2020届合肥一中最后一卷理科数学试卷答案
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数学-(安徽卷)2020年中考考前最后一卷(全解全析)
2020年中考考前最后一卷【安徽卷】数学·全解全析1．【答案】D【解析】4600000000用科学记数法表示为：4.6×109．故选D．2．【答案】B【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，3．【答案】C【解析】A、底数不变指数相乘，故A错误；B、底数不变指数相减，故B错误；C、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故C正确；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；故选C．4．【答案】C【解析】当x>1时，x+b>kx+4，即不等式x+b>kx+4的解集为x>1．故选C．5．【答案】A【解析】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A．6．【答案】C【解析】∵AC∥BD∥y轴，点A，B的横坐标分别为1、2，∴A（1，1），C（1，k），B（2，12），D（2，12k），∴△OAC面积=12×1×(k–1)，△CBD的面积=12×(2–1)×(12k–12)=14(k–1)，∵△OAC与△CBD的面积之和为94，∴12(k –1)+14(k –1)=94， ∴k =4． 故选C ． 7．【答案】B【解析】∵抛物线和x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac >0，∴4ac ﹣b 2<0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间， ∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y =4a ﹣2b +c >0， ∴4a +c >2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y =a +b +c <0， ∴2a +2b +2c <0， ∵b =2a ，∴3b ，2c <0，∴③正确； ∵抛物线的对称轴是直线x =﹣1， ∴y =a ﹣b +c 的值最大，即把（m ，0）（m ≠0）代入得：y =am 2+bm +c <a ﹣b +c ， ∴am 2+bm +b <a ，即m （am +b ）+b <a ，∴④正确； 即正确的有3个， 故选B ． 8．【答案】B【解析】①当k =0时，方程化为–3x –94=0，解得x =34； 当k ≠0时，Δ=29(3)4()4k --⨯⨯-≥0，解得 k ≥–1，所以k 的范围为k ≥–1. 故选B ． 9．【答案】A【解析】作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，{BAD CBE AB BCADB BEC∠=∠=∠=∠，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC故选A．10．【答案】A【解析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．∵CG是圆的直径，∴∠CDG=90°，则DG==8，又∵EF=8，∴DG=EF，∴DG EF=，∴S扇形ODG=S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=12π×52=252π，故选A ．11．【答案】x ≥3【解析】移项，得：x ≥2+1， 合并同类项，得：x ≥3， 故答案为x≥3．12．【答案】()()222a a a +-【解析】()()()322824222a a a a a a a -=-=+-，故答案为：()()222a a a +-. 13．【答案】7π【解析】连接OD ，∵直线DE 与⊙O 相切于点D ， ∴∠EDO =90°， ∵∠CDE =20°，∴∠ODB =180°–90°–20°=70°， ∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD =70°， ∴∠AOD =140°， ∴AD 的长=1409180π⨯⨯=7π，故答案为：7π． 14．【答案】3或6【解析】如图，由题意可知有两种情况，见图1与图2；图1：当点F在对角线AC上时，∠EFC=90°，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，∵矩形ABCD的边AD=8，∴BC=AD=8，在Rt△ABC中，AC=，设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，即x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，即BE=3；图2：当点F落在AD边上时，∠CEF=90°，由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=12×90°=45°，∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=6，综上所述，BE的长为3或6．故答案为3或6．15．【解析】原式=4﹣+1=316．【解析】设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时，由题意得20452060 2.5x x-=，解得x=16，经检验x=16适合题意，2.5x=40，答：自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时.17．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）如图，线段B2C2可以看成是线段B1C1绕着点P逆时针旋转90°得到，此时P点的坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．18．【解析】（1）根据题中所给出的规律可知：1+2+3+4=()1442+⨯=10；（2）由图示可知点的总数是5×5=25，所以10+15=52．（3）由（1）（2）可知()21 (1)22n nn nn+-+＝19．【解析】延长BC交OP于H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴512 ADPD=，设AD=5k，则PD=12k，由勾股定理，得AP=13k，∴13k=26，解得k=2，∴AD=10，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BH⊥PO，∴四边形ADHC是矩形，CH=AD=10，AC=DH，∵∠BPD=45°，∴PH=BH，设BC=x，则x+10=24+DH，∴AC=DH=x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即14xx-≈4.01．解得：x≈18.7，经检验x≈18.7是原方程的解．答：古塔BC的高度约为18.7米．20．【解析】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．∵E是AB的中点，∴AE=BE，在△ADE与△BCE中，AD BCA B AE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC，在直角△ADE中，AE=4，AE=12AB=3，由勾股定理知，DE=，∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．21．【解析】（1）24÷30%=80，所以样本容量为80；m =80×15%=12，n =80﹣12﹣4﹣24﹣8﹣4=28； 故答案为80，12，28；（2）E 等级对应扇形的圆心角α的度数=880×360°=36°； （3）700×12+480=140， 所以估计体育测试成绩在A 、B 两个等级的人数共有140人； （4）画树状图如下：共12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为2， 所以恰好抽到甲和乙的概率=21=126． 22．【解析】（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y =ax 2（a ≠0）， 将点（100，1000）代入得：1000=10000a ， 解得：a =110， 故y 与x 之间的关系式为y =110x 2． 图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20）， 设z =kx +b ，则100k+b=20b=30⎧⎨⎩解得：1k=-10b=30⎧⎪⎨⎪⎩故z 与x 之间的关系式为z =﹣110x +30； （2）W =zx ﹣y =﹣110x 2+30x ﹣110x 2=﹣15x 2+30x=﹣15（x 2﹣150x ）=﹣15（x ﹣75）2+1125， ∵﹣15<0，∴当x =75时，W 有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元； （3）令y =360，得110x 2=360， 解得：x =±60（负值舍去）， 由图象可知，当0<y ≤360时，0<x ≤60， 由W =﹣15（x ﹣75）2+1125的性质可知， 当0<x ≤60时，W 随x 的增大而增大， 故当x =60时，W 有最大值1080， 答：今年最多可获得毛利润1080万元．23．【解析】（1）∵GE 是AB 的垂直平分线，∴GA =GB ．同理GD =GC ．在△AGD 和△BGC 中，∵GA =GB ，∠AGD =∠BGC ，GD =GC ， ∴△AGD ≌△BG C ．∴AD =BC ．（2）∵∠AGD =∠BGC ，∴∠AGB =∠DGC ． 在△AGB 和△DGC 中，GA GBGD GC=，∠AGB =∠DGC ，∴△AGB ∽△DGC ． ∴GA EGGD FG=，又∠AGE =∠DGF ，∴∠AGD =∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ． （3）如图，延长AD 交GB 于点M ，交BC 的延长线于点H ，则AH ⊥BH ．由△AGD ≌△BGC ，知∠GAD =∠GBC ，在△GAM 和△HBM 中，∠GAD =∠GBC ，∠GMA =∠HMB ． ∴∠AGB =∠AHB =90°， ∴∠AGE =12∠AGB =45°，∴GAGE=又△AGD ∽△EGF ，∴AD AGEF EG==。
2024届合肥一中最后一卷数学试题答案
合肥一中2024届高三最后一卷数学参考答案1．已知向量(2,3)a =，(1,3)b − ，则2a b −= （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案解析】2(2,3)(2,6)(4,3),25a b a b −=−−=−−=，选D 2．已知复数z 满足(1)2z i i ⋅+=−，则=z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321− C ．i 2321−− D ．i 2321+− 【答案解析】2131312222iz i z i i−==−=++，，∴选A3．已知焦点在x，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A ．2213x y += B ．2219x y += C ．22197x y += D ．2213628x y +=【答案解析】22223,9,927,197x y a a b c a =====−=+=，选C4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，32a =，则4a =（ ） A ．1 B ．23或-1 C ．23− D ．23−或1 【答案解析】由3S =14，3a =2，12q ∴=或41,3q a =−∴=23−或1，∴选D5．已知α为三角形的内角，且cos α=， 则sin 2α=（ ）A C D【答案解析】sin2α= B6．甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ）A ．36种B ．48种C ．54种D ．64种【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为321133423336A A A A A −=种，选A 7．已知四棱锥P ABCD −的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB ∆为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（ ）A ．13π B ．16π C ．523π D ．20π【答案解析】如图，2OE FG AE ===，222221323R OE AE ∴=+=+=， 25243S R ππ∴==，故选C. 8．过(0,)M p 且倾斜角为((,))2πααπ∈的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β．则tan()αβ−的最小值为（ ）ABC． D．【答案解析】如图设00(,)N x y ，则AB l 为00()x x p y y =+且过(0,)M p ，0y p ∴=−且， 又设'2tan pk x β==−，'2k k ∴=− ， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−∴−=+， 当且仅当k ==”成立，故选Ctan x kpα=''2()()1k k k k k k−==−+−≥+9. 下表是某人上班的年收入(单位：万元)与上班年份的一组数据： 年份x 1 2 3 4 5 6 7 收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（ ） A ．年收入的均值为4.3 B ．年收入的方差为1.2 C ．