矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
作业：
作业集（A）第四章 1.
该 比值 越小 收敛 越快;由 此提 示了 原点 平移 法， Rayleigh商 加速 法 参 考书.
5. 若 主 特 征 值1是 重 特 征 值1 2 ... r , | r || r1 | | n |,则 由(4.2)得
(uk ) j
(uk 1 ) j
r
1
i 1
n
i(xi)j
(1) (2)
计u算 0 u0k
Auk 1
(k 1,2,3,...)
有算法：
(3) 固定一个分量标号j
(uk ) j0 c (常 数)
j0 .若k充 分 大 时
(uk 1 ) j0
u 则取1 c,而
就是相应的一个近似特征向量.
k
几点说明:
1. 1 0概率很小,也可换另外初始向量u~0 ;
§4.2 Jacobi旋转法
求实对称矩阵A的全部特征值及特征向量
——Jacobi旋转法
基本思想：
1
Rk R2 R1 AR1T R2T RkT k
2
n
求一般矩阵全部特征值和特征向量的QR方法
——参考书。
基本要求：
1. 熟悉特征值和特征向量的定义； 2. 熟悉乘幂法求主特征值的计算过程； 3.了解反幂法的思路；
2. 若算法中分母(uk1 ) j0 为零,则选择另外一个
u u 不为零的分量( (k1 ) j1 计算
(
)k j1
( j1 j0)
u( ) k1 j1
3. 由(4.1)可知,当K充分大时,若 | 1 | 1,则(uk )分量绝对值
可
能
很
大;若
|
1
|
1,则(u k
)分
量
绝
对
值
过
小.为
防
止
此
现象发生,实用中常常是迭代m步后对um 作一次规范化,
(-2668.140 2052532.305 4099715.208)T
45.000 1
u (k) ( k)3
u 1
( ) k1 3
36.000
45.087
44.988
45.000
二．反幂法——求A的按摸最小的特征值。
设A可逆，由
Ax
x
设 | 1 | | n1 || n | .
则1
6.几何解释
x1
v5
u3
v4
v3 u2
1
u0
u1
例4.1
求A
-
6 21
- 12
12 3 12
6
x 24的1及 1
51
解：计算结果列表如下
u u k A
k
k 1
0 (1 0 0)T
1 (6, - 21 - 12)T
2 (216 - 351 - 432)T
5 (1023516 - 21592251 - 41019372)T (-0.025 0.526 1)T (规范化) (-0.462 22.947 44.988)T
第四章 矩阵特征值和特征向量计算
复习：线12..性定 说 求代法义明又数：：A(：若值x|x还，A) x是(A特叫Exx征|)向相0x常量应数((。的Ax特0征，0)E向则)x量。叫0 A的特征
十分困难;应寻求近似解法,且简单、 可行、有效。
§4.1 乘幂法与反幂法
一．乘幂法——求A的主特征值（按模最大者）及 其相应的特征向量
i r 1
i(
i 1
)k
(
xi
)
j
x x r
i(
i 1
i )j
n
i
i r 1
( i 1
)k1 (
i )j
同
样
有 lim
k
(uk ) j
(uk 1 )
j
1
( j 1,2,3,...),与前 述算法相 同
只 不 过 此 时 从 不 同 的u0出 发 可 能 得 到
1的 几 个 不 同 的 线 性 无 关特 征 向 量 。
0 11
1 2
2
2 nn
n
u u x x x A 2
1
2
11
1
2
22
2
2
nn
n
u u x x x A k
k
k 1
11
1
k
22
2
k
nn
n
u x (设 0) k
k 1
(1
1
n
i
i2
i 1
k
xi
)
( 4.1)
1
记
uk
为uk 的第j个分量，则
j
x x
uk
j
x x
uk1
设A的特征值：1 2 n ,且 | 1 || 2 | | n |
特征向量：x1,
A xi
x
2
,
x i i
,
xn
(i
（假定线性无关） 1,2,, n)
初 始 向 量u0 0,则 有 线 性 表 示
u x x x 0 1 1 2 2 n n
两 端 左 乘A有
u u x x x A 1
合集下载
矩阵特征值与特征向量计算
向量的∞-范数
,
向量的规范化
, k 1, 2, (3.9)
当 |k -k-1| /k ≤ 时，迭代结束，以当前的 k 作为 1 的近似 值，以 yk-1作为属于 1 的特征向量。
例1 求下矩阵的最大特征值及所属特征向量.
