33391_《垂直的判定与性质》文字素材1(新人教版A必修2)

垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ?α，n ?α，则l ⊥α3.面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作αβ⊥.4.判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直→面面垂直）5.线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（线面垂直→线线平行）6.面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为：若αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥，则a β⊥.（面面垂直→线面垂直） 【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值.【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心.【例4】已知Rt ABC ∆，斜边BC //平面α，,A α∈AB ，AC 分别与平面α成30°和45°的角，已知BC =6，求BC 到平面α的距离.【例5】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°,（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）当1CD CC 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P .（1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF .【例2】如图,在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA ==,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD . 【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面．【例4】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，D 、E 分别是侧棱BB 1、CC 1上的点，且EC =BC =2BD ，过A 、D 、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比. 【例5】如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：CD ⊥PD ；（2）求证：EF ∥平面PAD ；C 1B 1CB Aα（3）当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？【例1】把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？ 【例2】如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB各对平面.【例3】三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==,PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O △ABC 的外心.【例4】三棱锥P ABC -中，三个侧面与底面所成的二面角相等，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的内心.【例5】在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC . （1）若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1； （2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）如果截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ，那么AM =MA 1吗？请你叙述判断理由.【例6】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（1）求证：AC PB ⊥；（2）求证：//PB 平面AEC ；（3）求二面角E AC B --的大小.【例7】如图，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的正切值； （2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ?α，n ?α，则l ⊥α3.面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作αβ⊥.4.判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直→面面垂直）5.线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（线面垂直→线线平行）6.面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为：若αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥，则a β⊥.（面面垂直→线面垂直） 【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC =，12//FG BD =. 又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==， ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C =， ∴BD ⊥平面ACD .【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值.解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D 于O ，连AO .由已知正方体，易知EO ⊥平面11ABC D ，所以EAO ∠为所求. 在Rt EOA ∆中，11122EO EF A D ==AE ==sin EO EAO AE ∠==. 所以直线AE 与平面11ABC D. 【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心.证明：连接OA 、OB 、OC ，∵PO ⊥平面ABC ，∴,PO BC PO AC ⊥⊥.又∵PA BC PB AC ⊥⊥，，∴BC PAO AC PBO ⊥⊥平面，平面，得AO BC BO AC ⊥⊥，, ∴O 为底面△ABC 的垂心.【例4】已知Rt ABC ∆，斜边BC //平面α，,A α∈AB ，AC 分别与平面α成30°和45°的角，已知BC =6，求BC 到平面α的距离.解：作1BB α⊥于1B ，1CC α⊥于1C ，则由//BC α，得11BB CC =，且1CC 就是BC 到平面α的距离，设1CC x =，连结11,AB AC ，则1130,45BAB CAC ∠=∠=，∴,2AC AB x ==，在Rt ABC ∆中，6,90BC BAC =∠=，∴223624x x =+，∴x =，即BC 到平面α的距离为．【例5】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°,（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）当1CD CC 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？解：（1）证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于点O ，连结C 1O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B =C 1D∵DO =OB ，∴C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ∴BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1，∴C 1C ⊥BD .（2）由(1)知BD ⊥平面AC 1，∵A 1O ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1C ，当1CD CC=1C 1B 1CB Aα时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC 1⊥A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD .【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P .（1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF .证明：（1）如右图，∵∠APE =∠APF =90°，PE ∩PF =P ， ∴PA ⊥平面PEF .∵EF ⊂平面PEF ，∴PA ⊥EF .（2）∵∠APE =∠EPF =90°，AP ∩PF =P ，∴PE ⊥平面APF . 又PE ⊂平面PAE ，∴平面APE ⊥平面APF .【例2】如图,在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA ==,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD .证明：,AB BC G =为AC 中点，所以AC BG ⊥. 同理可证,AC DG ⊥∴AC ⊥面BGD . 又易知EF //AC ，则EF ⊥面BGD .又因为EF ⊂面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BGD . 【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：1A BD BED⊥平面平面． 证明：连接AC ，交BD 于F ，连接1A F ，EF ，1A E ，11A C .由正方体1111ABCD A B C D -，易得11A D A B =，ED EB =，F 是BD 的中点，所以1,A F BD EF BD ⊥⊥，得到1A FE ∠是二面角1A BD E --的平面角.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则222221126A F A A AF =+=+=，2222213EF CE CF =+=+=， 2222211119A E A C CE =+=+=.∴22211A F EF A E +=，即1A F EF ⊥，所以1A BD BED ⊥平面平面.【例4】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，D 、E 分别是侧棱BB 1、CC 1上的点，且EC =BC =2BD ，过A 、D 、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.解：（1）延长ED 交CB 延长线于F ，1//,,.1202DB EC BD EC FB BC AB ABF =∴==∠=︒又，∴30BAF BFA ∠=∠=︒，90FAC ∠=︒.∵,AA AF AC AF '⊥⊥，∴,AF AE EAC ⊥∠为截面与底面所成二面角的平面角.在Rt △AEC 中，EC =AC ，故得∠EAC =45°.（2）设AB =a ，则3112,,,23A BCED BCED AA a BD a EC a V h S-'===∴=⋅=，2332,A B C ABC ABC ADE A B C V S AA a V '''''''-∆-'=⋅=⋅==.∴3ADE A B C A BCDE V S '''--=.【例5】如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：EDC 1B 1A 1CBACD ⊥PD ；（2）求证：EF ∥平面PAD ；（3）当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？ 解：（1）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，CD ⊥平面PAD .∴CD ⊥PD .（2）证明：取CD 中点G ，连EG 、FG ，∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG ∥AD ，FG ∥PD .∴平面EFG ∥平面PAD ，故EF ∥平面PAD .（3）当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时，直线EF ⊥面PCD . 证明：G 为CD 中点，则EG ⊥CD ,由(1)知FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角.即∠EGF =45°，从而得∠ADP =45°，AD =AP .由Rt △PAE ≌Rt △CBE ,得PE =CE .又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，CD ⊥EF 即EF ⊥CD ，故EF ⊥平面PCD .【例1】把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？ 解： 【例2】如图，的直径，C PA ⊥平面ABC . （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.解：（1）证明：∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC . 又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC .∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC .（2）平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD .【例3】三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==,PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的外心.证明：连接OA 、OB 、OC ，∵PO ⊥平面ABC ，∴,,PO OA PO OB PO OC ⊥⊥⊥. 在△PAO 、△PBO 、△PCO 中，90POA POB POC ∠=∠=∠=︒, PA PB PC ==,PO 边公共.∴POA POB POC ∆≅∆≅∆.∴OA OB OC ==, 所以，O 为底面△ABC 的外心.【例4】三棱锥P ABC -中，三个侧面与底面所成的二面角相等，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的内心.【证】作PD AB ⊥于D ，PE BC ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，连接OD 、OE 、OF .∵PO ⊥平面ABC ，∴,,PO OD PO OE PO OF ⊥⊥⊥，,,PO AB PO BC PO AC ⊥⊥⊥.又∵,,PD AB PE BC PF AC ⊥⊥⊥,∴,,AB PDO BC PEO AC PFO ⊥⊥⊥平面平面平面. 得,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥,∴,,PDO PEO PFO ∠∠∠为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得PDO PEO PFO ∠=∠=∠，∵PO 边公共，∴PDO PEO PFO ∆≅∠≅∠，得OD OE OF ==，⇒⎭⎬⎫⊂⊥ααa AC ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥A AB AC AB a ACa BC a ABC BC ABC a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面又∵,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥.∴O 为底面△ABC 的内心.【例5】在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .（1）若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）如果截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ，那么AM =MA 1吗？请你叙述判断理由.解：（1）证明：∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ,∴AD ⊥CC 1. （2）证明：延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N .∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1。