年收入的上四分位数为5D ．若y 与x 可用回归直线方程 0.5y x a =+来模拟，则 2.3a = 【答案解析】30.14.37=，A 正确； 21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，B 错误；70.75 5.25×=，所以上四分位数为5.2，C 错误；0.5 4.30.54 2.3ay x =−=−×=，D 正确； 故选AD 10．已知函数2()cos sin (0)f x x x x ωωωω=−>，则下列命题正确的有（ ）A ．当2ω=时，524x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．若12|()()|2f x f x −=，且12min ||x x π−=，则12ω= C ．存在(0,1)ω∈，使得的图像向左平移6π个单位得到的函数为偶函数 D ．若()f x 在[0,]π上恰有5个零点，则ω的范围为7[2,)3【答案解析】1()sin(2)62f x x πω=+− 对于A ，当2ω=时，1()sin(4)62f xx π=+−，51()242f π=−， 524x π∴= 不是()y f x =的一条对称轴，对于B ，由题意知，2T π=，12ω∴=对于C ，11()sin(2())sin(2)62362g x x x ππωππωω=++−=++−， 若()g x 为偶函数，则362k ωππππ+=+，∴，矛盾对于D ，令t =2[,2]666x πππωωπ+∈+，由题意知，2529[,)66ππ∈ 7[2,)3ω∴∈故选BD11．已知函数()x f x e =，，则下列命题正确的有（ ） A ．若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤−B ．若()y f x =与1y ax =−相切，则2a e =C ．存在实数a 使得()y f x ax =−和()y g x ax =+有相同最小值D ．存在实数a 使得方程()f x x a −=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列 【答案解析】对于A ，由()g x ax ≥得，令，则'2ln 1()x h x x−= ∴ ()y h x =在(0,)e 单调递减，(,)e +∞单调递增，∴min 1()()a h x h e e≤==−对于B ，设切点为00(,)xP x e ，则切线方程为000()xxy e e x x −=−，即000(1)x x y e x e x =+−，又1y ax =−，000(1)1x x e ae x = ∴ −=− ，(1ln )1()a a ∴−=−∗ 2a e = 不满足式，∴B 错，对于C ，易知当1a =时()y f x ax =−和()y g x ax =+有相同最小值1，13k ω=+26πωπ+()ln g x x =−的ln x a x ≤−ln ()x h x x =−()∗的对于D ，令()()x h x f x x e x =−=−，令()()ln x g x x x x ϕ=+=−，则(),()h x x ϕ的图象大致如下：设交点为(,())M m h m ，易知01m <<，由图象知，当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点(())M m h m ，，即().a h m =因为()()h m m ϕ=，所以ln m e m m m −=−，即2ln 0m e m m −+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得x m ln e x x x e m −=−=−，解得m x m x e =或.由01m <<得1m m e <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为ln m ，m ，m e .因为2+ln =0m e m m −，即+ln =2m e m m ，所以ln m ，m ，m e 成等差数列， 故选ACD12．已知集合2{|20}A x N x x =∈−−≤，集合22{|(21)0}B x x a x a a =−+++=，若B A ⊆，则a =___________．【答案解析】{0,1,2}A =，{,1}B a a =+，由B A ⊆得0a =或1a =13．过(1,2)P 的直线l 被曲线2240x x y −+=所截得的线段长度为l 的方程为___________ ．【答案解析】当斜率不存在时1x =满足题意；当斜率存在时，设直线l ：2(1)y k x −=−，由题意知圆心到直线的距离为1得34k =−∴1x =或34110x y +−=14.在ABC ∆中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin ,b c A B C ≠=+则以下结论正确的有____（5）__________.（1）2(0,);11a b c∈+（2）2(11a b c∈+（3）);2b ca +∈ （4）(2b c a +∈（5）).a ∈+∞【答案解析】222222222222222222222222222,2,cos cos ()cos 2cos ()cos ,cos ()(1cos )0,0,cos cos ()cos 2cos ,,2a a b c b c bc A A a b c A bc A b c A b c a Aa abc A b c A Aa b c A bc A b c a b c a a =+=++=++=+++−+−+=+−==+>=+−+>>15. 正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，P 是线段1A B 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ； （2）1PB 与平面11A BCPB 的长. 【答案解析】（1）证明：由题，1DD ⊥面1111A B C D ，四边形1111A B C D 为正方形，所以1111111,AC B D AC DD ⊥⊥，而111111,B D DD D B D ∩=⊂面11BDD B ，1DD ⊂面11BDD B ，所以11AC ⊥面11BDD B ，而11AC ⊂面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .…………………………………………………………………………6分（2）设1B 在面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，11A BC S ∆=， 111111B A BC B A B C V V −−=，即1111222332EB ×=××××，得1EB =,设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则11sinEB PB θ==所以1PB =，在1BPB ∆中，由余弦定理得，2221112cos4PB BB PB BB PB π=+−××，即224PB =+−，解得PB =分16．甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢或输的概率分别为0.8，0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少?(保留小数点后一位)（2）由于甲、乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局则乙胜”，求乙胜的概率. 【答案解析】（1）()0.20.20.20.80.20.80.20.20.104P A =×+××+××=， 所以()0.20.20.820.20.2()23 2.615 2.60.1040.104E X ××××=×+×≈≈.………………7分（2）设00.2p =，则2112131402000300040005000223400000()[(1)][(1)][(1)][(1)][12(1)3(1)4(1)5(1)]0.048.6160.34464.P A p C p p p C p p p C p p p C p p p p p p p p =+−+−+−+−=+−+−+−+−=×=……………………………………………………………………………………………15分17. ()()x a f x e a R −=∈.（1）若()f x 的图象在点00(,())A x f x 处的切线经过原点，求0x ； （2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围. 【答案解析】 （1）()x af x e −′=，所以00000()x a x ae f x e −−−′==−，所以01x =；………………5分（2）即()sin 00x aex x −−≥∀≥，令()sin x a g x e x −=−，若0a ≤，则0,1,()sin 1sin 0,x a x a x a e g x e x x −−−≥≥=−≥−≥合题；…………7分若0,()cos ,x a a g x e x −′>=− 令()(),h x g x ′=则()sin ,x a h x e x −′=+当0x π≤≤时，()0,()h x g x ′′>递增，而2(0)10,()0,2aag e g e ππ−−′′=−<=>所以，存在唯一的0(0,)[0,],2x ππ∈⊆使得000()cos 0,x a g x e x −′=−=所以，当00x x <<时，()0,()g x g x ′<递减，当0x x π<<时，()0,()g x g x ′>递增，故00000()()sin cos sin 0,x ag x g x ex x x −==−=−≥极小所以00,4x π<≤此时，00ln cos ,x a x −=故00ln cos 4a x x π=−≤−即ln 2042a π<≤+； ……………………………………………………………………………………………11分当x π>时，ln 2142()sin 1110x x ax ag x e x eee π−−−−=−≥−≥−≥−>，因而ln 202a π<≤+合题； 综上所述，a 的取值范围是求ln 2(,].42π−∞+………………………………………15分 18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上焦点为，下顶点为A ,渐近线方程是y =，直线23y =与y轴交于B 点,过B 点的直线交双曲线上支于,P Q 两点,,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点,O 坐标原点.（1）求C 的方程;（2）求证:,,,M N O A 四点共圆; （3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围. 【答案解析】（1）由题，222ac a b c b==+=，解得2242a b ==，，所以C 的方程为221.42y x −=…………………………………………………………4分（2）（方法一）设11222(,),(,),:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142y x −=，化简整理得22432(2)039k x kx −+−=，有222122016324(2)0990k k k x x −≠∆=−−−>>，解得21629k <<， 112:2y AP yx x +=−，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+， 12121212121221212128864||||36369(2)(2)6464168649(2)(2)99()39x x x x BM BN y y y y x x x x y y k x x k x x =×=++++==+++++，2216||||(2),||||||||,339BO BA BO BA BM BN =×+==所以,,,M N O A 四点共圆.……………………………………………………………………………………12分（2）（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆AOM ANM π⇔∠+∠=()παβπ⇔++=,,(0,)22ππαβαβ⇔+=∈tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设11222(,),(,),:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142y x −=，化简整理得 22432(2)039k x kx −+−=，有222122016324(2)0990k k k x x −≠∆=−−−>>，解得21629k <<， 122329(2)x x k =−−，12243(2)kx x k +=−−， 112:2y AP yx x +=−，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+， 1124OM y k x +=，222AN AQy k k x +==， 1212121288()()223344OM AN kx kx y y k k x x x x ++++== 2121212864()3914k x x k x x x x +++=， 所以,,,M N O A 四点共圆.……………………………………………………………12分（3）设圆心为T ，则121212121212212121,44488363633382()438643()39T T y x x x x x x x y y kx kx kx x x x k k x x k x x =− +==+=+ ++ ++++=+++(,1),5(3T k r ∴−=…………………………………………………………17分19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1n i i x T ==∑(T 为常数), 11.n i n i i nx x T x T x −==−−∑如果函数()f x 满足：在区间I 上恒有()0f x ′′>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：1111()()n ni i i i f x f x n n ==≥∑∑，. （1）判断(),(0,1)1x f x x x =∈−是否为凸函数，并证明; （2）设(1,2,,),i i x y i n T== 证明：111111n n y y n −≤−−−； （3）求n nx T x −的最小值. 