高中数学圆锥曲线教学研究
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高中数学圆锥曲线教学研究
作者：孙浏春
来源：《新智慧·上旬刊》2018年第09期
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【摘 要】教师在圆锥曲线教学时经常会发现学生很难掌握圆锥曲线的知识，失分非常严
重，本文针对学生在学习圆锥曲线时面临的问题，给出了相应的教学策略，主要从三个策略展
开。
【关键词】高中数学；圆锥曲线；教学研究
圆锥曲线知识是高中数学知识体系下最为重要的一节知识内容，在考试内容中具有非常重
要的地位，圆锥曲线对培养学生的逻辑思维能力、计算推理能力和数形分析的能力，空间转换
能力等等，都具有非常重要的作用。學生掌握好圆锥曲线的教学内容就显得尤为重要。本文针
对一些圆锥曲线教学中面临的问题，给出了相应的教学策略。
一、培养数形结合思想，提高数学思想的运用能力
数学问题对学生的考察往往是多面的，一方面考察学生对基础知识的掌握情况，一方面考
察学生对各种思想的综合运用。只有对基础知识进行夯实，加强学生对数学问题的阅读理解能
力，可以清晰地看出问题的本质，找到应对的知识点，做到以不变应对万千变化。一个问题可
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以有很多不同的表达方法，例如：以BV为直径的圆过A点，可以将它表述为BA与VA的中
点与B的连接线等于BV的一半……这些问题都在说明一个问题本质，我们解析数学问题时，
要找到问题的本质，从本质展开分析。圆锥曲线问题需要经常使用数形结合的思维，数形结合
思想的运用方法有：图形中有很多线段的长度比的关系，如果我们使用相似比，将投影到坐标
轴的横纵坐标之比。通过这样的转化，我们就可以应用韦达定理，从而问题得到简化。还有一
些垂直问题，例如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点、
圆周上的一点与直径的两个端点连线是相互垂直的，关于坐标对称的两条直线的斜率是互为相
反数的即：可以用-k代换k，从而将问题进行解决。
二、精心设计、归纳题目的类型，注重系统思维训练
作为教师，我们心中有一个观念要常记在内心中，那就是总结出问题的变化的规律。帮助
学生快速的掌握题型。教师可以将圆锥曲线常见的知识点进行总结，例如：圆锥曲线的离心率
问题、存在性问题、对称问题、范围问题、过定点、定值等问题。通过将这些问题进行总结，
总结出系统性解决的方法。例如：点差法、联立消元法和判别式法等，本节以判别式法举例，
例如：有一条双曲线C：y22-x22=1，直线l经过点B（2，0）斜率为k，当0
2k2+2-2k，把直线l′的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式△=0，解得k的值。
三、加强学生的基础知识的教学、有用结论的归纳
很多同学在做解析几何问题时书写会非常繁琐和复杂，很多时候对知识的运用非常不灵
活，很多有用的结论不清楚，无法将合理的翻译成代数方程，导致很多学生算不出结果来，结
果就造成老师说的“玻璃上的苍蝇”，通往光明的道路没有找到，以至于在黑暗中苦苦摸索。要
想让学生解决圆锥曲线的问题，必须让学生对一些结论可以有效的理解和运用，因此教师要善
于归纳，帮助学生理解知识。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线是高中数学的一大难点，涉及范围广泛，概念复杂，涉及到多种图形和方程的表示。
为了使学生更好地掌握圆锥曲线的知识，我们需要采用适当的教学方法和解题技巧。
一、教学方法1、理论概念与实际例子相结合圆锥曲线的理论概念通常比较抽象，难以让学生完全理解。
因此，教师需要通过具体的例子来帮助学生更好地理解圆锥曲线。
例如，对于椭圆，可以通过一个足球形的实物来解释椭圆的概念，对于双曲线，可以通过交叉的铁路来说明双曲线的形状等。
2、几何图形与代数方程相结合圆锥曲线通常可以用代数方程表示，但这种表示方法可能对于学生来说比较抽象。
