2018年中考数学总复习《特殊三角形》专题训练题含答案
2018 初三数学中考复习特殊三角形专题复习训练题
1. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )
A．5，6，7 B．1，4，8 C．5，12，13 D．5，11，12
2．一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( )
A．13 cm B．14 cm C．13 cm或14 cm D．以上都不对
3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A ＝50°，则∠CDE的度数为( )
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
4．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )
A.
3
2
B.
33
2
C.
3
2
D．不能确定
6. 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( ) A．12 B．16 C．20 D．16或20
7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )
A．6 B．6 2 C．6 3 D．12
8. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )
A．35°B．40°C．45°D．50°
9. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM 的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( )
A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km
10. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A．30，40，50 B．7，12，13
C．5，9，12 D．3，4，6
11. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为____________．
12. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__°．
13. ．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____．
14．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是__20__.
15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE ＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.
16．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为
____．
17. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝____
18. 在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
19. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
20. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
参考答案：
1---10 CCDDB
CAADA
11. 13或10
12. 40
13. 5 14. 20 15. 2 16. 7 17. 8
18. 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∴△EDC 是等边三角形，∴DE ＝DC ＝2，在Rt △DEF 中，∵∠DEF ＝90°，DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝4，∴EF ＝DF 2－DE 2＝42－22＝2 3
19. 解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3 (2)延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 延长线于点E ，∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB ，∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝1
2
AE ，∴AE ＝6，即BC 边上高的长为
6
20. 证明：如解图，过点A 作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ，则∠BAD＝∠CAD，
在△ABD 和△ACD
中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD，AD ＝AD ，
∴△ABD ≌△ACD(SAS )，∴∠B ＝∠C(也
可过点A 作BC 边上的中线，证△ABD≌△ACD)。
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2018年中考数学真题汇编：三角形（填空+选择=50题）、选择题1. （2018山东滨州）在直角三角形中，若勾为 3,股为4，则弦为（） A. 5 B. 6 C. 7D. 8【答案】A2. （2018江苏宿迁）如图，点D 在△ABC 的边AB 的延长线上，DE //BC ，若Z A = 35 ° /C = 24 °则/D 的C. 60【答案】B3. 一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30。
方向，继续向南航行 30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15。
方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（结果保 留小数点后两位）（参考数据:汽m 少'•）（ ）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B4. 若实数m 、n 满足用_M+曲-斗",且m 、n 恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周 长是（）。
A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】BB. 59D. 695. 在中，亠飞厂爭—沁，一』于，匚巨平分交于，则下列结论A.弓匚=三匚D. AE=EC【答案】C6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30。
角的三角板的一条直角边和含45。
角的三角板【答案】C条件的直线I的条数是（）。
A.5B.4C.3D.2【答案】C8•如图，在平面直角坐标系中，-」五二的顶点在第一象限，点三，的坐标分别为、，一丘工=：'「，-二=工，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）C. SC = BE的一条直角边放在同一条直线上，则/ a的度数是（C.75D.857.在平面直角坐标系中，过点（1,2)作直线I,若直线I与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足定成立的是（）OA.45【答案】A9•如图，在 ABCD 中，CD=2AD , BE 丄AD 于点E , F 为DC 的中点，连结 EF 、BF ,下列结论：①/ABC=2 /ABF ;②EF=BF :③S 四边形DEBC =2S ZEFB :④Z CFE=3 ZDEF ，其中正确结论的个数共有（）。
中考数学专项训练 特殊三角形(含解析)(1)