【答案解析】（1）()2312(),()0,(0,1)(1)1f x f x x x x ′′′==>∈−−，所以()f x 在(0,1)上为凸函数. …………………………………………………………………………………………4分（2）(1,2,,)i x y i n = 为正数，11111n n n i i i i i i x y x T T =====∑∑∑,即11n i i y ==∑， 由11n i n i i n x x T x T x −==−−∑，得11,11i n n i n i x x TT x x T T −==−−∑ 即1111n i n i i n y y y y −==−−∑， 所以11111111111111()(1)()(1)111111111n i n n n n i i n i i n n i i i n i i i y y y y n f y n f y n y y y n y n n −−−−=−====−−==≥−=−=−−−−−−−−∑∑∑∑∑， 01(1,2,,)i y i n <<= ，所以111111111n n n n n y y n y y y n −−−−≤=−−−−， 即111111n n y y n −≤−−−，所以111111n n y y n −≤−−−.……………………………10分 （3）11111n n n n n n n x x y T x T x y y T===−−−−−关于n y 在(0,1)递增， 由（2）解得min ()3)n y n =≥；当2n =时，12n y ≥.所以min 3)n n x n T x =≥ − ；当2n =时也成立. 当3n ≥时，当且仅当12111n n y y y y n −−=====− 时取“=”；当2n =时，当且仅当1212y y ==时取“=”. 所以n n x T x −分。
安徽省合肥市第一中学2024届高三最后一卷数学试题(解析版)
合肥一中2024届高三最后一卷数学试题（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（）A.13i 22+B.13i 22-C.13i22-- D.13i22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-，所以13i 22z =+.故选：A.3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为3，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.2213x y += B.2219x y +=C.22197x y += D.2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：232c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）A.1B.23或-1 C.23-D.23-或1【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =-当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；423a ∴=-或1.故选：D5.已知α为三角形的内角，且15cos 4α-=，则sin 2α=（）A.14-+ B.14 C.38- D.354-【答案】B 【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，15cos 4α=，所以sin 2α==154+===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A 【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A 36-=种，故选：A.7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（）A.13π3B.16πC.52π3D.20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为1333OE FG PG ===，2AE =，所以393R OA ====所以2239524π4π)π33S R ==⋅=，故选：C.8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0tan x k p α==，设2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9()2y y - 1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（）A.当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()31cos 2311π1sin2=cos 2=sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=，又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Zk ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（）A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2ea =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-，可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-，所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣，(){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为d =，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+，由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=，所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>，所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1AB 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13EB =，结合线面夹角可得13EB =，进而可得结果.【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111AC DD ⊥，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，可知11A BC V是以边长为1134A BC S =⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则111233sin 3EB PB PB θ===，可得1PB =，在1BPB △中，由余弦定理得，222111π2cos 4PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，即224PB =+-，解得PB =.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()120.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：()()12C 0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X ⨯⨯⨯⨯======，所以X 的数学期望()583423 2.6131313E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，则()()()()2321110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()ex af x -'=，得到()00ex af x -='且()00ex af x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围.【小问1详解】由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos ln 42a x x =-≤-，即πln2042a <≤+；当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ---=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x （2）证明见解析（3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==，所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<，()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++===()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k k k⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.（1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,ii x y i n T == ，证明：111111n ny y n -≤---；（3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()5128221nn --.【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的不等式，变形后即可得出结论.（3）设i i x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1n ny y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，所以()f x 在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因为i i x y T =()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x TT T =======∑∑∑，由题知11n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x TT x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立，当3n ≥时，()()3451283451282222n n n y n n ---+≤≤--，所以1n n n n x y T x y =≥--22(5128)(34)(24)4128n n n n nn n--++-+-=-+()22288(22412821n n n nn n n-+-+--==-+-，当且仅当()()121151281221nny ny y yn n n--=====---时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxT x-的最小值是()5128221nn--.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxT x-转化为1nnyy-，利用第2问的结论，求出ny的最小值.。
【附加15套高考模拟试卷】安徽省合肥一中2020届高三冲刺高考最后1卷数学(理)试卷含答案
安徽省合肥一中2020届高三冲刺高考最后1卷数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。
依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。
得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。
则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）A ．13,28B ．11,28C ．11,35 D ．12,392．下列四个命题:存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．43．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．如果复数(2)()ai i a R +∈的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-15．设i 为虚数单位,m R ∈,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．407．已知向量44sin,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，向量()1,1b =r ，函数()f x a b =r r g ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数8．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =L ，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14 C ．2 D ．229．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是（ ）A ．1-B ．12 C ．1D ．210．已知集合{}|12A x a x a =-≤≤+，{}|35B x x =<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =C ．3y x =D ．2y x =±12．在区间[]0π，上随机取一个数x ，则事件2“sin cos 2x x +≥发生的概率为( ) A ．12 B ．13 C ．23 D ．712二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市第一中学高三最后一卷数学答案和解析
