具有最大代数免疫阶弹性函数的构造

ｒｓｌｅｃｒｅ，ｃｍｐｏｓｎｆｔｓｒｐｒｉｓｓｅｐｏｅｅｉｉｎｙｏｄｒｓｏｒｍｉｉｇｏｈｅｅｐｏｅｔｉｘｌｒｄ．ＵｓｎｅｓｅｔａｅｒｓｎａｔｎｆＢｏｌａｅｉｇｔｐｃｒｌｒｐｅｅｔｉｏｏｅｎｈｏ
ｓｕｉｓｏｒｐｏａｈｐｏｅｉｓｉｖｒａｃｎｅｅｅｓｂｅｔａｓｏｍａｉｎ．ｔｄｅｆｃｙｔｇｐｒｐｒｅｎａｎｅｕｄｒｒｖｒｉｌｒｎｆｒｔｒｔｉｏ
ＫｅｒｓＢｏｅｎｆｎｔｎＲｅｉｅｔｏｌａｕｃｉｎ；ｇｂａｃＩｙｗｏｄ：ｏｌａｕｃｉ；ｓｌｎｏｅｎＦｎｔｏｉＢｏＡｌｅｒｉｍｍｕｉｎｔｙ
探讨了如何将布尔函数的多种性质需求达到最优，出了一种构造具有最大代数免疫阶的弹性函数的构给
造方法。
关键词：尔函数；布弹性函数；代数免疫阶中图分类号：７．０１４４文献标识码：Ａ文章编号：６３— ７２２１）６— ０８— ５１７８７（００ｏ０４０
Ｂｎｂ３００Ｃｉ）ｅｇｕ２３０，ｈａｎ
ＡｂｔａｔＴｅｇｏｈｒｃｅｓｃｆＢｏｅｎｆｎｔｎｄｃｄｅｓｃｒｆｒｐｏｒｐｙｔａｃｒｉｘｅｔｏｓｒｃ：ｈｏｄｃａａｔｒｔｓｏｏｌａｃｉｅｉｅｔｅｕｔｏｙｔｇａｈｅｔｎｅｔｎ．Ｆ — ｉｉｕｏｈｉｙｃｏａｃｓｇｏｏｓｕｔｎｒｑｉｍｅｔｏｏｌａｕｃｉｎ，ｈｇｏｌｅｒｉｓｉｈａｇｂａｃｉｕｉｎｃｎｔｃｉｅｕｒｎｒｏｅｎｓｆＢｅｎｆｎｔｏｉｈｎｎｉａｉｅ，ｈｇｌｅｒｉｍｍｕｉｎｉｈｎｔｎｔａｄｈｇｙ
ｍａｉｅｉｌＵｎｖｒｔｓｙ，Ｈｕｉｅ３００，Ｃｈｎ３．ｐｒｍｅｔｏｓｃＣｏｒｅ，ＢｅｇｕＮａａｅｔｆｃｒＡｃｄｍｙ，ａｂｉ２５０ｉａ；ＤｅａｔｎｆＢａｉｕｓｓｎｂｖｌＰｔｕｔｎｏｅｉｅｔＢｌａｕｃｏｓｗｔｘｍｕａｇｂａｃｉｕｃｉｓｏｓｃｏｆｒｓｉｎｏｅｎｆｎｔｎｉｍａｉｍｌｅｒｉｍｍｕｉｓｐｏｏｅａｅｎｏｒｉｌｉｈｎｔｉｒｐｓｄｂｓｄｏｙ
曹浩魏仕民焦胜军，，
（．安徽科技学院１理学院，徽安凤阳２３０；．淮北师范大学，３１０２安徽淮北２５０；３００
３海军蚌埠士官学校．
摘
基础部，安徽
蚌埠
２３０３００）
要：对密码学中布尔函数的构造需求，针利用布尔函数的谱表示，分析了其在可逆变换下的不变性质，
序列密码的安全性主要取决于密钥流生成器的设计，而密钥流生成器的输出通常由一个组合布尔函数控制，因此，尔函数的性能在一定程度决定着密码体制的安全性。近年来，种新的密码攻击方布一法—— 代数攻击通过构造并求解超定多元非线性方程组来求取初始密钥… ，一些传统的密码体制构成对了很大的威胁。作为一种新型有效的密码分析方法，数攻击对布尔函数的设计也提出了新的标准，代即代数免疫性Ｊ衡量布尔函数抵抗代数攻击的能力，被定义为布尔函数ｆｆ，它或＋１的最低次数的零化函数的次数，而零化函数总是存在的（布尔函数的固有性质）。给定一个ｎ元布尔函数ｆ分析者的目标就，是找到ｆｆ或＋１的低次零化函数Ｊ。为抵抗代数攻击，函数的代数免疫阶不能太低。研究代数免疫性与其它密码学性质之间的关系，别是它们之间相互制约的关系，于全面把握布尔函数的密码学性质，特对提高抵抗各种已知攻击的能力，有重要的理论意义和应用价值。具
安徽科技学院学报，０１２（）４５２１，５１：８— ２
ＪｕｎｌｏｈｉＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇｎｖｒｉｏｒａｆＡｎｕｃｅｃｎｅｈｏｏｙＵｉｅｓｔｙ
具有最大代数免疫阶弹性函数的构造
（．ＣＨｇｆｃｅｃ，ｎｕＳｉｃｎｅｈｏｏｙＵｉｒｉ，Ｆｎａｇ２３０，Ｃｉａ２ｕｉｅＮｒ１ｏｅｅｏｉｅＡｈｉｃｎｅａｄＴｃｎｌｎｖｓｙｅｇｎ３１０ｈｎ；．Ｈａｉｏ－Ｓｎｅｇｅｔｙｂ
ＣｏｓｒｃｉｎｏｓｌｎｏｅｎＦｎｔｏｎｔｕｔｏｆＲｅｉｅｔＢｏｌａｕｃｉｎｉｗｉｈＭａｉｕｇｂａｃＩｍｕｉｔｘｍｍＡｌｅｒｉｍｎｔｙ
Ｃ０Ｈｏ，Ｉｈ —ｍｎ，ＩＯＳｅｇｊｎＡａＷＥｉｉＪｈｎ — ｕＳＡ

