毕业论文_极限思想的产生与发展
数学论文之极限
论述主题：高等数学中的极限思想
学院：计算机与通信工程学院
班级：计算机科学与技术1301
论述者：杨凌锋
参考文献：《百度文库》，《高等数学第三版》，《同济大学数学系论极限》
高等数学中的极限思想
在没接触高等数学之前，我所认知的数学解题方法大致可以分为三类：1.代数计算（对数据进行分析进行代数运算）；2.几何作图（通过对图像的分析研究问题）；3.从特殊到一般的特殊化方法（如数学归纳法）。
但是进入大学，学了高数之后，我有知道了一种数学中极为常用的思想方法——极限思想。
在我看来，极限思想贯穿了整个高等数学，它不仅是数学分析的重要概念之一，有是微积分理论的基础，因而想要学好高等数学，首要的是掌握极限思想。
对此，我对极限思想的作用和极限的一些基本解法做了一些了解和总结。
（一）极限思想的作用
()
lim ()
,lim ()1,lim ()v x x x u x u x v x →
→
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→→∞其中（1()()1()()
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lim u x v x v x x u x e -→
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=，证明过程要用到In e 七·利用洛比达法则求极限 如果函数式的极限出现了0,0∞
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等未定式时，可采用洛必达法则。
方法便是分子分母分别。
当代数学的起源与发展
极限思想的诞生与发展【摘要】极限思想谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。
它把对立统一的关系刻画得淋漓尽致，这种充满哲理的辩证关系对指导我们的工作、学习与科研都有着积极的意义.极限理论是微积分的重要理论基础，之后的导数、微分与积分等概念都是在此基础上推导出来的，如此重要的思想是怎么产生的呢？【关键词】极限诞生发展回归【综述】极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
一、极限思想的诞生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代，在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽——我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出了无限变小的过程。
但从现在的史料来看，这种思想主要局限于哲学领域，还没有应用到数学上，当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题。
直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”。
他的极限思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”。
第一个创造性地将极限思想应用到数学领域。
这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础。
刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。
公元三十节，古希腊诡辩学家安提丰在球员面积时提出了用成倍扩大圆内正多边形边数，通过内接正多边形的面积来表示圆面积的方法，即“穷竭法”。
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大学极限数学论文2700字_大学极限数学毕业论文范文模板导读：想要写作出优秀的大学极限数学论文2700字，想必大家都会觉得不容易的，不管是从标题还是内容上，每一个结构都是不容小觑的，所以学习一下前辈的写作方式也是会有收获的，本文分类为大学数学论文，下面是小编为大家整理的几篇大学极限数学论文2700字范文供大家参考。
大学极限数学论文2700字(一)：关于高等数学极限部分教学的几点改进论文极限既是整个高等数学的基础，也是学生在学习高等数学中接触的第一个和初高中掌握的概念形式不同的知识点。
如果极限的概念和应用掌握不好，一方面对于后续的导数、积分等概念难以理解，还极易产生厌学的情绪。
本文根据极限部分知识特点，针对极限概念引入及极限求解等方面给出了相关的教学改进建议，以达到引起学生兴趣，便于学生理解和应用的目的。
高等数学是指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡极限作为高等数学中最先引入的知识点，既是难点也是重点，如果极限的概念和应用掌握不好。
一方面对于后续的导数、积分等概念难以理解，还极易产生厌学的情绪。
同时，除本科数学专业开设数学分析课程外，很多学习高等数学课程的专业并非数学类专业，因此学生本身的不重视加上课程有一定难度，经常会导致学生成绩不理想的结果，因此对于高等数学基本概念，极限的引入与展开是一个值得深入探索的课题。
我国高校高等数学课程的教学水平各不相同，根据以往的研究？l现，目前在高等数学课程的开设方面，仍然存在着许多问题，就课程的内容而言，高等数学课堂上教师在教学中向学生灌输大量的“定义、定理、推导、证明、计算”等，而对于概念的深入思考却十分欠缺，导致概念与习题不能有效的对接，学生忽略对于理论本身的理解，进而在遇到更复杂的知识点时难以掌握，只能靠硬背来学习数学。
极限思想总结作文
极限思想总结作文极限思想，是一种超越自我的思维方式，是一种不断追求突破极限、挑战自我的精神状态。
在现代社会中，人们普遍倾向于安逸舒适的生活，追求稳定和安全感。
然而，一些人却选择了与众不同的道路，他们不畏艰难，勇往直前，不断挑战自我，追求极限。
极限思想在个人和社会层面上都具有重要意义。
首先，极限思想可以激发个体的潜能。
每个人都有无限的潜能，只是很多人没有激发出来。
而极限思想能够激发个体的潜能，使其超越自我，实现自己的梦想。
当一个人将自己推到极限时，他会尽力发掘自己的潜力，不断提升自己的能力和水平。
正如追求者尼基-拉斯赛所说：“只有当你推自己至极限时，你才能知道你有多坚强。
”极限思想的运用，可以使个体的能力得到最大程度的发挥，开拓自己的边界，并取得惊人的成就。
