【优化方案】2012高中数学 第3章3.2.2一元二次不等式及其解法习题课课件 新人教A版必修5
【思路点拨】 思路点拨】
2
a2－1＝0时转化不等式求解 → ＝ 时转化不等式求解
2
a －1≠0时数形结合转化 → 解不等式组 → 得解 ≠ 时数形结合转化
【解】 ①若 a －1＝0, 即 a＝±1 时， ＝ ＝ 若 a＝1，不等式化为－1＜0，解集为 R； ＝ ，不等式化为－ ＜ ， ； ＝－1， 若 a＝－ ，不等式变为 2x－1＜0，解集为 ＝－ － ＜ ，解集为{x|x 1 ＜ }．∴a＝1 时满足条件． ． ＝ 时满足条件． 2
3．2.2 一元二次不等式及其解法习题课 ．
3.2.2 一元 二次 不等 式及 其解 法习 题课
课堂互动讲练
知能优化训练
课堂互动讲练
考点突破 一元二次不等式恒成立问题
不等式对任意实数恒成立， 不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0，它的解 ， ＋ ＞ ，
某企业上年度的年利润为200万元，本 万元， 变式训练 某企业上年度的年利润为 万元 年度为适应市场需求，计划提高产品档次， 年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适量 增加投入成本，投入成本增加的比例为x(0＜ ＜ 增加投入成本，投入成本增加的比例为 ＜x＜ 1)．现在有甲、乙两种方案可供选择，通过市场 ．现在有甲、乙两种方案可供选择， 调查后预测，若选用甲方案，则年利润y万元与投 调查后预测，若选用甲方案，则年利润 万元与投 入成本增加的比例x的函数关系式为 的函数关系式为y＝ 入成本增加的比例 的函数关系式为 ＝f(x)＝－ ＝－ 20x2＋60x＋200(0＜x＜1)；若选用乙方案，则y与 ＋ ＜ ＜ ；若选用乙方案， 与 x的函数关系式为 ＝g(x)＝－ 的函数关系式为y＝ ＝－30x2＋65x＋200(0＜ 的函数关系式为 ＝－ ＋ ＜ x＜1)．试讨论根据投入成本增加的比例 ，如何 ＜ ．试讨论根据投入成本增加的比例x， 选择最适合的方案？ 选择最适合的方案？
一元二次不等式的实际应用 解与一元二次不等式有关的应用题的关键是设未 知数，然后根据题目中的不等关系构造一元二次 知数， 不等式，解之即可． 不等式，解之即可．
例2 国家为了国民的身体健康，加强对烟酒生产 国家为了国民的身体健康，
的宏观调控，实行征收附加税政策， 的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒 每瓶70元 不加收附加税时，每年大约产销 每瓶 元，不加收附加税时，每年大约产销100万 万 瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税 元 元要征税R元 若政府征收附加税，每销售 元要征税 (叫做税率 叫做税率R%)，则每年的销售将减少 万瓶， 叫做税率 ，则每年的销售将减少10R万瓶， 万瓶 要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万 要使每年在此项经营中所收附加税金不少于 万 应怎样确定？ 元，问R应怎样确定？ 应怎样确定
2．用一元二次不等式解决实际问题的步骤大致可 ． 分为： 分为： (1)理解题意，把条件进行转化，或者画出示意图， 理解题意，把条件进行转化，或者画出示意图， 理解题意 理清各量满足的条件； 理清各量满足的条件； (2)依据条件建立相应的不等关系，把实际问题抽 依据条件建立相应的不等关系， 依据条件建立相应的不等关系 象为数学问题，即一元二次不等式问题； 象为数学问题，即一元二次不等式问题； (3)解所得的不等式，进而根据题目的实际意义解 解所得的不等式， 解所得的不等式 释原问题． 释原问题．
解： f(x)－ g(x)＝ (－ 20x2＋ 60x＋ 200)－(－30x2＋ － ＝－ ＋ －－ 65x＋200)＝10x2－5x.由 10x2－5x≥0， ＋ ＝ 由 ≥ ， 1 舍去)． 解得 x≥ 或 x≤0(舍去 ．所以 ≥ ≤ 舍去 2 1 选择乙方案； 当投入成本增加的比例 x∈(0， )时， ∈ ， 时 选择乙方案； 2 1 选择甲方案； 当投入成本增加的比例 x∈( ， 时， ∈ 1)时 选择甲方案； 2 1 当投入成本增加的比例 x＝ 时，选择甲或乙方案 ＝ 2 都可以． 都可以．