误差为0.0001.
6 A 21 12 12 3 12 6 24 51
注:
(1)有些实际问题只需要求出按模最大的特征值和 相应的特征向量，有的要求出全部的特征值和相应的 特征向量。 对于不同的问题有不同的解法。 (2)关于计算A的特征值问题，当n=2，3时，可按 行列式展开的方法求出φ()=0的根，但当n较大时，如 果再按行列式方法求，首先求出φ()的系数，再求φ() 的根，工作量就非常大，用这种方法求φ()的根是不 切实际的，因此需要研究A的特征值及特征向量的数值 解法。 (3)本章将介绍计算机上常用的两类方法，一类是 幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似变换的 方法（变换法）。
2
(b xT 1 1 b1 x1T
2 T
) A (b x )
1 1 2
b1 x1
T
2
b1 x1 x1 b1 x1
2 2
1
1 .
第一种幂法迭代格式:
任取非零向量u0 ,
T uk 1uk 1 k 1 yk 1 uk 1 / k 1 uk Ayk 1 T k yk 1uk
k 0,1, 2,
任取初始值 u 0
y0 u0 u0 ,
0,
u 1 Ay 0
Au 01
Au 0 Au 0
2 2
,
u 2 Ay 1
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
大学数学矩阵ppt课件
，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。
《矩阵分析》ppt课件
包括结合律、分配律、 数乘的结合律和分配律 等。
特殊矩阵类型介绍
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
对称矩阵
若一个方阵满足$A^T = A$， 则称该方阵为对称矩阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为零的方阵称为单位 矩阵。
反对称矩阵
牛顿法
利用矩阵微积分计算目标函数的二阶导数（海森矩阵），通过迭代 更新参数实现更快速地最小化目标函数。
最小二乘法
利用矩阵微积分求解线性方程组的解，实现数据拟合和回归分析等 任务。
矩阵级数展开式
矩阵幂级数展开
01
将矩阵函数表示为幂级数的形式，便于进行矩阵运算和求解矩
阵方程。
矩阵指数函数展开
02
将矩阵指数函数表示为级数形式，便于计算矩阵指数函数的值
03
CATALOGUE
特征值与特征向量问题
特征值和特征向量定义及性质
特征值和特征向量的 定义：对于n阶方阵A ，如果存在数λ和非零 n维列向量x，使得 Ax=λx，则称λ是A的 一个特征值，x是A的 对应于特征值λ的一个 特征向量。
特征值和特征向量的 性质
不同特征值对应的特 征向量线性无关。
特征值的和等于方阵 主对角线上元素的和 ，即迹。
解的唯一性条件
当系数矩阵A满秩（即r(A) = n）时，线性方程组有唯一解。
高斯消元法求解线性方程组原理步骤
高斯消元法步骤
