2015届高考二轮复习 数列、不等式
【最高考】2015届高考数学二轮专题突破高效精练第28讲不等式选讲
第28讲 不等式选讲
1. 已知实数x、y、z满足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．
解：由柯西不等式得(x＋y＋z)2≤[(2x)2＋(3y)2＋z2]·122＋132＋12，故2x2＋3y2＋z2≥2411，当且仅当2x12＝3y13＝z1，即x＝611，y＝411，z＝1211时，2x2＋3y2＋z2取得最小值为2411.
2. 解不等式：|2x＋1|－|x－4|＜2(x∈R)．
解：当x≥4时，2x＋1－(x－4)＜2，∴
x∈；
当－12≤x＜4时，2x＋1＋x－4＜2，∴ －12≤x<53；
当x＜－12时，－2x－1＋x－4＜2，∴ －7＜x＜－12.
综上，该不等式解集为－7，53.
3. 设a1、a2、a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝m，求证：1a1＋1a2＋1a3≥9m.
证明：∵ 1a1＋1a2＋1a3m＝(a1＋a2＋a3)(1a1＋1a2＋1a3)≥3·3a1·a2·a3·331a1·1a2·1a3＝9，当且仅当a1＝a2＝a3＝m3时等号成立．又a1＋a2＋a3＝m＞0，
∴ 1a1＋1a2＋1a3≥9m.
4. 已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.
证明：因为[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)
≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2
＝(x＋2y＋3z－6)2＝142，
当且仅当x－11＝y＋22＝z－33，即x＝z＝0，y＝－4时，取等号，
所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.
5. 设a、b、c均为正数，abc＝1.求证：1a＋1b＋1c≥a＋b＋c.
证明：由a、b、c为正数，根据平均值不等式，得
1a＋1b≥2ab，1b＋1c≥2bc，1c＋1a≥2ca.
将此三式相加，得21a＋1b＋1c≥2ab＋2bc＋2ca，
2015届高考数学(二轮复习)专题检测：如何用好基本不等式
5 如何用好基本不等式
1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a
大小关系为________．
答案 a
解析 设甲、乙两地之间的距离为s.
∵aa.
2．若函数f(x)＝x＋ (x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.
答案 3
解析 ∵x>2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4.
3．(2014·南通模拟)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1.
＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，
即a＝b＝时等号成立．
4．已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为________．
答案 m≥n
解析 m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)，
当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥得x2≥，
∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.
5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
答案 2
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．
又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，
而≤＝2，
∴当且仅当x＝2y时，max＝2.
∴λ的最小值为2.
6．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________．
答案 16
解析 因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．
因为＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16.
7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
答案 18
解析 ∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题1_第2讲_不等式与线性规划(含答案)
- 1 - 第2讲 不等式与线性规划
考情解读 1．在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.
2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．
1．四类不等式的解法
（1）一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
（2）简单分式不等式的解法
①变形⇒fxgx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；②变形⇒fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
（3）简单指数不等式的解法
①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；②当0ag(x)⇔f(x)
（4）简单对数不等式的解法
①当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；
②当0logag(x)⇔f(x)0，g(x)>0.
2．五个重要不等式
（1）|a|≥0，a2≥0(aR)．
（2）a2＋b2≥2ab(a、bR)．
（3）a＋b2≥ab(a>0，b>0)．
（4）ab≤(a＋b2)2(a，bR．
（5）a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)．
3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划
（1）线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．
（2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值．
4．两个常用结论 （1）ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 a>0，Δ<0.
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练八 第3讲 不等式选讲 理
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- 1 - / 10 第3讲 不等式选讲 考情解读 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值X围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)⇔－a
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
3．算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b
时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
4．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．
热点一 含绝对值不等式的解法
例1 不等式|x＋3|－|2x－1|
- 2 - / 10 答案
x|x<－25或x>2
解析 ①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)
②当－3≤x<12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)
解得x<－25，∴－3≤x<－25.
③当x≥12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)
解得x>2，∴x>2.
综上可知，原不等式的解集为x|x<－25或x>2.
思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
【北京特级教师二轮复习精讲辅导】2015届高考理科数学函数、导数与方程、不等式综合问题经典回顾课后练习二
函数、导数与方程、不等式综合问题经典回顾课后练习（二）
主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师
题一：已知函数f(x)＝x3－(a＋b)x2＋abx，(0
(1)若函数f(x)在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a，b的值；(2)在(1)的条件下，求f(x)在区间[0,3]上的最值；
题二：已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值12.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
题三：已知、两座烟囱相距，其中烟囱喷出的烟尘量是烟囱的倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为）．若是连接两烟囱的线段上的点（不包括端点），设，点的烟尘浓度记为．
（Ⅰ）写出关于的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出的距离；若不存在，说明理由．
题四：已知函数．
（1）曲线在处的切线与直线3x-y=1平行，求a的值．
（2）若a＞0，在区间（1，]至少存在一个实数，使成立，试求实数a的取值范围．
题五：已知函数f(x)＝1＋ln(x＋1)x.(x＞0)
(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；
(2)若当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，求正整数k的最大值．
题六：已知f(a)= (2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.
