数学：1.2.1《排列》课件(新人教A版选修2-3) (2)
人教a版数学【选修2-3】1.2.2《组合1》ppt课件
第一章
1.2
1.2.2
第1课时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
3． 从 5 本不同书中取出 2 本并成一组和取出 3 本并成一组 的组合数相同吗？为什么？ 4．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组
m 合数 Cn ＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
组合数公式
思维导航 2．组合的本质是取出的 m 个元素不讲究顺序，也就是说 元素没有位置的要求，因此这 m 个元素的全排列数只对应组合
m 数中的一个， 由此你能得出求 Cn 的计算公式吗？你能不用列举
数数的方法求出前面 3 个问题中的票价种数、积的个数、线段 条数吗？
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
牛刀小试 1．C2 n＝10，则 n 的值为( A．10 C．3
[答案] B
) B．5 D．4
nn－1 [解析] 由题意得 2 ＝10， 解得 n＝5 或 n＝－4(舍去)，故选 B.
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
2．从 9 名学生中选出 3名参加“希望英语”口语比赛，有
( )种不同选法．( A．504 C．84 [答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C3 9＝ 9×8×7 ＝84 种选法． 3×2×1
高中数学人教A版选修2-3教案：1.2.1排列第一课时 Word版含解析
1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)． 说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。
高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3 (2)
第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.组合数公式乘积形式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘形式C m n＝n！m！(n－m)！性质C m n＝C n－mnC m n＋1＝C m n＋C m－1n备注规定C0n＝11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( √)3．C 35＝5×4×3＝60.( × ) 4．C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( √ )类型一 组合概念的理解 例1 给出下列问题：(1)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C 29＝36(种)．类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C 410－C 37·A 33； 考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ， 左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 018－1D ．C 52 017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017－1＝… ＝C 42 017＋C 32 017－1＝C 42 018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－312，则n等于( )A．3 B．5 C．3或5 D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 C解析 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)组合数的两个性质： 性质1：C mn ＝C n －mn ； 性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .一、选择题1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算 答案 D解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C mn ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，两者不相等，故D 错误．4．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B解析 由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种C．C310A310种D．30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A．24种B．10种C．12种D．9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．115 B．90 C．210 D．385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A．15 B．7 C．6 D．0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．二、填空题9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.考点 组合的概念题点 组合的判断答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 60解析 根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)． 11．不等式C 2n －n <5的解集为________．考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题答案 {2,3,4}解析 由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，即n 2－3n －10<0，解得－2<n <5.由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4，故原不等式的解集为{2,3,4}．三、解答题12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．考点 组合数公式题点 组合数公式的应用解 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！， 整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．四、探究与拓展14．以下三个式子：①C mn ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____． 考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C mn ÷C m ＋1n ＝C m n C m ＋1n ＝A mn ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。
高中数学 1.2.2.1 组合与组合数公式课件 新人教A版选修23
2.题(2)证明的关键是什么？
第十九页，共43页。
【探究提示】1.选用组合数公式的乘积式，
即
Cmn
A mn A mm
n(n－1)(n－2)…(n－m 1) . m!
2. 有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组合数
的阶乘( jiē chénɡ)式形式作答.
第二十页，共43页。
【自主(zìzhǔ)解答】(1)原C式140－＝A37＝140392－8717×6×5 ＝210－210＝0.
【证明】右边=
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m
!
n!
m!n－m
!
Cnm
,
左边= Cmn ,所以左边=右边,所以原式成立.
第二十二页，共43页。
【方法技巧】关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m !
第十三页，共43页。
知识点2 组合数与组合数公式 1.组合数公式的两种形式的适用范围
形式
适用范围
乘积式
含具体数字的组合数的求值
要注阶意乘性式质(xìngzhì)含字母的组合的数顺的用有、关逆变用形、变及形证用明.顺用是将一
个组合数拆成两Cmn个1 ；C逆nm用 则Cnm是－1“合二为一”；变形式
=
(2)
C18 20
C220
20 19 21
190.
答案：190
(3)
C399
C929＝C1300
100 99 98 3 21
161
700.
答案：161 700
高二数学(选修2-3人教A版)-排列
高二年级 数学
复习回顾
上一节课我们已经学过分类加法计 数原理和分步乘法计数原理，请同学们 回忆一下，什么是分类加法计数原理？ 什么是分步乘法计数原理？
分类加法计数原理 完成一件事情，有 n 类办法，在第 1
类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办 法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法 中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共 有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
百位 1~9
规律方法 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 变换元素的位置
有序
有
结果 有无变化
无
无序
排列 问题
非排列 问题
【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2 名参加一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，另1名同学参加下午的活动，有
多少种不同的选法？ 3ⅹ2=6
【问题2】从1，2，3，4这4个数字中，每次 取出三个排成一个三位数，一共可得到多少个
不同的三位数？ 4ⅹ3ⅹ2=24
从 n 个不同的元素中取出 m （ m n ） 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个
不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Anm
（A 是英文 Arrangement(排列)的第一个字 母）表示.
