中考数学真题分类汇编：等腰三角形
等腰三角形一.选择题1.（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A．16 B．18C．20 D．16或20【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三角形的第三边长,最后求得其周长.【答案】C【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起.难度较小.2．（2012江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20° B．50° C．60° D．80°考点：等腰三角形的性质。
分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．故选B．点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．3．（2012•中考）把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（）解答：解：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选C ．点评： 本题考查了中心对称图形，等腰三角形的性质，轴对称图形，判断出四边形ABDC 是菱形是解题的关键．4.（2012荆州）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为( )A ．2 B ．．3 【解析】题目中已知了△ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。
本题中，有含有30°角的直角三角形，要想到30°角的直角边等于斜边的一半。
△ABC 是等边三角形，BD 是∠ABC 的平分线， 所以∠ABD=∠CBD=21∠ABC=30°。
在直角△QBF 中，BF ＝2，∠CBD=30°,所以FQ 是BP 的垂直平分线,所以BP=2在直角△PBE 中, BP=∠ABD =30°, 所以PE=21【答案】C【点评】题目中已知了△ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。
本题中，有含有30°角的直角三角形，要想到30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
5．（2012铜仁）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。
解答：解：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点E ，第9题图A DE F P Q C B∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D．6．（2012•资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一组对边平行的四边形是梯形C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；梯形；命题与定理。
分析：已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E，AB=DE，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即可．解答：解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠B=∠C，∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即，∴△ADE≌△DAC，∴∠E=∠C，∴∠B=∠E，AB=DE，但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确；D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键．7．（2012攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系。
分析：根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．解答：解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．8．（2012广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°B．75°C．45°或75°D．60°考点：等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。
分析：首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．解答：解：如图1：AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=BC，∠ADB=90°，∵AD=BC，∴AD=BD，∴∠B=45°，即此时△ABC底角的度数为45°；如图2，AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°，∴∠CAB=∠B==75°，即此时△ABC底角的度数为75°；综上，△ABC底角的度数为45°或75°．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．9.（2012孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A B1D1【解析】根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求得．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD平∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴BD=AD=BC，∠BDC=72°∴△ABC∽△BCD故：AB︰BC=BC︰CD设AD=x，则BC=x，CD=2-x，∴2︰x= x︰(2-x)解得x1或x1＞AC（舍去）【答案】C【点评】题考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键．10．（2012潜江）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD的长为（）+111.（2012孝感）如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，DE ，BF 相交于点G ，连接BD ，CG ，有下列结论：①∠BGD =120° ；②BG +DG =CG ；③△BDF ≌△CGB ；④2ABD S △．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根据题意，△ABD 是等边三角形，由此可推得BG =DG =∠EBG ，∠GCB =30° ，∠GBC =90° ； 因为直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，所以BG =12GC ；显然CG >BD ，△BDF 和△CGB 不可能全等；故①，②，④正确． 【答案】C【点评】考查菱形的性质和轴对称及等边三角形等知识的综合应用．根据∠A =60°得到等边三角形△ABD 是解本题的关键．二.填空题12. （2012广元） 已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 ▲ 【答案】50°，50°或80°，20°。
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=（180°－80°）÷2=50°； （2）若等腰三角形的底角为80°时，顶角为180°－80°－80°=20°。
∴等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是50°，50°或80°，20°。
13.（2012绥化）等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是．【解析】解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：①当3是底边长时，周长为5+5+3=13；②当5是底边长时，周长为3+3+5=11．【答案】11或13．【点评】本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形，考生稍不留神也会写出这种不合题意的答案．难度中等．14.（2012哈尔滨）一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．【解析】本题考查等腰三角的性质、三角形三边关系.因为等腰三角两腰相等，所以其三边可能是5、5、6或6、6、5，经检验两种可能都能组成三角形，所以这个三角形周长是16或17.【答案】16或17【点评】本题易忽略检验能否组成三角形，注意分类讨论思想的运用.15.（2012遵义）一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为．16.（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。
中考数学专题复习：等腰三角形
中考数学专题复习：等腰三角形一、选择题1. 下列命题中，属于假命题的是（）A.等腰三角形底边上的高是它的对称轴B.有两个角相等的三角形是等腰三角形C.等腰三角形底边上的中线平分顶角D.等边三角形的每一个内角都等于60∘2. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.53. 如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB的度数为（）A.60∘B.30∘C.45∘D.15∘4. 等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是（）A.48∘B.21∘或69∘C.21∘D.48∘或69∘5. 已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A.7㎝B.9㎝C.12㎝或者9㎝D.12㎝6. 等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是（）A.25B.12.5C.10D.6.257. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A.2个B.3个C.4个D.5个8. 一个角是60∘的等腰三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.上述都正确9. 以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；①有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；①有两个角为60∘的三角形是等边三角形①三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A.只有①①①B.只有①①①C.只有①①①D.①①①①10. 如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC的长为（）A.8B.7C.6D.511. 等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A.30∘B.30∘或150∘C.120∘或150∘D.120∘、30∘或150∘12. 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是( )A.140∘B.20∘或80∘C.44∘或80∘D.140∘或44∘或80∘二、填空题13. 等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________.14. 如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________.15. 如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16. 如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18. 从①∠B=∠C；①∠BAD=∠CDA；①AB=DC；①BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形.19. 如图，BD//AC,BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：∠D=∠ABC．20. 如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21. 如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD 的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22. （1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来． 25.（2）如图①，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案13.【答案】30∘或150∘14.【答案】115.【答案】416.【答案】−3+3√331617.【答案】30∘或70∘18.