复变函数期末考试复习题及答案详解
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ） 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。
复变函数期末试卷及答案2套
1 复变函数与积分变换（B 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设1z =，则（ ）A ．||1,arg 3z z π== B ．||2,arg 3z z π==- C ．||2,arg 3z z π== D ．||4,arg 3z z π==-2．下列等式成立的是（ ） A ．1i e π=- B ．1i eπ--=- C ．1i e π-=- D ．21ieπ=-3．函数2()||f z z =在复平面上（ ）A ．处处不连续B ．处处连续，在点0z =解析C ．处处连续，处处不可导D ．处处连续，仅在点0z =可导 4．下列复数中为实数的是( )A 3(1)i -B ln iC ii D 5．设C 为从0z =到1z i =+的直线段，则积分Czdz =⎰（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．1i +6. 设C 为正向单位圆周||1z =，则积分z Ce dz =⎰( ).A ．1B ．2πC ．0D ．2i π7. 设C 是绕点0z 的正向简单闭曲线，则积分53()C z dz z z =-⎰ ( ).A ．0B ．2i πC ．502z i πD ．3020z i π8．函数1()2f z z=+ 在点00z =的泰勒展开式为 ( ) A.10(1)2n nnn z +∞=-∑ B. 1(1)2n nn n z ∞+=-∑ C. 02n n n z ∞=∑ D.12nn n z ∞=∑ 9. 0z =是函数3sin ()z zf z z-=的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:10.设1()(2)zf z z e =+，则Re [(),0]s f z =（ ） A ．12 B ．32 C ．2 D ．52二、填空题(每空3分，共15分)1 设复数z 满足(2)3i z +=，则z =__________。
【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案
复习题2一．单项选择题1．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A）),(y x u 在),(00y x 处连续（B）),(y x v 在),(00y x 处连续（C）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A）3-（B）2-（C）1-（D）13．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4．下列命题中，正确的是()（A）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()（A）iπ2-（B）0（C）iπ2（D）iπ46．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ()（A）1sin -（B）1sin （C）1sin 2i π-（D）1sin 2i π7．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A）i +-43（B）i +43（C）i -43（D）i --4311.ii 的主值为()（A）0（B）1（C）2πe（D）2eπ-12．ze 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A）)(z f 在复平面上处处解析（B）)(z f 以π2为周期（C）2)(iziz e e z f --=（D）)(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i 6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i 6561+15．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()（A）2iπ（B）2i π-（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()（B）i π2-（B）0（C）iπ2（D）iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18．设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()（A）0（B）i π2（C）10（D）5i π20．积分21sin z z zdz ==⎰()（A）0（B）61-（C）3i π-（D）iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A ．一B ．二C ．三D ．四22.下列等式成立的是().A ．Lnz Lnz 77=；B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i；D ．)z z Re(z z =。
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
复变函数期末考试及答案(珍藏版)
一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。
9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。
二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
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《复变函数》考试试题（一)1、__________.（为自然数）2。
_________。
3.函数的周期为___________.4.设,则的孤立奇点有__________。
5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f（z)在整个平面上处处解析，则称它是__________。
7.若，则______________.8。
________,其中n为自然数.9。
的孤立奇点为________。
10.若是的极点，则。
三.计算题（40分）：1. 设,求在内的罗朗展式.2.3. 设，其中，试求4. 求复数的实部与虚部.四。
证明题.(20分)1。
函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数。
2。
试证：在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支，并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）二。
填空题. (20分)1。
设，则2。
设，则________。
3. _________。
（为自然数）4. 幂级数的收敛半径为__________ 。
5. 若z0是f(z）的m阶零点且m>0,则z0是的_____零点。
6. 函数e z的周期为__________.7. 方程在单位圆内的零点个数为________.8. 设，则的孤立奇点有_________。
9。
函数的不解析点之集为________。
10. .三。
计算题. （40分）1。
求函数的幂级数展开式。
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值。
3。
计算积分：，积分路径为（1）单位圆（)的右半圆。
4. 求。
四。
证明题。
(20分)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z）在D内为常数的充要条件是在D内解析。
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. （20分)1. 设,则f(z)的定义域为___________.2。
函数e z的周期为_________。
3。
若,则__________。
4。
___________.5。
_________.（为自然数）6。
幂级数的收敛半径为__________.7。
设，则f(z）的孤立奇点有__________。
8.设，则。
9。
若是的极点，则.10. .三. 计算题. (40分）1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数。
2。
试求幂级数的收敛半径.3. 算下列积分：，其中是.4。
求在｜z｜<1内根的个数.四。
