2017--2018年丰台区高三数学理科期末试题及答案
丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习
高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合2{20}A x x x =--≤，{1,2,3}B =，那么A B =
(A) {1,0,1,2,3}-
(B) {1,0,3}-
(C) {1,2,3}
(D) {1,2}
2．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是 (A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等
(D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，7=
b ，3=
c ，6
π
=
B ，那么a 等于
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 1或4
5．已知函数log ()b y x a =-（b >0且b ≠1）的图象如图所示，那么函数 s i n y a b x =+的图象可能是
x
y 3π
-1-2
O 2π
π
(A)
x
y 3π
O 2π
π
1
2
(B)
x
y
33π
O
2π
π
1
2
(C)
x
y 3πO
2ππ1
2
(D)
6．2018年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有
(A) 18
18A 种
(B)218
218A A 种
(C)2810
31810A A A 种
(D)20
20A 种
x
y
4
-1
321
1O
7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视
图可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
8．在平面直角坐标系xOy 中，如果菱形OABC 的边长为2，点B 在y 轴上，则菱形内（不含边界）的整
点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A) {1，3} (B) {0，1，3} (C) {0，1，3，4} (D) {0，1，2，3，4}
第二部分 （非选择题 共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是A ，B （如图所示），则复数
1
2
z z 的值是 ． 10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果a 1=2，a 3+a 5=22，那么S 3等于 ． 11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．
x
y A B
-1
-1
11O
开始 结束
输出S
a =1，
b =1，S =2
c =a +b S =S +c
是 c >5 否
a =
b b =
c 侧视图
俯视图
12．若变量x ，y 满足条件210,0,,x y x y y k +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
且z x y =+的最大值是10，则k 的值是 ．
13．过点0(3,)M y 作圆O ：221x y +=的切线，切点为N ，如果0=0y ，那么切线的斜率是 ；如果
6
OMN π
∠≥
，那么0y 的取值范围是 ．
14．设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”； ③函数-()2x
f x =是“似周期函数”；
④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k ωπ=∈Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有．．
满足条件的命题序号）
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知函数2()23sin()cos()2cos ()1444
f x x x x πππ
=+
++--，x ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值及相应的x 的值．
16. （本小题共13分）
某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
0.015 0.02 0.025 0.03 0.01
50 60 70 80 90 100 考试成绩（分）
频率 组距
O。
北京市丰台区2017-2018学年第一学期高二期末数学(理)试题(word版含答案)
丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习高二理科数学2018.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．抛物线2=4x y 的焦点坐标为A ．(0,1)B ．(0,1)-C ．(1,0)D ．(1,0)-2．已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，那么命题p ⌝为 A ．10,2x x x ∀>+< B ．10,2x x x ∀≤+< C ．10,2x x x ∃>+<D ．10,2x x x∃≤+<3．已知(2,3,1)AB =，(4,5,3)AC =，那么向量BC =A ．(2,2,2)---B ．(2,2,2)C ．(6,8,4)D ．(8,15,3)4．已知变量x ，y 满足约束条件0,40,0,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩那么2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．65．设命题p ：函数()21f x x =+在R 上为增函数；命题q ：已知非零向量,a b ,若∥a b ，则||||=a a b b ·.下列命题中真命题是A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨6．“||b ≤y x b =+与圆221x y +=有公共点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线2221x y a-=的一条渐近线与直线1y x =+平行，那么该双曲线的焦距为A ．1 BC ．2D．8．如图，圆O 的半径为10，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点.线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹所在曲线是一个椭圆.已知B ，C 是圆O 内另外两个定点，重复上述过程，可得另外两个椭圆. 若||4,||3,||2,OA OB OC ===且记由点,,A B C 确定的椭圆的离心率分别是,,A B C e e e ，则A ．ABC e e e >>B ．A BC e e e <<C ．A B C e e e ==D ．A B C e e e =<9．若点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线1:1l x =-的距离与到直线2:34120l x y -+=的距离之和的最小值是 A ．1B ． 2C ．3D ．410．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)C , (2,2,2)D ，那么该四面体ABCD 的体积为A ．43B ．83C ．163D ．643第二部分 （非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分． 11．直线:210l x y +-=的斜率为_____．12．若“2,1x m x ∀∈≥-+R ”是真命题，则实数m 的最小值为_____．13．过点(2,0)-作圆221x y +=的两条切线,切点分别为A ，B ,则直线AB 的方程为_____．14．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中,异面直线1A B 与1B D 所成角的大小为 .1A15．已知,x y 是非负实数，且满足4x y +=，那么11y x ++的取值范围为 . 16．平面内，到定点(1,0)F 和定直线:1l x =-的距离的和等于常数(2)a a >的点的轨迹是曲线C .给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于x 轴对称； ③ 若点00(,)P x y 在曲线C 上，则022a a x -≤≤. 其中正确命题的序号为 .三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共9分）已知圆224x y +=内有一点0(1,1)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦． （1）当=135α︒时，求弦AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，求直线AB 的方程．18.