a＞0 ＞ 集为 R 的条件为 ；ax2＋bx＋c＜0 的解集 ＋ ＜ ＜ ∆＜0 a＜0 ＜ . 为 R 的条件为 ＜ ∆＜0
例1
关于x的不等式 关于 的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0 的不等式 － － ＜
的解集为R，求实数 的取值范围 的取值范围． 的解集为 ，求实数a的取值范围．
【名师点评】 在建立一元二次不等式的模型时， 名师点评】 在建立一元二次不等式的模型时， 为了理解题目中量与量之间的关系， 为了理解题目中量与量之间的关系，可以像本例 题这样，把题目中的文字语言转化为数学语言， 题这样，把题目中的文字语言转化为数学语言， 从而顺利地建立不等式模型． 从而顺利地建立不等式模型．在解一元二次不等 式应用题时， 式应用题时，要注意所求出的结果必须有实际意 义．
互动探究
本例若把不等式改为“(a 本例若把不等式改为 2－1)x2－(a
的取值范围． －1)x＋1＞0”，求a的取值范围． ＋ ＞ ， 的取值范围
解：①当 a －1＝0，即 a＝±1 时， ＝ ， ＝ 若 a＝1，则原不等式化为 1＞0，恒成立． ＝ ， ＞ ，恒成立． ＝－1， 若 a＝－ ，则原不等式化为 2x＋1＞0， ＝－ ＋ ＞ ， 1 不符合题意，舍去． 即 x＞－ ，不符合题意，舍去． ＞－ 2
【思路点拨】 思路点拨】
该题中要明确关系式：销量× 该题中要明确关系式：销量×单
价＝收入；收入×税率＝税金．问题中的主框架 收入；收入×税率＝税金． 是不等关系“每年在此项经营中所收附加税金不少 是不等关系 每年在此项经营中所收附加税金不少 万元”，所以解决问题的关键是把“每年在此 于112万元 ，所以解决问题的关键是把 每年在此 万元 项经营中所收附加税金”用 正确地表示出来 正确地表示出来， 项经营中所收附加税金 用R正确地表示出来，然 后a2－1≠0，即 a≠±1 时， ≠ ， ≠ 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， ＜ ， ∆＝[－(a－1)]2＋4(a2－1)＜0， ( ) ， ＝－ － ) 3 解得－ 解得－ ＜a＜1. ＜ 5 3 综上所述， 综上所述，当－ ＜a≤1 时，原不等式解集为 R. ≤ 5
方法感悟 1．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有 ．对于有的恒成立问题， 效的方法．这是因为将参数予以分离后， 效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往 往会转化为函数问题，从而得以迅速解决． 往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然 这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时， 这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时， 经常要用到下述简单结论： 恒成立⇔ ＞ 经常要用到下述简单结论：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞ ＞ 恒成立 f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min. 恒成立⇔ ＜ ＜ 恒成立
2
②当 a2－1≠0，即 a≠±1 时， ≠ ， ≠ 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＞0 ＞ ’ 2 2 ＝－ － ) ( ) ∆＝[－(a－1)] －4(a －1)＜0 5 解得 a＜－ 或 a＞1. ＜－ ＞ 3 5 综上所述， 综上所述，当 a＜－ 或 a≥1 时，原不 ＜－ ≥ 3 等式解集为 R.