证明：选择的条件是：①∠B=∠C①∠BAD=∠CDA（或①①，①①，①①）；证明：在△BAD和△CDA中，① {∠B=∠C,∠BAD=∠CDA,AD=DA,① △BAD≅△CDA(AAS)，① ∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，① AE=DE，△AED为等腰三角形．19.证明：∵BD//AC，① ∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，① △EDB≅ABC(SAS)，① ∠D=∠ABC20.解：① 四边形ABCD是矩形，① ∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，① ∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，① AE=12DE=2，AD=√3AE=2√3．① DE⊥CE，∠A=90∘，① ∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，① ∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=2√3， ① BE=√3BC=6，① AB=AE+BE=2+6=8，① 矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+2√3)=16+4√3．21.解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：① AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，① ∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，① ∠BAC+∠CAD=180∘，① ∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，① ∠ACB−∠B=90∘，① ∠ACB=90∘+∠B，① ∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，① ∠B=12(90∘−∠BAC)，① ∠4=∠B+∠AEF，① AE平分∠DAC，① ∠3=∠4=∠B+∠AEF，① ∠BAC+∠3+∠4=180∘，① 2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，① ∠AEF=45∘，① ∠AFE=45∘，① △AEF是等腰直角三角形．22.【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图①．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。
2021年中考数学真题 等腰三角形与直角三角形(共42题)-(解析版)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）17等腰三角形与直角三角形（共42题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形【答案】B 【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒ ∴选项A 不符合题意；正六边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒∴每一个内角为7201206︒=︒，即选项B 正确； 三个角均为60︒的三角形是等边三角形 ∴选项C 不符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形 ∴选项D 不正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．2．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在44 的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得ABC是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：∴AB为等腰直角∴ABC底边；∴AB为等腰直角∴ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：∴AB为等腰直角∴ABC底边时，符合条件的C点有0个；∴AB为等腰直角∴ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 3．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，3BD =．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A 3B 3C ．1D 6【答案】C 【分析】根据条件可知∴ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∴ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC。
【史上最全】2011中考数学真题解析76_等腰三角形的性质和判定(含答案)
2011全国中考真题解析120考点汇编等腰三角形的性质和判定一、选择题1.（2011•铜仁地区7,3分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A、等腰三角形两底角相等B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C、等腰三角形是中心对称图形D、等腰三角形是轴对称图形考点：等腰三角形的性质；轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，即可求得答案．解答：解：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的性质．注意等边对等角，三线合一，以及其对称性的应用．2.（2011内蒙古呼和浩特，7，3）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．解答：解：当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为5+5+3=13；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．故选D．点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．3.（2011辽宁沈阳，7，3）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A、2个B、4个C、6个D、8个考点：等腰三角形的判定；矩形的性质。
中考数学复习《等腰三角形》测试题(含答案)
中考数学复习《等腰三角形》测试题（含答案）一、选择题(每题6分，共30分)1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是(B) A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．[2015·内江]如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为(A) A．40°B．45°C．60°D．70°【解析】∵AE∥BD，∴∠CBD＝∠E＝35°，图23－1∴∠CBA＝70°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.3．[2015·黄石]如图23－2，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(B)A．36°B．54°图23－2 C．18°D．64°【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°.4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)A．6 B．7C．8 D．9【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN.∵MN＝ME＋EN，∴MN＝BM＋CN.∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故选D.5．[2015·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(C)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7 cm，∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，图23－3图23－4∴AN ＋NC ＋BC ＝7(cm)，∵AN ＋NC ＝AC ，∴AC ＋BC ＝7(cm)， 又∵AC ＝4 cm ，∴BC ＝7－4＝3(cm)． 二、填空题(每题6分，共30分)6．[2014·丽水]如图23－5，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D .若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是__20__.7．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA ＝OB ＝18 cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图23－6②，则此时A ，B 两点之间的距离是__18__cm.图23－6【解析】 ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝OA ＝OB ＝18 cm.8．[2015·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝__15__°. 【解析】 ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ，∠AED ＝90°，∴∠A ＝∠ABD ， ∵∠ADE ＝40°，图23－5图23－7∴∠A＝90°－40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C ＝12(180°－∠A)＝65°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.9．[2014·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB 与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.图23－8 图23－910．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__33__.三、解答题(共8分)11．(8分)[2014·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.图23－10证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC.又∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，连结AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作图23－11为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)解：(2)选择①③⇒②，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.13．(12分)[2015·南充]如图23－12，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.图23－12证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，在△AEF 与△CEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠B ，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CEB (AAS )； (2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BC ＝2CD ， ∵△AEF ≌△CEB ， ∴AF ＝BC ， ∴AF ＝2CD .14．(12分)[2015·铜仁]已知，如图23－13，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连结DF 并延长交BC 的延长线于点E ，EF ＝FD . 求证：AD ＝CE .图23－13证明：如答图所示，作DG ∥BC 交AC 于G ，则∠DGF ＝∠ECF ，在△DFG 和△EFC 中，第14题答图⎩⎪⎨⎪⎧∠DGF ＝∠ECF ，∠DFG ＝∠EFC ，FD ＝EF ，∴△DFG ≌△EFC (AAS )， ∴GD ＝CE ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∵DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∴∠A ＝∠ADG ＝∠AGD ， ∴△ADG 是等边三角形， ∴AD ＝GD ， ∴AD ＝CE .。
历年中考数学等腰三角形题型精选(附答案和解析)