因此，我们可以通过几何图形的方式帮助学生更好地理解代数方程的含义。
例如，通过将焦点和直角等几何图形绘制在坐标系上，并使用代数方程来表示，来帮助学生更清晰地理解圆锥曲线的含义。
3、实际问题与数学公式相结合高中数学的知识通常与实际问题密切相关。
因此，我们可以利用实际问题来帮助学生更好地理解相关的数学公式。
例如，在学习椭圆的时候，可以通过讲解地球绕太阳的轨迹等实际问题来帮助学生理解椭圆的概念。
二、解题技巧1、理解归纳、推理和分析思维圆锥曲线的解题需要运用到归纳、推理和分析等思维方式。
因此，学生需要掌握这些思维方法，以便更好地应用到圆锥曲线的解题中。
2、熟练掌握基本公式圆锥曲线的基本公式是解题的基础，学生需要熟练掌握这些公式，并且能够使用代数方程表示不同类型的圆锥曲线。
3、注意特殊情况在解题过程中，学生需要留意特殊情况。
例如，在椭圆的求解中，当长轴和短轴等于一定值的时候，椭圆可能变成一个圆，这种情况需要特别处理。
4、运用变量代换圆锥曲线的解题通常需要同时涉及多个变量，因此，运用变量代换可以使问题变得更简单。
例如，在求解双曲线的顶点时，可以将$x$和$y$分别表示为某个变量的函数，然后进行变量代换，将问题转化为一个单变量的问题。
总之，通过采用合适的教学方法和解题技巧，可以帮助学生更好地掌握圆锥曲线的知识，提高解题能力。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，对学生的数学素养和综合能力的培养意义深远。
在教学中，如何有效地引导学生掌握圆锥曲线的基本概念和性质，从而达到掌握基础知识、提高解题能力的目的，是每一位教师需要思考的重要问题。
本文将从教学方法和解题技巧两个方面探究圆锥曲线的教学。
一、教学方法1. 引导学生全面认识圆锥曲线的基本概念和性质在教学中，需要开展引导学生全面认识圆锥曲线的基本概念和性质的活动，这一过程可以从以下几个方面展开：（1）引导学生通过实际观察所得的经验，对圆锥曲线的基本概念和性质有感性的认识，例如通过展示不同切割方式的圆锥截面，让学生发现它们的变化规律以及与直角坐标系之间的关系等，从而促进学生对圆锥曲线的基本概念的形成。
（2）通过引入代数表达方式，让学生对圆锥曲线的性质进行逐渐深入的认识，例如教师可以利用投影几何、函数方程等数学知识，引导学生理性认识圆锥曲线方程的表示形式，以及它们与圆锥截面图形之间的联系。
（3）在教学活动中，需要引导学生探讨和发现圆锥曲线的一些重要特征和性质，如焦点、离心率、来回判定、正交性等，从而帮助他们深入理解圆锥曲线的本质和规律。
2. 培养学生掌握基本解题方法的能力圆锥曲线是一种复杂的数学对象，因此在教学中，需要通过强化学生解题能力的培养，理论知识与实际应用相结合，才能够培养出学生的综合能力。
可采用以下方法：（1）结合实际问题讲解，带领学生通过例题和习题加强对知识点的熟悉以及解题技巧；（2）引导学生在解题中注重细节问题，特别是变换方程等运算过程，把握运算步骤，减少错误发生的可能性；（3）加强作文表述训练，培养学生合理的表述能力。
二、解题技巧1. 强化对基本方程的理解基本方程对学生学习圆锥曲线的概念和性质，甚至在解题时极为重要。
学生应该清楚，基本方程是用来描述每一个圆锥曲线的特征的，比如椭圆的基本方程是(x/a)^2+(y/b)^2=1；而圆的基本方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
关于高中数学圆锥曲线的教学研究
