2020届高三数学一轮复习： 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
第五节直线、平面垂直的判定及其性质[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B.m∥nC．n⊥l D.m⊥nC[∵α∩β＝l，∴l⊂β.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如图7-5-1，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．图7-5-14[∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为a .]如图7-5-2，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .图7-5-2(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． [解] (1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥CD .2分又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ， AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， 所以CD ⊥平面ABD .5分(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12.8分 因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14.根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A -MBC ＝V C -ABM＝13S △ABM ·h ＝112.12分[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1]如图7-5-3所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB .求证：P A ⊥CD .图7-5-3[证明] 因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB ，在Rt △ABC 中，由3AC ＝BC ，得∠ABC ＝30°.3分设AD ＝1，由3AD ＝DB ，得DB ＝3，BC ＝23，由余弦定理得CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 30°＝3，所以CD 2＋DB 2＝BC 2，即CD ⊥AO .8分因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面P AB，又P A⊂平面P AB，所以P A⊥CD.12分(2017·郑州调研)如图7-5-4，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H 分别为AC，BC的中点．图7-5-4(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.1分在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，故BD∥平面FGH.5分(2)连接HE，GE，CD因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.6分由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2]如图7-5-5，在三棱锥P-ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A ⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．图7-5-5(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.[证明](1)因为M，N分别为AB，P A的中点，所以MN∥PB，2分又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.5分(2)因为P A⊥PB，MN∥PB，所以P A⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.7分因为平面P AB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面P AB.10分因为P A⊂平面P AB，所以CM⊥P A.又MN∩CM＝M，所以P A⊥平面MNC.12分☞(2016·江苏高考)如图7-5-6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.图7-5-6[证明](1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.3分又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.5分(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.7分又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.10分又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.12分[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．☞角度2平行垂直中探索开放问题(2017·秦皇岛调研)如图7-5-7(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图7-5-7(2)所示．(1)(2)图7-5-7(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.【导学号：01772259】[证明](1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.2分由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.5分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.6分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，则DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.12分[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.BCFE⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.图7-5-8(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．[解] (1)证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示.1分因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，3分因此，BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD .5分(2)因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角.8分在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217，所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217.12分[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．(2)证：证明找出的角即为所求的角．(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．[变式训练3]如图7-5-9，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．图7-5-9(1)求PB和平面P AD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD.[解](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故P A⊥AB.又AB⊥AD，P A∩AD＝A，从而AB⊥平面P AD，2分故PB在平面P AD内的射影为P A，从而∠APB为PB和平面P AD所成的角．在Rt△P AB中，AB＝P A，故∠APB＝45°.∴PB和平面P AD所成的角的大小为45°.5分(2)证明：在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥P A.由条件CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .7分又AE ⊂平面P AC ，∴AE ⊥CD .由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .10分又PC ∩CD ＝C ，故AE ⊥平面PCD .12分[思想与方法]1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任一直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.2．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.3．转化思想：垂直关系的转化[易错与防范]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．。
《直线、平面垂直的判定及其性质》新课程高中数学高三一轮复习课件
连接BO并延长交AC于F.
∵PA⊥平面ABC,BF 平面ABC,
∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC, ∴BF⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BF⊥PC.
连接BQ并延长交PC于M,连接MF. ∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,
∵AB 平面EAB,∴AB⊥CD.
学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面. 若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰 三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.
举一反三
1. （2010·淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正 方形，DF⊥平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证： GN⊥AC.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)定义:如果直线 与l 平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平l
面α互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫 做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段, 垂线段的长度叫做点到平面的距离. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直 线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与 这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面. (5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
举一反三
2. 如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求 证:OQ⊥平面PBC.