（本小题共9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且=2PA AB =，点Q 为线段PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）求二面角A PC D --的大小．19.（本小题共9分）设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线l 1与抛物线C 交于M ，N 两点，过点F 作直线l 1的垂线2l 交抛物线C 的准线于点P ．过点P 作y 轴的垂线与直线MN 交于点A. （1）求抛物线C 的准线方程； （2）求证：A 为线段MN 的中点.20.（本小题共9分）已知椭圆C :()222210x y ab a b +=>>过点，若M ，N 是椭圆C 上不同的两点，OMN ∆的面积记为S .（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线ON 方程为y kx =，(2,1)M ，2S =，求k 的值；（3）设直线OM，ON的斜率之积等于14，试证明：无论M，N如何移动，面积S保持不变.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习高二理科数学 参考答案一、选择题（本题共10小题，共40分）二、填空题（本题共6小题，共24分）11．-2 12．1 13．12x =- 14．2π15．1[,5]5 16． ②③（第16题选对满分，漏选给2分，选错不给分）三、解答题（本题共4小题，共36分） 17. （本小题9分）解： （1）因为︒=α135，所以弦AB 所在直线的斜率为1tan -=︒135， (2)分因为直线AB 过点)1,1(0-P ，所以直线AB 的方程为：)1(1--=-x y ，即0=+y x ， ………………4分 因为直线AB 经过圆心，所以弦AB 的长等于圆的直径，即4AB =． ………………5分 （2）因为弦AB 被点0P 平分，所以弦AB 所在直线与直线0=+y x 垂直，设其方程为0=+c y x -，………………7分 因为直线AB 过点)1,1(0-P ， 所以2=c ， ………………8分 所以直线AB 的方程为02=+-y x ． ………………9分18．（本小题9分）解： （1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ， 所以BD PA ⊥， ………………1分 正方形ABCD 中BD AC ⊥，A AC PA = ，⊂AC PA ,平面PAC ， ………………2分 所以BD ⊥平面PAC ． ………………3分（2）正方形ABCD 中AD AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以以点为原点，分别以AP AD AB ,,所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(A ．因为2==AB PA ，所以)0,2,2(),0,2,0(),2,0,0(C D P ，因为点Q 为线段PC 的 中点，所以)1,1,1(Q ，所以)0,0,2(),2,2,0(),1,1,1(=-==DC PD AQ ．………………4分设),,(z y x n =是平面PCD 的法向量，则有0DC n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以⎩⎨⎧=-=0220z y x ，取1=y ，得)1,1,0(=n ， ………………5分因为36,cos =>=<n AQ ， ………………6分 所以直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值等于36． （3）由（1）可知)0,2,2(-=BD 是平面PAC 的法向量，由（2）)1,1,0(=n 是平面PCD 的法向量，因为21,cos =>=<n BD ， ………………8分 由图可知，二面角A PC D --为锐二面角， 所以二面角A PC D --的大小为3π． ………………9分19．（本小题9分） 解：（1）抛物线C 的准线方程为1x =- ………………3分 （2）法1：由题知焦点F 的坐标为(1,0).由题知，要证A 为线段MN 的中点，只需证明点P 与线段MN 中点的纵坐标相等.当直线的斜率不存在时，MN 中点的纵坐标与点P 的纵坐标都等于0，所以纵坐标相等………………5分 当直线的斜率存在时，设直线l 1的方程为()1y k x =-()0k ≠，则由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得2222(24)0k x k x k -++= ………………7分 设()()1122,,,M x y N x y 则MN 中点的纵坐标为()()()121212112=222k x k x k x x y y k k-+-++=-= ………………8分直线2l 的方程()11y x k =--,令1x =-得点P 的纵坐标为2k………………9分 综上，A 为线段MN 的中点.法2：由题知，要证A 为线段MN 的中点，只需证明点P 与线段MN 中点的纵坐标相等.由题知焦点F 的坐标为(1,0)，设22,,,44s t M s N t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0s t ≠，()1,P m -………………5分 由1l ⊥2l 得PF ⊥MN ,即PF MN =0 ………………7分故()()20s t s t m -+-=，显然s t ≠所以2s tm +=………………9分 所以A 为线段MN 的中点. 20．（本小题9分）解：（1）由题知2222a ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ………………2分 所以椭圆C 的方程为22182x y += ………………3分 （2）法1：由22182y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22222841841x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以ON == ………………4分点M 到直线ON的距离d =………………5分所以OMN ∆的面积S 122ON d ====即24410k k ++= 解得12k =-………………6分 法2：设()00,N x y ，直线OM 的方程为20x y -= 点N 到OM的距离d =………………4分所以OMN ∆的面积S002122x y OM d -====………………5分又22004x y +=8，220000008444x y x y x y =+≥≥-所以S 2≤，等号当且仅当002x y =-时，此时0012y k x ==- ………………6分 （3）法1：设直线ON 方程为y kx =，直线OM 方程为14y x k=-由22182y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22222841841x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以N或⎛ ⎝则点N 到直线OM的距离d ==………………7分又点为OM ===8分所以OMN ∆的面积S122OM d === ………………9分所以无论M ，N 如何移动，面积S 保持不变. S 的值为2 法2：椭圆方程为2248x y +=，过,M N 两点的直线l 的方程y kx m =+，其中11(,)M x y ，(,)N x y ，则因为12121212121212()()()OM ONy y kx m kx mk x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===14=-， 所以2241m k =+.则21212||)4]MN x x x x ==+-==，坐标原点到直线:l y kx m =+的距离为d =，所以，1||22OMN S MN d ∆=⋅⋅=， ………………9分 所以无论M ，N 如何移动，面积S 保持不变. S 的值为2.（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2017年北京市丰台区高三年级二模数学(理)试题及复习资料
丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的"条形码粘贴区"贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4.请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折聲、不要破损。