特殊三角形一、选择题1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18° B．24° C．30° D．36°2．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30° B．35° C．40° D．50°3．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25 B．25或32 C．32 D．194．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）A． cm B． cm C． cm D．8cm5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为．7．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．8．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．三、解答题（共40分）11．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．12．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．13．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．14．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．特殊三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18° B．24° C．30° D．36°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故选A．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．2．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，∴∠C′CA=∠CAB=70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．3．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25 B．25或32 C．32 D．19【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的三边关系解答即可．【解答】解：三角形的三边长为13、13、6时，它的周长为32，三角形的三边长为13、6、6时，不能组成三角形，∴三角形的周长为32，故选：C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．4．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）A． cm B． cm C． cm D．8cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AF=xcm，则DF=（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：设AF=xcm，则DF=（8﹣x）cm，∵矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2，∴x2=62+（8﹣x） 2，解得：x=（cm）．故选：B．【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；③由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；④△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．【解答】解：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正确）；②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）；③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变（故③错误）；④△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值=2，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．（故④正确）；故正确的有2个，故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．二、填空题6．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为80°或50°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【解答】解：当该角为顶角时，顶角为50°；当该角为底角时，顶角为80°．故其顶角为50°或80°．故填50°或80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．7．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为5 ．【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【专题】压轴题．【分析】根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．【解答】解：∵，∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，解得a=3，b=4，∵直角三角形的两直角边长为a、b，∴该直角三角形的斜边长===5．故答案是：5．【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．8．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，∵BD为中线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠ACB，∴∠E=30°=∠DBC，∴BD=DE，∵BD是AC中线，CD=1，∴AD=DC=1，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD==，即DE=BD=，故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．【考点】勾股定理．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．【解答】解：由勾股定理得：OP4==，∵OP1=；得OP2=；依此类推可得OP n=，∴OP2012=，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是50°．【考点】翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC=40°，以及∠OBC=∠OCB=40°，再利用翻折变换的性质得出EO=EC，∠CEF=∠FEO，进而求出即可．【解答】解：连接BO，∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠ABO=25°，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠OBC=65°﹣25°=40°，∵，∴△ABO≌△ACO，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=40°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∠CEF=∠FEO，∴∠CEF=∠FEO==50°，故答案为：50°．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．三、解答题（共40分）11．