第三章电阻电路的一般分析

第三章电阻电路的一般分析本章内容：1．电路的图及KCL和KVL独立方程数 2．支路分析法3．网孔分析法4．回路电流法5．结点分析法本章重点：主要学习电阻电路的方程建立及一般分析方法（支路分析法、网孔分析法、节点分析法、回路分析法。

其中，支路分析法是最基本的方法）。

本章难点：独立回路数的确定, 回路分析法及节点分析法.§3-1 电路的图本节介绍有关图论的初步知识，学习应用图的方法选择电路方程的独立变量一、电路的图（G）数学上的图：是边（支路）和顶点（结点）的集合，每一条边都连到相应的顶点上，边是抽象的线段，当移去边时，顶点保留，当移去顶点时，应将顶点所连的支路移走。

1．电路的图（连通图G）：是将支路画成的抽象线段形成的节点和支路的集合，结点相对于数学图的顶点，支路相当于数学图中的边。

支路是实体。

KVL和KCL 与元件的性质无关，故可用图讨论其方程。

2．无向图：画出的没有方向的图为无向图3．有向图：画出的有方向的图为有向图4．连通图：任意两个结点之间至少有一条支路或路径时的图为连通图。

二、电路的图的画法（有几种，其中简便的画法）1．一般将电阻和电压源串联的组合，电阻和电流源并联的组合看成一条支路, 将流过同一个电流的每一个分支看成一条支路。

如（b）2．指定电流和电压的参考方向，一般选关联参考方向。

如图（c）(a) (b) (c)§3-2 KCL和KVL的独立方程数一、KCL的独立方程数（n个结点电路，KCL的独立方程是n-1个）将电路的有向图，结点和支路加以编号，如下图，对结点①②③④列写KCL 方程有由于每条支路与两个结点相联，其电流从一个节点流出，从另一个结点流入，一正，一负（从表达式可见），将上面4个方程相加，等式两边为0，说明4个方程不是独立的；将上面3个方程相加，等式两边不为0，说明3个方程是独立的。

可见，n个结点电路，n-1个结点的KCL方程是独立的一、KVL的独立方程数（b条支路，n个结点，KVL为b-(n-1)个）KVL的独立方程数等于独立回路数独立回路数等于基本回路数，回路与支路的方向无关，以无向图讨论。

1．回路：在一个连通图中，由不同支路组成的闭合路径称为回路。

在一个电路的图中，回路有很多如（158）（256）（1268）（1574）等。

要找出独立回路，引入树的概念。

2．树（T）：一个电路的图G的树T是由有全部节点和部分支路组成的，且（1）不含回路的（2）连通的整体。

如图(a)(b)(c)是树(e)(d)不是树。

树的特点：加入连枝构成回路。

(a) (b) (c) (d) (e)（1）树支：树中包含的支路称为该树的树支。

树支数等于结点数减去1（n-1）。

（2）连支：该树以外的支路称为该树的连支。

b-(n-1)树支和连支构成图的全部支路。

如(a)中5678为树支，1234为连支。

如图(b)1563为树支，2478为连支3．基本回路：单连支回路为基本回路（由一个连支和树支组成的回路称为单连支回路），有几个连支就有几个基本回路。

如下图，取145为树支，则236为连支，每加一个连支就构成一个基本回路。

(c) (d) (e)结论：（1）基本回路就是独立回路。

（2）在有向图G中，找出基本回路，再给出回路的绕行方向，结合支路的编号，就可以列写KVL方程回路1：u1+u3+u5=0 回路2：u1-u2+u4+u5=0 回路3：-u4 -u5+u6=0独立回路数等于基本回路数，那么如何求基本回路呢？基本回路数的求法：将图G的树T，分别加入所有的连支，单连支回路即为基本回路，也就是独立回路。

但是独立回路不一定是单连枝回路。

说明：为分析问题方便，当电路的图为平面图（各个支路不交叉）时，网孔数等于独立回路数，如图（a）；当电路的图不为平面图时，利用树的概念求基本回路,如图（b）。

§3-3 支路电流法一、支路电流分析法1.定义：以支路电流作为变量来列写方程求解电路的方法称为支路电流分析法。

2.步骤：（结合下图说明）*一个电路画其电路的图，首先要看它有几条支路几个节点（设有b条支路，n个节点）1）设定电路的图中各支路电流电压的参考方向，选定绕行方向，如图2）列写n-1个独立节点的KCL方程（以①②③结点为例）-i1+i2+i6=0 （1）-i2+i3+i4=0 （2）-i4+i5-i6=0 （3）3）列写独立回路的KVL方程b-（n-1）个。

（若为平面图，列写网孔回路的KVL方程；若不是，列写基本回路的KVL方程）u 1+u2+u3=0 （4）-u3+u4+u5=0 （5）-u2-u4+u6=0 （6）将各支路的电压用电阻和电流表示有将上述方程整理得：上式表明：电流在电阻上的压降的代数和等于电压源电位升的代数和，电流的参考方向与绕行方向一致，Ri前取正号，反之取负号；电压源电压的方向与绕行方向相同取负号，反之取正号。

4）将KCL和KVL方程联立求解，求得各支路电流。

说明：（1）当电路含有无伴电流源（只含电流源，不含并联电阻的电流源）时，不能求解，需要处理求解。

（2）将支路电流用电压表示，代入KCL方程，可以得到以支路电压为变量的b个方程，为支路电压法。

§3-4 网孔电流法当支路较多时，用支路电流法求解电路时较麻烦。

所以引入网孔分析法。

一、网孔电流法网孔电流是在网孔中连续流动的假想电流，用网孔电流为变量列写方程求解问题的方法。

（适用于平面电路）二、网孔分析法的步骤（以两个网孔为例）1．画出电路的图，给定支路的编号和参考方向2．找出网孔数，选定各网孔电流的参考方向（也是绕行方向）3．沿绕行方向列网孔回路的KVL方程。

