高一数学必修一第三章指数函数和对数函数练习题(带答案和解释)
高一数学必修一第三章指数函数和对数函数练习题（带答案和解释）
一、选择题
1．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N
＋)；④y＝3×2x(x∈N＋)，其中正整数指数函数的个数为()
A．0B．1C．2D．3
【解析】由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数
函数．
【答案】B
2．函数f(x)＝(14)x，x∈N＋，则f(2)等于()
A．2B．8
C．16D.116
【解析】∵f(x)＝(14x)x∈N＋，
∴f(2)＝(14)2＝116.
【答案】D
3．(2013•阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为()
A．y＝(－2)xB．y＝2x
C．y＝(12)xD．y＝(－12)x
【解析】设y＝ax(a＞0且a≠1)，
由4＝a2得a＝2.
【答案】B
4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围
是()
A．aC．0【解析】∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减
函数，
∴0∴－1【答案】B
5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的
电脑价格为8100元，则3年后的价格可降为()
A．2400元B．2700元
C．3000元D．3600元
【解析】1年后价格为
8100×(1－13)＝8100×23＝5400(元)，
2年后价格为
5400×(1－13)＝5400×23＝3600(元)，
3年后价格为
3600×(1－13)＝3600×23＝2400(元)．
【答案】A
二、填空题
6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)(15)x(x∈N＋)，则m＝______.
【解析】由题意得m2＋m＋1＝1，
解得m＝0或m＝－1，
所以m的值是0或－1.
【答案】0或－1
7．比较下列数值的大小：
(1)(2)3________(2)5；
(2)(23)2________(23)4.
【解析】由正整数指数函数的单调性知，
(2)3(23)4.
【答案】(1)
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃
圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年
的垃圾量为________吨．
【解析】由题意知，下一年的垃圾量为a×(1＋b)，从2012年到2020
年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a×(1＋b)8.
【答案】a×(1＋b)a×(1＋b)8
三、解答题
9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，x∈N＋是减函数，求
实数m的值．
【解】由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝13或m＝2，又f(x)是减
函数，则010．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
【解】(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数
f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以
函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需
时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，
细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，
细菌的总个数(用关于n的式子表示)．
【解】(1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2m，m∈N＋)}；
(2)0≤ty＝2，0≤t图像如图所示．
(3)n为偶数且n≥0时，y＝2n2＋1；
n为奇数且n≥0时，y＝2n－12＋1.
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设函数（x）＝，则满足的的取值范围是（）．A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）【答案】D．【解析】当时，，，解得，因此，当时，，解得，因此，综上【考点】分段函数的应用．2.设函数则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，由，可得，即；当时，由，可得，即，综上.故选C【考点】函数的求值.3.已知定义在R上的函数满足，当时，，且.（1）求的值；（2）当时，关于的方程有解，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）由可知，代入表达式可求得的值.又，可求出的值；（2）由（1）可知方程为，对x进行讨论去绝对值符号，可得，据结合指数函数，二次函数的性质可求得的取值范围.试题解析：解：（1）由已知，可得又由可知 . 5分（2）方程即为在有解.当时，，令,则在单增，当时，，令,则，,综上： . 14分【考点】本题主要考查指数函数，二次函数求值域和分类讨论的数学思想方法.4.函数的图象必经过定点___________．【答案】【解析】∵指数函数过定点，∴函数过定点．【考点】函数图象．5.已知，，且，则与的大小关系_______.【答案】【解析】由，又由，所以，所以由可得，所以，，所以即.【考点】1.分数指数幂的运算；2.对数的运算；3.指数函数的单调性.6.函数在上的最大值比最小值大，则 .【答案】【解析】因为，根据指数函数的性质可知在单调递增，所以最大值为，最小值为，依题意有即，而，所以.【考点】指数函数的图像与性质.7.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把看成函数当时的函数值,因为,所以；把看成函数当时的函数值,因为,所以；把看成函数当时的函数值,因为 ,所以 .综上, ,故选B【考点】1、指数函数的性质；2、对数函数的性质.8.若，则__________．【答案】【解析】【考点】指数函数的运算法则9.已知，则的大小关系是．【答案】【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以。
高一数学指数函数试题答案及解析
高一数学指数函数试题答案及解析1.（本小题12分）不用计算器求下列各式的值⑴⑵【答案】(1)(2)【解析】（1）……6分（2）……12分【考点】本小题主要考查指数和对数的运算，考查学生的运算求解能力.点评：指数和对数的运算性质的灵活应用是解决此类问题的关键，另外也经常用到. 2.要使方程x＋px＋q = 0的两根a、b满足lg(a＋b) = lga＋lgb，试确定p和q应满足的关系．【答案】p＋q = 0且q＞0【解析】由已知得，又lg(a＋b) = lga＋lgb，即a＋b = ab，再注意到a＞0，b＞0，可得－p = q＞0，所以p和q满足的关系式为p＋q = 0且q＞0．3.计算：＝【答案】【解析】原式4.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，当时，，则，解得，故选A。
点睛：利用分离参数法得到，因为对任意的，不等式恒成立，则只需，解得，最后求得的取值范围。
函数恒成立问题，分离参数法是最常用的方法，属于含参函数题型的通法之一。
5.已知：，则__________．【答案】2【解析】由题意得.6.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A。
7.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.8.化简计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；（2）根据对数的运算法则及特殊值的对数即可求解.试题解析：（1）原式．（2）原式．9.函数y＝a x(－2≤x≤3)的最大值为2，则a＝________．【答案】或【解析】当0<a<1时，y＝a x在[－2，3]上是减函数，＝a－2＝2，得a＝；所以ymax当a>1时，y＝a x在[－2，3]上是增函数，＝a3＝2，解得a＝.综上知a＝或.所以ymax10.要得到函数y＝21－2x的图像，只需将指数函数y＝的图像()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】，所以可以由图象右移个单位，故选D。
新课程必修第一册《指数函数与对数函数》基础测试题及答案解析