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１８ ２１关于高中数学圆锥曲线的教学研究关于高中数学圆锥曲线的教学研究Һ梁㊀向㊀(荆州市沙市第一中学ꎬ湖北㊀荆州㊀４３４０００)㊀㊀ʌ摘要ɔ圆锥曲线问题一直以来都是高中数学的一大考点.凭借着它自身的综合性㊁严谨性和灵活性ꎬ更能考验学生对知识点的掌握程度.同样的ꎬ在历年的高考数学试题中ꎬ关于圆锥曲线的考查ꎬ更是重中之重.虽然圆锥曲线学习难度比较大ꎬ但也是有一定规律的.在日常教学中ꎬ我们应该引导㊁帮助学生发现掌握其规律和技巧ꎬ加深学生的熟悉程度ꎬ能够进一步迅速做出正确解答.本文我们将对椭圆(圆为椭圆中的特例)㊁双曲线和抛物线中的定点㊁定值问题的方法和技巧进行简要的分析㊁总结归纳.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ圆锥曲线ꎻ定点ꎻ定值在高中数学教学过程中ꎬ圆锥曲线一直是学生学习的一大难点ꎬ也是一大重点.其中一般包括了椭圆(圆为椭圆中的特例)㊁双曲线和抛物线.纵观以往的教学经历ꎬ发现对圆锥曲线的考查更能体现学生对它所在整个学科的熟悉㊁掌握和运用程度.相应的ꎬ高中数学考查内容的重点也向这方面有所倾斜.关于对圆锥曲线定点和定值问题的考查已经成为考试中的常见问题ꎬ涉及的题型也是多种多样ꎬ小到选择题ꎬ大到最后的压轴题.通过对这类问题的考查ꎬ更能看出学生的思维逻辑的条理性㊁计算能力的严谨性和对所学数学内容的综合理解能力和灵活变通能力.与之对应的ꎬ此类问题的考查已经成为高考的热门之一.一㊁关于定点的简要讨论(一)对定点问题的考查类型通过对往年高考数学考题的分析和总结ꎬ我们发现对椭圆㊁双曲线和抛物线中过定点的考查包括了选择题㊁填空题和解答题.考查方式也是不一而同ꎬ比如ꎬ 论证直线与圆锥曲线相交是否有过定点的问题 论证是否过定点(ｘꎬｙ) 求解所过定点坐标 等等.在选择题型中ꎬ考生常见到的是 选择它们所过的定点坐标是什么 .这类问题计算要求和思维逻辑要求难度比较低ꎬ解答也相对比较容易.对卷面的分析ꎬ对圆锥曲线的考查更容易出现在解答题或者论证题中ꎬ同时它们也是整张试卷的压轴题.此时学生解答或者论证过程中需要清晰的思路㊁严谨的计算和灵活变通.例如ꎬ在２０１１年试卷中的相关题目 点Ａ和点Ｂ是定点(１ꎬ０)的直线ｌ与椭圆Ｅ:ｘ２ː２＋ｙ２＝１相交两个点ꎬ当直线ｌ发生变化时ꎬ在ｘ轴上是否存在一定点Ｒꎬ使ｘ轴是øＡＲＢ的平分线?若存在ꎬ求出点Ｒ的坐标. 此时ꎬ学生需要的不仅是简单的计算ꎬ如果头脑中没有一个清晰的思路ꎬ基本上会步步出错.(二)关于定点方面问题的解答思路关于曲线方程中对定点问题的解答ꎬ大致可通过两个方向进行解答.一类是根据题目中的已知信息和潜藏信息通过直接的论证和计算进行解答ꎻ另一类是通过问题所问ꎬ从侧面代入推断其存在的合理性.两类方法各有其优缺点ꎬ针对不同的题目亦需要学生进行甄别选择.直接法对考生知识储存和灵活运用有较高的要求.在解答曲线方程过程中ꎬ学生需要对椭圆(圆为椭圆中的特例)㊁双曲线㊁抛物线的特点有深刻地了解ꎬ能够在已知题目信息中结合相关曲线方程的特点发现潜藏的信息ꎬ而后对这些信息进行总结归纳ꎬ通过一定的逻辑语言表达论证得出正确的结论.而第二种方法更多是从问题中寻找答案ꎬ将所问的内容代入题目信息进行验证[１].与此同时ꎬ考生需在日常习题训练中做到数形结合ꎬ一题一图 的要求也不为过分.在作图过程中能将深奥复杂的逻辑通过简单直接的书面形式表达出来ꎬ学生接收理解信息的难度也会因此降低.从本质上讲圆锥曲线是通过一元二次方程进行表达.因此ꎬ学生可以利用一元二次方程的特性与题目产生联系ꎬ进而会得到更深层次的解题条件ꎬ灵活运用坐标法㊁设而不求法㊁点差法向答题方向靠拢.例如ꎬ２０１５年高考试卷中的２０题:在直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ曲线Ｃ:ｙ＝ｘ２ː４与直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ａ(ａ>０)交于ＭꎬＮ两点.请问ꎬｙ轴上是否存在点Ｐꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮꎬ并说明理由.这是曲线方程中关于定点的经典题目.考查学生对新问题的探索和运算能力ꎬ首先根据题目中曲线Ｃ方程可知点Ｍ(２ａꎬａ)ꎬＮ(－２ａꎬａ)或Ｍ(－２ａꎬａ)ꎬＮ(２ａꎬａ).其次做出判定ꎬ利用设而不求法将ｙ＝ｋｘ＋ａ代入曲线Ｃ方程ꎬ将其整理成关于ｘ的一元二次方程ꎬ再设出ＭꎬＮ的坐标和点Ｐ的坐标ꎬ将直线ＰＭꎬＰＮ的斜率之和用ａ来表示ꎬ再利用ＰＭꎬＰＮ斜率和为０导出ａꎬｂ关系ꎬ从而找出适合条件的点Ｐ.