从最后一个方程开始，逐个回代求解未知数列向量x 。
高斯消元法原理：通过初等行变换将系数矩阵 A化为上三角矩阵，然后回代求解未知数列向 量x。
对系数矩阵A和常数列向量b组成的增广矩阵 [A|b]进行初等行变换，将其化为上三角矩阵。
第九章矩阵特征值和特征向量的计算
从而：
容易验证：
9.2 幂法的加速与降阶
考虑A－λ0I，因它与A之间特征值有关系：μi=λｉ－λ0,且特征向量不变， 则：
因为此时：
假定最大特征值λ1和最大特征向量V1已求出，并令A(1)=A，现构造：
9.3 反幂法
反幂法用来求A的按模最小的特征值。思想是A与A-1的特征值互为倒数， 用幂法求A-1的最大特征值。
或写为：
一般的计算公式：
处理对称矩阵，下列正交化方法更为有效：
平行迭代法也可用来求按模最小的p个特征值和特征向量：
9.5 QR算法 1、基本步骤：
令A=A1，对A1进行正交分解：
QR算法产生了一个矩阵序列{Ak}，它有两个基本性质： （1）、矩阵序列{Ak}中的每一个矩阵都与A相似：
（2）、若令Hk= Rk Rk-1…. R1则有：
2、QR算法的收敛性问题：
2、定理9.1：假设
2、QR算法举例：求下面矩阵特征值
现用QR算法求解其特征值，首先令A1=A,用Schmidt正交化方法分解：
把A代替A重复上面过程，计算11次得：
9.6 Jacobi算法
其中，D是对角矩阵，它的对角元素是矩阵A的特征值，Jacobi方法 实质上是找一个正交矩阵V，使A正交化。设：
（2）、置k=1，μ=0 （3）、求xr=> λ，| xr |= （4）、计算 Y=X/ λ X=AY
max xi
1 i n
（5）、若| λ－ μ|< ε，输出λ，X,停机，否则转步骤6 （6）、若k<N，k+1=>k，，μ=0， λ=>μ，转步骤3；否则输出失败信息
4、例2：用幂法求矩阵
解：取初始向量Y(0)=(1,1,1)T，用前面公式
5.3矩阵特征值和特征向量
推论 : n 阶矩阵 A 可逆 A 的 n 个特征 , ,n 全不 1
T Th 2 :A 而特征值相同 . 与 A的特征多项式相同，从 T A E A T AE E
Th 3: A 的属于不同特征值的特 征向量线性无关 .
Th 3 即：设 , 是方阵 A 的 m 个特征值 , 1, 2, m
那么 p A 的对应于特征值 . i 便是 i的特征向 ( 若 ,则 p ; i 为实数 i 可取实向量
若 ,则 p .) i 为复数 i 为复向量
则由方程 ( A E ) x 0 可求得非零解 x p i i,
1 3 A . 的特征值和特征 例1 求矩阵 1 3 3 1 2 ( 3 ) 1 E 解 A的特征多项式为 A 1 3 2 ( 4 )( 2 ) ， 8 6 所以 A 的特征值为 2 , 4 . 1 2 ( A 2 E ) x 0 , 当 2 时 , 对应的特征向量应满足 1 x 3 2 1 0 即 x1 x2 0 , 1 解得 x x , , 1 2 x x 0 . x 1 3 2 0 1 2 2 1 所对应的特征向量可取 为 p1 k 1 , k 0.