新课程必修第一册《指数函数与对数函数》基础测试题及答案解析时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若a<12，则化简42a －12的结果是( )A .2a －1B ．－2a －1C .1－2aD ．－1－2a2．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )A ．[0，53) B ．[0，53] C ．[1，53)D ．[1，53]3．若a>1，则函数y ＝a x与y ＝(1－a)x 2的图象可能是下列四个选项中的( )4．函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2，e)D ．(3,4)5．若0<a<1，在区间(－1,0)上函数f(x)＝log a (x ＋1)是( )A ．增函数且f(x)>0B ．增函数且f(x)<0C ．减函数且f(x)>0D ．减函数且f(x)<06．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x>02x， x≤0，则f(f(19))等于( )A ．4B .14C ．－4D ．－147．函数f(x)＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称8．下列式子中成立的是( )A ．log 0.44<log 0.46B ．1.013.4>1.013.5C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 67二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝log 2x C ．y ＝2x 2－3D ．y ＝x |x |10．下列说法正确的是（ ） A ．函数()1f x x=在定义域上是减函数 B ．函数()22xf x x =-有且只有两个零点 C ．函数2xy =的最小值是1D ．在同一坐标系中函数2xy =与2xy -=的图象关于y 轴对称11．若函数1xy a b =+-(0a >,且1a ≠)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（ ） A ．1a >B ．01a <<C ．0b >D ．0b <12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，设函数f (x )＝1⊕2－x，则下列命题正确的有( )A ．f (x )的值域为[1，＋∞)B ．f (x )的值域为(0,1]C ．不等式f (x ＋1)＜f (2x )成立的范围是(－∞，0)D ．不等式f (x ＋1)＜f (2x )成立的范围是(0，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 函数()()2lg lg x f x x =-的零点为________. 14．函数f(x)＝ax －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．15．如果函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a 的取值范围是________．16.若函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上的最大值为2，最小值为m ，函数g (x )＝(3＋2m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＋m ＝______. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(1)计算：(－3)0－120＋(－2)－2－1416-；(2) 设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值；18．(12分)(1) log 49－log 212＋5lg210-.(2)12lg 25lg 2lg ++()1lg 0.01+－； 19．(12分)设函数f(x)＝2x＋a 2x －1(a 为实数)．(1)当a ＝0时，若函数y ＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y ＝g(x)的解析式；(2)当a<0时，求关于x 的方程f(x)＝0在实数集R 上的解． 20．(12分)已知函数f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．21．(12分)已知－3≤12log x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．22．(12分) 已知函数2328()log 1mx x nf x x ++=+． （Ⅰ）若4,4m n ==，求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,2]，求实数,m n 的值．答案及解析：一、单选题1．C [∵a <12，∴2a －1<0.于是，原式＝41－2a2＝1－2a .]2．C [由函数的解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53.所以1≤x <53.]3．C [∵a >1，∴y ＝a x在R 上是增函数，又1－a <0，所以y ＝(1－a )x 2的图象为开口向下的抛物线．] 4．A f(1)＝ln2－2＝ln 2e 2<ln1＝0，f(2)＝ln3－1＝ln 3e>ln1＝0，所以函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是(1,2)．5．C [当－1<x <0，即0<x ＋1<1，且0<a <1时，有f (x )>0，排除B 、D.设u ＝x ＋1，则u 在(－1,0)上是增函数，且y ＝log a u 在(0，＋∞)上是减函数，故f (x )在(－1,0)上是减函数．]6．B [根据分段函数可得f (19)＝log 319＝－2，则f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.]7．D 易知f(x)的定义域为R ，关于原点对称．∵f(－x)＝4－x＋12－x ＝1＋4x2x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称．8．D [A 选项中由于y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)单调递减， 所以log 0.44>log 0.46；B 选项中函数y ＝1.01x在R 上是增函数， 所以1.013.4<1.013.5；C 选项中由于函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增， 所以3.50.3>3.40.3；D 选项中log 76<1，log 67>1，故D 正确．] 二、多选题9．解析：选AD A 中，y ＝x 3＋x 为奇函数，且存在零点x ＝0，与题意相符；B 中，y ＝log 2x 为非奇非偶函数，与题意不符；C 中，y ＝2x 2－3为偶函数，与题意不符；D 中，y ＝x |x |是奇函数，且存在零点x ＝0，与题意相符． 10．解析：对于A ，()1f x x=在定义域上不具有单调性，故命题错误； 对于B ，函数()22xf x x =-有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C ，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确；对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝2﹣x 的图象关于y 轴对称，命题正确.故选CD 11．解析：因为函数1xy a b =+- (0a >,且1a ≠)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:由图像可知函数为增函数，所以1a >.当0x =时，110y b b =+-=<，故选AD.12．解析：选AC 由函数f (x )＝1⊕2－x，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≥2－x，2－x ，1＜2－x，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ＜0，1，x ≥0，作出函数f (x )的图象，如图所示，根据函数图象得f (x )的值域为[1，＋∞)，故A 正确，B 错误；若不等式f (x ＋1)＜f (2x )成立，由函数图象知，当2x ＜x ＋1＜0即x ＜－1时成立，当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜0，x ＋1≥0即－1≤x ＜0时也成立．所以不等式f (x ＋1)＜f (2x )成立时，x ＜0.故C 正确，D 错误．故选A 、C. 三、填空题13. 解析：由题知：()2lg lg 0x x -=，得(l g 1g )l 0x x -＝，∴lg 0x =或lg 1x =，∴1x =或10x =.故答案为：1x =或10x = 14．(1,4)解析 由于函数y ＝a x恒过(0,1)，而y ＝ax －1＋3的图象可看作由y ＝a x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P 点坐标为(1,4)． 15．(1,2)解析 当x ∈[2，＋∞)时，y >1>0，所以a >1，所以函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为log a 2，所以log a 2>1＝log a a ，所以1<a <2.16.解析：当a ＞1时，函数f (x )＝log a x 是正实数集上的增函数，而函数f (x )＝log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上的最大值为2，因此有f (4)＝log a 4＝2⇒a ＝2，所以m ＝log 212＝－1，此时g (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意，因此a ＋m ＝2－1＝1；当0＜a ＜1时，函数f (x )＝log a x 是正实数集上的减函数，而函数f (x )＝log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上的最大值为2，因此有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 12＝2⇒a ＝22，所以m ＝log 224＝－4，此时g (x )＝－5x 在[0，＋∞)上是减函数，不符合题意. 