有旋流动与无旋流动
y
B A C D
B’ C’ 0
�
A’ D’
B’’ C’’
A’’ D’’
x
需要指出，一般并不是先有了速度后求φ，而是恰恰相反，先求出φ，然后再确 定速度分布的 。
§ 2.5 环量与涡
§ 2.5.1 环量与涡的概念 � 研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。 � 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲 线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行 方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向 的左侧。
旋流。一个流场，如果各处的
ωx x
� ω 都等于零，这种流场称为有很大的意义。无旋流多了一个 ω = 0 的条件。这个
条件就是 ：
ω x = 0, ω y = 0, ω z = 0
∂v ∂w = ; ∂z ∂y
�
∂u ∂v = ; ∂y ∂x
∂u ∂v ∂w 略高次项后＝ + + ∂x ∂y ∂z
� � 可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而 质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：
� ω
� ∂u ∂v ∂w divV = + + =0 ∂x ∂y ∂z
∫ (udx + vdy + wdz ) = ∫ dφ = φ
A A
� 例. 设有一个二维流场其速度分布是
B
B
B
− φA
u = 2 ax,
v = −2 ay
,
问这个流动是有旋的还
是无旋的？有没有速度位存在？流线方程是什么？微元如何变形？ 解: 1. 计算ωz ：
∂u = 0, ∂y
可见流动是无旋的，应该有速度位函数φ存在。 2. 求Φ：
v
V vs u
S x
φ ( x, y , z )
z
�
w
�
一个无旋流场一旦知道了它的位函数 的具体函数，按这个式子 就可以算出流场上任何一点的流速来。 位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于无旋流存在速度位 φ， 则沿一条连接 A、B 两点的曲线进行速度的线积分结果只与二端点的φ 值之差有关而 与积分路径无关：
� 则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为：
1 dxdydzdt
⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂w ⎞ ⎤ 1 + ∆ t ∆ x ⎜ 1 + ∆ t ⎟ ∆ y 1 + ∆ t ∆ z − dxdydz ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎥ ⎟ ⎜ ∂ x ∂ y ∂ z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
第 1 章
流体运动的描述与连续方程
1.6 有旋流动与无旋流动
§ 2.2.3
� � V div V 三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量 的散度，符号为 ，即
散度及其意义
� ∂u ∂v ∂w divV = + + ∂x ∂y ∂z
� 散度在流动问题中的意义是微团的相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长 量） 。
� � Γ = ∫ V ⋅ d s = ∫ V cos α ds
L L
如果把一个速度向量 分成三个坐标轴方向 的三个分量 u,v,w , 把 线段 ds 也分解成 dx, dy, dz 三个方向的三 个线段，有：
�
a 沿曲线 AB 作速度的线积分 b 沿闭曲线速度的线积分
� � V ⋅ d s = udx + vdy + wdz
∂v =0 ∂x
∴ω z = 0
dφ = 2axdx − 2aydy
积分得：
φ = a( x2 − y 2 )
3. 求流线：由流线方程
（此处积分常数取为零 ）
dx dy = u v
dx dy = 2ax − 2ay
积分得
xy = C
常数 C 取一系列的值，得流线是一系列双曲线。 4. 线变形率：由
� 这就是说，位函数在某个方向的偏导数便等于速度在那个方向的分量，例如 ：
v s = u cos( x , s ) + v cos( y , s ) + w cos( z , s ) ∂ φ dx ∂ φ dy ∂ φ dz ∂ φ = + + = ∂ x ds ∂ y ds ∂ z ds ∂s
y
∂u θx = ∂x
∂v θy = ∂y ，得： 及
θ x = 2a,
5. 角变形率：
θ y = −2a
1 ∂v ∂u γz = ( + )=0 2 ∂x ∂y
6. 散度：
divV = θ x + θ y = 0
� 考察矩形微团 ABCD，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不 转动；x 方向线段有拉伸，y 方向线段缩短；尽管微团有线变形，但微团无角变形；此 外由于散度为零，流动过程中矩形微团面积保持不变。
∂w ∂u = ∂x ∂z
在数学分析里，上式是式
udx + vdy + wdz