历年中考数学等腰三角形题型精选一,选择题1,（2018•江苏宿迁•3分）如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）A, B, 2 C, D, 4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4,AC⊥BD,由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中,根据勾股定理得AO=2,AC=2AO=4,根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4,根据中位线定理得OE∥AD,根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16,∴菱形ABCD的边长为4.∵∠BAD＝60°,∴△ABD是等边三角形.又∵O是菱形对角线AC,BD的交点,∴AC⊥BD.在Rt△AOD中,∴AO=.∴AC=2AO=4.∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4.又∵O、E分别是中点,∴OE∥AD,∴△COE∽△CAD,∴,∴.∴S△COE=S△CAD=×4=.故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的性质,结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.2,2018•内蒙古包头市•3分）如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE．若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）A．17,5°B．12,5°C．12°D．10°【分析】由AB=AC知∠B=∠C,据此得2∠C+∠BAC=180°,结合∠C+∠BAC=145°可知∠C=35°,根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°,利用∠EDC=∠AED﹣∠C可得答案．【解答】解：∵AB=AC.∴∠B=∠C.∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°.又∵∠C+∠BAC=145°.∴∠C=35°.∵∠DAE=90°,AD=AE.∴∠AED=45°.∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°.故选：D．【点评】本题主要考查等腰直角三角形,解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．3, （2018•达州•3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．B．2 C．D．3【分析】证明△BNA≌△BNE,得到BA=BE,即△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,根据题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵BN平分∠ABC,BN⊥AE.∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE.在△BNA和△BNE中.∴△BNA≌△BNE.∴BA=BE.∴△BAE是等腰三角形.同理△CAD是等腰三角形.∴点N是AE中点,点M是AD中点（三线合一）.∴MN是△ADE的中位线.∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12.∴DE=BE+CD﹣BC=5.∴MN=DE=．故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键．4, （2018•资阳•3分）下列图形具有两条对称轴的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形【分析】根据轴对称及对称轴的定义,结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A,等边三角形由3条对称轴,故本选项错误；B,平行四边形无对称轴,故本选项错误；C,矩形有2条对称轴,故本选项正确；D,正方形有4条对称轴,故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义,常见的轴对称图形有：等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等．5,（2018•湖州•3分）如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是（）A, 20° B, 35°C, 40° D, 70°【答案】B【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．详解：∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°.∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线.∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质,三角形内角和定理以及角平分线定义,求出∠ACB=70°是解题的关键．6, （2018•贵州安顺•3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根,则该等腰三角形的周长是（）A, B, C, D, 或【答案】A【解析】试题分析：∵.∴.即,.①等腰三角形的三边是2,2,5.∵2+2＜5.∴不符合三角形三边关系定理,此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2,5,5,此时符合三角形三边关系定理.三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选A．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．7, （2018•广西玉林•3分）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数【分析】根据一次函数的定义,可得答案．【解答】解：设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意,得y=﹣x+90°.故选：B．8, （2018·黑龙江哈尔滨·3分）在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为130°或90°．【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数,然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．【解答】解：∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°.∴∠B=∠C=40°.∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形.∴当∠BAD=90°时,则∠ADB=50°.∴∠ADC=130°.当∠ADB=90°时,则∠ADC=90°.故答案为：130°或90°．【点评】本题考查等腰三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．9, （2018·黑龙江龙东地区·3分）Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是3,6或4,32或4,8 ．【分析】在Rt△ABC中,通过解直角三角形可得出AC=5,S△ABC=6,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【解答】解：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=3,BC=4.∴AB==5,S△ABC=AB•BC=6．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况：①当AB=AP=3时,如图1所示.S等腰△ABP=S△ABC=×6=3,6；②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示.作△ABC的高BD,则BD===2,4.∴AD=DP==1,8.∴AP=2AD=3,6.∴S等腰△ABP=S△ABC=×6=4,32；④当CB=CP=4时,如图3所示.S等腰△BCP=S△ABC=×6=4,8．综上所述：等腰三角形的面积可能为3,6或4,32或4,8．故答案为3,6或4,32或4,8．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．11,（2018•福建A卷•4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出∠ECB=45°,即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中,AD⊥BC.∴BD=CD,即：AD是BC的垂直平分线.∵点E在AD上.∴BE=CE.∴∠EBC=∠ECB.∵∠EBC=45°.∴∠ECB=45°.∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°.∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°.故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出∠ECB是解本题的关键．12, （2018•福建B卷•4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出∠ECB=45°,即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中,AD⊥BC.∴BD=CD,即：AD是BC的垂直平分线.∵点E在AD上.∴BE=CE.∴∠EBC=∠ECB.∵∠EBC=45°.∴∠ECB=45°.∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°.∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°.故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出∠ECB是解本题的关键．13, （2018•达州•3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．B．2 C．D．3【分析】证明△BNA≌△BNE,得到BA=BE,即△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,根据题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵BN平分∠ABC,BN⊥AE.∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE.在△BNA和△BNE中.∴△BNA≌△BNE.∴BA=BE.∴△BAE是等腰三角形.同理△CAD是等腰三角形.∴点N是AE中点,点M是AD中点（三线合一）.∴MN是△ADE的中位线.∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12.∴DE=BE+CD﹣BC=5.∴MN=DE=．故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键．14, （2018•资阳•3分）下列图形具有两条对称轴的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形【分析】根据轴对称及对称轴的定义,结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A,等边三角形由3条对称轴,故本选项错误；B,平行四边形无对称轴,故本选项错误；C,矩形有2条对称轴,故本选项正确；D,正方形有4条对称轴,故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义,常见的轴对称图形有：等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等．二,填空题1,（2018•江苏徐州•3分）边长为a的正三角形的面积等于．【分析】根据正三角形的性质求解．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D.∵AD⊥BC,∴BD=CD=a,∴AD==a,面积则是：a•a=a2．【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法,比较简单．2,（2018•江苏无锡•2分）如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧上,且OA=AB,则∠ABC= 15°．【分析】根据等边三角形的判定和性质,再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB.即△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°.∵OC⊥OB,∴∠COB=90°,∴∠COA=90°﹣60°=30°,∴∠ABC=15°. 故答案为：15°【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3,（2018•江苏无锡•2分）如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX 上,OA=2．