两角和与差的三角函数 倍角公式 复习 教案
两角和与差的三角函数教案
两角和与差的三角函数教案教案名称：两角和与差的三角函数教学目标：1.理解两角和与差的概念，并能用两角和与差的公式求解相关问题；2.掌握两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质和计算方法；3.发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。
教学重点：1.两角和与差的概念与两角和与差的公式；2.两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质。
教学难点：1.运用两角和与差的公式求解相关问题；2.灵活运用两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质。
教学准备：教材、教具、多媒体设备、黑板、白板、彩色粉笔、课件。
教学过程：一、导入（10分钟）1.通过投影或黑板写出两个角的三角函数表达式，让学生思考如何将这两个角进行运算。
2.提问引导学生回忆两角和与差的概念，了解两角和与差的意义及其应用。
二、讲授（25分钟）1.让学生通过观察角的图形和其三角函数的变化关系，探讨两角和与差的三角函数性质。
2.教师通过示例讲解两角和与差的正玄、余玄、正切函数的公式与计算方法，并结合应用题进行实际运算练习，帮助学生掌握。
三、练习与拓展（30分钟）1.出示一些运用两角和与差的公式进行计算的练习题，引导学生分析题目的关键信息，使用两角和与差的公式求解问题。
2.给出一些拓展题，要求学生灵活运用所学知识，解决具有一定难度的问题，培养学生的综合运用能力。
四、巩固与展示（25分钟）1.学生上台展示所做的一道练习题，并解答同学的提问，加强对知识点的理解。
2.教师对学生的展示进行点评，总结两角和与差的应用要点，强调解题方法与技巧。
五、课堂小结（10分钟）1.教师对本节课的重点、难点进行总结，强调两角和与差的重要性和应用场景。
2.布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握两角和与差的公式，并能运用于实际问题的解答中。
教师通过引导学生观察和探究，培养了学生的自主学习能力和分析问题的能力。
同时，在练习与拓展环节的设计上，提高了学生的综合运用能力和解决复杂问题的能力。
高考数文一轮总复习课件 两角和差及二倍角公式
解析： （2）正确.如 α ，β中有一个为 0，此式即可成立.
（3）错误.两角和的余弦公式为 cos（α ＋β）＝cos α cos β －sin α sin β两项中间应为“－”.
（4）正确.tan α ＋tan β＝tan（α ＋β） （1－tan α tan β）. ∵α ＋β＝45°，∴tan（α ＋β）＝1， ∴tan α ＋tan β＝1－tan α tan β.
基础梳理
１. 两角和与差的三角函数公式
S（α ±β） ：sin（α ±β）= sinαcosβ±cosαsinβ C（α ±β） ：cos（α ±β）＝ cosαcosβ∓sinαsinβ ； tanα ±tanβ T（α ±β） ：tan（α ±β）＝ 1∓tanα tanβ .
2. 二倍角公式
3sin 10° 规范解答： 原式＝2sin 50°＋sin 10°×1＋ × cos 10° cos 10°＋ 3sin 10° ＝2sin 50°＋sin 10°× × cos 10°
2sin 80°
2sin 80°（2 分）
最新考纲
§3.3 两角和、差及二倍角公式
1. 能用向量数量积推导出两角差的余弦公式． 2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3. 能利用两角和的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式
及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
最新考纲 基础梳理
第 三 节
自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选
题型分类 ·典例研析
题型1 · 三角函数式的求值
例 1 求[２ｓｉｎ ５０°＋ｓｉｎ １０°×(１＋ ３ｔａｎ １ ０°)]× ２ｓｉｎ ２ ８０° 的值.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
高考数学复习考点知识讲解课件20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2 cos(45°－ 15°) ＝
2×
3 2
＝
6 2.
(3)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10°
＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°
＝4sins3in02°－0°10°＝4.