� 成为全微分的必要和充分条件 � 现在既是无旋流，我们可令
d φ 代表这个全微分：
dφ = udx + vdy + wdz
φ = φ(x, y, z)名为速度位或称位函数，为标量。
u,v,w 与φ 的关系是：
∂φ ∂φ v = ∂φ , u= , w= ∂y ∂x ∂z
�
为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别是 Δx, Δy, Δz，原来体积是（ΔxΔyΔz ） ，经过Δt 时间后三个边长分别变为：
⎛ ∂u ⎞ ∆ x → ⎜1 + ∆t ⎟ ∆x ⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂v ⎞ ∆y → ⎜ ⎜1 + ∂y ∆t ⎟ ⎟∆y ⎝ ⎠ ⎛ ∂w ⎞ ∆z → ⎜1 + ∆t ⎟∆z ∂z ⎠ ⎝
� 如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。 § 2.2.4 旋度和位函数 �
� ω 微团的瞬时角速度 是上述三个方向角速度分量之和，这个值在向量分析里记为
� � 1 1 � rot V ∇ ×V 2 ，或 2 ，称为 V 的旋度：
y ωy ωz z
� � 1 � � � � 1 rot V = ∇ × V = ω = ω x i + ω y j + ω z k 2 2 ∂ � ∂ � ∂ � ∇= i + j+ k ∂x ∂y ∂z � � 一个流场，如果各处的 ω 基本上不等于零，这种流场称为有旋流场，其流动称为有
第七章 不可压缩流体动力学基础
zz dz z
zx
应力状态：
zx dz z
xx
xy
xy x
dx
yx
xx
z
y
xz zx
yz
zz
yx
xx dx x
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和 6个切应力分量：
yx y
dy
x
切应力互等定律
恒定流或非恒定流； 理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程
1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
例：已知不可压流体速度,
u x y z , v xy yz zx
2 2 2
u v w 解： 不可压流体 V 0 0 x y z w 2x x z 0 z w 3 x z z 1 2 w z 3 xz f ( x , y , t ) 2
vD D uD C vC
v yt y
D
B A
uC
y
v A u B vB uB
u x t x
x
线变形率
u x x
x
7.1 流体微团的运动分 析 三、角变形率
1. 角变形
y
u yt y
u tg t C y
D vD D uD C uC vC
第七章
不可压缩流体动力学 基础
重点、难点内容
流体微团运动的分析 有旋流动、无旋流动 理想流体运动微分方程 涡线、涡管以及斯托克斯定理
第一节
流体微团运动的分析
分析流场中任意流体微团运动是研 究整个流场运动的基础。 流体运动要比刚体运动复杂得多， 流体微团基本运动形式有平移运动，旋 转运动和变形运动等，而变形运动又包 括线变形和角变形两种。
流体力学第2章流体运动学基本概念
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
15
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
工程流体力学名词解释和简答题大全
一、名词解说1．理想流体：实质的流体都是有粘性的，没有粘性的设想流体称为理想流体。
2．水力圆滑与水力粗拙管：流体在管内作紊流流动时（1 分），用符号△表示管壁绝对粗拙度，δ0 表示粘性基层的厚度，则当δ0＞△时，叫此时的管路为水力圆滑管；（2 分）当δ 0＜△时，叫此时的管路为水力粗拙管。
（2 分）3．界限层厚度：物体壁面邻近存在大的速度梯度的薄层称为界限层；（2分）往常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的 99％处的距离作为界限层的厚度，以δ表示。
（3 分）4．卡门涡街：流体绕流圆柱时，跟着雷诺数的增大界限层第一出现分别，分别点不停的前移；（ 2 分）当雷诺数大到必定程度时，会形成两列几乎稳固的、非对称性的、交替零落的、旋转方向相反的旋涡，并随主流向下游运动，这就是卡门涡街。
（ 3 分）1、雷诺数：是反响流体流动状态的数，雷诺数的大小反响了流体流动时，流体质点惯性力和粘性力的对照关系。
2、流线：流场中，在某一时辰，给点的切线方向与经过该点的流体质点的刘速方向重合的空间曲线称为流线。
3、压力体：压力体是指三个面所封闭的流体体积，即底面是受压曲面，顶面是受压曲面界限限封闭的面积在自由面或许其延伸面上的投影面，中间是经过受压曲面界限限所作的铅直投影面。
4、牛顿流体：把在作剪切运动时知足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。
5、欧拉法：研究流体力学的一种方法，是指经过描绘物理量在空间的散布来研究流体运动的方法。
6、拉格朗日法：经过描绘每一质点的运动达到认识流体运动的方法称为拉格朗日法。
7、湿周：过流断面上流体与固体壁面接触的周界称为湿周。
8、恒定流动：流场中，流体流速及由流速决定的压强、粘性力、惯性力等也不随时间变化的流动。