第—部分（选择题共40分）—、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A = {屮 H}, B={A|X>2},那么4U〃 =(A) (2,4)(B) (2t4] (C) [1,-Ho) (D) (2, «oo)2.下列函数屮，既是偶函数又是（0,P）上的增函数的是(A) y = -x3(B) y = 2国1(C) y =(D) y = log3(-r)3.在极坐标系中，点（血上）到直线pcos^-psin^-l = 0的距离等于4-4(B) 72 (C)虫(D) 224.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y = ±^x的是（A）宀冷2 2 2(B) -------- yJ = 1 (C) -- ---- f = 1 (D) y* ------------ = 14 4 4&血药浓度(PhsmaConceiminKm)是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗 作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度利绘低中毒浓度Z 间.已知成人单次服用1单 位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关丁•成人使用该药物的说法中，不正确的个数是• • • ① 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用② 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小丁 2小时，一定会产生药物中毒 ③ 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④ 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 (A) 1 个(B 〉2 个(C) 3 个(D) 4 个第二咅B 分(非选择题共110分)5. (A) -(C) -6. 一个几何体,且 Ac{1,2,3,4,5},(C) 12俯视图若S(A)能被3整除，则符合条件的非己知向量“= ,方=(JL-i ),则“0的夹角为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在复平面内，复数巴对应的点的坐标为.i10.执行右图所示的程序框图，若输入x的值为6,则输出的X值为.11.点4从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点3,若点Bi£ZAOB = a,则sin2a=.5 5y > 1»12.若x, y满足且z = x2 + y2的最人值为10,x + y <m^则m =・13.已知函数/(x)的定义域为R•当xvO时，/(x) = ln(-.x) + x；当时，/(-x) = -/(x)；当X>1 时，/(x+2) = /(x),则/(8)=14.己知O为△ABC的外心，且BOiBA + “BC.①若ZC = 9(f,则几+ “ =②若ZABC = 60°,则/1 +“的最大值为_______________三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 的坐标是-e<x<e15.(本小题共13分)在锐角AABC中，2asmB = h.（I ）求ZA的大小：（II）求>5sin B -cos（C + -）的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A,5C,D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调査了15 位顾客（记为q,i = l,2,3,L ,15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（I）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品4的月销售S（单位:件）：（II）为推广新产品，超山•向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X,求随机变昂X的分布列和数学期卑：（III）若某顾客己选中产品为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需耍证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形ABCQ为等腰梯形，陋〃CD、AB = 2AD=2 » ZDAB=60\ 四边形CDEF 为正方形，平［fri CDEF丄平［ft ABCD.（I）若点G是棱佔的中点，求证：EG 〃平面BDF:（II）求直线肚与平面所成角的正弦值：18. (本小题共13分)已知函数 f(x) = e x-ahix-a . (I) 当a = e 时,求曲线y = f(x)在点(1,/(1))处的切线方程：(II)证明：对于Vae(O,e), /(x)在区间(-,1)±有极小值，且极小值大于0.19. (本小题共14分)3已知椭闘E 的右焦点与抛物线y 2 = 4x 的焦点重合，点M(l,扌)在椭圆E 上. (I )求椭圆E 的方程；(II )设P(-4,0),直线y =恋+ 1与椭圆E 交于A.B 两点，若直线PA, PB 均与圆 x 2 + / = r 2(r>0)相切，(Ill)在线段FC 上是否存在点使平而BDF 丄平而/MD?若存在，求竺 存在，说明理由.的值: 若不求R的值.20.（本小题共13分）若无穷数列｛〜｝满足：3A*eN\对丁•FfgeN）都有（其中d为常数）,则称｛%｝具有性质“ P（k,gd）”・（I）若｛舛｝具有性质"P（3,2,0）”，且冬=3, a4=5, a6+a7+a g = 18 ,求①：（II）若无穷数列｛%｝是等差数列，无穷数列｛q｝是公比为正数的等比数列,*=5=2,^ = q = 8,①=0+C",判断｛“”｝是否具有性质“P（2,l,0）”，并说明理由；（III）设｛©｝既具有性质“ P（i,2,dJ”，又具有性质“卩（丿；2,必）”，其中i, jwZ, i<j, i,j 互质，求证：⑷具有性质“P。
2017-2018年高三上学期丰台区数学(文)期末试题及答案文档-(2)
北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学（文）试题第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分,共40分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A 1,0,1 , B x||x=1，则 AI B （）A.1 B . 1 C .1,1 D .1,0,12•“ x 2 ”是 “ log 2X 0 ”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为-3.7，则输出的y 值是（）A. -0.7 B4. 若x, y 满足 A. -2 Br5. 已知向量ay yor bc r 4a.0.7 D . 3.7x 2y的最大值是（）1 D . 2r r4,2，则向量a与b的夹角为（）那么在35~50岁年龄段应抽取 人.2 A. _ B . - C4 3 346.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（AF第n 卷（共110分）A. 3 B 2 ... 2 C . ... 5 D . 27.已知抛物线4x 的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则A. 1 B2&全集Ux, y 内形成的图形关于x A.若 1,3 S ,则 B.若 0,0 S ，则 C.若 0,4S ，则 D.若 x, yx yx Z, y Z ,1, 3 S非空集合S U ，且S 中的点在平面直角坐标系 xOyy x 均对称.下列命题:S 中元素的个数一定为偶数 S 中至少有8个元素4,x 乙 y Z S ，则 x, yy 4,x二、填空题（每题 5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9. 复数z — 在复平面内所对应的点在第1 i10. 某单位员工中年龄在 20~35岁的有180人，35~50岁的有108人,象限.50~60岁的有72人.为了解该单位员工的日常锻炼情况，现采用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行调查,轴、y 轴和直线11.已知sin的值是三、解答题 (本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )15•在 ABC 中，、.3sin2B 2sin 2B .(I)求角B 的值；(n)若a 4 , b 2 J ，求c 的值.16•在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 底面ABCD , E, F 分别是PB, PD 的中点，PA AD .(I)求证：EF // 平面 ABCD ; (n)求证：AF 平面PCD ;(川)若 AD 4 , CD 2，求三棱锥E ADF 的体积..12.已知直线 x 2y 1 0和圆1交于A,B 两点，则AB 13.能够说明 "方程m 1 x 2m 1 3 m 的曲线不是双曲线”的一个m，贝U cos14 .设函数f X X R 的周期是3，当x 2,1 时，f xx a, 2 xx丄，0 x20, 1.②若f x 有最小值，且无最大值，则实数a 的取值范围是那么在35~50岁年龄段应抽取人.17．等差数列中，a2 5 ，a1 a412，等比数列b n 的各项均为正数，且满足a nb n b n 1 2a n.(I)求数列的通项公式及数列b n的公比q ；a n(n)求数列ab n的前n项和S n.n18．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017 年12 月，该校“慈善义工社” 为学生提供了 4 次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动为了解学生实际参加这 4 次活动的情况，该校随机抽取100 名学生进行调查，数据统计如下表，其中"V”表示参加，"x”表示未参加.