答案：1 17．解 (1)原式＝1－0＋1－22－()1442-＝1＋14－2－1＝1＋14－12＝34.(2) ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n＝3. ∴a 2m ＋n＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.18．解 (1) 原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg 510＝log 23－log 23－2＋25＝－85.(2) ()11222lg 252100.1-⎡⎤⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦()172227lg 521010lg 102⎛⎫=⨯⨯⨯==⎪⎝⎭；19．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x－1， 由已知g (－x )＝－g (x )，则当x <0时，g (x )＝－g (－x )＝－f (－x )＝－(2－x－1) ＝－(12)x＋1，由于g (x )为奇函数，故知x ＝0时，g (x )＝0， ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x ≥0－12x＋1， x <0.(2)f (x )＝0，即2x＋a2x －1＝0，整理，得：(2x )2－2x＋a ＝0， 所以2x＝1±1－4a 2，又a <0，所以1－4a >1，所以2x＝1＋1－4a2， 从而x ＝log 21＋1－4a2.20．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log ax ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)，函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减． 所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减； 当0<a <1时，f (x )＝log ax ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增． 21．解 ∵f (x )＝log 2x2·log 2x4＝(log 2x －1)(log 2x －2) ＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝(log 2x －32)2－14，∵－3≤12log x ≤－32.∴32≤log 2x ≤3. ∴当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )有最小值－14；当log 2x ＝3，即x ＝8时，f (x )有最大值2.22．(1)解 （Ⅰ）若4,4m n ==，则232484()log 1x x f x x ++=+，由2248401x x x ++>+，得到2210x x ++>，得到1x ≠-，故定义域为{}1x x ≠-．令224841x x t x ++=+，则2(4)840t x x t --+-= 当4t =时，0x =符合．当4t ≠时，上述方程要有解，则2644(4)0,t t ⎧∆=--≥⎨≠⎩，得到04t ≤<或48t <≤，又1x ≠-，所以0t ≠，所以08t <≤，则值域为3(,log 8]-∞．（Ⅱ）由于函数()f x 的定义域为R ，则22801mx x nx ++>+恒成立，则06440m mn >⎧⎨-<⎩，即016m mn >⎧⎨>⎩，令2281mx x nt x ++=+，由于()f x 的值域为[0,2]，则[1,9]t ∈，而 2()80t m x x t n --+-=，则由644()()0,t m t n ∆=---≥解得[1,9]t ∈ ，故1t =和9t =是方程644()()0t m t n ---=即2()160t m n t mn -++-=的两个根，则10169m n mn +=⎧⎨-=⎩，得到55m n =⎧⎨=⎩，符合题意．所以5,5m n ==．。
(完整版)指数函数与对数函数练习题(40题)
(完整版)指数函数与对数函数练习题(40题)指数函数与对数函数试题训练1、若01x y <<<，则（ )A ．33yx< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44x y <2、函数y =( ）A 。
(3，+∞） B.［3, +∞） C 。
（4, +∞) D.［4， +∞）3．82log 9log 3的值是 A23， B 1 C 32D 24．化简55log 8log 2可得 A 5log 4 B 53log 2 C 5log 6 D 35．已知8log 3p =，3log 5q =，则lg 5= A35p q+ B 13pq p q ++ C 313pq pq + D22p q +6．已知1()102x f x -=-，则1(8)f -=A 2B 4C 8D 127．设log x a a =(a 为大于1的整数），则x 的值为A lg 10a aB 2lg10a aC lg 10a aD1lg10a a8．已知c a b 212121log log log <<，则( ）A ．c a b 222>>B ．c b a 222>>C ．a b c 222>>D ．b a c 222>>9．函数21log y x=的图像大致是10．已知01a <<，则函数x y a =和2(1)y a x =-在同一坐标系中的图象只可能是图中的11．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ) （A ）a 〉b 〉c （B)b 〉a >c （C ）c 〉a 〉b（D ）b>c 〉a 12．设3log 5a =，则5log 27=CA B C D(完整版)指数函数与对数函数练习题(40题)A 3aB 3aC 3a -D 3a13．方程212233210x x +--⋅+=的解是A {2-，3}-B {2，3}-C {2，3}D {2-，3}14．若110x <<，则2(lg )x 、2lg x 、lg(lg )x 的大小关系是A 22(lg )lg lg(lg )x x x <<B 22lg (lg )lg(lg )x x x <<C 22(lg )lg(lg )lg x x x <<D 22lg(lg )(lg )lg x x x << 15．若log 4log 40(m n m <<、n 均为不等于1的正数),则A 1n m <<B 1m n <<C 1n m <<D 1m n <<16．若log (3)log (3)0m n ππ-<-<，m 、n 为不等于1的正数，则A 1n m <<B 1m n <<C 1n m << D1m n <<17．如图，指数函数x y a =，x y b =,x y c =，x y d =在同一坐标系中，则a ，b ，c ，d 的大小顺序是A a b c d <<<B aC b a d c <<<D b a c d <<<18. 如图,设a ，b ，c ,d 都是不等于1坐标系中,函数log a y x =，log b y x =，log y =log d y x =的图象如图，则a ,b ,c ,d 关系是A a b c d >>>BC a b d c >>>D b a d c >>>19。
高中数学必修1 指数函数与对数函数教案(知识点+例题+练习)
学员姓名年级高一辅导科目数学课程类型1对1任课老师班组课题指数函数与对数函数课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次11 授课日期及时段教学目标重难点重点：难点：教学及学习方法教学方法：学习方法：教学内容【基础知识网络总结与巩固】本节考点：考点回顾考点一考点二考点三【上节知识回顾】【本节知识要点】1. 指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域值域单调性函数值变化规律R(0，＋∞)减函数增函数当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>12．对数函数的图象和性质y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．【重难点例题启发与方法总结】典型例题剖析例1 求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1－2log 6x ； (2)y ＝32x －1－19.【解析】(1)由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 变式训练 函数f (x )＝4－x 2＋log 2(x －1)的定义域是( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(1，＋∞) D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧4－x 2≥0x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x >1，∴1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]， 故选A.