高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质教案 文
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质【考纲下载】1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．理解直线与平面所成的角、二面角的概念． 1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,,,,a b a b O l a l b α⊂=⊥⊥⇒l ⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行,a b αα⊥⊥⇒a ∥b2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图所示，∠PAO 就是斜线AP 与平面α所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直的判定定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直,l l αα⊂⊥⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直,,,l a l aαββαβ⊥⊂=⊥⇒l⊥α面是否垂直？提示：垂直．2．如果两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行吗？提示：不一定．可能平行、相交或异面．3．垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出．1．(教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B ①④正确．2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( )A．b⊂α B．b∥αC．b⊂α或b∥α D．b与α相交解析：选C ∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b⊂α.3．(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有( ) A．8对 B．7对C．6对 D．5对解析：选B 由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB ⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC ⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．4．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)．解析：设α∩β＝l ，则当m ⊂α，且m ⊥l 时，有m ⊥β，否则m 不垂直β，故α⊥β ⇒/ m ⊥β；反之，若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β.答案：必要不充分5.如图，已知PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC .又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴BC ⊥平面PAC ， ∴BC ⊥PC .故△PAB ，△PAC ，△BAC ，△BCP 都是直角三角形． 答案：4答题模板(五)空间位置关系的证明[典例] (2013·浙江高考)(15分)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值．[快速规范审题]第(1)问1．审结论，明解题方向 观察所求结论，证明BD ⊥平面APC ――→可利用线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理证明BD 与平面APC 内的两相交直线垂直或证明BD 所在的平面与平面APC 垂直，且BD 与交线垂直．2．审条件，挖解题信息观察条件，AB ＝BC ，AD ＝CD ，PA ⊥平面ABCD ，线面垂直的判定定理,BD ⊥平面APC .3．建联系，找解题突破口AB ＝BC ，AD ＝CD ――→BD 是AC 的中垂线BD ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD 线面垂直的判定定理,BD ⊥平面APC .第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论，DG 与平面APC 所成的角的正切值射影定理,DG 与平面APC 所成的角．2．审条件，挖解题信息观察条件，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°余弦定理,AC ＝23比例关系,OC ＝3勾股定理,OD ＝2.3．建联系，找解题突破口在Rt △OGD 中三角函数定义,tan ∠OGD ＝OD OG.第(3)问1．审结论，明解题方向观察所求结论，PG GC――→相似三角形性质PG 、GC 的值．2．审条件，挖解题信息观察条件，PC ⊥平面BGDOG ⊂平面BGD,PC ⊥OG 勾股定理,PC 的值．3．建联系，找解题突破口PC ⊥平面BGDOG ⊂平面BGD,PC ⊥OG 勾股定理,PC 的值――→相似三角形性质 GC 的值―→PG GC的值． [准确规范答题](1)证明：设点O 为AC 与BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线， 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .⇨2分又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面APC ， 所以BD ⊥平面APC .⇨4分(2)连接OG .由(1)可知，OD ⊥平面APC ， 则DG 在平面此外易误判DG 与平面APC 所成的角造成后续求解错误APC 内的射影为OG ，所以∠OGD是DG 与平面APC 所成的角． ⇨5分由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC＝ 4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，所以OC ＝12AC ＝3.⇨7分在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝7－3＝2.在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为433.⇨10分(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG .在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝3＋12＝15，所以GC ＝AC ·OC PC＝23×315＝2155.⇨13分从而PG ＝3155，所以PG GC＝32.⇨15分[答题模板速成]。
2020高三数学总复习直线、平面垂直的判定与性质PPT课件
符号表示
应用
判定 根据定义，证明一条直线垂
b 是平面 α 内任意一 证明直
直于一个平面内的任意一 条直线
条直线， ⇒a⊥α
线和平 面垂直
一条直线与一个平面内的
_两__条__相__交__直_线__都垂直，则该
直线与此平面垂直
⇒l⊥α
如果两条平行直线中的
___一__条___垂直于一个平面， 那 么 _另__一__条___ 也 垂 直 于 同
课前双基巩固
10．[2016·北京卷改编] 如图 6-40-4 所示， 在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥平面 ABCD， AB∥DC，DC⊥AC，则平面 PAB 与平面 PAC 的位置关系为____________．
图 6-40-4
[答案] 垂直
[解析] 因为 AB∥DC，DC⊥AC， 所以 AB⊥AC. 因为 PC⊥平面 ABCD，所以 PC⊥AB，又 PC∩AC＝C，所以 AB⊥平面 PAC， 所以平面 PAB⊥平面 PAC.
