2019年江苏省连云港市中考数学试卷(附答案与解析)
绝密★启用前江苏省连云港市2019年中考数学试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的)1.2-的绝对值是()A.2-B.12-C.2D .122.要使1x-有意义,则实数x的取值范围是()A.1x≥B.0x≥C.1x≥-D.0x≤3.计算下列代数式,结果为5x的是 ()A.23x x+B.5x xg C.6x x-D.552x x-4.一个几何体的侧面展开图如图所示,则该几何体的底面是()A B C D5.一组数据3,2,4,2,5的中位数和众数分别是()A.3,2B.3,3C.4,2D.4,36.在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()(第6题)A.①处B.②处C.③处D.④处7.如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中120C∠=︒.若新建墙BC与CD总长为12m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )A.218m B.2183mC.2243m D.2453m8.如图,在矩形ABCD中,22AD AB＝.将矩形ABCD对折,得到折痕MN；沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论：①CMP△是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③6PC MP=；④2BP AB=；⑤点F是CMP△外接圆的圆心.其中正确的个数为( )A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需要写出解答过程)9.64的立方根是.10.计算2(2)x-＝.11.连镇铁路正线工程的投资总额约为46 400 000 000元.数据“46 400 000 000”用科学记数法可表示为.12.一圆锥的底面半径为2,母线长为3,则这个圆锥的侧面积为.13.如图,点A、B、C在Oe上,6BC=,30BAC∠︒=,则Oe的半径为.(第13题) (第15题) (第16题)14.已知关于x的一元二次方程2220ax x c++-=有两个相等的实数根,则1ca+的值(第7题)(第8题)毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第1页（共26页）数学试卷第2页（共26页）数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）等于 .15.如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始,按顺时针方向),如点A 的坐标可表示为(1,2,5),点B 的坐标可表示为(4,1,3),按此方法,则点C 的坐标可表示为 . 16.如图,在矩形ABCD 中,4AB =,3AD =,以点C 为圆心作C e 与直线BD 相切,点P 是C e 上一个动点,连接AP 交BD 于点T,则APAT的最大值是 . 三、解答题(本大题共11小题,共102分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分6分)计算：11(1)2()3--⨯++.18.(本小题满分6分)解不等式组：2412(3)1x x x -⎧⎨--+⎩＞＞.19.(本小题满分6分)化简：22(1)42m m m ÷+--.20.(本小题满分8分)为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况,随机抽取部分中学生进行调查,根据调查结果,将阅读时长分为四类：2小时以内,2～4小时(含2小时),4～6小时(含4小时),6小时及以上,并绘制了如图所示尚不完整的统计图.(1)本次调查共随机抽取了 名中学生,其中课外阅读时长“2～4小时”的有 人；(2)扇形统计图中,课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为 ︒； (3)若该地区共有20 000名中学生,估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数.21.(本小题满分10分)现有A 、B 、C 三个不透明的盒子,A 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个,B 盒中装有红球、黄球各1个,C 盒中装有红球、蓝球各1个,这些球除颜色外都相同.现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球. (1)从A 盒中摸出红球的概率为 ；(2)用画树状图或列表的方法,求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.22.(本小题满分10分)如图,在ABC △中,=AB AC .将ABC △沿着BC 方向平移得到DEF △,其中点E 在边BC 上,DE 与AC 相交于点O . (1)求证：OEC △为等腰三角形；(2)连接AE 、DC 、AD ,当点E 在什么位置时,四边形ABCD 为矩形,并说明理由.23.(本小题满分10分)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2 500吨,每生产1吨甲产品可数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x (吨),生产甲、乙两种产品获得的总利润为y (万元). (1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)若每生产1吨甲产品需要A 原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A 原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A 原料至多为1 000吨,其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.24.(本小题满分10分)如图,海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A 与哨所B 同时发现一走私船,其位置C 位于哨所A 北偏东53︒的方向上,位于哨所B 南偏东37︒的方向上.(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76︒的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时,恰好在D 处成功拦截.(结果保留根号). (参考数据：3sin37cos535︒︒＝≈,4cos37sin535︒︒＝≈,3tan374︒≈,tan764︒≈)25.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数y x b =-+的图像与函数(0)ky xx =＜的图像相交于点6()1,A -,并与x 轴交于点C .点D 是线段AC 上一点,ODC △与OAC △的面积比为23∶. (1)k = ,b = ； (2)求点D 的坐标；(3)若将ODC △绕点O 逆时针旋转,得到OD C ''△,其中点D '落在x 轴负半轴上,判断点C '是否落在函数(0)ky xx =＜的图像上,并说明理由.26.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21L y x bx c =++：过点3(0,)C -,与抛物线2213222y x L x =--+：的一个交点为A ,且点A 的横坐标为2,点P 、Q 分别是抛物线1L 、2L 上的动点. (1)求抛物线1L 对应的函数表达式；(2)若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P 的坐标； (3)设点R 为抛物线1L 上另一个动点,且CA 平分PCR ∠,若OQ PR ∥,求出点Q 的坐标.备用图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ ___________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------27.(本题满分14分)问题情境：如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究：在“问题情境”的基础上,(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求AEF∠的度数；图2 (2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线上时BD,连接AN,将APN△沿着AN翻折,点P落在点P'处.若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求P S'的最小值.图3问题拓展：如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折,使得BC的对应边B C''恰好经过点A,C N'交AD于点F.分别过点A、F作AG MN⊥,FH MN⊥,垂足分别为G、H.若52AG=,请直接写出FH的长.图1数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）图4数学试卷第9页（共26页）数学试卷第10页（共26页）24)x-243m.故选C.【解析】Q沿着CM折叠,点D的对应点为E,∴DMC EMC∠=∠,Q再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,∴AMP EMP∠=∠,Q180AMD︒∠=,∴1180902PME CME∠+∠︒=⨯=︒,∴CMP△是直角三角形；故①正确；Q沿着CM折叠,点D的对应点为E,∴90D MEC∠=∠=︒,Q再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,∴90MEG A∠=∠=︒,∴180GEC∠=︒,∴点C、E、G在同一条直线上,故②错误；Q AD=,∴设=AB x,则AD=,Q将矩形ABCD对折,得到折痕MN；∴12DM AD==,∴C M,Q90PMC∠=︒；MN PC⊥,∴2CM CN CP=g,∴2CP x=,∴PN CP CN=-,∴PM x,∴PCPM=,∴PC,故③错误；Q数学试卷第11页（共26页）数学试卷第12页（共26页）数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）PC ,∴PB x =-=,∴ABPB=,∴PB AB ,故④正确.Q CD CE =,EG AB =,AB CD =,∴CE EG =,Q .90CEM G ∠=∠=︒,∴FE PG ∥,∴CF PF =,Q 90PMC ∠=︒,∴CF PF MF ==,∴点F 是CMP △外接圆的圆心,故⑤正确.故选B.三角形∴ 6OB BC ==.数学试卷 第15页（共26页） 4【考点】矩形的性质，圆的切线性质，相似三角形的性质.三、解答题17.【答案】解：原式2233=-++=.【解析】解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指数幂.先计算出实数的乘法,算术平方根,负整数指数幂的值,然后再进行加法计算. 【考点】实数的运算法则.18.【答案】解：解不等式24x -＞,得2x ＞-, 解不等式12(23)1x x --+＞,得2x ＜, 所以原不等式组的解集是22x -＜＜.【解析】解题的关键是正确求出不等式组的公共部分,先分别求出不等式组中每个不等式的解集,然后再求出它们的公共解. 【考点】一元一次不等式组解集的求法.3(2)画出树状图如图所示：数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）A 盒中摸出红球的结果有一个,由概率公式即可得出结果；(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数,摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种,由概率公式即可得出结果.【考点】列表法与树状图法求概率.22.【答案】(1)证明：Q AB=AC ,∴ABC ACB ∠=∠, Q ABC △平移得到DEF △,∴AB DE ∥, ∴ABC DEF ∠=∠,∴DEF ACB ∠=∠, ∴OE=OC ,即OEC △为等腰三角形(2)解：当E 为BC 中点时,四边形AECD 为矩形. Q AB AC =.且E 为BC 中点, ∴AE BC ⊥,BE EC =. Q ABC △平移得到DEF △, ∴BE AD ∥.BE AD =, ∴AD EC ∥.AD EC =, ∴四边形AECD 为平行四边形,又Q AE BC ⊥,∴四边形AECD 为矩形.【解析】能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.(1)根据等腰三角形的性质得出B ACB ∠=∠,根据平移得出AB DE ∥,求出B DEC ∠=∠,再求出ACB DEC∠=∠即可；(2)先证四边形AECD 是平行四边形,再由有两条邻边互相垂直的平行四边形是矩形证AECD 是矩形即可.【考点】矩形的判定，平行四边形的判定，平移的性质，等腰三角形的性质和判定. 23.【答案】解：(1)0.3(2500)0.40.11000y x x x =+-=-+g g .(2)由题意得：0.25(2500)0.51000x x +-g g ≤,解得1000x ≥.又因为2500x ≤,所以10002500x ≤≤.由(1)可知,0.10-＜,所以y 的值随着x 的增加而减小. 所以当1000x =时,y 取最大值,此时生产乙种产品250010001500-=(吨). 答：工厂生产甲产品1 000吨,乙产品1 500吨时,能获得最大利润.(2)过点C 作CM AB ⊥于点M ,由题意易知,D 、C 、M 在一条直线上.425.【答案】解：(1)将(1,6)A -代入y x b =-+得61b =+,∴5b =.将(1,6)A -代入y x=,数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）得61k=-,∴6k =-,故答案为：6,5-； (2)如图1,过点D 作DM x ⊥轴,垂足为M ,过点A 作AN x ⊥轴,垂足为N ,Q 122132ODC OAC OC DM S S OC AN ==g g △△,∴23DM AN =,又Q 点A 的坐标为(1,6)-,∴6AN =,∴4DM =,即点D 的纵坐标为4,把4y =代入5y x =-+中,得1x =,∴(14)D ，；(3)由题意可知,OD OD '==如图2,过点C '作C G x '⊥轴,垂足为G , Q ODCOD C S S ''=△△,∴OC DM OD C G ''=g g ,即54G '⨯=,∴C G '=,在Rt OC G '△中,Q OG =, ∴C '的坐标为(1717-,Q (6≠-,∴点C '不在函数6y x=-的图像上.数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）222Q DN NF CF BE EC ++=+,∴DN MB EC +=；数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）∴HI AD ⊥,HI BC ⊥,HI AB AD ==, Q BD 是正方形ABCD 的对角线,∴45BDA ∠=︒, ∴DHQ △是等腰直角三角形,HD HQ =,AH QI =,Q MN 是AE 的垂直平分线,∴AQ QE =,在Rt AHQ △和Rt QIE △中,,,AQ QE AH QI =⎧⎨=⎩∴Rt Rt (HL)AHQ QIE △≌△, ∴AQH QEI ∠=∠,∴90AQH QEI ∠=∠=︒,∴90AQE ∠=︒,∴AQE △是等腰直角三角形,∴45EAQ AEQ ∠=∠=︒,即45AEF ∠=︒；(2)连接AC 交BD 于点O ,如图3所示, 则APN △的直角顶点P 在OB 上运动,设点P 与点B 重合时,则点P '与点D 重合；设点P 与点O 重合时,则点P '的落点为O ', Q AO OD =,90AOD ∠=︒,∴45ODA ADO '∠=∠=︒,当点P 在线段BO 上运动时,过点P 作PG CD ⊥于点G ,过点P '作P H CD '⊥交CD 延长线于点H ,连接PC ,Q 点P 在BD 上,∴AP PC =,在APB △和CPB △中,,,,AP PC BP BP AB BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴(SSS)APB CPB △≌△, ∴BAP BCP ∠=∠,Q 90BCD MPA ∠=∠=︒,∴PCN AMP ∠=∠,Q AB CD ∥ ∴AMP PNC ∠=∠,∴PCN PNC ∠=∠,∴PC PN =, ∴AP PN =,∴45PNA ∠=︒,∴90PNP '∠=︒,∴90P NH PNG '∠+=︒,Q 90P NH NP H ''∠+∠=︒,∴90PNG NPG ∠+∠=︒,∴NPG P NH '∠=∠,PNG NP H '∠=∠,由翻折性质得：PN P N '=,在PGN △和NHP '△中,,,,NPG P NH PN P N PNG NP H '∠=∠⎧⎪'=⎨⎪'∠=∠⎩∴2DS =,则P S '的最小值为2；三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质.数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。