【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2 名参加一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，另1名同学参加下午的活动，有
练习2 从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种 走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲 地到丙地有多少种不同的走法？
甲
乙
丙
练习2 从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种 走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲 地到丙地有多少种不同的走法？
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 第1课时 组合(一)讲义 新人教A版选修2-3
含组合数的化简、证明或解方程、不
(1)对于含组合数的化简、证明或解方程、不等式等问题多利 ①组合数公式，即： Cnm＝m！nn！－m！＝nn－1…m！n－m＋1； ②组合数的性质，即 Cnm＝Cnn－m和 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1； ③排列数与组合数的关系，即 Anm＝Cmn Amm． (2)当含有字母的组合数的式子要进行变形论证时，利用阶乘 便．
1．由 Cx1＋0 1＋C1170－x可得不相同的值的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]
x＋1≤10 ∵x1＋7－1≥x≤010，∴7≤x≤9，
17－x≥0
又 x∈Z，∴x＝7,8,9．
当 x＝7 时，C810＋C1100＝46
当 x＝8 时，C910＋C910＝20 当 x＝9 时，C1100＋C810＝46．
规律总结』 1.性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用． 反映的是组合数的对称性，即从n个不
意义 → 同的元素中取m个元素的一个组合与 剩下的n－m个元素的组合相对应
作用 → 当m>n2时，计算Cnm通常转化为计算Cnn－m
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组 组合数的性质，求解时，要注意由 Cnm中的 m∈N＋，n∈N＋，且 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
序写出，即
• ∴所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE BCD，BCE，BDE，CDE．
解法二：画出树形图，如图所示．
∴所有组合为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD CDE．
命题方向2 ⇨组合数公式
典例 2 (2018·江西玉山一中检测)若 20C5n＋5＝4(n＋4)Cnn＋－ 的值．
1.2.2排列与组合(组合)(新人教A版选修2-3)
3 100
100 99 98 种 161700 3 2
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 C
1 2
2 从98件合格品中抽出2件的抽法有 C 98
1 2 C2 C98 9506
例题4. 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100 件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 法1 含1件次品或含2件次品
2 某些特殊元素有特殊归类问题： 例1．有划船运动员10人，其中３人会划右舷，２人 会划左舷，其余５人都会划，现要从中选出６人，平均 分配在船的两舷，有多少种选法？ 解：按左舷分三类：
：
（1）只会划左舷２人都被选 （2）只会划有左舷１人被选： （3）只会划左舷２人都不选：
2 1 3 C2 C5 C7
95 96 97 93 96 97 93 C98 C98 C99 C96 C99 C99 C96 97 93 3 3 C100 C96 C100 C96 18820
例4 解方程(1) C
x2 x 27
C
5 x 5 27
解 (1)原方程化为：x 2 x 5 x 5, 或x 2 x 27 (5 x 5)
6 6 5 5 或, 原式 C9 (C9 C9 ) C9 0
93 94 95 96 97 93 94 95 96 97 93 C C C C C C C C C C C (5)原式 96 96 97 98 99 96 97 97 98 99 96
x 2 6 x 5 0, 或x 2 4 x 32 0, x1 1, x2 5, x3 4, x4 8,
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
高中数学 1.2 2排列与组合教案 新人教A版选修选修2-3
2013年高中数学 1.2 2排列与组合教案新人教A版选修选修2-3
教学内容背景材料：
义务教育课程标准实验教科书（人教版）二年级上册第八单元的排列与组合
教学目标：
1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。
2、经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
3、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。
4、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好数学的信心。
教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程
教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同
教具准备：教学课件
学具准备：每生准备3张数字卡片，学具袋
教学过程：
能写出几个两位数？问题刚说完小
个，小狗说
学生活动教师巡视。
同学写出的个数不同，怎样
力、情感。
2
小熊、小猪一共握几次手？怎样握？
的同与不同，师：刚才我们帮森林学校的小动物们
直夸同学们聪明呢！通过解决这两个
？
计一下共有多少种穿法。
如果需要的。
高二数学人教A版选修2-1课件：1.2.1 充分条件与必要条件(共20张ppt)
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
例如：
x a2 b2 x 2ab
x a 2 b 2是 x 2ab的 充 分 条 件 x 2ab是 x a 2 b 2的 必 要 条 件
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件? (1)若x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)在（-∞，+∞）上为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 .
p :两 个 角 是 相 似 三 角 形 的 对 应 角 q : 这 两 个 角 相 等
（3）若 x 2 y 2 ，则 x y ； 假
（4）若 x a 2 b 2，则 x 2 a b ； 真
1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么 “a∈M ”是“a∈N ”的__必__要____条件.