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几乎最优弹性plateaued函数的性质和构造

摘
要：研究了几乎最优ｐｌａｔｅａｕｅｄ函数的非零线性结构个数，证明了一个具有奇数个变元的几乎最
优ｐｌａｔｅａｕｅｄ函数要么是没有非零线性结构的ｐｌａｔｅａｕｅｄ函数，要么是有一个非零线性结构的部分
几乎最优弹性ｐｌａｔｅａｕｅｄ函数的性质和构造
边康龙，朱海君，董新锋
（１．西安电子科技大学ＩＳＮ国家重点实验室，陕西西安７１００７１；２．张渚高级中学，江苏宜兴２１４２３１；３．保密通信重点实验室，四川成都６１００４１）
ＰｒｏｐｅｒｔｙａｎｄＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆＡｌｍｏｓｔＯｐｔｉｍａｌ
ＲｅｓｉｌｉｅｎｔＰｌａｔｅａｕｅｄＦｕｎｃｔｉｏｎＢＩＡＮＫａｎｇ－ｌｏｎｇ，ＺＨＵＨａｉ－ｊｕｎ，ＤＯＮＧＸｉｎ－ｆｅｎｇ
ｂｅｎｔ函数；一个具有偶数个变元的几乎最优ｐｌａｔｅａｕｅｄ函数的非零线性结构只可能是０，ｌ，３个。还
给出一种构造几乎最优弹性ｐｌａｔｅａｕｅｄ函数的方法，可以使函数无非零线性结构、满足严格雪崩准
ｂｌｅｓｉｓ０，ｌ，ｏｒ３．Ａｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃｏｎｓｔｕｃｒｔｉｎｇａｌｍｏｓｔｏｐｔｉｍａｌｒｅｓｉｌｉｅｎｔｐｌａｔｅａｕｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓａｌｓｏｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．