过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E．设OD=a,OE=b,则a+2b 的取值范围是2≤a+2b≤5．【分析】作辅助线,构建30度的直角三角形,先证明四边形EODP是平行四边形,得EP=OD=a,在Rt△HEP中,∠EPH=30°,可得EH的长,计算a+2b=2OH,确认OH最大和最小值的位置,可得结论．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H.∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形EODP是平行四边形,∠HEP=∠XOY=60°,∴EP=OD=a.Rt△HEP中,∠EPH=30°,∴EH=EP=a,∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH.当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC=OA=1,即a+2b 的最小值是2；当P在点B时,OH的最大值是：1+=,即（a+2b）的最大值是5,∴2≤a+2b≤5．【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质,有难度,掌握确认a+2b的最值就是确认OH 最值的范围．4,（2018•江苏淮安•3分）若一个等腰三角形的顶角等于50°,则它的底角等于65 °．【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°.又∵等腰三角形的底角相等.∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．故答案为：65．【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质,熟记等腰三角形的性质是解题的关键．5, （2018•乌鲁木齐•4分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形,则AE的长为．【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°,AB=4,再利用折叠的性质得DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x,讨论：当∠AFB′=90°时,则∴BF=cos30°=,则EF=﹣（4﹣x）=x﹣,于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2（x﹣）,解方程求出x得到此时AE的长；当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图,证明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2,再计算出∠EB′H=60°,则B′H=（4﹣x）,EH=（4﹣x）,接着利用勾股定理得到（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2,方程求出x得到此时AE的长．【解答】解：∵∠C=90°,BC=2,AC=2.∴tanB===.∴∠B=30°.∴AB=2AC=4.∵点D是BC的中点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F∴DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°.设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x.当∠AFB′=90°时.在Rt△BDF中,cosB=.∴BF=cos30°=.∴EF=﹣（4﹣x）=x﹣.在Rt△B′EF中,∵∠EB′F=30°.∴EB′=2EF.即4﹣x=2（x﹣）,解得x=3,此时AE为3；当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图.∵DC=DB′,AD=AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC.∴AB′=AC=2.∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°.∴∠EB′H=60°.在Rt△EHB′中,B′H=B′E=（4﹣x）,EH=B′H=（4﹣x）. 在Rt△AEH中,∵EH2+AH2=AE2.∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2,解得x=,此时AE为．综上所述,AE的长为3或．故答案为3或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．6, （2018•临安•3分）用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图（1）所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC= 36 度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC==108°,△ABC是等腰三角形.∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．7, （2018•广西桂林•3分）如图,在ΔABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是__________【答案】3【解析】分析：由已知条件,利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数,根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．详解：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°,∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D.∴∠ABD=∠DBC=36°.∵∠A=∠ABD=36°.∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C.∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．8．（2018·黑龙江哈尔滨·7分）如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形）,且点C和点D均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB为一腰,底边长为2的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上,连接CE,请直接写出线段CE的长．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可；【解答】解：（1）如图所示,矩形ABCD即为所求；（2）如图△ABE即为所求；【点评】本题考查作图﹣应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题,属于中考常考题型．9,（2018•贵州遵义•4分）如图,△ABC中．点D在BC边上,BD=AD=AC,E 为CD的中点．若∠CAE=16°,则∠B为37 度．【分析】先判断出∠AEC=90°,进而求出∠ADC=∠C=74°,最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．【解答】解：∵AD=AC,点E是CD中点.∴AE⊥CD.∴∠AEC=90°.∴∠C=90°﹣∠CAE=74°.∵AD=AC.∴∠ADC=∠C=74°.∵AD=BD.∴2∠B=∠ADC=74°.∴∠B=37°.故答案为37°．10, (2018湖南省邵阳市)（3分）如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,将△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处．若AE=,则BC的长是．【分析】由折叠的性质可知AE=CE,再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE,问题得解．【解答】解：∵AB=AC,∠A=36°.∴∠B=∠ACB==72°.∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.∴AE=CE,∠A=∠ECA=36°.∴∠CE B=72°.∴BC=CE=AE=.故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用,证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．11, （2018•乌鲁木齐•4分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形,则AE的长为．【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°,AB=4,再利用折叠的性质得DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x,讨论：当∠AFB′=90°时,则∴BF=cos30°=,则EF=﹣（4﹣x）=x﹣,于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2（x﹣）,解方程求出x得到此时AE的长；当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图,证明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2,再计算出∠EB′H=60°,则B′H=（4﹣x）,EH=（4﹣x）,接着利用勾股定理得到（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2,方程求出x得到此时AE的长．【解答】解：∵∠C=90°,BC=2,AC=2.∴tanB===.∴∠B=30°.∴AB=2AC=4.∵点D是BC的中点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F∴DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°.设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x.当∠AFB′=90°时.在Rt△BDF中,cosB=.∴BF=cos30°=.∴EF=﹣（4﹣x）=x﹣.在Rt△B′EF中,∵∠EB′F=30°.∴EB′=2EF.即4﹣x=2（x﹣）,解得x=3,此时AE为3；当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图.∵DC=DB′,AD=AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC.∴AB′=AC=2.∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°.∴∠EB′H=60°.在Rt△EHB′中,B′H=B′E=（4﹣x）,EH=B′H=（4﹣x）. 在Rt△AEH中,∵EH2+AH2=AE2.∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2,解得x=,此时AE为．综上所述,AE的长为3或．故答案为3或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．三,解答题1,（2018•江苏徐州•7分）（A类）已知如图,四边形ABCD 中,AB=BC,AD=CD,求证：∠A=∠C．（B类）已知如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠A=∠C,求证：AD=CD．【分析】（A类）连接AC,由AB=AC,AD=CD知∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA,两等式相加即可得；（B类）由以上过程反之即可得．【解答】证明：（A类）连接AC.∵AB=AC,AD=CD,∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA.∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,即∠A=∠C；（B类）∵AB=AC,∴∠BAC=∠BCA.又∵∠A=∠C,即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质,解题的关键是掌握等角对等边、等边对等角的性质．2,（2018•江苏徐州•10分）如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中.（1）如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m ,其中m的取值范围是0＜m≤2+．（直接写出结论,不必证明）探究二：若且AC=30cm,连接PQ,设△EPQ的面积为S（cm2）,在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在,求出最大值或最小值；若不存在,说明理由．（2）随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化,求出相应S 的值或取值范围．