打包下载：2019年高考数学(理科)考试大纲解读(共16套)Word版含解析

2019年考试大纲解读

01 考核目标和要求

近日，《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲》(以下简称《考试大纲》)正式公布.《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据;《考试大纲》明确了高考的性质和功能，规定了考试内容与形式，对实施高考内容改革、规范高考命题都有重要意义.那么2019年高考，与往年相比，高考的考查要求有哪些变化呢? 从今天开始，为大家权威解读2019年考试大纲，希望对教师教学和考生备考有所帮助.

根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数

三、确保运算准确，立足一次成功

时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功.解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答.所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤.

四、讲求规范书写，力争既对又全

考试的又一个特点是以卷面为唯一依据.这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范.会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高；表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学非智力因素失分的一大方面.字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬，“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”.“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理.

五、执果索因，逆向思考，正难则反

对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能

得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证.如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件；用反证法，从否定结论入手找必要条件.

六、面对难题，讲究策略，争取得分

会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法：

1.缺步解答.对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数.

2.跳步解答.当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节.若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答.

2019年考试大纲解读

02 集合与常用逻辑用语

（一）集合

1．集合的含义与表示

（1）了解集合的含义，元素与集合的属于关系.

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.

考向一 元素、集合之间的关系

样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合，则A

中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4

【答案】A 【解析】

，当

时，

；当

时，

；当

时，

,所以共有9个元素，选A ．

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

考向二 集合的基本运算

样题2（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合，，则A

B =

A ．{}0

B ．{}1

C ．{}12，

D ．{}012，

，

【答案】C

【解析】易得集合,所以

，故选C ．

样题3 设集合{}1,2,4A =，．若{}1A

B =，则B =

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}

1,5

【答案】C

【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集

合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．

e

样题4（2018新课标全国Ⅰ）已知集合，则A=

R

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．学-科网

考向三充要条件的判断

样题5 （2018浙江）已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：

（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“?”

为真，则是的充分条件．

（2）等价法：利用?与非?非，?与非?非，?与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

（3）集合法：若?，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

样题6已知集合，B={x|(x?b)2

【答案】(?2,2)

【解析】由＝{x|(x?1)·(x＋1)<0}＝{x|?1

{x |(x ?b )2<1}={x |b ?1

B ≠?，所以11

11

b b +>-??-

考向四 命题真假的判断

样题7 （2018北京理科）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）

在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】

（答案不唯一）

【解析】对于

，其图象的对称轴为3

2

x =

，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是单调函数. 样题8 已知命题；命题q ：若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的

是

A ． p q ∧

B ．()p q ∧?

C ．

D ．()p q ?∨

【答案】B 【解析】显然命题

是真命题；命题q ：若x y >，则22x y >是假命题，

所以q ?是真命题，故()p q ∧?为真命题.

考向五 特称命题与全称命题

样题9 命题“，使得2

n x ≥”的否定形式是

A ．，使得2

n x < B ．，使得2n x < C ．，使得2n x < D ．，使得2n x <

【答案】D

【解析】?的否定是?，?的否定是?，2

n x ≥的否定是2

n x <．故选D ．

样题10 若“”是真命题，则实数m的最小值为__________________．【答案】1

2019年考试大纲解读

03 函数的概念与基本初等函数I

（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）

1．函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表

示函数.

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.

【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

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04 导数及其应用

（十七）导数及其应用

1．导数概念及其几何意义

（1）了解导数概念的实际背景.

（2）理解导数的几何意义.

2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数y=C，（C为常数），的导数.

（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.

?常见基本初等函数的导数公式：

?常用的导数运算法则：

法则1:

法则2:

法则3:

3．导数在研究函数中的应用

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

4．生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

5．定积分与微积分基本定理

（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.

（2）了解微积分基本定理的含义.

与2018年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，内容涉及导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）、零点，证明不等式等.小题难度可大可小，大题难度偏大，且近几年导数大题的第一问起点较高，应引起高度重视.全国卷命题不回避热点和经典问题，预计压轴题仍会以极值（最值）、零点问题，证明不等式等方式切入.

考向一 利用导数研究函数的单调性

样题1 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知函数

．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，.

（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.

（ii ）若2a >，令()0f x '=得，

或.

当

时，()0f x '<；

当

时，()0f x '>.

所以()f x 在单调递减，在

单调递增.

设函数，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从

而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.

所以，即.

考向二 利用导数研究函数的极值问题

样题2（2017新课标全国Ⅱ理科）若2x =-是函数

的极值点，则

()f x 的极小值为

A ．1-

B ．3

2e -- C ．3

5e -

D ．1

【答案】A 【解析】由题可得

， 因为(2)0f '-=，所以1a =-，，故

，

令()0f x '>，解得2x <-或1x >， 所以()f x 在上单调递增，在(2,1)-上单调递减，

所以()f x 的极小值为

，故选A ．

【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0

左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 样题3（2018新课标全国Ⅲ理科）已知函数

．

（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ． 【答案】（1）见解析；（2）1

6

a =-

. 【解析】（1）当0a =时，

，.

设函数，则.

当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，，

且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=. 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增. 又(0)0f =，

故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >. （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，，

这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.

（ii ）若0a <，设函数

.

由于当时，，故()h x 与()f x 符号相同.

又

，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.

.

如果610a +>，则当，且

时，()0h x '>，故0

x =不是()h x 的极大值点.

如果610a +<，则

存在根

10x <，故当1(,0)x x ∈，且

时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.

【答案】0 【解析】

.

样题7 执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．

【答案】

11

6

样题8 如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2

.若在矩形ABCD 内随机

取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．

【答案】

5 12

【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S 阴影=,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=

.

2019年考试大纲解读

05 立体几何

（三）立体几何初步

1.空间几何体

(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.

(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

2.点、直线、平面之间的位置关系

(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

? 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.

公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A．90πB．63π

C．42πD．36π

【答案】B

【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．

考向二球的组合体

样题4 （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．πB．3π4

C．π

2

D．

π

4

【答案】B

【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：

由题意可得：，

结合勾股定理，底面半径，

由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B. 【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关

系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.

样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均

相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则

1

2

V V 的值是

.

【答案】

32

【解析】设球半径为r ，则

．故答案为

32

． 【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

考向三 空间线面的位置关系

样题6 已知α，β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ?β，则α⊥β；

②若m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；

③如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交； ④若α∩β=m ，n ∥m ，且n ?α，n ?β，则n ∥α且n ∥β. 其中命题正确的是__________． 【答案】①④

样题7 （2018新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.

【解析】（1）由已知可得，BF ⊥P F ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .

又BF ?平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .

以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H ?xyz .

【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

考向四 空间角和距离

样题8 （2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体

中，1AB BC ==，1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A ．15

B

C D 【答案】C

【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成

的角，

由余弦定理可得.故选C.

【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；学-科网

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2

π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

样题9 a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【解析】设

.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由

，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆

C 于点

D ，如图所示，连接D

E ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，

,当直线AB 与a 成60°角时，

，故BD =又在Rt BDE

△中，

，过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可

知,ABF

∴△为等边三角形，，即AB与b成60°角，②正确，①错误.

由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.

【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是

π

0,

2

??

?

??

，可知当求出的角为钝角时，应取它

的补角作为两条异面直线所成的角.

（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.

2019年考试大纲解读

06 平面解析几何

（四）平面解析几何初步

1.直线与方程