合肥一中2023届高三最后一卷数学参考答案1.解析：因为][0,2,2,0A B ⎡⎤==-⎣⎦所以{}(){}0,0R A B A B x Rx ⋂=⋂=∈≠∣ð.故选：C .2.解析：因为1z =+，所以1z =，故z 的虚部是.故选：A .3.解析：5x =，故0.155 5.75 6.5y =⨯+=，经计算可得被污损的数据为6.4，答案选B .4.解析：曲线1:sin 2cos22C y x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，把1:cos2C y x =上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，可得cos3y x =的图象；再把得到的曲线向左平移18π个单位长度，可以得到曲线25:cos 3cos 366C y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选：C.5.解析：设直线1y =与y 轴交点为M ，由对称性，易知MFA 为直角三角形，且1602AFM AFB ∠∠== ，2AF FM ∴=，即1212p +=，去绝对值，解得23p =或6,p =∴抛物线的准线方程为13y =-或3y =-.故选：C.6.解析：一方面，考虑{}Ω,,,a b c d =含有等可能的样本点，{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===.则()()()()()()11,24P A P B P C P AB P BC P AC ======，故,,A B C 两两独立，但()1148P ABC =≠，故此时，()()()()P ABC P A P B P C =不成立.另一方面，考虑{}Ω1,2,3,4,5,6,7,8=含有等可能的样本点，{}{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,4,6,7,8A B C ===.则()()()()11,28P A P B P C P ABC ====()111822P AC =≠⨯，故,A C 不独立，也即,,A B C 两两独立不成立.综上，“,,A B C 两两独立”是“()()()()P ABC P A P B P C =”的既不充分也不必要条件.故选D.7.解析：作AQ 垂直下半平面于，作AH x ⊥轴于H ，连接,HQ QB .设11,,,(0)A m B m m m m ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题可知60AHQ ∠= ，则11,,22AH QH AQ m m m ===，两点间距离公式可得222144QB m m =+.22222144AB AQ QB m m =+=+≥，当且仅当22m =时，AB 取最小值2.故选A.8.解析：因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+①，所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称，因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②，又()()31f x g x -+=③，②+③得()()132f x f x -+-=④，即()()132f x f x +++=，即()()22f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，又()()13g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得()()132f x f x ++-=，故()f x 的图象关于点()2,1中心对称，且()21f =，故选项A 正确，易得()()01,41f f ==，且()()132f f +=，故()()()()12344f f f f ++==，故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑，因为()1f 与()3f 值不确定，故选项C 错误，因为()()31f x g x -+=，所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-，所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦，故()()()()01230g g g g +++=，故2023()50600i g i ==⨯=∑，所以选项D 正确，故选C .9.解析：A.()()22AD AF AB AF ED =+=+，故A 错误；B.因为()()2,22||AB EA AB EA FA AB FA AB EB AB ⊥⋅+=⋅=⋅= ，故B 正确；C.()()11,22BC CD FE BC BC CD FE FE ⋅=⋅= ，又BC FE =，所以()()BC CD FE BC CD FE ⋅=⋅ ，故C正确；D.AE 在CB方向上的投影向量为()3322AE CB CB AE CB CB CB e CB CB⋅=⋅=-=，故D 错误.故选BC .10.解析：由切线长定理易得12l r r =+，A 正确.由勾股定理知()()222121212(2)4R r r r r r r =+--=，解得R =，B 正确.()()()222122222221212121212124422S R R R S r r r r r r r r l r r r r ππππ===+++++++.()()33212222222121212121212442331233R R V R R V r r r r r r r r h r r r r ππππ===++++++.所以1122,C S V S V =正确.1122212212122122231S r r r r S r r r r r r ==≤++++，当且仅当12r r =时等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D 错误.综上，答案为ABC .11.解析：以BC 为x 轴，DA 为y 轴建系，则()(0,0,D A 可以求得动点M 的轨迹方程：22302x y y +-=.这是一个圆心在点0,4P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径为34的圆(不含原点)D A 项：()1,0B -，所以max 193||4BM BP r =+=.故A 错误B项：2222||1||11424CB MB MC MD MD ⎛⎫⋅=-=-≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭ .故B 正确C 项：易知直线:10AB x y -+=，故1328ABM M AB S AB d -=≤.故C 错误D 项：易知cos MBC ∠取最小值，当且仅当MBC ∠取最大值，也即BM 与P 相切时.此时3tan 24MBC ∠=，故221tan 132cos 191tan2MBCMBC MBC ∠∠∠-==+.故D 正确.故选：BD.12.解析：由sin 0,cos 0x x >>得()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,2x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不在定义域内，故()()f x f x π+=不成立，易知()f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误，又()22222cos log cos 2sin log sin 2f x x x x x f x π⎛⎫-=⋅+⋅=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以选项B 正确，因为()222222sin log sin cos log cos f x x x x x =⋅+⋅，设2sin t x =，所以函数转化为()()()()()()2222log 1log 1,0,1,log log 1g t t t t t t g t t t =⋅+-⋅-∈='--，所以()0g t '>得，()0g t '<得102t <<，所以()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故min 1()12g t g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即min ()1f x =-，故选项C 正确，因为()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由2sin t x =，令210sin 2x <<得20sin 2x <<，又()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得22,4k x k k Z πππ<<+∈，因为2sin t x =在2,24k k πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的单调递减区间为2,2,4k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，同理函数的递增区间为2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选BCD.13.解析：因为22(1)y x =-'，所以曲线11xy x+=-在点()2,3-处的切线斜率为2，所以切线方程为()322y x +=-，即27y x =-，即270x y --=.14.解析：法1：()tan tan tan 1,tan tan tan tan 11tan tan αβαβαβαβαβ++==-∴+=-- .()()()cos sin 1tan tan tan tan 2cos cos βααβαβαβαβ--+∴=-++=.法2：（特殊值法）令38παβ==，易得答案.15.解析：0.255205.2550.250.0025510.0199=+++=+=- .16.解析：设双曲线的右焦点为2F ，根据双曲线方程知，2c =.直线过原点，由对称性，原点O 平分线段原点AB ，又原点O 平分线段2,FF ∴四边形2AFBF 为平行四边形.ABF 和2ABF 中，分别有中位线，,OP BF OQ AF ∥∥，,,OP OQ AF BF ⊥∴⊥∴ 四边形2AFBF 为矩形，2BFF ∴ 为直角三角形.不妨设B 在第一象限，设直线AB 倾斜角为2θ，则2,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且OFB OBF ∠∠θ==，在Rt 2BFF中可得：22124cos 4sin ,2cos 2sin 4c a BF BF e a θθπθθθ∴=-=-∴===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,,,3264ππππθθ⎡⎫⎡⎫∈∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，易知()14f θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上为增函数，)11,4e ∞πθ∴=∈+⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解析：（1）因为1cos 3B =，所以2222sin 1cos 2costan 222cos 2A CB AC B A C ++++=++()()1cos 1cos 21cos A C B A C -++=+++1cos 1cos 821cos 3B B B ++=+=-.（2）因为ABC S =1122sin 223ac B ac =⋅=，所以6ac =再由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，即222614263c c ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，也即4220360c c -+=，解得c =c =.18.解析：（1）因为21342n n n n S S S a +++=-，所以()21132n n n n n S S S S a +++-=--，即2132n n na a a ++=-所以()()()()()()21111111223222220n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++---=----=---=（为常数）所以数列{}12n n a a +-是等差数列.（2）由（1）知121221n n a a a a +-=-=，即121n n a a +=+.也即()1121n n a a ++=+，又112a +=，所以11222n n n a -+=⋅=..所以()()()()1222112122121n n n n n n n b n n n n n n a +⎡⎤++===-⎢+⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦.∴数列{}n b 的前n 项和()12231111111212222232212n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1111121121212n n n n +⎡⎤=-=-⎢⎥⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦19.（1）补全四面体PQRS 如图，即证：PQ SR ⊥取SR 的中点M ，正四面体中各个面均为正三角形，故,PM SR QM SR ⊥⊥，又PM QM M ⋂=，所以SR ⊥面PQM .又PQ ⊂面PQM ，所以PQ SR ⊥.（2）在QSR 的中心建系如图：则()(33,,,0,,02222S P R Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,0,,,33623A C ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31,,022K ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，.设面ACK 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()n =- ，又33,,22PQ ⎛=- ⎝ ，所以22sin cos ,11n PQ θ== .20.解析：（1）设事件A 为“小周在这三个月集齐三款模型”，则()3333111034500A P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）1,2,,12X = ，由题意得()()1911,2,,111010k P X k k -⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，()1191210P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭11111199()12101010k k k E X -=⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑，错位相减求得最后结果为()11910910E X ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.21.解析：（1）将()1,1M 代入，可以求得243b =.联立22314410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得24610x x --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12262AB x =-=，又易知点M 到直线l的距离为2，故ABM的面积4ABM S = ..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立22314410x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得()223230t y ty +--=，则1221222333t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，11sin ,sin 22ABM PQM S AM BM AMB S PM QM PMQ ∠∠== ，又sin sin PMQ AMB∠∠=所以5PQM ABM S S = 等价于5PM QM AM BM =，也即5QM AM BMPM=5QM AMBMPM =即1251313x x -=-，也即129115x x --=，也即1295ty ty --=，也即223935t t =+，解得322t =±.22.解析：（1）()ln f x x ax =-'在()0,∞+上有两个变号零点，即ln xa x=有两个不等实根，设()()2ln 1ln ,x x g x g x x x-'==，故()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，所以max 1()g x e=，且()10g =，又(),0x g x ∞+→+→，故10a e<<，且121x e x <<<，所以()2111111ln 12f x x x ax x =--+，又11ln x a x =，所以()21111111111ln 11ln 1ln 122x f x x x x x x x x x =-⋅⋅-+=-+，设()()1ln 1,1,2h x x x x x e =-+∈，所以()()1ln 102h x x =-<'，所以()h x 在()1,e 上单调递减，所以()1,02e h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以()11,02e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（2）法一：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以()2121ln ln x x a x x -=-，得：2121ln ln x x a x x -=-，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：123ln22ax ax +<，即证：()2123ln2a x x ->，即证：()212121ln ln 23ln2x x x x x x -->-，即证：2211212ln 3ln2x x xx x x -⋅>-，即证：22121121ln 3ln21x x x x x x -⋅>-，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-，设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法二：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以2211ln ln x x x x =，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，.由2211ln ln x x x x =可得：12ln ln ln ,ln 11t t tx x t t ==--，.要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：ln 2ln 3ln211t t t t t +<--，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法三：由（1）知：10a e<<，且121x e x <<<，()ln xg x x=在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，又1122x x x <<，且()()12g x g x a ==，所以()()()2112g x g x g x =<，所以1111ln ln22x x x x <，所以211ln ln2x x <，所以2112x x <，所以112x <<，又()ln222g =，所以ln202a <<，又ln2ln424=，即()()24g g =，所以24x >，因为122x x <，所以212284x x x <<，故2128x x <.。
合肥市一中、六中、八中2020-2021学年高一下学期期末考试 数学试题(含答案)
合肥市一中、六中、八中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：每小题5分，共60分.1.设复数z 满足()1242i z i -=+，则z =（ ）A.3iB.3i -C.2iD.2i - 2.已知向量()1,2a =，(),1c m =-，若()a a c ⊥-，则实数m 的值为（ ）A.9B.7C.17D.213.某校高一年级15个班参加庆祝建党100周年的合唱比赛，得分如下：85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98，则这组数据的40%分位数、90%分位数分别为（ ）A.90.5，96B.91.5，96C.92.5，95D.90，964.从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）A.“至少一个白球”和“都是红球”B.“至少一个白球”和“至少一个红球”C.“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D.“恰有一个白球”和“都是红球”5.设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）①若//αβ，//a α，则//a β或a β⊂ ②若a α⊥，b α⊥，则//a b③若a α⊥，a β⊥，则//αβ ④若αβ⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④其中x x 甲乙，则两个班学生身高的方差为（ ）A.19B.18C.18.6D.207.在一个掷骰子的试验中，事件A 表示“向上的面小于5的偶数点出现”，事件B 表示“向上的面小于4的点出现”，则在一次试验中，事件A B 发生的概率为（ ）A.12B.23C.13D.568.在ABC △中，已知cos cos a A b c B +=+，则ABC △的形状是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形9.如图，矩形ABCD 中，AB =ADEF 的边长为1，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，则异面直线BD 与FC 所成角的余弦值为（ ）A.7-B.7C.5D.5-10.如图，在ABC △中，AB BC ==90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A.7πB.5πC.3πD.π11.如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，120BAD ∠=︒，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM BD ⋅的最大值是（ ）A.3+B.3+C.5D.5+12.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，PD ⊥平面ABCD ，且4PD =，E ，F ，M 为PA ，PC ，AB 的中点，则经过E ，F ，M 的平面截四棱锥P ABCD -的截面面积为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC △中，23B π=，AC 1AB =，则BC =____________. 14.底面直径为2的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为____________.15.在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为0.8，0.5，若两人测试是否通过相互独立，则至少有一人通过的概率为_______________.16.在ABC △中，角A ，B ，C 满足222sin 3sin 3sin sin sin A B C A B C =+-，则C =_________.三、解答题：本题共6小题，共70分.其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()1124z ai i i a R =++++∈.（1）若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值；（2）求1z -的取值范围.18.某校高一年级为了提高教学效果，对老师命制的试卷提出要求，难度系数须控制在[]0.65,0.7（难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值，例如：满分为100分的试卷平均分为68分，则难度系数680.68100=），某次数学考试（满分100分）后，王老师根据所带班级学生的等级来估计高一年级1800人的成绩情况，已知学生的成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，统计数据如图所示，根据图中的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高一年级学生获得等级为B 的人数.（2）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应90分，80分，70分，60分，50分，请问按王老师的估计：本次考试试卷命制是否符合要求.（3）王老师决定对成绩为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）先找4人进行单独辅导，按分层抽样抽取的4人中任取2人，求恰好抽到1名男生的概率.19.已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ac =+ （1）求A ；（2）若ABC △的面积为2，求ABC △的周长的最小值.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，且160ABB ∠=︒，点M ，G 分别在1CC ，1AB 上，且11MC GB a ==，BC =（1）证明：直线//MG 平面111A B C . （2）若点G 恰好是点1C 在平面11ABB A 内的正投影，此时32a =，求三棱锥111M A B C -的体积. （注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）21.合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC △为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BD ⊥平面1ABC ，其垂足D 落在直线1B C 上.