二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质1
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质
二次函数的性质
二次函数02acbxaxy的顶点坐标是（-ab2，abac442），对称轴直线x=-ab2，
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-ab2时，y随x的增大而减小；x＞-ab2时，y随x的增大而增大；x=-ab2时，y取得最小值abac442，即顶点是抛物线的
最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-ab2时，y随x的增大而增大；x＞-ab2时，y随x的增大而减小；x=-ab2时，y取得最大值abac442，即顶点是抛物线的
最高点．
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移ab2个单位，再向上或向下平移abac442个单位得到的．
二次函数上点坐标的特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-ab2，abac442）.
①抛物线是关于对称轴x=-ab2成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函
数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=221xx
【例1】已知212232mxmxmmymm是关于x的二次函数，求出它的解析式，
并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【例2】下列各式中，一定是二次函数的有（）
①y=2x2﹣4xz+3；②y=4﹣3x+7x2；③y=（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2；④y=21x﹣3x+5；⑤y=ax2+bx+c
（a，b，c为常数）；⑥y=（m2+1）x2﹣2x﹣3（m为常数）；⑦y=m2x2+4x﹣3（m为常数）．A．1个B．2个C．3个D．4个【例3】（2017•东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象
衔接教材07 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(解析版)
2021-2022新高一 初高中衔接辅导课程 （解析版）
衔接教材07 二次函数y＝2ax＋bx＋c的图象和性质
知识点讲解
1. 二次函数的三种表示方式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax2＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba，x1x2＝ca，
二次函数顶点式图像性质总结
二次函数顶点式图像性质总结
二次函数性质：a正号说明开口向上，负号说明开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小；c表示抛物线与y轴的交点，图像过（0，c）点。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0(a≠0)
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a).
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|（A为其中一点的横坐标） 当△=0.图象与x轴只有一个交点；
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.
5.抛物线y=ax2+bx+c的最值（也就是极值）：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.
顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值.
二次函数的性质及其图像变化
二次函数的性质及其图像变化
二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。
一、二次函数的定义和一般式
二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的性质
1. 开口方向
二次函数的开口方向由系数a的正负决定。当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 零点
二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。
3. 顶点
二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。
4. 对称轴
二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。 5. 单调性
二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数图像的变化规律
在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。
1. a的变化
当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。当a的符号改变时，图像的开口方向也会改变。
2. b的变化
当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。b的符号改变时，平移方向也会相应改变。
_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
➢ 二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax²的形状相同，位置不同。利用配方法能够将y=ax²+bx+c转化为顶点式，即：
abacabxaacababxabxaacxabxacbxaxy442222222222
➢ 二次函数y=ax²+bx+c的性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 abx2 abx2
顶点坐标 (ab2, abac442) (ab2, abac442)
增减性 当abx2时，y随x的增大而减小；
当abx2时，y随x的增大而增大； 当abx2时，y随x的增大而增大；
当abx2时，y随x的增大而减小；
最值 当abx2时，y有最小值，abacy442 当abx2时，y有最大值，abacy442
例1：已知二次函数4212xxy
1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴
2) 当x取何值时，y随着x的增加而增大？当x取何值时，y随着x的增加而减小？ 知识点二：抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系
抛物线在坐标系内的位置与系数a，b，c的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a，b，c的符号；反过来，由a，b，c的符号能够确定抛物线的大致位置。它们之间的关系如下：
系数 图象的特征 系数的符号
a 开口向上 a>0
开口向下 a<0
b 对称轴为y轴 b=0
对称轴在y轴左侧 a，b同号
对称轴在y轴右侧 a，b异号
c 经过原点 c=0
与y轴正半轴相交 c>0
与y轴负半轴相交 c<0
例2：抛物线cbx2axy经过点(-1, 0)，对称轴l如以下列图所示。则以下结论：①abc>0；②a-b+c=0；③2a+c<0；④a+b<0。其中所有准确的结论是（ ）
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
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◆本节课内容
一、二次函数y=ax2+bx+c
1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：
2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：
二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法
先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法 2 / 19 利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：