其次，极限思想有助于个体的成长和进步。
在追求极限的过程中，个体不仅要面对种种困难和挑战，还要经历失败和痛苦。
然而，正是这些困难和挫折，使人们不断地学习、成长，并吸取教训。
极限思想使人们不断超越自我，使个体在不断奋斗的过程中逐渐实现自己的价值和目标。
正如罗伯特·E·贝尔所说：“在极限之外，我们才能找到真正的自己。
”通过极限思想，个体能克服一切困难，取得更高层次的成就，不断进步。
再次，极限思想对社会发展也有巨大的推动作用。
在追求极限的过程中，个体不仅希望挑战自己，也希望推动整个社会向前发展。
不断突破自己的极限，个体能够为社会带来新的思想和创新，推动社会的进步和发展。
通过追求极限，一些杰出的科学家、艺术家和运动员为社会带来了许多创新和改变。
他们用自己的实际行动证明了“极限不是限制，而是引导”，极限思想在很多领域都有巨大的推动作用。
最后，极限思想也凸显了人类的无限潜能和生命的意义。
人类作为一种崇尚进步和极限思想的生物，不断吸取经验和积累知识，在极限思想的引领下，超越了时间和空间的限制。
在探索极限的过程中，人们追求着无限的可能性和不朽的荣耀。
中国古代数学中的极限思想[含论文、综述、开题-可编辑]
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设计（20 届）中国古代数学中的极限思想所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：“极限”是高等数学中最基础和最重要的概念之一，高等数学中许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。
其中，中国古代数学中的极限思想对整个数学的发展起到了非常重要的作用。
本文在中国古代数学中前人研究的基础上，结合国外古代极限思想，介绍极限思想的萌芽、发展到完善的整个过程，并对其相应的应用和影响做较为全面的探讨。
我们首先介绍中国古代的极限思想，接着从三个角度对中西方的极限思想进行比较，最后总结中国古代极限思想对后世数学的影响极其在文学、哲学和实际生活中的应用。
关键字：古代数学；极限思想；割圆术；圆周率；微积分The Ancient Chinese Mathematics Limit Thought Abstract：" Limit " is one of the most basic and most important concepts in the field of higher mathematics, many deep-level mathematics theories and their applications are extension and deepening of limit. Especially the ancient Chinese limit thought plays a very important role during the whole development of mathematics. Based on the ancient Chinese mathematics and previous studies, combined with the ancient limit of foreign ideas, in this paper we will introduce the whole process of limit thought from embryonic, development to perfect and make a comprehensive discussion about its corresponding applications and impact. First of all, we introduce the ancient Chinese limit thought. Then, we compare the Chinese and the west limit thought from three aspects. Last, we summarize the influence of the ancient Chinese mathematics limit thought on mathematics and the application in literature philosophy and actual life.Key words：Ancient mathematics; limit thought; the method of cutting circle; π; calculus .目录1 绪论 (1)1.1 问题的背景和意义 (1)1.2 极限相关概念 (2)1.2.1 数列极限 (2)1.2.2 函数极限 (2)2 中国古代的极限思想 (4)2.1 极限思想的萌芽 (4)2.2 关于数π (4)2.2.1 π的来历 (4)2.2.2 π的数值精确度的发展 (4)3 中西方极限思想的比较 (7)3.1 割圆术与穷竭法 (7)3.2 先秦极限观与古希腊极限观的比较 (8)3.2.1 对无穷大和无穷小认识的比较 (8)3.2.2 对无限可分性、连续性以及无穷数和的认识比较 (8)3.3 从中西方哲学传统看微积分的创立 (9)4 对后世数学的影响及其应用 (10)4.1 对后世数学的影响 (10)4.2 极限思想在文学和哲学方面的影响 (10)4.3 极限思想在古代的应用 (11)5 结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)1 绪论1.1 问题的背景和意义微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。
高等数学论文-高等数学基础概念—极限
高等数学基础概念——极限学院：印刷工程系专业：包装技术与设计班级：15包装2班姓名：卢慧学号：150703217一、摘要高等数学极限理论是高等数学教学环节中的重要内容，是学习高等数学、线性代数以及复变函数等大学数学科目的基础科目，极限概念是微积分中最基本的概念，极限思想是数学中极为重要的思想。
下面主要介绍了高等数学中的数列与函数极限的概念、运算法则以及求解方法进行简析。
文章最后，介绍了数学极限思想的发展简史，并对其日后的发展趋势进行展望。
二、关键词高等数学，数列极限，函数极限，运算法则三、正文(一)极限的概念极限概念是由某些实际问题的精确破解而产生的，是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的一个概念。