— 返回 —
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用， 如 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
角度 2：辅助角公式的运用 【例 2】 化简：(1)sin1π2－ 3cos1π2； (2)cos15°＋sin15°； (3)sin110°－sin830°； (4)3 15sinx＋3 5cosx.
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
[解析]
(1)a ＝
3 2
cos29°－
1 2
sin29°＝
sin(60°－
29°)
＝
sin31°，
b
＝
1－c2os66°＝
2sin16° 2sin2233°＝ sin33°， c ＝ 1＋2tatann1261°6°＝ 1＋cocssoi1ns62211°66°°＝ 2sin16°cos16°＝ sin32°， 显 然
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(新教材) 高三总复习•数学
2．已知 cosα＝－45，α∈π，32π，则 sinα＋π4等于( C )
A．－
2 10
B．
2 10
倍角公式教案(人教版)2
§10.14倍角公式教学目标1．启发学生自己推导出倍角公式，并熟练掌握倍角公式。
2．使学生能够正确运用倍角公式解决一些简单求值、化简、证明。
3．培养学生利用旧知识推导新知识的能力，领会从一般到特殊的基本数学思想，从而培养学生逻辑思维能力及辩证唯物主义观点。
教学重点教学重点是倍角公式的理解及记忆，并熟练地应用倍角公式解决简单问题． 教学难点教学难点是灵活掌握c α2的多种形式、“二倍角”的相对性及其应用。
教学方法本节主要采用启发探究的教学方法。
运用多媒体，创设问题情景，通过设置问题，引导学生归纳，得到公式，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对公式的理解。
对于这组公式的运用，采取了“教师提出问题、学生积极思考，相互讨论，师生共同归纳”的方法进行，并使学生边学边练，及时巩固，深化对公式的理解。
做到：小循环，多反馈。
教学过程复习引入：师：前几节课我们学习了两角和与差的三角函数，有几个非常重要的公式，现在回忆一下．生：sin （α+β）=sin α·cos β+cos α·sin β． （sβα+） cos （α+β）=cos α·cos β-sin α·sin β． （c βα+）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∙-+=+ ( T βα+)师：说得很准确．上面这几个公式随着我们学习的深入，大家会愈发体会到它们的重要性，因为它们是本章各类公式的基础．这章公式虽然较多，但只要掌握了它们之间的内在联系．就能既快又准地记住．师：下面请同学们共同思考一个问题，在上面这些公式中，如果令α＝β，我们会得到什么结果呢？下面同学们讨论一下，并把结果写下来。
（教师巡视寻找合适的同学做回答）生：当α＝β时，sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ就变成sin（α+α）＝sin 2α＝sinα·cosα＋cosα·sinα＝2sinα·cosα．师：回答的得非常好．这正是老师多次向同学们强调的学好数学的一个方法，即“联想、对比、转化、应用”．在这个问题中的具体应用．这也是我们今天要学习的三角函数中很重要的一节的内容——倍角公式。
三角恒等变换(和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案
第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（14类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαsinβααβ=sin++sincoscos ()ββαsinααβ-=sincoscossin-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sin α2＝(2)cos α2＝(3)tan α2＝±＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.万能公式22222tan1tan 2tan222sin cos tan 1tan1tan 1tan 222x x x x x x xxx -===++-9.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+10.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα11.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（福建·高考真题）sin15cos 75cos15sin105°°+°°等于（ ）A ．0B ．12C ．1D2．（全国·高考真题）o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A．BC ．12-D ．123．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D4．（2024·全国·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ+，则sin()αβ+=.1．（2024高三·全国·专题练习）sin 435=o ．2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(P -，则πsin 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C D ．13．（2024高三·全国·专题练习）化简：ππsin cos cos sin 33æöæö+-+=ç÷ç÷èøèøαααα．4．（2024·河南·三模）若1sin()6αβ-=，且tan 2tan αβ=，则sin()αβ+=（ ）A B C ．23D ．125．（2024·云南·模拟预测）若πsin sin 3q q æö++=ç÷èøπsin 6q æö+=ç÷èø（ ）A ．12B C ．13D1．（高考真题）()sin163sin223sin253sin313 °°+°°=A ．12B ．12-C D ．2．（2024·全国·高考真题）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m3．