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将正方形 ABCD 沿着 MN 翻折，使得 BC 的对应边 B'C'恰好经过点 A，C'N 交 AD 于点 F．分 别过点 A、F 作 AG⊥ MN ，FH ⊥ MN ，垂足分别为 G、 H．若 AG＝ ，请直接写出 FH 的 长．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
）
A ．x≥ 1
B ．x≥ 0
3．（ 3 分）计算下列代数式，结果为
23
A ．x +x
5
B ．x?x
5
x
的是（
C． x≥﹣ 1 ）
C． x6﹣ x
4．（ 3 分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（
D．x≤0
D． 2x5﹣ x5 ）
A．
B．
C．
D．
5．（ 3 分）一组数据 3， 2， 4， 2， 5 的中位数和众数分别是（
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一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（ 3 分）﹣ 2 的绝对值是（
）
A ．﹣ 2
B ．﹣
C． 2
D．
2．（ 3 分）要使
有意义，则实数 x 的取值范围是（
）
A ．3， 2
B ．3， 3
C． 4， 2
D． 4， 3
6．（ 3 分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，
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2019年江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．−12C．2D．122．（3分）要使√x−1有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥0C．x≥﹣1D．x≤03．（3分）计算下列代数式，结果为x5的是（）A．x2+x3B．x•x5C．x6﹣x D．2x5﹣x54．（3分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．5．（3分）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是（）A．3，2B．3，3C．4，2D．4，36．（3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处7．（3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．18√3m 2C ．24√3m 2D ．45√32m 2 8．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2√2AB ．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①△CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC =√62MP ；④BP =√22AB ；⑤点F 是△CMP 外接圆的圆心，其中正确的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）64的立方根为 ．10．（3分）计算（2﹣x ）2＝ ．11．（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科学记数法可表示为 ．12．（3分）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为 ．13．（3分）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为 ．14．（3分）已知关于x 的一元二次方程ax 2+2x +2﹣c ＝0有两个相等的实数根，则1a +c 的值等于 ．15．（3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C 的坐标可表示为 ．16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以点C 为圆心作⊙C 与直线BD 相切，点P 是⊙C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则AP AT 的最大值是 ．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算（﹣1）×2+√4+（13）﹣1． 18．（6分）解不等式组{2x ＞−4，1−2(x −3)＞x +1．19．（6分）化简mm −4÷（1+2m−2）．20．（8分）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了名中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为°；（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．21．（10分）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A盒中摸出红球的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．23．（10分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．24．（10分）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈35，cos37°＝sin53°≈45，tan37°≈34，tan76°≈4）25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y=kx（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y=kx（x＜0）的图象上，并说明理由．26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y=−12x2−32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．27．（14分）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC 之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN 翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG=52，请直接写出FH的长．2019年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．−12C．2D．12【解答】解：因为|﹣2|＝2，故选：C．2．（3分）要使√x−1有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥0C．x≥﹣1D．x≤0【解答】解：依题意得x﹣1≥0，∴x≥1．故选：A．3．（3分）计算下列代数式，结果为x5的是（）A．x2+x3B．x•x5C．x6﹣x D．2x5﹣x5【解答】解：A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；B、x•x5＝x6，故选项B不合题意；C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；D、2x5﹣x5＝x5，故选项D符合题意．故选：D．4．（3分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．5．（3分）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是（）A．3，2B．3，3C．4，2D．4，3【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，中位数为：3，众数为：2．故选：A．6．（3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2√5、4√2；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为√5，“车”②之间的距离为2√2，∵√52√5=√24√2=12，∴马应该落在②的位置，故选：B．7．（3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A ．18m 2B ．18√3m 2C ．24√3m 2D ．45√32m 2 【解答】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD ＝AE ＝x ，∠DCE ＝∠CEB ＝90°，则∠BCE ＝∠BCD ﹣∠DCE ＝30°，BC ＝12﹣x ，在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∴BE =12BC ＝6−12x ，∴AD ＝CE =√3BE ＝6√3−√32x ，AB ＝AE +BE ＝x +6−12x =12x +6， ∴梯形ABCD 面积S =12（CD +AB ）•CE =12（x +12x +6）•（6√3−√32x ）=−3√38x 2+3√3x +18√3=−3√388（x ﹣4）2+24√3，∴当x ＝4时，S 最大＝24√3．即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为24√3m 2；故选：C ．8．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2√2AB ．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①△CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC =√62MP ；④BP =√22AB ；⑤点F 是△CMP 外接圆的圆心，其中正确的个数为（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME=12×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2√2AB，∴设AB＝x，则AD＝2√2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴DM=12AD=√2x，∴CM=√DM2+CD2=√3x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP=22x=2x，∴PN＝CP﹣CN=√22x，∴PM =√MN 2+PN 2=√62x ，∴PC PM=√2x √62x =√3，∴PC =√3MP ，故③错误； ∵PC =32x ， ∴PB ＝2√2x 32x =√22x ， ∴AB PB=√22x ，∴PB =√22AB ，故④，∵CD ＝CE ，EG ＝AB ，AB ＝CD ， ∴CE ＝EG ，∵∠CEM ＝∠G ＝90°， ∴FE ∥PG ， ∴CF ＝PF ， ∵∠PMC ＝90°， ∴CF ＝PF ＝MF ，∴点F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确； 故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）64的立方根为 4 ． 【解答】解：64的立方根是4． 故答案为：4．10．（3分）计算（2﹣x）2＝4﹣4x+x2．【解答】解：（2﹣x）2＝22﹣2×2x+x2＝4﹣4x+x2．故答案为：4﹣4x+x211．（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科学记数法可表示为 4.64×1010．【解答】解：科学记数法表示：46400000000＝4.64×1010故答案为：4.64×101012．（3分）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为6π．【解答】解：该圆锥的侧面积=12×2π×2×3＝6π．故答案为6π．13．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．14．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则1a+c的值等于2．【解答】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，∵方程ax 2+2x +2﹣c ＝0是一元二次方程， ∴a ≠0，等式两边同时除以4a 得：c ﹣2=−1a ， 则1a +c ＝2，故答案为：2．15．（3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C 的坐标可表示为 （2，4，2） ．【解答】解：根据题意得，点C 的坐标可表示为（2，4，2）， 故答案为：（2，4，2）．16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以点C 为圆心作⊙C 与直线BD 相切，点P 是⊙C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则AP AT的最大值是 3 ．【解答】方法1、解：如图，过点A 作AG ⊥BD 于G ， ∵BD 是矩形的对角线， ∴∠BAD ＝90°， ∴BD =√AD 2+AB 2=5，∵12AB •AD =12BD •AG ，∴AG =125， ∵BD 是⊙C 的切线， ∴⊙C 的半径为125过点P 作PE ⊥BD 于E ， ∴∠AGT ＝∠PET ， ∵∠ATG ＝∠PTE ， ∴△AGT ∽△PET ， ∴AG PE =AT PT ， ∴PT AT =512×PE∵AP AT =AT+PT AT=1+PTAT ，要AP AT最大，则PE 最大，∵点P 是⊙C 上的动点，BD 是⊙C 的切线， ∴PE 最大为⊙C 的直径，即：PE 最大=245， ∴AP AT最大值为1+84=3，故答案为3． 方法2、解：如图，过点P 作PE ∥BD 交AB 的延长线于E ， ∴∠AEP ＝∠ABD ，△APE ∽△ATB ， ∴AP AT=AE AB，∵AB ＝4，∴AE ＝AB +BE ＝4+BE ， ∴AP AT=1+BE 4， ∴BE 最大时，AP AT最大，∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC ＝AD ＝3，CD ＝AB ＝4，过点C 作CH ⊥BD 于H ，交PE 于M ，并延长交AB 于G ， ∵BD 是⊙C 的切线， ∴∠GME ＝90°，在Rt △BCD 中，BD =√BC 2+CD 2=5， ∵∠BHC ＝∠BCD ＝90°，∠CBH ＝∠DBC ， ∴△BHC ∽△BCD ， ∴BH BC =CH DC =BC BD ，∴BH 3=CH 4=35，∴BH =95，CH =125， ∵∠BHG ＝∠BAD ＝90°，∠GBH ＝∠DBA ， ∴△BHG ∽△BAD ， ∴HG AD =BG BD =BH AB，∴HG 3=BG5=954，∴HG =2720，BG =94，在Rt △GME 中，GM ＝EG •sin ∠AEP ＝EG ×35=35EG ， 而BE ＝GE ﹣BG ＝GE −94， ∴GE 最大时，BE 最大， ∴GM 最大时，BE 最大， ∵GM ＝HG +HM =2720+HM ， 即：HM 最大时，BE 最大，延长MC 交⊙C 于P '，此时，HM 最大＝HP '＝2CH =245， ∴GP '＝HP '+HG =1234，过点P '作P 'F ∥BD 交AB 的延长线于F ， ∴BE 最大时，点E 落在点F 处， 即：BE 最大＝BF ，在Rt △GP 'F 中，FG =GP′sin∠F =GP′sin∠ABD =123435=414， ∴BF ＝FG ﹣BG ＝8， ∴AP AT最大值为1+84=3，故答案为：3．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算（﹣1）×2+√4+（13）﹣1．【解答】解：原式＝﹣2+2+3＝3．18．（6分）解不等式组{2x ＞−4，1−2(x −3)＞x +1．【解答】解：{2x ＞−4①1−2(x −3)＞x +1②，由①得，x ＞﹣2， 由②得，x ＜2，所以，不等式组的解集是﹣2＜x ＜2． 19．（6分）化简m m −4÷（1+2m−2）．【解答】解：原式=m(m+2)(m−2)÷m−2+2m−2 =m(m+2)(m−2)÷mm−2=m(m+2)(m−2)×m−2m=1m+2．20．（8分）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了200名中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有40人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为144°；（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了：50÷25%＝200（名）中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有：200×20%＝40（人），故答案为：200，40；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为：360°×（1−30200−20%﹣25%）＝144°，故答案为：144；（3）20000×（1−30200−20%）＝13000（人），答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．