比如物理中的瞬时速度的问题。
我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0÷0，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出在数学领域中“极限”是用来描述变量在一定的变化过程中的极限状态的。
粗略地讲，在高等数学中，极限一直是一个重要内容，并以各种形式出现而贯穿全部内容。
（二）数列极限首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。
为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416。
数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用
数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用分类号O211.4编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号291010133研究类型x x x x x x指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录摘要. (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)引言 (Ⅱ)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)2.2 极限思想的早期应用 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (3)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (6)3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8)总结 (9)参考文献 (10)极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学Application of limit thought in mathematics teaching in high schoolWang Hui(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity, Gansu, Tianshui, 741000,)Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help.Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school极限思想在中学数学中的应用引言极限是近代数学中一个重要的概念。
极限思想的探讨
引言极限的思想是近代数学的一种重要思想.所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.极限思想蕴含着丰富的辩证法思想,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的完美应用,同时也为辩证法论证世界提供了丰富的表现例证.有了极限思想,常数和变数、有限和无限、精确和近似、任意和确定、抽象和具体、量变与质变、直线与曲线等矛盾问题在这里都得到了完美的科学体现和辩证的统一.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.极限思想作为一种哲学和数学思想,其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善时期.在其漫长曲折的演变历程中,布满了众多哲学家和数学家们的奋斗足迹,闪烁着人类智慧的光芒.极限理论的形成为微积分提供了理论基础,为人类认识无限提供了强有力的工具,它从方法论上凸显出来高等数学不同于初等数学的魅力,是近现代数学发展的一种重要思想和数学方法.理清极限思想的发展过程,熟练掌握极限解题方法,揭示极限思想的核心内容与哲学思想的内在联系,对理解和解决数学史和数学哲学史上的一些疑难问题问将有重大的帮助.1 产生与发展庞加莱说过：能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人.一切数学概念都来自于社会实践,经过千锤百炼从而被提炼为概念,再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善为经典的理论.毫无疑问,极限也是社会实践的产物.1.1 极限思想的产生极限思想的产生可以追溯到古代,战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》中就有关于原始的极限思想的应用:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是一尺长的木棒,第一天取去一半,剩下二分之一尺,第二天再取去二分之一尺的一半,剩下四分之一尺…….按照这样的分法分下去,长度越来越小,但无论多小,永远分不完.也就是说随着分割的次数增加,棰会越来越短 ,长度接近于零,但又永远不会等于零.墨家观点与惠施不同,提出一个“非半”的命题,墨子说“非半弗,则不动,说在端”.意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点.墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想,名家则有“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”性,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.显然名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.已反映出极限思想的萌芽,这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土.但从现有的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数学上,更加谈不上应用极限的方法来解决数学问题.