0803-第三节 均匀设计表的构造和运用

第三节 均匀设计表的构造和运用

本节介绍均匀设计表的构造和使用表的来源，其中均匀性度量──偏差将起关键作用，我们将介绍偏差的定义，并给出正交设计与均匀设计各自偏差的比较，从中可以了解为什么均匀设计可以比正交设计节省试验次数，本节还介绍拟水平在均匀设计中的使用和有关表的构造，熟悉本节内容对于正确理解和使用均匀设计有很大帮助。

3.1 均匀设计表的构造

定义1 每一个均匀设计表是一个方阵，设方阵有n 行m 列，每一行是{1，2，...，n}的一个置换(即1，2，…，n 的重新排列)，表的第一行是{1，2，…，n}的一个子集，但不一定是真子集。

显然，第一章表4-6列举的U 6*(64)，U 7(74)和U 7*(74

)都符合上述定义。

符合定义1的均匀设计表数量太多，本节仅介绍用好格子点法(good lattice point)构造的均匀设计表，其方法如下：

1) 给定试验数n ，寻找比n 小的整数h ，且使n 和h 的最大公约数为1。符合这些条件的正整数组成一个向量h ＝(h 1，…，h m )。 2) 均匀设计表的第j 列下法生成

i ij ih u =[mod n] (3.1)

这里[mod n] 表示同余运算，若jh i 超过n ，则用它减去n 的一个适当倍数，使差落在[1，n] 之中。U i j 可以递推来生成

u h j j 1= ????

?-++=+n h u h u u j ij j

ij j i ,1n

h u n h u j ij j ij >+≤+若若1,,1-=n i (3.2)

例如，当n ＝9 时，符合条件1)的h 有1，2，4，5，7，8；而

h=3 或h=6 时不符合条件1)，因为最大公约数(3，9)=3 ，(6，9)=3，均大于1.所以9U 最多只可能有6列，又如当h 34=时，用公式 (3.2) 来生成该列时其结果依次如下:

u u u u u u u u u 1323334353637383

93444884123934774112924664101914559

==+==+===+==+===+==+===+==+,,(mod ),(mod )

,(mod ),

其结果列于表16的第三列。

表16 U 6

用上述步骤生成的均匀设计表记作U n n m () ，向量h 称为该表的生成向量，有时为了强调h 的作用，可将U n n m () 记成U h n (). 给定n ，相应的h 可以象上例那样方便地求得，从而m 也就确定.所以m 是n 的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n) .这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多少列.下面的结果来自数论：

i)当n 为素数时 ，E(n-1)=n-1所谓素数就是一个正整数，它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为1.如2，3，4，5，11，13，…均为素数。

ii)当n 为素数幂时，即n 可表成n=p l ，这里p 为素数l ，l 为正整数，这时

E n n p

()()=-11 (3.3)

例如n=9 可表为n =32 ，于是

E ()()99113

6=-=

即U 9至多可以有6列。

iii)若n 不属于上述两种情形，这时n 一定可以表为不同素数的方幂积，即

n p p p l l

s l s

=121

2

(3.4)

这里 p p s 1,, 为不同的素数，l l s 1,, 为正整数，这时

E n n p ()()=-

11…()11-p s

(3.5)

例如n=12 可表为n=232? ，于是

E ()()()121211211

3

4=--=

即U 12 最多只可能有4列。

上述三种情形中，以素数情形为最好，我们最多可以获得n-1列，而非素数情形，在上述表的结构中永远不可能有n-1 列，例如n=6=2311? ，此时E ()()()66112

113

2=--=，这说明，当n=6 时，用

上述办法生成的均匀设计表只有2列，即最多只能安排两个因素，这是太少了，为此，王元，方开泰(1981)建议，可将 U 767() 表的最后一行去掉来构造U 6 ，为了区别于由(3.2) 生成的均匀设计表，我

们记它为 U 666*() ，在U 的右上角加一个“*”号，表U 6

66*()列于表17，对照表16我们看到U 表和U *表之间的关系和各自特点： i)所有的U n *表是由U n +1 表中划去最后一行而获得；

ii)U n 表的最后一行全部由水平n 组成，U n *表的最后一行则不然。若每个因素的水平都是由低到高排列，U n 表中最后一号

表17 )6(6*U

验中，所有最高水平组合在一起可能使反应过分剧烈，甚至爆炸。反之，若每个因素的水平都是由高到低排列，则U n 表中最后一号试验将是所有低水平的组合，有时也会出现反常现象，甚至化学反应不能进行。U n *表则没有类似现象，比较容易安排试验。

iii)若n 为偶数，U n

*

表比U n 表有更多的列。如上面讨论过的U 6表只有2列，而U n *表可以有6列。

iv)若n 为奇数，则U n *表列数通常少于U n 表。

v)U n *表比U n 表有更好的均匀性，应优先采用 U n *表，其细节将在下节讨论。

vi)若将U n 或U n *的元素组成一个矩阵的秩最多分别为E n ()+12

及

E n ()++11

2

。 3.2 均匀性准则和使用表的产生

在1.6 节曾指出均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列，那么使用表又是如何产生的呢？设我们要从均匀设计表U n n m ()中选出s 列，则可能的选择有()s m 种可能，我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好”和“坏”有明确的含义，表U n n m ()是由它的生成向量h h h m =(,,)1 所唯一确定的，选择s 列，本质上就是从h 中选择s 个h h m 1,, ，由这s 个数生成的均匀设计表为U h h n i i (,,) ，这是一个n ×s 矩阵。它的每一行是s 维空间R s 中的一个点，故n 行对应R s 中的n 个点，若这n 个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。因此，比较两个均匀设计表U h h n i is (,,)1 和U h h n j js (,,)1 的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性。于是我们必须给出均匀性度量。