例2 (1)已知函数f (x )＝(23)|x |－a ，则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．2．(2018·湖南衡阳期末)已知集合A ＝{x |log 12x >－1}，B ＝{x |2x >2}，则A ∪B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0,2) 答案：C解析：由A ＝{x |log 12x >－1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x >2}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，则A ∪B ＝(0，＋∞)．故选C. 3．(2018·福建福州外国语学校期中)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，且f (x )是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 答案：B解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m＝－1.又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1，故选B.方法点拨：求有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数．注意幂函数中自变量的系数为1.4．(2018·重庆第一中学一诊模拟)设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b [来源:学科网]C ．b >c >aD ．c >b >a [来源:学科网ZXXK] 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案：D解析：当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a大于1，故选D.6．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎡⎦⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎡⎦⎤116，14. 7．(2018·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：C解析：通解 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.优解 取a ＝0，f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.8．(2018·怀化二模)已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 016]内的企盼数的个数是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：B解析：因为函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，所以f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，所以f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，若f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数，则k ＋2＝2m ，m ∈Z ，又k ∈[1,2 016]，所以k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510,1 022}，故在区间[1,2 016]内的企盼的个数是9.二、填空题[来源:学科网]9．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝⎛⎭⎫9412＋cos 4π3＝________. 答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.10．(2018·江西自主招生)方程log 3(1＋2·3x)＝x ＋1的解为________． 答案：0解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.11．(2018·山西一模，13)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________. 答案：－1解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．[来源:学科网] 三、解答题12．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，即()3y －m ·x2－8x ＋3y －n ＝0[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y ＋mn －16≤0由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.【课后强化巩固练习与方法总结】1．已知集合M ＝{}x |y ＝x －1，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则∁R (M ∩N )等于( ) A ．[1,2) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)2．已知a ＝23log 4.1，b ＝23log 2.7，c ＝⎝⎛⎭⎫123log 0.1，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b3．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，32)D ．(32，＋∞)学管签字：学管主任签字：。
高一数学指数函数试题答案及解析
高一数学指数函数试题答案及解析1.函数的单调递减区间【答案】【解析】因为，根据复合函数的单调性可知该函数的单调递减区间为.【考点】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法.点评：考查复合函数的单调性时，要注意“同增异减”，还要注意函数的定义域.2.设a，b，c∈R，且3= 4= 6，则( )．A．=＋B．=＋C．=＋D．=＋【答案】B【解析】设3= 4= 6= k，则a = log k，b= log k，c = log k，从而= log 6 = log3＋log 4 =＋，故=＋，所以选(B)．3.设指数函数，则下列等式中不正确的是（）A．f(x+y)=f(x)·f(y)B．C．D．【答案】D【解析】根据指数幂的运算律知：A,B,C正确；。
故选D4.若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（）A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．以上均不对【答案】B【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以则所以是偶函数。
故选B5.三个数，，之间的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以，故应选．【考点】1、指数与指数函数；2、对数与对数函数；6.定义运算为：，例如：，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可得，，∵时，，综上可得，的取值范围是，故答案为.7.已知，则三者的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象与性质可知：；由函数的图象与性质可知：；∴故选：A8.若，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选A.9.已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.【答案】(1)或；(2).【解析】(1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或；(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是.试题解析：（1）当时，在上单调递增，因此，，即；当时，在上单调递减，因此，，即.综上，或.（2）不等式即.又，则，即，所以.10.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.11.若3<a<4，化简的结果是()A．7－2a B．2a－7C．1D．－1【答案】C【解析】∵，∴，。
新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 检测(1)