公元3世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”.他创造性地将极限思想应用到数学领域.所谓割圆术,具体的方法是把圆周分割得越细,内接多边形的边数越多,其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周几乎“吻合”,进而完全一致了.刘徽将正多边形的面积算到了3072边形,由此求出的圆周率为3.1416,是当时世界上最早也是最准确的数据.后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位,这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.在国外,古希腊时期也有极限思想.古希腊的巧辩派中有相当一批人对几何三大问题感兴趣.安提芬在研究“化圆为方”的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,不过没有具体计算的记载.公元前4世纪,古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”,这种方法假定量的无限可分性,并且以下面命题为基础:“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分,从余部中再减去不小于他的一半的另一部分,等等,则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量.”应用穷竭法,欧多克斯正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”.欧多克斯的穷竭法,也已体现出了极限论思想.古希腊最伟大的数学家阿基米德巧妙地运用欧多克斯等人的穷竭法,通过严密的计算,解决了求几何图形的面积、体积、曲线长、计算二值等大量的计算问题.它突破了传统的有限运算,采用了无限逼近的思想,将需要求积的量分成许多微小单元,再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较,他的无穷小量概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础.由此,我们可以看到在数学无穷思想发展之初,古人就己在极限领域开创了一个光辉的起点.1.2极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已经无法解决,这就要求数学突破传统常量范围,来提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展的社会背景.16世纪,荷兰人斯泰文在考察三角形重心的过程中借助几何直观用极限思想思考问题,将极限概念向前推进了一步,但极限思想仍只停留在思想的层面,没有形成系统的理论体系.进入17世纪,特别是牛顿在建立微积分的过程中,由于极限没有准确的概念,也就无法确定无穷小的概念,利用无穷小运算时,牛顿做出了自相矛盾的推导：在用“无穷小”作分母进行除法时,无穷小量不能为零；而在一些运算中又把无穷小量看作零,约掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,显然这种数学推导在逻辑上是行不通的.那么,无穷小量是零还是非零？这个问题困然牛顿也困扰着与牛顿同时代的众多数学家.真正意义上的极限概念产生于十七世纪,由英国数学家约翰瓦里斯提出了变量极限的概念,他认为变量的极限是当变量无限逼近的一个常数,它们的查是一个给定的任意小的量.他的这种描述,把两个无限变化的过程表述出来,揭示了极限的核心内容.约翰的这个表述将极限思想向前做了延伸.到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在《分析教程》中指出,“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值.特别地,当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”.柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识,这就是说,在变化过程中,它的值可以是非零,但它变化的趋向是“零”,可以无限地接近于零.柯西试图取消极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义.但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就有多小”等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度.德国数学家,曾被誉为“现代分析之父”的维尔斯特拉斯提出了极限的定量的定义,给微积分提供了严格的理论基础：“如果对任何,总存在自然数,使得时,不等式恒成立”.这个定义定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系,排除了以前极限概念中的直观痕迹,将极限思想转化为数学的语言,用数学的方法描述,完成了从思想到数学的一个转变,使极限思想在数学理论体系中占有了合法的地位.2 极限思想的应用2.1 极限思想在数学分析中的应用极限思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.在数学分析中的连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数等概念都是利用极限思想的方法来定义的.首先,我们引出极限的定义.定义1:设为数列,为定数.若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有,则称数列收敛于,定数称为数列的极限,记作,或,读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”.例1：证明事实上，当时，即：，当时，，就有所以2.2 微积分与极限极限思想是分析数学最基本的概念之一,特别是极限思想贯穿整个微积分的始终.微积分思想的确立,微积分理论的掌握与应用,以及数学思维的建立都与极限思想的把握有很大关系.设质点在作直线运动时的运动规律为,则质点在时刻的瞬时速度为：.而平面曲线上过点处的切线斜率为：.