【分析】探究一：（1）连接BE,根据已知条件得到E是AC的中点,根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE,∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形,从而证明结论；（2）作EM⊥AB,EN⊥BC于M、N,根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ,发现EP：EQ=EM：EN,再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程,可以直接写出结果；要求m的取值范围,根据交点的位置的限制进行分析．探究二：（1）设EQ=x,结合上述结论,用x表示出三角形的面积,根据x的最值求得面积的最值；（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值,再进一步分情况讨论．【解答】解：探究一：（1）连接BE,根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得BE=CE,∠PBE=∠C又∠BEP=∠CEQ,则△BEP≌△CEQ,得EP=EQ；（2）作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N,∴∠EMP=∠ENC.∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°,∴∠MEP=∠NEF.∴△MEP∽△NEQ.∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N.∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°.∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°）.又∵∠EPB+∠M PE=180°（平角是180°）,∴∠MPE=∠EQN（等量代换）.∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA）,∴（两个相似三角形的对应边成比例）；在Rt△AME∽Rt△ENC∴=1：m=.∴=m=,EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m.∴0＜m≤2+；（当m＞2+时,EF与BC不会相交）．探究二：若AC=30cm.（1）设EQ=x,则S=x2,所以当x=10时,面积最小,是50cm2；当x=10时,面积最大,是75cm2．（2）当x=EB=5时,S=62,5cm2.故当50＜S≤62,5时,这样的三角形有2个；当S=50或62,5＜S≤75时,这样的三角形有一个．【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解．3,（2018•江苏苏州•10分）如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD 垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB,垂足为E．延长DA交⊙O 于点F,连接FC,FC与AB相交于点G,连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE,求证：△CEO是等腰直角三角形．【分析】（1）连接AC,根据切线的性质和已知得：AD∥OC,得∠DAC=∠ACO,根据AAS证明△CDA≌△CEA（AAS）,可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据△CDA≌△CEA,得∠DCA=∠ECA,由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG,在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22,5°,可得结论；证法二：设∠F=x,则∠AOC=2∠F=2x,根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,则3x+3x+2x=180,可得结论．【解答】证明：（1）连接AC.∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴∠DCO=∠D=90°,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO.∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO.∵CE⊥AB,∴∠CEA=90°.在△CDA和△CEA中.∵.∴△CDA≌△CEA（AAS）.∴CD=CE；（2）证法一：连接BC.∵△CDA≌△CEA,∴∠DCA=∠ECA.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG,∴∠ECA=∠ECG.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵CE⊥AB,∴∠ACE=∠B.∵∠B=∠F,∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG.∵∠D=90°,∴∠DCF+∠F=90°,∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22,5°. ∴∠AOC=2∠F=45°.∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F=x,则∠AOC=2∠F=2x.∵AD∥OC,∴∠OAF=∠AOC=2x,∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG,∴∠EAC=∠CGA.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG,∴∠EAC=∠CGA,∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x. ∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,∴3x+3x+2x=180,x=22,5°,∴∠AOC=2x=45°.∴△CEO是等腰直角三角形．【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中,本题相等的角较多,注意各角之间的关系,注意掌握数形结合思想的应用．4,（2018•江苏苏州•10分）如图①,直线l表示一条东西走向的笔直公路,四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地,点A,D在直线l上,小明从点A出发,沿公路l向西走了若干米后到达点E处,然后转身沿射线EB方向走到点F处,接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处,最后沿公路l回到点A处．设AE=x米（其中x＞0）,GA=y米,已知y与x之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以,求出相应x的值；如果不可以,说明理由．【分析】（1）根据点M、N的坐标,利用待定系数法即可求出图②中线段MN所在直线的函数表达式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑：①考虑FE=FG是否成立,连接EC,通过计算可得出ED=GD,结合CD⊥EG,可得出CE=CG,根据等腰三角形的性质可得出∠CGE=∠CEG、∠FEG＞∠CGE,进而可得出FE≠FG；②考虑FG=EG是否成立,由正方形的性质可得出BC∥EG,进而可得出△FBC∽△FEG,根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC,进而可得出CG、DG的长度,在Rt△CDG中,利用勾股定理即可求出x的值；③考虑EF=EG是否成立,同理可得出若EF=EG则FB=BC,进而可得出BE的长度,在Rt△ABE中,利用勾股定理即可求出x的值．综上即可得出结论．【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b.将M（30,230）、N（100,300）代入y=kx+b.,解得：.∴线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200．（2）分三种情况考虑：①考虑FE=FG是否成立,连接EC,如图所示．∵AE=x,AD=100,GA=x+200,∴ED=GD=x+100．又∵CD⊥EG,∴CE=CG,∴∠CGE=∠CEG,∴∠FEG＞∠CGE.∴FE≠FG；②考虑FG=EG是否成立．∵四边形ABCD是正方形,∴BC∥EG,∴△FBC∽△FEG．假设FG=EG成立,则FC=BC成立,∴FC=BC=100．∵AE=x,GA=x+200,∴FG=EG=AE+GA=2x+200,∴CG=FG﹣FC=2x+200﹣100=2x+100．在Rt△CDG中,CD=100,GD=x+100,CG=2x+100.∴1002+（x+100）2=（2x+100）2.解得：x1=﹣100（不合题意,舍去）,x2=；③考虑EF=EG是否成立．同理,假设EF=EG成立,则FB=BC成立.∴BE=EF﹣FB=2x+200﹣100=2x+100．在Rt△ABE中,AE=x,AB=100,BE=2x+100,∴1002+x2=（2x+100）2.解得：x1=0（不合题意,舍去）,x2=﹣（不合题意,舍去）．综上所述：当x=时,△EFG是一个等腰三角形．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理,解题的关键是：（1）根据点的坐标,利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况求出x的值．5, （2018•杭州•8分）如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E。
专题17等腰三角形与直角三角形-2021年中考数学真题分项汇编(原卷版)【全国通用】(第01期)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题17等腰三角形与直角三角形（共42题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形2．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，3BD =．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A ．33B 3C ．1D ．624．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）下列命题中，假命题是（ ）A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C ．若AB BC =，则点B 是线段AC 的中点D ．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心5．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinC a c b R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π6．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+7．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．748．（2021·陕西中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，连接AC 、BD ，则AC BD 的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．339．（2021·安徽中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．33+B ．223+C ．23+D ．123+10．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC ∠=︒，2AB =，则PE PF -的值为（ ）A ．32B ．3C ．2D ．5211．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．20712．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,613．（2021·云南中考真题）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．8014．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 15．（2021·浙江温州市·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若2AE BE =，则CG BH的值为（ ）A ．32B ．2C ．3107D ．35516．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，20BC =，把边AB 沿对角线BD 平移，点'A ，'B 分别对应点A ，B ．给出下列结论：∠顺次连接点'A ，'B ，C ，D 的图形是平行四边形；∠点C 到它关于直线'AA 的对称点的距离为48；∠''A C B C -的最大值为15；∠''A C B C +的最小值为917．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）A ．32B ．1C ．2D ．3218．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点P 从点B 出发，沿折线BC CD -方向移动，移动到点D 停止．