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD=AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．12．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．【考点】矩形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：由折叠的性质可得：∠ENM=∠DNM，即∠ENM=∠ENA+∠ANM，∠DNM=∠DNC+∠CNM，∵∠ENA=∠DNC∴∠ANM=∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC=DN，NH=DC，∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴===3，∴MC=3ND=3HC，∴MH=2HC，设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN，在Rt△CDN中，DC==2x，∴HN=2x，在Rt△MNH中，MN==2x，∴==2．【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．13．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【专题】证明题；几何综合题．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE 得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．【解答】（1）BH=AC，理由如下：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD，∵在△DBH和△DCA中，∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．（2）连接CG，由（1）知，DB=CD，∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，∵CE=AE，BG=CG，∴BG2﹣GE2=EA2．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．14．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．【解答】（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答图1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．。
2018届中考数学复习 专题25 等腰三角形、等边三角形试题(B卷,含解析)
等腰三角形、等边三角形一、选择题 1. ．（广东省广州市，13，3分）如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =12cm ，点D 在AC 上，DC =4cm ，将线段DC 沿CB 方向平移7cm 得到线段EF ，点E ，F 分别落在边AB ，BC 上，则△EBF 的周长为 cm ．【答案】13【逐步提示】利用平移的性质可以求得EF 与FC 的长，进而可得BF 的长；再根据等腰三角形的判定可得BE =EF ，这样求得了△EBF 的三边长，其和即为△EBF 的周长．【详细解答】解：根据平移的性质，将线段DC 沿着CB 的方向平移7cm 得到线段EF ，则EF =DC =4cm ，FC =7cm ，∠EFB =∠C ．∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠B =∠BFE ，∴BE =EF =4cm ．又BF =BC －FC =12－7=5cm ，∴△EBF 的周长=4+4+5=13（cm ）．故答案为13．【解后反思】图形平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，这样往往存在平行四边形与全等三角形或等腰三角形，给我解决问题提供了重要途径． 【关键词】平移的性质；等腰三角形的判定2. （ 河北省，16，2分）如图，∠AOB =120°，OP 平分∠AOB ，且OP =2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上【答案】D【逐步提示】先找出符合要求的特殊点，如点M 与点O 重合，点N 与点O 重合等，不难发现以上特殊情形都满足OM+ON=2，再研究一般情形下△PMN 是否为等边三角形，问题得解. 【详细解答】解：如图，在OA 上截取OC=OP=2，∵∠AOP =60°，∴△OCP 是等边三角形，∴CP=OP ，∠OCP=∠CPO=60°.在线段OC 任取一点M ，在OB 上截取ON ，使ON+OM=2，连接MN ，PM ，PN.∵MC+OM =2，∴CM=ON.在△MCP 和△NOP 中，∵CM=ON,∠MCP =∠NOP =60°，CP=OP ，∴△MCP ≌△NOP （SAS ），∴PM=PN ，∠MPC=∠NPO ，∴∠MPC+∠MPO=∠NPO+∠MPO ，即∠CPO =∠MPN，∴∠MPN =60°，∴△PMN 是等边三角形.故满足条件的△PMN 有无数个，答案为选项D.A B CE D F【解后反思】如图所示，本题是含有60°内角的菱形问题的变式，掌握其中等边三角形和全等三角形的判定有助于我们解决此题.【关键词】等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定；存在性问题3.（湖南省怀化市，8，4分）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A. 16cmB. 17cmC. 20cmD. 16cm或20cm【答案】C.【逐步提示】此题考查等腰三角形的定义和三角形三边的关系.题中给出了等腰三角形的两条边长，而没有明确其腰长或底边长，因此需要分腰为4cm长或腰为8cm长两种情况讨论等腰三角形的周长即可.【详细解答】解：若4cm的边长为腰，8cm的边长为底，4＋4＝8，由三角形三边的关系知，该等腰三角形不存在；若8cm的边长为腰，4cm的边长为底，则等腰三角形的周长为20cm，故选择C.【解后反思】此题考查等腰三角形的定义和三角形三边的关系，解此题的关键是能根据题意，考虑到需要分类讨论等腰三角形的周长.此题的易错点是审题不认真，忽略分类讨论.【关键词】等腰三角形的定义；三角形三边的关系4.（湖南湘西，14，4分）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是A.13cm B .14cm C. 13 cm或14cm D.以上都不对【答案】C【逐步提示】本题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键是应用三角形三边关系定理讨论．分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【详细解答】解：①当等腰三角形的腰为4，底为5时，等腰三角形的周长为2×4＋5=13；②当等腰三角形的腰为5，底为4时，等腰三角形的周长为2×5＋4=14，∴这个等腰三角形的周长是13 cm或14cm，故选择C . 【解后反思】在解有关等腰三角形边长问题时，通常要进行讨论，注意分类讨论后一定要运用三边关系检验，所求的结果若能够组成三角形后，才能继续进行有关的计算.【关键词】三角形三边的关系；等腰三角形的性质5.（山东滨州6，3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（）A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【答案】D ．【逐步提示】先根据AC =CD ，∠A =50°，计算出∠ADC 的度数，再由CD =BD ，可知∠B=∠BCD ，从而求出∠B 的度数，BD =BE ，∠BDE =∠BED ，求出∠BDE 的度数，最后根据∠ADC +∠CDE +∠BDE =180°，计算出∠CDE 的度数． 