设产销量为每年x 万瓶， 【解】 设产销量为每年 万瓶， 则销售收入为每年70x万元， 万元， 则销售收入为每年 万元 从中征收的税金为70x·R%万元， 万元， 从中征收的税金为 万元 其中x＝ 其中 ＝100－10R， － ， 由题意， 由题意，得70(100－10R)R%≥112， － ， 整理， 整理，得R2－10R＋16≤0.∵∆＝36＞0， ＋ ∵ ＝ ＞ ， 方程R 的两个实数根为x 方程 2－10R＋16＝0的两个实数根为 1＝2，x2＝8. ＋ ＝ 的两个实数根为 ， 然后画出二次函数y＝ 的图象， 然后画出二次函数 ＝R2－10R＋16的图象， ＋ 的图象 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}． 由图象得不等式的解集为 ． 所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金 所以当 时 不少于112万元 万元． 不少于 万元．
《随堂优化训练》高中数学 第三章 3.2 3.2.2 一元二次不等式的实际应用配套课件 新人教A版必修5
a ＝ ± 5 ，∴ 1 . c＝4
a2x2＋b2x＋c2 2 求 f(x)＝ 2 (a1＋a2 2≠0)的值域 a1x ＋b1x＋c1
时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为 方程，利用Δ≥0 转化为关于函数值的不等式．求解时，要注意 二次项系数为字母时要讨论．
3－1.对于定义域为实数集 R 的函数 f(x)＝ 回答下列问题：
(－∞，0)∪(2，＋∞) ． 4．函数 y＝ log 1 (x2－2x)的定义域为_________________
2
5．不等式(x－1) x＋2≥0 的解集是( B )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1 或 x＝－2}
C．{x|x≥1}
D．{x|x≥－2 且 x≠1}
重难点
一元二次不等式的应用
思维突破：二次项系数出现参数，应考虑a2－1＝0 的情形，
2 a －1＜0 然后按 Δ＜0
求解．
解：(1)当a2－1＝0，即a＝±1 时，
若 a ＝ 1，
则原不等式为－1＜0，恒成立；
若 a＝－1， 1 则原不等式为 2x－1＜0，即 x＜2，不符合题意，舍去．
(2)当a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式的解集为R 的条件是
1 当 m＝－5 时，x>－8不合题意．
②若m2＋4m－5≠0，则原命题等价于
2 m ＋4m－5>0 2 2 Δ＝16m－1 －12m ＋4m－5<0
，
解得 1<m<19. 综上，所求实数 m 的取值范围为[1,19)．
ห้องสมุดไป่ตู้
一元二次不等式的实际应用 例 2：某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆．本年度 为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本．若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的 比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.设年利润＝ (出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的 关系式；
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第2课时含参数的一元二次不等式的解法课件新人教A版必
5．若不等式 x2＋mx＋1≥0 的解集为 R，则实数 m
的取值范围是( )
A．m≥2
B．m≤－2
C．m≤－2 或 m≥2 D．－2≤m≤2
答案：D
第十页，共32页。
类型 1 含参数一元二次不等式的解法 [典例 1] 解关于 x 的不等式：x(x－a－1)≥－a. 解：原不等式化为(x－1)(x－a)≥0， 相应方程的两根为 1，a，故应比较 1 与 a 的大小． ①当 a＞1 时，原不等式的解集为{x|x≤1 或 x≥a}．
第四页，共32页。
2．解含参数的一元二次不等式时，先求相应的二次 方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象 写出不等式的解集．
当 a＞0 时，关于 x 不等式 x2－ax＞0 的解是_x_＜__0__ 或_x_＞__a__；当 a＜0 时，关于 x 不等式 x2－ax＞0 的解是 _x_＜__a__或_x_＞__0__.
第七页，共32页。
3．若 a＜0，则关于 x 的不等式 x2－4ax－5a2＞0 的
解是( )
A．x＞5a 或 x＜－a B．x＞－a 或 x＜5a
C．5a＜x＜－a
D．－a＜x＜5a
解析：由题可得(x－5a)(x＋a)＞0，
因为 a＜0，所以 5a＜－a，
所以 x＞－a 或 x＜5a.