第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=√2x-1的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使f(x)=√2x-1有意义,需2x-1≥0,故x∈[0,+∞).答案:B2若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=a x+b(a>1,b<-1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M={y |y =(12)x,x ∈[0,+∞)},N={y|y=log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1) 答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=√1+x 2 B.y=x+1x C.y=2x +12xD.y=x+e x解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=√1+x 2,y=2x +12x 为偶函数,y=x+1x 为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D. 答案:D5函数y=log 2(1-x )的图像是( )解析:∵1-x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D .∵y=log 2(1-x )在定义域上是减函数, ∴B 选项正确. 答案:B6log 89log 23的值为( )A.23B.32C.2D.3解析:log 89log 23=lg9lg8·lg2lg3=2lg33lg2·lg2lg3=23. 答案:A7设函数f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212-1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.答案:C8已知函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 12)-f (x 22)等于( )A.2B.1C.12D.log a 2解析:f (x 12)-f (x 22)=log a x 12-log a x 22=2log a x 1-2log a x 2=2[f (x 1)-f (x 2)]=2. 答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3xB.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1)D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.14B.12C.2D.4解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+log a2+1+0=a,解得a=12.答案:B12设偶函数f (x )=log a |x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f (b-2)与f (a+1)的大小关系为( )A.f (b-2)=f (a+1)B.f (b-2)>f (a+1)C.f (b-2)<f (a+1)D.不能确定 解析:∵函数f (x )是偶函数,∴b=0,此时f (x )=log a |x|.当a>1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是增加的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2);当0<a<1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是减少的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2). 综上可知,f (b-2)<f (a+1). 答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上) 13lg 52+2lg 2-(12)-1= .解析:根据对数的运算法则知,lg 52+2lg 2-(12)-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1. 答案:-114若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-1)=f (1).又f (-1)=-ln(-1+√a +1)=ln√a+1+1a ,f (1)=ln(1+√a +1),因此ln(√a +1+1)-ln a=ln(√a +1+1), 于是ln a=0,∴a=1. 答案:115若a=log 43,则2a +2-a = .解析:由a=log 43,知2a +2-a=2log 43+2-log 43=2log 2√3+2log 2√33=√3+√33=4√33. 答案:4√3316设函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 018)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0182)的值等于 . 答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分)化简求值:(1)2(√23×√3)6+(√2√2)43-4(1649)-12−√24×80.25+(-2 016)0;(2)lg5·lg8 000+(lg2√3)2lg600-12lg0.36.解(1)原式=2(213×312)6+(212×214)43-4×74−214×234+1=2×22×33+2-7-2+1=210.(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg 2√3)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3, lg 600-12lg 0.36=(lg 6+2)-lg √36100=lg 6+2-lg 610=3,∴原式=33=1.18(12分)已知函数f (x )=14x -1-a.(1)求函数f (x )的定义域; (2)若f (x )为奇函数,求a 的值. 解(1)∵4x -1≠0,∴4x ≠1.∴x ≠0.∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ). ∴14-x -1-a=-14x -1+a. ∴2a=4x1-4x +14x -1=1-4x4x -1=-1. ∴a=-12.19(12分)(1)已知x+x -1=3(x>0),求x 32+x -32的值; (2)已知log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),求实数x 的值. 解(1)∵(x 12+x -12)2=x+x -1+2=5,∴x 12+x -12=√5.∴x 32+x -32=(x 12+x -12)(x+x -1-1) =√5(3-1)=2√5.(2)∵log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),∴log 4(3x-1)=log 4[(x-1)(3+x )]. ∴3x-1=(x-1)(3+x ),且x>1.∴x=2.20(12分)已知函数f (x )={(12)x -1,x >1,x 2,x ≤1.(1)画出函数f (x )的图像,并根据图像写出该函数的递减区间; (2)求不等式f (x )>14的解集. 解(1)作函数f (x )的图像如下,函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞). (2)令f (x )=14,解得x=±12或x=3, 结合图像可知,f (x )>14的解集为 {x |x <-12或12<x <3}.21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为f (x )=k 1x (k 1≠0,x ≥0),投资股票等风险型产品的收益g (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为g (x )=k 2√x (k 2≠0,x ≥0),则f (1)=0.125=k 1,g (1)=0.5=k 2, 则k 1=0.125=18,k 2=0.5=12, 故f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12√x (x ≥0).(2)设投资债券类产品x 万元,则投资股票类产品(20-x )万元,依题意得,获得的总收益y=f (x )+g (20-x )=x8+12√20-x (0≤x ≤20).令t=√20-x (0≤t ≤2√5),则y=20-t 28+12t=-18(t-2)2+3,当t=2时,y max =3,故当x=16万元时,y max =3万元.所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f (x )=a x -1a x +1(a>1). (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明:f (x )是R 上的增函数. (1)解函数的定义域为R ,f (-x )+f (x )=a -x -1a -x +1+a x -1a x +1 =1-a x1+a x +a x -1a x +1=0,∴函数f (x )为奇函数. (2)解∵f (x )=a x -1a x +1=1-2a x +1(a>1),设t=a x,则t>0,y=1-2t+1的值域为(-1,1), ∴该函数的值域为(-1,1).(3)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a x1-1a x1+1−a x2-1a x2+1=2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1).∵a>1,x1,x2∈R,且x1<x2,∴a x1−a x2<0,a x1+1>0,a x2+1>0.∴2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).∴f(x)是R上的增函数.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数
