四川省达州市普通高中2020届高三第一次诊断性测试数学(理)试题答案(pdf版)
四川省达州市普通高中2020届高三第二次诊断性测试数学试题(理科)
数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =≤≤，{}1B x x =>，则A B =I （ ） A.(]1,2 B.[]2,4C.()4,+∞D.()2,42.复数21iz i+=-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，5a 是2a ，14a 的等比中项，则7a =（ ） A.13B.49C.62D.721-4.函数()21ln f x x x x=-+的图象大致是（ ） A.B. C. D.5.101⎫-⎪⎭的展开式中3x -的系数是（ ） A.252B.252-C.210-D.2106.已知双曲线的两条渐近线的方程是0x +=和0x -=，则双曲线离心率是（ ）或5或27.已知[]8,2a ∈-，则命题20000,10x x ax ∃>++<为假命题的概率（ ）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.18.已知22log aa =，1212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n 1si c c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.a c b <<9.甲烷，化学式4CH ，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为a ，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（ ）10.在ABC △中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，BE 与CD 交于点P ，设BE a =u u u r ，CD b =u u u r ，则AP =u u u r（ ）A.2233a b -- B.4433a b -- C.3344a b -- D.5544a b -- 11.已知方程()2sin 2002xx ωωω--=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（ ） A.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.713,66⎛⎤⎥⎝⎦ C.410,33⎛⎤⎥⎝⎦ D.113,66⎛⎤⎥⎝⎦12.己知a>0，函数f （x ）=|12.已知0a >，函数()2,032,0x x f x a x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，()2a g x x =-和点()()(),0P m f m m <，将y 轴左半平面沿y 轴翻折至与y 轴右半平面垂直.若()0,1n ∃∈，直线x n =分别与曲线()y f x =，()y g x =相交于点A B ，，PA PB =，PAB △面积为2，则实数a 的取值范围为（ ）A.,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.0,9⎛⎝⎦C.(]0,1D.0,9⎛ ⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y 满足约束条件200360x y x y x y +-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值是 .14.函数()112122xx f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t = . 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13n n S m -=+，则实数m 的值是 .16.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点.O 是坐标原点，A 是C 上一点，OFA △外接圆B e （B 为圆心）与C 的准线相切，则过点B 与C 相切的直线的斜率 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC △的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求B ；（2）若2,c B =的角平分线1BD =，求ABC △的面积ABC S △.18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： 线下培训茎叶图在线培训直方图线下培训茎叶图 在线培训直方图（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式有关？（2）成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是ξ，求ξ分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC CB ===，AB =D 是BC 中点，E 是PD 中点，F 是线段AB 上一动点.（1）当F 为AB 中点时，求证：平面CEF ⊥平面PAB ； （2）当EF ∥平面PAC 时，求二面角E FD C --的余弦值.20.已知动点P 到两点()，)的距离之和为4，点P 在x 轴上的射影是C ，2CQ CP =u u u r u u u r.（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）过点()的直线交点P 的轨迹于点,A B ，交点Q 的轨迹于点,M N ，求214MN AB -的最大值.21.函数()()ln 1cos f x x x ax =++-. （1）若0x =为()f x 的极值点，求实数a ；（2）若()1f x ≤在(]1,0-上恒成立，求实数a 的范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :1sin x t C y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中[)0,απ∈.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4sin C ρθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 相交于点,A B 两点，点()3,1P ，求PA PB ⋅. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设()124f x x x =-+-. （1）解不等式()5f x ≤；（2）若,,a b c 均为正实数，()f x 最小值为m ，a b c m ++=，求111111a b c +++++. 达州市普通高中2020届第二次诊断性测试理科数学参考答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分.3.解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题：1.B2.D3.B4.C5.D6.D7.A8.B9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.[]2,6 14.0.8 15.13- 16.2±三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）()2cos cos 0a c B b C ++=Q ，∴在ABC △中，由正弦定理得，()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ∴++=，()2sin cos sin 0A B B C ∴++=.A B C π++=Q ，2sin cos sin 0A B A ∴+=.A Q 为三角形内角，sin 0A ∴≠，12cos 23B B π=-=. （2）在ABC △中，BD 为角B 的角平分线，23B π=Q ，3ABD π∴∠=，Q 在ABD △中，,2,13A ABDB BD π=∠==，由余弦定理可得AD =222AB BD AD ∴=+，ABD △为直角三角形.即BD AC ⊥，故ABC △为等腰三角形，2AC AD ==，11122ABC A S BD C ∴==⨯⨯⋅=△ 18.解：（1）根据题意得列联表：()21405703035144.66735105100403k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.4.667 3.841>有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关.（2）在抽出的样本中，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，在这8个中抽取3个含在线培训个数为ξ.0ξ=，1，2，3()33381056C P C ξ===，()21353815156C C P C ξ===， ()123538301525628C C P C ξ====，()353810535628C P C ξ====. ξ的分布列为：()150123 1.875565656568E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯==.19.（1）证明：222AC BC AB +=Q ，ABC ∴△为等腰直角三角形，当F 为AB 中点时，CF AB ∴⊥.PA ⊥Q 平面,ABC CF ⊆平面,ABC PA CF ∴⊥.PA AB A =Q I 且都在平面PAB 中，CF ∴⊥平面PAB .CF ⊆Q 平面CEF ，∴平面CEF ⊥平面PAB .（2）解：过点C 作z 轴垂直于平面ABC ，建立如图的空间直角坐标系，()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2P ，()0,1,0D 。
四川省遂宁市2020届高三第一次诊断考试数学(理 Word版含答案
秘密★启用前遂宁市高中2017级第一次诊断性考试数学(理工类)(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，B ＝{x|x ＝2n ，n ∈N}，则A ∩B ＝ A.{－1，1，2} B.{1，2} C.{1，2，4} D.{0，1，2，4}2.已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋i)(2＋i)，则其共扼复数z = A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3i D.－1－3i3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(44sin,cos33ππ)，则cos(π＋α)＝ 3 B.12 C.12- D.3- 4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且|OA|3|OB|(O 为坐标原点)，则该椭圆的离心率为 23 6 2 35.函数2()1x x f x e =-的图象大致是6.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值分别为－2，19，输出y 的值分别为a ，b ，则a ＋b ＝A.－4B.－2C.74-D.147.如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，13AE AC =u u u r u u u r，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ＋µ＝A.56-B.16-C.16D.568.圆x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0上到直线l ：x ＋y 2＝0的距离为l 的点共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。
【解析】四川省绵阳市2020届高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题
A.4 B.5 C.10 D.15 【答案】 B
由题意得： a3 a1 2d 2, S3 3a1 3d 3,
a1
0 , 所以 a6
a1 5d
5
d1
【方法总结】 此题考查数列， 涉及到等差数列的基本性质。 需要我们熟练记忆等差数列的基
本性质。属于基础题目。
5．已知函数 f (x)
2x
2x
, 若 f ( m) 1
）
1
A. f (x) x2 B. f ( x) x C. f ( x) ln | x | D. f ( x) e2 x
【答案】 D
B. 的定义域为 0， ， C的定义域 x 0 ，排除。 A 在 - ，0 单调递减，在 0， 单调递
增，排除。故此正确答案为 D
4．等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn ，若 a3 2, S3 3 ，则 a6 ( )
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1．已知 A { x N | x 3} ， B {x | x 2 - 4x 0} ，则 A B （ ）
下与集合中的元素有关问题的求解策略。 (1) 确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集
还是其他类型的集合． (2) 看这些元素满足什么限制条件． (3) 根据限制条件求参数的值或确
定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．若 b a 0 , 则下列结论不正确的是（
）
11
四川省达州市高三数学第一次诊断性测试试题 理(含解析)