(I)从该校所有学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；(n)若在已抽取的100名学生中，2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人，求a, b的值；(川)若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分，试估计该校4000名学生中，2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数.2 219. 已知椭圆C:笃爲1 a b 0的左、右焦点分别是RE，点B 0,、、3在椭圆Ca b上，F1BF2是等边三角形.(I)求椭圆C的标准方程；(n)点A在椭圆C上，线段AF1与线段BF2交于点M，若MF J F2与AF| F2的面积之比为2 :3，求点M的坐标.20. 已知函数f x a21nx x2ax a R .(I)求函数f x的单调区间；(n)当a 0时，若f x在1,e上有零点，求实数a的取值范围.2018.01丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习高三数学(文科)答案及评分参考、选择题1-4:CABD5-8QACC_填空题、9. —. 10.611 」1012. 213.1m 3之间的数即可141,522三、解答题15•解：（I）因为、、3sin2B 2sin2 B , 所以2、、3S in BcosB 2sin 2 B .因为0 B ，所以sinB 0 ,所以tan B .3 ,所以B .32(n)由余弦定理可得2-、7 42c22 4 c cos—,3 所以c2 4c 12 0,解得c 6或c 2 (舍)•解得c 6.16•解：(I)证明：连接BD ,因为E,F分别是PB,PD的中点，所以EF // BD .又因为EF 平面ABCD , BD 平面ABCD ,所以EF //平面ABCD.(n)证明：因为PA AD , F为PD中点.所以AF PD .又因为ABCD是矩形，所以CD AD .因为PA 底面ABCD , 所以 PACD .因为 PAI AD A , 所以 CD 平面 PAD . 因为 AF 平面 PAD ,所以 CD AF .又因为PDI CD D , 所以AF 平面PCD .（川）由（n ）知 CD 平面PAD . 因为 AB // CD , 所以AB 平面PAD . 因为点E 是PB 的中点,1所以点E 到平面AFD 的距离等于丄AB .2因为数列 b n 的各项均为正数，所以 q 2.(n)因为 b n b n 122n 13令 n 1，得 bib z2 ,所以V E ADF1S ADF £ AB3 2 1413即 V E ADF 17•解:）设等差数列a n 的公差为依题意53d 12’解得所以a n2n 1设等比数列 0由 b n b n 1 22n 1，得 b n 10 2?2n 3b n 1b n 2 b n因为江斗匸q 2，且 b n b n 1 b nb n 1bn 2b n b n 1^2n 32_ ?2n 124，所以q 4.23因为 Dd dbq 2b 1 2 ,所以 b, 2，所以 b n 2 2n 12n .所以 S na ,ba 2b 2L a nb n a , a 2 La nb , b 2 L b nn3 2n 1 n212.o2n 2 2.2 1 2所以 S n n 2 2n 2n 1 2.为事件A ，20 30 1 100 2所以估计该校4000名学生中，12月获得的公益积分不少于 30分的人数约为1080人. 19•解：（I ）由题意B 0,是椭圆C 短轴上的顶点， 所以b -,3 , 因为 F 1BF 2是正三角形, 所以F 1F 22，即c 1.由 a 2 b 2 c 2 4，所以 a 2.所以椭圆C 的标准方程是—118•解：（I ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动”2017年12月恰有2次参加公益活动的概率为-.2（n ）依题意a b 1310 a b 17’a 10 所以.b 3（川）4000 12 15100 1080.1.所以从该校所有学生中任取一人，其(U)设 M X o ,y ° , A X A 』A ，依题意有 x o 0, y 0, X A 0, y 0.2 y0，即23x 0 1因为线段AF 1与线段BF 2交于点 所以x 1，所以x 右 因为直线BF 2的方程为y 3 xa 2 ax 2x 2将X 0 15代入直线BF 2的方程得到8；勺y石所以点M 的坐标为 —8J 315' 1520.解：（I ）函数f X的定义域为0,,因为S MF 1F 22 ■3 S AF 1F 2，所以 3X 0 1 ARF 2 X A 1 -，且如 -3yA3因为点A 在椭圆上，所以 2 2 X A yA41.2所以15x 022X 0 7 0，解得 X 0或X 07_152X由f x 0得x a或x .2当a 0时，f x 0在0, 上恒成立，所以f x的单调递减区间是0, ，没有单调递增区间当a 0时，x, f x , f x的变化情况如下表：所以f x的单调递增区间是0,a，单调递减区间是a,当a 0时，x, f x x的变化情况如下表:所以f x的单调递增区间是0,旦，单调递减区间是2(n)当a 0时，f x的单调递增区间是0,a，单调递减区间是a,所以f x 在1,e 上有零点的必要条件是fa 0 , 2 即 a 2 In a 0 ，所以a 1.而f 1 a 1,所以f 1 0.若a 1， f x 在1,e 上是减函数, f 1 0，f x 在1,e 上没有零点 若a 1， f 1 0， f x 在 1,a 上是增函数，在 a, 上是减函数， 所以f x 在 1,e 上有零点等价于 f e 0 1 a ea 2 e 2 ea 0 " + .5 1 e 即 ，解得1 a -1 a e 2综上所述，实数a 的取值范围是 1厂所以f x在1,e上有零点的必要条件是fa 0 ,爲1 e2。
2018届丰台区高三数学(理)期末试题及答案
丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1 2.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下 面程序框图计算该数列的第2016项，则判断 框内的条件是（A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A ）21- （B ）2+1 （C ）2 （D ）2 5.函数()=sin 2+3cos2f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是 （A ）23π （B ）712π （C ） 76π（D ）43π6. 若212x a dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b +=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为 （A ）32 （B ）12 （C ）22（D ）33？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷及答案
丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习高三数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1A =-，{}=1B x x =，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-2．“2x >”是“2log 0x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为-3.7，则输出的y 值是（）A ．-0.7B ．0.3C ．0.7D ．3.74．若,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知向量()1,1a =r ，()44,2a b +=r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）A ．3B ．．27．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则AF =（ ） A ．1 B ．32 C ．3 D ．6 8．全集(){},,U x y x y =∈∈Z Z ，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.下列命题：A ．若()1,3S ∈，则()1,3S --∈B ．若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数C ．若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素D ．若(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，则(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数i 1iz =-在复平面内所对应的点在第 象限． 10．某单位员工中年龄在20~35岁的有180人，35~50岁的有108人，50~60岁的有72人.为了解该单位员工的日常锻炼情况，现采用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行调查，那么在35~50岁年龄段应抽取 人．11．