人教新课标九年级数学上册第22章二次函数复习课件
y
2.5
O
x
5、求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（－h, k），通常 y=a(x＋h)2+k(a≠0) 设抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________ 练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
例2： 已知二次函数 解 ：（4）由对称性可知
1 2 3 y x x 2 2
y
（4）求ΔMAB的周长及面积。 MA=MB=√22+22=2√2 AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB =2 √2×2+4=4 √2+4 1 ΔMAB的面积= — AB×MD 2 1 ×4×2=4 =— 2
•
A(-3,0) D 0
B(1,0) x
3 • • •C(0,-2 –) M(-1,-2)
•
例2： 已知二次函数 解:(5)
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0
1 2 3 y x x 2 2
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ y
当x< -3或x>1时，y > 0
•
(-3,0)
8 2.已知如图 , 反比例函数y 与一次函数y x 2的图像 x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ; (2)AOB的面积.
8 y , 解 : (1) x y x 2.
( 0,0 ) ( 0,k ) ( -h,0 ) (- h,k )
直线x=-h
直线 b x=
2a
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
已知二次函数 例 2：
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为 何值时，y有最大（小）值，这个最大（小） 值是多少？ （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
例5、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
1 2 3 y x x 2 2
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， 求C，A，B的坐标。 x=-1
(2)由x=0，得y= - -3 — 2
3 抛物线与y轴的交点C（0，- -2 —） (-3,0) 1 x2+x- — 3 =0 由y=0，得— 2 2 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
x x, y y
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k ②写出顶点(h,k) ③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k) 则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标；
① ②
∴
1 k , k 2 1 由②，得 1 2
k 1
2、二次函数的常见类型及其性质
抛物线 y=ax 2 y=ax2+k 开 口 y=a(x+h) 2 向 2 y=a (x+h) +k 上 y=ax 2 +bx+c 开 口 向 下 y轴 (直 线x=0)
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0 a<0
二次函数复习与小结
一、知识梳理
1、二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常 数，a≠0),那么y叫做x 的二次函数.
二、探究例题
1 2 k 2 k 1 -1 . 例1、函数 y (k ) x 是二次函数，则 k _______ 2
解：根据题意，得
1 0 k 2 2k 2 k 1 2 1 由①，得 k 2
例2： 已知二次函数
1 解:（1）∵a= — >0 2
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
∴抛物线的开口向上 1 (x2+2x+1)-2= — 1 (x+1)2-2 ∵y= — 2 2 ∴对称轴直线x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
例2： 已知二次函数 解:
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)( x 3 ) 2 关于x轴对称的抛 例3.抛物线 2 1 2 y ( x 3 ) 2 物线解析式是 2
关于x轴对称:
x x, y y
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k ②写出顶点(h,k) ③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k) 则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k 关于y轴对称:
•
0
•
(1,0) x
• •
3 (0, ) 2
例2： 已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（3）x为何值时，y 随的增大而减少，x为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
解 :(3)
当x＜-1时，y随x的增大 而减少; 当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
x=-1
2.5
O
x
5、求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（－h, k），通常 y=a(x＋h)2+k(a≠0) 设抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________ 练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
例2： 已知二次函数 解 ：（4）由对称性可知
1 2 3 y x x 2 2
y
（4）求ΔMAB的周长及面积。 MA=MB=√22+22=2√2 AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB =2 √2×2+4=4 √2+4 1 ΔMAB的面积= — AB×MD 2 1 ×4×2=4 =— 2
•
A(-3,0) D 0
B(1,0) x
3 • • •C(0,-2 –) M(-1,-2)
•
例2： 已知二次函数 解:(5)
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0
1 2 3 y x x 2 2
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ y
当x< -3或x>1时，y > 0
•
(-3,0)
8 2.已知如图 , 反比例函数y 与一次函数y x 2的图像 x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ; (2)AOB的面积.
8 y , 解 : (1) x y x 2.
( 0,0 ) ( 0,k ) ( -h,0 ) (- h,k )
直线x=-h
直线 b x=
2a
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
已知二次函数 例 2：
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为 何值时，y有最大（小）值，这个最大（小） 值是多少？ （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
例5、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
1 2 3 y x x 2 2
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， 求C，A，B的坐标。 x=-1
(2)由x=0，得y= - -3 — 2
3 抛物线与y轴的交点C（0，- -2 —） (-3,0) 1 x2+x- — 3 =0 由y=0，得— 2 2 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
x x, y y
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k ②写出顶点(h,k) ③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k) 则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标；
① ②
∴
1 k , k 2 1 由②，得 1 2
k 1
2、二次函数的常见类型及其性质
抛物线 y=ax 2 y=ax2+k 开 口 y=a(x+h) 2 向 2 y=a (x+h) +k 上 y=ax 2 +bx+c 开 口 向 下 y轴 (直 线x=0)
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0 a<0
二次函数复习与小结
一、知识梳理
1、二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常 数，a≠0),那么y叫做x 的二次函数.