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P æöç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．0B ．12C D 2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知35=cos α，π0,2αæö∈ç÷èø，12sin 13β=，π,π2βæö∈ç÷èø，则()cos αβ-=（ ）A ．3365B ．5665C ．6365D ．1665-3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若πcos cos 13ααæö-+=-ç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 4αβ=，则()cos 22αβ-=（ ）A ．3181B ．59C ．3181-D ．59-5．（2024·全国·模拟预测）已知π,02q æö∈-ç÷èø，32tan 25sin2q q =，则πcos 4q æö-=ç÷èø（ ）A B C ．D ．1．（2019·全国·高考真题）tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．2．（重庆·高考真题）若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =βA ．17B ．16C ．57D ．563．（2024·全国·高考真题）已知cos cos sin ααα=-πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．1+B ．1C D ．14．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．25．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβæö+++=+ç÷èø，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-1．（2024·山西吕梁·二模）已知角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点()，则tan π6αæö-=ç÷èø（ ）A ．B ．CD 2．（2024·重庆·三模）已知ππcos 3cos 44ααæöæö-=+ç÷ç÷èøèø，则tan α=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．133．（2024·江苏·模拟预测）若3sin 4cos 5αα+=，则πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．7-B ．7C ．17D ．17-4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（ ）A ．35B ．53C ．45D ．655．（2024·贵州黔东南·二模）已知0παβ<<<，且()()sin 2cos αβαβ+=+，sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，则()tan αβ-=（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．121．（2024·四川·模拟预测）已知π,π2αæö∈ç÷èø，π1sin 65αæö+=ç÷èø，则sin α=（ ）A B C D2．（浙江·高考真题）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=，则cos （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣3．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（ ）A ．12B ．13C ．16D ．184．（22-23高一下·江西景德镇·期中）已知()0,πα∈，ππ,22βæö∈-ç÷èø满足π1sin 33αæö+=ç÷èø，πcos 6βæö-ç÷èø则()sin 2αβ+=（ ）A B C D ．1．（2024·河北石家庄·三模）已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（ ）A ．13B ．16C ．17D ．22．（2024·山西·三模）若()sin 2αβα=-=，且π3π,π,π,42αβéùéù∈∈êúêúëûëû，则()cos αβ+=（ ）A B C D3．（2024·重庆·模拟预测）已知,αβ都是锐角，1cos sin()7ααβ=+cos 2β的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D1．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知sin αβ=α和β均为钝角，则αβ+的值为（ ）A ．π4B ．5π4C ．5π4或7π4D ．7π42．（2024高三·全国·专题练习）已知()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,且α,(0,)βπ∈,则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4πC ．34πD ．4π-3．（22-23高三·全国·期末）已知()()π0,cos 2cos 212cos cos 2αβαβαβαβ<<<++=-++，则（ ）A ．π6αβ+=B ．π3αβ+=C ．π6βα-=D ．π3βα-=1．（2023高三·全国·专题练习）已知cos α=sin β=，且0,2παæö∈ç÷èø，0,2πβæö∈ç÷èø，则αβ+的值是（ ）A ．34πB ．4πC ．74πD ．54π2．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知ππ4α££，3ππ2β££，4sin 25α=，()cos αβ+=则βα-=（ ）A ．3π4B ．π4C ．5π4D ．π23．（2024·吉林长春·模拟预测）已知cos 2α=()sin αβ+=π0,2αéù∈êúëû，π,02βéù∈-êúëû，则αβ-=（ ）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．π4或3π41．sin15cos15=o o （ ）A ．14B ．14-C D ．2．