§4对数知识点一对数的有关概念[填一填](1)一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lg N.(3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作ln N.[答一答]1．对数概念的理解？提示：(1)对数是一种数，对数式log a N可看作一记号，表示关于x的方程a x＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．(2)对数符号log a N只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝log a N，可以为任意的实数．知识点二对数的运算性质[填一填]如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n·log a M(n∈R)．[答一答]2．如何正确运用对数的运算法则？ 提示：(1)运算中常见的错误有： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n .log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．(2)注意前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价．(3)要注意运算法则的逆用． 知识点三 换底公式[填一填]log b N ＝log a N log a b(a 、b >0，a 、b ≠1，N >0)．[答一答]3．如何准确的应用换底公式？提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①log a b ＝1log b a ，②log am b n ＝nmlog a b .1．对数log a N 中规定a >0，a ≠1的原因2.对对数的三点说明(1)对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即a b ＝N ⇔b ＝log a N .(2)对数通过符号log a N 表达，log a N 是一个整体，不是表示log a 和N 的乘积，字母a 和N 都有相应的意义和范围要求．(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.类型一 对数式与指数式的互化【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；【解】 (1)log 319＝－2.规律方法 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式log a N ＝x 与指数式a x ＝N (a >0，且a ≠1)的互化过程中，要特别注意a ，x ，N 的对应位置．将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625; (2)；(3)3a ＝27; (4)log 101 000＝3. 解：(1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(3)∵3a ＝27，∴log 327＝a . (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000. 类型二 利用对数的运算法则进行计算【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)(lg5)2＋lg2·lg50.【思路探究】 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg2＋1－lg2＝1.(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝1.规律方法(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．解：类型三换底公式的应用【例3】已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)【思路探究】(1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．【解】 解法1：因为18b ＝5，所以log 185＝b ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .解法2：因为log 189＝a ，所以18a ＝9.又因为18b ＝5， 所以45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b .令log 3645＝x ， 则36x ＝45＝18a ＋b ，即36x ＝(183×183)x ＝18a ＋b ，所以(1829)x ＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 规律方法 用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．(1)log 916·log 881的值为( C ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.解析：＝lg2lg3＋lg5lg3＝1lg3＝log 310. (3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． 解：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39·⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28＝⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32·⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54. 类型四 对数方程的解法 【例4】 解下列方程： (1)log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1； (2)3lg x －2－3lg x ＋4＝0；【思路探究】 根据对数方程的特点，将对数方程化为一般代数方程并求解． 【解】 (1)由原方程得log 2(x ＋1)＝log 4(x ＋4)＋1， ∴log 2(x ＋1)2＝log 2[4(x ＋4)]，∴(x ＋1)2＝4(x ＋4)，解得x ＝5或x ＝－3， 经检验x ＝－3为增根，应舍去． 故原方程的解为x ＝5. (2)设3lg x －2＝y ，则原方程可化为y －y 2＋2＝0，解得y ＝－1或y ＝2. ∵3lg x －2≥0，因此，y ＝－1为增根，应舍去． 由3lg x －2＝2，得lg x ＝2，∴x ＝100.经检验，x ＝100为原方程的解．(3)等式两边取常用对数得[(lg x )3－2lg x ]lg x ＝lg0.1，(lg x )4－2(lg x )2＋1＝0，∴[(lg x )2－1]2＝0，(lg x )2＝1，lg x ＝±1， ∴x ＝10或x ＝110.规律方法 解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的，必须把所求的解代入原方程进行检验．对数方程的题型与解法： 名称 题型解法基本型 log a f (x )＝b 将对数式转化为指数式f (x )＝a b 同底数型 log a f (x )＝log a φ(x ) 转化为f (x )＝φ(x )(必须验根)需代换型F (log a x )＝0换元，令t ＝log a x 转化为关于t 的代数方程解下列关于x 的方程： (1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )； (2)12(lg x －lg3)＝lg5－12lg(x －10)； 解：(1)由log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )得2x ＋1＝3x ， 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x ＋1>0,3x >0.故x ＝1. (2)原方程可化为lgx3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0， 解得x ＝15或x ＝－5，检验：当x ＝－5时，x3<0，x －10<0，此时根式无意义，舍去；当x ＝15时，满足题意，故x ＝15.——易错误区—— 因忽略真数的范围致误【错解】 0或4或2【正解】 4 由已知得lg(xy )＝lg(x －2y )2， 从而有xy ＝(x －2y )2整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 但由x >0，y >0，x －2y >0① 得x >2y >0.所以x ＝y 应舍去，故xy ＝4.【错因分析】 1.在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0. 2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误． 【防范措施】 1.