如何构造一个平滑的最大值函数

如何构造一个平滑的最大值函数在处理最优化问题时，我们常常通过分析导函数来寻找极值点，因此往往希望目标函数是可导的；但在很多实际问题中，目标函数里经常带有取最大值函数，它的存在将破坏函数的可导性。

一个有趣的问题由此产生：能否设计一个平滑的二元函数 f(x,y) ，它的效果近似于 max(x,y) ，足以用来代替最大值函数？在设计这样的函数时，下面这些条件需要尽可能满足：· 函数简洁而美观· 可以调整函数的“平滑度”· 可以很方便地扩展到多个变量我在这里发现了一个非常漂亮的构造： ln(exp(x) + exp(y)) 。

由于 x 和y 都在指数位置上，因此它们的差距将会放得很大。

比方说， 3 和 8 这两个数虽然相隔不远，但 e^3≈20.0855 ，e^8≈2980.96 ，两个幂差了几个数量级。

因此，把 e^3 加到 e^8 上，几乎不会改变 e^8 的大小。

对 e^3+e^8 取对数的结果和直接对 e^8 取对数的结果相差不多。

事实上， ln(exp(3) +exp(8))≈8.00672 ，非常逼近最大值函数的结果。

这个函数有很多好处。

首先，它看上去非常漂亮，并且很容易参与到其它运算中。

其次，它可以非常方便地扩展到 n 个变量的情况，即 ln(exp(x_1) + exp(x_2) + ... + exp(x_n)) 。

另外，这个函数的精确程度是可以控制的。

显然，由于指数函数越到后面变化幅度越大，因此这个函数对尺度较大的变量来说会变得更加精确。

如果把 3 和 8 变成 30 和 80 ，函数结果可以精确到小数点后 20 多位。

因此，我们可以用一个系数 k 来调节变量的尺度，让 x 和 y 同时扩大 k 倍，最后结果再除以 k 。

换句话说，把函数重新写成ln(exp(k·x) + exp(k·y))/k ， k 越大整个函数将越逼近最大值函数， k 越小函数也就变得越平滑。

第6讲--弹性力学的有限元求法

有限元法的求解对象是单元的组合体，待求解的未知变量都定义在单元的结点上，因此作用在弹性体上的外力，需要移置到相应的单元结点上成为结点载荷。载荷移置要满足静力等效原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功 (virtual work)相等。
处于平衡状态的弹性体，真实位移分量发生了位移边界条件所允许的微小改变，这个微小的改变就是虚位移(virtual displacement)。结点的虚位移单元的虚位移
bm yi y j 0 a a
cm x j xi 0 a a
三角形积为形态函数为
a2 A 2
1 1 x Ni (ai bi x ci y ) 2 (0 ax 0) 2A a a 1 1 y Nj (a j b j x c j y ) 2 (0 0 ay ) 2A a a
u( x, y) Ni ( x, y)ui N j ( x, y)u j Nm ( x, y)um
按照上面给出的结点位移，单元实际上产生了刚体位移，对于单元中的任意一个点u(x,y)=1。所以，
1 Ni ( x, y) N j ( x, y) Nm ( x, y)
形态函数的几何意义
1 A 1 xj 2 1 xm 1 xi 1 1 2 yj 1 0 a a 2 2 ym 1 0 0 yi 1 a 0
如果把三个结点按顺时针方向排列，即i(a,0)、j(0,0)、 m(0,a)，行列式的计算结果为负值。
1 A 1 xj 2 1 xm 1 xi 1 1 2 yj 1 0 0 a 2 2 ym 1 0 a yi 1 a 0
f N e
(2-14)
把[N]称为形态矩阵，Ni称为形态函数。