具体解法如下:设存在点Ｐ(０ꎬｂ)符合题意ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＰＭꎬＰＮ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２.将ｙ＝ｋｘ＋ａ代入曲线Ｃ方程ꎬ整理可得ｘ２－４ｋｘ－４ａ＝０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２＝４ｋꎬｘ１ｘ２＝－４ａꎬ则ｋ１＋ｋ２＝(ｙ１－ｂ)ːｘ１＋(ｙ２－ｂ)ːｘ２ꎬ代入曲线方程可得ｋ１＋ｋ２＝ｋ(ａ＋ｂ)ːａꎬ当ｂ＝－ａ时ꎬｋ１＋ｋ２＝０ꎬ则直线ＰＭ的倾斜角和直线ＰＮ的倾斜角互补ꎬ所以øＯＰＮ＝ＯＰＭꎬ存在Ｐ(０ꎬａ)符合题意.在对曲线方程定点求解时ꎬ我们需要教导学生明白什么是定ꎬ什么是不定ꎬ如何在不定中寻求定的信息.考生应该时刻谨记在圆锥曲线中关于曲线的特性是永远不会改㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１８ ２１变ꎬ造成定点问题的关键是某些几何量与曲线参数无关性.在选择题中关于定点的解答最优的办法是将选项或者特殊值带入进行运算推论ꎬ较为高效地做出正确解答.而在解答论证题中ꎬ较多使用设而不求法和特殊值带入法能有效地将问题化繁为简ꎬ大大降低解题难度[２].例如ꎬ曲线Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左焦点为Ｆ１ꎬ右焦点为Ｆ２ꎬ离心率ｅ＝１２ꎬ过Ｆ１的直线交曲线Ｅ为ＡꎬＢ两点ꎬ且三角形ＡＢＦ２周长为８.现设一动直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｍ与曲线Ｅ有且只有一个公共点Ｐꎬ且与直线ｘ＝４相交于点Ｑꎬ请问在平面坐标内是否存在定点Ｍꎬ使得以ＰＱ为直径的圆恒过点Ｍ?试证明.这是一道开放性比较强的题目ꎬ解答之前ꎬ我们可以较为容易得出曲线Ｅ的方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.根据椭圆关于ｘ轴的对称性ꎬ过Ｆ１的直线与椭圆的两个交点也会关于ｘ轴对称ꎬ通过这些可以判断出若存在定点Ｍꎬ则Ｍ一定在ｘ轴上ꎬ更进一步取特殊值直线过椭圆顶点的切线ꎬ圆与ｘ轴相较于Ｍ(１ꎬ０)ꎬＮ(３ꎬ０)ꎬ当切点在第一象限ꎬøＰＮＱ一定是钝角ꎬ则点Ｎ不存在ꎬ若存在定点则为点Ｍ(１ꎬ０).具体解析就不用再说了.二㊁浅析曲线方程中的定值问题(一)圆锥曲线中定值的考查方式相交于曲线方程中的定点问题ꎬ近几年高考对于定值问题考查比例偏大.在这五年中ꎬ对于曲线方程中定值定点的考查共３１道ꎬ定值问题更是占有１９道之多.这些题目往往通过曲线方程与直线的关系进行表述.涉及的题型主要是选择题和解答论证题.在选择题中ꎬ解答的难度相较于论证题会有所降低ꎬ答题思路和运算简单清晰.题目考查的重点是考生对圆锥曲线特性的掌握熟悉程度ꎬ答案也是有迹可循的.出现在填空题时ꎬ难度会比选择题大ꎬ这时候考查的主要是学生的运算能力.例如ꎬ在２０１６年江苏省数学试卷中的那道题:抛物线４ｘ＝ｙ２的弦ＡＢ过焦点Ｆꎬ则三角形ＡＢＣ的Ｓ２与｜ＡＢ｜的比值为(㊀㊀).在解答这道题的时候ꎬ考生需要了解抛物线的特性ꎬ将其特性代入进行运算即可得到正确结果.当曲线方程中定值作为解答题出现时ꎬ它的难度会有一个几何式的增长ꎬ这时考验的不仅仅是学生对其掌握程度或是简单的运算ꎬ它将更深层次考验思维逻辑辩证㊁运算紧密性和其他知识的旁敲侧引.例如ꎬ２０１２年高考试卷中的２１题:已知抛物线Ｃ:ｙ＝(ｘ＋１)２与圆Ｍ:(ｘ＋１)２＋(ｙ－０ ５)２＝ｒ２(ｒ>０)有一个公共交点ꎬ且在Ａ处两曲线的切线为同一直线ｌ.设ｍꎬｎ是异于ｌ且与Ｃ及Ｍ都相切的两条直线ꎬｍꎬｎ的交点为Ｄꎬ求Ｄ到直线ｌ的距离.通过题目所问可知点Ｄ到直线ｌ的距离是一个定值ꎬ下面所求的是这个定值是多少.(二)定值问题的解答技巧与(一)中所述对应题目类型ꎬ我们一一进行阐述.首先对于选择题中曲线定值问题ꎬ我们可引导学生利用对曲线方程的了解将特殊值或者选项代入计算ꎬ看它们在题目条件中存在的合理性进行判别.这点与定点问题比较类似ꎬ却又不像它那么简单ꎬ具体问题还需要具体甄别.