已知4sin 5α=，2παπ<<，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 12．已知直线210x y --=和圆()2211x y -+=交于,A B 两点，则AB = ．13．能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线不是双曲线”的一个m 的值是 ．14．设函数()()f x x ∈R 的周期是3，当[)2,1x ∈-时，(),20,1,0 1.2x x a x f x x +-≤<⎧⎪=⎨⎛⎫≤< ⎪⎪⎝⎭⎩ ①132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②若()f x 有最小值，且无最大值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC ∆222sin B B =．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若4a =，b =c 的值.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,PB PD 的中点，PA AD =.（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）若4AD =，2CD =，求三棱锥E ADF -的体积..17．等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，等比数列{}n b 的各项均为正数，且满足12n a n n b b +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的公比q ；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .18．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.（Ⅰ）从该校所有学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅱ）若在已抽取的100名学生中，2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人，求,a b 的值；（Ⅲ）若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分，试估计该校4000名学生中，2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点(B 在椭圆C 上，12F BF ∆是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点A 在椭圆C 上，线段1AF 与线段2BF 交于点M ，若12MF F ∆与12AF F ∆的面积之比为2:3，求点M 的坐标.20．已知函数()()22ln f x a x x ax a =-+∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题1-4:CABD 5-8:DACC二、填空题9．二 10．6 11．1012．2 13．13m ≤≤之间的数即可 14．2，51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题15．解：222sin B B =，所以2cos 2sin B B B =.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以tan B =所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理可得(222424cos 3c c π=+-⋅⋅⋅， 所以24120c c --=，解得6c =或2c =-（舍）.解得6c =.16．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为,E F 分别是,PB PD 的中点，所以EF BD ∥.又因为EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD .（Ⅱ）证明：因为PA AD =，F 为PD 中点.所以AF PD ⊥.又因为ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又因为PD CD D =I ，所以AF ⊥平面PCD .（Ⅲ）由（Ⅱ）知CD ⊥平面PAD .因为AB CD ∥，所以AB ⊥平面PAD .因为点E 是PB 的中点，所以点E 到平面AFD 的距离等于12AB .所以1114413233E ADF ADF V S AB -∆⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭， 即43E ADF V -=. 17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意1115312a d a a d +=⎧⎨++=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩. 所以21n a n =+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由2112n n n b b ++=，得23122n n n b b +++=. 因为21221n n n n n n b b b q b b b ++++==，且2312211242n n n n n n b b b b +++++==，所以24q =. 因为数列{}n b 的各项均为正数，所以2q =.（Ⅱ）因为2112n n n b b ++=，令1n =，得3122b b =，因为231211122b b b b q b ===，所以12b =，所以1222n n n b -=⋅=.所以()()()1122n n n S a b a b a b =++++++=L ()()1212n n a a a b b b +++++++L L()()212321212n n n ⋅-++⋅=+=-21222n n n +++-. 所以21222n n S n n +=++-.18．解：（Ⅰ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动”为事件A ， 则()203011002P A +==.所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动的概率为12. （Ⅱ）依题意131017a b a b +=⎧⎨+-=⎩，所以103a b =⎧⎨=⎩. （Ⅲ）121540001080100+⨯=. 所以估计该校4000名学生中，12月获得的公益积分不少于30分的人数约为1080人.19．解：（Ⅰ）由题意(B 是椭圆C 短轴上的顶点，所以b =因为12F BF ∆是正三角形， 所以122F F =，即1c =.由2224a b c =+=，所以2a =. 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=.（Ⅱ）设()00,M x y ，(),A A A x y ，依题意有00x >，00y >，0A x >，0A y >. 因为121223MF F AF F S S ∆∆=，所以01213A x x +=+，且023A y y =， 所以0312A x x +=，032A y y =，即00313,22x A y +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为点A 在椭圆上，所以22143A A x y +=，即220031322143x y +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. 所以200152270x x -+=，解得01x =，或0715x =. 因为线段1AF 与线段2BF 交于点M ，所以01x <，所以0715x =. 因为直线2BF的方程为)1y x =-， 将0715x =代入直线2BF的方程得到0y =. 所以点M的坐标为715⎛ ⎝⎭. 20．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222a x a x a ax x f x x x-++-'==. 由()0f x '=得x a =或2a x =-. 当0a =时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间. 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞.当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）当0a >时，()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 所以()f x 在()1,e 上有零点的必要条件是()0f a ≥，即2ln 0a a ≥，所以1a ≥.而()11f a =-，所以()10f ≥.若1a =，()f x 在()1,e 上是减函数，()10f =，()f x 在()1,e 上没有零点. 若1a >，()10f >，()f x 在()1,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数， 所以()f x 在()1,e 上有零点等价于()e 01ef a <⎧⎪⎨<<⎪⎩， 即22e e 01e a a a ⎧-+<⎨<<⎩，解得)1e12a <<. 综上所述，实数a的取值范围是)1e 1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.。