（2024·河南·二模）已知1sin cos 3x x +=，则πcos 22x æö-=ç÷èø（ ）A ．35-B ．35C ．89D ．89-3．（2024·四川自贡·三模）已知角α满足1cos 23sin 2αα-=，则sin 2α=（ ）A．BC ．35-D ．351．（2024·山东济南·三模）若sin cos αα-=，则tan α=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．（2024·山东·模拟预测）已知4sin25α=-，则tan2πtan 4αα=æö+ç÷èø（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-1．（山东·高考真题）已知3cos 4x =，则cos 2x =（ ）A ．14-B ．14C ．18-D ．182．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππæö--ç÷èø上单调递减B ．()f x 在,412ππæö-ç÷èø上单调递增C ．()f x 在0,3πæöç÷èø上单调递减D ．()f x 在7,412ππæöç÷èø上单调递增3．（2021·全国·高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12BCD4．（全国·高考真题）函数44()cos sin f x x x =-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π1．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．2．（2024·北京顺义·三模）已知函数()22cossin 22x xf x =-，则（ ）A ．()f x 为偶函数且周期为4πB ．()f x 为奇函数且在ππ,412æö-ç÷èø上有最小值C ．()f x 为偶函数且在π0,3æöç÷èø上单调递减D ．()f x 为奇函数且π,04æöç÷èø为一个对称中心3．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=，cos 2β=．1．（浙江宁波·期末）12πsin 2=A B C ．34D ．142．（2024·浙江·模拟预测）若8tan 3cos αα=，则cos 2=α ．3．（2024·浙江·三模）已知ππ1cos cos 23264q q æöæö+-=ç÷ç÷èøèø，则πcos 23q æö+=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C ．D4．（2024·全国·模拟预测）已知,αβ为锐角，满足()1sin sin 9αβαβ+=+=-，则sin 2αβ+= ，()cos αβ-=．1．（2024·浙江绍兴·二模）若5π1sin 123αæö+=ç÷èø，则πcos 26αæö-=ç÷èø（ ）A B ．C ．79D ．79-2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sin 1αα=+，则πsin 26αæö-=ç÷èø（ ）A ．18-B ．78-C ．34D ．783．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知π1sin 35ααæö+=ç÷èø，则sin 26παæö-=ç÷èø ．4．（2024·黑龙江·三模）已知()11cos ,sin sin 23αβαβ-==，则()cos 22αβ+=.5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ππ12cos 2cos cos312124x x x æöæö+--=ç÷ç÷èøèø ，则 πcos 23x æö+=ç÷èø1．（2024高三·全国·专题练习）若1tan(π)2α-=，则tan 2α= ．2．（2024·安徽合肥·三模）已知ππ20,,tan tan 243q q q æöæö∈+=-ç÷ç÷èøèø，则tan 2q = .3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知π(0,)2q ∈，且sin sin 2sin cos qq q q=+，则tan q =（ ）A1B1C1D11．（2024高三·全国·专题练习）2π1tan 8πtan 8-=．2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ）A ．127B ．127-C ．247D ．247-3．（2024·全国·模拟预测）已知π0,2q æö∈ç÷èø，2π1sin 842q æö+=ç÷èøπtan 24q æö-=ç÷èø（ ）A ．113B ．1731C ．3117D ．131．（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，cos αsin 2α=（ ）．A B C D 2．（2024·湖南邵阳·二模）已知α为锐角，若1sin 4α=，则2cos2α=（ ）A B C D 3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH AB ^，垂足为H ，记COB q Ð=，则由tan BHBCH CHÐ=可以直接证明的三角函数公式是（ ）A ．sin tan 21cos qq q =-B ．sin tan 21cos qq q =+C ．1cos tan2sin qq q-=D ．1cos tan2sin qq q+=1．（2024·全国·模拟预测）已知角α是第二象限角，且终边经过点()3,4-，则tan 2α=（ ）A ．3B ．12C ．2D ．12或22．（2023·全国·模拟预测）已知α是锐角，1cos 3α=，则πcos 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．12B ．12C -D 3．若3sin 5q =，5π3π2q <<，则tan cos 22q q+=（ ）A ．3+B ．3C ．3D ．31．（2024·全国·高考真题）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ．2．（2020·北京·高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．3．（全国·高考真题）设当x q =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos q = .4．