基于S盒设计的多输出Plateaued函数的构造

收稿日期：2019-06-19；修回日期：2019-12-10基金项目：国家自然科学基金资助项目（U1636114，61772550，61572521，61872384）作者简介：翁子盛（1982-），男，福建福清人，工程师，硕士，主要研究方向为密码通信与安全（fjwjwzs@126．com ）；武吉祥（1972-），男，内蒙古卓资人，高级工程师，硕士，主要研究方向为密码通信与安全；车小亮（1987-），男，安徽亳州人，博士，主要研究方向为密码学．基于S 盒设计的多输出Plateaued 函数的构造*翁子盛1，武吉祥2，车小亮2，3（1．武警福建总队综合信息保障中心，福州350003；2．武警部队密码室，北京100089；3．武警工程大学密码工程学院，西安710086）摘要：多输出布尔函数具有输出效率高、安全性好等良好的密码学性质，被广泛应用于S 盒的设计。

利用2m 个单射构造出一类n 元m 输出的多输出Plateaued 函数，该函数具有非线性度高、弹性好的特点，一定条件下满足差分均匀性、严格雪崩准则和（n －1）次扩散准则。

且当n 和m 的值很接近时，构造的多输出Plateaued 函数可以用于S 盒的设计。

关键词：S 盒设计；多输出Plateaued 函数；非线性度；扩散准则；差分特性在密码学中为了提高密钥流生成效率往往需要选用多输出函数。

例如，分组密码中的S 盒具有非线性结构，其安全性取决于S 盒密码学性质的好坏［1］，而S 盒可以表示为一组逻辑函数，即多输出布尔函数［2］。

S 盒的密码学性质就可以用多输出布尔函数的性质来表述［3，4］，所以多输出Bent 函数、多输出部分Bent 函数及其性质被广泛研究［5，6］，并应用到S 盒的设计［7］。

而上述两种多输出函数密码学性质不均衡，为了弥补其缺点，综合非线性性、差分均匀性、代数复杂性、平衡性和相关免疫性等密码性质，多输出Pla-teaued 函数得到广泛研究和应用［8］。

具有良好密码学性质的布尔函数的级联构造

deg f max I 1,2,,n I aI 0
设 2n 为 2n 个元素的有限域, 任意 n -元布尔函数 f 也可以表示为 2n 上的单变元多项式
f x ai xi , ai 2n
i 0
2n 1
其中 a0 , a2n 1 2 , 且对 1 i 2n 2 , ai2 a2i mod 2n 1 . 在单变元表示下 f 的代数次数为
i 0 j 0 2k 1 2k 1
在这种双变元表示下 f 的代数次数为
deg f max 0i , j2k 1 wt i wt j aij 0
Wf a

对任意 f n , 在单变元表示下其在 a 2n 处的变换定义为
Constructing Boolean Functions with Good Cryptographic Properties by Concatenation
WU Bao-Feng, LIN Dong-Dai
State Key Laboratory of Information Security, Institute of Information Engineering, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100093, China Corresponding author: WU Bao-Feng, E-mail: wubaofeng@
2
预备知识
设 2 为二元有限域 . 对正整数 n , 任意从向量空间 2n 到到 2 的映射称为 n - 元布尔函数 . 记 n
为 n - 元布尔函数的全体构成的集合 . 任意 f n , 其支撑集定义为 supp f x 2n f x 1 . 若