n n . A ( ii ) 令 0 （ 1 ） （ 1 ） 1 2 n 1 2 n
n1
n 12
设 n 阶矩阵 A ( a ) 的特征值 ,2 , ,n , A的迹， 称为 ij 1 记为tr(A) 可证明 ( i ) a a a ; 1 2 n 11 22 nn ( ii ) A . a1 1 a1 2 a1n 1 2 n
5.3矩阵特征值和特征向量
5.3方阵的特征值与特征向量 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值和特征向量的性质
1定义 设 A 是 n 阶矩阵 , 如果 存在数λ 和 n 维非零向量 x 使 关系式Ax = λx (1)成立 , 那么 , 这样的数 λ 称为方阵 A 的 特征值 , 非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量 . 说明 1. λ 是A的特征值 ⇔ ∃α ≠ 0, 使 Aα = λα ⇔
−2−λ − 2 1 1 解 A = 0 2 0 特征多项式为 A − λE = 0 − 4 1 3 −4
1 2−λ 1
1 0 3−λ
当 λ2 = λ3 = 2 时 , 解方程 ( A − λE ) x = 0 . 由 0 1 − 4 1 1 得基础 − 4 1 1 r p2 = 1 , p3 = 0 , 0 0 0 , A − 2E = 0 0 0 − 1 4 0 0 0 解系为 − 4 1 1 ∴ 属于 λ2 = λ3 = 2 特征向量 k 2 p2 + k 3 p3 ( k 2 , k3 不同时为零 ) . 说明： 属于同一特征值的特征向量的 说明： 属于同一特征值的特征向量的 非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 仍是属于这个特征值的特征向量． 非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量． 1 − 2 − 2 练习：已知A = − 2 x 0 ，A特征值1,4,−2.求x = ？ 答：x = 2 − 2 0 0
例3
(1)
( 2)
设 λ 是方阵 A 的特征值 , 证明 λ2 是 A2 特征值 ; 1 当 A 可逆时 , 是 A−1 的特征值 .
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值和特征向量的性质
1定义 设 A 是 n 阶矩阵 , 如果 存在数λ 和 n 维非零向量 x 使 关系式Ax = λx (1)成立 , 那么 , 这样的数 λ 称为方阵 A 的 特征值 , 非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量 . 说明 1. λ 是A的特征值 ⇔ ∃α ≠ 0, 使 Aα = λα ⇔
−2−λ − 2 1 1 解 A = 0 2 0 特征多项式为 A − λE = 0 − 4 1 3 −4
1 2−λ 1
1 0 3−λ
当 λ2 = λ3 = 2 时 , 解方程 ( A − λE ) x = 0 . 由 0 1 − 4 1 1 得基础 − 4 1 1 r p2 = 1 , p3 = 0 , 0 0 0 , A − 2E = 0 0 0 − 1 4 0 0 0 解系为 − 4 1 1 ∴ 属于 λ2 = λ3 = 2 特征向量 k 2 p2 + k 3 p3 ( k 2 , k3 不同时为零 ) . 说明： 属于同一特征值的特征向量的 说明： 属于同一特征值的特征向量的 非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 仍是属于这个特征值的特征向量． 非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量． 1 − 2 − 2 练习：已知A = − 2 x 0 ，A特征值1,4,−2.求x = ？ 答：x = 2 − 2 0 0
例3
(1)
( 2)
设 λ 是方阵 A 的特征值 , 证明 λ2 是 A2 特征值 ; 1 当 A 可逆时 , 是 A−1 的特征值 .
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6
0 4 1 2
3
6
2
1
A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
1
,
0
2
2
T 2
T 1
1 1
1
1
0
1
1 2
1
1
0
1 2
1 2
1
再单位化得
1
(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2
(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0
Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6
0 4 1 2
3
6
2
1
A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
1
,
0
2
2
T 2
T 1
1 1
1
1
0
1
1 2
1
1
0
1 2
1 2
1
再单位化得
1
(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2
(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0
第五章 相似矩阵(2)
i的特征向量。因为 P可逆，得 A的n个特征向量线性无关。
(2) 充分性（命题：已知n阶方阵A有n个线性无关的特征 向量，则A相似于）
14
设A有n个线性无关的特征向量 P , P2 ,...Pn , 它们分别属于 1 A的特征值 1，2， n ..., AP A( P , P2 ,...Pn ) ( AP , AP2 ,...APn ) 1 1 (1 P , 2 P2 ,...n Pn ) 1 1 2 ( P , P2 ,...Pn ) 1 P n P 1 AP A相似于对角矩阵
2 1
T X 1 X 2 0 X 1与X 2正交。
20