在ABP △形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）A ．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B ．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C ．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D ．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形二、填空题19．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，70B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则BAP ∠的度数是_______．20．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，3DE =，则BC 的长为_______．21．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AF EF =．若72CFE ∠=︒，则B ∠=______．22．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是_______度．23．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，若30EBC ∠=︒，10BE =，则ABCD 的面积为________．24．（2021·云南中考真题）已知ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ．若ABC 的一条边长为6，则点D 到直线AB 的距离为__________．25．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB BC BD ==．设ABC α∠=，则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．26．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB 剪开，再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒，则OBA∠的度数为______．27．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为6cm，60∠=︒，将该菱形沿AC方向BAD''''，A D''交CD于点E，则点E到AC的距离为____________cm．平移23cm得到四边形A B C D△在同一平面内，点C，D不重合，28．（2021·浙江绍兴市·中考真题）已知ABC与ABD∠=∠=︒，430ABC ABDAB=，22==CD长为_______．AC AD29．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为4，C3P为AB边上一动点，过点P作C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．30．（2021·浙江丽水市·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM =，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即,AB CD 之间的距离是__________．31．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．32．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形∠的边BC 及四边形∠的边CD 都在x 轴上，“猫”耳尖E 在y 轴上．若“猫”尾巴尖A 的横坐标是1，则“猫”爪尖F 的坐标是___________．33．（2021·江苏宿迁市·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．三、解答题34．（2021·浙江温州市·中考真题）如图44⨯与66⨯的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形． （2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的5倍，画在图3中．35．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ． （2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．36．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE ．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．37．（2021·四川眉山市·中考真题）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A 处测得该建筑物顶端C 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B 处，测得顶端C 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：2sin 245≈°，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈）38．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．39．（2021·重庆中考真题）在等边ABC 中，6AB =，BD AC ⊥ ，垂足为D ，点E 为AB 边上一点，点F 为直线BD 上一点，连接EF ．图1 图2 图3（1）将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG ，连接FG ．∠如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG ，求线段DG 的长；∠如图2，点E 不与点A ，B 重合，GF 的延长线交BC 边于点H ，连接EH ，求证：3BE BH BF +=； （2）如图3，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点N 在边AC 上，且2DN NC =，点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP ，连接FP ，当12NP MP +最小时，直接写出DPN △的面积．40．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,3ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．41．（2021·江苏连云港市·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且1AE =，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图1，求CF 的长；（2）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．42．（2021·湖北随州市·中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）∠如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示）∠如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照∠的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）∠如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）∠如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．。
2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 专题05 等腰三角形、等边三角形压轴题真题(含详解)
专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（原卷版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1．（湘一芙蓉）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．2．（中雅）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．3．（青竹湖）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．4．（广益）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．5．（长郡、雅礼）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A 出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．6．（师梅）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．7．（郡维）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC 交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y 轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．8．（长郡）如图，在△ABC中．AB ＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC 于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．9．（广益）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（雅境）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．11．（郡维）如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．12．（北雅）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC 上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC 的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．13．（中雅）已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE 为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．14．（雅实）如图1，△ABC 为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．15．（师梅）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．16．（博才）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．17．（青竹湖）如图，四边形OABC 的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s 的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP ＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP 和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a ﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x 轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON ＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD 于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO （对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF 中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a ﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO ＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB ＝∠ABO＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP则OP的最小值为．