问题不同,但在数学上的表现却相同,这我们就可以引出导数的意义:设函数在的某邻域内有定义,若极限（1）存在,则称函数在点处可导,并称该极限为函数在点的导数,记作.令,,则（1）式可改写为（2）所以,导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率,而导数则为在处关于的变化率.若（1）（或（2））式极限不存在,则称在点处不可导.可见,微分学的基本概念导数是用极限来定义的.例 2：设，试证证:两式相减可得因，，所以，又因为，故当，时右端极限为零，原极限获证.微分学很多的定理定义都是利用极限的思想直接或间接定义的.首先引出微分的定义.定义2:设函数定义在点的某邻域内.当一个增量,时,相应地得到函数的增量为.如果存在常数,使得能表示成, （3）则称函数在点可微,并称（3）式中的第一项为在点的微分,记作或.定理1:函数在点可微的充要条件是函数在点可导,而且（3）式中的等于证明【必要性】若在点可微,由（3）式有.取极限后有.这就证明了在点可导且导数等于.【充分性】若在点可导,则在点的有限增量公式表明函数增量可表示为的线性部分与较高阶的无穷小量之和,所以在点可微,且有这个定理的证明就充分利用了极限的思想.微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的.定义3：设是定义在区间上的有界函数,用点将区间任意分成个子区间.子区间及其长度记作.在每个子区间上任取一点并作和式.如果当最大的子区间的长度时,和式的极限存在,并且其极限值与的分发及的取法无关,则称在区间上可积,此极限值称为在区间上的定积分,记作即定义4:设为平面上可求长度的曲线段,为定义在上的函数.对曲线作分割,把分成个可求长度的小曲线段,的弧长记为,分割的细度,在上任取一点.若有极限,切的值与分割与点的取法无关,则称此极限为在上的第一型曲线积分,记作.由上充分体现了极限思想在微积分中无可替代的重要地位,除了以上所述,微积分中还有许多重要的定义也离不开极限思想,极限思想无可争议的成为了微积分的核心.2.3 极限思想在代数中的应用行列式和矩阵是线性代数非常重要的内容,极限思想作为数学研究的重要理论基础,自然而然的被应用于行列式的计算以及矩阵的证明.这里我们会做简单的介绍,从而验证极限思想研究的重要性.定义5：在矩阵中,设阶矩阵,若矩阵中是关于变量的函数,则我们称矩阵为矩阵函数.定义6：在矩阵中,设阶矩阵,,为连续函数,若有,称矩阵函数收敛于矩阵,记作或令.例 3 :设、为阶方阵,则有等式成立（1）若、都为阶可逆矩阵,则,因为、都可逆,则也可逆,所以有：,,故.（2）若时,则,此时有或或、以及都为零矩阵,故有：.（3）若,时,可知在矩阵中至少有一个元素的代数余子式不等于零,不妨设（为中元素的代数余子式）：令, ,显然,当时,,此时为可逆矩阵,又因为, 所以：由定义6可得：当时,,所以,即：即：当时有：.类似可证明当时也有成立.关于阶行列式的计算,有的题目运算比较复杂不易发现规律,有的运算量非常庞大,这时我们就可以适当运用极限的思想来求解.例 4:特殊行列式证明:已知利用数学归纳法,当时,；当时,；以此类推,可推测当时, .假设,当时行列式对上式也成立,即：,；当时：按第一行展开====故推测等式成立.综上所述：,时.当时,上述公式不能直接求解,但此时的值仍然存在,可设为常数,令：可知,为关于的连续幂函数,且当时,同样有：当,根据连续函数的性质有：即当时,,可以验证,将时展开计算也得到该表达式.所以：3 极限思想的哲学意义极限理论的建立,使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论的困扰,悖论思想是一种探索性的辩证思维,这种思维的追索可以揭示一个概念、一种学说中存在的深刻的内在矛盾性.极限思想正是在这种悖论思维中得以发展和完善的.学习极限思想对于培养人的思维方法、思维品质,提高其分析问题和解决问题的能力,形成正确的世界观和人生价值观都有极好的作用.极限思想的哲学意义主要表现在以下几个方面:（1）极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止的两种不同状态,是事物两种对立的矛盾状态.辩证唯物主义观点认为,它们在一定条件下可以相互转化.极限思想的研究提供了“变”与“不变”相互转化的方法和理论依据.使得人们能够由“不变”认识了“变”,实现了“变”中求得“不变”.因为有了极限的思想和方法,为人们解决事物变化中的问题提供了科学方法,形成了实用有效的“微元法”.（2）极限思想是有限与无限的对立统一.有限与无限有着本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展,同时借助极限法,从有限认识无限.例如,在极限式,中对应数列中的每一项,这些不同的数值既有相对静止性,又有绝对的运动性.数列中的每一项和是确定不变的量,是有限数；随着无限增大,有限数向无限接近,正式这些有限数的无限变化,体现了无限运动的变化过程,这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展,有限是无限的结果,他们既是对立又是统一的.（3）极限思想是近似与精确的对立统一.近似与精确在一定条件下可以相互转化,这种转化是理解数学运算的重要方法.在极限抽象的概念中,引入“圆内接正多边形面积”,其内接多边形面积的近似值是该圆面积,当多边形的边数无限增大时,内接多边形的面积无限接近于圆的面积,取极限值后就可以得到圆面积的精确值,这就是借助极限法,从近似认识精确.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念,但是通过极限法,建立两者之间的联系,在一定条件下可以相互转化.因此,近似与精确既是对立又是统一的.（4）极限思想是量变与质变的对立统一.辩证唯物主义认为,事物是处于不断变化过程中的,是量变和质变的统一.量变是事物发生变化的前提和准备条件,质变是事物变化的必然结果.当事物的量积累到一定的基础、达到事物变化的度时就一定发生质变.极限思想生动地诠释了马克思主义这一科学原理.例如对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到的还是内接正多边形,是量变,不是质变.但是,不断地让边数加倍,无限地进行下去的时候,多边形就质变为圆,多边形面积就转化为圆的面积.极限的思想方法让我们从量变认识到了质变.（5）极限思想是过程与结果的对立统一.