答案：B
第八页，共32页。
第三十一页，共32页。
2．分类标准如何确定？看后面的结果不唯一的原因 是什么．一般来讲，先讨论二次项的系数，再对判别式 进行讨论，最后对根的大小进行讨论．
第三十二页，共32页。
第二十五页，共32页。
又－13，2 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， 所以－ba＝53，所以ba＝－53. 又ac＝－23，所以 b＝－53a，c＝－23a.所以不等式变为 －23ax2＋－53ax＋a＜0， 即 2ax2＋5ax－3a＞0，
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式及其解法课件新人教A版必修5
������(������) >0⇔f(x)· g(x)>0; ������(������)
������(������) (2) <0⇔f(x)· g(x)<0; ������(������) ������(������) (3) ≥0⇔ ������(������) ������(������) (4) ≤0⇔ ������(������)
������(������)· ������(������) ≥ 0, ������(������) ≠ 0; ������(������)· ������(������) ≤ 0, ������(������) ≠ 0.
探究一
探究二
探究三
典型例题2
解下列不等式:
(1)
������+2 ������+1 <0;(2) ≤2. 1-������ ������-2
(2)求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;
(3)由图象得出不等式的解集.
探究一
探究二
探究三
典型例题1
解不等式: (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0. 思路分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不 等式的解集.
探究一
探究二
探究三
探究二可化为一元二次不等式的分式不等
式的解法
对于一些简单的分式不等式,通常通过整理变形转化为一元二次不等式求解,做
法如下:
探究一
探究二
人教A版高中数学必修五课件3.2一元二次不等式及其解法(二).pptx
二、新课讲解
例1.求下列函数的定义域 : (1) y x2 4x 9; (2) y 2x2 12x 18.
例2.已知全集U R,且集合A x | x2 16 0 , B x | x2 4x 3 0 ,求 :
(1) A B; (2) A (CU B).
二、新课讲解
例3.若函数y log2 (ax2 ax 1)的定义域为R,求实数 a的取值范围.
练1.若不等式x2 2x a 1 0的解集为空集,则实数 a的取值范围是 ____ .
二、新课讲解
例4.某地区预计明年从年初开始的前x个月内, 对某 种商品的需求总量f (x)(万件)与月份x的近似关系 为: f (x) 1 x(x 1)(35 2x)(x N *,且x 12).写
空白演示及其解法 (二)
一、复习引入
求一元二次不等式解集的一般步骤 : 求一元二次方程的根
画二次函数的图象
求一元二次不等式的解集
一、复习引入
某产品按质量分为１０个档次，生产第一档（即 最低档次）的利润是每件８元，每提高一个档次 ，利润每件增加２元．但每提高一个档次，在相 同的时间内，产量减少３件．如果在规定时间内 ，最低档次的产品可生产６０件．试问在相同时 间内，为了获得的总利润不低于８１０元，则必 须生产哪些档次的产品？
150 出明年第x个月的需求量g ( x)(万件)与月份x的函数 关系式,并求出哪个月份的需求量超过1.4万件.
三、总结作业
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的应用课件新人教A版必修5
同解不等式
法二： f(x)· g(x)>0(<0)
法一：
fx≥0≤0 gx>0 fx≤0≥0 或 gx<0
fx ≥0(≤0) gx
法二：
等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二
2．(1)不等式的解集为 R(或恒成立)的条件 不等式 a＝0 a≠0 ax2＋bx＋c>0 b＝0，c>0
a>0 Δ<0
ax2＋bx＋c<0 b＝0，c<0
a<0 Δ<0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a f(x)≥a 恒成立⇔f(x)min≥a
思考：x－1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等 式 x－1>0 的解集有什么关系？
[提示] x－1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数 y＝x－1 在区间 [2,3]上的图象恒在 x 轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式 x－1>0 的解， 反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式 x－1>0 的解集的子集．
(1)× (2)×
[答案]
x－1 1 1 提示：(1) x>1⇒x－1>0⇒ x <0⇒{x|0<x<1}．故(1)错．(2)m>f(x)恒成立 转化为 m>f(x)max，(2)错．
x＋1 2．不等式 ≥5 的解集是________． x
1 x 0<x≤4 x＋1 5x 4x－1 x4x－1≤0， [原不等式 ⇔ ≥ ⇔ ≤0 ⇔ 解得 x x x x≠0，
高中数学新人教A版必修5第三章 3.2 第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)
第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)解简单的分式不等式[典例] 解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x>1. [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(3－x )≥0，3－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(x －3)≤0，x ≠3⇒－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}． (2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0.等价于(3x －2)(4x －3)<0. ∴23<x <34. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <34.(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．(2)分式不等式的4种形式及解题思路 ①f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； ②f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x )g (x )≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f (x )g (x )≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (3)不等式与不等式组的同解关系①f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，g (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≤0，g (x )≤0， ②f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，g (x )≥0， ③f (x )g (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )<0，④f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0.[活学活用]1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A.{}x |x ＜－1或x ＞2B.{}x |－1＜x ＜2C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＞2解析：选A 依题意，a >0且－ba ＝1. ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x －ba (x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.不等式中的恒成立问题2取值范围．[解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．对于x ∈[a ，b ]，f (x )＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．1．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＜0，f (1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立． 对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．2．已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数． 要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＜0，g (－3)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0.