21．（10分）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A 盒中摸出红球的概率为13；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率． 【解答】解：（1）从A 盒中摸出红球的概率为13；故答案为：13；（2）画树状图如图所示：共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种， ∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为1012=56．22．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．将△ABC 沿着BC 方向平移得到△DEF ，其中点E 在边BC 上，DE 与AC 相交于点O ． （1）求证：△OEC 为等腰三角形；（2）连接AE 、DC 、AD ，当点E 在什么位置时，四边形AECD 为矩形，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB ，∵△ABC 平移得到△DEF ， ∴AB ∥DE ， ∴∠B ＝∠DEC ， ∴∠ACB ＝∠DEC ， ∴OE ＝OC ，即△OEC 为等腰三角形；（2）解：当E 为BC 的中点时，四边形AECD 是矩形，理由是：∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点， ∴AE ⊥BC ，BE ＝EC ， ∵△ABC 平移得到△DEF ， ∴BE ∥AD ，BE ＝AD ， ∴AD ∥EC ，AD ＝EC ， ∴四边形AECD 是平行四边形， ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECD 是矩形．23．（10分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y （万元）． （1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A 原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A 原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A 原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【解答】解：（1）y ＝0.3x +0.4（2500﹣x ）＝﹣0.1x +1000 因此y 与x 之间的函数表达式为：y ＝﹣0.1x +1000． （2）由题意得：{0.25x +0.5(2500−x)≤1000x ≤2500∴1000≤x ≤2500 又∵k ＝﹣0.1＜0 ∴y 随x 的增大而减少∴当x ＝1000时，y 最大，此时2500﹣x ＝1500，因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．24．（10分）如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈35，cos37°＝sin53°≈45，tan37°≈34，tan76°≈4）【解答】解：（1）在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣∠B ﹣∠BAC ＝180°﹣37°﹣53°＝90°． 在Rt △ABC 中，sin B =AC AB， ∴AC ＝AB •sin37°＝25×35=15（海里）． 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，由题意易知，D 、C 、M 在一条直线上．在Rt △AMC 中，CM ＝AC •sin ∠CAM ＝15×45=12， AM ＝AC •cos ∠CAM ＝15×35=9．在Rt △AMD 中，tan ∠DAM =DM AM ， ∴DM ＝AM •tan76°＝9×4＝36，∴AD =√AM 2+DM 2=√92+362=9√17，CD ＝DM ﹣CM ＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x 海里/小时，则有2416=9√17x ，解得x ＝6√17．经检验，x ＝6√17是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6√17海里/小时时，恰好在D 处成功拦截．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝﹣x +b 的图象与函数y =k x （x ＜0）的图象相交于点A （﹣1，6），并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，△ODC 与△OAC 的面积比为2：3．（1）k ＝ ﹣6 ，b ＝ 5 ；（2）求点D 的坐标；（3）若将△ODC 绕点O 逆时针旋转，得到△OD 'C '，其中点D '落在x 轴负半轴上，判断点C '是否落在函数y =k x （x ＜0）的图象上，并说明理由．【解答】解：（1）将A （﹣1，6）代入y ＝﹣x +b ，得，6＝1+b ，∴b ＝5，将A （﹣1，6）代入y =k x，得，6=k −1， ∴k ＝﹣6，故答案为：﹣6，5；（2）如图1，过点D 作DM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A 作AN ⊥x 轴，垂足为N ， ∵S △ODCS △OAC =12OC⋅DM 12OC⋅AN =23，∴DM AN =23， 又∵点A 的坐标为（﹣1，6），∴AN ＝6，∴DM ＝4，即点D 的纵坐标为4，把y ＝4代入y ＝﹣x +5中，得，x ＝1，∴D （1，4）；（3）由题意可知，OD '＝OD =√OM 2+DM 2=√17，如图2，过点C '作C 'G ⊥x 轴，垂足为G ，∵S △ODC ＝S △OD 'C '，∴OC •DM ＝OD '•C 'G ，即5×4=√17C 'G ，∴C 'G =20√1717， 在Rt △OC 'G 中，∵OG =√OC′2−C′G 2=√25−40017=5√1717， ∴C '的坐标为（−5√1717，20√1717）， ∵（−5√1717）×20√1717≠−6， ∴点C '不在函数y =−6x 的图象上．26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y=−12x2−32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．【解答】解：（1）将x＝2代入y=−12x2−32x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得{−3=22+2b+c −3=0+0+c ，解得{b=−2c=−3，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y=−12x2−32x+2，得﹣2x﹣3=−12（x+2）2−32（x+2）+2，解得，x ＝0或x ＝﹣1，因为x ＝0时，点P 与C 重合，不符合题意，所以舍去，此时点P 的坐标为（﹣1，0）；②当点Q 在点P 左侧时，则点Q 的坐标为（x ﹣2，x 2﹣2x ﹣3），将Q （x ﹣2，x 2﹣2x ﹣3）代入y =−12x 2−32x +2，得y =−12x 2−32x +2，得x 2﹣2x ﹣3=−12（x ﹣2）2−32（x ﹣2）+2，解得，x ＝3，或x =−43，此时点P 的坐标为（3，0）或（−43，139）；第二种情况：当AC 为平行四边形的一条对角线时，由AC 的中点坐标为（1，﹣3），得PQ 的中点坐标为（1，﹣3），故点Q 的坐标为（2﹣x ，﹣x 2+2x ﹣3），将Q （2﹣x ，﹣x 2+2x ﹣3）代入y =−12x 2−32x +2，得﹣x 2+2x ﹣3═−12（2﹣x ）2−32（2﹣x ）+2，解得，x ＝0或x ＝﹣3，因为x ＝0时，点P 与点C 重合，不符合题意，所以舍去，此时点P 的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P 的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（−43，139）或（﹣3，12）；（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ，当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，过点P 作PH ⊥TR 于点H ，则有∠PSC ＝∠RTC ＝90°，由CA 平分∠PCR ，得∠PCA ＝∠RCA ，则∠PCS ＝∠RCT ，∴△PSC ∽△RTC ，∴PS CS =RT CT ，设点P 坐标为（x 1，x 12−2x 1−3），点R 坐标为（x 2，x 22−2x 2−3），所以有x 1x 1−2x 1−3−(−3)=x 2−3−(x 2−2x 2−3)，整理得，x 1+x 2＝4，在Rt △PRH 中，tan ∠PRH =PH RH =x 12−2x 1−3−(x 22−2x 2−3)x 1−x 2=x 1+x 2−2=2 过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，设点Q 坐标为（m ，−12m 2−32m +2），若OQ ∥PR ，则需∠QOK ＝∠PRH ，所以tan ∠QOK ＝tan ∠PRH ＝2，所以2m =−12m 2−32m +2，解得，m =−7±√652， 所以点Q 坐标为（−7+√652，﹣7+√65）或（−7−√652，﹣7−√65）． 27．（14分）问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、AE 、CD 于点M 、P 、N ．判断线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD ，交MN 于点Q ，连接EQ ，并延长交边AD 于点F ．求∠AEF 的度数；（2）如图3，当垂足P 在正方形ABCD 的对角线BD 上时，连接AN ，将△APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P '处，若正方形ABCD 的边长为4，AD 的中点为S ，求P 'S 的最小值． 问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 、N 分别为边AB 、CD 上的点，将正方形ABCD 沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B 'C '恰好经过点A ，C 'N 交AD 于点F ．分别过点A 、F 作AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，垂足分别为G 、H ．若AG =52，请直接写出FH 的长．【解答】问题情境：解：线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系为：DN +MB ＝EC ；理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABE ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝CD ，AB ∥CD ，过点B 作BF ∥MN 分别交AE 、CD 于点G 、F ，如图1所示：∴四边形MBFN 为平行四边形，∴NF ＝MB ，∴BF ⊥AE ，∴∠BGE ＝90°，∴∠CBF +∠AEB ＝90°，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠CBF ＝∠BAE ，在△ABE 和△BCF 中，{∠BAE =∠CBFAB =BC ∠ABE =∠BCF =90°，∴△ABE ≌△BCF （ASA ），∴BE ＝CF ，∵DN +NF +CF ＝BE +EC ，∴DN +MB ＝EC ；问题探究：解：（1）连接AQ ，过点Q 作HI ∥AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，如图2所示： ∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形ABIH 为矩形，∴HI ⊥AD ，HI ⊥BC ，HI ＝AB ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠BDA ＝45°，∴△DHQ 是等腰直角三角形，HD ＝HQ ，AH ＝QI ，∵MN 是AE 的垂直平分线，∴AQ ＝QE ，在Rt △AHQ 和Rt △QIE 中，{AQ =QE AH =QI， ∴Rt △AHQ ≌Rt △QIE （HL ），∴∠AQH ＝∠QEI ，∴∠AQH +∠EQI ＝90°，∴∠AQE ＝90°，∴△AQE 是等腰直角三角形，∴∠EAQ ＝∠AEQ ＝45°，即∠AEF ＝45°；（2）连接AC 交BD 于点O ，如图3所示：则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P ′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P ′的落点为O ′，∵AO ＝OD ，∠AOD ＝90°，∴∠ODA ＝∠ADO ′＝45°，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，过点P ′作P ′H ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接PC ，∵点P 在BD 上，∴AP ＝PC ，在△APB 和△CPB 中，{AP =PCBP =BP AB =BC，∴△APB ≌△CPB （SSS ），∴∠BAP ＝∠BCP ，∵∠BCD ＝∠MP A ＝90°，∴∠PCN ＝∠AMP ，∵AB ∥CD ，∴∠AMP ＝∠PNC ，∴∠PCN ＝∠PNC ，∴PC ＝PN ，∴AP ＝PN ，∴∠PNA ＝45°，∴∠PNP ′＝90°，∴∠P ′NH +PNG ＝90°，∵∠P ′NH +∠NP ′H ＝90°，∠PNG +∠NPG ＝90°，∴∠NPG ＝∠P ′NH ，∠PNG ＝∠NP ′H ，由翻折性质得：PN ＝P ′N ，在△PGN 和△NHP '中，{∠NPG =∠P ′NHPN =P′N ∠PNG =∠NP′H，∴△PGN ≌△NHP '（ASA ），∴PG ＝NH ，GN ＝P 'H ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠PDG ＝45°，易得PG ＝GD ，∴GN ＝DH ，∴DH ＝P 'H ，∴∠P 'DH ＝45°，故∠P 'DA ＝45°，∴点P '在线段DO '上运动；过点S 作SK ⊥DO '，垂足为K ，∵点S 为AD 的中点，∴DS ＝2，则P 'S 的最小值为√2；问题拓展：解：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，如图4： 则EG ＝AG =52，PH ＝FH ，∴AE ＝5，在Rt △ABE 中，BE =√AE 2−AB 2=3，∴CE ＝BC ﹣BE ＝1，∵∠B ＝∠ECQ ＝90°，∠AEB ＝∠QEC ，∴△ABE ∽△QCE ，∴AE QE =BE CE =3，∴QE =13AE =53，∴AQ ＝AE +QE =203， ∵AG ⊥MN ，∴∠AGM ＝90°＝∠B ，∵∠MAG ＝∠EAB ，∴△AGM ∽△ABE ，∴AM AE =AG AB ，即AM 5=524， 解得：AM =258，由折叠的性质得：AB '＝EB ＝3，∠B '＝∠B ＝90°，∠C '＝∠BCD ＝90°， ∴B 'M =√AM 2−AB′2=78，AC '＝1，∵∠BAD ＝90°，∴∠B 'AM ＝∠C 'F A ，∴△AFC '∽△MAB '，∴AF AM =AC′B′M =178，解得：AF =257， ∴DF ＝4−257=37， ∵AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，∴AG ∥FH ，∴AQ ∥FP ，∴△DFP ∽△DAQ ，∴FP AQ =DF AD ，即FP 203=374，解得：FP=5 7，∴FH=12FP=514．。
2019年江苏省连云港市中考数学试卷
2019年江苏省连云港市中考数学试卷镇海中学 陈志海一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2019•连云港）2-的绝对值是( )A ．2-B ．12-C ．2D ．122．（3分）（2019•连云港）要使1x -有意义，则实数x 的取值范围是( )A ．1xB ．0xC ．1x -D ．0x3．（3分）（2019•连云港）计算下列代数式，结果为5x 的是( )A ．23x x +B ．5x xC ．6x x -D ．552x x -4．（3分）（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）（2019•连云港）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是( 错误!未指定书签。