注意对数运算法则的适用条件对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零，如本例中真数“x －2y >0”，隐含着x >2y .2．熟练掌握对数的运算法则已知2log 3x －y 2＝log 3(xy )(x >y >0)，则xy＝3＋2 2. 解析：由题意有x >y ，xy >0且(x －y2)2＝xy .所以x 2－6xy ＋y 2＝0，所以(x y )2－6(x y )＋1＝0.所以xy ＝3±2 2.因为x >y >0，所以x y >1，所以xy＝3＋2 2.一、选择题1．当a >0，a ≠1时，下列结论正确的是( C ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①② B ．②④ C ．②D ．①②③④解析：①M ≤0时不对；②正确；③应为M ＝±N ；④M ＝0时不对． 2．已知x ，y 为正实数，则( D )解析：10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y 故A 错，B 、C 公式不对，D 项10ln x y ＝10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y .选D.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析：log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A.二、填空题4．2log 525＋3log 264－8ln1＝22.解析：原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 5．log 6[log 4(log 381)]＝0.解析：log 6[log 4(log 381)]＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.三、解答题6．求下列各式的值．(1)log 1627·log 8132； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)． 解：(1)原式＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516.。
指数函数对数函数计算题集及答案
指数函数对数函数计算题集及答案1.题目中给出了一些数学计算题和方程，需要计算或解方程。
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2.计算lg5·lg8000＋(lg232)lg(1/.06)。
3.解方程lg2(x＋10)－XXX(x＋10)3=4.4.解方程2log6x=1log63.5.解方程9-x－2×31-x=27.6.解方程(1)x=128/8.7.计算(lg2)3(lg5)3log251·log28·10.8.计算(1)lg25+lg2·lg50;(2)(log43+log83)(log32+log92)。
9.求函数y=log0.8(x1)/(2x1)的定义域。
10.已知log1227=a，求log616.11.已知f(x)=a2x/(23x1)，g(x)=ax22x5(a＞且a≠1)，确定x的取值范围，使得f(x)＞g(x)。
12.已知函数f(x)=11(3x)/(x221)，(1)求函数的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证f(x)＞0.13.求关于x的方程ax＋1=－x2＋2x＋2a(a＞且a≠1)的实数解的个数。
14.求log927的值。
15.设3a=4b=36，求(2ab+b)/(a+b)的值。
16.解对数方程log2(x－1)+log2x=1.17.解指数方程4x+4-x－2x+2－2-x+2+6=0.18.解指数方程24x+1－17×4x+8=0.19.解指数方程(322)x(322)x22 2.20.解指数方程21x1334-x1=4 1.21.解指数方程4x x2232x x224=0.22.解对数方程log2(x－1)=log2(2x+1)。
23.解对数方程log2(x21)log2(x1)=2.1.剔除格式错误，删除明显有问题的段落，得到以下文章：解对数方程：log16x+log4x+log2x=7解对数方程：log2[1+log3(1+4log3x)]=1解指数方程：6x-3×2x-2×3x+6=0解对数方程：XXX(2x-1)2-XXX(x-3)2=2解对数方程：XXX(y-1)-lgy=lg(2y-2)-XXX(y+2)解对数方程：XXX(x2+1)-2lg(x+3)+lg2=0解对数方程：lg2x+3lgx-4=02.对每段话进行小幅度改写，得到以下文章：1.解对数方程：XXX。
指数函数对数函数计算题集及答案(更新版)
指数函数对数函数计算题11、计算：lg5·lg8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、解方程：lg2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4.3、解方程：23log 1log 66-=x .4、解方程：9-x－2×31-x =27.5、解方程：x)81(=128.6、解方程：5x+1=123-x .7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、计算：(1)lg25+lg2·lg50;(2)(log43+log83)(log32+log92).9、求函数121log8.0--=x xy的定义域.10、已知log1227=a,求log616.11、已知f(x)=1322+-xxa,g(x)=522-+xxa(a＞0且a≠1),确定x的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=321121xx⎪⎭⎫⎝⎛+-.(1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0.13、求关于x的方程a x＋1=－x2＋2x＋2a(a＞0且a≠1)的实数解的个数.14、求log927的值.15、设3a=4b=36,求a 2＋b1的值.16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=117、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=018、解指数方程：24x+1－17×4x+8=019、解指数方程：22)223()223(=-++-x x ±220、解指数方程：01433214111=+⨯------x x21、解指数方程：042342222=-⨯--+-+x x x x22、解对数方程：log 2(x －1)=log 2(2x+1)23、解对数方程：log2(x2－5x－2)=224、解对数方程：log16x+log4x+log2x=725、解对数方程：log2[1+log3(1+4log3x)]=126、解指数方程：6x－3×2x－2×3x+6=0 27、解对数方程：lg(2x－1)2－lg(x－3)2=228、解对数方程：lg(y－1)－lgy=lg(2y－2)－lg(y+2)29、解对数方程：lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=030、解对数方程：lg2x+3lgx－4=0指数函数对数函数计算题1 〈答案〉1、 12、解：原方程为lg 2(x ＋10)－3lg(x ＋10)－4=0, ∴[lg(x ＋10)－4][lg(x ＋10)＋1]=0. 由lg(x ＋10)=4,得x ＋10=10000,∴x=9990. 由lg(x ＋10)=－1,得x ＋10=0.1,∴x=－9.9. 检验知： x=9990和－9.9都是原方程的解. 3、 解：原方程为36log log 626=x ,∴x 2=2,解得x=2或x=－2. 经检验,x=2是原方程的解, x=－2不合题意,舍去.4、解：原方程为2)3(x -－6×3-x －27=0,∴(3-x ＋3)(3-x－9)=0.∵3-x＋3≠0,∴由3-x－9=0得3-x=32.故x=－2是原方程的解.5、 解：原方程为x32-=27,∴-3x=7，故x=－37为原方程的解. 6、 解：方程两边取常用对数,得：(x ＋1)lg5=(x 2－1)lg3,(x ＋1)[lg5－(x －1)lg3]=0. ∴x ＋1=0或lg5－(x －1)lg3=0.故原方程的解为x 1=－1或x 2=1＋5log 3. 7、 1 8、 (1)1；(2)459、 函数的定义域应满足：⎪⎩⎪⎨⎧>≥-≠-,0,01log ,0128.0x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≠,0,1log ,218.0x x x解得0＜x ≤54且x ≠21,即函数的定义域为{x|0＜x ≤54且x ≠21}. 10、 由已知，得a=log 1227=12log 27log 33=2log 2133+,∴log 32=aa23-于是log 616=6log 16log 33=2log 12log 433+=aa +-3)3(4.11、 假设a ＞1,则x ＜2或x ＞3;假设0＜a ＜1,则2＜x ＜312、 (1)(－∞,0)∪(0,＋∞);(2)是偶函数;(3)略. 13、2个14、 设log 927=x,根据对数的定义有9x=27,即32x=33,∴2x=3,x=23,即log 927=23. 