（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；
（2）作出二次函数y=ax2的图像；
（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数
y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：
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二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系
注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定
（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法
求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
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◆课堂练习
题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值
1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
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题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围
2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。设t=a+b+1，则t的取值范围是（ ）
y=ax的平方加bx加c的图像和性质
y=ax的平方加bx加c的图像和性质
图像与性质：
y = ax2 + bx + c 是一个经典的二次函数，它可以用来描述平面上一点到另一点之间的距离。它的图像与性质如下：
一、图像特点
1. 当a>0时，y=ax2+bx+c的图像是一个凹曲线，顶点的坐标是(x0,y0)，其中：x0=-b/(2a);y0=ax02+bx0+c;
2. 当a<0时，y=ax2+bx+c的图像是一个凸曲线，顶点的坐标是(x0,y0)，其中： x0=-b/(2a)；y0=ax02+bx0+c;
3. y=ax2+bx+c的图像是一条轴对称曲线，其轴线是x轴；
4. y=ax2+bx+c的图像两端是无限接近的，在（-∞，+∞）范围内恒定有一个极值点；
二、性质
1. 当a>0时，y=ax2+bx+c的图像是一条凹曲线，凹曲线的凹区位于顶点以左右两侧；
2. 当a<0时，y=ax2+bx+c的图像是一条凸曲线，凸曲线的凸区位于顶点以左右两侧；
3. y=ax2+bx+c的图像一定是轴对称曲线；
4. y=ax2+bx+c的图像一定有一个极值点；
5. 对于任意指定的x坐标，图像在该点的切线斜率为2ax+b；
6. 对于任意指定的x坐标，图像在该点的切平面方向为2a；
7. 二次函数图像表示的是在直线上具有最优深度的凹凸曲线，也为凸和凹类函数的最佳表示。
二次函数(一)
二次函数（一）
主讲：黄冈中学数学高级教师 李平友
考点回顾：
1、二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
2、二次函数的图像与性质
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；
（2）抛物线的顶点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为；
（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；
3、二次函数一般有三种形式：
（1）一般式：；
（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为（h，k）；
（3）交点式：，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式．
4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．
考点精讲精练：
1、二次函数y＝－4x2＋2x＋的对称轴是直线__________．
解：
a＝－4，b＝2，c＝，对称轴直线是．
或y＝－4x2＋2x＋＝－4（x－）2＋，所以对称轴直线是．
答案：x＝
变式练习1
1、抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（ ）
A．直线x＝－3 B．直线x＝3
C．直线x＝－2 D．直线x＝2
答案：D
2、二次函数的顶点坐标是（ ）
A.(2，－11) B.（－2，7）
C.（2，11） D. （2，－3）
答案：A
例2、将y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
解：
．
答案：y＝3x2＋18x＋25
变式练习2
1、把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝3(x＋3)2－2 B．y＝3(x＋3)2＋2
C．y＝3(x－3)2－2 D．y＝3(x－3)2＋2
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2 bx c的图像和性质》教学设计
1
《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计
教材依据
人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．
设计思路
一、指导思想
新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。
二、设计理念
本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设2
计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。从而提高课堂教学的效率。
三、教材分析
本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。
四、学情分析
二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，只是像单调性、对称性、零点这种性质还没有规范，课本给出的例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 3
知识卡片-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质
能量储备
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质
了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，一般方法是现将一般式y=ax2+bx+c通过配方化为顶点式y=a（x--h）2+k，然后找出顶点坐标、对称轴，画出图象并观察图象得到它的增减性和最值．
函数
2y(0)axbxca（a,b,c是常数a≠0）
a＞0 a＜0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 24,24bacbaa
对称轴 2bxa直线
增减性 22bxayxbxayx对称轴左侧，即，随增大而减小；对称轴右侧，即，随增大而增大 22bxayxbxayx对称轴左侧，即，随增大而增大；对称轴右侧，即，随增大而减小
最值 224=4bxaacbya最小值当时， 224=4bxaacbya最大值当时， 通关宝典
★ 基础方法点
方法点1：利用抛物线的对称性解题
如果抛物线上两点(x1，m)，(x2，m)的纵坐标相等，那么这两点关于抛物线的对称轴直线x＝x1＋x22对称；反过来，如果两点(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线上的对称点，那么这两点的纵坐标相等，即y1＝y2.
例：如图所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为( )
A．(2，3) B．(3，2) C．(3，3) D．(4，3)
解析：∵ 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴ 点A与点B关于对称轴x＝2对称．又∵ A(0，3)，∴ AB＝4，yB＝yA＝3，∴ 点B的坐标为(4，3)，故选D.
答案：D
方法点2：比较两个二次函数值大小的方法
(1)把自变量直接代入解析式求值．