二面角 A1 BB1 C 的平面角， 由此能求出二面角 A1 BB1 C 的余弦值．
课堂考点探究
直线、平面垂直的判定与性质
考试说明
理解空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理． 判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
课前双基巩固
(2)两个平面垂直的判定和性质
课前双基巩固
类别
语言表述
根据定义，证明两平面所成的二面
判
角是__直_二__面__角_
定 如果一个平面经过另一个平面的
2020版高考数学一轮复习第七章立体几何第五节直线、平面垂直的判定与性质学案理(含解析)新人教A版
第五节直线、平面垂直的判定与性质2019考纲考题考情1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直。
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理续表1．与线面垂直相关的两个常用结论：(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。
(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直。
2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直一、走进教材1．(必修2P 73A 组T 1改编)下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ解析 根据面面垂直的性质，知A 不正确，直线l 可能平行平面β，也可能在平面β内。
故选A 。
答案 A2．(必修2P 67练习T 2改编)在三棱锥P －ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O 。
(1)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心；(2)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心。
解析(1)如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心。
(2)如图，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G。
因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB ＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高。
高考数学一轮总复习课件：直线、平面垂直的判定及性质
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
2020年高考数学复习精选课件 第5节 直线、平面垂直的判定与性质 公开课一等奖课件
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所以MN∥CD. 又AB∥CD,所以MN∥AB. 因此MN⊥平面EFG. 又MN⊂平面EMN, 所以平面EFG⊥平面EMN.
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方法指导 证明面面垂直的思路 (1)利用面面垂直的定义(不常用); (2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证 这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方 法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通 过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅 助线来解决(常用方法).
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1.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两个平面互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相 互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于 这个平面. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B ①④正确.
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因为CF∩EF=F,CF⊂平面CEF,EF⊂平面CEF, 故平面CEF∥平面PAD. 又CE⊂平面CEF, 所以CE∥平面PAD. (2)因为E,F分别为PB,AB的中点, 所以EF∥PA. 又AB⊥PA,所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG. 又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG, 因此AB⊥平面EFG. 又M,N分别为PD,PC的中点,A
证明 (1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.
因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=1 AB.
2
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又AB∥CD,CD= 1 AB,
2
所以EH∥CD,EH=CD. 因此四边形DCEH是平行四边形. 所以CE∥DH. 又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD, 因此,CE∥平面PAD.
7.3 直线、平面垂直的判定与性质-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义
§7.3 直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直 (1)定义如果直线a 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a 与平面α互相垂直，记作a ⊥α，直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面．垂线和平面的交点即为垂足． (2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)题组二教材改编2．(多选)下列命题中正确的有()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案ABC解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，∴PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题组三易错自纠4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM 与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案A解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.6．(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥平面ABC B．平面VAC⊥平面VBCC．MN与BC所成的角为45°D．OC⊥平面VAC答案AB解析易知MN∥AC，又AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选AB.直线与平面垂直的判定与性质例1(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，且EF ＝AB ＝3.所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积V ＝13×3×6×3＝18.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1 (2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明 (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 则AB ∥EF .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .平面与平面垂直的判定与性质例2 (2019·栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，F A ⊥平面ABCD ，ED ∥F A ，且AB ＝F A ＝2ED ＝2.