【详细解答】解：∵AC =CD ，∴∠ADC=∠A =50°，又∵CD =BD ，∴∠B=∠BCD ，∠ADC=∠B+∠BCD ，∴∠B=25°，∵BD =BE ，∠BDE =∠BED=77.5°，∠ADC +∠CDE +∠BDE =180°，∴∠CDE =52.5°． 【解后反思】根据“等腰三角形两底角相等”得到角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的2个内角的度数之和．【关键词】等腰三角形 三角形的外角和定理6.（江苏省扬州市，8，3分）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( )A ．6B ．3C ．2．5D ．2(第8题)BC【答案】C【逐步提示】本题考查了操作活动中的估算和大小比较，解题的关键是合理构造等腰直角三角形，使得剩余部分面积的最小，此时每次都要考虑以最大边做斜边才使得剪去的等腰直角三角形面积最大．【详细解答】解：如图所示，剩余三角形的面积为24—1442创—12—1332创=2．5，故选择C ．【解后反思】本题属于数学实验的简单类的问题，在构造等腰直角三角形时，学生可能会构造出如图所示的方法，剩余三角形的面积为24—1442创—12创—12创，错选答案B ．【关键词】 三角形；等腰三角形与直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；四边形；特殊的平行四边形；矩形的性质；面积最小化；化归思想二、填空题1. （ 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，17，4分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB =6cm ，则AC =_____________cm ．第17题图 【答案】6【逐步提示】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是画出折叠之前的矩形纸片，画出折叠之前的矩形纸片之后，一目了然，通过角度之间代换得到△ABC 是等腰三角形，得解．【详细解答】解：由折叠得∠1=∠2，再由矩形纸片对边平行得到∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，所以△ABC 是等腰三角形且AB =AC =6cm ，故答案为6.【解后反思】折叠也就是翻折或轴对称，它连同平移、旋转一样是全等变换，即不改变图形的形状和大小，所以看到折叠就要想到全等，进一步得到对应角相等、对应边相等为进一步解题提供条件． 【关键词】 折叠；矩形的性质；等腰三角形的判定；2. （ 河北省，19，4分）如图，已知∠AOB =7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边.若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A =90°-7°=83°.当∠A <83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1=∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A =_____°. ……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=_______°.【答案】76 6 【逐步提示】本题属于规律探究题，对于（1）先在Rt△A1A2O中根据三角形内角和定理求出∠2的度数，由此得到∠1和∠AA1A2的度数，再在△AA1A2中根据三角形内角和定理求出∠A的度数；（2）由（1）可知当光线垂直于OA时光线会沿原路返回，画出符合题意的图形，分别求出有公共顶点的光线夹角的度数，从而找出夹角变化的规律，问题可解.【详细解答】解：（1）∵A1A2⊥AO，∴∠A1A2A=∠A1A2O=90°.在Rt△A1A2O中，∠O=7°，∴∠2=90°－7°=83°，∴∠1=83°，∴∠AA1A2=180°－2×83°=14°.在Rt△AA1A2中，∴∠A=90°－14°=76°.（2）如图，当A n－1A n ⊥OA时，易求得∠A n A n-1A n-2=14°=1×14°，∠A n-1A n-2A n-3=28°=2×14°,∠A n-2A n-3A n-4=42°=3×14°，……，由此可知当∠A1AC=12×14°=168°时，∠A1AO=12×（180°－168°）=6°，且此时∠A1AO最小.【解后反思】对于规律探究题，解决问题的一般思路是从特殊情形中发现一般规律，进而应用一般规律求解. 【关键词】规律探究题3.（湖北省黄冈市，12，3分）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠AOB=700，AB=AC,则∠ABC= 。
浙江省2018年中考数学总复习专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题试题
专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题热点解读特殊三角形的探究问题，主要会把复杂图形分解出等腰三角形、直角三角形，找相互之间的共性，从而揭示数量关系，同时又要用运动变换的思想分析问题，抓住一些不变的图形和不变的量、等量关系．以特殊三角形为背景的探究性问题是中考热点题型．母题呈现(2017·绍兴模拟)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．对点训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )第1题图A．2 B．3 C．4 D．52．(2017·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC ＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( )第2题图A．4 B．5 C．6 D．73．(2016·长春)感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BA C，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，求证：DB＝DC.应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝________(用含a的代数式表示)．第3题图4．(2016·孝感)感知：如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，D G⊥AE 于点G，可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)拓展：如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF.应用：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为.第4题图5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A 运动，运动时间为t秒(0＜t＜6)，过点D作DF⊥BC于点F.(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；(2)如图1，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；(3)如图2，连结DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？(4)如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？第5题图6．(2017·大连)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E分别在AC，BC上(点D与点A，C不重合)，且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q(点P与点Q不重合)时，设CD＝x，PQ＝y.(1)求证：∠ADP＝∠DEC；(2)求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．