沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》课件
八年级数学下册第16章二次根式知识归纳新版沪科版
1 二次根式知识点总结
二次根式知识点：
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；
2 若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
一. 教材分析
《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析
学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标
1. 了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2. 掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点
1. 二次根式的概念和性质。
2. 二次根式的运算方法。
五. 教学方法
1. 采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2. 采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3. 采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备
1. 准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2. 准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程
1. 导入（5分钟） 通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2. 呈现（10分钟）
讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3. 操练（10分钟）
让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4. 巩固（10分钟）
通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
沪科版数学八年级下册16.1二次根式教学设计
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一、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解并掌握二次根式的概念，能够准确地表示出各种二次根式。
2. 学会计算二次根式的值，掌握化简二次根式的方法，并能够熟练运用。
3. 能够解决实际问题中涉及二次根式的计算，如求长度、面积等。
4. 掌握二次根式的性质和运算法则，能够进行二次根式的加减乘除运算。
5. 能够运用二次根式解决一些简单的几何问题，如勾股定理的应用。
（二）过程与方法
1. 通过实例引入二次根式，引导学生观察、思考、总结，培养学生的抽象思维能力。
2. 通过小组合作、讨论交流，引导学生掌握二次根式的化简方法，培养学生的团队协作能力。
3. 设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4. 利用数形结合的方法，帮助学生理解二次根式的性质和运算法则，培养学生的直观想象能力。
5. 引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1. 培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情，使学生在二次根式的学习中感受到数学的魅力。
2. 培养学生勇于探索、善于思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极的态度，增强克服困难的信心。
3. 培养学生的合作意识，让学生在小组合作中学会倾听、交流、分享，形成良好的团队合作氛围。
4. 引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高学生的应用意识，培养学生的创新精神。
5. 通过二次根式的学习，使学生感受到数学的严谨性和逻辑性，培养学生的理性思维。
二、学情分析
八年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，对算术平方根有了初步的认识，这为二次根式的学习奠定了基础。然而，二次根式作为数学中的一个重要概念，其抽象性和复杂性对学生的理解与掌握仍是一大挑战。学生在之前的学习中可能对根式的运算感到困惑，对根式性质的理解不够深入，需要教师在教学过程中进行针对性的引导和辅导。
沪科版八年级下册16.1二次根式教案(共2课时)(20201129191826)
沪科版八年级下册16.1二次根式教案(共2课时)(20201129191826)
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第 1 课时 二次根式的定义
教课
目标
重难
点
知识与能力：经历二次根式观点的形成过程，认识二次根式是开方运算引出的
结果，理解二次根式中被开方数 a 的实质意义，即 a 是非负数，以及 a 的非
负性。
过程与方法：经历二次根式性质的察看、概括、对照等研究过程，理解二次根式性质 1，并能运用性质 1 解决一些问题。
感情态度价值观：在二次根式观点、性质的形成和研究过程中，鼓舞学生踊跃研究，乐于合作与沟通，发展学数学用数学的意思、分类议论意识，认识由特别到一般再到详细的办理数学识题的思想。
要点：经历二次根式的观点、性质 1 的研究和形成过程。
难点：利用二次根式的观点、性质 1 解决问题。
导入新课、揭露目标（ 2 分钟左右）
1、前方，我们学过对数作开方运算引出了实数。 对整式作开方
运算会产生如何的式子？这种式子又拥有如何的性质？这
就是我们本章学习的二次根式。
2、出示学习目标
教 ①认识二次根式是开方运算引出的结果， 理解二次根式中被
学 开方数 a 的实质意义，即 a 是非负数，以及 a 的非负性。
②经历二次根式性质的察看、 概括、对照等研究过程， 理解
过 二次根式性质 1，并能运用性质 1 解决一些问题。
议论增补记录
自学纲要：（ 10 分钟左右）
程 自学课本第 2 页，解决以下问题：
1. 什么叫二次根式？被开方数遇到什么限制？
2. 我们知道， 2 是 2 的算术平方根，依据平方根的意义，
2
应有 2 =2. 近似地，计算：
2 2 2 5 = ， 7 = ， 0 =
5
学生自学。
对不会的问题要做好标注或漫笔，作为合作研究的问题进行合
。
作研究。
3. 例 1 x 为什么值时，以下式子在实数范围内存心义？
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计2
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计2
一. 教材分析
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等基础知识后，进一步对根式的深入学习。本节课的主要内容是二次根式的定义、性质和运算。教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次根式的相关知识，为学生后续学习二次方程、二次函数等知识打下基础。
二. 学情分析
学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对根式有一定的了解。但学生对二次根式的定义、性质和运算规则可能还不够清晰，需要通过本节课的学习来进一步掌握。同时，学生需要通过实例来理解二次根式的实际应用，提高解决问题的能力。
三. 教学目标
1. 知识与技能：学生能够理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算规则。
2. 过程与方法：学生能够通过实例来理解二次根式的实际应用，提高解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：学生能够激发对数学的兴趣，培养积极的学习态度，提高合作交流的能力。
四. 教学重难点
1. 重点：二次根式的定义、性质和运算规则。
2. 难点：二次根式的实际应用，理解二次根式在解决问题中的作用。
五. 教学方法
1. 情境教学法：通过实例引入二次根式的概念，使学生能够直观地理解二次根式的实际应用。
2. 引导发现法：引导学生通过自主探究、合作交流，发现二次根式的性质和运算规则。
3. 练习法：通过大量的练习题，巩固学生对二次根式的理解和运用。
六. 教学准备
1. 教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解二次根式的概念和性质。 2. 练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生的学习成果。
3. 教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，用于板书和讲解。
七. 教学过程
1. 导入（5分钟）
通过一个实际问题引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）
讲解二次根式的定义，通过实例来解释二次根式的实际应用。
上海版八年级数学16.1二次根式
16.1二次根式（第一课时）
【知识要点】
1.理解)0(aa中的a可以是一个字母，也可以是一个含字母的式子.