满足p次扩散准则的弹性函数的全局雪崩特征

ｄｉ１．９９ｊｉｎ１Ｏ－６５２１．３０８ｏ：０３６／．ｓ．Ｏｌ９．００．９ｓ３１
ＧｌｂｌａａａｃｅｃａａｔｒｓｉｓｏｅｉｅｔＢｏｌａｕｃｉｎｏａｖｌｎｈｈｒｃｅｉｔｃｆｒｓｌｎｏｅｎｆｎｔｏｓｉ
为防止攻击者对密码系统进行相关攻击，９４年Ｓｅｅｔ１８ｉｇｎ— ｈｌ提出了相关免疫函数。这个概念一经提出就引起广泛ａｅｒ
码函数安全的局部性。而ＧＣ从全局着眼，所有点都提出Ａ对
ｓｔｓｙｎｒｐｇｔｎｃｉｒｏｆｄｇｅａｉｆｉｇｐｏａａｉｒｔｉｎｏｅｒｅＰｏｅ
ＣＨＯＮＪｎｆｎＧｉ—ｅｇ，ＺＨＵｅｐｎＯＺ —ｅｇ，
（．ｃｏｌｆＭａｈｍａｉｌｃｎｅｕｉｅＮｏｌＵｉｒｔ１Ｓｈｏｔｅｔａｉｃ，Ｈａｂｉｒｎｖｓｙ，Ｈａｂｉｎｕ２５０ｏｃＳｅｍａｅｉｕｉｅＡｈｉ３００，Ｃｉａ．ａｉａｅａｏａｏｙｏｔｒｔｈｎ；２ＮｔｎｌＫｙＬｂｒｔｒｆＩｅａｅｏｎｇｄ
）２ ∈Ｆ。本文用曰表示所有ｎ元布尔函数
的慨念，出弹性函数的概念。Ｓｇｎｈｌ不等式表明，提ｉｅｔａｒｅｅ
的集合，用① 表示上的加法。对于任意ｆ）都能表（ｅＢ，
示成代数正规型的形式（Ｎ）ＡＦ：

弹性力学有限元-06-三角形单元

第六章有限元法
第6章有限元法
6.1 概述 The finite element method
在17世纪，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。
在18世纪,著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。另一位数学家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。
1960年，美国加州大学伯克利分校的R.W.Clough教授在论文中提出了“有限单元”，这样的名词。值得骄傲的是我国南京大学冯康教授在此前后独立地在论文中提出了“有限单元”
第6章有限元法
The finite element method
有限元计算方法作为一种技术更多的与FEM软件的发展紧密的结合起来。方法不断更新，优胜劣汰，传承和发展.有限元算法（FFE）。在传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算法（DirectSolver）与迭代法（Iterative 所谓快速解法）两种。
3、单元内任意点的位移列阵f
{ f } [u ]T
（6-3）
y
m
v
·
u
j
i
y
m
· j
i
x
x
图6-1
4、单元内任意点的应变列阵
{} [ x y xy ]T
（6-4）
5、单元内任意点的应力列阵
{} [ x y xy ]T
y
m
· j
i
（6-5）
6、几何方程（Geometric equax tions）
3
1
3
5
7
9
66 6
④
⑤
555
单元、节点需编号
8

一类弹性布尔函数的谱值分布

关键词：密码学；尔函数；布弹性布尔函数；ｌ谱ＷａｈｓＤＯ：０３７￣ｉｎ１０－３１００３．３文章编号：０２８３（００３ —０２０文献标识码：中图分类号：Ｎ９８Ｉ１．８．ｓ．０２８３．１．１２７ｓ２０１０ —３１２１）１０８－４ＡＴ１
ｃｎｔｃｅ［】ｉａａｚｄｄｔｅｎｍｅａｏｆｔｅＷａｓｐｃｒｍｓｇｖｎｏｓｕｔｄｉ１ｓｎｌｅ．ｈｕｒｔｎｏｈｌｓｅｔｒｎｙＡｎｉｈｕｉｉｅ．
ＫｅｒｓｃｙｔｇａｈＢｏｌａｕｃｏｒｓｉｎｏｅｎｆｃｉｎ；ａｓｐｃｒｍｙｗｏｄ：ｒｐｏｒｐｙ；ｏｅｎｆｎｔｎ；ｅｉｅｔＢｏｌａｕｔｉｌｎｏＷｌｈｓｅｔｕ
ａｄＡｐｉｔｎ，００４（１：２８．ｎｐｌａｉｓ２１，６３）８－５ｃｏＡｂｔａｔａｋａｉｎａｃｎｔｃｉｆｏｄｖｒｂｅｅｉｅｔＢｏｅｎｆｎｔｎｎ［］ｗｉｈｈｖｉｈｎｎｉｅｒ，ｓｃ：Ｓｒａｈｓｇｖｏｓｕｔｎｏｄ。ａｉｌｓｒｓｉｏｌａｕｃｏｓｉ１，ｈｃａｅｈｇｏｌａｔｒｅｒｏａｌｎｉｎ பைடு நூலகம் ｙ
ＣｍｕｒｎｉｅｉｎＡｐｉｔｎ计算机工程与应用ｏｐ￣ｇｎｒｇａｄｐｌａｉｓＥｅｎｃｏ
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一
类弹性布尔函数的谱值分布