2015年四川省达州市高考数学一模试卷（理科）一.选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•达州一模）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U （M∪N）=（）A． {1，2，3} B． {5} C． {1，3，4} D． {2}【考点】：并集及其运算．【专题】：计算题．【分析】：由M与N求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可．【解析】：解：∵M={1，2，4}，N={2，3，6}，∴M∪N={1，2，3，4，6}，∵U={1，2，3，4，5，6}，∴∁U（M∪N）={5}．故选B【点评】：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：计算题．【分析】：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解析】：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．3．（5分）（2015•达州一模）以下说法错误的是（）A．“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】： A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，即可判断出；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；C．∃m=1∈R，使f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增；D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，即可判断出．【解析】：解：A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，因此“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件，正确；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，正确C．∃m=1∈R，使f（x）=m是幂函数，且f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增，正确；D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，因此不正确．故选：D．【点评】：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．4．（5分）（2015•达州一模）阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A． i＜6？ B． i＜8？ C． i＜5？ D． i＜7？【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解析】：解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．【点评】：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于基础题．5．（5分）（2015•达州一模）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B． 1 C．﹣2 D． 2【考点】：函数的周期性；函数奇偶性的性质．【专题】：计算题．【分析】：因为f（x）是R上周期为5的奇函数，可得f（x）=﹣f（﹣x），由题意满足f（1）=1，f（2）=3，求出f（﹣1）和f（﹣2），再根据函数的周期性求出f（8）和f（4），从而求解；【解析】：解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；【点评】：此题主要考查奇函数的性质及其应用，以及函数的周期性问题，是一道基础题；6．（5分）（2015•达州一模）达州市举行汉字书写决赛，共有来自不同县的5位选手参赛，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不许连续出场，且女生甲不能第一个出场，则不同的出场顺序有（）A． 120种 B． 90种 C． 60种 D． 36种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；排列组合．【分析】：若第一个出场的是男生，方法有=36种．若第一个出场的是女生（不是女生甲），用插空法求得方法有=24种，把这两种情况的方法数相加，即得所求．【解析】：解：①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有=36种．②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有=24种．故所有的出场顺序的排法种数为36+24=60，故选C．【点评】：本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意特殊位置优先排，不相邻问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．7．（5分）（2015•达州一模）函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】：函数的图象．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：利用排除法确定函数的图象的大致形状．【解析】：解：易知函数y=为偶函数，故排除B，D；又因为当x=1时，y=没有意义，故排除C；故选A．【点评】：本题考查了函数的图象的判断与应用，属于基础题．8．（5分）（2015•达州一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果x1，x2∈（﹣，），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A． B． C． 1 D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．【解析】：解：由图知，T=2×（+）=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+φ）∵|φ|＜，所以φ=，∴f（x）=sin（2x+），x1+x2=2×=，所以f（x1+x2）=sin=．故选：D．【点评】：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力，属于中档题．9．（5分）（2015•达州一模）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C． D．【考点】：基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：根据a 7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解析】：解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴a1q m+n﹣2=16a1，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=•（）（m+n）=≥=上式等号成立时，n2=9m2，即n=3m，而m+n=6，∴m=，不成立，∴m=1、n=5时，∴=；∴m=2、n=4时，∴=；∴最小值为故选B．【点评】：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．10．（5分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=|e x﹣1|，g（x）=，则F（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【考点】：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：首先，在同一坐标系中画出函数y=f（x），y=g（x）的图象，然后，判断交点的个数即可．【解析】：解：根据已知，当x≤0时，g（x）=1﹣|x+1|，当0＜x＜2时，g（x）=2[1﹣|x ﹣2+1|]=2（1﹣|x﹣1|），然后去掉绝对值，得到函数g（x）=的部分图象，令F（x）=f（x）﹣g（x）=0，得f（x）=g（x），故函数y=f（x）与函数y=g（x）的交点个数就是该方程的根，如图所示：F（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数为3个．故选：B．【点评】：本题重点考查了函数的零点等知识，属于中档题．二、填空题11．（5分）（2015•达州一模）一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知乙层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为180 ．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．由乙层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，根据三者之间的关系得到结果．【解析】：解：∵用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．∵乙层中每个个体被抽到的概率都为，∴根据抽样的性质可知在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，∴总体中的个体数为20÷=180．故答案为：180．【点评】：本题主要考查分层抽样的定义和性质是应用，比较基础．12．（5分）（2015•达州一模）二项式（2x3+）7的展开式中常数项为14 ．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：根据二项式（2x3+）7的展开式通项公式，求出常数项对应的r值，计算出常数项即可．【解析】：解：∵二项式（2x3+）7的展开式中，T r+1=•（2x3）7﹣r•=•27﹣r•；令21﹣3r﹣=0，解得r=6；∴展开式中常数项为T6+1=•27﹣6=14．故答案为：14．【点评】：本题考查了二项式定理的展开式的应用问题，是基础题目．13．（5分）（2015•达州一模）设函数f（x）=，若区间（0，4]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤1的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．【解析】：解：由题意区间（0，4]内随机选取一个实数x0，所选取的实数x0满足的区域长度为4，所选取的实数x0满足f（x0）≤1的范围是和的解集的并集，解得{x|≤1}和{x|1＜x≤2}，所以所选取的实数x0满足f（x0）≤1的x0的范围是[，2]，区域长度为，所以所选取的实数x0满足f（x0）≤1的概率为；故答案为：【点评】：本题主要考查了几何概型，以及分段函数对应的不等式的解法，关键是明确事件对应的区域长度．14．（5分）（2015•达州一模）设△ABC重心为G，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则∠C= ．【考点】：平面向量的基本定理及其意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：△ABC重心为G，可得，代入a+b+c=，整理为=．由G为△ABC重心，可知：与不可能共线．可得=0，再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵△ABC重心为G，∴，∴，∵a+b+c=，∴﹣+b+c=，化为=，∵G为△ABC重心，∴与不可能共线．∴=0，∴c，b=c．由余弦定理可得：cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故答案为：．【点评】：本题考查了三角形重心性质、余弦定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2015•达州一模）设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[﹣3.7]=﹣4．给出以下命题：①若x1≤x2，则[x1]≤[x2]；②[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2015]=4938；③若x≥0，则可由[2sinx]=[]解得x的范围为[，1）∪（，π]；④函数f（x）=，则函数[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为{0，﹣1}；你认为以上正确的是①②④．【考点】：函数的值．【专题】：新定义；函数的性质及应用．【分析】：①由[x]表示不超过x的最大整数，得出x1≤x2时，[x1]≤[x2]成立；②计算出[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]的值即可；③举例说明x的取值范围不是[，1）∪（，π]；④求出函数f（x）与f（﹣x）的值域，计算y=[f（x）]+[f（﹣x）]的值即可．【解析】：解：对于①，∵[x]表示不超过x的最大整数，∴对任意的实数x1≤x2，有[x1]≤[x2]，∴①正确；对于②，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3，∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=9×0+90×1+900×2+1016×3=4938，∴②正确；对于③，当x=时，[2sinx]=1，[]=0，∴x的取值范围不是[，1）∪（，π]，∴③错误；对于④，函数f（x）=﹣=﹣∈（﹣，），同理，f（﹣x）∈（﹣，），当f（x）∈（﹣，0）时，f（﹣x）∈（0，），∴[f（x）]=﹣1，[f（﹣x）]=0，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，同理当f（﹣x）∈（﹣，0）时，f（x）∈（0，），∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=﹣1，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，当f（x）=0时，f（﹣x）=0，∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=0，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=0，综上，y=[f（x）]+[f（﹣x）]={﹣1，0}，∴④正确．故答案为：①②④．【点评】：本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了对数的计算问题与三角函数的计算问题，是综合性题目．三、解答题16．（12分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=•，其中=（sinx，﹣1），=（2cosx，cos2x+）．（Ⅰ）若x∈[，]，求函数f（x）的最大值和最小值，并定出相应x的值．（Ⅱ）△ABC的内角为A，B，C，设对边分别为a，b，c，满足c=，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．【考点】：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过x∈[，]，求函数f（x）的最大值和最小值，并定出相应x的值．（Ⅱ）△ABC的内角为A，B，C，设对边分别为a，b，c，满足c=，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．【解析】：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=•，其中=（sinx，﹣1），=（2cosx，cos2x+）．∴f（x）=•=sinxcosx﹣cos2x﹣=﹣1=sin（2x﹣）﹣1；x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈；∴sin（2x﹣）﹣1∈，2x﹣=2k时，函数球的最小值，此时x=kπ+．k∈Z．2x﹣=2k时，函数球的最大值，此时x=kπ+．k∈Z．（Ⅱ）由c=，f（C）=0，可得sin（2C﹣）=1，解得：C=，且sinB=2sinA，得：b=2a，c2=3=b2+a2﹣2bacosC，，可得a=1，b=2，【点评】：本题考查两角和与差的三角函数，余弦定理的应用，考查奇数项的解法，考查计算能力．17．（12分）（2015•达州一模）随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数 35 25 a 10 b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）【考点】：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题意得a=15，b=15，由此能求出“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率．（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得ξ=1，2，3，4，5，P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．P（X=4）=1﹣0.35﹣0.25=0.4，由此能求出X的分布列和数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）由=0.15，得a=15，因为35+25+a+10+b=100，所以b=15，“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率：P（A）=．