由于填空题题干相应简单精练ꎬ所以考查的内容不会太过复杂ꎬ答案一般是较为特殊的数值ꎬ但并不是说可以不去掌握这方面的内容.作答过程中尽可能地去掉等式中的变量ꎬ这样就会迅速得出正确结果.再说就是论证解答题中对定值问题的研究了.怎么说呢?２１题一般是高考数学试卷大题中的大题ꎬ它的出现意味着难度的空前增大ꎬ而曲线定值往往就会在此刻出现.解题方法也是大致分为两种ꎬ即直接法和间接法.下面我们试分析２０１２年高考试卷中所出现的这道题目[３].由题意可简单推理出圆Ｍ的方程为(ｘ＋１)２＋(ｙ－０ ５)２＝１.２５(具体解答此处省略).首先我们先假设(ａꎬ(ａ＋１)２)为抛物线Ｃ上一点ꎬ则该点处的切线方程为ｙ－(ａ＋１)２＝２(ａ＋１)(ｘ－ａ)ꎬ化简得ｙ＝２(ａ＋１)ｘ＋１－ａ２.又因为该直线与圆Ｍ相切ꎬ到圆心的距离为５２ꎬ化简可得ａ２(ａ２－４ａ－６)＝０ꎬ解得ａ０＝０ꎬａ１＝２＋１０ꎬａ２＝２－１０.由于抛物线Ｃ在(ａｖꎬ(ａ＋１)２)(ｖ＝０ꎬ１ꎬ２)处的切线分别是ｌꎬｍꎬｎꎬ其方程为①ｙ＝２ｘ＋１ꎻ②ｙ＝２(ａ１＋１)ｘ－ａ１＋１ꎻ③ｙ＝２(ａ２＋１)－ａ２＋１.后两式相减得:ｘ＝(ａ１＋ａ２)ː２＝２ꎬ将ｘ＝２带入②可得ｙ＝－１ꎬＤ(２ꎬ－１)ꎬ进而可求解出点Ｄ到直线ｌ的距离.三㊁结束语随着历年高考的不断变更ꎬ对数学中圆锥曲线的考查也变得多种多样ꎬ题目类型也会随之更加新颖和完善.作为高考数学的热门问题ꎬ曲线方程一直都是以常青树的形象存在于试卷中的方方面面ꎬ其中对定值定点的考核相较于最大值最小值的考核比重日益加大.在我们日常教学中ꎬ应时时刻刻教导学生对圆锥曲线有较为清晰的认识ꎬ熟悉它们的特性ꎬ综合其他知识灵活运用设而不求法㊁极值和特殊值代入法㊁转化法以及坐标法进行作答.同时适时对该类题型整合分析ꎬ引导学生发现其中规律ꎬ在考场上做出迅速解答.ʌ参考文献ɔ[１]戴团结.圆锥曲线中的定值㊁定点问题[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１５(５９):６０－６１.[２]姚红.圆锥曲线中一类定点问题的研究[Ｊ].数学通讯:教师阅读ꎬ２０１５(８):４１－４３.[３]赵玲燕.巧用变式探究方法ꎬ激活学生数学思维 对圆锥曲线中的定点㊁定值问题的教学思考[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１４(３６):２０８－２０９.。
高中数学圆锥曲线知识的教学方法及解题技巧研究
高中数学圆锥曲线知识的教学方法及解题技巧研究摘要：随着新课程改革的不断深入，数学教师要对自身的教学模式进行优化，通过对当前数学教学中的问题进行分析，对数学课堂进行系统的优化与改革，提高数学教学效率。
在对课堂教学进行优化、改革时，需要综合考虑学生的性格特点，将系统的教学与学生的个性进行结合，探索新的课堂教学模式，优化课堂教学效果。
基于此，以下对高中数学圆锥曲线知识的教学方法及解题技巧进行了探讨，以供参考。
关键词：高中数学圆锥曲线知识；教学方法；解题技巧；研究引言高中是学生学习数学的重要阶段，而高中数学学习主要集中于课堂，这就要求教师提高高中数学课堂教学的有效性。
高中数学课堂教学有效性是高中数学新课程改革的必然要求，具有教学目标明晰、学生全员参与、教学方式灵活、师生良性互动、教学评价多元等特点。
高中阶段的数学课程有着较强的逻辑性和关联性，而课堂教学对学生数学成绩的提高起着关键性的作用，课堂教学的有效性直接决定着课堂教学质量。
一、高中数学课堂教学的困境在课堂教学中，教师作为课堂的主导者和组织者，其素质与能力的发展，对于学生的发展具有一定的影响。
当前，许多的数学教师向专业型人才的方向发展，数学思维越来越严谨，教学模式逐渐向系统化、科学化的方向发展。
同样，在传统教学模式的影响下，一些教师很有可能采用高强度的刷题模式，让学生巩固课堂知识。
因此，学生会缺乏对数学知识点的深入了解，对数学学习产生抵触心理，更有甚者，不利于学生的心理健康。
在这情况下，数学课堂教学就会面临新的瓶颈。
数学教师需要在了解学生实际学习情况的基础之上，利用学校的教学设备，让学生加强对知识点概念的理解，对传统的教学方式进行改革，采用创新式、探究式的教学模式，以此来培养学生的学习能力和思维能力。