（2024高三·湖北·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1cos 3C =，8c =，则当a b +取得最大值时，sin A = .1．（2024·湖北·二模）函数()3cos 4sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，sin x =（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-2．（2024·四川南充·二模）已知函数()3sin 4cos f x x x =+．设x q =时，()f x 取得最大值．则πcos 4q æö+=ç÷èø（ ）AB．CD．3．（2024·山东·模拟预测）若函数()()πcos sin 3f x x x ϕæö=-++ç÷èø的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．4．（2024·河北保定·三模）已知锐角α，β（αβ¹）满足sin 2cos sin 2cos ααββ+=+，则sin()αβ+的值为（ ）ABC ．35D ．451．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-æö+ç÷èø，则sin 22παæö+ç÷èø的值是 ．2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知πsin(212α-ππtan()tan()312αα++=．1．（2022·四川眉山·模拟预测）若0,2παæö∈ç÷èø，2sin 2cos αα=，则cos 2α的值为（ ）A ．35-B ．12-C ．0D ．352．（2024高三·全国·专题练习）已知ππsin 2sin 44ααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πsin 24αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．1．（2024高三·全国·专题练习）已知43cos cos ,sin sin 55αβαβ+=-=-，则()tan αβ-的值为（ ）A ．247-B ．724-C ．724D ．2472．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .3．（2024·广东·一模）已知()2211cos cos ,sin 124αβαβ-=--=，则()cos 22αβ+=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．291．（2024·山东·模拟预测）已知1sin cos cos sin 2x y x y +=，1cos 2cos 24x y -=，则()sin x y -=（ ）A ．12B ．14C ．34-D ．14-2．（2024·全国·模拟预测）已知角A ，B ，C 满足πA B C ++=，且cos cos cos 1A B C ++=，则(1cos A -)(1cos B -)(1cos C -)=（ ）A ．0B ．1CD1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数()(1cos )f x x x =+的最大值为（ ）ABC ．58D ．942．（2024·新疆·一模）已知: ()()()sin 20sin 20sin 400q q q -+++-=o o o，则tan q =（ ）A．B．CD3．（2024·全国·模拟预测）已知角,αβ满足：()sin sin 5sin αβαβ+=-，其中π2πk αβ-¹+，π2πk α¹+，()π2πk k β¹+∈Z ，则tan 2tan2αβ=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．524．（2024·辽宁丹东·一模）已知π(0,)2α∈1=，则sin 2α=（ ）ABCD1．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .2．（2024·重庆·三模）已知函数()f x 满足()1tan sin 2f x x=.若12x x 、是方程2202420240x x +-=的两根，则12()()f x f x += .3．（2024·湖北荆州·三模）设π02αβ<<<，tan tan m αβ=，()3cos 5αβ-=，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =， tan tan αβ=.4．（2024·四川成都·三模）若ABC V 为锐角三角形，当2tan 9tan 17tan A B C ++取最小值时，记其最小值为m ，对应的tan A n =，则mn =.1．（2024·上海·高考真题）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-2．（2024·河北保定·二模）若154tan sin αα=，则cos2α=（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知2πsin2,0,34ααæö=∈ç÷èø，则πsin 4αæö+=ç÷èø（ ）A B ．56C D 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知ππsin sin cos sin 63ααααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πtan 24αæö+=ç÷èø（ ）A ．2B ．2-C ．2D ．2-+5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若ππ44αβ-<<<，且1cos sin 2αβ=，tan 2tan 3αβ=，则()cos αβ-=（ ）A B ．C D ．6．（2024·陕西·模拟预测）已知ππ,24αæö∈--ç÷èø，若3tan 2tan 24πααæö=-+ç÷èø，则2sin 22cos tan ααα+=（ ）A ．185-B ．25-C ．25D ．185二、填空题7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：()cos 72cos 36°-°= .8．（2024·上海·模拟预测）已知7cos 9α=-，3(π,π)2α∈，则cos 2α= ．9．（2024·江苏苏州·三模）函数()|sin |cos f x x x =+的值域是.10．