9、附面层：粘性较小的流体在绕过物体运动时，其摩擦阻力主要发生在紧靠物体表面的一个流速梯度很大的流体薄层内，这个薄层即为附面层。
10、卡门涡街：当流体经绕流物体时，在绕流物后边发生附面层分别，形成旋涡，并交替开释出来，这类交替摆列、有规则的旋涡组合称为卡门涡街。
水力学第五章 有旋流动和有势流动
定义
数。
M(x,y,z)
( x, y, z ) = + u x d x + u y d y + u z d z
M 0 ( x0 , y0 , z 0 )
u x =
x
u y =
y
u z =
z
无旋流动
ij ×u=
xy
xy
无旋流动
k
=0 z
z
等价
有势流动
u=
有势流动
u(t)
u(t+dt)
L是由确定流体质点组成的封闭线，是 一个系统，在流动中会改变位置和形状。
简要的证明
dΓ
du
dt
+ d t d l
L
d dt
+
L
u
δ
l
d
+ d t (u δ l)
L
+
L
d
t
δ
d
lL++
δu
2
du
dl
du
+ d t δ l + + u δ d t + d t δ l + + u δ u
=
( uz
u y) + ( ux
uz ) +
uy (
xy z yz x zx
ux ) = 0 y
由于涡管侧壁没有涡 通量，所以根据涡量场是 无源场可得如下结论：
结论 在同一时刻，穿 过同一涡管的各断面的涡 通量都是相同的。即同一 时刻，一根涡管对应一个 涡管强度。
回答了前面的问题
流体力学与传热：第五节 无旋流动的一般性质
实际上由数学分析可知， V 0 是单连通域里积分
V dr 与积分路径无关的充要条件。
a 【例题1】 某一流动速度场为 vx ，ay vy ，v其z 中0 是不为零的
x 常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动Байду номын сангаас有旋流动还
是无旋流动。
【解】 由于
x
下面讨论速度势在单连通域中的性质。 在单连通域中，由于任意曲线都是可缩曲线，所以根据斯托 克斯定理，上式可写为：
P0 P0
V dr
P0 B1PB2 P0
= ( V ) ndA
A
式中，A是以封闭曲线P0B1PB2P0为边界的开口曲面。由于运动 无旋，因此在此曲面上处处满足 V =0 ，所以上式可写成：
P0 B1P
P0 B2 P
即：
V dr = V dr
P0 B1P
P0 B2 P
则 P, P0 两点的速度势之差为：
P
P P0 V dr = V dr = V dr
P0 B1P
P0 B2 P
P0
即：
P
P P0 V dr
P0
所以，在单连通域的无旋流动中任意两点的速度势之差等于
对于无旋流场，处处满足 V 0
由向量分析可知，任一标量函数的梯度的旋度恒为0，所以 V 一定是某个标量函数的梯度，即：
V
称为速度势。显然，速度势与速度分量的关系在直
角坐标中为：
u ，v ，w
x
y
z
正如场论所分析的那样，无旋条件是速度有势的充分和必要 条件。无旋必然有势，有势必须无旋。
P, P0 两点上的速度势之差为：
d V dr
理想流体的旋涡运动-PPT课件
( x ,y ,z ,t) 是矢量流场，称为涡量场
rotV
1 涡线、涡管和涡束 1843年H.L.F赫姆霍茨 Evaluation only. 1. 涡线 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 定义 : 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的 切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为
如同刚体一样转动，流体质点速度和离轴距离成正比．
(b)图是水中插一个旋转的直圆柱面形成的涡流．注意，自由面呈 现抛物曲面形状． (c)图是面浆中插一个旋转直圆柱形成的涡流，有趣的是面浆会顺 着圆柱向上“爬”．
(d) 图是流体以一定流速绕过圆柱时，圆柱后面将出现两列交替 排列的涡，称为卡门涡街．
e) 图是柱状涡，旋风就是这一类涡流，通常直径10m，面高达 1000m． (f) 图是碟状涡，海洋和大气层中很多为此类涡流．和柱状涡相 反，其直径达1000km，而高度约10km．
Evaluation only. (g) 图是人体主动脉窦内血液在主动脉辩开启时所形成的涡流， ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 正是这个涡的作用使主动脉瓣在射血结束时关闭．涡的这个作用 Copyright 早已由达 芬奇指出 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
有旋流动
Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
流体微团运动分析完整版文档
(rotation)
——
角速度ωx
ωy
ωz
移动（move） —— 线速度 Vx Vy Vz
w（x，y，z）
第四节 二维平面流动的流函数
流体: 具有流动性，极易变形。 沿z轴流体微团的旋转角速度分量：
在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分： F点速度：u（x，y，z）
移动（move） —— 线速度 Vx Vy Vz
沿z轴流体微团的旋转角速度分量：
则流体微团只发生角变形 第一节 流体微团的运动分析 第四节 二维平面流动的流函数 基本有势流动及其叠加
wc ww xdxw ydyw zdz