因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立．(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max (f (x )存在最大值)； a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min (f (x )存在最小值)．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的实际应用[典例] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解] (1)由题意，得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >0，0<x <1，解不等式组，得0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 的范围为⎝⎛⎭⎫0，13.用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．[活学活用]某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m(0<x <600)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.层级一 学业水平达标1．不等式x －1x ≥2的解集为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析：选B 不等式x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1x ≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0.2．不等式4x ＋23x －1＞0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13或x ＜－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－12 解析：选A4x ＋23x －1＞0⇔(4x ＋2)(3x －1)＞0⇔x ＞13或x ＜－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13或x ＜－12.3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为( )A ．[15,20]B ．[10,15]C ．(10,15)D ．(0,10]解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500， 解得10≤t ≤15.5．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3D ．3解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 6．不等式5－x x ＋4≥1的解集为________．解析：因为5－x x ＋4≥1等价于1－2x x ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－4，12 7．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________．解析：根据定义得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 9．已知f (x )＝－3x 2＋a (5－a )x ＋b .(1)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)<0恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)由f (x )>0，得－3x 2＋a (5－a )x ＋b >0， ∴3x 2－a (5－a )x －b <0. 又f (x )>0的解集为(－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a (5－a )－b ＝0，27－3a (5－a )－b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝9.(2)由f (2)<0，得－12＋2a (5－a )＋b <0， 即2a 2－10a ＋(12－b )>0.又对任意实数a ，f (2)<0恒成立， ∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b )<0，∴b <－12，∴实数b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 10．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值． 解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件， 即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %， 其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为[2,6]．(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额， f (2)＝4 800(万元)． (3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128， ∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．层级二 应试能力达标1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,3]D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3] 解析：选D x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2，x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3]． 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N )解析：选Dx ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15,30]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.5．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)6．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．解析：5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的范围是(100,400)． 答案：(100,400)7．已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (m －2)<0，解得m <1－2， 综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．8．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.∴a 的取值范围为[－6,2]． (2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a 24. ①当－a2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，可得a 的取值范围为[－7,2].。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5-推荐ppt版
求一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0)的 解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一 元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与 x 轴的相 关位置确定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的区间 端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程的根．
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
4．二次函数 y＝x2－4x＋3 在 y<0 时 x 的取值范围是________． 解析：由 y<0 得 x2－4x＋3<0， ∴1<的根
有两个不等的实 数根 x 1，x 2
有两个相 等的实数 根 x 1，x 2
没有实 数根
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式 Δ＝b2－4ac
解不等 (2)画函数 y＝f(x)的
式 f(x) 示意图
＞0 或
f(x)＜0 的步骤
(3)得不 等式的
f(x) ＞0
{x|x＜x1 或 x＞ x2}
分类讨论思想在解含参数不等式中的应用
[典例] 解关于 x 的不等式 ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)． [解析] 原不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0， 当 a＝0 时，x<1， 当 a>0 时，x＋1a(x－1)<0， ∴－1a<x<1. 当 a<0 时，1＋1a＝a＋a 1，当 a<－1 时，