(1)求证：平面F AC ⊥平面EFC ； (2)求多面体ABCDEF 的体积．(1)证明 连结BD 交AC 于O ，设FC 中点为P ，连结OP ，EP ，∵O ，P 分别为AC ，FC 的中点， ∴OP ∥F A ，且OP ＝12F A ，∴OP ∥ED 且OP ＝ED ， ∴四边形OPED 为平行四边形， ∴OD ∥EP ，即BD ∥EP ，∵F A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴F A ⊥BD ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ∵F A ∩AC ＝A ，F A ，AC ⊂平面F AC ，∴BD ⊥平面F AC ，即EP ⊥平面F AC ， 又EP ⊂平面EFC ，∴平面F AC ⊥平面EFC . (2)解 V F －ABC ＝13S △ABC ·F A ＝13×34×4×2＝233，∵F A ⊥平面ABCD ，F A ⊂平面ADEF ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，作CG ⊥AD 于点G ， 又平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，∴CG ⊥平面ADEF ，∴C 到平面ADEF 的距离CG ＝32CD ＝3， ∴V C －ADEF ＝13×(1＋2)×22×3＝3，∴V ABCDEF ＝V F －ABC ＋V C －ADEF ＝533. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．跟踪训练2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．(1)证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ， 所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解 由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE ∥DC 且QE ＝13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.垂直关系的综合应用例3 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点．(1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若P A＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 2 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．(1)证明∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC，∵P A⊥平面ABC，∴BC⊥P A，又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．(2)解如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面P AC，∴BC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，∵P A⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角，∵tan∠PCA＝P AAC＝2，又P A＝2，∴AC＝2，∴在Rt△P AC中，AH＝P A·ACP A2＋AC2＝233，∴在Rt △ABH 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝2332＝33，即直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33. 思维升华 (1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化．(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解． 跟踪训练3 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是( )①A ′C ⊥BD ； ②∠BA ′C ＝90°；③CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°； ④四面体A ′－BCD 的体积为13.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，∴AB ⊥AD ，∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ， 取BD 的中点O ，连结OA ′(图略)， ∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD .又平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，A ′O ⊂平面A ′BD ， ∴A ′O ⊥平面BCD .BD ⊥CD ，∴OC不垂直于BD .假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，故①错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B.∵A′B＝A′D＝1，BD＝2，∴A′B⊥A′D，又CD∩A′D＝D，CD，A′D⊂平面A′CD，∴A′B⊥平面A′CD，又A′C⊂平面A′CD，∴A′B⊥A′C，故②正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，故③错误；V A′－BCD＝V C－A′BD＝13S△A′BD·CD＝16，故④错误．故选B.1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n答案C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.2．(2019·天津模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是() A．若l∥m，则必有α∥βB．若l⊥m，则必有α⊥βC．若l⊥β，则必有α⊥βD．若α⊥β，则必有m⊥α答案C解析对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误； 对于选项C ，因为l ⊂α，l ⊥β，所以α⊥β.所以选项C 正确； 对于选项D ，直线m 可能和平面α不垂直，所以选项D 错误．3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 答案 B解析 如图，取正三角形ABC 的中心O ，连结OP ，则∠P AO 是P A 与平面ABC 所成的角．因为底面边长为3，所以AD ＝3×32＝32，AO ＝23AD ＝23×32＝1. 三棱柱的体积为34×(3)2AA 1＝94， 解得AA 1＝3，即OP ＝AA 1＝3， 所以tan ∠P AO ＝OPOA＝3，因为直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以∠P AO ＝π3.4.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体P－DBC是一个鳖臑，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑，故选C.6．(2020·苏州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段答案A解析如图，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有BD1⊥平面ACB1，因为AP⊥BD1，所以AP⊂平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴故点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.故选A.7．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．平面ACC1A1⊥CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°答案ABC解析对于A，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，A正确；对于B，连结AC，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面ACC1，则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45°，D错误．故选ABC.8．