（6分）（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得ξ=1，2，3，4，5，P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，…（8分）并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．P（X=4）=1﹣0.35﹣0.25=0.4，…（10分）所以X的分布列为X 1 1.5 2P 0.35 0.4 0.25所以X的数学期望为E（X）=1×0.35+1.5×0.4+2×0.25=1.45（千元）．…（12分）【点评】：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．18．（12分）（2015•达州一模）如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR（如图所示），设∠PAB=θ．（Ⅰ）用含有θ的式子表示矩形PQCR的面积S；（Ⅱ）求长方形停车场PQCR面积S的最大值和最小值．【考点】：在实际问题中建立三角函数模型．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）先求出AM和PM的值，进而可得PQ，PR 的值，由此求得S=PQ•PR 的值．（Ⅱ）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，代入S化简得 S=，利用二次函数性质求出S的最大值和最小值．【解析】：解：（Ⅰ）由于∠PAB=θ，0°≤θ≤90°，知AM=90cosθ，PM=90sinθ，RP=RM﹣PM=100﹣90sinθ，PQ=MB=100﹣90cosθ，S=PQ•PR=（100﹣90sinθ）（100﹣90cosθ）=10000﹣9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ．∴S=10000﹣9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ；（Ⅱ）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=．即t=sin（θ+），0≤θ≤，1≤t≤，代入S化简得 S=．故当t=时，S min=950（m2）；当t=时，S max=14050﹣9000（m2）．【点评】：本题考查解三角形的实际应用，三角函数的恒等变换，以及二次函数性质的应用，属中档题．19．（12分）（2015•达州一模）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【考点】：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由题意可得数列{a n}的公差，进而得通项，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，可解b1=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，由错位相减法可求和．【解析】：解：（I）由题意可得数列{a n}的公差d=（a5﹣a3）=2，故a1=a3﹣2d=1，故a n=a1+2（n﹣1）=2n﹣1，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，S1=2﹣b1=b1，∴b1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2﹣b n﹣（2﹣b n﹣1），∴，∴{b n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴b n=1•=；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，∴T n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣3）•2n﹣2+（2n﹣1）•2n﹣1，故2T n=1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，两式相减可得﹣T n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=1+2﹣（2n﹣1）•2n=1﹣4+（3﹣2n）•2n，∴T n=3+（2n﹣3）•2n【点评】：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．20．（13分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）（Ⅰ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若∃λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a ﹣2ln3成立，求m的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出f′（x），根据a的值得情况分类讨论，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分别求出函数的增区间和减区间；（Ⅱ）∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3成立，等价于|f （λ1）﹣f（λ2）|max＞（m+ln3）a﹣2ln3，而|f（λ1）﹣f（λ2）|max=f（x）max﹣f（x）min，由（Ⅰ）利用单调性可求得f（x）的最大值、最小值，再根据a的范围即可求得m的范围【解析】：解：（Ⅰ）依题意，f′（x）=﹣+2a==，（x＞0），当﹣2＜a＜0时，﹣＞，令f′（x）＜0，得0＜x或x＞，令f′（x）＞0，得＜x ＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0．当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0，得x＜﹣或a＞，令f′（x）＞0，得﹣＜x＜；综上所述：当﹣2＜a＜0时时，f（x）的单调递减区间是（0，），（﹣，+∞），单调递增区间是（，﹣）；当a＜﹣2时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣），（，+∞），单调递增区间是（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞））（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当﹣3＜a＜﹣2时时，f（x）在x∈[1，3]单调递减．f（x）max=f（1）=﹣1；，，∴，得．【点评】：本题考查了利用导数研切线方程，利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的增减，同时要注意单调区间是定义域的子集，即先要求出函数的定义域．同时考查了函数的恒成立问题，对于恒成立，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法解决．属于难题21．（14分）（2015•达州一模）已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域；（Ⅱ）若∀x∈[，1]，使得对∀t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=f（x）﹣ax﹣（a∈R）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．【考点】：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域；（Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞0，得到g（x1）=g（x2）=0，根据相加和相减得到，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【解析】：解：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得，由条件可得，把x=﹣1代入x+y=2可得，y=1，∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞），（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，令m（t）=，易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0，∴g（x1）=g（x2）=0，∴，，相加可得，相减可得，由两式易得：；要证，即证明lnx1+lnx2＞2，即证：，需证明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，∴，故ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，∴，故原不等式成立．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题。
四川省成都市2020届高三数学上学期第一次诊断性检测试题理含解析
四川省成都市2020届高三数学上学期第一次诊断性检测试题 理（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第11卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1，答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2，答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3，答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4，所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5，考试结束后，只将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i + D. 3i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意得复数z 1与23z i =--的实部相等，虚部互为相反数，则z 1可求．【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2.已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A. 1-或0 B. 0或1 C. 1-或2D. 1或2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题． 3.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan 2θ=( )A. 5-B.53C. 52-D.5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tan θ，再利用倍角公式求得tan 2θ的值． 【详解】sin 5cos(2)θπθ=-，∴sin 5cos θθ=，得tan 5θ=，222tan 255tan 21tan 15θθθ∴===---.故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题． 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题． 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A. 95 B.59 C. 53D. 275【答案】D 【解析】 【分析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题． 6.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m nB. 若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m nC. 若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥D. 若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误； 由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A. 25 B. 25-C. 5D. 5-【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出．【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r()-r x -=r 6C ()1r -()6-2rx ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( ) A. 3B.32C. 5D.52【答案】B 【解析】 分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题． 10.已知122a =，133b =，3ln 2c =，则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c ＜1．【详解】∵122a ==＝，且133b ==＝，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ．【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．11.已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1xf x x e =--.若关于x的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A. (2,0)(2,)-+∞ B. (2,0)(0,2)-C. (,0)(,)e e -⋃+∞D. (,0)(0,)e e -⋃【答案】D 【解析】 【分析】根据f （2﹣x ）＝f （2+x ）可知函数f （x ）关于x ＝2对称，利用当2x ≤时()(1)1xf x x e =--，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．由题意转化为y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1与f （x ）有三个交点，直线恒过定点（2，e ﹣1），再根据数形结合法可得k 的取值范围． 【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x﹣1．f ′（x ）＝xe x．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2．∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切．∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ．【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题．12.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23P P 上滑动，且22P B P C x ==，现将1APB ∆，3AP C ∆分别沿AB ，AC 折起使点13,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥P ABC -.