第6题图参考答案专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题【母题呈现】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE ＝4.【对点训练】1.B 2.B3．探究：如图2中，作DE⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB. 应用：如图3，连结AD ，作DE⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DC ＝DB ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DF ＝DE ，CF ＝BE ，在Rt △ADF 和Rt △ADE 中，∵AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴△ADF ≌△ADE ，∴AF ＝AE ，∴AB －AC ＝(AE ＋BE )－(AF －CF )＝2BE ，在Rt △DEB 中，∵∠DEB ＝90°，∠B ＝∠EDB ＝45°，BD ＝a ，∴BE ＝22a ，∴AB －AC ＝2a.故答案为：2a.第3题图4．拓展：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠ABE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，∴△A BE≌△CAF (AAS )． 应用：∵在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝2BD ，∴△ABD 与△ADC 等高，底边比值为1∶2，∴△ABD 与△ADC 的面积比为1∶2，∵△ABC 的面积为9，∴△ABD 与△A DC 面积分别为3，6；∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠ABE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，∴△ABE≌△CAF (AAS )，∴△ABE 与△CAF 面积相等，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6，故答案为：6.5．(1)AE ＝tcm ，AD ＝(12－2t )cm. (2)∵DF⊥BC ，∠C ＝30°，∴DF ＝12CD ＝12×2t ＝t.∵AE ＝t ，∴DF ＝AE.∵∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴DF ∥AE.∴四边形AEFD 是平行四边形． (3)①显然∠DFE ＜90°.②如图1，当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，此时AE ＝12AD ，∴t ＝12(12－2t )．∴t ＝3.③如图2，当∠DEF ＝90°时，此时∠ADE ＝90°，∴∠AED＝90°－∠A ＝30°.∴AD ＝12AE.∴12－2t ＝12t.∴t ＝245.综上：当t ＝3秒或t ＝245秒时，△DEF 为直角三角形． (4)如图3，若四边形AEA′D 为菱形，则AE ＝AD.∴t ＝12－2t.∴t ＝4.∴当t ＝4时，四边形AEA′D 为菱形．第5题图6．(1)如图1，∵∠EDE ′＝∠C ＝90°，∴∠ADP ＋∠CDE ＝90°，∠CDE ＋∠DEC ＝90°，∴∠ADP ＝∠DEC. (2)如图1，当C′E′与AB 相交于Q 时，即65＜x≤127时，过P 作MN∥DC′，设∠B ＝α，∴MN ⊥AC ，四边形DC′MN 是矩形，∴PM ＝PQ·cos α＝45y ，PN ＝43×12(3－x )，∴23(3－x )＋45y ＝x ，∴y ＝2512x －52，当DC′交AB 于Q 时，即127＜x ＜3时，如图2，作PM⊥AC 于M ，PN ⊥DQ 于N ，则四边形PMDN 是矩形，∴PN ＝DM ，∵DM ＝12(3－x )，PN ＝PQ·sin α＝35y ，∴12(3－x )＝35y ，∴y ＝－56x ＋52.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－56x ＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫127<x<3，2512x －52⎝ ⎛⎭⎪⎫65<x≤127.第6题图。
2018届初三中考数学复习 特殊三角形 专项复习训练题 含答案-精选学习文档
2019届初三中考数学复习特殊三角形专项复习训练题1. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°2. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )A．25° B．60° C．85° D．95°3. 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )A．有一个内角是60° B．有一个外角是120°C．有两个角相等 D．腰与底边相等4. 给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是( )A．①②③B．①②④ C．①③D．①②③④5. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB 上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形的个数是( )cA．2个B．3个 C．4个D．5个6. 在直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．75°B．60°C．45°D．30°7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝70°，则∠A的度数为( )A．80°B．70°C．60°D．50°8. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则以下判断正确的是( )A．CD＝2AB B．CD＝AC C．CD＝BC D．CD＝AD＝BD9. 若一个直角三角形的一条直角边长为6，斜边长为10，则另一条直角边的长为( )A．4 B．6 C．8 D．1210. 如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，则BD的长为( )A．1 B. 3 C．2 D．2 311. △ABC中，AB＝AC，若∠A＝100°，则∠C＝_____．12. 若AD是等边三角形ABC的中线，则∠BAD的度数是_______．13．如图，BD，CE是等边三角形ABC的两条角平分线，BD，CE相交于点O，则∠BOC 的度数是_______．14. 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形______________．(填序号)15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E 为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为______．16. 如图，强台风过后，一棵大树在离地面3.6 m处折断倒下，倒下部分与地面的接触点离树的底部4.8 m，则该树的原高度为________．17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若BC＝10，AD＝12，则AC＝______．18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_____ cm2.19. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，BP是否存在最小值？并求出BP的最小值．20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E.若∠A＝100°.求证：BC＝BE＋AE.参考答案：1---10 CDCDD DADCD11. 40°12. 30°13. 120°14. ①③或②③15. 1416. 9.6m17. 1318. 619. 解：存在，当BP⊥AC时，BP最小．设AP＝x，则PC＝5－x，由AB2－AP2＝BC2－CP2，得52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝1.4，∴BP＝52－1.42＝4.8，故BP的最小值为4.820. 证明：在BC上截取BD＝BE，连结DE. ∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.又∵BD ＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.。