C点速度：
u u u
uc
u dx dy dz x y z
vcv x vdx y vdy v zdz
w w w wc wxdxydyzdz
C点速度：
则流体微团只发生旋转，不发生角变形 基本有势流动及其叠加 第四节 二维平面流动的流函数
u u u
uc
u dx dy dz x y z
第一节 流体微团的运动分析
v v v 第一节 流体微团的运动分析 vv dx dy dz 三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体c微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。 x y z 矩形ABCD各角点具有相同的速度分量u、v。
第四章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
流体微团运动分析 有旋流动和无旋流动 无旋流动的速度势函数 二维平面流动的流函数 基本的平面有势流动 平面势流的叠加流动
第四章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
本章内容： 有旋流动的基本概念及基本性质 二维平面势流理论
流体力学名词解释(精选.)(2)
连续介质模型：在流体力学的研究中，将实际由分子组成的结构用流体微元代替。
流体微元有足够数量的分子，连续充满它所占据的空间，这就是连续介质模型。
质量力：处于某种力场中的流体，所有质点均受有与质量成正比的力，这个力称为质量力。
表面力：指作用在所研究流体外表面上与表面积大小成正比的力。
流体的相对密度：某均质流体的质量与4℃同体积纯水的质量的比称为该流体的相对密度。
压缩率：当流体保持温度不变，所受压强改变时，其体积的相对变化率。
粘性：当流体在外力作用下，流体微元间出现相对运动时，随之产生阻碍流体层间相对运动的内摩擦力，流体产生内摩擦力的这种性质称为粘性。
动力粘度：单位速度梯度时内摩擦力的大小μ=∕τ(dv∕dh) 运动粘度：动力粘度和流体密度的比值。
υ =μ／ρ理想流体：一种假想的没有粘性的流体。
牛顿流体：在流体力学的研究中，凡切应力与速度梯度成线性关系，即服从牛顿内摩擦定律的流体，称为牛顿流体。
表面张力：引起液体自由表面欲成球形的收缩趋势的力称为表面张力。
静压强：当流体处于绝对静止或相对静止状态时，流体中的压强称为流体静压强。
绝对压强：以绝对真空为零点开始计量的压强。
质量流量：单位时间内流过总流过流断面的流体质量。
体积流量：单位时间内流过总流过流断面的流体体积。
压缩性：在一定的温度下，流体的体积随压强升高而缩小的性质。
计示压强：以大气压为零时计量的压强。
真空度：流体的绝对压强小于大气压而形成真空的程度。
有势质量力：质量力所做的功只与起点和终点的位置有关，这样的质量力称为有势质量力。
力的势函数：某函数对相应坐标的偏导数，等于单位质量力在相应坐标轴上的投影，该函数称为力的势函数。
等压面：在充满平衡流体的空间，连接压强相等的各点所组成的面称等压面。
静水奇象：总压力的大小与容器的形状和容器内所盛液体的多少无关，仅取决于底面积和淹深。
淹深：流体中某点在自由面下的垂直深度。
压力体：由所研究的曲面，通过曲面周界所作的垂直柱面和流体的自由表面 (或其延伸面)所围成的封闭体积叫做压力体。
工程流体力学的名词解释
一、名词解释。
1、雷诺数：是反应流体流动状态的数，雷诺数的大小反应了流体流动时，流体质点惯性力和粘性力的对比关系。
2、流线：流场中，在某一时刻，给点的切线方向与通过该点的流体质点的刘速方向重合的空间曲线称为流线。
3、压力体：压力体是指三个面所封闭的流体体积，即底面是受压曲面，顶面是受压曲面边界线封闭的面积在自由面或者其延长面上的投影面，中间是通过受压曲面边界线所作的铅直投影面。
4、牛顿流体：把在作剪切运动时满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。
5、欧拉法：研究流体力学的一种方法，是指通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。
6、拉格朗日法：通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法称为拉格朗日法。
7、自由紊流射流：当气体自孔口、管嘴或条缝以紊流的形式向自由空间喷射时，形成的流动即为自由紊流射流。
8、流场：充满流体的空间。
9、无旋流动：流动微团的旋转角速度为零的流动。
10、有旋流动：运动流体微团的旋转角速度不全为零的流动。
11、自由射流：气体自孔口或条缝向无限空间喷射所形成的流动。
12、稳定流动：流体流动过程与时间无关的流动。
13、不可压缩流体：流体密度不随温度与流动过程而变化的液体。
14、驻点：流体绕流物体迎流方向速度为零的点。
15、流体动力粘滞系数u：表征单位速度梯度作用下的切应力，反映了粘滞的动力性质。
16、压力管路的定义。
---凡是液流充满全管在一定压差下流动的管路都称为压力管路。
17、作用水头的定义。
----任意断面处水的能量，等于比能除以。
含位置、压力水头和速度水头。
单位为m。
18、层流：当流体运动规则，各部分分层流动互不掺混，流体质点的迹线是光滑的，而且流场稳定时，此种流动形态称为层流。
19、湍流：当流体运动极不规则，各部分流体相互剧烈掺混，流体质点的迹线杂乱无章，流场极不稳定时。
此种流动形态称为“湍流”。
20、表面张力：液体表面任意两个相邻部分之间的垂直与它们的分界线的相互作用的拉力。