A ．3，2B ．3，3C ．4，2D ．4，36．（3分）（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处7．（3分）（201•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中120C ∠=︒．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )A ．218mB ．2183mC ．2243mD ．2453m 8．（3分）2019•连云港）如，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③6PC MP =；④22BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）（2019•连云港）64的立方根为 ．10．（3分）（2019•连云港）计算2-=．(2)x11．（3分）（2019•连云港）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科学记数法可表示为．12．（3分）（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为．13．（3分）（2019•连云港）如图，点A、B、C在O上，6∠=︒，BACBC=，30则O的半径为．14．（3分）（2019•连云港）已知关于x的一元二次方程2220++-=有两个ax x c相等的实数根，则1c+的值等于．a15．（3分）（2019•连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C的坐标可表示为．16．（3分）（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，4AB=，3AD=，以点C为圆心作C与直线BD相切，点P是C上一个动点，连接AP交BD于点T，则APAT 的最大值是．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2019•连云港）计算11(1)24()3--⨯++． 18．（6分）（2019•连云港）解不等式组24,12(3)1x x x >-⎧⎨-->+⎩ 19．（6分）（2019•连云港）化简22(1)42m m m ÷+--． 20．（8分）（2019•连云港）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2~4小时（含2小时），4~6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了 名中学生，其中课外阅读时长“2~4小时”的有 人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4~6小时”对应的圆心角度数为 ︒；（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．21．（10分）（2019•连云港）现有A 、B 、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B 盒中装有红球、黄球各1个，C 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A 盒中摸出红球的概率为 ；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．22．（10分）（2019•连云港）如图，在ABC ∆中，AB AC =．将ABC ∆沿着BC 方向平移得到DEF ∆，其中点E 在边BC 上，DE 与AC 相交于点O ．（1）求证：OEC ∆为等腰三角形；（2）连接AE 、DC 、AD ，当点E 在什么位置时，四边形AECD 为矩形，并说明理由．23．（10分）（2019•连云港）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x （吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y （万元）．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A 原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A 原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A 原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．24．（10分）（2019•连云港）如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53︒的方向上，位于哨所B 南偏东37︒的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76︒的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：3sin37cos535︒=︒≈，4cos37sin535︒=︒≈，3tan374︒≈，tan 764)︒≈25．（10分）（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x b =-+的图象与函数(0)k y x x=<的图象相交于点(1,6)A -，并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，ODC ∆与OAC ∆的面积比为2:3． （1）k = ，b = ；（2）求点D 的坐标；（3）若将ODC ∆绕点O 逆时针旋转，得到△OD C ''，其中点D '落在x 轴负半轴上，判断点C '是否落在函数(0)ky x x=<的图象上，并说明理由．26．（12分）（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:L y x bx c =++过点(0,3)C -，与抛物线2213:222L y x x =--+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线1L 、2L 上的动点．（1）求抛物线1L 对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线1L 上另一个动点，且CA 平分PCR ∠．若//OQ PR ，求出点Q 的坐标．27．（14分）（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC 上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求AEF∠的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN∆沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P S'的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD 上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B C''恰好经过点A，C N'交AD于点F．分别过点A、F作AG MN⊥，垂足分别为G、H．若⊥，FH MN5AG=，请直接写出FH的长．22019年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）2-的绝对值是( )A ．2-B ．12- C ．2 D ．12【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．【解答】解：因为|2|2-=，故选：C ．2．（3x 的取值范围是( )A ．1xB ．0xC ．1x -D ．0x【分析】根据二次根式的性质可以得到1x -是非负数，由此即可求解．【解答】解：依题意得10x -，1x ∴．故选：A ．3．（3分）计算下列代数式，结果为5x 的是( )A ．23x x +B ．5x xC ．6x x -D ．552x x -【分析】根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：A 、2x 与3x 不是同类项，故不能合并同类项，故选项A 不合题意； B 、56x x x =，故选项B 不合题意；C 、6x 与x 不是同类项，故不能合并同类项，故选项C 不合题意；D 、5552x x x -=，故选项D 符合题意．故选：D ．4．（3分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是( )A．B．C．D．【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．5．（3分）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是() A．3，2 B．3，3 C．4，2 D．4，3【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，中位数为：3，众数为：2．故选：A．6．（3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )A．①处B．②处C．③处D．④处【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、542“车”、“炮”之间的距离为1， “炮”②之间的距离为5，“车”②之间的距离为22，522122542==， ∴马应该落在②的位置，故选：B ．7．（3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中120C ∠=︒．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )A ．218mB ．2183mC ．2243mD 2453 【分析】过点C 作CE AB ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD AE x ==，90DCE CEB ∠=∠=︒，则30BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒，12BC x =-，由直角三角形的，性质得出11622BE BC x ==-，得出3363AD CE BE ===，116622AB AE BE x x x =+=+-=+，由梯形面积公式得出梯形ABCD 的面积S 与x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．【解答】解：如图，过点C 作CE AB ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD AE x ==，90DCE CEB ∠=∠=︒，则30BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒，12BC x =-， 在Rt CBE ∆中，90CEB ∠=︒，11622BE BC x ∴==-， 3363AD CE BE ∴==，116622AB AE BE x x x =+=+-=+， ∴梯形ABCD 面积2211133333()(6)(63)331834)3222S CD AB CE x x x x x =+=++-=++-+，∴当4x =时，243S =最大．即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为2243m ；故选：C ．8．（3分）如图，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③6PC MP =；④2BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据折叠的性质得到DMC EMC ∠=∠，AMP EMP ∠=∠，于是得到1180902PME CME ∠+∠=⨯︒=︒，求得CMP ∆是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得到点C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误；设AB x =，则22AD x =，得到122DM AD x ==，根据勾股定理得到223CM DM CD x +=，根据射影定理得到222CP x x ，得到3PC MP =，故③错误；求得2PB =，故④，根据平行线等分线段定理得到CF PF =，求得点F 是CMP ∆外接圆的圆心，故⑤正确．【解答】解：沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，DMC EMC ∴∠=∠，再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，AMP EMP ∴∠=∠，180AMD ∠=︒，1180902PME CME ∴∠+∠=⨯︒=︒， CMP ∴∆是直角三角形；故①正确；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，90D MEC ∴∠=∠=︒，再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，90MEG A ∴∠=∠=︒，180GEC ∴∠=︒，∴点C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误； 2AD =，∴设AB x=，则AD =，将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；12DM AD ∴=，CM ∴==， 90PMC ∠=︒，MN PC ⊥，2CM CN CP ∴=，2CP ∴==，PN CP CN ∴=-=，PM ∴==，∴PC PM ==PC ∴=，故③错误； 2PC =，2222PB x x x ∴=-=， ∴2AB PB x =，2PB AB ∴=，故④， CD CE =，EG AB =，AB CD =，CE EG ∴=，90CEM G ∠=∠=︒，//FE PG ∴，CF PF ∴=，90PMC ∠=︒，CF PF MF ∴==，∴点F 是CMP ∆外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）64的立方根为 4 ．【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：64的立方根是4．故答案为：4．10．（3分）计算2(2)x -= 244x x -+ ．【分析】根据完全平方公式展开3项即可．【解答】解：2222(2)22244x x x x x -=-⨯+=-+．故答案为：244x x -+11．（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科学记数法可表示为 104.6410⨯ ．【分析】利用科学记数法的表示即可．【解答】解：科学记数法表示：1046400000000 4.6410=⨯故答案为：104.6410⨯12．（3分）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为 6π ．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：该圆锥的侧面积122362ππ=⨯⨯⨯=．故答案为6π．13．（3分）如图，点A 、B 、C 在O 上，6BC =，30BAC ∠=︒，则O 的半径为 6 ．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60︒的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：260BOC BAC ∠=∠=︒，又OB OC =，BOC ∴∆是等边三角形6OB BC ∴==，故答案为6．14．（3分）已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于 2 ． 【分析】根据“关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．【解答】解：根据题意得：△44(2)0=--=，a c整理得：484-=-，ac aa c-=-，4(2)4方程2220++-=是一元二次方程，ax x c∴≠，a等式两边同时除以4a得：1-=-，c2a则12+=，ca故答案为：2．15．（3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C的坐标可表示为(2，4，2)．【分析】根据点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．【解答】解：根据题意得，点C的坐标可表示为(2，4，2)，故答案为：(2，4，2)．16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则AP AT的最大值是 3 ．