（2024·湖南·模拟预测）已知tan 3α=，tan()5αβ+=-，则tan(2)αβ+=.1．（2024·山东·模拟预测）已知π4cos cos 35ααæö--=ç÷èø，则πsin 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-2．（2024·河北衡水·三模）已知sin(3)sin()tan(2)tan m n αβαβαβα-=--=，，则m ，n 的关系为（ ）A ．2m n=B ．1m n m+=C ．1m n m =-D ．11m n m +=-3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+°°-°=+，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设,αβ∈R ，则“()()cos 2cos sin 2sin sin cos cos sin 4444ππππαββαββααααæöæöæöæö+++=+--+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø”是“ππ8k α=+，()k ∈Z ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．（2024·福建泉州·二模）若π3,0,,tan tan ,sin()25m αβαβαβæö∈=-=ç÷èø，且α与β存在且唯一，则tan tan m αβ+=（ ）A ．2B ．4C ．12D ．146．（2024·江苏南通·模拟预测）已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（ ）A ．12B ．15C ．25D7．（2024·山西吕梁·三模）设函数()sin 1f x x x =++.若存在实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则a b -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1±8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在ABC V 中，若22sin sin 1A B +=，则下列说法正确的是（ ）A ．sin cos A B=B ．π2A B +=C ．sin sin A B ×的最大值为12D ．tan tan 1A B ×=9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知π,(0,)2a β∈，sin(2)2sin αββ+=，2tan 3α=，则tan()αβ+= ．10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知()()()cos 20cos 20cos 400q q q °-+°+-°-=，则tan q = .1．（2023·全国·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．1BCD2．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为983．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβg 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββg g α三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D5．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．26．（2020·浙江·高考真题）已知tan 2q =，则cos 2q =；πtan(4q -= ．7．（2020·江苏·高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是 .8．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．9．（2019·全国·高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD10．（2019·江苏·高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-æö+ç÷èø，则πsin 24αæö+ç÷èø的值是 .11．（2019·北京·高考真题）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是．12．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为 ．13．（2018·全国·高考真题）已知51tan 45παæö-=ç÷èø，则tan α= ．14．（2018·全国·高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+ ．15．（2018·全国·高考真题）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-16．（2018·全国·高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π17．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4。
两角和、差及倍角公式
+kπ,k∈Z). 2
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin αcos α S2α:sin 2α=______________. cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α C2α:cos 2α=_____________=_________=_________. T2α:tan k∈Z).
2tan 2α=______( kπ+ , 2 4
【金榜状元笔记】 1.一组重要关系
2.四个必备结论 (1)降幂公式:cos2α=
1 cos 2 ,sin2α= 1 cos 2 . 2 2
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. (3)公式变形:tan α±tan β= tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(2)①由于函数f(x)的最小正周期为10π, 所以10π= 2 ,所以ω= 1 .