（R1+R2）i m1-R2i m2=u s1-u s2（1）-R2i m1+（R2+R3）i m2=u s2-u s3（2）写成：R11i m1+ R12i m2=u S11R21i m1+ R22i m2=u S22式中：R11i m1—是网孔电流i m1在网孔1中的压降；R12i m2—是网孔电流i m2在网孔1中的压降；R11、R22—自电阻（自阻）：一个网孔电阻之和。

由于电流的参考方向，也是绕行方向，所以自阻总是正的，产生的压降取“+”号；R12、R21—互电阻（互阻）：两个网孔的公共电阻之和。

当两个网孔在公共电阻上的参考方向相同时，一个网孔电流在另一个网孔中引起的电压与绕行方向一致，为正（互阻取正号），反之为负（互阻取负号）。

没有公共电阻互阻为0；（为排列整齐，将正负号包含在互阻中）当有多个（m个）网孔时，网孔方程一般式为式中：有相同下标的电阻（R11、R22、R33等）是各自网孔的自阻，为正的；不同下标的电阻（R12、R12、R13等）是网孔间的互阻，互阻的正负由两个网孔电流在共有支路上电流的参考方向是否相同而定，方向相同为正，方向相反为负（若网孔电流为瞬时针，则互阻总为负），两个网孔没有共有支路或共有支路没有电阻时，互阻为0。

u s11、u s22、等分别为回路1、2等中电压源的代数和，电压源的电压方向与回路电流方向一致，取“+”号，反之取“-”号3．解方程组可求得网孔电流。

4．各支路的电流是网孔电流的代数和。

i1= i m1i2= i m2i3= i m1- i m2三、举例，如图，用网孔法求各支路的电流解：（1）设网孔电流为I1、I2、I3（2）列写网孔电流方程（先求自阻和互阻）网孔方程为：解得I1、I2、I3，从而求出各支路电流四、网孔电流法分析时应注意的问题1．电路中存在电流源与电阻并联（电流源支路）时，先等效成电压源支路。

2．电路中含有理想电流源支路时，可采取以下措施(另行处理)1）若电流源中只有一个网孔电流流过时，则此网孔电流为已知，不必列网孔的电压方程。

（75页3-12题）2）若电流源中流过几个网孔电流时，电流源的电压作为变量列入网孔电压方程式。

3）把电流源的电流与各网孔电流之间的关系作为补充方程。

§3-5 回路电流法网孔电流法只适用于平面电路分析，故引入回路分析法，回路电流是在回路中连续流动假想电流一、回路电流法回路电流法是以独立回路电流为变量列写方程的方法。

一般选基本回路为独立回路。

如上图：选456为树枝，则123为连枝，基本回路有3个，设出回路电流，可见连枝电流为回路电流即：i1=i l1i2=i l2、i3=i l3树枝电流（其它支路的电流）可用回路电流表达即：i4=-i l1+i l2 i5=-i l1-i l3i6=-i l1+i l2-i l3结论：只要求出回路电流，就可以求出支路电流。

二、回路电流法方法回路电流的求法与网孔电流相同，区别在于网孔电流法独立回路为网孔，适用于平面；回路电流法独立回路为基本回路，适用于平面和非平面。

（下面的步骤讲课时说一下即可）1．根据给定电路（b条支路，n个节点，则树枝为n-1个，基本回路数为L=b-（n+1）），通过选择一定的树确定基本回路，设出基本回路电流的参考方向（一般选连枝的参考方向）2．列写回路电流方程（同网孔电流法）式中：有相同下标的电阻（R11、R22、R33等）是各回路的自阻，为正的；不同下标的电阻（R12、R12、R13等）是回路间的互阻，互阻的正负由两个回路电流在共有支路上电流的参考方向是否相同而定，方向相同为正，方向相反为负，两个回路没有共有支路或共有支路没有电阻时，互阻为0。

u s11、u s22、等分别为回路1、2等中电压源的代数和，电压源的电压方向与回路电流方向一致，取“+”号，反之取“-”号3．解方程组可求得回路电流。

4．各支路的电流是回路电流或回路电流的代数和。

三、回路电流法分析时应注意的问题1．电路中存在电流源与电阻并联（电流源支路）时，先等效成电压源支路。

2．电路中含有理想电流源支路（无伴电流源）时，可采取以下措施（1）若电流源中只有一个回路电流流过时，则此回路电流为已知，不必列回路的电流方程。

（2）若电流源中流过几个回路电流时，电流源的电压作为变量列入回路电流方程式。

（3）把电流源的电流与各回路电流之间的关系作为补充方程四、举例例3-2 如图R1=R2=R3=1Ω，R4=R5=R6=2Ω，u s1=4v，u s2=2v，列回路电流方程，求支路电流。

解：选456为树，则123为连枝，基本回路有3个，回路电流的参考方向如图，则：I1=I l1I2=I l2、I3=I l3自阻、互阻为：电压源的代数和为：回路电流方程为：各支路电流为：I1=I l1I2=I l2、I3=I l3I4=I l1-I l2 I6=-I l1+I l3I5=I l1+I l2-I l3例3-3 如图U S1=50V，U S3=20V I S2=1A，用回路法列出电路方程。

解：电路中含有无伴电流源，设两端的电压为U作为附加变量，设回路电流为I l1、I l2、I l3则回路方程为：补充方程为：I l3- I l2=1§3-6 节点电压法在电路中选择参考结点，求独立结点的节点电压，各支路的电压是节点电压的差，可由VCR求各支路的电流。