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,42)-； ④三棱锥P ABC -体积的最大值为13. 则正确的结论的个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得,折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P ﹣ABC 的外接球的直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1，得外接球的半径R 6P ﹣ABC 的外接球的体积，故②正确；由题意得(0,2)x ∈，2BC x =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得(0,422)-，故③正确；由等体积转化P ABC A PBC V V --=计算即可，故④错误.【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ， 在①中，由PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，且PB PC P =，所以AP ⊥平面PBC 成立，故①正确； 在②中，当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的外接球直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1x =，得外接球的半径R 2246x x ++=，所以外接球的表面积为224462S Rπππ⎛==⨯=⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P的边长为2，所以(0,2)x∈，BC=，312PC PB PB PC x====-，在CPB∆中，由边长关系得2x-+2x->，解得(0,4x∈-，故③正确；在④中，正方形123APP P的边长为2，且22P B P C x==，则2PB PC x==-，所以()()222111sin223263 P ABC A PBCx V V CP BP CPB AP x---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,4-上递减，无最大值，故④错误.故选：C【点睛】本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为_______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出实数x，y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z 最大．由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6.故答案：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14.设正项等比数列{}n a 满足481a =，2336a a +=，则n a =_______. 【答案】3n 【解析】 【分析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，481a =，2336a a +=，得312118136a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩，∴a n ＝11n a q -⋅＝3•3n ﹣1＝3n . 故答案为：3n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15.已知平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小为_______. 【答案】6π【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a 与b 的夹角即可． 【详解】∵平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，∴2()0b a b b a b ⋅-=⋅-=，∴2b a b ⋅=．设向量a 与b 的夹角的大小为θ，则，求得∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．16.已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______.【解析】 【分析】取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）13；（2）2632【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A 的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc 2b ＝3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长．【详解】（1）∵22223b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A 42bc ，∴cos A 22， ∴在△ABC 中，sin A 21cos A -＝13． （2）∵△ABC 2，即12bc sin A ＝16bc 2，∴bc ＝2， 2sin B ＝3sin C ，2b ＝3c ，∴b ＝2，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a∴=，所以周长为2a b c++=+.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）分布列见解析，()910E X = 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出列联表，计算K 2，查表判断即可；（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C PX C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（233【解析】 【分析】（1）根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面PAE ；（2）以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP 与平面CDP 的法向量计算即可.【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB 3 由（1）得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC 3EC ＝1，所以PE 2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P （0，0，0），A （0，0，1），B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，2，1）， 设平面BAP 的一个法向量m ＝（x ，y ，z ），又PA ＝（0，0，1），PB ＝（2，﹣1，0），由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2x ﹣y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m ＝（1，2，0），设平面CDP 的一个法向量n ＝（a ，b ，c ），又PC ＝（2，1，0），PD ＝（0，2，1），由00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n ＝（1，﹣2，22）， 所以33cos ,311m n ==-⋅，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为3333．【点睛】本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题． 20.已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >-- 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，讨论a 的取值范围，求出单调区间；（2）由（1）得函数函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，根据题意转化为2(1)ln()10a a a +--->在1a <-恒成立即可.【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈，当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增；综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增. （2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立， 即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因1,1a a <-∴->，则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立 则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等问题，属于中档题．21.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D.（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意设直线AB 的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围； （2）由（1）得B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点．【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=， 因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则1z y y -=== 所以四边形OAHB的面积12121||2S OH y y y y =⋅-=-=，2,1,11t t S t t t=∴∴==++因为12t t+（当且仅当t=1即m =0时取等号），所以02S <，所以四边形OAHB 的面积取值范围为； （2）()()221,,2,B x y D y ，所以直线BD 的斜率1222y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1212(2)2y y y y x x --=--，令y =0，可得212121212122,x y zy my y y y x y y y y -+-==--①由（1）可得121212122221,,222m y y y y y y my y m m +=-=-∴+=++ 化简①可得()()112121212123222z s y y y y y y x y y y y ++--===-- 则直线BD 过定点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【答案】（1）曲线1C ：4sin ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=；（2【解析】 【分析】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB |＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M （3，2π）到射线()06πθρ=≥的距离h＝3sin 3π=，即可求得△MAB 的面积．【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos1).66AB ππρρ∴=-=-=又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin32h π==MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．23.已知函数() 3.f x x =- （1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+-【答案】（1）2(,][0,)3-∞-⋃+∞；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x +1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（2）由基本不等式得m n +的最小值92，转化为|x +32|﹣f （x ）≤92恒成立即可．【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<；③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞. （2）() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n +=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+- 【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．。
四川省达州市高三第一次诊断性测试数学(理)试题 高清