二、高中数学圆锥曲线知识的教学方法及解题技巧研究（一）创设情境，激发学生的学习兴趣不论哪门课程的学习，学生是否有兴趣，能够影响学生的学习成绩、学习效率和质量。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究发布时间：2022-09-04T06:10:23.875Z 来源：《中小学教育》2022年5月9期作者：李占有[导读] 圆锥曲线知识是高中数学的重要内容，对提高学生的解题能力、锻炼学生的逻辑思维、培养学生的创新精神等具有积极的促进作用。
李占有呼和浩特市第六中学 010030摘要：圆锥曲线知识是高中数学的重要内容，对提高学生的解题能力、锻炼学生的逻辑思维、培养学生的创新精神等具有积极的促进作用。
然而，圆锥曲线向来是高中数学教学中的难点，很多学生对其存在畏难心理，并且难以真正地掌握和理解。
针对这一情况，本文对圆锥曲线的有效教学方法和解题技巧进行了探究，旨在打消学生的畏难情绪，帮助学生更好地学习圆锥曲线知识。
关键词：高中数学;圆锥曲线;教学方法;解题技巧一、圆锥曲线知识的重要性圆锥曲线知识之所以重要不仅在于它能帮助学生取得理想的高考成绩，更在于学生在解决圆锥曲线题目的过程中，他们的综合运用知识能力、思维能力、创新能力等得到了培养和提高。
一方面，圆锥曲线知识较为抽象、复杂，相对高中数学的其他部分难以理解，所以学生学习圆锥曲线知识需要具有扎实的数学基础，需要学生对以前学过的知识和内容理解得更加全面与透彻，由此在一定程度上提高了学生的迁移能力、学习能力、理解能力等;另一方面，圆锥曲线的综合题目包含着较多的数学规律与定理，涉及面十分宽广，且题型富于变化性和动态性。
学生要想正确解答出此类问题，就需要积极地动脑思考，充分调动头脑中已有的解题思路和解题方法，从而找到题目的突破口，由此锻炼了学生的数学逻辑，刺激了学生的思维活跃性，有利于学生思维能力的提高和创新精神的培养。
二、圆锥曲线知识的教学方法（一）创设情境，激发学习兴趣兴趣是最好的老师，是提高教学效果的重要因素，更是学生自主学习的强大内驱力。
在圆锥曲线知识的教学中，教师应该充分发挥“兴趣”的力量，积极创设学生感兴趣的教学情境，引导学生产生学习圆锥曲线知识的欲望和动力，激发他们的学习热情，从而取得良好的教学效果。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究高中数学中，圆锥曲线是一个重要的内容，包括抛物线、椭圆和双曲线。
学好圆锥曲线需要掌握一定的教学方法和解题技巧。
下面将探究一些教学方法和解题技巧。
教学方法方面，可以采用理论结合实例的方式进行教学。
学生可以先学习圆锥曲线的相关概念和性质，然后通过一些具体的例题来加深理解。
在讲解的过程中，可以采用图示的方式，通过画图来帮助学生理解每个概念和定理。
还可以通过引导学生思考和讨论的方式，培养学生的逻辑思维能力。
解题技巧方面，需要培养学生观察和分析问题的能力。
对于每个具体问题，学生首先要观察和分析题目中给出的条件和要求，看能否直接用已知条件解决问题，如果不能，需要考虑使用什么方法进行求解。
对于某些特殊形式的题目，还可以采用一些技巧进行变形和转化。
对于求抛物线的切线方程，可以通过求解过抛物线给定点的切线来简化问题。
还需要培养学生运用数学工具进行计算的能力。
还可以通过一些综合性的例题和思考题来提高学生的综合运用能力。
通过这样的例题和思考题，能够帮助学生将所学的知识点进行综合运用，提高在实际问题中的应用能力。
在教学过程中，还需注意以下几点。
要注意给学生营造良好的学习氛围，激发他们的学习兴趣。
可以通过举一些有趣且实际的例子，来引发学生对圆锥曲线的兴趣和好奇心。
要注重巩固和复习。
数学的学习需要不断的巩固和复习才能真正掌握。
可以安排一些课后练习题，并进行详细讲解和订正。
要注重引导学生独立思考和解决问题的能力。
在解题过程中，可以适当地引导学生思考和尝试，而不是直接给完整的解法，这样能够培养学生的自主学习和解决问题的能力。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线是高中数学中比较重要的内容，它是代数几何学的基础。