北京市丰台区高三上学期期末考试——数学理(数学理)
北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线4．若满足1,1,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则的最大值是（）A．-2 B．-1 C．1 D．25．执行如图所示的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的属于（）A． B． C． D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A ．2B ．C ．D ．37．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．8．全集(){},,U x y x y =∈∈Z Z ，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：①若，则；②若，则中至少有8个元素；③若，则中元素的个数一定为偶数；④若(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，则(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z .其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知单位向量的夹角为120°，则 ．10．若复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 ．11．在的展开式中，项的系数是 （用数字作答）．12．等差数列的公差为2，且成等比数列，那么 ，数列的前9项和 ．13．能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是 ．14．已知函数()sin ,0,,x x x f x x ππ<<⎧⎪=≥()()()g x f x kx k =-∈R .①当时，函数有个零点；②若函数有三个零点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在中，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求的值.16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为，求随机变量的分布列和数学期望.17．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知函数()()22ln f x x ax a x a =--∈R . （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.19．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．在数列中，若是整数，且1212121253,,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---------⋅⎧⎪=⎨-⋅⎪⎩为偶数，为奇数（，且）. （Ⅰ）若，，写出的值；（Ⅱ）若在数列的前2018项中，奇数的个数为，求得最大值；（Ⅲ）若数列中，是奇数，，证明：对任意，不是4的倍数.丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01高三数学（理科）答案及评分参考一、选择题1-4:CABD 5-8:ADCC二、填空题9． 10．1 11．-4012．2，90 13．(]{}[),123,m ∈-∞+∞U U 中任取一值即为正确答案 14．1，⎛ ⎝⎦三、解答题15．解：（Ⅰ）因为，所以2cos 2sin B B B =.因为，所以，所以，所以.（Ⅱ）由，，，得.解得. 由余弦定理可得22246246cos 283b π=+-⨯⨯⨯=，解得.16．解：（Ⅰ）依题意，所以.因为()1001220153010310a =-+++++=，所以，.（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件，则.所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为. （Ⅲ）可取0,10,20,30,40.()300.03100P X ===；()20100.2100P X ===； ()50200.5100P X ===；()12300.12100P X ===； ()15400.15100P X ===. 所以随机变量的分布列为：所以()00.03100.2200.5300.12400.1521.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.17．解：（Ⅰ）证明：取中点，连接.因为分别是的中点，所以，且.因为是矩形，是中点，所以，.所以为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，所以，.因为四边形是矩形，所以.如图建立直角坐标系，所以E ⎫⎪⎪⎝⎭，F ⎫⎪⎪⎝⎭，，所以，2,02DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r .设平面的法向量为，因为00n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r，所以0202y z x y +=⎧-=⎪⎩.令，所以1z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩. 又因为，设与平面所成角为， 所以sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅===⋅uu u r r uu u r r uu u r r . 所以与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）因为侧棱底面，所以只要在上找到一点，使得，即可证明平面平面.设上存在一点，则)[](),00,2Mt t ∈， 所以.因为2,0ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，所以令，即，所以.所以在存在一点，使得平面平面，且.18．解：（Ⅰ）函数的定义域为，()()()2222x a x a x ax a f x x x-+--'==. 由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即. 所以222ln 0422a a a a ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，所以. 综上所述，实数的取值范围是.19．解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.设与平行，且与抛物线相切的直线为， 由242y x m y x b ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得， 由得，所以，所以点. 当，即时，直线的方程为2224444m m m y m x m m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-， 整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.20．解：（Ⅰ），，.所以，，.（Ⅱ）（i）当都是偶数时，是偶数，代入得到是偶数；因为是偶数，代入得到是偶数；如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…所以前2018项中共有0个奇数.（ii）当都是奇数时，是奇数，代入得到是偶数；因为是偶数，代入得到是奇数；因为是偶数，代入得到是奇数；如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…所以前2018项中共有1346个奇数.（iii）当是奇数，是偶数时，理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.（iv）当是偶数，是奇数时，理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.综上所述，前2018项中奇数的个数的最大值是1346.（Ⅲ）证明：因为是奇数，所以由（Ⅱ）知，不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况.因为是奇数，且，所以也是奇数.所以为偶数，且不是4的倍数.因为，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数，使得是4的倍数，则均为奇数，所以一定是偶数，由于，且，将这两个式子作和，可得.因为是4的倍数，所以也是4的倍数，与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.所以假设不成立，即对任意，不是4的倍数.。
北京丰台区2018届高三数学上学期期末试题文科带解析