【分析】先判断出AP AT最大时，BE 最大，再用相似三角形的性质求出BG ，HG ，CH ，进而判断出HM 最大时，BE 最大，而点M 在C 上时，HM 最大，即可HP '，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作//PE BD 交AB 的延长线于E ，AEP ABD ∴∠=∠，APE ATB ∆∆∽，∴AP AE AT AB=， 4AB =，4AE AB BE BE ∴=+=+，∴14AP BE AT =+， BE ∴最大时，AP AT 最大， 四边形ABCD 是矩形，3BC AD ∴==，4CD AB ==，过点C 作CH BD ⊥于H ，交PE 于M ，并延长交AB 于G ，BD 是C 的切线，90GME ∴∠=︒， 在Rt BCD ∆中，225BD BC CD =+，90BHC BCD ∠=∠=︒，CBH DBC ∠=∠， BHC BCD ∴∆∆∽，∴BH CH BC BC DC BD==，∴3345BH CH ==， 95BH ∴=，125CH =， 90BHG BAD ∠=∠=︒，GBH DBA ∠=∠，BHG BAD ∴∆∆∽， ∴HG BG BH AD BD AB==， ∴95354HG BG ==， 2720HG ∴=，94BG =， 在Rt GME ∆中，33sin 55GM EG AEP EG EG =∠=⨯=， 而94BE GE BG GE =-=-，GE ∴最大时，BE 最大，GM ∴最大时，BE 最大， 2720GM HG HM HM =+=+， 即：HM 最大时，BE 最大，延长MC 交C 于P '，此时，HM 最大2425HP CH '===， 1234GP HP HG ''∴=+=， 过点P '作//P F BD '交AB 的延长线于F ，BE ∴最大时，点E 落在点F 处，即：BE 最大BF =，在Rt △GP F '中，1234143sin sin 45GP GP FG F ABD ''====∠∠， 8BF FG BG ∴=-=， ∴AP AT 最大值为8134+=， 故答案为：3．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算11(1)24()3--⨯．【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解．【解答】解：原式2233=-++=．18．（6分）解不等式组24,12(3)1x x x >-⎧⎨-->+⎩ 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：()241231x x x >-⎧⎪⎨-->+⎪⎩①②， 由①得，2x >-，由②得，2x <，所以，不等式组的解集是22x -<<．19．（6分）化简22(1)42m m m ÷+--． 【分析】先做括号里面，再把除法转化成乘法，计算得结果． 【解答】解：原式22(2)(2)2m m m m m -+=÷+-- (2)(2)2m m m m m =÷+-- 2(2)(2)m m m m m -=⨯+- 12m =+． 20．（8分）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2~4小时（含2小时），4~6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了200 名中学生，其中课外阅读时长“2~4小时”的有人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4~6小时”对应的圆心角度数为︒；（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长“2~4小时”的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，课外阅读时长“4~6小时”对应的圆心角度数；（3）根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了：5025%200÷=（名)中学生，其中课外阅读时长“2~4小时”的有：20020%40⨯=（人)，故答案为：200，40；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4~6小时”对应的圆心角度数为：30︒⨯---=︒，360(120%25%)144200故答案为：144；（3）30⨯--=（人)，20000(120%)13000200答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．21．（10分）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B 盒中装有红球、黄球各1个，C 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A 盒中摸出红球的概率为 13 ； （2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．【分析】（1）从A 盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）从A 盒中摸出红球的概率为13；故答案为：13；（2）画树状图如图所示：共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种， ∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为105126=．22．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =．将ABC ∆沿着BC 方向平移得到DEF ∆，其中点E 在边BC 上，DE 与AC 相交于点O ．（1）求证：OEC ∆为等腰三角形；（2）连接AE 、DC 、AD ，当点E 在什么位置时，四边形AECD 为矩形，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出B ACB ∠=∠，根据平移得出//AB DE ，求出B DEC ∠=∠，再求出ACB DEC ∠=∠即可；（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．【解答】（1）证明：AB AC=，B ACB∴∠=∠，∆，ABC∆平移得到DEF∴，AB DE//∴∠=∠，B DECACB DEC∴∠=∠，∴=，OE OC即OEC∆为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：AB AC=，E为BC的中点，∴⊥，BE ECAE BC=，∆，∆平移得到DEFABC=，∴，BE AD//BE AD=，∴，AD EC//AD EC∴四边形AECD是平行四边形，⊥，AE BC∴四边形AECD是矩形．23．（10分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【分析】（1）利润y （元)=生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润=生产1吨甲产品的利润0.3万元⨯甲产品的吨数x ，即0.3x 万元，生产乙产品的利润=生产1吨乙产品的利润0.4万元⨯乙产品的吨数(2500)x -，即0.4(2500)x -万元．（2）由（1）得y 是x 的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x 的取值范围再确定当x 取何值时，利润y 最大．【解答】解：（1）0.30.4(2500)0.11000y x x x =+-=-+因此y 与x 之间的函数表达式为：0.11000y x =-+． （2）由题意得：0.250.5(2500)10002500x x x +-⎧⎨⎩10002500x ∴又0.10k =-<y ∴随x 的增大而减少∴当1000x =时，y 最大，此时25001500x -=，因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．24．（10分）如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53︒的方向上，位于哨所B 南偏东37︒的方向上． （1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76︒的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：3sin37cos535︒=︒≈，4cos37sin535︒=︒≈，3tan374︒≈，tan 764)︒≈【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出90ACB ∠=︒，再解Rt ABC ∆，利用正弦函数定义得出AC 即可；（2）过点C 作CM AB ⊥于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt AMC ∆，求出CM 、AM ．解Rt AMD ∆中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）在ABC ∆中，180180375390ACB B BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 在Rt ABC ∆中，sin ACB AB=， 3sin3725155AC AB ∴=︒=⨯=（海里）． 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）过点C 作CM AB ⊥于点M ，由题意易知，D 、C 、M 在一条直线上． 在Rt AMC ∆中，4sin 15125CM AC CAM =∠=⨯=，3cos 1595AM AC CAM =∠=⨯=．在Rt AMD ∆中，tan DMDAM AM∠=， tan769436DM AM ∴=︒=⨯=，2222936917AD AM DM ∴=++， 361224CD DM CM =-=-=．设缉私艇的速度为x 海里/小时，则有2491716， 解得617x =经检验，617x =答：当缉私艇的速度为617/小时时，恰好在D 处成功拦截．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x b =-+的图象与函数(0)ky x x =<的图象相交于点(1,6)A -，并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，ODC ∆与OAC ∆的面积比为2:3．（1）k = 6- ，b = ； （2）求点D 的坐标；（3）若将ODC ∆绕点O 逆时针旋转，得到△OD C ''，其中点D '落在x 轴负半轴上，判断点C '是否落在函数(0)k y x x=<的图象上，并说明理由．【分析】（1）将(1,6)A -代入y x b =-+可求出b 的值；将(1,6)A -代入k y x=可求出k 的值；（2）过点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，过点A 作AN x ⊥轴，垂足为N ，由ODC ∆与OAC ∆的面积比为2:3，可推出23DM AN =，由点A 的坐标可知6AN =，进一步求出4DM =，即为点D 的纵坐标，把4y =代入5y x =-+中，可求出点D 坐标； （3）过点C '作C G x '⊥轴，垂足为G ，由题意可知，2217OD OD OM DM '==+，由旋转可知ODC OD C S S '∆'=，可求出2017C G 'Rt △OC G '中，通过勾股定理求出OG 的长度，即可写出点C '的坐标，将其坐标代入6y x=-可知没有落在函数(0)ky x x=<的图象上． 【解答】解：（1）将(1,6)A -代入y x b =-+， 得，61b =+，5b ∴=，将(1,6)A -代入k y x=， 得，61k=-， 6k ∴=-，故答案为：6-，5；（2）如图1，过点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，过点A 作AN x ⊥轴，垂足为N ，122132ODC OACOC DMS S OC AN ∆∆==，∴23DM AN =， 又点A 的坐标为(1,6)-，6AN ∴=，4DM ∴=，即点D 的纵坐标为4，把4y =代入5y x =-+中， 得，1x =，(1,4)D ∴；（3）由题意可知，OD OD '=， 如图2，过点C '作C G x '⊥轴，垂足为G ，ODC OD C S S'∆'=，OC DM OD C G ''∴=，即54G '⨯=，2017C G '∴=， 在Rt △OC G '中，224005172517OG OC C G ''=-=-=， C '∴的坐标为517(-，2017)， 5172017()6-⨯≠-， ∴点C '不在函数6y x =-的图象上．26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:L y x bx c =++过点(0,3)C -，与抛物线2213:222L y x x =--+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线1L 、2L 上的动点． （1）求抛物线1L 对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标； （3）设点R 为抛物线1L 上另一个动点，且CA 平分PCR ∠．若//OQ PR ，求出点Q 的坐标．【分析】（1）先求出A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可； （2）设点P 的坐标为2(,23)x x x --，分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边，AC 为平行四边形的一条对角线，用x 表示出Q 点坐标，再把Q 点坐标代入抛物线2213:222L y x x =--+中，列出方程求得解便可；（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线1L 不存在点R 使得CA 平分PCR ∠，当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，过点P 作PH TR ⊥于点H ，设点P 坐标为1(x ，21123)x x --，点R 坐标为2(x ，22223)x x --，证明PSC RTC ∆∆∽，由相似比得到124x x +=，进而得tan PRH ∠的值，过点Q 作QK x ⊥轴于点K ，设点Q 坐标为213(,2)22m m m --+，由tan tan QOK PRH ∠=∠，移出m 的方程，求得m 便可．【解答】解：（1）将2x =代入213222y x x =--+，得3y =-，故点A 的坐标为(2,3)-， 将(2,1)A -，(0,3)C -代入2y x bx c =++，得2322300b c c⎧-=++⎨-=++⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线21:23L y x x =--；（2）设点P 的坐标为2(,23)x x x --， 第一种情况：AC 为平行四边形的一条边，①当点Q 在点P 右侧时，则点Q 的坐标为(2,23)x x +--， 将(2,23)Q x x +--代入213222y x x =--+，得21323(2)(2)222x x x --=-+-++，解得，0x =或1x =-，因为0x =时，点P 与C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P 的坐标为(1,0)-；②当点Q 在点P 左侧时，则点Q 的坐标为2(2,23)x x x ---， 将2(2,23)Q x x x ---代入213222y x x =--+，得213222y x x =--+，得221323(2)(2)222x x x x --=----+，解得，3x =，或43x =-， 此时点P 的坐标为(3,0)或4(3-，13)9； 第二种情况：当AC 为平行四边形的一条对角线时， 由AC 的中点坐标为(1,3)-，得PQ 的中点坐标为(1,3)-， 故点Q 的坐标为2(2,23)x x x --+-，将2(2,23)Q x x x --+-代入213222y x x =--+，得221323(2)(2)222x x x x -+-==----+，解得，0x =或3x =-，因为0x =时，点P 与点C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P 的坐标为(3,12)-，综上所述，点P 的坐标为(1,0)-或(3,0)或4(3-，13)9或(3,12)-；（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线1L 不存在点R 使得CA 平分PCR ∠， 当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ， 过点P 作PH TR ⊥于点H ，则有90PSC RTC ∠=∠=︒， 由CA 平分PCR ∠，得PCA RCA ∠=∠，则PCS RCT ∠=∠，PSC RTC ∴∆∆∽，∴PS RTCS CT=， 设点P 坐标为1(x ，21123)x x --，点R 坐标为2(x ，22223)x x --， 所以有1222112223(3)3(23)x x x x x x =--------， 整理得，124x x +=，在Rt PRH ∆中，221122121223(23)tan 22x x x x PH PRH x x RH x x -----∠===+-=- 过点Q 作QK x ⊥轴于点K ，设点Q 坐标为213(,2)22m m m --+， 若//OQ PR ，则需QOK PRH ∠=∠， 所以tan tan 2QOK PRH ∠=∠=， 所以2132222m m m =--+， 解得，765m -±=， 所以点Q 坐标为765(-+765)-或765(--765)--． 27．（14分）问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、AE 、CD 于点M 、P 、N ．