过程和结果在哲学上是辩证统一的关系,在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.例如,平面内一条曲线上某点的切线斜率为.当曲线上的点无限接近于点的过程中,是变化过程,是变化结果.一方面,无论曲线上点多么接近点,都不能与点重合,同样曲线上变化点的斜率也不等于,这体现了过程和结果的对立性；另一方面,随着无限接近过程的进行,斜率越来越接近,二者之间有紧密的联系,无限接近的变化结果使得斜率等于了,这体现了过程与结果的统一性.所以,极限思想是过程与结果的对立统一.（6）极限思想是否定与肯定的对立统一.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素,都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面,内接正多边形是事物对自身的肯定,其中也包含着否定,这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形的边数的改变来体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加到无穷时,内接正多边形的面积转化为圆的面积,促使该事物转化为自己的对立面.由肯定达到自身的否定,这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽然是两个对立的事物,但是二者之间有紧密的联系,圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积,而圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的,从而建立了两者的联系,体现了否定与肯定的统一.小结极限的思想方法作为人类发现数学问题和解决数学问题的一种重要手段,它不仅是我们学习极限或高等数学所必须理解的,也是我们解决数学问题或实际问题所必须掌握的思想方法.它使得局部与整体,微观与宏观,过程与状态,瞬间与阶段的联系更加明确.使我们既可以居高临下,从整体角度考虑问题,又可以析理入微,从微分角度考虑问题.它的产生为数学的发展增加了新的动力,使数学得以在新的领域不断开拓新的道路,也使哲学找到了更多新的用以描述和论证世界的工具.本文从极限的产生与发展入手，描述了极限思想产生的背景，前进的过程，再到完善。
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存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文极限思想的产生与发展系别数学与信息科学系届别 2014 届专业数学与应用数学学号 1020151216 姓名李芳指导老师陈海莲完成日期 2014 年5月 4日目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.极限思想的产生 (2)2.极限思想的发展 (4)3.极限思想的概念 (5)极限的现代定义 (5)3.2函数极限的性质 (6)数列极限存在的条件 (7)4 极限思想的应用 (8)极限思想在割圆术中的应用 (8)极限思想在开方方面中的应用 (8)极限思想在微积分中的应用 (10)极限思想在解题中的应用 (11)结论 (15)参考文献 (17)致谢 (18)内容摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念、辩证与剖析及其应用。
极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。
本文最后探讨了极限思想在割圆术、开方、微积分和求解某一点方面的应用。
关键词：极限思想产生发展概念辩证剖析应用Abstract: This paper mainly discusses the origin and development of the limit idea, limit thought concept, dialectical analysis and its application. Limit thought is produced by Holland mathematician Steven improved the method of exhaustion of the ancient Greeks, while investigating the center of gravity when he, with the aid of the geometry, bold use of thinking about the limit, give up reductio ad absurdum proof, and Newton, made creative contribution to establish the Leibniz limit thought. This paper finally discusses the application of limit thought in cyclotomy, prescribing, calculus and solution of a point of.Key words: Limit thought production development concept dialectical analysis application引言数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象性和外部有效性的一门学科。
数学科学是知识理论和思想方法的有机结合。
求解实际问题的正确解法是由一系列正确的程序组成, 即从已知量出发, 通过对已知条件与目标结果的联系, 并运用数学的各种运算, 最终得到正确的结果的过程。
微积分是解决实际问题的一个基础, 极限的思想是微分与积分的基础, 极限的思想贯穿整个微积分的领域。
如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一。
极限，单从字面上来讲，就足以让人浮想联翩，发散思维，引发出无限的遐想。
“挑战极限，超越自我”曾是我们高三时期激励自己奋发学习的铮铮誓言。
然而这只是生活中我们对极限的外在理解，还很幼稚很肤浅的，与数学上所讲的“极限”还是有很大的区别。
理解并掌握好其中极限的重要思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快发现解决问题的方法, 提高实际效果。