达州市普通高中2015届第一次诊断性测试数学（理）试题参考答案一、选择题： BDDAC ADCAB二、填空题：11. 180； 12.14； 13.； 14.； 15. ①②④三、解答题16．（Ⅰ）()(),cos ,cos ,,B C n c b m ==;cos 2cos cos A a B c C b -=+=⋅∴A A B C C B cos sin 2cos sin cos sin -=+∴，()A A A C B cos sin 2sin sin -==+∴，32),0(ππ=∴∈A A ………………6分 （Ⅱ）A bc c b a a cos 21232222-+===得由，，3sin 21==∆A bc S 又，， ………………12分17．（Ⅰ）由，得，因为352510100a b ++++=，所以，“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率3123()0.9C 0.1(10.1)0.972.P A =+⨯⨯-=（6分）（Ⅱ）记分期付款的期数为,依题意得，，，，， …………………………（8分）因为的可能取值为,并且(1)(1)0.35P X P ξ====，( 1.5)(2)(3)0.4P X P P ξξ===+==，(2)(4)(5)0.10.150.25P X P P ξξ===+==+=. ……………………（10分） 所以的分布列为所以的数学期望为 ()10.35 1.50.420.25 1.45E X =⨯+⨯+⨯=（千元）. …………（12分）18.（Ⅰ）（Ⅰ）由，为距形，得，θθcos 2,sin 2===OB BC AD 又θsin 245==∴=∠AD OA POQ ，，θθsin 2cos 2-=-=∴OA OB AB ，…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()BC AB f S ABCD ⋅==θθθθ2sin 2cos sin 2-⋅=， ………………8分()θπθπππθf y =⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴时，，即当8,02,442为增函数； ()θππθπππθf y =⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴时，，即，当4843242为减函数； 的增区间为，减区间为 ………………10分()128max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴πθf f ………………12分 19．（Ⅰ）因为在函数图象上，又1111211111111111=+-++=+-+-=+-+=-++n n n n n n n n a a a a a a b b又是以2为首项，1为公差的等差数列；…………………………………6分(Ⅱ)由（1）知， ……………………7分n n n n n T 22)1(2221121⋅+⋅-++⋅+⋅=- ，1n 3222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n T n n +1322222+⋅-+++n n n ， …………12分20．解：（Ⅰ）依题意，221()2a f x a x x -'=-+()21(21)()0a x x a x x -+=>当时，，令，得或，令，得； 当时，22(21)()0x f x x -'=-≤. 当时，， 令，得或，令，得；综上所述: 当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是当时，的单调递减区间是 ……………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当时，在单调递减.；3ln 3317)3()(min +-==f x f ， ……………………9分 3ln 3314)3()1(|)()(|max 21-=-=-f f f f λλ 所以3ln 333ln 33142-->-m m ， 得. ……………………12分21．（Ⅰ）由可得x n x m x f ++-=2)1()('，由条件可得，把代入可得，，，，， x x x f ln 2112)(-+=∴， ……………………4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减，在上的最小值为，故只需，即对任意的上恒成立，令，，即的取值范围为 ……………………9分（Ⅲ），不妨设，，，，相加可得)()ln (ln 212121x x b x x +=+-，相减可得)()ln (ln 212121x x b x x -=--，由两式易得：21212121ln ln ln x x x x x x x x -+=+； 要证，即证明，即证： ，需证明成立，令，则，于是要证明，构造函数，0)1()1()1(41)('222>+-=+-=t t t t t t ϕ，故在上是增函数，，，故原不等式成 ……………………14分。
四川省达州市普通高中2020届高三第二次诊断性测试数学(理科)试题附答案与详解
达州市普通高中2020届第二次诊断性测试数学（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =≤≤，{}1B x x =>，则A B =I （ ） A.(]1,2 B.[]2,4C.()4,+∞D.()2,42.复数21iz i+=-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，5a 是2a ，14a 的等比中项，则7a =（ ） A.13B.49C.62D.721-4.函数()21ln f x x x x=-+的图象大致是（ ） A.B. C. D.5.101⎫-⎪⎭的展开式中3x -的系数是（ ） A.252B.252-C.210-D.2106.已知双曲线的两条渐近线的方程是0x +=和0x -=，则双曲线离心率是（ ）或5或27.已知[]8,2a∈-，则命题20000,10x x ax∃>++<为假命题的概率（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.18.已知22loga a=，1212bb⎛⎫=⎪⎝⎭，n1sic c=+，则实数a，b，c的大小关系是（）A.b a c<< B.a b c<< C.c b a<< D.a c b<<9.甲烷，化学式4CH，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为a，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（）10.在ABC△中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设BE a=u u u r，CD b=u u u r，则AP=u u u r （）A.2233a b-- B.4433a b-- C.3344a b-- D.5544a b--11.已知方程()2sin2002xxωωω-=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（）A.17,33⎛⎤⎥⎝⎦B.713,66⎛⎤⎥⎝⎦C.410,33⎛⎤⎥⎝⎦D.113,66⎛⎤⎥⎝⎦12.己知a>0，函数f（x）=|12.已知0a>，函数()2,02,0xf xax xx⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，()2ag xx=-和点()()(),0P m f m m<，将y轴左半平面沿y轴翻折至与y轴右半平面垂直.若()0,1n∃∈，直线x n=分别与曲线()y f x=，()y g x=相交于点A B ，，PA PB =，PAB △面积为2，则实数a 的取值范围为（ ）A.,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.0,9⎛⎝⎦C.(]0,1D.0,9⎛ ⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y 满足约束条件200360x y x y x y +-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值是 .14.函数()112122xx f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t = . 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13n n S m -=+，则实数m 的值是 .16.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点.O 是坐标原点，A 是C 上一点，OFA △外接圆B e （B 为圆心）与C 的准线相切，则过点B 与C 相切的直线的斜率 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC △的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求B ；（2）若2,c B =的角平分线1BD =，求ABC △的面积ABC S △.18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： 线下培训茎叶图在线培训直方图线下培训茎叶图 在线培训直方图（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式有关？（2）成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是ξ，求ξ分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC CB ===，AB =D 是BC 中点，E 是PD 中点，F 是线段AB 上一动点.（1）当F 为AB 中点时，求证：平面CEF ⊥平面PAB ； （2）当EF ∥平面PAC 时，求二面角E FD C --的余弦值.20.已知动点P 到两点()，)的距离之和为4，点P 在x 轴上的射影是C ，2CQ CP =u u u r u u u r.（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）过点()的直线交点P 的轨迹于点,A B ，交点Q 的轨迹于点,M N ，求214MN AB -的最大值.21.函数()()ln 1cos f x x x ax =++-. （1）若0x =为()f x 的极值点，求实数a ；（2）若()1f x ≤在(]1,0-上恒成立，求实数a 的范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :1sin x t C y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中[)0,απ∈.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4sin C ρθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 相交于点,A B 两点，点()3,1P ，求PA PB ⋅. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设()124f x x x =-+-. （1）解不等式()5f x ≤；（2）若,,a b c 均为正实数，()f x 最小值为m ，a b c m ++=，求111111a b c +++++.达州市普通高中2020届第二次诊断性测试理科数学参考答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分.3.解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题：1.B2.D3.B4.C5.D6.D7.A8.B9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.[]2,6 14.0.8 15.13- 16.2±三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）()2cos cos 0a c B b C ++=Q ，∴在ABC △中，由正弦定理得，()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ∴++=，()2sin cos sin 0A B B C ∴++=.A B C π++=Q ，2sin cos sin 0A B A ∴+=.A Q 为三角形内角，sin 0A ∴≠，12cos 23B B π=-=. （2）在ABC △中，BD 为角B 的角平分线，23B π=Q ，3ABD π∴∠=，Q 在ABD △中，,2,13A ABDB BD π=∠==，由余弦定理可得AD =222AB BD AD ∴=+，ABD △为直角三角形.即BD AC ⊥，故ABC △为等腰三角形，2AC AD ==，11122ABC A S BD C ∴==⨯⨯⋅=△18.解：（1）根据题意得列联表：()21405703035144.66735105100403k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.4.667 3.841>有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关.（2）在抽出的样本中，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，在这8个中抽取3个含在线培训个数为ξ.0ξ=，1，2，3()33381056C P C ξ===，()21353815156C C P C ξ===， ()123538301525628C C P C ξ====，()353810535628C P C ξ====. ξ的分布列为： ()150123 1.875565656568E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯==.19.（1）证明：222AC BC AB +=Q ，ABC ∴△为等腰直角三角形，当F 为AB 中点时，CF AB ∴⊥.PA ⊥Q 平面,ABC CF ⊆平面,ABC PA CF ∴⊥.PA AB A =Q I 且都在平面PAB 中，CF ∴⊥平面PAB .CF ⊆Q 平面CEF ，∴平面CEF ⊥平面PAB .（2）解：过点C 作z 轴垂直于平面ABC ，建立如图的空间直角坐标系，()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2P ，()0,1,0D 。
2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学(理)科试题及答案
2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（理）科试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2【答案】A【解析】由A B ⊆，则2B ∈,则12a +=，得答案. 【详解】由A B ⊆,{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+, 则2B ∈,所以1a +=2. 所以1a = 故选：A. 【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题.2．在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A ．【解析】试题分析：(1)(2)3z i i i =+-=+，∴对应的点为(3,1)，位于第一象限． 【考点】复数的乘除和乘方．3．抛物线230x y +=的准线方程为（ ） A ．34x =B ．32x =-C ．34y =D ．32y =-【答案】C【解析】将抛物线230x y +=方程化为标准方程23x y =-，由抛物线的标准方程可得其准线方程. 【详解】由抛物线230x y +=有23x y =-,根据抛物线的标准方程可得32p =. 则其准线方程为：34y = 故选：C【点睛】本题考查由抛物线的方程求准线方程，属于基础题.4．已知2a b =r r ，()a b a -⊥r rr ，则a r 与b r的夹角是（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】由()a b a -⊥r r r 有()=0a b a -⋅r r r 得2=a b a ⋅r r r，再代入向量的夹角公式可求解.【详解】由()a b a -⊥r r r 有()=0a b a -⋅r r r .即2=a b a ⋅r r r，又2a b =r r . 则221cos ,22a a b a b a b a ⋅〈〉===⋅r r rr r r r r .由a r 与b r的夹角在[0,]π内.所以a r 与b r的夹角为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的夹角，向量的数量积的运算,属于基础题.5．如图所示的程序框图，若输出值1y =，则输入值x 的集合是（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}1【答案】C【解析】将输出的值1y =，沿着“是”，“否”两条路线反代回去，即可求出x 的值. 【详解】若输入的1x >，则输出2log 1y x ==，则2x =. 若输入的1x ≤，则输出11()112x y -=-=,则0x =.则输入值x 的集合是: {}0,2 故选：C 【点睛】本题考查程序框图，根据输出的结果计算输入的初始值，属于基础题.6．污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（ ）（精确到小数点后2位） A ．0.13 B ．0.15 C ．0.20 D ．0.22【答案】C【解析】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+，然后求解方程得出答案.【详解】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+即2216(1) 1.44150x +==，解得：0.20x = 故选：C. 