（1）求证：1AC B C ⊥；（2）若P 是线段AB 上一点，BD =，2BC AC ==，三棱锥1B PAC -的体积为3，求二面角1P B C A --的平面角的正弦值.（注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.B8.D9.C 10.A 11.A 12.B二、填空题13.214.3π 15.0.9 16.6π 三、解答题17.解析：（1）化简得()()()()112435z ai i i a a i =++++=-++，………………………………2分 所以z 在复平面中所对应的点的坐标为()3,5a a -+，………………………………………………3分 在直线0x y -=上，所以()350a a --+=，得1a =-，…………………………………………5分（2）()()125z a a i -=-++==7分 因为a R ∈，且24926292a a ++≥，…………………………………………………………9分所以1z -=1z -的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.………………10分 18.解析：（1）高一年级获得成绩为B 的人数为141800252100⨯=（人）.……………3分 （2）王老师所带班级平均分为907801470416022501667.4100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，………………6分 所以估计难度系数为0.674，符合要求.…………………………………………………………7分（3）按分层抽样，抽到的4人中男生1人，女生3人，……………………………………8分 4人中任取2人共有6种取法，……………………………………………………………………9分 2人中恰有1名男生有3种取法，……………………………………………………………………10分 所以恰好抽到1名男生的概率为3162=.………………………………………………………………12分19.解析：（1）由已知，得()()()sin sin sin b B C a c A C =+-，由正弦定理，得()()()b b a c a c =+-，即222b c a +-=.…………………………………………………………………………………2分再由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-==.…………………………………………………………4分 又0A π<<，所以6A π=.…………………………………………………………………………5分 （2）由（1）及已知得，ABC △的面积为1sin 226ABC S bc π==△，所以8bc =.…………6分又b c +≥=7分于是()()222222cos 216a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+--9分所以三角形周长2a b c b c ++=+≥+11分所以周长最小值为2，此时2a =，b c ==……………………………………………………………………12分20.解析：（1）过G 作1//GE AA 交11A B 于E ，连接1C E ，因为11AB A △为等边三角形，所以1GE GB =，又11GB MC =，所以1GE MC =，……………………………………………………………………1分又11//MC AA ，所以1//GE MC ，……………………………………………………………………2分所以四边形1MGEC 为平行四边形，………………………………………………4分所以1//MG EC ，又MG ⊄平面111A B C ，1EC ⊂平面111A B C ，所以直线//MG 平面111A B C .…………6分（2）因为2BC =112B C =， 又132GB =，所以，在直角三角形11C GB中，1C G 7分11132sin 60224A B G S =⨯⨯⨯︒=△，…………………………………………………………9分 又//MG 平面111A B C所以1111111111334M A B C G A B C C A B G V V V ---====.……………………………………12分 21.解析：（1）2222cos 3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，………………………………2分 又sin sin 3AC AD ACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，∴2BCD π∠=，…………………………………………4分()3214m 2BCD S a =⨯⨯=△，………………………………………………………………5分 （2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是()222016cos AC a θ=-①，……………………………………………………………………6分 22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②，…………………………………………………………………7分 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③，………………………………………8分∴22212sin 124sin 238BCD a AC a S a AC AC ACAC πθα⎡⎤+⎛⎫=⨯⨯⋅+=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，………………11分当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.………………12分 22.解析：（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1AC BB ⊥，又BD ⊥平面1ABC ，∴AC BD ⊥，1BD BB B =，∴AC ⊥平面11BB C C ，……………………3分 1B C ⊂平面11BB C C ，∴1AC B C ⊥.………………………………………………………………4分（2）由（1）知AC ⊥平面11BB C C ，∴AC BC ⊥，2BC AC ==，∴AB =设AP x =，则122PAC S x x =⨯=△， ∵1BD B C ⊥，1Rt Rt B BC BDC △∽△，2BC =，BD，∴1BB =6分∴1132B PAC V x -=⨯⨯=∴2x =，∴13AP PB =，…………………………………………………………………………7分 连接AD ，过P 作//PO BD 交AD 于O点，易知14PO BD ==， 过P 作1PE B C ⊥，E 为垂足，连接OE ， 1B C PE ⊥，1B C PO ⊥，1PE PO P B C =⇒⊥平面POE ，OE ⊂平面POE ，所以1B C OE ⊥， 则PEO ∠为二面角1P B C A --的平面角，………………………………………………10分 在1PB C △中，易求PC =1PB =，14B C =，由等面积法可知PE =所以sin 13PO PEO PE ∠===……………………………………………………12分。
安徽省合肥一中2020届高三数学9月阶段性检测考试试题理(含解析)
4-x2的定义域为M,g(x)=ln(1-x)的定义域为N，则M I N=（）B.4-x2，所以4-x2>0，解得-2<x<2，故f(x)的定义域2 D.1+i安徽省合肥一中2020届高三数学9月阶段性检测考试试题理（含解析）一、选择题1.函数f(x)=1A.{x-2<x<1}{x1<x<2}C.{x x<-2}D.{x x>2}【答案】A【解析】【分析】分别求出函数f(x)和g(x)的定义域，得到集合M和集合N，然后根据集合的交集运算，得到答案。
【详解】因为函数f(x)=1M=(-2,2)；集合g(x)=ln(1-x)，所以1-x>0，解得x<1，故g(x)的定义域N=(-∞,1)；所以M I N=(-2,1)，故选A项.【点睛】本题考查求具体函数的定义域，集合的交集运算，属于简单题.2.复数z满足(1+i)z=i，其中i为虚数单位，则z的实部与虚部之和为（）A.1B.0C.1-i2【答案】B【解析】【分析】对(1+i)z=i进行化简计算，得到复数z，然后计算出其实部与虚部之和，得到答案.【详解】因为(1+i)z=i所以 z = 1< β < 0 ， cos α + ⎪ = ， cos - ⎪=，则 cos α + ⎪ 等sin - ⎪ ，然后利用两角差的余弦公式 sin α + 4 ⎭ ⎝ 4 2 ⎭ π ⎫ = cos ⎢ α + 4 ⎭ ⎝ 4 2 ⎭⎥⎦ ⎪ ⎪ - - ⎪ 值。
⎛ 2 ，∴ 4 < ，则 sin α + ⎪ = 1 - cos 2 α + ⎪ =，1 1= - i1 + i2 2所以 z 的实部与虚部之和为1 1- = 0 ，故选 B 项.2 2【点睛】本题考查复数的运算，实部与虚部的概念，属于简单题.3.若 0 < α <于（ ）π2 ， - π ⎛ π ⎫ 1 ⎛ π β ⎫3 ⎛ β ⎫ 2 ⎝4 ⎭ 3 ⎝ 4 2 ⎭ 3 ⎝ 2 ⎭A.3 3 B. - 3 3 C. 5 3 9 D. -69【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出⎛ ⎛ π β ⎫ ⎪ 与 ⎝求出 cos α + ⎝β ⎫ ⎡⎛ π ⎫ ⎛ π β ⎫⎤ 2 ⎭ ⎣⎝【详解】 Q 0 < α < ππ4 < α + π3π 43π ⎫2 < β < 0 ，则 2 ，所以， sin ⎪ = 1 - cos 2 - ⎪ == cos ⎢ α +4 ⎭ ⎝ 4 2 ⎭⎥⎦⎪ ⎪ - - ⎪ ⎛ = cos α + ⎪ cos - ⎪ + sin α + ⎪ sin - ⎪ = ⋅+ ⋅ =4 ⎭π ⎫ ⎛ π β ⎫⎛ ⎛ π ⎫ 2 2Q -ππ4 <π 4-β2<π ⎛ π β ⎫ ⎛ π β ⎫ 6-⎝ 4 2 ⎭ ⎝ 4 2 ⎭ 3，因此， cos α +⎝β ⎫ ⎡⎛ π ⎫ ⎛ π β ⎫⎤2 ⎭ ⎣⎝⎝⎝42 ⎭⎝4 ⎭⎝42 ⎭33339⎛ ⎛ π ⎫ ⎛ π β ⎫ 1 3 2 2 6 5 3，故选：C 。
安徽省合肥市第一中学2020届高考数学冲刺最后1卷试题 文
安徽省合肥市第一中学2020届高考数学冲刺最后1卷试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-≤，则()R C S T ⋃=（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,4]-∞- C ．(2,1]- D ．[1,)+∞2.已知,a R i ∈是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，若3,4z a i z z =+⋅=，则a =（ ） A ．3 B ．3- C ．7或7- D ．1或1-3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.设,a b r r 为向量，则“||||||a b a b ⋅=r rr r ”是“//a b r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.函数sin (1cos 2)y x x =+在区间[2,2]-内的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6. 在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示. 如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（ ）A ．643 B ．323C. 16 D ．32 7.观察下图：则第（ ）行的各数之和等于22017.A ．2010B ．2018 C. 1005 D ．10098.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,2ABC AB BC SA AB BC ⊥===则球O 的表面积等于（ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π9.如图所示，点,A B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且2AB =，若点A 从(3,0)移动到(2,0)，则AB 的中点D 经过的路程为（ ）A ．3π B ．4π C. 6πD ．12π10.设集合{(,)|||||1},{(,)|()()0},A x y x y B x y y x y x M A B =+≤=-+≤=⋂，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．110[2 B ．210[ C. 15[,]22D ．25]2 11.已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21[,]3e - B ．21(,][,)3e -∞-⋃+∞ C. 11[,]3e- D ．1(,][,)3e -∞-⋃+∞12.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且||2||PA AB =，则称点P 为“δ点”.下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“δ点”B ．直线l 上仅有有限个点是“δ点” C. 直线l 上的所有点都不是“δ点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“δ点”第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y （单位:厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+已知101011ˆ225,1600,4ii i i xy b =====∑∑.