二、探究例题
1 2 k 2 k 1 -1 . 例1、函数 y (k ) x 是二次函数，则 k _______ 2
解：根据题意，得
1 0 k 2 2k 2 k 1 2 1 由①，得 k 2
例2： 已知二次函数
1 解:（1）∵a= — >0 2
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
∴抛物线的开口向上 1 (x2+2x+1)-2= — 1 (x+1)2-2 ∵y= — 2 2 ∴对称轴直线x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
例2： 已知二次函数 解:
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)( x 3 ) 2 关于x轴对称的抛 例3.抛物线 2 1 2 y ( x 3 ) 2 物线解析式是 2
关于x轴对称:
x x, y y
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k ②写出顶点(h,k) ③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k) 则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k 关于y轴对称:
•
0
•
(1,0) x
• •
3 (0, ) 2
例2： 已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（3）x为何值时，y 随的增大而减少，x为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
解 :(3)
当x＜-1时，y随x的增大 而减少; 当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
x=-1
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人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版九年级上册第22章二次函数复习 课件(共19张PPT)
y<0
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
人教版数学九年级上册第22章二次函数章节复习课件(共36张)
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二 次项.
2.
y＝ax2
二
图象
次
a>0 y
O x
a<0 yx
O
函 位置开
数
口方向 开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
的 对称性
7.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问
题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质 解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B.
下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ D ）
A. y= x2
B.y=x-1 C. y 3 x
4
D.y=-3x2
3 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
图
顶点坐标是原点（0，0）
象 顶点最值
与
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
性 增减性 质
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
2.
y＝ax2
二
图象
次
a>0 y
O x
a<0 yx
O
函 位置开
数
口方向 开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
的 对称性
7.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问
题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质 解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B.
下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ D ）
A. y= x2
B.y=x-1 C. y 3 x
4
D.y=-3x2
3 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
图
顶点坐标是原点（0，0）
象 顶点最值
与
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
性 增减性 质
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 复习课件(共23张ppt)(共23张PPT)
数学·新课标（RJ）
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
数学·新课标（RJ）
数学·新课标（RJ）
ห้องสมุดไป่ตู้ ┃知识归纳┃
二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情 况： 图象与x轴有两个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 不相等的实数根；
┃考点攻略┃
► 考点一 二次函数与一元二次方程 例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－9所示，
根据图象解答下列问题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是__x_1_＝__－__1_，__x_2_＝__3___． (2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是___－__1_<_x_<_3__________． (3) 若 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ k 没 有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是
数学·新课标（RJ）
► 考点三 与二次函数有关的面积问题 例3 如图26－10所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC
＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 30 ， BC ＝ x ， 其 中 15 ＜ x ＜ 30. 作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交 BC于点G.
(1)求一次函数的表达式；
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
数学·新课标（RJ）
数学·新课标（RJ）
ห้องสมุดไป่ตู้ ┃知识归纳┃
二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情 况： 图象与x轴有两个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 不相等的实数根；
┃考点攻略┃
► 考点一 二次函数与一元二次方程 例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－9所示，
根据图象解答下列问题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是__x_1_＝__－__1_，__x_2_＝__3___． (2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是___－__1_<_x_<_3__________． (3) 若 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ k 没 有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是
数学·新课标（RJ）
► 考点三 与二次函数有关的面积问题 例3 如图26－10所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC
＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 30 ， BC ＝ x ， 其 中 15 ＜ x ＜ 30. 作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交 BC于点G.
(1)求一次函数的表达式；
人教版九年级上册数学课件：第二十二章 二次函数复习(15张PPT)
1.二次函数 y ax2 bx c 的图像是抛物线
对称轴为 x 顶点坐标为
b，
2a
(
b 2a
,
4ac 4a
b2．)
4ac b2
当 a>0 时，抛物线开口 向上；函数有最小值 当 a<0 时，抛物线开口 向下； 函数有最大值
4a 4ac b2
当 a>0 时，对称轴左侧y随x的增大而减小；对称轴4右a
3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且 经过点(2,12).