【点睛】本题主要考查平均变化率，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率)n,属于基础题.7．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】B【解析】根据图像有2A =,724632T πππ=-=,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出ω，然后求出()f x 和()g x 的解析式，再根据相位变换得到答案. 【详解】 根据图像有2A =,724632T πππ=-=, 所以22||T ππω==,则||=1ω. 不妨取=1ω，又2=03f π⎛⎫ ⎪⎝⎭有2sin =03πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 得22,3k k Z πϕππ+=+∈,又2πϕ<.所以=3πϕ，即()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()sin g x x = 所以由()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位长度可得()sin g x x =的图像. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题. 8．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =cos sin b A B =，则A =（ ） A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π【解析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B=,即1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a bA B=, 又a =1cos A=.所以tan A =因为A 为ABC V 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.9．已知平面α，β，γ和直线l ，则“αβ∥”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥且l β⊥ C ．γα⊥且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行 【答案】B【解析】选择“αβ∥”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出αβ∥，反之不成立. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行,则,αβ可能相交或平行，故不能推出αβ∥.B. l α⊥且l β⊥,则αβ∥. 反之不成立，满足条件.C. γα⊥且γβ⊥,则,αβ 可能相交或平行，故不能推出αβ∥.D. α内的任何直线都与β平行是αβ∥的充要条件.【点睛】本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题.10．函数()22sin 2x x xf x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=，其图象的对称中心是（ ） A ．()0,1 B ．()1,1-C ．()1,1D ．()0,1-【答案】D【解析】()22sin 2cos 2=1x x x x f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-,设2cos g()xx x x=+，则g()x 为奇函数，而()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的，从而得到答案. 【详解】由()22sin 2cos 2=1x x xx f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-， 设2cos g()xx x x=+，则g()x 为奇函数,其图像关于原点成中心对称. 所以()()1f x g x =-,()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的.所以()f x 的图像关于点(0,1)- 成中心对称. 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数图像的对称性，属于基础题.11．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）A ．32B ．53C．2D．3【答案】D【解析】设00(,)M x y ，先求出直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=，由M 点在直线30x y +-=上，得出直线AB 过定点,从而求出答案.设00(,)M x y ,过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B .则A ，B 两点在以OM 为直径的圆:22000x x x y y y -⋅+-⋅=上.又A ，B 在圆221x y +=上，所以AB 为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=又点M 在直线30x y +-=上，则003y x =-，代入直线AB 的方程.00(3)1x x y x ⋅+⋅-=,得直线AB 过定点11(,)33N ，所以点()0,1P -到直线AB 的距离：||3d PN ≤==. 故选：D. 【点睛】本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题,属于难题. 12．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点，则b 的可能取值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】函数()f x 的导函数为()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=，函数()f x 在区间()1,2上有两个极值点，即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案. 【详解】()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=, 函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点, 即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根.所以2=4012210420a baa ba b⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-+>⎪-+>⎪⎩V以为b纵坐标，a为横坐标画出不等式满足的平面区域.曲线214b a=与直线1b a=-相切于点(2,1)，曲线214b a=与直线24b a=-相切于点(4,4).根据选项，则b的可能取值在选项中只能为3.故选：A.【点睛】本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题. 二、填空题13．5321xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.（用数字作答）【答案】10【解析】5321xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式的通项公式为3515515521()()r r r r rrT C x C xx--+==,求常数项即令15150r-=，解得3r=，然后可得答案.【详解】5321xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式的通项公式为3515515521()()r r r r rrT C x C xx--+==.则5321xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中的常数项，令15150r-=,解得3r=，即常数项为345=10T C=故答案为：10. 【点睛】本题考查二项式定理中的指定项，考查二项式的通项公式，属于基础题. 14．已知02πα<<，4tan 3α=，则sin cos αα+=______. 【答案】75【解析】由4tan 3α=,则4sin cos 3αα=,由同角三角函数的关系可得sin cos αα，的值，从而可得答案. 【详解】 由4tan 3α=，即sin 4cos 3αα=，则4sin cos 3αα=. 由22sin +cos 1αα=有： 2216cos +cos 19αα=. 则29cos 25α=，又02πα<<. 所以3cos 5α=，44sin cos =35αα=.所以7sin cos 5αα+=.故答案为：75【点睛】本题考查同角三角函数的关系，注意角的范围，开方符号的选择，属于基础题.15，，则小球体积的最大值为______.【答案】6π 【解析】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，由共一顶点的三个面，可得ab bc ac ===，从而可解得,,a b c 的值，可求得小球半径的最大值，从而得到其体积. 【详解】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则由条件有ab bc ac ===.解得:=2,=1,=3a b c ，因为小球在长方体内，则小球的直径的最大值为b 边长. 所以半径的最大值为12r =，则小球的体积的最大值为：33441()3326r πππ==. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查长方体的内切球，根据长方体的表面的面积求棱长,考查方程思想，属于中档题.16．如图，直线PT 和AB 分别是函数()33f x x x =-过点()2,2P 的切线（切点为T ）和割线，则切线PT 的方程为______；若()(),A a f a ，()()(),2B b f b b a <<，则a b +=______.【答案】2y = 2-【解析】设切点00(,)T x y ，由2()33f x x '=-，得切线的斜率为2033k x =-，求出在点T 处的切线方程，然后将点()2,2P 代入，解出切点的坐标，从而得到切线方程. 再写出直线AB 的方程与()33f x x x =-联立，则,,2a b 为方程的根，应用因式分解和韦达定理可得+a b 的值. 【详解】设切点00(,)T x y ,又2()33f x x '=-， 则在点T 处的切线的斜率为：2033k x =-.则在点T 处的切线方程为：320000(3)(33)()y x x x x x -+=--， 又点()2,2P 在切线上，则3200002(3)(33)(2)x x x x -+=--， 即3200340x x -+=，解得01x =-或02x =(舍).则(1,2)T -，0k =，所以切线PT 的方程为：2y =. 根据题意直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 的方程为：(2)2y k x =-+ ，由3(2)23y k x y x x=-+⎧⎨=-⎩ 有332(2)x x k x --=- 所以3(4)(2)(2)x x x k x -+-=-， 即2(2)(21)(2)x x x k x -++=- ()由直线AB 交曲线()33f x x x =-于三点,,A B P所以,,2a b 为方程()的根.即,a b 为方程221x x k ++=的两个实数根； 由韦达定理有：2a b +=-. 故答案为：2y = ；2- . 【点睛】本题考查曲线的切线，导数的几何意义，考查曲线与方程，直线与曲线的关系,属于难题.三、解答题17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，39S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）24n T n =【解析】(1)由条件有131133a S a d=⎧⎨=+⎩，可求出1,a d ，即得到答案.(2)由212n n n b a a -=+，由（1）有21284n n n b a a n -=+=-，则{}n b 为等差数列，可求和. 【详解】解：（1）{}n a Q 为等差数列，设公差为d由131133a S a d =⎧⎨=+⎩ 即111933a a d =⎧⎨=+⎩得：112a d =⎧⎨=⎩ 21n a n ∴=-（2）由（1）可知()21221143n a n n -=--=-, ()222141n a n n =-=-,21284n n n b a a n -=+=-法一：()()21812348442n n n T n n n n +=+++⋅⋅⋅-=⨯-= {}n b ∴的前n 项和24n T n =法二：14b =，()1848148n n b b n n --=---+=，{}n b ∴是以首项14b =，公差为8的等差数列()248842n n n T n +-∴=={}n b ∴的前n 项和24n T n =【点睛】本题考查等差数列求通项公式，数列求和，属于中档题.18．在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示.（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求()10,x x n N <∈的值；（2）从样本中任意抽取3名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于15，则该班成绩判断为可疑.试判断甲班的成绩是否可疑？并说明理由. 【答案】（1）7（2）甲班的成绩可疑，见解析【解析】(1)求出甲、乙两班的平均成绩分别为89,x =甲 则89x =乙可求出x 的值.(2)求出甲班至少有两名学生的成绩相同的概率为321213372831021960C C C C C C ++=，然后根据条件作出判断.【详解】解：（1）设样本中甲、乙两班的平均成绩分别为x甲、x乙，则7038039021002533768910x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯==甲70280390410082321245910xx⨯+⨯+⨯++⨯+⨯++++++=乙438410x+=+x x=Q甲乙43848910x+∴+=7x∴=（2）甲班的成绩可以，理由如下：甲班成绩相同的有：87分3人、75分2人、97分2人∴从样本中任意抽取3名学生的成绩中至少有两名学生成绩相同的概率为：32121337283102191605C C C C CpC++==>∴甲班的成绩可疑【点睛】本题考查茎叶图，平均值，等可能事件的概率，属于基础题.19．在ABCV中（图1），5AB=，7AC=，D为线段AC上的点，且4BD CD==.以BD为折线，把BDCV翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM BC⊥，连接AC.（1）求证：AB CD⊥；（2）求二面角B AC D--的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2334【解析】(1)根据条件先证明CD⊥平面ABD，然后结论可证.(2) 以D为原点，BD、AD、CD所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在图1中有：7AC =，4BD CD ==，所以3AD =∴在ABD ∆中，5AB =，3AD =，4BD =222AD BD AB ∴+=，所以BD CD ⊥在图2中有：在ABC ∆中，AM BC ⊥，M 为BC 的中点5AB AC ∴==，在ABD ∆中，5AC =，4CD =，3AD =222AC CD AD ∴=+，所以CD AD ⊥翻折后仍有BD CD ⊥又AD 、BD ⊂平面ABD ，AD BD D =I ，CD \^平面ABD AB ⊂Q 平面ABD ，所以CD AB ⊥（2）解：由（1）可知CD 、BD 、AD 两两互相垂直.