本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程作出初步的分析和探索。
极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐累积起来的，它也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，在古书中，如我国《庄子·天下篇》载“一尺之锤,日取其半,方世不竭”。
《墨经》注“或不容尺,有穷；莫不容穷,无穷也”。
表达无限可分思想外，包含了极限思想的萌芽。
刘徽《九章算术注》，将无穷小分割法，利用极限思想架起了通向微积分的桥梁，至今熠熠闪光，例如，他创立的“割圆术”（采用圆内接正多边形，当边次逐次倍增接近圆的原理“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于又可割，则与圆合体，而无所失矣”。
）其思想与古希腊“穷竭法”不谋而合。
刘徽在证明圆面积公式中亦蕴含了极限思想。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。
”极限思想的历史可谓源远流长，一直可以追溯到2000多年前。
这一时期可以称作是极限思想的萌芽阶段。
其突出特点是人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些简单的实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的概念。
也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。
极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。
提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。
阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。
然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。
从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。
”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除。
无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。
”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。
这更是从直观上体现了极限思想。
我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。
所谓“割圆术”，就是用半径为R 的圆的内接正多边形的边数n 一倍一倍地增多，多边形的面积n A 就越来越接近于圆的面积R 。
在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能达到近似的程度。
但可以想象，如果把这个过程无限次继续下去，就能得到精确的圆的面积。
2.极限思想的发展极限思想是到了16世纪才得以进一步发展的，那时的极限思想是在欧洲资本主义萌芽时期，生产力得到极大发展，生产和技术中大量问题无法用初等数学解决的前提下，一批先进数学家们才进入极限思想的领域深入研究的，这时极限思想的发展与微积分的建立越来越紧密相连了。
科学家们为了获得更高的生产力，不断的进入了极限思想的研究中，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。
尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触。
例如，在瞬时速度这一问题上，牛顿曾说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n 无限增大时，n a 无限地接近于常数A ，那么就说n a 以A 为极限”。
这只是“在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言做出的定性描述”。
这一概念固然直观、清晰、简单易懂。
但是从数学的角度审视，对极限的认识不能仅停留在直观的认识阶段。
极限需要有一个严格意义上的概念描述。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到了人们的怀疑与攻击。
英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。
这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
在极限思想的发展中，我们可以看出数学并不是自我封闭的学科，它与其他学科有着千丝万缕的联系。
正如一位哲人所说：“数学不仅是一种方法，一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系。
”在探求极限起源与发展的过程中，我发现数学确实是一个美丽的世界，享受数学是一个美妙的过程。
以前总是觉得数学枯燥艰涩，可是通过近段时间对极限思想的探究，我真切地感受到数学之美。
在数学推理的过程中，我们可以尽情发散自己的思维，抛开身边的一切烦恼，插上智慧的双翼遨游于浩瀚无疆的数学世界。
什么琐事都不要想，全身心投入其中，享受智慧的自由飞翔，这种感觉真的很美。
培根说：“数学使人精细。
”我觉得应该再加上一句——数学使人尽情享受思维飞翔的快感。
极限是指无限趋近于一个固定的数值。
而极限又可分为数列极限和函数极限。
学习微积分，就会有引入极限的必要性，因为代数是无法处理“无限”的概念，所以为了要利用代数处理无限的量，于是就要构造“极限”的概念。
在“极限”的定义中,我们可以知道，极限的概念为了解决一个数除以0的麻烦，引入了一个过程小量可以取任意小， 只要满足在△δ的区间内，都小于该任意的小量，我们极限为该数，这样的定义可能不够信服力，但它的实用性证明，这个定义还是比较完善的，给出了正确的可能。
数列极限的标准定义：对数列{ n X }，若存在常数a ，对于任意0>ε，总存在正整数N ，使得当n>N 时，ε<-X a n 成立，那么称a 是数列{ n X }的极限。