最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B 分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO ＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO （AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC ＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO ＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB ＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF ＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD 交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD ＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF ＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB 为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠P AD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，∴∠QAH＝∠P AD，∵△P AQ为等腰直角三角形，∴AQ＝AP，在△AQH和△APD中，，∴△AQH≌△APD（ASA），∴AH＝AD，QH＝PD，∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，∴∠HAF＝∠DAF，在△AHF和△ADF中，，∴△AHF≌△ADF（SAS），∴HF＝DF，∴＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：∵∠BOA＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，∴∠ABO＝∠CAM；（2）解：∵CM⊥y轴，∴∠AMC＝∠BOA＝90°，∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，∴△AMC≌△BOA（AAS），∴CM＝AO，AM＝BO，∵BD＝BE，BD⊥BE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO ＝∠DBE＝45°，∴∠EBO＝∠BEO，∴BO＝EO＝AM，∴EO﹣OM＝AM﹣OM，∴EM＝AO＝CM，∴△CME是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°；（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵△P AQ是等腰直角三角形，∴P A＝QA，∠P AQ＝∠CAB＝90°，∴∠P AQ+∠QAC＝∠CAB+∠QAC，即∠P AC＝∠QAB，∵AC＝AB，∴△P AC≌△QAB（SAS），∴∠APC＝∠AQB，∵∠AKP＝∠QKN，∴∠QNK＝∠P AK＝90°，∵CM⊥y轴，∴CM∥NO，∴∠NCM＝∠KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：∵CN＝CM，∠CNI＝∠CMH＝90°，∴△CNI≌△CMH（SAS），∴∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，∴∠NCG+∠NCI ＝∠NCG+∠MCH＝∠NCM﹣∠GCH＝90°﹣45°＝45°＝∠GCH＝∠GCI，∴△GCI≌△GCH（SAS），∴GI ＝GH，∵GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，∴GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C 作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，则△MAC≌△OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB ＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，则△AOP≌△PDQ（AAS），∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，则△FSH≌△FTG（AAS），则GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）∵﹣+b2+4b+8＝0，∴﹣+（b﹣4）2＝0，∴a＝4，b＝4，∴A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴AB ＝BC＝OC＝OA＝4，∴四边形OABC是菱形，∵∠AOC＝90°，∴菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，∴∠PNQ＝90°，∴∠QPN+∠PQN＝90°，∵BP⊥BQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPC+∠QPN＝90°，∴∠PQN＝∠BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴BC＝4，BC⊥x，∴∠BCP＝∠PNQ＝90°，在△BCP和△PNQ中，，∴△BCP≌△PNQ（AAS），∴CP＝QN，BC＝PN，∴OC＝PN＝4，①当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，②当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。
中考数学专题复习：等腰(边)三角形的判定
中考数学专题复习：等腰（边）三角形的判定一、选择题1.在△ABC中，若△A=15°，△B=150°，则△ABC是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形2.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A.a=3，b=3，c=4B.a:b:c=4:5:6C.△B=50°，△C=80°D.△A:△B:△C=1:1:23.如图1所示，已知OC平分△AOB，CD△OB.若OD=3 cm，则CD的长为( )图1A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1.5 cm4.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形5.如图2，△A=36°，△C=72°，BE为△ABC的平分线，DE△BC，则图中等腰三角形的个数有( )图2A.6个B.5个C.4个D.3个6.在如图3所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么满足条件的点C有( )图3A.6个B.7个C.8个D.9个二、填空题7.已知△ABC，AB=AC，请补充一个条件：_______________，使△ABC成为等边三角形.8.如图4所示，BD，CE分别是△ABC两个外角的平分线，DE过点A，且DE△BC.若DE=14，BC=7，则△ABC的周长为__________.图49.在一次活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图5所示)，由此可知，B，C两地相距__________m.图5三、解答题10.如图6，在等边三角形ABC中，D是AB上一点，DE△BC，垂足为E，EF△AC，垂足为F，FD△AB.求证:△DEF为等边三角形.图611.如图7，AD平分△BAC，AD△BD，垂足为D，DE△AC交AB于点E.求证:△BDE是等腰三角形.图712.如图8所示，在等边三角形ABC中，△ABC与△ACB的平分线相交于点O，且OD△AB 交BC于点D，OE△AC交BC于点E.(1)试判断△ODE的形状，并说明你的理由;(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系?并说明理由.图813.如图9所示，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动.设运动时间为t s，解答下列问题:(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何?请说明理由.(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能否成为等边三角形?若能，请求出t值;若不能，请说明理由.图914.在△ABC中，CA=CB，△ACB=120°，将一块足够大的三角尺PMN(△M=90°，△MPN=30°)按图10所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角△PCB=α，斜边PN交AC于点D.(1)当PN△BC时，△ACP=________°.(2)当α=15°时，求△ADN的度数.(3)在点P滑动的过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗?若不可以，请说明理由;若可以，请求出夹角α的度数.图10参考答案1.A2.B [解析] 选项A，a=3，b=3，c=4，△a=b，△△ABC是等腰三角形;选项B，△a:b:c=4:5:6，△a≠b≠c，△△ABC不是等腰三角形;选项C，△△B=50°，△C=80°，△△A=180°-△B-△C=50°，则△A=△B，△AC=BC，△△ABC是等腰三角形;选项D，△△A:△B:△C=1:1:2，△△A=△B，△AC=BC，△△ABC是等腰三角形.故选B.3.B [解析] 根据题意，得△AOC=△BOC.因为CD△OB，所以△C=△BOC，所以△C=△AOC，则CD=OD.又因为OD=3 cm，所以CD=3 cm.4.C [解析] △若120°的角为顶角的外角，则顶角为180°-120°=60°，底角为(180°-60°)÷2=60°，三角形为等边三角形;△若120°的角为底角的外角，则底角为180°-120°=60°，顶角为180°-60°×2=60°，所以三角形为等边三角形.综上，该等腰三角形为等边三角形.5.B [解析] △ABC，△ADE，△ABE，△DBE，△BCE是等腰三角形.6.C [解析] 如图，分情况讨论.△AB为等腰三角形ABC的底边时，符合条件的点C有4个;△AB为等腰三角形ABC其中的一条腰时，符合条件的点C有4个.故符合条件的点C共有8个.7.AB=BC或AC=BC或△BAC=60°等(答案不唯一) [解析] 三边相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.8.219.200 [解析] 如图，由已知可得AM△BN，所以△MAC=△ALB=60°.由△ALB=△NBC+△C，△NBC=30°，得△C=30°.又因为△BAC=△MAB-△MAC=30°，所以△C=△BAC，故BC=AB=200 m.10.证明:在等边三角形ABC中，△B=60°.△DE△BC，△△DEB=90°，△△BDE=30°.△FD△AB，△△ADF=90°，△△EDF=60°.同理△DEF=△DFE=60°，△△DEF为等边三角形.11.[解析] 如图，直接利用平行线的性质得出△1=△3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出△B=△BDE，即可得出答案.证明:如图，△DE△AC，△△1=△3.△AD平分△BAC，△△1=△2，△△2=△3.△AD△BD，△△2+△B=90°，△3+△BDE=90°，△△B=△BDE，△△BDE是等腰三角形.12.[解析] (1)根据平行线的性质及等边三角形的判定定理可得到△ODE是等边三角形; (2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到△DBO=△DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO.因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC.解:(1)△ODE是等边三角形.理由:△△ABC是等边三角形，△△ABC=△ACB=60°.△OD△AB，OE△AC，△△ODE=△ABC=60°，△OED=△ACB=60°，△△ODE是等边三角形.(2)BD=DE=EC.理由:△BO平分△ABC，且△ABC=60°，△△ABO=△OBD=30°.△OD△AB，△△BOD=△ABO=30°，△△DBO=△DOB，△BD=OD.同理EC=OE.△△ODE是等边三角形，△OD=DE=OE，△BD=DE=EC.13.解:(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直.理由:△AB=AC=BC=6 cm，△当点Q到达点C时，AP=3 cm，△P为AB的中点，△PQ△AB.(2)能.假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，△BP=PQ=BQ.△△B=60°，△BP=BQ时，△BPQ为等边三角形.此时有6-t=2t ，解得t=2.△当t=2时，△BPQ 是等边三角形. 14.[解析] (1)△PN△BC ，△MPN=30°，△△PCB=△MPN=30°. △△ACB=120°，△△ACP=△ACB -△PCB=90°. 解:(1)90(2)△△ACB=120°，△PCB=15°， △△PCD=△ACB -△PCB=105°，△△PDC=180°-△PCD -△MPN=180°-105°-30°=45°， △△ADN=△PDC=45°.(3)△PCD 的形状可以是等腰三角形. 由题意得△PCD=120°-α，△CPD=30°. △当PC=PD 时，△PCD 是等腰三角形，△PCD=12(180°-△CPD)=12×(180°-30°)=75°，即120°-α=75°，解得α=45°;△当PD=CD 时，△PCD 是等腰三角形，△PCD=△CPD=30°， 即120°-α=30°，解得α=90°;△当PC=CD 时，△PCD 是等腰三角形，△PCD=180°-2×30°=120°， 即120°-α=120°，解得α=0°，此时点P 与点B 重合，点D 与点A 重合.综上所述，当△PCD 是等腰三角形时，α的度数是45°或90°或0°.。