以D 为原点，BD 、AD 、CD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()4,0,0B ，()0,0,4C()4,3,0AB ∴=-u u u r ，()0,3,4AC =-u u u r设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r，则 430340x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则4y =，3z =， ()3,4,3m ∴=u rQ 平面ACD 的法向量为()1,0,0n =rcos ,34m n m n m n⋅∴==u r ru r r u r r∴二面角B AC D --【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直，二面角，立体几何中求角或距离常用向量法，属于中档题.20．已知函数()xae f x x=（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）.（1）若0a ≠，试讨论()f x 的单调性；（2）对任意()0,x ∈+∞均有()23210xx e ax x ax +---≥，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析 （2）1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】(1)由()()21x ae x f x x-'=，定义域为{}0x x ≠，对参数a 的符号进行分类讨论.(2)由条件分离参数有()223211x x x e x e x a x xx x +-≤=-++，设()()201x e xg x x x x =->+，则()min a g x ≤,即求()g x 的最小值.【详解】解：（1）()f x 的定义域为{}0x x ≠()()221xx x ae x axe ae f x x x--'== 当0a >时，令()0f x '>，则1x >；()0f x '<，1x <且0x ≠ 当0a <时，令()0f x '>，则1x <且0x ≠；()0f x '<时1x >∴当0a >时，()f x 在()1,+∞单调递增，在()(),00,1-∞ 单调递减；当0a <时，()f x 在()1,+∞单调递减，在()(),00,1-∞单调递增. （2）()30,0x x x ∈+∞∴+>Q()223211x x x e x e x a x xx x +-∴≤=-++在()0,∞+恒成立设()()201x e xg x x x x =->+，则()min a g x ≤法一：()()()()()2222222111111x x e x x e x g x x x x x x ⎡⎤--+⎢⎥'=-=-+⎢⎥++⎣⎦()()01g x x g x '=∴=∴在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数 ()()min 112g x g e ∴==-12a e ∴≤-，即a 的取值范围为1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦法二：由（1）可知，1a =时，()xe f x x=在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增()f x ∴在1x =处有最小值()1f e =又211112x x x x=<++Q，当且仅当1x x=，即1x =时，()2max 112x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ()g x ∴在1x =处取得最小值12e -12a e ∴≤-，即a 的取值范围为1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查讨论函数的单调性，不等式恒成立求参数的问题，考查分离参数的方法，函数的最值，属难题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且与双曲线2212x y -=有相同的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点M 满足AM MB =u u u u r u u u r ，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线MP 斜率为32，求ABP △面积的最大值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）22143x y +=（2）()max 92S ∆=，直线的方程为1:12l y x =--【解析】(1)有题意有112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩可求解.(2)先讨论特特殊情况, M 是否为原点，然后当AB 的斜率存在时, 设AB 的斜率为k ,表示出||AB 的长度，进一步表示出ABP △的面积,然后求最值. 【详解】解：（1）由题设知112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2a ∴=，23b =∴椭圆的方程为：22143x y +=（2）法一：AM MB =u u u u r u u u rQ M ∴为AB 的中点 又32MP PO k k == 1）当M 为坐标原点时1︒当AB 的斜率不存在时，此时A 、B 为短轴的两个端点112122ABP P S b x ∆=⋅=⨯=2︒当AB 的斜率存在时，设AB 的斜率为k设()11,A x y ，()22,B x y ，则3:2AB l y kx k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程 整理得：()2234120kx+-= 120x x +=，1221234x x k ⋅=-+AB ∴=== P 到AB的距离d =12ABPS AB d ∆=⋅===解一：令()26123432k g k k k -⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭ ()()()212212343k k g k k +-'=+ 令()0g k '=12k ∴=-或32k =∴函数()g k 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增，13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增32k >Q 时，()102g k k <∴=-为()g k 的极大值点，也是最大值点 ()max 132g k g ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭()max ABP S ∆∴=直线方程为12y x =-解二：设612k t -=，则1212t k =- 226123636144431214412k t k t t t t-∴==+-++-Q 要得ABP S ∆的最大值0t ∴>，14424t t+≥ 26123634312k k -∴≤=+当144t t=，12t =时，即61212k -=，12k =-时等号成立()max ABP S ∆∴=12y x =-2）当M 不为原点时，由32MP OP k k ==， M ∴，O ，P 三点共线32MO k ∴=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ， AB l 的斜率为AB k1202x x x ∴+=，1202y y y +=，0032y x =A Q ，B 在椭圆上，22112222143143x y x y ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪∴⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①② -①②得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=121212124103y y y y x x y y +-∴+⋅⋅=++00241032AB yk x ∴+⋅⋅=，即431032AB k +⨯⋅=12AB k ∴=-设直线1:2AB l y x m =-+代入椭圆方程，整理得2230x mx m -+-= ()22430m m ∆=-->，22m -<<AB ===P 到直线AB的距离d =12S AB d ∆===令()()()322r m m m =-+，()()()2421r m m m '=--+，22m -<<令()0r m '>，21m -<<-，()0r m '<，12m -<<()r m ∴在()2,1--上单调递增，在()1,2-上单调递减 1m ∴=-，()()max 127r m r =-= ()max 92S ∆∴=>1:12l y x =-- 综上所述：()max 92S ∆=，直线的方程为1:12l y x =-- 解二：设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为AB 的中点，P 在椭圆上1︒当直线AB 的斜率不存在时，设:AB l x m =则(),0M m ，33212MPk m ==-， 所以0m =:0AB l x ∴=，则A ，B 为短轴上的两个端点1122122ABP P S b x ∆=⋅⋅=⨯=2︒当直线AB 的斜率k 存在时，设:AB l y kx t =+，()00,M x y22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-= 122834kt x x k +=-+ , 212241234t x x k -⋅=+ 22430k t ∆=-+>()121226234ty y k x x t k ∴+=++=+12024234x x kt x k +∴==-+ ，12023234y y ty k +==+ 由0033212MPy kx -==-得()210t k +=0t ∴=或12k =-下同解法一 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论单调性求最值的方法，考查运算能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xoy 中，点M 的坐标为()1,0，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=.（1）判断点M 与直线l 的位置关系；（2）设直线l 与曲线2:2x t C t t⎧=⎨=⎩（t 为参数，t R ∈）相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.【答案】（1）M 在l 上（2）8【解析】(1)求出直线l 的平面直角坐标系的方程：10x y +-=，将点()1,0M 代入直线方程，可判断.(2)将曲线C 的方程化为直角坐标系方程，24y x =，将直线的方程化为参数方程形式，联立直线方程与曲线C 的方程，则12AB t t =可解.【详解】（1）l 在平面直角坐标系的方程为：10x y +-=将()1,0M 代入得：1010+-=，故M 在l 上（2）曲线C 的直角坐标系方程为：24y x =直线l的参数方程为：12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将直线l的参数方程代入抛物线方程得：280t +-=，则128t t =即M 到AB 两点得距离之积为8.【点睛】本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程的互化，直线参数方程中的参数的几何意义的应用，注意直线的参数方程必须为标准的形式，属于中档题.23．已知()f x x a =+（1）若2a =，求不等式()223f x -<的解集；（2）若()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）[]2,1m ∈- 【解析】(1) ()223f x -<，则2223x -+<，即|2|3x <，打开绝对值即可得出答案.(2) ()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立,即()()2min [2]f x f x m m +-≥+,然后用绝对值三角不等式可求.【详解】解:（1）()223f x -<即33222322x x -+<⇔-<<33,22x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（2）()()2222f x f x x a x a x a x a +-=+++-≥+--+=()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立,只需22m m ≥+成立,即21m -≤≤，所以[]2,1m ∈-.所以[]2,1m ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式，不等式恒成立求参数的范围，考查绝对值三角不等式的应用.属于中档题.。
四川省达州市2023届高三联合测试 一模试题-文科数学试卷(后附参考答案)
一诊数学（文）试卷第1页（共4页）达州市普通高中2023届第一次诊断性测试数学试题（文科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|}A x =≤1，{|1}B x x =<，则A B =A ．[0 1)，B ．(0 1)，C ．( 1)-∞，D ．( 1]-∞，2．复数z 满足1=2i z，则z =A ．12-B ．12C ．1i2-D ．1i23．已知向量a ，b ，满足⊥a b ，(12)，a = ，则()-⋅=a b a A ．0B ．2CD ．54．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中选择物理学科的人数较多D ．样本中男生人数少于女生人数5．“0a b >>”是“e 1a b->”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件一诊数学（文）试卷第2页（共4页）6．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山．问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？A ．18B ．4716C ．238D ．31167．三棱锥P ABC -的底面ABC 为直角三角形，ABC △的外接圆为圆O ，PQ ⊥底面ABC ，Q 在圆O 上或内部，现将三棱锥的底面ABC 放置在水平面上，则三棱锥P ABC -的俯视图不可能是A．B ．C ．D ．8．将函数1π()sin()23f x x ω=+(0)ω>图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，直线l 与曲线()y g x =仅交于11()A x y ，，22()B x y ，，ππ(())66P g ，三点，π6为1x ，2x 的等差中项，则ω的最小值为A ．8B ．6C ．4D ．29．曲线()()e xf x x m =+()m ∈R 在点(0(0))f ，处的切线平分圆22(2)(2)5x y -+-=，则函数()y f x =的增区间为A ．(,1)-∞-B ．(0 )+∞，C ．(1 )-+∞，D ．(0e)，10.点F 为双曲线22221x y a b-=(0 0)a b >>，的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的平行线交双曲线于点A ，O 为原点，||OA b =，则双曲线的离心率为A B ．C ．D 11.