)
【解析】选C.因为cos α=- 4 ,α是第三象限的角,所
3 以sin α= 1 cos ，所以 sin( ) sincos 5 4 4
2
5
3 2 4 2 7 2 cossin ( ) ( ) . 4 5 2 5 2 10
T ( α + β)
tan tan 1 tan tan :tan(α+β)=____________( α,β,α+β≠
tan tan 1 tan tan T(α-β):tan(α-β)=____________( α , β , α- β ≠
+kπ,k∈Z). 2
2.若sin 80°=m,则用含m的式子表示cos 5°=____. 【解析】因为sin 80°=m,所以cos 10°=m, 所以cos 5°= 答案: m 1
19《三角函数-两角和与差二倍角公式》
2 ,
(一)公式正用 例1、求值:
1sin555
5 2 cot 12
例2
P(53 例1)
1 2 设 . , sin , cos 2 9 2 3
50
3
求α+2β。
[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步 完成：第一步，先求出此角的某一三角函数 值；第二步，再根据此角的范围求出此角。 在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围 缩小，否则易产生增解。
四.给式求值 例4:P(55例3)已知a为第二象限角,且
和sin2a+cos2a的值
5 cos sin 求 sin con 2 2 2 2 2
【作业布置】
三角函数的化简与证明
一、知识点 1、化简 （1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量 不含分母和根号 （2）化简三种基本类型： 1） 根式形式的三角函数式化简 2） 多项式形式的三角函数式化简 3）分式形式的三角函数式化简 （3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名 化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函 数值互化。
一.给角求值. 例1、计算 sin 40 (tan 10
0 0
3 ) 的值。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的 特点，找出和特殊角之间的关系 注意特殊值象1、等，有时需将其转化 成某个角的三角函数，这种技巧在化 简求值中经常用到。
二.给值求值 例2、例2、(P(55) 已知
3 1 sin( x ) cos( x ) 4 4 4
求cos4x的值.
高一《两角和与差三角函数》教学设计
高一《两角和与差三角函数》教学设计高一《两角和与差三角函数》教学设计作为一名无私奉献的老师，往往需要进行教学设计编写工作，教学设计是实现教学目标的计划性和决策性活动。
优秀的教学设计都具备一些什么特点呢？以下是小编为大家收集的高一《两角和与差三角函数》教学设计，欢迎阅读与收藏。
【教材分析】本节是北师大版高中必修四第三章2.1和2.2两角和与差的正弦、余弦函数（书第116页-118页内容），本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。
本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。
【学情分析】学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。
本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。
【课程资源】高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪【教学目标】1、掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础；2、让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力.3、激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.【教学重点和难点】教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用（设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课“两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。
倍角公式教学设计
倍角公式教学设计 栏目 内容 【课 题】 倍角公式 【教学内容】 人教B版必修四第三章第2节第1课时的内容
【课程标准】 1、能从两角和与差的正弦、余弦、正切公式变形推导出二倍角的
正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系。 2、能运用上述公式进行简单的恒等变换。
【学习目标】 1、知识目标： （1）掌握二倍角公式的推导，明确a的取值范围； （2）能运用二倍角公式求值、化简、证明. 2、能力目标： （1）.通过两角和差公式的复习，推导出倍角公式，了解二者的内在联系；培养逻辑推理能力； （2）.通过倍角公式的推导，以及对公式的综合运用，体会由一般到特殊的数学思想及类比，转化的数学思想，提高运算，分析能力.
3.情感目标： 通过学习, 养成认真参与、积极交流的习惯；增强了善于发现问题的规律和及时解决问题的意识.
【评价设计】 目标①：先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式、同角三角函数基本关系式，以达到温故而知新的目的。
目标②：学生在小组讨论的基础上进行展示，能把2看成+。
目标③：引导学生将两角和的正弦、余弦、正切公式中的角、
都令=，让学生独立完成，引导学生观察变化，让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想 目标④：引导学生对引导探究、深化认识中的三个问题深刻领悟，从而达到彻底掌握与灵活运用公式的目的。 目标⑤：学生能够独立或小组合作的方式完成例题的变式题组。
【教学方法】 本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公示的记忆。 【教学过程】 教学环节 教学活动 设计意图
创设情境，引入课题
计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如角，我们要求它的二倍、三倍，即2，3等等，该如何求呢？今