2018年江西省中考数学《第四单元三角形》总复习检测卷含解析
图8 三、 (本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分 ) 13． (本题共 2 小题，每小题 6 分 )
(1) 计算： 2sin 30 －°2cos 60 ＋°tan 45 . ° (2) 如图 9，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， CD ⊥ AB 于 D ，AC ＝8， AB＝ 10，求 cos∠ BCD 的值．
5． (2017 大连 ) 如图 2，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，CD ⊥ AB，垂足为 D ，点 E 是 AB 的
中点， CD ＝ DE ＝ a，则 AB 的长为 ( )
图2
A ．2a
B．2 2a
C． 3a
43 D． 3 a
6．如图 3，在直角三角形 ABC 中，∠ BAC＝90°，将△ ABC 沿直线 BC 向右平移得到△ DEF ，连接 AD ， AE，则下列结论中不一定成立的是 ( )
图4 9．(2017 鸡西 )如图 5，BC∥ EF ，AC∥DF ，添加一个条件 ________________ ，使得△ ABC ≌△ DEF .
图5 10．如图 6，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，AC＝ 8，AB＝ 10，ED 垂直平分 AC 交 AB 于点 E，则 ED 的长为 __________．
图3
A ． AD ∥BE， AD＝ BE
B．∠ ABE＝∠ DEF
C． ED ⊥AC
D．△ ADE 为等边三角形
二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 )
7．一个角的度数为 30°，它的余角的度数为 __________ ． 8．如图 4，直线 l 1∥ l2∥ l 3，等边三角形 ABC 的顶点 B，C 分别在直线 l2，l3 上，若边 BC 与直线 l 3 的夹角∠ 1＝ 25°，则边 AB 与直线 l1 的夹角∠ 2＝ __________.
2018年中考数学总复习《特殊三角形》专题训练题有答案
2018 初三数学中考复习特殊三角形专题复习训练题1. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A．5，6，7 B．1，4，8 C．5，12，13 D．5，11，122．一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( )A．13 cm B．14 cm C．13 cm或14 cm D．以上都不对3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°4．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A.32B.332C.32D．不能确定6. 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( )A．12 B．16 C．20 D．16或207. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )A．6 B．6 2 C．6 3 D．128. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A．35°B．40°C．45°D．50°9. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( )A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km10. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，611. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为____________．12. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__°．13. ．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____．14．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是__20__.15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.16．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为____．17. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC 边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝____18. 在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．19. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．20. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.参考答案：1---10 CCDDBCAADA11. 13或1012. 40 13. 5 14. 20 15. 2 16. 7 17. 818. 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∴△EDC 是等边三角形，∴DE ＝DC ＝2，在Rt △DEF 中，∵∠DEF ＝90°，DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝4，∴EF ＝DF 2－DE 2＝42－22＝2 319. 解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3 (2)延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 延长线于点E，∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB ，∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝12AE ，∴AE ＝6，即BC 边上高的长为620. 证明：如解图，过点A 作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ，则∠BAD＝∠CAD，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS )，∴∠B ＝∠C(也可过点A 作BC 边上的中线，证△ABD≌△ACD)。
【精品】2018版中考数学：4.2-三角形(含答案)
7．(2018·四川南充，13，3 分)如图，点 D 在△ABC 边 上，CE 平分∠ACD，∠A ＝80 °，∠B＝40°，则 是________度．
解析
∵∠ACD＝∠B＋∠A ，而∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠ACD＝80°＋40°＝120°.