2021年全国各地中考数学真题分类汇编(通用版)三角形(二)(含答案与解析)
2021年全国各地中考数学真题分类汇编（通用版）三角形（二）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，∴sinα＝＝，∴BC＝30sinα米．故选：A．2．（2021•陕西）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．3．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共7小题）4．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 2.7m．解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴，即，解得CF＝2.7，故答案为：2.7．5．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，此时点B2的坐标为（3，1）．解：如图所示，过点B作BP⊥y轴于点P，∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，∴△BPO是等腰直角三角形，∴BP＝PO＝1，由题意知点B2的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．6．（2021•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为π﹣（结果保留π）．解：连接CE，∵∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π∵S△BCE＝BC2＝，∴阴影部分的面积为π﹣．故答案为：π﹣．7．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝5；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝2．解：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，过B，C分别作∠DBP＝∠DCP＝30°，则PB＝PC，P为△ABC的费马点，∵AB＝AC＝，BC＝2，∴，∴，∴PD＝1，∴，∴，∴P A+PB+PC＝5；②如图：∵AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝16，BC2＝16，∴AB2+BC2＝AC2∠ABC＝90°，∵，∴∠BAC＝30°，将△APC绕点A逆时针旋转60°，由旋转可得：△APC≌△AP'C'，∴AP'＝AP，PC＝P'C'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠P AP'＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴∠BAC'＝90°，∵P为△ABC的费马点，即B，P，P'，C'四点共线时候，P A+PB+PC＝BC'，∴P A+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'＝＝，故答案为：5，．8．（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），∵扶梯AB的坡度i＝5：12＝，∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，解得：a＝（负值已舍去），∴BC＝（米），故答案为：．9．（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC＝．故答案为．10．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，三．解答题（共12小题）11．（2021•吉林）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．12．（2021•丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，设BM＝x米，则MC＝BM＝x米∵BH＝BM﹣HM∴BH＝（x﹣50）米，∴在Rt△ABH中，∵HC＝HM+MC∴HC＝（50+x）米，在Rt△AHC中，，∴，解得x＝110，即BM＝110米，答：点B到水面距离BM的高度约为110米．13．（2021•陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．证明：∵BD∥AC，∴∠ACB＝∠EBD，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠ABC＝∠D．14．（2021•吉林）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．15．（2021•大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC ＝EF．证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF．16．（2021•山西）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．解：过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形，如图所示：∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，∴AP＝AB•sin45°＝100×＝50cm，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，∴BN＝BC•sin75°≈80×0.97＝77.6cm，∴PM＝BN＝77.6cm，∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈153.1cm．答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1cm．17．（2021•营口）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．18．（2021•大连）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan50°≈20×1.192＝23.84（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan57°≈20×1.540＝30.8（m），∴AB＝AC﹣BC＝30.8﹣23.84≈7（m）．答：旗杆AB的高度约为7m．19．（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）解：在△ADC中，设AD＝x，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝x，在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，∴AD＝BD•tan30°，即x＝（16+x），解得：x＝8+8，∴AB＝2AD＝2×（8）＝16，∴钢索AB的长度约为（16）m．20．（2021•本溪）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120（m），答：无人机的高度AC是120米；21．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×0.72（填相应的三角形函数值）≈27648（km）（结果取整数）．解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×0.72（填相应的三角形函数值）≈27648（km）（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．22．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．。
2023年九年级中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练
中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练一．选择题（共10小题）1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23 B．19.5或23C．9或23 D．9或19.5或232．已知方程x 2 -6x+8=0的根，分别是等腰三角形的底边和腰长，则该三角形的周长为（）A．6 B．10 C．8 D．124．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定5．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x 2 -10x+m=0的两个实数根，则m的值是（）A．24 B．25 C．26 D．24或25为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．87．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55°C．70°或55°D．60°8．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．80°、80°、20°B．80°、50°、50°C．80°、80°、20°或80°、50°、50°D．以上答案都不对9．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°．若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别是（）A．50°，50°，50°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°二．填空题（共5小题）11．等腰三角形的三边长分别为m-2，2m+1，8，则等腰三角形的周长为________ ．12．等腰三角形的一条边长为4cm,另一条边长为6cm,则它的周长是________ ．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P在BC上，且PB=3，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则CM=________ ．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上一点，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B= ________ °．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点且S △PBC = 152，则D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，PD的长为________ ．三．解答题（共5小题）16．如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．（1）已知4a 2 -a-4=0，求代数式（2a-3）（2a+3）+（a-1） 2 +（1+a）（2-a）的值；（2）已知a,b满足a 2 +b 2 -10a-4b+29=0，且a,b为等腰三角形△ABC的边长．求△ABC的周长．18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒．（1）当点P在线段AB上时，BP= ________cm.（用含t的代数式表示）（2）若△BCP为直角三角形，则t的取值范围是________ ．（3）若△BCP为等腰三角形，直接写出t的值．（4）另有一动点Q从点C开始，按B→A→C→B的路径运动，且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．19．如图，矩形ABCD，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），连接PB，作PE⊥PB交射线DC于点E．已知AD=6，AB=8．设AP的长为x.（1）如图1，PM⊥AB于点M，交CD于点N．求证：△BMP∽△PNE．是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理（2）试探究：PEPB由．（3）当△PCE是等腰三角形时，请求出所有x的值．20．如图，CD是△ABC的高，CD=8，AD=4，BD=3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF=DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE= ________ ；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为________ ；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．。