在学习圆锥曲线时，重要的是理解基本概念和性质，并掌握解题的方法和技巧。
1. 基本概念和性质圆锥曲线分为椭圆、双曲线、抛物线和直线四种类型，它们都是曲线体的截面。
椭圆的数学表达式为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线的数学表达式为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，抛物线的数学表达式为$y^2=2px$，直线的数学表达式为$y=kx+b$。
其中，$a$和$b$为椭圆和双曲线的半轴长，$p$为抛物线的焦距，$k$为直线斜率，$b$为截距。
圆锥曲线有一些重要的性质。
比如，椭圆和双曲线是对称图形，它们的对称轴是$x$轴和$y$轴。
抛物线有对称轴，它是与$x$轴垂直的直线。
直线没有对称轴。
此外，椭圆和双曲线可以通过旋转变换相互转化，抛物线可以通过平移变换得到，直线可以通过平移和旋转变换得到。
2. 解题方法和技巧（1）椭圆和双曲线的基本性质椭圆和双曲线有许多基本性质，掌握这些性质可以帮助我们解题。
比如，椭圆和双曲线的中心点坐标为$(0,0)$，它们的焦点在$x$轴上，即$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。
双曲线的渐近线分别为$x=\pm\frac{a}{e}$，其中$e$为离心率。
在解题时，我们可以利用这些性质进行逆推和判断结果的合理性。
（2）抛物线的顶点和焦点抛物线有顶点和焦点两个重要的概念。
顶点坐标为$(0,\frac{p}{2})$，其中$p$为抛物线的焦距。
焦点的坐标为$(0,p)$。
当我们需要求出抛物线上的点与焦点之间的距离时，可以利用焦点和顶点的坐标和距离公式来求解。
（3）直线的斜率和截距直线的斜率和截距也是解题中的重要概念。
直线的斜率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta y$和$\Delta x$为直线的两个坐标差。
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
中国,俄罗斯,美国高中数学教材圆锥曲线内容的比较研究
中国,俄罗斯,美国高中数学教材圆锥曲线内容的比较研究
圆锥曲线是建筑水泥图形识别中普遍采用的一种数学几何图形，它被广泛应用于许多
学科里，如物理学，微积分学，统计学，几何学等。
近年来，由于有关计算机技术和图像
处理技术的发展，圆锥曲线在水泥图形识别中的应用越来越广泛。
在高中数学课程中，对
圆锥曲线的学习也越来越重视。
针对中国、俄罗斯和美国的高中数学教材，本文分析了它们对圆锥曲线的介绍情况，
并对比分析了它们彼此之间的异同。
一、中国高中数学教材
中国高中数学教材对于圆锥曲线的介绍主要是分开进行的，它在第一部分主要讲述了
圆锥曲线基本概念和有关定义，如椭圆、抛物线、双曲线的定义。
在第二部分，则介绍了
圆锥曲线的性质及其参数求解，如椭圆的方程、抛物线的根、双曲线的曲率半径等。
此外，中国的教材还讨论了圆锥曲线的应用，如工程图像里的圆锥曲线，以及圆锥曲线的实际应
用等。
美国高中数学教材在讲解圆锥曲线的性质、方程和参数分析时，注重深入浅出、全面
将圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的性质介绍出来。
与其它教材不同的是，美国教材
特别强调其他科学领域里圆锥曲线所扮演的重要作用，比如物理学里的心电图、工学中的
物流等，同时鼓励学生多多研究圆锥曲线的性质，从而更好的应用其在实际生活中的作用。
综上所述，中国、俄罗斯和美国高中数学教材在讲解圆锥曲线时，各有特色，先从定
义和相关参数进行系统介绍，然后再介绍其理论和应用，可以满足高中学生全面且系统的
学习需求，使得学生更好的掌握数学知识。
圆锥曲线论文1000字