∵CE 平分∠ACD，∴∠ACE＝60°. 答案 60 示的方式放置， 尺的一条直角边
6．(2018·四川巴中，13，3 分)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－2)2＝0， 则第三边 c 的取值范围是________． 解析 答案 由题意得，a2－9＝0，b－2＝0，解得 a＝3，b＝2.∵3－2＝1，3＋2＝5，∴1<c<5. 1<c<5 BC 的 延 长 线 ∠ACE 的大小
1 1 ∴S△CGE＝S△AGE＝ S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝ S△BCF. 3 3 1 1 ∵S△ACF＝S△BCF＝ S△ABC＝ ×12＝6， 2 2 1 1 1 1 ∴S△CGE＝ S△ACF＝ ×6＝2，S△BGF＝ S△BCF＝ ×6＝2， 3 3 3 3 ∴S 阴影＝S△CGE＋S△BGF＝4.6＋4＝13. 答案 A
二、填空题 5．(2018·广东东莞，16，4 分)如图，△ABC 三边的中 CF 的公共点为 G，若 S△ABC＝12，则图中阴影部分 ________． 解析 ∵△ABC 的三条中线 AD， BE， CF 交于点 G， 线 AD ， BE ， 的 面 积 是
∵1＋2＜4，∴1，2，4 不可能是一个三角形的三边；∵4＋5＝9，∴4，5，9 不可能
是一个三角形的三边；∵4＋6＞8，∴4，6，8 能构成一个三角形的三边；∵5＋5＜11，∴5， 5，11 不可能构成一个三角形的三边． 答案 C
中考数学专题练习：特殊三角形 (含答案)
中考数学专题练习：特殊三角形（含答案）1．（·柳州)如图,图中直角三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6,点D在BC上,且AD平分∠BAC,则AD的长为( )A．6 B．5 C．4 D．33．在直角三角形中,如果有一个角是30°,那么下列各比值中,最有可能是这个直角三角形的三边之比的是( )A．3∶4∶5 B．1∶1∶ 2C．5∶12∶13 D．1∶3∶24．（·扬州)在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( )A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC5．（·海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )条A．3 B．4 C．5 D．66．（·宿迁)若实数m、n满足等式|m－2|＋n－4＝0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是( )A．12 B．10 C．8 D．67．等腰三角形的一个内角为40°,则它的顶角的度数为_______________．8．（·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于__________．9．（·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE＋DF＝______．10．（·内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∴△BDE是等腰三角形．参考答案1．C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B7．100°或40°8.2.5 9.2 310．证明：如解图,∵DE∥AC,∴∠1＝∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1＝∠2,∴∠2＝∠3.∵AD⊥BD,∴∠2＋∠B＝90°,∠3＋∠BDE＝90°,∴∠B＝∠BDE,即BE＝DE,∴△BDE是等腰三角形．。
(最新整理)2018年中考数学总复习三角形试题
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单元检测四 三角形(时间90分钟 满分120分）一、选择题(每小题3分，共36分）1.现有3 cm,4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒,任选其中三根组成一个三角形,则可以组成的三角形的个数是（B)A.1B.2C.3D.42.如图，AA',BB'分别是∠EAB,∠DBC的平分线。
若AA'=BB’=AB,则∠BAE的度数为（B）A.150°B.168°C。
135°D.160°3。
如图，两棵大树间相距13 m,小华要从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED。
已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，小华走的时间是(B)A。
13 s B.8 s C.6 s D。
5 s4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10,S△ABD=15,则CD的长为（A)A.3B.4C。
5D。
65。
如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上,若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形,则这样的点C一共有(C）A.7个B。
8个C.10个D。
12个〚导学号92034187〛(第4题图）(第5题图)6.如图，△ABC中，AB=AC,△DEF是△ABC的内接正三角形，则下列关系式成立的是(A)A。