判断线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由． 问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD ，交MN 于点Q ，连接EQ ，并延长交边AD 于点F ．求AEF ∠的度数；（2）如图3，当垂足P 在正方形ABCD 的对角线BD 上时，连接AN ，将APN ∆沿着AN 翻折，点P 落在点P '处，若正方形ABCD 的边长为4，AD 的中点为S ，求P S '的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 、N 分别为边AB 、CD 上的点，将正方形ABCD 沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B C ''恰好经过点A ，C N '交AD 于点F ．分别过点A 、F 作AG MN ⊥，FH MN ⊥，垂足分别为G 、H ．若52AG =，请直接写出FH 的长．【分析】问题情境：过点B 作//BF MN 分别交AE 、CD 于点G 、F ，证出四边形MBFN 为平行四边形，得出NF MB =，证明ABE BCF ∆≅∆得出BE CF =，即可得出结论；问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作//HI AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，证出DHQ ∆是等腰直角三角形，HD HQ =，AH QI =，证明Rt AHQ Rt QIE ∆≅∆得出AQH QEI ∠=∠，得出AQE ∆是等腰直角三角形，得出45EAQ AEQ ∠=∠=︒，即可得出结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，则APN ∆的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P '与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P '的落点为O '，由等腰直角三角形的性质得出45ODA ADO ∠=∠'=︒，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG CD ⊥于点G ，过点P '作P H CD '⊥交CD 延长线于点H ，连接PC ，证明APB CPB ∆≅∆得出BAP BCP ∠=∠，证明Rt PGN Rt NHP '∆≅∆得出PG NH =，GN P H '=，。
2019年江苏省连云港市中考数学试卷
2019 年江苏省连云港市中考数学试卷副标题题号 得分一二三四总分一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）1. -2 的绝对值是（） B. -1C. 2D. 12A. -22【答案】C【解析】解：因为|-2|=2， 故选：C ．根据负数的绝对值等于它的相反数求解．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的 绝对值是 0．2. 要使√푥 − 1有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）A. x ≥1B. x ≥0C. x ≥-1D. x ≤0【答案】A【解析】解：依题意得 x -1≥0，∴x ≥1． 故选：A ．根据二次根式的性质可以得到 x -1 是非负数，由此即可求解．此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题． 3. 计算下列代数式，结果为 x 5 的是（）A. x 2+x 3B. x •x 5C. x 6-xD. 2x 5-x 5【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了合并同类项的法则：系数下降减，字母以及其指数不变． 根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可． 【解答】解：A .x 2 与 x 3 不是同类项，故不能合并同类项，故选项 A 不合题意； B .x •x 5=x 6，故选项 B 不合题意；C .x 6 与 x 不是同类项，故不能合并同类项，故选项 C 不合题意；D .2x 5-x 5=x 5，故选项 D 符合题意． 故选：D ．4. 一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．5. 一组数据 3，2，4，2，5 的中位数和众数分别是（）A. 3，2B. 3，3C. 4，2D. 4，3【答案】A【解析】【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数和中位数的概念求解即可．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，中位数为：3，众数为：2．故选：A．6. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 2、2√5、4√2；“车”、“炮”之间的距离为 1，“炮”②之间的距离为√5，“车”②之间的距离为 2√2，√52√2= 1∵= ，2√54√22∴马应该落在②的位置，故选：B．7. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°．若新建墙BC与CD 总长为 12m，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（）45√3A. 18m2B. 18 3m2C. 24 3m2D. m2√√2【答案】C【解析】解：如图，过点C 作CE⊥AB 于E，则四边形ADCE 为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在Rt△CBE 中，∵∠CEB=90°，11∴BE= BC=6- x，22√311∴AD=CE=√3BE=6√3- x，AB=AE+BE=x+6- x= x+6，22211133333√√√∴梯形ABCD 面积S= （CD+AB）•CE= （x+ x+6）•（6√3- x）=- x2+3√3x+18√3=-222288（x-4）2+24√3，∴当x=4 时，S 最大=24√3．即CD 长为 4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为 24√3m2；故选：C．过点C 作CE⊥AB 于E，则四边形ADCE 为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则11∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出BE= BC=6- x，得出22√311AD=CE=√3BE=6√3- x，AB=AE+BE=x+6- x= x+6，由梯形面积公式得出梯形ABCD 的222面积S 与x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含 30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次 函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．8. 如图，在矩形 ABCD 中，AD =2√2AB ．将矩形 ABCD 对折，得到折痕 MN ；沿着 CM折叠，点 D 的对应点为 E ，ME 与 BC 的交点为 F ；再沿着 MP 折叠，使得 AM 与 EM 重合，折痕为 MP ，此时点 B 的对应点为 G ．下列结论：①△CMP 是直角三角√6 √2形；②点 C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC = MP ；④BP = AB ；⑤点 F 是△CMP22外接圆的圆心，其中正确的个数为（ ）A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正 确的识别图形是解题的关键．根据折叠的性质得到∠DMC =∠EMC ，∠AMP =∠EMP ，于是得到1∠PME +∠CME = ×180°=90°，求得△CMP 是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得2 1到点 C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误；设 AB =x ，则 AD =2√2x ，得到 DM = AD =√2x ， 2 根据勾股定理得到 CM =√퐷푀2 + 퐶퐷2=√3x ，根据射影定理得到 CP =3푥2= x ，得到3 √2푥 √2√2 PC =√3MP ，故③错误；求得 PB = AB ，故④，根据平行线等分线段定理得到 CF =PF ， 2求得点 F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确． 【解答】 解：∵沿着 CM 折叠，点 D 的对应点为 E ， ∴∠DMC =∠EMC ，∵再沿着 MP 折叠，使得 AM 与 EM 重合，折痕为 MP ， ∴∠AMP =∠EMP ， ∵∠AMD =180°，1∴∠PME +∠CME = ×180°=90°， 2∴△CMP 是直角三角形；故①正确； ∵沿着 CM 折叠，点 D 的对应点为 E ， ∴∠D =∠MEC =90°，∵再沿着 MP 折叠，使得 AM 与 EM 重合，折痕为 MP ， ∴∠MEG =∠A =90°， ∴∠GEC =180°，∴点 C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误； ∵AD =2√2AB ，∴设 AB =x ，则 AD =2√2x ，∵将矩形 ABCD 对折，得到折痕 MN ； 1∴DM = AD =√2x ， 2∴CM =√퐷푀2 + 퐶퐷2=√3x ， ∵∠PMC =90°，MN ⊥PC ， ∴CM 2=CN •CP ， ∴CP =3푥2= x ，3 √2푥 √2√2 ∴PN =CP -CN = x ， 2√6∴PM =√푀푁2 + 푃푁2= x ，23푥푃퐶 ∴ = √2 =√3， 푃푀 √6 2 푥∴PC =√3MP ，故③错误； 3∵PC = x ， √232√∴PB =2√2x - x = x ， √22푥퐴퐵 ∴ = ，√ 푃퐵 2푥 2√2∴PB = AB ，故④，2∵CD =CE ，EG =AB ，AB =CD ， ∴CE =EG ，∵∠CEM =∠G =90°， ∴FE ∥PG ， ∴CF =PF ， ∵∠PMC =90°， ∴CF =PF =MF ，∴点 F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确； 故选：B ．二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 9. 64 的立方根为______． 【答案】4【解析】解：64 的立方根是 4．故答案为：4．利用立方根定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．10. 计算（2-x）2=______．【答案】4-4x+x2【解析】解：（2-x）2=22-2×2x+x2=4-4x+x2．故答案为：4-4x+x2根据完全平方公式展开 3 项即可．本题主要考查了完全平方公式，需要注意完全平方公式与平方差公式的区别．11. 连镇铁路正线工程的投资总额约为 46400000000 元，数据“46400000000”用科学记数法可表示为______．【答案】4.64×1010【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a 与 10 的n 次幂相乘的形式（1≤a＜10，n 为整数），这种记数法叫做科学记数法．利用科学记数法的表示即可．【解答】解：科学记数法表示：46400000000=4.64×1010故答案为：4.64×101012. 一圆锥的底面半径为 2，母线长 3，则这个圆锥的侧面积为______．【答案】6π【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】1解：该圆锥的侧面积= ×2π×2×3=6π．2故答案为6π．13. 如图，点A、B、C 在⊙O 上，BC=6，∠BAC=30°，则⊙O 的半径为______．【答案】6【解析】【分析】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是 60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：∵∠BOC=2∠BAC=60°，又OB=OC，∴△BOC 是等边三角形∴OB=BC=6，故答案为 6．114. 已知关于x 的一元二次方程ax2+2x+2-c=0 有两个相等的实数根，则+c 的值等于푎______．【答案】2【解析】解：根据题意得：△=4-4a（2-c）=0，整理得：4ac-8a=-4，4a（c-2）=-4，∵方程ax2+2x+2-c=0 是一元二次方程，∴a≠0，1等式两边同时除以 4a 得：c-2=- ，푎1则+c=2，푎故答案为：2．根据“关于x 的一元二次方程ax2+2x+2-c=0 有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a 和c 的等式，整理后即可得到的答案．本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．15. 如图，将一等边三角形的三条边各 8 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号 0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C 的坐标可表示为______．【答案】（2，4，2）【解析】【分析】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．根据点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．【解答】解：根据题意得，点C 的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）．16. 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，以点C 为圆心作⊙C与直线BD 相切，点P 是⊙C 上一个动点，连接AP 交BD于点T，则퐴퐴푃푇的最大值是______．【答案】3【解析】【分析】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．先判断出퐴퐴푃푇最大时，BE 最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM 最大时，BE 最大，而点M 在⊙C 上时，HM 最大，即可HP'，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE∥BD 交AB 的延长线于E，∴∠AEP=∠ABD，△APE∽△ATB，퐴푃퐴푇퐴퐸퐴퐵∴=，∵AB=4，∴AE=AB+BE=4+BE，퐴푃퐴푇퐵퐸4∴=1+，∴BE 最大时，퐴퐴푃푇最大，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC=AD=3，CD=AB=4，过点C 作CH⊥BD 于H，交PE 于M，并延长交AB 于G，∵BD 是⊙C 的切线，∴∠GME=90°，在Rt△BCD 中，BD=√퐵퐶2+퐶퐷2=5，∵∠BHC=∠BCD=90°，∠CBH=∠DBC，∴△BHC∽△BCD，퐵퐻퐵퐶퐶퐻퐷퐶퐵퐶퐵퐷∴===，퐵퐻3퐶퐻43∴=，5912∴BH= ，CH= ，55∵∠BHG=∠BAD=90°，∠GBH=∠DBA，∴△BHG∽△BAD，퐻퐺 퐵퐺 = 퐵퐻퐴퐵 ∴ = ， 퐴퐷 퐵퐷 954 ∴퐻퐺3퐵퐺 ，== 5279∴HG = ，BG = ， 20 43 3在 Rt △GME 中，GM =EG •sin ∠AEP =EG × = EG ， 5 5 9而 BE =GE -BG =GE - ， 4 ∴GE 最大时，BE 最大， ∴GM 最大时，BE 最大， 27∵GM =HG +HM = +HM ， 20 即：HM 最大时，BE 最大，24延长 MC 交⊙C 于 P '，此时，HM 最大=HP '=2CH = ， 5 123∴GP '=HP '+HG = ，20 过点 P '作 P 'F ∥BD 交 AB 的延长线于 F ， ∴BE 最大时，点 E 落在点 F 处， 即：BE 最大=BF ， 12320= ，3 41在 Rt △GP 'F 中，FG = ∴BF =FG -BG =8， == 4 5퐴푃퐴푇 8 ∴ 最大值为 1+ =3， 4 故答案为：3．三、计算题（本大题共 2 小题，共 16.0 分） 푚푚2−4 217. 化简 ÷（1+ ）． 푚−2 푚푚−2+2 푚−2【答案】解：原式=(푚+2)(푚−2)÷푚 푚 = = = (푚+2)(푚−2)÷ 푚−2푚푚−2 푚× (푚+2)(푚−2) 1． 푚+2【解析】本题考查了分式的混合运算．解决本题的关键是掌握分式的运算顺序和分式加 减乘除的运算法则．先做括号里面，再把除法转化成乘法，计算得结果．18. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500吨，每生产 1吨甲产品可获得利润 0.3万元，每生产 1 吨乙产品可获得利润 0.4 万元．