定理10：设A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵Q，使 1 2 T 1 Q AQ Q AQ ..., , 其中1，2， n为A的特征值
n
1
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
是A-1的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍 是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值
1
,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征 值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向 量， 则X1，X2，Xm线性无关。 证明：采用数学归纳法进行证明 （1）当m=1时，∵X10，所以X1线性无关
令P ( X 1 , 2 ,... n ),则P正交， P 1 AP P T AP 1 0 B 0 1 1 T T T T T T 又( P AP ) P A P P AP T B 0 B 0, B T B , 所以B为n 1阶实对称矩阵，由归纳假设 存在n 1阶正交矩阵P1 , 使 P1 BP1 P1 BP1 diag{2 ,...,n }
第6章矩阵的特征值及特征向量的计算
特征值。 特征值。 当
λ
x
的特征值时， 是矩阵 A 的特征值时，相应的方程组 的特征向量。 ，称为矩阵 A 关于 λ 的特征向量。
(λ I − A) x = 0
的非零解
式及( 式看， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题。 从 ( 6 . 1 ) 式及 ( 6 . 2 ) 式看 ， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题 。 当 很小时（ 这种方法是可行的。 稍大时， 很小时（ 如 n = 2,3,4 ） ，这种方法是可行的。 但当 n 稍大时 ，多项式方 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 本章主要介绍四种目前在计算机上比较常用的计算矩阵的特征值和特征向 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。
程序运行结果： 程序运行结果： Matrix 2.000000 3.000000 10. 10.000000 3.000000 3.000000 6.000000 Max EigenValue 11. 11.000002 Max EigenVector 0.500000 1.000000 0.750000
▪ 反幂法的基本思想
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值和相应的特征向 量的数值计算方法。 可逆， 量的数值计算方法 。 设某 n 阶矩阵 A 可逆 ， λ 和 ν 分别 的特征值和相应的特征向量， 为 A 的特征值和相应的特征向量 ， 并设 λi ≠ 0, i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ， 1 −1 得 A −1 ν = 对 Aν = λ ν 两边同乘 A ， ν ，可见 A 和 A −1 的 λ 特征值互为倒数， 特征值互为倒数 ， 而且 ν 也是 A −1 的特征值 1 λ 的特征向 量。 A −1 的按模最大的特征值正是 A 的按模最小的特征值 的倒数， 的倒数 ， 用幂法计算 A −1 的按模最大的特征值而得到 A 的 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。
λ
x
的特征值时， 是矩阵 A 的特征值时，相应的方程组 的特征向量。 ，称为矩阵 A 关于 λ 的特征向量。
(λ I − A) x = 0
的非零解
式及( 式看， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题。 从 ( 6 . 1 ) 式及 ( 6 . 2 ) 式看 ， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题 。 当 很小时（ 这种方法是可行的。 稍大时， 很小时（ 如 n = 2,3,4 ） ，这种方法是可行的。 但当 n 稍大时 ，多项式方 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 本章主要介绍四种目前在计算机上比较常用的计算矩阵的特征值和特征向 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。
程序运行结果： 程序运行结果： Matrix 2.000000 3.000000 10. 10.000000 3.000000 3.000000 6.000000 Max EigenValue 11. 11.000002 Max EigenVector 0.500000 1.000000 0.750000
▪ 反幂法的基本思想
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值和相应的特征向 量的数值计算方法。 可逆， 量的数值计算方法 。 设某 n 阶矩阵 A 可逆 ， λ 和 ν 分别 的特征值和相应的特征向量， 为 A 的特征值和相应的特征向量 ， 并设 λi ≠ 0, i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ， 1 −1 得 A −1 ν = 对 Aν = λ ν 两边同乘 A ， ν ，可见 A 和 A −1 的 λ 特征值互为倒数， 特征值互为倒数 ， 而且 ν 也是 A −1 的特征值 1 λ 的特征向 量。 A −1 的按模最大的特征值正是 A 的按模最小的特征值 的倒数， 的倒数 ， 用幂法计算 A −1 的按模最大的特征值而得到 A 的 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。