北京丰台区2018届高三数学上学期期末试题（文科带解析）丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习高三数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为-3.7，则输出的值是（）A．-0.7B．0.3C．0.7D．3.74．若满足则的最大值是（）A．-2B．-1C．1D．25．已知向量，，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A．3B．C．D．27．已知抛物线的焦点为，点在轴上，线段的中点在抛物线上，则（）A．1B．C．3D．68．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：A．若，则B．若，则中元素的个数一定为偶数C．若，则中至少有8个元素D．若，则第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数在复平面内所对应的点在第象限．10．某单位员工中年龄在20~35岁的有180人，35~50岁的有108人，50~60岁的有72人.为了解该单位员工的日常锻炼情况，现采用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行调查，那么在35~50岁年龄段应抽取人．11．已知，，则．12．已知直线和圆交于两点，则．13．能够说明“方程的曲线不是双曲线”的一个的值是．14．设函数的周期是3，当时，①；②若有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在中，．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的值.16．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积17．等差数列中，，，等比数列的各项均为正数，且满足.（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的公比；（Ⅱ）求数列的前项和.18．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.（Ⅰ）从该校所有学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅱ）若在已抽取的100名学生中，2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人，求的值；（Ⅲ）若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分，试估计该校4000名学生中，2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数.19．已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点在椭圆上，线段与线段交于点，若与的面积之比为，求点的坐标.20．已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题1-4:CABD5-8:DACC二、填空题9．二10．611．12．213．之间的数即可14．，三、解答题15．解：（Ⅰ）因为，所以.因为，所以，所以，所以.（Ⅱ）由余弦定理可得，所以，解得或（舍）.解得.16．解：（Ⅰ）证明：连接，因为分别是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）证明：因为，为中点. 所以.又因为是矩形，所以.因为底面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以平面.（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面.因为，所以平面.因为点是的中点，所以点到平面的距离等于.所以，即.17．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为. 依题意，解得.所以.设等比数列的公比为，由，得.因为，且，所以.因为数列的各项均为正数，所以.（Ⅱ）因为，令，得，因为，所以，所以.所以.所以.18．解：（Ⅰ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动”为事件，则.所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动的概率为.（Ⅱ）依题意，所以.（Ⅲ）.所以估计该校4000名学生中，12月获得的公益积分不少于30分的人数约为1080人.19．解：（Ⅰ）由题意是椭圆短轴上的顶点，所以，因为是正三角形，所以，即.由，所以.所以椭圆的标准方程是.（Ⅱ）设，，依题意有，，，.因为，所以，且，所以，，即.因为点在椭圆上，所以，即.所以，解得，或.因为线段与线段交于点，所以，所以.因为直线的方程为，将代入直线的方程得到.所以点的坐标为.20．解：（Ⅰ）函数的定义域为，.由得或.当时，在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 所以在上有零点的必要条件是，即，所以.而，所以.若，在上是减函数，，在上没有零点. 若，，在上是增函数，在上是减函数，所以在上有零点等价于，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
丰台区2018届高三期末数学(理)试题及答案(官方版)
丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2018.01第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{101}A =-，，，2{|1}B x x =<，则A B =U (A) {11}-，(B) {101}-，，(C) {|11}x x -≤≤(D) {|1}x x ≤（2）“1x >”是“21x >”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（3）在极坐标系Ox 中，方程sin ρθ=表示的曲线是(A) 直线(B) 圆(C) 椭圆(D)双曲线（4）若x ，y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，，， 则2z x y =-的最大值是(A) 2- (B) 1- (C) 1(D) 2（5）执行如图所示的程序框图，如果输入的x 的值在区间[2 1.5)--，那么输出的y 属于(A) [00.5)， (B) (00.5]， (C) (0.51]，(D) [0.51)，（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为(A) 2 (B)(C) (D) 3否是开始 结束输入xx=x+1by=xx ≥0?输出y（7）过双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OF OA 21=，则此双曲线的离心率为 (A)2 (B)3 (C) 2(D)5（8）全集={()|}U x y x y ∈∈Z Z ，，，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称．下列命题：①若(13)S ∈，，则(13)S --∈，； ②若(04)S ∈，，则S 中至少有8个元素； ③若(00)S ∉，，则S 中元素的个数一定为偶数； ④若{()|4}x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，，，，则{()|||||4}x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，，，． 其中正确命题的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018届北京市丰台区高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习高三数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2. “”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】可得当时，必有成立；当成立时，不一定有成立所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.3. 在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】B【解析】方程，可化简为：，即.整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B.4. 若满足则的最大值是（）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】画出不等式组的可行域如图所示：可变形为：斜率为，，平移该直线，当直线经过点时，最小，最大.此时. 故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的属于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】执行程序框图：输入的，则不满足，执行；不满足，执行.故选A.6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：面ABC，△ABC中，，边上的高为2，所以.