函数、导数与方程、不等式综合问题经典回顾
课后练习参考答案
题一： 答案：a＝1，b＝2；f(x)max＝6；f(x)min＝－239.
详解: (1)f ′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，tan3π4＝－1.
由条件得 f＝0f ＝－1，即 1－a＋b＋ab＝03－a＋b＋ab＝－1，
解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，
因为a
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2x，f ′(x)＝3x2－6x＋2，
2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题第七章不等式基本不等式
精品题库试题
理数
1. (2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2B.3C.D.
1.B
1.依题意不妨设A(x1,),B(x2,-),·=2⇒x1x2-=2⇒=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则S△ABO+S△AFO=2+=;当x1≠x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是S△ABO+S△AFO=×2×(+)+×=+≥2=3当且仅当=时取“=”,而>3.故选B.
2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，4）已知实数满足，则的值域为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2. C
2. 由得，所以. 3. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，7) 若实数、、满足，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. A
3.因为，所以，所以，
即；又因为，
所以，所以的取值范围是.
4. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知，是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（ ）
A. 2
B.
C. 4
D.
4. B
4. 是互相垂直的单位向量，设，，， 由，，即，
，
，
，，，当且仅当时取等号，
，故的最小值为.
5. (2014四川,14,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.
5.5
5.易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|时取“=”).
2015届高考数学第二轮知识梳理复习学案7
专题十七 基本不等式
（一）知识梳理：
1、均值不等式：如果,abR，那么222abab
（1）适用范围：_________________；
（2）等号成立的条件：__________________。
2、基本不等式：如果,abR，那么2abab
（1）适用范围：_________________；
（2）等号成立的条件：__________________。
（3）应用：求最值
若,,,abRabSabP，则
①如果P是定值，那么当_________时，S有最____值，为_________；
②如果S是定值，那么当_________时，P有最____值，为_________。
这两个结论常常用于求解最值问题。在具体应用时，要注意“一正、二定、三相等”。
（二）例题讲解：
考点1：利用基本不等式求最值
例1（a级）、设0x，函数xxy3的值域是
变式1：设5x，函数xxy3的值域是
变式2：设xR，函数xxy3的值域是
变式3：设1x，函数31yxx的值域是
易错笔记：
例2（b级）、已知,,22,,xycyxRyx那么c的最大值为 ( )
A、1 B、21 C、22 D、41
易错笔记：
考点2：基本不等式的实际应用
例3（b级）、某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧和后侧内墙各留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少？
易错笔记：
例4（b级）、某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)？
2015高考数学复习口诀：不等式和数列
2015年高考数学复习口诀：不等式和数列
不等式
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。
数列
等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。
数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：
首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。
精心整理，仅供学习参考。
湖北高考数列与不等式专题分析
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2015年高考数列与不等式专题分析
黄石一中 杨瑞强 胡春彦
一、数列部分
1．考点分析
数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题，对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前n项和公式，对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题，甚至是压轴题, 一般控制在0.3~0.7之间．
2．考试要求
2014年高考数学（湖北卷）《考试说明》中考试范围与要求层次：
内 容 知识要求
了解（A） 理解（B） 掌握（C）
数列 数列的概念 数列的概念 √
数列的简单表示法（列表、图象、通项公式、递推公式） √
等差数列、等比数列 等差数列、等比数列的概念 √
等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式 √
等差数列、等比数列的简单应用 √
具体要求如下：
（1）数列的概念和简单表示法：①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；②了解数列是自变量为正整数的一类函数．
（2）等差数列、等比数列：① 理解等差数列、等比数列的概念；② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
湖北卷新课改三年来的命题趋势呈现以下特点：回归课本重基础，回避技巧重通法，强调运算重交汇．根据湖北求稳的特点，估计湖北明年的数列知识考查仍在“通项公式求法与前n项和公式应用”中命制，可能与函数交汇，或仍与不等式交汇出题，但在不等式的证明时，理科可能涉及到与数学归纳法知识交汇出题． 学习必备 欢迎下载
3．考题回顾
考题1（2014·湖北文科卷·第14题） 阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为 9，则输出S的值为________．
高考数学二轮复习：专题检测3 数列、推理与证明
1 专题检测(三) 数列、推理与证明
(本卷满分150分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是
A．15 B．30
C．31 D．64
解析 由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12，
因为a7＋a9＝16，a4＝1，
所以a12＝15.故选A.
答案 A
2．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1＋an1－an，则a2 010等于
A．－2 B．－13
C．－12 D．3
解析 由条件可得：a1＝－2，a2＝－13，a3＝－12，a4＝3，a5＝－2，a6＝－13，…，所以数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a2 010＝a2＝－13.故选B.
答案 B
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质 ，可得a7＋a8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时Sn最大．故选C.
答案 C
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于
A.310 B.13
C.18 D.19
解析 由等差数列的求和公式，可得S3S6＝3a1＋3d6a1＋15d＝13，可得a1＝2d且d≠0，所以S6S12＝ 2 6a1＋15d12a1＋66d＝27d90d＝310，故选A.
答案 A
5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为
A．4 B．5