(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()A．平面D1A1P⊥平面A1APB ．∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2C ．三棱锥B 1－D 1PC 的体积为定值 D ．DC 1⊥D 1P 答案 ACD解析 在A 中，因为A 1D 1⊥平面A 1AP ，A 1D 1⊂平面D 1A 1P ， 所以平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；在B 中，当P 与A 1重合时，∠APD 1＝π2，故B 错误；在C 中，因为△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B ∥平面B 1D 1C ， 所以点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值，所以三棱锥B 1－D 1PC 的体积为定值，故C 正确；在D 中，因为DC 1⊥D 1C ，DC 1⊥BC ，D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1， 所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，又D 1P ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥D 1P ，故D 正确． 9．(2019·北京)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________. 答案 若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α(答案不唯一)解析 若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，显然①③⇒②正确；若l ⊥m ，m ∥α，则l ∥α，l 与α相交但不垂直都可以，故①②⇒③不正确；若l ⊥α，m ∥α，则l 垂直于α内所有直线，在α内必存在与m 平行的直线，所以可推出l ⊥m ，故②③⇒①正确．10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵P A⊥底面ABCD，∴BD⊥P A，连结AC，则BD⊥AC，且P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD 交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面P AD⊥平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因为AF ⊥EF ，(1)中已证AB ∥EF ， 所以AB ⊥AF .由点E 在棱PC 上(异于点C )，所以点F 异于点D ， 所以AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ， 又AB ⊂平面ABCD ， 所以平面P AD ⊥平面ABCD .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝120°，点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且PN ＝14PB .(1)证明：MN ∥平面PDC ；(2)求直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值． (1)证明 因为AB ＝BC ，AD ＝CD ， 所以BD 垂直平分线段AC .又∠ADC ＝120°，所以MD ＝12AD ＝12，AM ＝32.所以AC ＝ 3.又AB ＝BC ＝3，所以△ABC 是等边三角形， 所以BM ＝32，所以BMMD＝3，又因为PN ＝14PB ，所以BM MD ＝BNNP ＝3，所以MN ∥PD .又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以MN ∥平面PDC .(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A ，又BD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC .由(1)知MN ∥PD ，所以直线MN 与平面P AC 所成的角即直线PD 与平面P AC 所成的角，故∠DPM 即为所求的角．在Rt △P AD 中，PD ＝2，所以sin ∠DPM ＝DM DP ＝122＝14， 所以直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值为14.13．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG ⊥平面EFHB ．AH ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEFD ．HG ⊥平面AEF答案 B解析 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，又HE ∩HF ＝H ，HE ，HF ⊂平面EFH ，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确；∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，AG ，GH ⊂平面HAG ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过点H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确；由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确．故选B.14.在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，M 为BC 的中点．(1)求证：FM ∥平面BDE ；(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ，求点F 到平面BDE 的距离．(1)证明 取BD 的中点O ，连结OM ，OE ，因为O ，M 分别为BD ，BC 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD .因为四边形ABCD 为菱形，所以CD ∥AB ，又EF ∥AB ，所以CD ∥EF ，又AB ＝CD ＝2EF ，所以EF ＝12CD ，所以OM ∥EF ，且OM ＝EF ，所以四边形OMFE 为平行四边形，所以MF ∥OE .又OE ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ，所以MF ∥平面BDE .(2)解 由(1)得FM ∥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离等于点M 到平面BDE 的距离．取AD 的中点H ，连结EH ，BH ，因为EA ＝ED ，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，所以EH ⊥AD ，BH ⊥AD .因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，EH ⊂平面ADE ，所以EH ⊥平面ABCD ，因为BH ⊂平面ABCD ，所以EH ⊥BH ，因为EH ＝BH ＝3，所以BE ＝6，所以S △BDE ＝12×6×22－⎝⎛⎭⎫622＝152.设点F 到平面BDE 的距离为h ，连结DM ，则S △BDM ＝12S △BCD ＝12×34×4＝32， 连结EM ，由V 三棱锥E －BDM ＝V 三棱锥M －BDE ， 得13×3×32＝13×h ×152，解得h ＝155， 即点F 到平面BDE 的距离为155.15．(2019·河北省衡水中学模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB ＝1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为________．答案64 解析 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，AB ＝1，则OC 21＝CC 21＋OC 2＝1＋12＝32，OE 2＝OA 2＋AE 2＝14＋12＝34， EC 21＝A 1C 21＋A 1E 2＝2＋14＝94， ∴OC 21＋OE 2＝EC 21，∴OE ⊥OC 1；又BD ⊥平面ACC 1A 1，OC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥OC 1，且OE ∩BD ＝O ，∴OC 1⊥平面BDE ，且S △BDE ＝12BD ·OE ＝12×2×32＝64， 即α截该正方体所得截面图形的面积为64. 16.如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，且E 为CD 的中点，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥AB ；④在折起过程中，一定不会有EC ⊥AD .答案 ①②解析 由已知，在未折叠的原梯形中，易知四边形ABCE 为矩形，所以AB ＝EC ，所以AB ＝DE ，又AB ∥DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE ＝AD ，折叠后如图所示．①过点M 作MP ∥DE ，交AE 于点P ，连结NP .因为M ，N 分别是AD ，BE 的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD.因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，所以EC⊥AD，④不正确．。