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为．14.从区间[0,2]随机抽取2n 个数1212,,...,,,,...,n n x x x y y y ，构成n 个数对1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．15.如图所示，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30o方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km .现要再曲线PQ 上任一处M 建一座码头，向,B C 两地转运货物.经测算，从M 到B 和M 到C 修建公路的费用均为a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是 万元.16.已知数列{}n a 满足*113,(3)(6)18()n n a a a n N +=-+=∈，则11ni ia =∑的值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，已知2cos (cos cos )3B a B b A c +=. （1）求B ；（2）若,,a b c 成等差数列，且ABC ∆的周长为35，求ABC ∆的面积.18. 在如图所示的几何体ACBFE 中，,,AB BC AE EC D ==为AC 的中点，//EF DB . （1）求证：AC FB ⊥；（2）若,4,3,3,2AB BC AB AE BF BD EF ⊥====，求该几何体的体积.19. 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题. 该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品.表 1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图.表1 甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数(190,195]2(195,200]13(200,205]23(205,210]8(210,215]4（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；列联表，并判断在犯错误概率不超过0.1的前提下能否认为（3）根据已知条件完成下面22“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++为样本容量）2()P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为22，短轴长为42.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，点N在y轴上，且0MF FN→→⋅=，设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值.21. 已知函数2()ln,()(1)f x x xg x xλ==-（λ为常数）.（1）若函数()y f x=与函数()y g x=在1x=处有相同的切线，求实数λ的值；（2）当1x≥时，()()f xg x≤，求实数λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线1C 上的点按坐标变换323232x xy⎧'=+⎪⎨⎪'=+⎩得到曲线2C，以原点为极点、x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若直线()3R πθρ=∈与曲线1C 交于,M N 两点，与曲线2C 交于,P Q 两点，求||||MN PQ 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（2）00,()|21|x R f x a ∃∈≤+，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADCCB 6-10:BDADC 11、12：BA 二、填空题13. 166 14. 16m n 15. 2)a 16. 11(22)3n n +-- 三、解答题17.解：（1）已知2cos (cos cos )B a B b A +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )B A B B A C +=，即2cos sin(),B A B C ⋅+=cos B B ∴=Q 为ABC ∆的内角，6B π∴=.（2）,,a b c Q 成等差数列，2b a c ∴=+，又ABC ∆的周长为，即a b c b ++=∴=2222222cos ()(2,b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+-ac ∴=111sin 15(2222ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 18.（1）证明：//,EF BD EF ∴Q 与BD 确定平面EFBD .连接,,DE AE EC D =Q 的为AC的中点，DE AC ∴⊥.同理可得BD AC ⊥，又,BD DE D BD ⋂=⊂Q 平面,EFBD DE ⊂平面,EFBD AC ∴⊥平面,BDEF FB ⊂Q 平面,EFBD AC FB ∴⊥. （2）由（1）可知AC ⊥平面1,,3ABCEF A BDEF C BDEF BDEF BDEF V V V S AC --∴=+=⋅⋅,,4,AB BC AB BC AB BD AC =⊥=∴==Q3,1AE DE =∴==.在梯形BDEF 中，取BD 的中点M ，连接MF ，则//EF DM 且,EF DM =∴四边形FMDE 为平行四边形，//FM DE ∴且FM DE =.又222,BF BF FM BM ==+11,142232ABCEF BDEF FM BM S V ∴⊥=⨯⨯=∴=⨯⨯=梯形.19. （1）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有6件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率635025P ==甲，乙流水线生产的产品为不合格品的概率6(0.0160.32)525P =+⨯=乙.于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为360000720025⨯=（件），6600001440025⨯=（件）.（2）在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6件，其中质量指标值偏小的有2件，记为,A B ；质量指标值偏大的有4件，记为,,,C D E F ，则从中任选2件有,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD ,BE ,BF ,,CD CE,,,CF DE DF EF 共15种结果，其中质量指标值都偏大有6种结果.故所求概率为62155P ==. （3）22⨯列联表如下：则22100(4412386) 2.439 2.70650508218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.1的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”.20.解：（1）由题意得22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=. （2）由题可设直线PA 的方程为(4),0y k x k =+>，则(0,4)M k，又F 且0MF FN →→⋅=，所以MF FN ⊥，所以直线FN的方程为y x =-，则2(0,)N k-，联立22(4)216y k x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，则222488(,)1212k k P k k -++，直线AN 的方程为1(4)2y x k =-+，同理可得222848(,)1212k k Q k k --++，所以,P Q 关于原点对称，即PQ 过原点，所以APQ ∆的面积211632||212122P Q k S OA y y k k k=⋅-=⋅=≤++12k k =，即2k =时，等号成立，所以APQ ∆的面积的最大值为21.解：（1）由题意得()ln 1,()2f x x g x x λ''=+=，又(1)(1)0f g ==，且函数()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，(1)(1)f g ''∴=，则21λ=，即12λ=. （2）设2()ln (1)h x x x x λ=--，则()0h x ≤对[1,)x ∀∈+∞恒成立.()1ln 2h x x x λ'=+-Q ，且(1)0,(1)0h h '=∴≤，即1120,2λλ-≤∴≥.另一方面，当12λ≥时，记()()x h x ϕ'=，则112()2xx x xλϕλ-'=-=.当[1,)x ∈+∞时，()0,()x x ϕϕ'≤∴在[1,)+∞内为减函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)120x ϕϕλ≤=-≤，即()0,()h x h x '≤∴在[1,)+∞内为减函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≤=恒成立，符合题意.当12λ<时，①若0λ≤，则()1ln 20h x x x λ'=+-≥对[1,)x ∀∈+∞恒成立，()h x ∴在[1,)+∞内为增函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≥=恒成立，不符合题意.②若102λ<<，令()0x ϕ'>，则11,()2x x ϕλ<<∴在1(1,)2λ内为增函数，∴当1(1,)2x λ∈时，()(1)120x ϕϕλ>=->，即()0,()h x h x '>∴在1(1,)2λ内为增函数，∴当1(1,)2x λ∈时，()(1)0h x h >=，不符合题意，综上所述12λ≥.22.解：（1）已知曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），消去参数α得22143x y +=.又cos ,sin ,x y ρθρθ==22223cos 4sin 12ρθρθ∴+=，即曲线1C 的极坐标方程为22(3sin )12ρθ+=.又由已知322x x y ⎧'=+⎪⎨⎪'=+⎩得2(32)x x y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩代入22143x y +=得2(2)1,9y '-=∴曲线2C的直角坐标方程为22((2)9x y -+-=.（2）将3πθ=代入22(3sin )12ρθ+=，得216,||555MN ρρ=∴=±∴=.又直线的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22((2)9x y -+-=，整理得270t -+=，分别记,P Q 两点对应的参数为12,t t，则121212||4||||||57t t MN PQ t t PQ t t ⎧+=⎪=-==∴=⎨⋅=⎪⎩. 23.解：（1）当1a =时，()4f x ≥，即2214x x <-⎧⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩解得52x ≤-或x ∈∅或32x ≥，故此不等式的解集为53(,][,)22-∞-⋃+∞. （2）因为()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，因为0x R ∃∈，有0()|21|f x a ≤+成立，所以只需|2||21|a a +≤+，化简得210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥，所以a 的取值范围为(,1][1,)-∞-⋃+∞.。
2020年安徽省合肥市第一中学高考最后一卷数学试题(附答案解析)