在棱长为2的正方体1111ABCD C D 中，E ，分别为AB ，BC 的中点，则A ．平面1D EF ∥平面11BA C B ．点P 为正方形1111A B C D 内一点，当DP ∥平面1B EF 时，DP 的最小值为2C ．过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+D ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为12π12.已知!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ，规定0!1=，如3!3216=⨯⨯=．定义在R上的函数()y f x =图象关于原点对称，对任意的0x <，都有(()1xf xf x x =-．若12()10099!f =，则(1)f =A ．0B ．1C ．2D ．199!一诊数学（文）试卷第3页（共4页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线22(0)y px p =>上的点(4)M a ，到焦点的距离为5，则焦点坐标为．14.从集合{1 2 3 4 5}，，，，中随机取两个不同的数a ，b ，则满足||2a b -=的概率为．15.已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足(1)2n n n a a S m +=+，m ∈R ，且3510a a +=，则m =．16.已知正方形ABCD 边长为2，M ，N 两点分别为边BC ，CD 上动点，45=∠MAN ，则CMN △的周长为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分)党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码x12345人均可支配收入y （单位：万元）1.301.401.621.681.80(1)根据上表统计数据，计算y 与x 的相关系数r ，并判断y 与x 是否具有较高的线性相关程度（若0.30||0.75r <≤，则线性相关程度一般，若||0.75r ≥则线性相关程度较高，r 精确到0.01）；(2)市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于1.98万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）．参考公式和数据：相关系数()()niix x y y r --=∑，51()() 1.28iii x x y y =--=∑，521()0.17ii y y =-≈∑ 1.3≈.18．(12分)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积tan S A =，BC (1)求a ；(2)求ABC △外接圆面积的最小值．一诊数学（文）试卷第4页（共4页）19．(12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥.E 为AD 延长线上一点，PE ⊥平面ABCD ，2PE AD =，tan 2PDA ∠=-.F 是PB 中点．(1)证明：EF PA ⊥；(2)若22BC AD ==，三棱锥E PDC -的体积为13，求点C 到平面DEF 的距离．20．(12分)已知F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，过点( )P t b ，的直线l 交C 于不同两点A ，B ．当t a =，且l经过原点时，||AB =，||||AF BF +=．(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当4t =，且直线AD ，BD 的斜率分别为1k ，2k 时，求1211k k +的值．21．(12分)已知函数()ln ()f x x x a a =+∈R ．(1)若()f x 最小值为0，求a 的值；(2)231()1(0)8x g x x x x =--+>，若7ea ≥，()0gb <，证明()f x b >．（二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ2−2 ρcos − θ2 ρsin − θ2 =0 ，直线l 的参数方程为2cos ()2sin x t t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，为参数．(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，定点(2 2)P ，，求PA PB +的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)设函数12)(-=x x f ．(1)若()()f x f x m >+的解集为{|0}x x <，求实数m 的值；(2)若0a b <<，且()()f a f b =，求411a b +-的最小值．A BC DEFP达州市普通高中2023届第一次诊断性测试文科数学参考答案一、选择题：1.A 2.C3.D4.C5.A6.C7.D 8.C9.C10.D11.B12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(1,0)14．31015．1-16．4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)由表知x 的平均数为1234535x ++++==．522221()(13)(23)(53)10i i x x =∴-=-+-++-=∑．5()()0.98iix x y y r --=∑．75.098.0> ,∴y 与x 具有较高的线性相关程度．(2)设增长率为p ，则1.8(1)p +≥1.98,解得p ≥0.1．∴min 0.110%p ==．该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为10%．18．解：(1)由A S tan =得AAA bc cos sin sin 21=，∵0πA <<，0sin >A ，∴2cos =A bc ．取BC 中点D ，连接AD ，则1()2AD AB AC =+ ，∴22242AD AB AB AC AC =+⋅+ ，即A bc c b cos 21222++=，∴822=+c b ．∵448cos 2222=-=-+=A bc c b a ，∴2=a ．(2)设ABC △外接圆半径为R ，由正弦定理R A a 2sin =，得AR sin 1=．由（1）知bc A 2cos =22412b c =+≥，当且仅当2==c b 时取“=”．∵0πA <<，∴A <0≤π3，∴0sin 2A <≤，∴A R sin 1=23332=，当sin 2A =，即π3A =时取“=”．∴ABC △外接圆面积最小值为2234π(π33⨯=．19又E AD PE = ，∴AB ⊥平面PAD ．∵PA ⊂平面PAD ，∴PA AB ⊥．取P A 的中点M ，连接EM ，FM ，∵F 为PB的中点，∴FM PA ⊥．∵tan 2PDA ∠=-，∴tan 2PDE ∠=，∴2=DEPE ，∴AD DE PE 22==，∴D 为AE 的中点，∴PE AE =，∴EM PA ⊥．又M FM EM = ，∴PA ⊥平面EFM ．∵EF ⊂平面EFM ，∴EF PA ⊥.(2)解：∵222BC AD DE ===，∴2PE =.∴ BC AE ∥，且 BC AE =，∵AB BC ⊥，∴四边形ABCE 为矩形，∴CE ⊥平面PAE .1111123323E PDC P DEC DEC V V S PE CE --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴1=CE .连接M D ，Rt BCE △中51222=+=BE ，Rt PEB △中35222=+=PB .∵F 为PB 中点，∴点F 到平面ABCD 的距离1211==PE h ，Rt PEB △中，2321==PB EF ，111122ECD S =⨯⨯=△.由（1）知FM PAE ⊥面，11=22FM AB =,在Rt FME △中，52DF ==,∴DEF △中，22235()1)222cos 33212DEF +-∠==⨯⨯,3sin DEF ∠=，124DEF S DE EF sin DEF =⨯⨯⨯∠=△.设点C 到平面DEF 的距离为2h ，则121133F EDC C DFE DEC DFE V V S h S h --==⋅=⋅△△,解得5522=h .所以点C 到平面DEF 的距离为552.20．解：(1)由题意，当t a =，且l 经过原点时，l 的方程为by x a=，且点A ，B 关于原点对称．设00( )A x y ，，将b y x a=代入22221x y a b +=，并化简得222a x =，即2202a x =，∴2202b y =．∵||AB =2222004()2()6x y a b +=+=．设C 的另一个焦点为0F ，根据对称性，0||||||||AF BF AF AF +=+=，根据椭圆定义得2a =，∴22a =．∴21b =．所以C 的方程为2212x y +=．(2)由(1)知，点D 坐标为(0 1)，．A B C M E F PD由题意可设l ：(1)4x k y =-+，即4x ky k =+-，将该式代入2212x y +=，并化简得222(2)2(4)8140k y k k y k k ++-+-+=，∴16(47)0k ∆=->．设11()A x y ，，22()B x y ，，则1222(4)2k k y y k -+=-+，21228142k k y y k -+=+．∴12122164()822kx x k y y k k -+=++-=+．∴1212211212121212()1111()1x x x y x y x x k k y y y y y y +-++=+==---++2222212121221212222(814)2(4)1642(4)()()2228142(4)()1122k k k k k kky y k y y x x k k k k k k k y y y y k k -+----+-+-++++=-+--++++++1=-．即12111k k +=-．21．解：(1)由()ln f x x x a =+得0x >，且()ln 1f x x '=+当10e x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以min 11()()()0e ef x f x f a ===-+=极小，∴1e a =．(2)证明：由231()18x g x x x =--+得322231344()144x x g x x x x -+'=-+=（0>x ）．设32()344h x x x =-+，则28()989()9h x x x x x '=-=-，当809x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当89x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．∴当0x >时，()min 8()()09h x h x h =>≥，即()0g x '>，()g x 在区间(0 )+∞，单调递增．∵(2)0g =，∴若0x >，则当且仅当02x <<时，()0g x <，∵()0g b <，∴2b <．由(1)知，min 11()()e e f x f a ==-．∵7ea ≥，∴min 16()()e e f x f x a =-≥≥．∴6()2ef x b >>≥，即()f x b >．22．解：(1)将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入C 的极坐标方程22cos ρρθ-2sin 20ρθ--=得曲线C 为222220x y x y +---=，即4)1()1(22=-+-y x ．(2)易知点P 在直线l 上，将直线l 的参数方程2cos ()2sin x t t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，为参数代入曲线C 方程得4)sin 1()cos 1(22=+++θθt t ，整理得02)cos (sin 22=-++t t θθ．设点A ，B 对应该的参数分别为1t ，2t ，则)cos (sin 221θθ+-=+t t ，0221<-=t t ，由参数t 的几何意义不妨令||||1P A t =,||||2PB t =．∴||||||||||2121t t t t PB P A -=+=+122sin 44)(21221+=-+=θt t t t ．当12sin -=θ，即ππ()4k k θ=-∈Z 时，22|)||(|=+PB P A ．23．(1)解：不等式可化为|1|||22-+>m x x ，∴|1||1|-+>-m x x ，两边同时平方可得222m m mx -<．原不等式解集为{|0}x x <，∴0>m ，即21mx -<．∴021=-m，2=m ．(2)解： )()(b f a f =，∴|1||1|22--=b a ，|1||1|-=-b a ．)1(2)1(||x f x f x -==+，∴)(x f y =关于直线1=x 对称，∴b a <<<10，∴11-=-b a ，即2=+b a ．所以1)1(45)1114(-+-+=-+-+b a a b b a b a ≥9425=+，当且仅当1)1(4-=-b aa b ，即34,32==b a 时取“=”，∴114-+b a 的最小值为9．。
四川省资阳市2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题理(含解析)
四川省资阳市2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题 理（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合{10123}M =-，，，，，{|02}N x x =≤≤，则M N =IA ．{1012}-，，，B ．{101}-，，C ．{012}，，D ．{01}， 【答案】C【解析】据题意得：{10123}M =-，，，，，{|02}N x x =≤≤，M N =I {012}，，. 【点睛】先解不等式，化简集合M ，N ，从而可判定集合的包含关系．本题以集合为载体，考查集合之间的关系，解题的关键是解不等式化简集合．2． 复数2i12i+=-A ．iB ．i -C ．4i 5+D ． 4i 5-【答案】C【解析】据已知得：2i12i +=-()()()()i i i i i i i =++=+-++525221212122【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3． 已知向量(1,2)=-a ，(1)m =-，b ，若λ=a b （λ∈R ），则m = A ．2- B ．12- C ．12D ．2【答案】C【解析】据已知得：(1,2)=-a ，(1)m =-，b ，λ=a b ，所以有，2m=1,m=12.【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题4． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2466a a a ++=，则7S =A ．7B ．14C ．21D ．42 【答案】B【解析】据已知得：2466a a a ++=，所以24=a ，7S =()14727471==+a a a【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和和等差中项，是基础的计算题．5． 已知a b ∈R ，，则“0a b <<”是“11a b>”的A．充分不必要条件B．必要比充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由题意可得：后面化简：11a b>⇒0>-abab⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<⇒;;;0bababa三种情况，相对于前面来说，是大范围。