2.被开方式中字母范围的解答，通常用列、解不等式（组）的方法来解决.
3. 2a的化简过程，重点在于先判断a值的正负性.
4.本节知识学习之前可适当复习分式、三角形、不等式等方面的有关知识.
【典型习题】
例题1.设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？
x211)1(； 121)2(x； 12)3(2x； xx21)4(.
分析： 此类题一般是根据被开方数是非负数，列出不等式来解，有时需要列出不等式组来解.
解：（1）由0211x，得2x，
当2x时，x211有意义.
（2）由012x，得21x，
当21x时，121x有意义.
（3）无论x是什么实数，都有02x，可知0122x，
当x是任何实数时，122x有意义.
（4）由0021xx，得21x且0x
当21x且0x时，xx21有意义.
例题2.求下列二次根式的值：
2)25()1(； 222)2(baba，其中ba,3.
分析：为了避免错误，2a的化简过程，先化为a，再判断a值的正负性，后去绝对值.
解：25)25()1(2，025，2525.
bababa222)2(，当ba,3时，原式3. 03，3)3(3.
【基础训练】
一、填空题：
1．当x ，13x有意义.
2．如果2x，那么2)2(x .
3．xx2，x应满足的条件是 .
4．在2a中，字母a的取值范围是 .
5. 0)3(22ba，ab .
八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式教案 (新版)沪科版.doc
16.1二次根式（1）
主备人：
时间 地点 八年级办公室 召集人
课题 16.1二次根式（1） 课时 第 1 课时
（总第 1 课时） 科任教师
教学
目标 知识与能力：经历二次根式概念的形成过程，了解二次根式是开方运算引出的结果，理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及a的非负性。
过程与方法：经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，理解二次根式的性质1，并能运用性质1解决一些问题。
情感态度价值观：在二次根式的概念、性质的形成和探索过程中，鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学数学用数学的意识、分类讨论思想，了解由特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想。
重难点 重点：经历二次根式的概念、性质1的探索和形成过程。
难点：利用二次根式的概念、性质1解决问题。
教
学
过
程
导入新课、揭示目标（2分钟左右）
1.前面，我们通过对有理数作开方运算引出了无理数。对整式作开方运算会产生怎样的式子？这类式子又具有怎样的性质？这就是我们本章学习的二次根式。
2.出示学习目标
①了解二次根式是开方运算引出的结果，理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数以及a的非负性。
②经历二次根式的性质的观察、归纳、对比等探索过程，理解二次根式的性质1，并能运用性质1解决一些问题。
自学提纲：（10分钟左右）
自学本节内容，解决以下问题：
1.什么叫二次根式？被开方数受到什么限制？
2.我们知道，2是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有22=2.类似地，计算： 讨论补充记录
学生自学。对不会的问题要做好批注或随笔，作为合作探究的问题进行合作探究。
25= ，275= ，20= 。
3.例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
①3x ； ②2x 。
新沪科版八年级数学下册《16章 二次根式 16.1 二次根式》教案_10
16.1 二次根式-教学设计
一、教学目标
1.认识二次根式的概念，经历二次根式概念的形成过程，了解根式是开平方运算引出的结果，理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及a的非负性；
≥0), ② =
)a(a)a(a00的2.经历二次根式的性质①aa2( a
观察、归纳、对比、猜想等探索发现过程,理解二次根式性质1、性质2，了解其区别与联系，并能运用性质1、2解决实际问题；
3. 在二次根式概念、性质的形成和探索中，鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学生学数学用数学意识、分类讨论意识，了解由特殊到一般再到具体的哲学思想；
4. 会运用上述两个性质进行有关的计算。
二、教学重点
1. 二次根式的概念；
2. 掌握二次根式的性质1、性质2。
三、教学难点
熟练掌握二次根式性质1、性质2，并能说出它们之间的联系与区别。
四、教学过程
（一）回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根。
用a(a≥0)表示。
（二）引入
1.面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为_____ 。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽为_____ 。
3.25th,则t= 。 aa2探究：
3
65
S 5h
问：你认为所得的各式有哪些共同点？
答：都表示一些正数的算术平方根。
（三）新课：
形如)0(aa的式子叫做二次根式。
其中a叫被开方数。
定义包含三个内容：
1.必需含有二次根号 “ ”。
2.被开方数a≥0.
