人教版八年级数学上册14.2.1平方差公式
数学人教版八年级上册平方差公式.2.1平方差公式
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
平方差
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
(相同项)2-(相反项)2
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
说明:
公式中的a,b可以表示
一个单项式也可以表示一个多项式.
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
看看哪些能用平方差公式计算 ①
① ③ ⑤ ⑦
b
b
a
(a+b)(a-b)
a
=
2 2 a -b
b
b
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
这两数的平方差 两个数的和 这两个数的差
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
两个二项 式相乘
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
相同
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
相反数
④⑤⑦
(-a+b)(-a-b)
② ④ ⑥
(a-b)(b-a)
(2a-3b)(3a+2b)
(-x+2y)(-x-2y)
(x-2y)(2y+x)
(-2y-x)(x+2y)
(-2b-5)(2b-5)
下面各式的计算对不对？
如果不对，应当怎样改正？
(1) (x+2)(x-2) = x2 - 2 (2) (-3a-2)(3a-2) = 9a2 4 x2 - 4 4 - 9a2
ㄨ ㄨ
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( A ) A.(-a+b)(-a-b) C.(2a-3b)(3a+2b) B.(a-b)(b-a) D.(a-b+c)(b-a-c)
人教版八年级数学上册14.2.1 平方差公式(002)
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2-_a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2-_b_2____. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2-_b_2___. (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2-_a_2___.
典例精析
例1 计算：
知识要点 平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式 相同为a
适当交换 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
(2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝___-6_3____； ②2＋22＋23＋…＋2n＝_2_n＋__1－__2__(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝_x_1_00_－__1__；
(3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2__； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝_a_3_－__b_3__； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3， 其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1.
将x＝2代入上式， 原式=2×22-1=7.
数学人教版八年级上册14.2.1平方差公式教学设计
14.2.1《平方差公式》教学设计定州启明中学宋少静一、教材的地位和作用乘法公式实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中经常用到，就把它们作为公式。
《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位。
二、教学目标分析（一）知识目标经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征；（二）能力目标能运用公式进行简单的运算，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；（三）情感目标让学生经历“特殊—一般—特殊”（即:特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示—解决问题）这一数学活动过程，积累数学活动的经验，同时体会数学的简洁美和数形结合的思想方法，培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的意识。
三、教学重点、难点重点：经历探索并归纳平方差公式的过程，并能熟练运用公式进行简单的运算。
难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程，发展观察、归纳、概括等能力。
四、教法、学法分析（一）教法分析1、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解。
2、通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
人教版八年级数学上册第十四章 14.2.1平方差公式
3.用简便方法计算: 20152-2014×2016
解：原式=20152-(2015-1)×(2015+1) =20152-(20152-12) =1
课堂小结
(a+b)(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差.这个公式叫做平方差公式.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差.这个公式叫做平方差公式.
思考 你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的
面积=S.
A
D
E MF BN
S= (a-b)b+(a-b)a = a2-b2
.
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，
C.(a-b)(b-a)
D.(a-b-c)(-a+b+c)
解析：(-3a+4b)(-4b-3a)=(-3a+4b)(-3a-4b) =9a2-16b2
2.下列计算结果正确的是( C ) A.(x+2)(x-2)=x2-2 x2-4 B.(x+2)(3x-2)=3x2-4 3x2+4x-4 C.(ab-c)(ab+c)=a2b2-c2 D.(-x-y)(x+y)=x2-y2 -x2-y2-2xy
（3）(2x+1)(2x-
4x2-1
1)都= 是形如a+b的．多项式与a-b的多项式相 乘. 思考 观察上面的结果，你发现了什么规律？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差.
你能将上面发现的规律推导出来吗？ (a+b)(a-b)
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1一. 教材分析《14.2.1平方差公式》是人教版数学八年级上册中的一章，主要介绍了平方差公式的概念、推导过程以及应用。
本节课的内容是学生进一步学习代数知识的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。
平方差公式的推导过程涉及到了完全平方公式，需要学生熟练掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。
但部分学生对于代数式的理解和运算仍存在困难，对于公式的推导过程可能感到抽象难懂。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的概念，掌握公式的推导过程。
2.培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。
3.提高学生的代数运算能力，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。
2.平方差公式的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索。
2.使用多媒体辅助教学，直观展示公式的推导过程。
3.运用例题讲解法，让学生在实际问题中运用公式。
4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示平方差公式的推导过程和应用实例。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备小组合作学习的任务，引导学生进行讨论和交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的平方差问题，如面积计算、距离计算等，引导学生思考和讨论。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——平方差公式。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示平方差公式的推导过程，引导学生理解和记忆公式。
在这个过程中，教师可以适时提出问题，引导学生思考和探索。
3.操练（15分钟）教师给出一些例题，让学生运用平方差公式进行解答。
在解答过程中，教师要注意引导学生理解和掌握公式的应用。
对于学生的解答，教师要及时给予反馈和指导。
人教版八年级数学上册《平方差公式》PPT
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
人教版八年级数学上册14.平方差公式说课课件
八、说作业布置
作业本：课本112页 习题14.2 第1题 思考题：用平方差公式计算：
(1) (a 1)(a 1)(a2 1)(a4 1)(a8 1)
(2) 102 92 82 72 22 12
习题14.2第1题是使用平方差公式计算，适合学生独立完成； 思考题是对平方差公式的拓展应用，适合小组合作、交流得 出答案。
以是单项式或多项式。
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方
差公式!