最高非线性度旋转对称布尔函数与最优代数免疫函数

最高非线性度旋转对称布尔函数与最优代数免疫函数
黄景廉;王卓
【期刊名称】《计算机科学》
【年(卷),期】2016(043)011
【摘要】研究了旋转对称布尔函数的最高扩散次数、最高非线性度、代数免疫性和最优代数免疫函数的存在性与构造等问题.利用导数和e-导数证明了非线性度达到最高的旋转对称布尔函数的存在性,并利用导数,由扩散性达到最高n次的Bent 函数采验证一类旋转对称Bent函数的存在性.同时证明了1阶代数免疫和2阶以上代数免疫旋转对称布尔函数的存在性.另外,利用旋转对称Bent函数构造了非齐次完全旋转对称最优代数免疫布尔函数以及一类众多的最优代数免疫布尔函数,并证明了这两类函数的存在性.同时,也得到了非齐次完全旋转对称相关免疫布尔函数.【总页数】5页(P230-233,241)
【作者】黄景廉;王卓
【作者单位】西北民族大学电气工程学院兰州730030;西北民族大学电气工程学院兰州730030
【正文语种】中文
【中图分类】TP309
【相关文献】
1.代数免疫度最优的旋转对称布尔函数的构造 [J], 李超;薛朝红;付绍静
2.几类对称布尔函数的非线性度、代数次数和代数免疫阶 [J], 孙光洪;武传坤
3.代数免疫度最优的偶数元旋转对称布尔函数的构造 [J], 陈银冬;向洪艳;张亚楠
4.具有最优代数免疫度的偶数元旋转对称布尔函数的构造 [J], 陈银冬;张亚楠;田威
5.旋转对称布尔函数的最高非线性度与最优代数免疫 [J], 黄景廉;张椿玲
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结构动力学第七章

7.1 Rayleigh 法
• Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。 • 对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程中的最大应变能与最大动能相等而求得。 • 对于具有任意自由度的结构体系，用Rayleigh法求其基频有两种处理方式，一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模态中的变形形状和运动幅值（广义坐标）变化规律，将连续的结构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散坐标系中应用同样的方法求解结构基频。本节重点介绍Rayleigh 法在多自由度离散坐标系中的原理和应用。
0 0 i =1
n
n n l ⎡ ⎤ ∂ ⎧ l ⎤⎫ 2 2 2 2 ⎡ 2 2 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⋅ ⎨ ∫0 EI [U ′′( x)] dx −ω ⎢ ∫0 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⎬ = 0 i i ⎢ i =1 i =1 ⎣ ⎦ ∂ai ⎩ ⎣ ⎦⎭
ω =
2
∫
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
2
∫ m( x)U
( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
i =1
n
n ⎡ ⎤ 2 EI [U ′′( x)] dx = ω ⎢ m( x)U ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) ⎥ i ∫0 i =1 ⎣ ⎦ l 2 2
代入上式，得
式中：U(x) —振型函数。
l 1 l 1 2 2 2 & 体系的动能为 T (t ) = ∫ m( x)[u ( x, t )] dx = ω cos (ωt + φ ) ∫ m( x)U 2 ( x)dx 0 0 2 2 体系最大动能为 T = 1 ω 2 l m( x)U 2 ( x)dx max 2 ∫0

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