圆锥曲线论文1000字高中数学圆锥曲线论文篇一:高中数学圆锥曲线的教学研究圆锥曲线问题是高中数学教学的重、难点.每年的高考中，都会涉及圆锥曲线问题，出题形式多样，既有分值较低的选择题和填空题，也有分值很高的大题.但是学生的得分率普遍不高.圆锥曲线教学的综合性和系统性强.这不仅要求学生理解最基本的知识点，提高运算的速度和准确性，还要求学生能够灵活运用数形结合的方法，找到解题的突破口，化简变形，准确解题.本文主要分析研究高中数学圆锥曲线的教学现状及其相应的对策，一、高中数学圆锥曲线教学现状1.从教师角度分析高中数学教学大纲中对圆锥曲线的教学目标、重难点知识的说明非常清楚.大多数教师都明白圆锥曲线的重要性，而且在课堂上讲解圆锥曲线知识点和解题思路的时候很清晰.不过，学生数学基础是有差异的.对于圆锥曲线的内容，有的学生接受起来容易，有的学生接受起来比较困难,这就要求教师在教学过程中要注重培养学生的学习兴趣，不能单凭过去的教学经验.圆锥曲线经常会用到数形结合思想，有的教师在教学时会告诉学生要运用数形结合的方法，但没有清楚地告诉学生是如何想到用这种解题思想的.教师应当让学生知其然，也要让学生知其所以然.很多学生做不到举一反三，就是因为在学习圆锥曲线知识的时候教师看重结果的正确而忽视了解题思路的理解，考虑到圆锥曲线知识在高考中所占的比重较大，几乎每一年的高考题中都会有所涉及.因而，在教学过程中教师应当有意识地渗透，让学生清楚圆锥曲线知识学习的重要意义;圆锥曲线与向量、概率等其他模块的数学知识有密切的关系.在教学过程中，教师也要重视学生其他模块数学知识的掌握，从宏观角度提高圆锥曲线教学的效率，2.从学生角度分析圆锥曲线的学习对学生的数学运算能力、推理能力、逻辑思维能力等各种数学能力的要求都非常高，对于很多学生来说，圆锥曲线学习起来的难度较大.有的学生对这部分知识有畏惧心理，思想上的负担导致学习的困难加大;有的学生学习方法落后，在学习过程中，只是记忆圆锥曲线的相关概念、结论，或者模仿教材和教师的解题思路，但并没有真正理解概念、结论的意义，没有掌握知识之间内在的关联，尤其是综合运用知识的能力不够，不会举一反三.圆锥曲线的题型有很多种，教师在课堂上一般会对每一种题型都进行详细的讲解，但是有的学生没有及时总结或者总结的时候流于形式，导致在考试中遇到圆锥曲线方面的题目失分，二、提升高中数学圆锥曲线教学效率的措施1.培养学生学习圆锥曲线的兴趣众所周知，兴趣是最好的老师.学生只有真正热爱圆锥曲线的学习，才能事半功倍.所以，教师在圆锥曲线的教学中应当运用有效的方法激发学生的学习兴趣.比如在课堂教学中，教师可以创设问题情境作为课堂导入.学生都在新闻上了解过人造地球卫星运转轨道，教师可以以此为切入点引入圆锥曲线的知识.学生发现了圆锥曲线知识在生活中的运用，学习兴趣就会大大提升.2.教师要重视演示数学知识的形成过程考试中的选择题和填空题不必要求学生将解题过程详细呈现出来，不管用何种解题方法，只要结果正确就可以.但是对于试卷中的大题，解题过程相当重要，清晰明了的解题过程是得分的关键，尤其是圆锥曲线的大题解题过程更是如此.因而，教师在进行圆锥曲线的教学时，不能只重视结果，而是应当重视从多方面来讲解解题步骤，通过清晰的演示让学生掌握圆锥曲线的知识.比如圆锥曲线中“多动点”的问题，很多学生不知如何理解，这时教师应当进行演示，让学生知道怎样运用参数求解法、怎样画图等.3.坚持学生的主体地位教学活动中，教师是引领者，学生是主体，任何情况下学生的主体地位都不能被削弱.当学生学习圆锥曲线的知识遇到问题的时候，教师要认真解答;教学过程中，教师要了解学生的认知规律，鼓励学生探索，让学生带着浓厚的兴趣融入课堂;教师应当多肯定、赞扬学生，提高学生学习的主动性和积极性.有的圆锥曲线的题目，不只有一种解题方法，对于这些题目，教师应当培养学生自主探究的能力，比较不同的解题方法，在考试中运用准确性和解题速度都高的方法.三、结语高中圆锥曲线的难度较大，教师在教学的时候要把握好重难点，循序渐进，切忌急于求成，保证学生夯实基础的前提下，提高难度.圆锥曲线教学过程中要因材施教，结合学生的接受能力来规划教学的进度和难易程度，对于学生提出的问题，教师要耐心认真的解答.教师还应注重培养学生的数形结合思想，从而提高圆锥曲线教学的效率，。