（三）巩固练习
例（1）选择简 单的题，教师讲解，
例：利用平方差公式计算。
规范用平方差公式
(1)(5 6x)(5 - 6x);
计算的解题过程；
(2)(x 2 y)(x - 2 y); (3)(-m n)(-m - n).
（2）、（3）学生 可独立完成。
• 问题解决：在探索平方差公式的过程中提高学生灵活运用公式 解决问题的能力。
• 情感态度：让学生感受到数学源于生活，又可应用于生活，提 高学习兴趣和信心。
四、说教学重难点
基于以上分析，我将本课重难点确定如下： • 重点：理解和掌握平方差公式； • 难点：灵活应用平方差公式（变式）。
五、说教学方法
练习3
• 回顾思考计算10.2×9.8
• 练习3，回归思考，紧扣课前导入，同时也是对平方差公式的拓 展应用。
（四）课堂小结
1、试用语言表述平方差公式
(a b)(a b) a2 b2.
2、应用平方差公式时要注意一些什么？
通过两个问题，培养学生及时巩固、归纳总结的良好学习习惯。
七、说板书设计
二、说学情
• 学生已掌握了整式的概念、整式的加减和乘法运算；个性活泼， 思维活跃，已初步具有观察、分析、概括、归纳的能力，有一 定的抽象思维能力。
人教版八年级数学上册14.2.1 平方差公式
解：原式 1 b2 1 a 2
9
25
(3)( x y )( x x ) 42 42
解：原式 y 2 x2 4 16
（4）（-m²n+2）(-m²n-2) 解：原式=m4n2-4
2.利用平方差公式计算下列各题。
（1）499×501
解：原式=（500-1）（500+1） =500²-1² =250000-1 =249999
初中数学课件
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
R·八年级上册
新课导入
1.计算：
（x+3）(x-3) 解：原式=x²-9
（3y+1）(3y-1) 解：原式=9y²-1
（t+2）(t-2) 解：原式=t²-4
（x+y）(x-y) 解：原式=x²-y²
解：（2n-1）（2n+1） =（2n）²-1 =4n²-1
课堂小结
阅读下列资料，回忆巩固平方差公式。
平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公
式。如题1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b
的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩
形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面
积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，
（2）2002×2004-2003²
解：原式=（2003-1）（2003+1）-2003² =2003²-1²-2003² =-1
3.请认真分析下面的一组等式的特征： 1×3=2²-1, 3×5=4²-1， 5×7=6²-1， ……
猜想这一组等式有什么规律，将你猜想到的规 律用只含有一个字母n的式子表示出来。
人教版数学八年级上册《14.平方差公式》课件
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
学习目标
1 会判断一个式子能否采用平方差公式计算. 2 能说出平方差公式的结构特征.（重点） 3 能灵活运用平方差公式进行运算.（难点）
新课导入
小霞同学去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千 克，小霞同学马上说：“应付99.96元。”售货员很惊讶： “你真是个神童！”小霞同学说：“过奖了，我只是利 用了数学上刚学过的一个公式而已！”
想一想：这些计算结果有什么特点？
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 .
平方差公式: (a+b)(a－ b)= a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
公式变形： 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 3.(－ m+n) (－ m － n) = m2 － n2.
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－ x)， 其中x＝1，y＝2.y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
(b 2a)(2a b) 2a b (2a)2 b2 4a2 b2
(x 2y)(x 2y) x 2 y (x)2 (2y)2 x2 4 y2
例2 计算： (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解： (1) 原式=（50＋1）(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499.
14.2.1 平方差公式(同步课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(人教版)
= 1.Βιβλιοθήκη (2) (y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) .
解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5) = y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5 = －4y + 1.
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索：
① (a－b)(a＋b)＝__a_2_－__b_2；
② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3_－__b_3_；
内容
平方差 公式
注意
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住 “一同一反”这一特征，只 有两个二项式的积才有可能应用平 方差公式；不能直接应用公式的， 要经过变形才可以应用
解：李大妈吃亏了． 理由如下：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. ∵a2＞a2－16， ∴李大妈吃亏了．
若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=——
解：(a+b)2-1=63 (a+b)2=64 a+b=±8
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（b<a）的正方形，剩余 纸片的面积为多少？
a
剩余纸片的面积为
a2−b2 a
b b
还有别的计算方法吗？