2020高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定及性质增分练
【2019最新】精选高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定及性质增分练板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2016·浙江高考]已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C. 2．[2015·福建高考]若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )B．必要而不充分条件A．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件C．充分必要条件答案B解析由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B. 3．[2017·天津河西模拟]设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案B解析对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错误．故选B.4.[2018·济南模拟]已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是( )A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD答案D解析A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直．故选D. 5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案D解析若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确，α与β相交．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B，C.故选D.6．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案3解析如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 7．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥b；②若a⊥α，且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________．答案②③④解析①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．8.[2018·广东模拟]如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.答案③解析由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确．9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC.故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.∵E是PC的中点，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，由于PC∩CD＝C，从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE. 10.[2018·湖南永州模拟]如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求四棱锥S－ABCD的高．解(1)证明：如图，取AB的中点E，连接DE，DB，则四边形BCDE为矩形，∴DE＝CB＝2，∴AD＝BD＝.∵侧面SAB为等边三角形，AB＝2，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴SA2＋SD2＝AD2，SB2＋SD2＝BD2，∴∠DSA＝∠DSB＝90°，即SD⊥SA，SD⊥SB，SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.(2)设四棱锥S－ABCD的高为h，则h也是三棱锥S－ABD 的高．由(1)，知SD⊥平面SAB.由VS－ABD＝VD－SAB，得S△ABD·h＝S△SAB·SD，∴h＝.又S△ABD＝AB·DE＝×2×2＝2，S△SAB＝AB2＝×22＝，SD＝1，∴h＝＝＝.故四棱锥S－ABCD的高为.[B级知能提升]1．[2018·青岛质检]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )B．a⊥α，b⊥β，α∥βA．a⊥α，b∥β，α⊥βD．a⊂α，b∥β，α⊥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β答案C 解析对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b.故选C. 2．[2018·河北唐山模拟]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )B．AH⊥平面EFHA.AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.3.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．答案①②④解析①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC⇒AE⊥平面PBC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由②可知④正确．4．[2018·江西九江模拟]如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD.(2)若cos∠BAD＝，求几何体ABCDEF的体积．解(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BE⊥AC.∴AC⊥平面BEFD，AC⊂平面ACF.∴平面ACF⊥平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O，AB＝a(a>0)，由(1)得AC⊥平面BEFD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2＝EF2－(DF－BE)2＝8，∴BD＝2，∴S四边形BEFD＝(BE＋DF)·BD＝3，∵cos∠BAD＝，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝a2＝8，∴a＝，∴OA2＝AB2－OB2＝3，∴OA＝，∴VABCDEF＝2VA－BEFD＝S四边形BEFD·OA＝2.5．[2017·全国卷Ⅲ]如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．解(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，又BD⊂平面DOB，故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.。
一轮复习课时训练§7.5：直线、平面垂直的判定及其性质