该三棱锥最长的棱的棱长为.故选D.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.根据题意有：，即离心率.故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．8. 全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：①若，则；②若，则中至少有8个元素；③若，则中元素的个数一定为偶数；④若，则.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.所以当，则有，，，进而有：，，，①若，则，正确；②若，则，，，能确定4个元素，不正确；③根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，，，即，故正确，综上：①③④正确.故选C.点睛：点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；（2）对称：①变为，则图象关于y轴对称；②变成，则图象关于x轴对称；③变成，则图象关于原点对称；④变成，则将x轴正方向的图象关于y轴对称；⑤变成，则将x轴下方的图象关于x轴对称.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知单位向量的夹角为120°，则__________．【答案】【解析】单位向量的夹角为120°，所以.所以.答案为：.10. 若复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数__________．【答案】1【解析】复数,在复平面内所对应的点在虚轴上，所以，解得.答案为：1.11. 在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．【答案】【解析】的展开式的通项为：.令，得.答案为：-40.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.【答案】(1). 2(2). 90【解析】∵成等比数列,∴，∴(+3×2)2=(+2)⋅(+7×2)，解得=2.∴则，13. 能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是__________．【答案】【解析】方程，当或3时，曲线不是椭圆；当且时，化简为：，当或或，即或或，曲线不表示椭圆.综上：当时，“方程的曲线是椭圆”为假命题答案为：.14. 已知函数.①当时，函数有__________个零点；②若函数有三个零点，则的取值范围是__________．【答案】(1). 1(2).【解析】①当时，时，,得，即；时，，无解，综上：当时，函数有1个零点；②当时，，得，时，有两个根；当时，，得时有一个根，综上：时函数有三个零点.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 在中，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角公式化简得，进而得；（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将条件代入求得，，进而利用余弦定理即可得的值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.因为，所以，所以，所以.（Ⅱ）由，，，得.解得.由余弦定理可得，解得.16. 某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）（Ⅲ）21.6【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，及学生人数和为100，即可求解的值；（Ⅱ）将表格中参加了2次学校组织的公益活动的频率作为概率估计即可；（Ⅲ）可取0,10,20,30,40，分别计算概率得分布列，利用期望公式求解期望即可.试题解析：（Ⅰ）依题意，所以.因为，所以，.（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件，则.所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为. （Ⅲ）可取0,10,20,30,40.；；；；.所以随机变量的分布列为：所以.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.17. 在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）在存在一点，使得平面平面，且.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理得，，所以为平行四边形，进而可证平面；（Ⅱ）建立直角坐标系，，求解平面的法向量为，设与平面所成角为，利用求解即可；（Ⅲ）设上存在一点，则，令，求解即可.试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接.因为分别是的中点，所以，且.因为是矩形，是中点，所以，.所以为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，所以，.因为四边形是矩形，所以.如图建立直角坐标系，所以，，，所以，.设平面的法向量为，因为，所以.令，所以，所以.又因为，设与平面所成角为，所以. 所以与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）因为侧棱底面，所以只要在上找到一点，使得，即可证明平面平面.设上存在一点，则，所以.因为，所以令，即，所以.所以在存在一点，使得平面平面，且.18. 已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（Ⅱ）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即.所以，所以.综上所述，实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .19. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为. （Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线过定点.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义可得得方程；（Ⅱ）设，则，与抛物线相切的直线为，与抛物线联立得，由得，得点，进而求出直线AD的方程即可得定点.试题解析：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.设与平行，且与抛物线相切的直线为，由得，由得，所以，所以点.当，即时，直线的方程为，整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.20. 在数列中，若是整数，且（，且）.（Ⅰ）若，，写出的值；（Ⅱ）若在数列的前2018项中，奇数的个数为，求得最大值；（Ⅲ）若数列中，是奇数，，证明：对任意，不是4的倍数.【答案】(1) ，，.(2) 前2018项中奇数的个数的最大值是1346.(3)详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）将，代入递推关系求解的值即可；（Ⅱ）讨论都是偶数时，都是奇数时，是奇数，是偶数时，是偶数，是奇数时四种情况即可得解；（Ⅲ）由是奇数，分析得前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数，使得是4的倍数，则均为奇数，所以一定是偶数，结合递推关系即可推出矛盾，进而得证.试题解析：（Ⅰ），，.所以，，.（Ⅱ）（i）当都是偶数时，是偶数，代入得到是偶数；因为是偶数，代入得到是偶数；如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…所以前2018项中共有0个奇数.（ii）当都是奇数时，是奇数，代入得到是偶数；因为是偶数，代入得到是奇数；因为是偶数，代入得到是奇数；如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…所以前2018项中共有1346个奇数.（iii）当是奇数，是偶数时，理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.（iv）当是偶数，是奇数时，理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数.综上所述，前2018项中奇数的个数的最大值是1346.（Ⅲ）证明：因为是奇数，所以由（Ⅱ）知，不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况.因为是奇数，且，所以也是奇数.所以为偶数，且不是4的倍数.因为，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数，使得是4的倍数，则均为奇数，所以一定是偶数，由于，且，将这两个式子作和，可得.因为是4的倍数，所以也是4的倍数，与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.所以假设不成立，即对任意，不是4的倍数.10．1 11．-4012．2，90 13．中任取一值即为正确答案 14．1，。