设该工厂生产了甲产品 x （吨），生产甲、 乙两种产品获得的总利润为 y （万元）． （1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）若每生产 1 吨甲产品需要A 原料 0.25 吨，每生产 1 吨乙产品需要A 原料 0.5 吨．受市场影响，该厂能获得的A 原料至多为 1000 吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【答案】解：（1）y=0.3x+0.4（2500-x）=-0.1x+1000因此y 与x 之间的函数表达式为：y=-0.1x+1000．0.25푥+0.5(2500−푥)≤1000（2）由题意得：{푥≤2500∴1000≤x≤2500又∵k=-0.1＜0∴y 随x 的增大而减少∴当x=1000 时，y 最大，此时 2500-x=1500，因此，生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨时，利润最大．【解析】（1）利润y（元）=生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润=生产 1 吨甲产品的利润 0.3 万元×甲产品的吨数x，即 0.3x 万元，生产乙产品的利润=生产 1 吨乙产品的利润 0.4 万元×乙产品的吨数（2500-x），即 0.4（2500-x）万元．（2）由（1）得y 是x 的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x 的取值范围再确定当x 取何值时，利润y 最大．这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y 与甲产品生产的吨数x 的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．四、解答题（本大题共9 小题，共86.0 分）119. 计算（-1）×2+√42+（）-1．3【答案】解：原式=-2+2+3=3．【解析】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指数幂．分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解．2푥>−4,20. 解不等式组{1−2(푥−3)>푥+1.【答案】解：，由①得，x＞-2，由②得，x＜2，所以，不等式组的解集是-2＜x＜2．【解析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解．21. 为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2 小时以内，2～4 小时（含 2 小时），4～6 小时（含 4 小时），6 小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了______名中学生，其中课外阅读时长“2～4 小时”的有______人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6 小时”对应的圆心角度数为______°；（3）若该地区共有 20000 名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4 小时的人数．【答案】(1)200,40;(2)144 ;30(3)20000×（1- -20%）=13000（人），200答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于 4 小时的有 13000 人．【解析】解：（1）本次调查共随机抽取了：50÷25%=200（名）中学生，其中课外阅读时长“2～4 小时”的有：200×20%=40（人），故答案为：200，40；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6 小时”对应的圆心角度数为：360°×30（1- -20%-25%）=144°，200故答案为：144；30（3）20000×（1- -20%）=13000（人），200答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于 4 小时的有 13000 人．（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长“2～4 小时”的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，课外阅读时长“4～6 小时”对应的圆心角度数；（3）根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于 4 小时的人数．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22. 现有A、B、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各 1 个，B 盒中装有红球、黄球各 1 个，C 盒中装有红球、蓝球各 1 个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C 三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A 盒中摸出红球的概率为______；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．1【答案】(1) ;3(2)画树状图如图所示：共有 12 种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有 10 种，105∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为= ．1261【解析】解：（1）从A 盒中摸出红球的概率为；31故答案为：；3（2）画树状图如图所示：共有 12 种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有 10 种，105∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为= ．126（1）从A 盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有 10 种，由概率公式即可得出结果．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．23. 如图，在△ABC 中，AB=AC．将△ABC 沿着BC 方向平移得到△DEF，其中点E 在边BC 上，DE 与AC 相交于点O．（1）求证：△OEC 为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E 在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵△ABC 平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B=∠DEC，∴∠ACB=∠DEC，∴OE=OC，即△OEC 为等腰三角形；（2）解：当E 为BC 的中点时，四边形AECD 是矩形，理由是：∵AB=AC，E 为BC 的中点，∴AE⊥BC，BE=EC，∵△ABC 平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE=AD，∴AD∥EC，AD=EC，∴四边形AECD 是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECD 是矩形．【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B=∠DEC，再求出∠ACB=∠DEC 即可；（2）求出四边形AECD 是平行四边形，再求出四边形AECD 是矩形即可．24. 如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为 25 海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东 53°的方向上，位于哨所B 南偏东 37°的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以 16 海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）343（参考数据：sin37°=cos53°≈，cos37°=sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）554【答案】解：（1）在△ABC 中，∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-37°-53°=90°．在Rt△ABC 中，sin B=퐴퐶，퐴퐵3∴AC=AB•sin37°=25×=15（海里）．5答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为 15 海里；（2）过点C 作CM⊥AB 于点M，由题意易知，D、C、M 在一条直线上．4在 Rt △AMC 中，CM =AC •sin ∠CAM =15× =12（海里）， 5 3AM =AC •cos ∠CAM =15× =9（海里）． 5 퐷푀在 Rt △AMD 中，tan ∠DAM =퐴푀 ，∴DM =AM •tan76°=9×4=36（海里），∴AD =√퐴푀2 + 퐷푀2=√92 + 362=9√17（海里）， CD =DM -CM =36-12=24（海里）．设缉私艇的速度为 x 海里/小时，则有 =17， 24 9√ 16푥解得 x =6√17．经检验，x =6√17是原方程的解．答：当缉私艇的速度为 6√17海里/小时时，恰好在 D 处成功拦截． 【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB =90°，再解 Rt △ABC ，利用正弦定义 得出 AC 即可；（2）过点 C 作 CM ⊥AB 于点 M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解 Rt △AMC ，求出 CM 、AM ．解 Rt △AMD 中，求出 DM 、AD ，得出 CD ．设缉私艇的速度为 x 海里/小时， 根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角 形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．푘25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y =-x +b 的图象与函数 y = （x ＜0）的图象相 푥交于点 A （-1，6），并与 x 轴交于点 C ．点 D 是线段 AC 上一点，△ODC 与△OAC的面积比为 2：3．（1）k =______，b =______； （2）求点 D 的坐标；（3）若将△ODC 绕点 O 逆时针旋转，得到△OD 'C '，其中点 D '落在 x 轴负半轴上， 푘判断点 C '是否落在函数 y = （x ＜0）的图象上，并说明理由．푥【答案】解：（1）-6 ，5 ；（2） 如图 1，过点 D 作 DM ⊥x 轴，垂足为 M ，过点 A 作 AN ⊥x 轴，垂足为 N ，121 푂퐶⋅퐷푀 푆△푂퐷퐶 푆△푂퐴퐶 2= ，푂퐶⋅퐴푁3∵=2퐷푀2∴ = ， 퐴푁 3又∵点 A 的坐标为（-1，6）， ∴AN =6，∴DM =4，即点 D 的纵坐标为 4， 把 y =4 代入 y =-x +5 中， 得，x =1， ∴D （1，4）；（3）由题意可知，OC =5，OD '=OD =√푂푀2 + 퐷푀2=√17， 如图 2，过点 C '作 C 'G ⊥x 轴，垂足为 G ，∵S △ODC =S △OD 'C ' ，∴OC •DM =OD '•C 'G ， 即 5×4=√17C 'G ， 20√17 ∴C 'G =，17在 Rt △OC 'G 中，400 5√17∵OG =√푂퐶′2 − 퐶′퐺2=√25 − =，17 175√17 20√17∴C '的坐标为（- ， ），17175√17 17 20√17∵（-）× ≠-6， 176∴点 C '不在函数 y =- 的图象上． 푥【解析】解：（1）将A（-1，6）代入y=-x+b，得，6=1+b，∴b=5，푘将A（-1，6）代入y= ，푥푘得，6= ，−1∴k=-6，故答案为：-6，5；（2）见答案；（3）见答案．푘（1）将A（-1，6）代入y=-x+b 可求出b 的值；将A（-1，6）代入y= 可求出k 的值；푥（2）过点D 作DM⊥x 轴，垂足为M，过点A 作AN⊥x 轴，垂足为N，由△ODC 与△OAC퐷푀2的面积比为 2：3，可推出퐴푁=，由点A 的坐标可知AN=6，进一步求出DM=4，即为3点D 的纵坐标，把y=4 代入y=-x+5 中，可求出点D 坐标；（3）过点C'作C'G⊥x 轴，垂足为G，由题意可知，OD'=OD=√푂푀2+퐷푀2=√17，由旋20√17转可知S△ODC=S△OD'C'，可求出C'G= ，在Rt△OC'G 中，通过勾股定理求出OG 的长176푘度，即可写出点C'的坐标，将其坐标代入y=- 可知没有落在函数y= （x＜0）的图象上．푥푥本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．26. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x2+bx+c 过点C（0，-3），与抛物13线L ：y=- x2- x+2 的一个交点为A，且点A 的横坐标为 2，点P、Q 分别是抛物线2 22L 、L 上的动点．1 2（1）求抛物线L1 对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1 上另一个动点，且CA 平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q 的坐标．13【答案】解：（1）将x=2 代入y=- x2- x+2，得y=-3，故点A 的坐标为（2，-3），22将A（2，-3），C（0，-3）代入y=x2+bx+c，得−3 = 22 + 2푏 + 푐 −3 = 0 + 0 + 푐 푏 = −2 푐 = −3 { ，解得{ ， ∴抛物线 L 1：y =x 2-2x -3；（2）设点 P 的坐标为（x ，x 2-2x -3）， 第一种情况：AC 为平行四边形的一条边，①当点 Q 在点 P 右侧时，则点 Q 的坐标为（x +2，x 2-2x -3）， 13将 Q （x +2，x 2-2x -3）代入 y =- x 2- x +2，得22 1 3x 2-2x -3=- （x +2）2- （x +2）+2，22解得，x =0 或 x =-1，因为 x =0 时，点 P 与 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为（-1，0）；②当点 Q 在点 P 左侧时，则点 Q 的坐标为（x -2，x 2-2x -3）， 13将 Q （x -2，x 2-2x -3）代入 y =- x 2- x +2，得22 1 3y =- x 2- x +2，得221 3x 2-2x -3=- （x -2）2- （x -2）+2，224解得，x =3，或 x =- ， 3413此时点 P 的坐标为（3，0）或（- ， ）； 3 9第二种情况：当 AC 为平行四边形的一条对角线时，由 AC 的中点坐标为（1，-3），得 PQ 的中点坐标为（1，-3）， 故点 Q 的坐标为（2-x ，-x 2+2x -3）， 13 将 Q （2-x ，-x 2+2x -3）代入 y =- x 2- x +2，得22 1 3-x 2+2x -3═- （2-x ）2- （2-x ）+2，22解得，x =0 或 x =-3，因为 x =0 时，点 P 与点 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为（-3，12），4 13综上所述，点 P 的坐标为（-1，0）或（3，0）或（- ， ）或（-3，12）； 3 9 （3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L 1 不存在点 R 使得 CA 平分∠PCR ， 当点 P 在 y 轴右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方， 过点 P 、R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S 、T ，过点 P 作 PH ⊥TR 的延长线于点 H ，则有∠PSC =∠RTC =90°， 由 CA 平分∠PCR ，得∠PCA =∠RCA ，则∠PCS =∠RCT ， ∴△PSC ∽△RTC ， 푃푆 퐶푆 푅푇퐶푇∴ = ， 设点 P 坐标为（x 1，푥12 − 2푥1 − 3 ），点 坐标为（ ， R x 푥2 − 2푥 − 3），2 2 2푥1 푥2= 所以有 ，푥2−2푥 −3−(−3) −3−(푥2−2푥 −3) 1122整理得，x +x =4， 1 2在 Rt △PRH 中，tan ∠PRH =푃퐻푥2−2푥 −3−(푥2−2푥 −3) = 푥 + 푥 − 2 = 212=1 1 22 푅퐻푥1−푥213过点 Q 作 QK ⊥x 轴于点 K ，设点 Q 坐标为（m ，− 푚 2− 푚+ 2），2 2 若 OQ ∥PR ，则需∠QOK =∠PRH ， 所以 tan ∠QOK =tan ∠PRH =2，1 3 所以 2m =− 푚 2− 푚+ 2 ， 2 2 −7±√652解得，m =， −7+√65 2−7−√652所以点 Q 坐标为（ ，-7+√65）或（ ，-7-√65）．