证明题. (20分）1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数,那么它在内为常数.2。
设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四)二。
填空题。
(20分）1. 设，则.2. 若，则______________.3。
函数e z的周期为__________。
4。
函数的幂级数展开式为__________5。
若函数f(z）在复平面上处处解析,则称它是___________。
6. 若函数f(z）在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.7. 设，则。
8. 的孤立奇点为________. 9. 若是的极点，则.10。
_____________.三. 计算题. （40分）1。
解方程.2。
设，求3. .4。
函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）。
四. 证明题。
（20分）1.证明：若函数在上半平面解析,则函数在下半平面解析。
2. 证明方程在内仅有3个根。
《复变函数》考试试题(五）二. 填空题。
(20分）1。
设，则.2。
当时,为实数。
3. 设，则.4. 的周期为___.5. 设,则。
6. 。
7. 若函数f（z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。
8. 函数的幂级数展开式为_________.9. 的孤立奇点为________.10。
设C是以为a心,r为半径的圆周，则。
(为自然数)三. 计算题. （40分）1. 求复数的实部与虚部。
2。
计算积分：,在这里L表示连接原点到的直线段.3.求积分：，其中0<a〈1.4.应用儒歇定理求方程,在｜z｜〈1内根的个数，在这里在上解析,并且.四. 证明题. (20分）1。
证明函数除去在外，处处不可微。
2。
设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题(六）1.一、填空题(20分）1.若，则___________。
2.设，则的定义域为____________________________.3.函数的周期为_______________________.4._______________________.5.幂级数的收敛半径为________________。
6.若是的阶零点且，则是的____________零点。
7.若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________。
9.方程在单位圆内的零点个数为___________。
10.公式称为_____________________。
二、计算题（30分）1、。
2、设，其中,试求。
3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式。
5、求复数的实部与虚部。
6、求的值.三、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为6.2、若函数在区域内解析,等于常数，则在恒等于常数。
3、若是的阶零点，则是的阶极点.６．计算下列积分．（８分）（1）；(2）．７．计算积分．（６分)８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）（1）；（2)．９．设为复平面上的解析函数,试确定,，的值．（６分）三、证明题．１．设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数．（５分）２．试证明的轨迹是一直线,其中为复常数，为实常数．（５分）试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题（一）参考答案二．填空题1.；2. 1；3。
，； 4. ; 5. 16. 整函数；7。
; 8. ；9。
0；10. . 三．计算题。
1。
解因为所以.2。
解因为,.所以.3。
解令，则它在平面解析，由柯西公式有在内,.所以.4. 解令, 则。
故, .四. 证明题。
1。
证明设在内.令。
两边分别对求偏导数, 得因为函数在内解析，所以. 代入（2）则上述方程组变为。
消去得, .1)若，则为常数。
2)若, 由方程(1）（2) 及方程有，。
所以。
(为常数）。
所以为常数。
2. 证明的支点为。
于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发，连续变动到时，只有的幅角增加. 所以的幅角共增加。
由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0，因而此分支在的幅角为，故.《复变函数》考试试题（二）参考答案二. 填空题1.1，，；2。
； 3. ; 4。
1； 5. 。
6。
，。
7。
0; 8。
; 9. ；10。
0。
三。
计算题1。
解。
2. 解令。
则.又因为在正实轴去正实值，所以。
所以。
3. 单位圆的右半圆周为, .所以。
4. 解=0.四. 证明题.1。
证明（必要性) 令,则。
（为实常数)。
令。
则.即满足，且连续, 故在内解析。
（充分性）令, 则，因为与在内解析, 所以，且.比较等式两边得。
从而在内均为常数，故在内为常数。
2。
即要证“任一次方程有且只有个根"。
证明令，取, 当在上时, 有。
.由儒歇定理知在圆内, 方程与有相同个数的根。
而在内有一个重根. 因此次方程在内有个根.《复变函数》考试试题（三）参考答案二。
填空题。
1.;2. ；3. ；4. 1；5. ;6。
1；7。
；8. ; 9。
; 10. . 三。
计算题.1. 解。
2. 解。
所以收敛半径为。
3. 解令，则.故原式。
4。
解令，.则在上均解析，且, 故由儒歇定理有. 即在内, 方程只有一个根.四. 证明题。
1。
证明证明设在内。
令。
两边分别对求偏导数, 得因为函数在内解析，所以。
代入(2）则上述方程组变为. 消去得, .1) ，则为常数.2)若, 由方程(1) （2）及方程有, 。
所以。
(为常数).所以为常数。
2. 证明取, 则对一切正整数时，.于是由的任意性知对一切均有.故, 即是一个至多次多项式或常数.《复变函数》考试试题(四）参考答案.二. 填空题.1。
，； 2. ；3。
； 4. ; 5. 整函数；6。
亚纯函数；7。
0；8. ；9。
；10. . 三。
计算题。
1.2. 解, 。
故原式.3. 解原式。
4。
解 =，令，得，而为可去奇点当时，而为一阶极点.四。
证明题。
1. 证明设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点，考虑.而，在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此，从而在下半平面内解析。
2. 证明令, , 则与在全平面解析，且在上, ,故在内.在上，,故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.《复变函数》考试试题（五）参考答案一。
判断题。
1．√２．√３．×４．√５．× 6．×７．×８．√９．√ 10．√。
二. 填空题.1.2, , ; 2。
;3。
, ; 4. ; 5. 0; 6. 0;7。
亚纯函数; 8. ；9. 0；10. .三。
计算题。
1。
解令, 则。
故，。
2。
解连接原点及的直线段的参数方程为,故.3. 令, 则. 当时，故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点，故，由残数定理有.4. 解令则在内解析，且在上，，所以在内，, 即原方程在内只有一个根。
四。
证明题.1. 证明因为，故。
这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件，故只在除了外处处不可微.2。
证明取, 则对一切正整数时，。
于是由的任意性知对一切均有.故, 即是一个至多次多项式或常数。
《复变函数》考试试题（六）参考答案二、填空题:1。
2。
3。
4. 1 5. 16. 阶7. 整函数8.9. 0 10. 欧拉公式三、计算题：1.解：因为故.2。
解：因此故.3。
解：4。
解:5．解：设, 则。
6．解：四、1。
证明：设则在上，即有.根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6。
2。
证明：设，则, 由于在内解析,因此有，。
于是故，即在内恒为常数.3。
证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.《复变函数》模拟考试试题《复变函数》考试试题(一）一、判断题(4x10=40分）：1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导。
（）2、有界整函数必在整个复平面为常数。