2020年安徽省合肥市第一中学高考最后一卷数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的模||z =（ ）A ．1BC ．2D ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n a a +=，2155n n S a +-=，则正整数n 的值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．23．设{}{}22,340,|40U R A x x x B x x ==--=-<，则()UA B = （ ）A ．{|1x x ≤-或}2x ≥B ．{}|12x x -≤<C ．{}|14x x -≤≤D ．{}|4x x ≤4．已知 1.22a =，0.43b =，8ln 3=c ，则（ ） A ．b a c >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．a c b >>5．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ） A ．3112π-B ．3124π-C ．312π D ．324π 6．已知三条互不相同的直线l m n ，，和三个互不相同的平面αβγ，，，现给出下列三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l m αβ⊂⊂，，则αβ∥； ②若αβ∥，l m αβ⊂⊂，，则l m ；③若l m n l αβγβγαγ⋂=⋂=⋂=，，，∥，则m n . 其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．()f x 图象关于直线6x π=对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 的图象关于2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称8．曲线4y x =上的点到直线81670x y --=的距离的最小值为（ ）ABCD9．已知实数x ，y 满足约束条件1010240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩，则11y x +-的取值范围是（ ）A ．1(2]2,,⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．1[2)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，， C ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，10．已知函数3x f x =（），函数g x （）是f x （）的反函数，若正数122018x x x ⋯，，，满足12201881x x x ⋯=⋅，则22221220172018g x g x g x g x +++（）（）（）（）的值等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．6411．执行如图所示程序框图，则输出的结果为（ ）A ．-4B ．4C ．-6D ．612．已知双曲线22212y x a -=的两个焦点分别为12F F 、分别为直线12l l 、；若点A B 、分别在12l l 、上，12||AB F F =，则线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为（ ）A ．2214x y +=B ．2213x y +=C ．2216x y +=D ．2212x y +=二、填空题13．已知124a e e =-，122b e ke =+，向量1e 、2e 不共线，则当k =______时，//a b .14．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______．15．已知圆22:9O x y +=，点()5,0A -，若在直线OA 上（O 为坐标原点），存在异于A 的定点B ，使得对于圆O 上的任意一点P ，都有PB PA为同一常数.则点B 的坐标是________.16．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．三、解答题17．已知正四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6.（1）求正四棱台的表面积； （2）求三棱锥1B AC D -的体积.18．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2B bC a c=-+. （1）求B 的大小；（2）若2a =，3c =，求cos A 和()sin 2A B -的值.19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.20．已知函数f (x )=|x ﹣a |﹣|x ﹣5|. （1）当a =2时，求证：﹣3≤f (x )≤3；（2）若关于x 的不等式f (x )≤x 2﹣8x +20在R 恒成立，求实数a 的取值范围.21．已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于√32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5，直线l:y =kx +m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于A 、B 两个相异点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ . (Ⅰ) 求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m 2的取值范围. 22．已知函数2()1,x f x e x x =--∈R ．（1）求函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当x ∈R 时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．23．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率； （2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案与解析】1．B对等式()12z i i +=的两边求模，然后进行运算求解即可． 复数z 满足(1)2i z i +=，则|(1)||||2|i z i +=，|2z =，||z ∴=故选：B.本题考查复数模的求法，考查基本运算求解能力，求解时直接对等式两边取模可使运算过程更简洁． 2．C由12n n a a +=可知{}n a 为等比数列，根据等比数列的通项公式和求和公式，代入即可得解. 由12n na a +=得数列{}n a 是以1为首项， 2为公比的等比数列，故1,122n n n nS a -==-由2155n n S a +-=得222560n n --=， 解得28n =，即3n =.本题考查了由数列的递推关系证明等比数列，考查了等比数列的通项公式和等比数列的求和公式，同时考查了计算能力，属于简单题. 3．B{}{23404A x x x x x =--=或}1x <-，{}{}2|40|22B x x x x =-<=-<<，则()[]()[)1,42,21,2UA B ⋂=-⋂-=-，故选B.4．B 容易得出 1.20.4822132013ln ><<<，，＜，从而得出a ，b ，c 的大小关系．1.210.50.40822223331013a b c ln lne =>=>>==<==，＞，＜；∴a ＞b ＞c ． 故选B ．本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查了比较大小的方法：中间量法．5．B边长为4的正三角形为ABC ，面积为分别以,,A B C 为圆心，1为半径在ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点距离超过1的区域，其面积为1π31232π-⨯⨯⨯=.故所求概率π3P 124π==-.故选B.点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 6．C通过线面平行的性质与判定，以及线面关系，对三个命题进行判断，得到答案. ①中，两平面也可能相交，故①错误； ②中，l 与m 也可能异面，故②错误；③中，易知l β⊂，又l m γγβ⋂=∥，，所以由线面平行的性质定理知l m ，同理ln ，所以m n ，故③正确.本题考查线面平行的判定和性质，线面关系，属于简单题. 7．A根据三角函数的单调性，对称性和周期公式依次判断每个选项得到答案. 当20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数单调递增，A 正确； 当6x π=时，06x π-=，故6x π=不是三角函数对称轴，B 错误；函数的最小正周期为2π，C 错误； 当23x π=时，62x ππ-=，故2,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，D 错误. 故选：A.本题考查了三角函数的单调性，对称性和周期，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用. 8．B作一条和81670x y --=平行的切线，斜率12k =，则两直线间的距离就是最小距离． 作一条和81670x y --=平行的切线，斜率12k =，则两直线间的距离就是最小距离.曲线4y x =，3142y x '∴==，解得12x =，411()216y ==， ∴切点坐标为1(2，1)16，切点1(2，1)16到81670x y --=的距离1|4167|d -⨯-==． ∴曲线4y x =上的点到直线81670x y --=的距离d的最小值为10．故选：B ．本题考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，是中档题，解题时要注意导数的应用和点到直线的距离公式的合理运用． 9．A先作出不等式组对应的可行域，则11y x +-的取值范围是定点11P -（，）与可行域内的点连线的斜率k 的取值范围，且PC k k ≤或PA k k ≤.再求斜率即得解.由实数x ，y 满足约束条件1010240x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，作出可行域，得到如图所示的阴影部分，则11y x +-的取值范围是定点11P -（，）与可行域内的点连线的斜率k 的取值范围，且PC k k ≤或PA k k ≤.由1010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得(0,1)A ，由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得52,33C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而11201PA k +==--，21135213PCk -+==-，∴12k ≥或2k ≤-， 即11y x +-的取值范围是1(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A .本题主要考查线性规划求最值，考查斜率的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析能力. 10．B函数3x f x =（），由反函数的求法得3log g x x （）=， 由对数的运算得：()2222122017201831220182log g x g x g x g x x x x +++=⋅（）（）（）（），代值可得解.解：由函数3x f x =（），函数g x （）是f x （）的反函数， 则3log g x x （）=， 所以222221220172018312201831220183log 2log 2log 818g x g x g x g x x x x x x x +++=⋅=⋅==（）（）（）（）（），故选B ．本题考查了反函数的求法及对数的运算求值，属中档题 11．B分析：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出S 的值，模拟程序的运行过程，即可得答案．详解：模拟程序的运行可得：0S =，1n =.第1次执行循环后，10(1)212S =+-⨯⨯=-，112n =+=，满足循环条件；第2次执行循环后，22(1)222S =-+-⨯⨯=，213n =+=，满足循环条件；第3次执行循环后，32(1)234S =+-⨯⨯=-，314n =+=，满足循环条件；第4次执行循环后，44(1)244S =-+-⨯⨯=，415n =+=，不满足循环条件，退出循环，输出4S =.。
2020年高考考前最后一卷-理科数学全解析版(新课标II卷) (2)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22224c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且4PF QF =uuu r uuu r ，则椭圆C 的离心率等于()A ．13B ．12C 5D 32．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．164813．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是() A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩4．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是() A ．35CB ．35AC ．35D ．535．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =()A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -6．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（）A ．23 B ．35C ．2547D ．27467．若a ，b 均为正实数，则22ab ba b 1+++的最大值为( ) A ．23B 2C 2D ．28．在ABC V 中，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =⋅，则b 的值等于（） A ．8B ．6C ．4D ．19．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设nn b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．1210．设()()32lg 1f x x x x =+++，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要11．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点C 为圆心，CE 长为半径为圆，点P 是该圆上的任一点，在AP DE ⋅u u u r u u u r的取值范围是（）． A ．[0,26]+B ．[26,26]-+C ．[0,25]+D ．[25,25]-+12．若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（） A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。