15、 对已知条件取以6为底的对数,得a 2=log 63, b1=log 62,于是a 2＋b1=log 63＋log 62=log 66=1.16、 x=2 17、 x=0 18、 x=－21或x=23 19、 x=±1 20、 x=3721、 x=23 22、 x ∈φ 23、 x=－1或x=6 24、 x=16 25、 x=326、 x=1 27、 x=829或x=123128、 y=229、 x=－1或x=7 30、 x=10或x=10－4指数函数对数函数计算题21、解对数方程：65lg 21lg 32=+++x x2、解对数方程：2log 4x+2log x 4=53、解对数方程：3log x 3+3log 27x=44、解对数方程：log 7(log 3x)=－15、解指数方程：4x+4-x－2x－2-x=06、解指数方程：9x +6x －3x+2－9×2x =07、解指数方程：2x+2－2-x +3=08、解指数方程：2x+1－3×2-x +5=09、解指数方程：5x-1+5x-2+5x-3=15510、解指数方程：26x+3×43x+6=(8x )x11、解指数方程：4x －3·2x+3－432=0.12、解对数方程：lg(6·5x +25·20x )=x+lg2513、解对数方程：log (x －1)(2x 2－5x －3)=214、解对数方程：(0.4)1lg 2-x =(6.25)2－lgx15、解对数方程：x x323log log 52⋅=40016、解对数方程：log 2(9－2x)=3－x17、解对数方程：101gx+1=471+gx x18、解对数方程：log 2(2x －1)·log 2(2x+1－2)=219、解关于x 的方程.3)lg()](lg[22=--a x a x a20、计算：(1)log 622+log 63·log 62+log 63;(2)lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22.21、计算：(1)29)12(lg log 3-+5225)25.0(lg log -;(2)[(1－log 63)2+log 62·log 618]·log 46.22、已知：log 23=a,3b =7.求：log 4256.23、已知：log 89=a,log 25=b,求：lg2,lg3,lg5.24、已知：log 189=a,18b =5,求：log 3645.25、已知：12a=27,求：log 616.26、计算：(1)3log 422+; (2)b a alog 31.27、计算：(1)3lg 100; (2)8log 427log 31125525+.28、计算：.18log 7log 37log 214log 3333-+-29、假设函数f(x)的定义域是[0,1],分别求函数f(1－2x)和f(x ＋a)(a ＞0)的定义域.30、假设函数f(x ＋1)的定义域是[－2,3),求函数f(x1＋2)的定义域.指数函数对数函数计算题2 〈答案〉1、x=10或x=105122、 x=2或x=163、 x=3或x=274、 x=735、 x=06、 x=27、 x=－28、x=－1 9、x=4 10、 x=－1或x=5 11、 x=2+2log 23 12、 x=log 253或x=log 252 13、 x=4 14、 x=10或x=10315、 x=9 16、x=0或x=3 17、 x=10－4或x=10 18、 x=log 245或x=log 23 19、a ＜0且a ≠－1时,x=0;a ＞0且a ≠21,x=3a;a=0或a=－1或a=21时,无解 20、 (1)1 (2)3 21、 (1)3 (2)1 22、13+++ab a ab23、lg2=b +11 lg3=)1(23b a + lg5=bb+124、 log 3645=ab a -+2 25、 log 616=aa+-341226、 (1)48 (2)3b27、(1)3 (2)2304 28、 0 29、 {x|0≤x ≤21},{x|－a ≤x ≤1－a}.30、 {x|x ＜－31或x ＞21}指数函数对数函数计算题31、求函数f(x)=lg(1＋x)＋lg(1－x)(－21＜x ＜0)的反函数.2、已知实数x,y 满足(log 4y)2=x 21log , 求 y xu =的最大值及其相应的x,y 的值.3、假设抛物线y=x 2log 2a ＋2xlog a 2＋8位于x 轴的上方,求实数a 的取值范围.4、已知函数f(x)=(log a b)x 2＋2(log b a)x ＋8的图象在x 轴的上方,求a,b 的取值范围.5、已知f(x)=log a |log a x|(0＜a ＜1).解不等式f(x)＞0.判断f(x)在(1,＋∞)上的单调性,并证明之.6、计算：2log 9log 412log 221log 5533525.0log 3)3(--++-.7、解方程)13lg()13lg()1lg(2++-=-x .8、解方程：2lg +x x =1000.9、解方程：6(4x －9x )－5×6x=0.10、解方程：1lg )7(lg 4110++=x x x .11、解方程：log x+2(4x ＋5)－01)54(log 22=-++x x .12、已知12x=3,12y=2,求yx x +--1218的值.13、已知2lg2yx -=lgx ＋lgy,求y x 的值.14、已知log a (x 2＋1)＋log a (y 2＋4)=log a 8＋log a x ＋log a y(a ＞0,a ≠1),求log 8(xy)的值.15、已知正实数x,y,z 满足3x=4y=6z,(1)求证：yx z 2111=-;(2)比较3x,4y,6z 的大小.16、求7lg20·7.0lg 21⎪⎭⎫ ⎝⎛的值.17、已知函数f(x)=1＋log x 3,g(x)=2log x 2(x ＞0,且x ≠1),比较f(x)与g(x)的大小.18、已知函数f(x)=1log -x a (a ＞0且a ≠1),(1)求f(x)的定义域；(2)当a ＞1时,求证f(x)在[a,＋∞)上是增函数.19、根据条件,求实数a 的取值范围：(1)log 1＋a (1－a)＜1;(2)|lg(1－a)|＞|lg(1＋a)|.20、解方程：9x＋4x=25·6x.21、解方程：92x －1=4x22、解方程：x⎪⎭⎫⎝⎛271=91－x.23、解方程：9x －2·3x ＋1－27=0.24、已知函数f(x)=bx bx a-+log (a ＞0,b ＞0且a ≠1). (1)求f(x) 的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性; (3)讨论f(x)的单调性;(4)求f(x)的反函数f －1(x).25、已知函数f(x)=)2(log 221x x-.(1)求它的单调区间;(2)求f(x)为增函数时的反函数.26、已知函数f(x)=21-x a 满足f(lga)=10,求实数a 的值．27、解关于x 的方程：lg(ax-1)-lg(x-3)=128、解方程：log 0.5x 2－25.03log x x =4log 35.x o .29、解方程：5)(1log 5=-x x .30、解方程：3·16x＋36x=2·81x.指数函数对数函数计算题3 〈答案〉1、 f －1(x)=－x101-(lg43＜x ＜0)2、考虑y x 4log =21-log42y －log 4y,当x=21,y=41时,umax=2. 3、由⎩⎨⎧<⋅-=∆>,08log 4)2log 2(,0log 222a a a 可得2＜a ＜＋∞4、 a ＞1,b ＞a 或0＜a ＜1,0＜b ＜a .5、 (1)a ＜x ＜a1且x ≠1;(2)f(x)在(1,＋∞)上是减函数. 6、421 7、)]13)(13lg[()1lg(2+-=-x ，x －1＞0，∴x ＞1(x －1)2=3－1，∴x=1+28、解：原方程为(lgx ＋2)lgx=3,∴lg 2x ＋2lgx －3=0,设y=lgx,则有 y 2＋2y －3=0,∴y 1=1,y 2=－3.由lgx=1,得x=10,由lgx=－3,得x=10001. 经检验,x=10和x=10001都是原方程的解. 9、 x=－1 10、x=10或x=0.000111、 x=1 12、34 13、 3＋2214、利用运算法则,得(xy －2)2＋(2x －y)2=0∴log s(xy)=3115、(1)略;(2)3x ＜4y ＜6z 16、令所求式为t,两边取对数,得原式=14 17、当0＜x ＜1或x ＞34时,f(x)＞g(x);当1＜x ＜34时,f(x)＜g(x);当x=34时,f(x)=g(x).18、(1)当0＜a ＜1时,0＜x ≤a;当a ＞1时,x ≥a. (2)设a ≤x 1≤x 2,则f(x 1)－f(x 2)=1log 1log 21---x x a a=1log 1log log 2121-+-x x x x a a a＜0.19、(1)－1＜a ＜0或0＜a ＜1;(2)0＜a ＜120、方程即为2·32x －5·3x ·2x ＋2·22x=0,即022352322=+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛xx.令y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛23,方程又化为2y 2－5y ＋2=0,解得y 1=2,y 2=21,于是便可得x 1=2log 23,x 2=－223log . 21、由题意可得x229⎪⎭⎫⎝⎛=9,∴2x=9log 29,故x=219log 29. 22、 方程即为3－3x=32－2x,∴－3x=2－2x,故x=－2.23、令y=3x ＞0,则原方程可化为y 2－6y －27=0,由此得y=9(另一解y=－3舍去).从而由3x=9解得x=2.24、(1)(－∞,－b)∪(b,＋∞)；(2)奇函数；(3)当0＜a ＜1时,f(x)在(－∞,－b)和(b,＋∞)上是增函数;当a ＞1时,f(x)在(－∞,－b)和(b,＋∞)上是减函数;(4)略。