第七章§5：直线、平面垂直的判定及其性质(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°2．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在平面，那么A ．PA ＝PB>PCB ．PA ＝PB<PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β5．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF的距离为A ． 3B ．22 C ．23 D ．55二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．设P 是60°的二面角α－l －β内的一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A ，B 分别为垂足，PA ＝2，PB ＝4，则AB 的长是______．7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n. 其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________．8．如图，矩形ABCD 的边AB ＝a ，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，现有数据：①a ＝12；②a ＝1；③a ＝3；④a ＝4，当BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，可以取________(填上正确的序号)．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱EF 12BC.(1)证明：FO ∥平面CDE ；(2)设BC ＝3CD ，证明：EO ⊥平面CDF.10．（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.(1)求证：AE ⊥BE ；(2)求三棱锥D －AEC 的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：因AD ∥BC ，所以∠B 1CB 就是异面直线AD 与B 1C 所成的角．又因在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，△B 1BC 是等腰直角三角形，所以∠B 1CB ＝45°.即异面直线AD 与CB 1所成的角为45°，D 项中结论错误，故选D 项．答案：D2．解析：∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC.选C 项．答案：C3．解析：根据面面垂直的判定定理知②对．由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一平面知④对． 答案：D4．解析：如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β，故选D 项．答案：D5．解析：由题意知A 1B 1∥平面D 1EF ，所以G 到面D 1EF 的距离，即A 1到面D 1EF 的距离． ∵平面A 1D 1E ⊥平面D 1EF ，∴A 1到D 1E 的距离即为A 1到面D 1EF 的距离，1×121＋(12)2＝55.故选D 项． 答案：D 二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：如图，可设直线l 与平面PAB 相交于C ，由PA ⊥面α，知PA ⊥l ，由PB ⊥面β，知PB ⊥l ，∴l ⊥平面PAB ，∴l ⊥AC ，l ⊥BC ，因此∠ACB 是二面角α－l －β的平面角，故∠ACB ＝60°，由P ，A ，B ，C 四点共面可得，∠APB ＝120°，故由余弦定理知：AB ＝27.答案：277．解析：②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.答案：①④8．解析：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥DQ.连结AQ.由PQ ⊥QD 得AQ ⊥QD ，∴Rt △ABQ ∽Rt △QCD ，令BQ ＝x ，则a 2－x ＝x a ，即x 2－2x ＋a 2＝0，又方程有正根，∴0＜a ≤1.答案：①②三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）证明：(1)取CD 中点M ，连结OM.在矩形ABCD 中，OM 12BC ，又EF 12BC ，则EF OM ，连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形，∴FO ∥EM ，又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，∴FO ∥平面CDE.(2)连结FM ，由(1)和已知条件，在等边△CDE 中，CM ＝DM ，EM ⊥CD 且EM ＝32CD ＝12BC ＝EF ，因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM ，∵CD ⊥OM ，CD ⊥EM ，OM ∩EM ＝M ，∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO.而FM ∩CD ＝M ，所以EO ⊥平面CDF.10.（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）解：(1)证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC. ∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF.∵BC ∩BF ＝B ，且BC ，BF ⊂平面BCE ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE.(2)∵AE ⊥BE ，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝22，S △ADC ＝12·AD·DC ＝12·BC·AB ＝12×2×22＝22， V D －AEC ＝V E －ADC ＝13×22×2＝43. (3)在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE. ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ，∴平面MGN ∥平面ADE.又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE.∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．。
2020年高考数学专题复习直线、平面垂直的判定及其性质
1 直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b
⇒l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
a⊥αb⊥α⇒a∥b
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直
l⊂βl⊥α⇒α⊥β
性质定理
两个平面互相垂直，则一个平面内
垂直于交线的直线垂直于另一个平面
α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a
⇒l⊥α 3.空间角 (1)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
②线面角θ的范围：θ∈0，π2． (2)二面角 2
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角αlβ或二面角PABQ．
②二面角的平面角 如图，过二面角αlβ的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．
③二面角的范围 设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．
④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.( ) (2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ) (3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.( ) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 解析：选C.因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. (2019·浙江省高中学科基础测试)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( ) A．α⊥β且m⊥α B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β 解析：选C.依题意，对于A，注意到直线m可能位于平面β内，因此选项A不正确；对于B，注意到直线m可能位于平面β内且与它们的交线平行，因此选项B不正确；对于C，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C正3