二次函数与一元二次方程的关系
当 b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根， 抛物线与 x轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实
数根；
当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根， 抛物线与 x轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程
的；
当 b2－4ac<0 时，方程没有实数根，抛物线与 x
轴没有交点．
练习：
已知二次函数y=kx²-7x-7的图象和x轴有交点 则k的取值范围是（ B ）
7
A、k＞－ 4
7
C、k ≥ － 4
7
B、k ≥ － 4 且k ≠ 0
7
D、k＞－ 4 且k ≠ 0
相信自己
如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C， 抛物线的对称轴交x轴于点D。已知A(-1,0),C(0,3) (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使⊿PCD 是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写 出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的 垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位 置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF 的最大面积及此时点E的坐标。
对称轴为 x 顶点坐标为
b，
2a
(
b 2a
,
4ac 4a
b2．)
4ac b2
当 a>0 时，抛物线开口 向上；函数有最小值 当 a<0 时，抛物线开口 向下； 函数有最大值
4a 4ac b2
当 a>0 时，对称轴左侧y随x的增大而减小；对称轴4右a
3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且 经过点(2,12).
二次函数与一元二次方程的关系
当 b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根， 抛物线与 x轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实
数根；
当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根， 抛物线与 x轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程
的；
当 b2－4ac<0 时，方程没有实数根，抛物线与 x
轴没有交点．
练习：
已知二次函数y=kx²-7x-7的图象和x轴有交点 则k的取值范围是（ B ）
7
A、k＞－ 4
7
C、k ≥ － 4
7
B、k ≥ － 4 且k ≠ 0
7
D、k＞－ 4 且k ≠ 0
相信自己
如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C， 抛物线的对称轴交x轴于点D。已知A(-1,0),C(0,3) (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使⊿PCD 是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写 出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的 垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位 置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF 的最大面积及此时点E的坐标。
第22章《二次函数》复习课PPT课件(人教版)
形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
人教版数学九年级上册第二十二章《22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k》课件
人教版数学九年级上册第二十二章
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2的图象和性质
复习巩固：
y
O
y=ax2和y=ax2+k 的图象和性质
yy==axa2x2+k(k＞0)
重点关注5方面
x
yy==a-axx2+2 k(k＞0)
开口方向 对称轴
顶点坐标
增减性
最值
复习巩固 1、二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象性质.
复习巩固
2、二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0)
两个函数图象沿什么方向平移，由一个函数得到另一 个？平移规律是什么？
上下平移规律：上加下减.
3、 函数 y=a(x-h)2的图象，能否也可以由函数 y=ax2 平移得到？
学习新知
x
··· -4 -2 0 2 4 ···
··· 8 2 0 2 8 ···
x
··· -2 0 2 4 6 ···
··· 8 2 0 2 8 ···
学习新知
根据所画图象，填写下表：
抛物线
开口方 向
对称轴
顶点坐标
向上
y轴
(0,0)
函数
向上 直线x=2 (2,0)
的图象向右平移两个单位得到
的图象 .
学习新知
根据所画图象，填写下表：
抛物线
开口 方向
对称轴 顶点坐标
向上 y轴
(0,0)
3.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数 y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C ) A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2的图象和性质
复习巩固：
y
O
y=ax2和y=ax2+k 的图象和性质
yy==axa2x2+k(k＞0)
重点关注5方面
x
yy==a-axx2+2 k(k＞0)
开口方向 对称轴
顶点坐标
增减性
最值
复习巩固 1、二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象性质.
复习巩固
2、二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0)
两个函数图象沿什么方向平移，由一个函数得到另一 个？平移规律是什么？
上下平移规律：上加下减.
3、 函数 y=a(x-h)2的图象，能否也可以由函数 y=ax2 平移得到？
学习新知
x
··· -4 -2 0 2 4 ···
··· 8 2 0 2 8 ···
x
··· -2 0 2 4 6 ···
··· 8 2 0 2 8 ···
学习新知
根据所画图象，填写下表：
抛物线
开口方 向
对称轴
顶点坐标
向上
y轴
(0,0)
函数
向上 直线x=2 (2,0)
的图象向右平移两个单位得到
的图象 .
学习新知
根据所画图象，填写下表：
抛物线
开口 方向
对称轴 顶点坐标
向上 y轴
(0,0)
3.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数 y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C ) A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位