1－40二、课堂点拨：知识点一：分式的概念.★考点1:分式的定义：知识点二：分式的性质★考点4:分式的基本性质：分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。
即（其中）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
即（其中）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
即。
…★考点5:最简分式（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。
约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
（2）最简分式：分子与分母没有分式，叫做最简分式。
.知识点三：分式的运算★考点6:分式的加减法①同分母分式相加减，分母，把分子。
即。
②异分母分式相加减，要先，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。
即。
①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；—②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。
③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。
例7、计算的结果是。
★考点7:分式的乘除法乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。