3.a可以是数,也可以是含有字母的式子.
想一想：凭着你已有的知识,说说对二次根式a的认识，好吗?
【最新沪科版精选】沪科初中数学八下《16.1二次根式》word教案 (11).doc
精品【初中语文试题】
精品【初中语文试题】 章节 18.1二次根式 班级 任课教师
课题 二次根式的概念和基本性质.2 课时 1 授课时间
教
学
目
标
1．探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法．
2．会用二次根式的性质进行简单的计算和化简．
教
学
方
法
自主探究学习法
小组合作学习法
〈含
教
学
重
难 点〉 关
键
问
题
重点：二次根式的积和商的性质．
难点：例题中（4）及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧．
教
具
准
备
小黑板 精品【初中语文试题】
精品【初中语文试题】 教 学 过 程 （预设）
程序 教 师 行 为 学 生 行 为
创
设
情
境
引
入
新
课 动手做一做：填空（可用计算器计算）：
（1） 49=＿, 4×9=＿;
（2） 45=＿, 4×5=＿;
（3） 916=＿, 916=＿;
（4） 32=＿, 32=＿. 比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否推广到一般形式？如果能，请用字母表示你发现的规律。
合
作
学
习
1.一般地，二次根式的积与商的性质：
积的性质：ab=a·b (a ≥0,b ≥0);
商的性质： ab=ab （a ≥0,b ＞0）
2.性质深化练习：判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正：
（1）(4)(9)=4×9；
（2） 4aa=4=2（a为任意实数）
例3：化简：
（1）121225；（2）247；（3）59；
（4）27；（5） 112
注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数。
②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简。
自愿上来板演，其他同学自己做。
解：（1）不成立。因为被开方数不能为负，4、9无意义。
沪科版八年级数学下册16.1.1二次根式教案
沪科版八年级数学下册16.1.1二次根式教案
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课题 16.1 二次根式 授课人
教
学
目
标 知识技能 1.说出二次根式有意义的条件．
2．能判断一个式子是否是二次根式，求出二次根式的被开方数中字母的取值范围．
3．理解二次根式的两个性质，并能利用性质对二次根式进行化简.
数学思考 经历列代数式解决实际问题，发现并构建二次根式的概念的过程，初步认识二次根式的特征，获得确定二次根式中字母的取值范围与化简二次根式（x－a）2(a为常数)的思路与方法.
问题解决 由二次根式的定义确定被开放数的取值范围，会用分类讨论的方法化简a2.
情感态度 积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动，在活动中获得成功的体验.
教学
重点 二次根式的概念、特征和性质.
教学
难点
授课
类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学
步骤 师生活动 设计意图
回顾 【温故知新】
图16－1－1
1.如图16－1－1，在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝1，∠C＝90°，那么AB边的长是__10__．
2．面积为23 m2的正方形的边长＝__23__m.
3．有一块长方形的绿地，如果绿地的长AB＝a m，宽AD＝a2m，那么对角线AC＝__5a24__m． 学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法．
沪科版八年级数学下册16.1.1二次根式教案
2 / 6 (续表)
活动
一：
创设
情境
导入
新课 【课堂引入】
我们知道像2x2yc3，－5ab2，4等这样的式子是整式，像2xy＋z，1a，a2＋1x2－x－2等这样的式子是分式．
3，10，46，5a24，是整式吗？是分式吗？
那么它又是什么呢？这就是我们要学习的二次根式．
置疑激趣，引入新课.
活动
二：
实践
探究
交流
新知 【探究1】 二次根式的概念
1．很明显3，10，46，5a24，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．