【解析】（1）先求出 A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；（2）设点 P 的坐标为（x ，x 2-2x -3），分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边， AC 为平行四边形的一条对角线，用 x 表示出 Q 点坐标，再把 Q 点坐标代入抛物线 L 2： 13y =- x 2- x +2 中，列出方程求得解便可；22 （3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L 1 不存在点 R 使得 CA 平分∠PCR ，当点 P 在 y 轴右 侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方，过点 P 、R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S 、T ，过点 P 作 PH ⊥TR 于点 H ，设点 P 坐标为（x 1，푥12 − 2푥1 − 3），点 R坐标为（x 2，푥22 − 2푥2 − 3），证 明 △PSC ∽△RTC，由相似比得到 x +x =4，进而得 tan ∠PRH 1 21 3 的值，过点 Q 作 QK ⊥x 轴于点 K ，设点 Q 坐标为（m ，− 푚 2− 푚 + 2），由2 2 tan ∠QOK =tan ∠PRH ，得出 m 的方程，求得 m 便可．本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质， 解直角三角形的应用，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，动点问题探究，突 破第（2）题的方法是分情况讨论；突破第（3）的方法是作直角三角形，构造相似三角 形，用相似三角形的相似比列方程．27. 问题情境：如图 1，在正方形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点（不与点 B 、C 重合），垂直于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB 、AE 、CD 于点 M 、P 、N ．判断线段 DN 、 MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由． 问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图 2，若垂足 P 恰好为 AE 的中点，连接 BD ，交 MN 于点 Q ，连接 EQ ，并 延长交边 AD 于点 F ．求∠AEF 的度数；（2）如图 3，当垂足 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上时，连接 AN ，将△APN 沿着 AN 翻折，点 P 落在点 P '处，若正方形 ABCD 的边长为 4，AD 的中点为 S ，求 P 'S 的最小值．问题拓展：如图 4，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 M 、N 分别为边 AB 、CD 上 的点，将正方形 ABCD 沿着 MN 翻折，使得 BC 的对应边 B 'C '恰好经过点 A ，C 'N 5交 AD 于点 F ．分别过点 A 、F 作 AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，垂足分别为 G 、H ．若 AG = ， 2 请直接写出 FH 的长．【答案】问题情境：解：线段 DN 、MB 、EC 之间的数量关系为：DN +MB =EC ；理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABE =∠BCD =90°，AB =BC =CD ，AB ∥CD ，过点 B 作 BF ∥MN 分别交 AE 、CD 于点 G 、F ，如图 1 所示：∴四边形 MBFN 为平行四边形， ∴NF =MB ， ∵BF ⊥AE ， ∴∠BGE =90°，∴∠CBF +∠AEB =90°， ∵∠BAE +∠AEB =90°， ∴∠CBF =∠BAE ，在△ABE 和△BCF 中， ∠퐵퐴퐸 =∠퐶퐵퐹 {퐴퐵 = 퐵퐶， ∠퐴퐵퐸 = ∠퐵퐶퐹 = 90°∴△ABE ≌△BCF （ASA ）， ∴BE =CF ，∵DN +NF +CF =BE +EC ， ∴DN +MB =EC ；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q 作HI∥AB，分别交AD、BC 于点H、I，如图 2 所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形ABIH 为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI=AB=AD，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠BDA=45°，∴△DHQ 是等腰直角三角形，HD=HQ，AH=QI，∵MN 是AE 的垂直平分线，∴AQ=QE，在Rt△AHQ 和Rt△QIE 中，퐴푄=푄퐸{，퐴퐻=푄퐼∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），∴∠AQH=∠QEI，∴∠AQH+∠EQI=90°，∴∠AQE=90°，∴△AQE 是等腰直角三角形，∴∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF=45°；（2）连接AC 交BD 于点O，如图 3 所示：则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P′的落点为O′，∵AO=OD，∠AOD=90°，∴∠ODA=∠ADO′=45°，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG⊥CD 于点G，过点P′作P′H⊥CD 交CD 延长线于点H，连接PC，∵点P 在BD 上，∴AP=PC，在△APB 和△CPB 中，퐴푃 = 푃퐶{퐵푃 = 퐵푃，퐴퐵 = 퐵퐶∴△APB ≌△CPB （SSS ），∴∠BAP =∠BCP ，∵∠BCD =∠MPA =90°，∴∠PCN =∠AMP ，∵AB ∥CD ，∴∠AMP =∠PNC ，∴∠PCN =∠PNC ，∴PC =PN ，∴AP =PN ，∴∠PNA =45°，∴∠PNP ′=90°，∴∠P ′NH +PNG =90°，∵∠P ′NH +∠NP ′H =90°，∠PNG +∠NPG =90°，∴∠NPG =∠P ′NH ，∠PNG =∠NP ′H ，由翻折性质得：PN =P ′N ，在△PGN 和△NHP '中，∠푁푃퐺 = ∠푃′푁퐻 {푃푁 = 푃′푁 ，∠푃푁퐺 = ∠푁푃′퐻 ∴△PGN ≌△NHP '（ASA ），∴PG =NH ，GN =P 'H ，∵BD 是正方形 ABCD 的对角线，∴∠PDG =45°，易得 PG =GD ，∴GN =DH ，∴DH =P 'H ，∴∠P 'DH =45°，故∠P 'DA =45°，∴点 P '在线段 DO '上运动；过点 S 作 SK ⊥DO '，垂足为 K ，∵点 S 为 AD 的中点，∴DS =2，则 P 'S 的最小值为√2；问题拓展：解：延长 AG 交 BC 于 E ，交 DC 的延长线于 Q ，延长 FH 交 CD 于 P ，如图 4：5则 EG =AG = ，PH =FH ， 2 ∴AE =5，在 Rt △ABE 中，BE =√퐴퐸2 − 퐴퐵2=3，∴CE =BC -BE =1，∵∠B =∠ECQ =90°，∠AEB =∠QEC ，∴△ABE ∽△QCE ，퐴퐸 퐵퐸∴ = 퐶퐸=3， 푄퐸1 5 ∴QE = AE = ， 3 320 ∴AQ =AE +QE = ，3 ∵AG ⊥MN ，∴∠AGM =90°=∠B ，∵∠MAG =∠EAB ，∴△AGM ∽△ABE ，5 2 퐴푀 퐴퐺 = 퐴푀 ∴ ，即 = ， 퐴퐸 퐴퐵 54 25解得：AM = ， 8 由折叠的性质得：AB '=EB =3，∠B '=∠B =90°，∠C '=∠BCD =90°，7∴B 'M =√퐴푀2 − 퐴퐵′2= ，AC '=1， 8 ∵∠BAD =90°，∴∠B 'AM =∠C 'FA ，∴△AFC '∽△MAB '，17 8 퐴퐹 퐴퐶′ = ∴ = ， 퐴푀 퐵′푀 25解得：AF = ， 7 25 3∴DF =4- = ， 7 7∵AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，∴AG ∥FH ，∴AQ ∥FP ，∴△DFP∽△DAQ，퐹푃20 33 7 4퐹푃퐷퐹，即= ，∴=퐴푄퐴퐷5解得：FP= ，715∴FH= FP= ．214【解析】问题情境：过点B 作BF∥MN 分别交AE、CD 于点G、F，证出四边形MBFN为平行四边形，得出NF=MB，证明△ABE≌△BCF 得出BE=CF，即可得出结论；问题探究：（1）连接AQ，过点Q 作HI∥AB，分别交AD、BC 于点H、I，证出△DHQ是等腰直角三角形，HD=HQ，AH=QI，证明Rt△AHQ≌Rt△QIE 得出∠AQH=∠QEI，得出△AQE 是等腰直角三角形，得出∠EAQ=∠AEQ=45°，即可得出结论；（2）连接AC 交BD 于点O，则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA=∠ADO′=45°，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD 交CD 延长线于点H，连接PC，证明△APB≌△CPB 得出∠BAP=∠BCP，证明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG=NH，GN=P'H，由正方形的性质得出∠PDG=45°，易得出PG=GD，得出GN=DH，DH=P'H，得出∠P'DH=45°，故∠P'DA=45°，点P'在线段DO'上运动；过点S 作SK⊥DO'，垂足为K，即可得出结果；5问题拓展：延长AG 交BC 于E，交DC 的延长线于Q，延长FH 交CD 于P，则EG=AG= ，2PH=FH，得出AE=5，由勾股定理得出BE=√퐴퐸2−퐴퐵2=3，得出CE=BC-BE=1，证明152025△ABE∽△QCE，得出QE= AE= ，AQ=AE+QE= ，证明△AGM∽△ABE，得出AM= ，33387由折叠的性质得：AB'=EB=3，∠B'=∠B=90°，∠C'=∠BCD=90°，求出B'M=√퐴푀2−퐴퐵′2= ，8252535AC'=1，证明△AFC'∽△MAB'，得出AF= ，DF=4- = ，证明△DFP∽△DAQ，得出FP= ，777715得出FH= FP= ．214本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．。
中考数学专卷-2019年连云港市中考数学试卷及答案
2019年江苏省连云港初中毕业升学考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．﹣2的绝对值是 A ．﹣2 B ．12-C ．2D ．122x 的取值范围是 A ．x ≥1 B ．x ≥0 C ．x ≥﹣1 D ．x ≤0 3．计算下列代数式，结果为5x 的是A ．23x x +B ．5x x ⋅C ．6x x -D ．552x x -4．一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是5．一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是 A ．3，2 B ．3，3C ．4，2D ．4，36．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处7．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是A ．18m 2B ．2C ．2D m 28．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①△CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ；④BP ＝2AB ；⑤点F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9．64的立方根是． 10．计算2(2)x -＝．11．连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元．数据“46400000000”用科学记数法可表示为．12．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为． 13．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为．14．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于．15．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为(1，2，5)，点B 的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C 的坐标可表示为．16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以点C 为圆心作OC 与直线BD 相切，点P是OC 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题满分6分)计算：11(1)2()3--⨯．18．(本题满分6分)解不等式组：2412(3)1x x x >-⎧⎨-->+⎩．19．(本题满分6分)化简：22(1)42m m m ÷+--．19．(本题满分8分)为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2~4小时(含2小时)，4~6小时(含4小时)，6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了名中学生，其中课外阅读时长“2~4小时”的有人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4~6小时”对应的圆心角度数为°； （3）若该地区共有2000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．21．(本题满分10分)现有A 、B 、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B 盒中装有红球、黄球各1个，C 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球． （1）从A 盒中摸出红球的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率． 22．(本题满分10分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．将△ABC 沿着BC 方向平移得到△DEF ，其中点E 在边BC 上，DE 与AC 相交于点O ． （1）求证：△OEC 为等腰三角形；（2）连接AE 、DC 、AD ，当点E 在什么位置时，四边形AECD 为矩形，并说明理由．23．(本题满分10分)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y （万元）． （1）求y 与x 之间的函数表达式； （2）若每生产1吨甲产品需要A 原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A 原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A 原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．24．(本题满分10分)如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）25．(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x b =-+的图像与函数ky x=(x ＜0)的图像相交于点A(﹣1，6)，并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，△ODC 与△OAC 的面积比为2：3． （1）k ＝，b ＝；（2）求点D 的坐标；（3）若将△ODC 绕点O 逆时针旋转，得到△△OD ′C ′，其中点D ′落在x 轴负半轴上，判断点C ′是否落在函数ky x=(x ＜0)的图像上，并说明理由．26．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L 1：2y x bx c =++过点C(0，﹣3)，与抛物线L 2：213222y x x =--+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L 1、抛物线L 2上的动点．（1）求抛物线L 1对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L 1上另一个动点，且CA 平分∠PCR ，若OQ ∥PR ，求出点Q 的坐标．27．(本题满分14分)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝52，请直接写出FH的长．2X k B 1 . c o m3。