度量均匀性准则很多，其中偏差(discrepancy) 是使用历史最久，为公众所广泛接受的准则，我们先给出它的定义。 设U n n m () 是一个均匀设计表，若把它的每一行看成m 维空间的一个点，则U n n m () 给出了n 个试验点，这些点的坐标由{1，2，…，n} 组成，用线性变换将{1， …，n} 均匀地变到(0，1)之间如下： i i n

i n →-=21212,,,,

若用qki 表示U n n m ()中的元素，则上面的变换等价于令

n ,,1k ),x ,,x (x n

,1k ,m ,,1i ,n

21

qki 2x km 1k k ki ====-=

(3.6)

于是n 个试验点变换成[,]01m m C = 中的n 个点：x x n 1,, .考虑原n 个试验点的均匀性，等价于考核x x n 1,, 在C m 的均匀性。

定义 2 设x x n 1,, 为C m 中的n 个点，任一向量x x x C m m =∈(,,)1 ，记v x x x m ()=1 为矩形[0，x]的体积，n x 为x x n 1 中落入[0，x]的点数，则

()x v n

n

s u p )x ,,x (D x C x n 1m -=∈

(3.7)

称为点集{,,}x x n 1 在C m 中的偏差(discrepancy)。

为什么偏差可以用于度量点集散布的均匀性呢？若n 个点

x x n 1,, 在C m 中散布均匀，则n n x /

表示有多少比例的点落在矩形[0，

x]中，它应当和该矩形的体积v(x)相差不会太远。 如果用统计学的语言来解释偏差，令

∑=≤=n

1

k k n }x x {I n 1)x (F

(3.8)

表示的{,,}x x n 1 经验分布函数，式中I{.}为示性函数，令F(x)为 C m 上均匀分布的分布函数，于是(3.7) 定义的偏差可表为

()()x F x F sup )x ,,x (D n R x n 1m

-=∈ (3.9)

偏差实际上就是在分布拟合检验中的Kolmogorov-Smirnov 统计量，它给出了经验和理论分布之间的偏差。

在C m 中任给n 个点x x n 1,, ，如何计算它们的偏差对均匀设计表的构造十分重要。长期以来，一直没有人编出一个实用的算法。当方开泰在1978年提出均匀设计时，只好把偏差展开成级数，取其首项，给出近似偏差的准则。此方法方便计算，但有时有大的偏差，而且只适用于格子点法构造的均匀设计，不能计算正交设计等其它方法所产生试验点的偏差，最近Bundschuh 和Zhu(朱尧辰)[17] 给出了计算偏差的算法，当因素数不太多时，他们的算法可以精确地求出任何点集的偏差，他们已用MATLAB 编出有关的程序，本讲议中的计算，都是用该程序获得的。

设我们要从均匀设计表U n n m ()中选出s 列，使其相应的均匀设计有最小的偏差.当m 和s 较大时，由m 列中取出s 列的数目有()s m 之多，要比较这么多组点集的均匀性工作量很大.于是需要有简化计算和近似求解的方法.详细讨论可参看方开泰[2]，方开泰、郑胡灵[12]等.这里仅仅介绍利用整数的同余幂来产生h h i i s

1

,, 的办法。

令a 为小于n 的整数，且a ，a 2(mod n)，…，a t (mod n)互不相同，a t+1=1(mod n)，则称a 对n 的次数为t ，例如 222423211234====,,, (mod 5) 则2对5的次数为3.又如

333935343112345=====,,,, (mod 9)

表示3对9的次数为4.一般若a 对n 的次数大于或等于s-1，且(a ，n)=1，则可用

(,,,)a a a s 01 - (mod n) (3.10) 作为生成向量，故a 称为均匀设计的生成元.然后在一切可能的a(最多n-1个)中去比较相应试验点的均匀性，工作量则大大减少.理论和

实践证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性.于是，给定n 和s ，只要求得最优的a，便可获得生成向量，从而获得相应的均匀设计表。

表18对奇数n(5≤n≤31，n=37)给出了U

n

表的生成元及其相应均匀设计的偏差.同时对偶数n(6≤n≤30)给出了U

n

*表的生成元和相应的偏差.类似地，对奇数n，我们也获得U

n

*表的生成向量和相应均匀设计表的偏差(表19).表18和19的结果取自Fang and Li[14].综合两个表的结果，我们有如下的说明。

i)对奇数n，U

n

*表比U n表有更好的均匀性，例如n=15，s=4

时，U15(154)的偏差为D=0.2772，而U

15

4 15

*()的偏差为D=0.1511，后者比前者相对降低了

027*******

027724549%

..

..

-

=

表19中p%一列给出了所有情形偏差降低的百分比.为了直观起见，我们将表18和表19的偏差点成图11.我们按s=2，3，4，5分成四个图.图中“+”表示奇数n的U

n

表的偏差，“*”表示偶数

表18 U和U*的生成元和相应设计的偏差

U

n

*

n s 生成向量 D p%

7 2

3 (1，5)

(3，5，7)

0.1582

0.2132

34.03

42.70

9 2

3 (1，3)

(3，7，9)

0.1574

0.1980

19.03

36.17

11 2

3 (1，5)

(5，7，11)

0.1136

0.2307

30.39

12.91

13 2

3

4 (1，9)

(1，9，11)

(1，5，9，11)

0.0962

0.1442

0.2076

31.53

37.52

33.18

15 2

3

4

5 (1，7)

(1，5，13)

(1，5，9，13)

(5，7，9，11，15)

0.0833

0.1361

0.1511

0.2090

32.44

33.38

45.49

24.60

17 2

3

4 (1，7)

(1，7，13)

(7，11，13，17)

0.0856

0.1331

0.1785

22.11

27.35

28.63

19 2

3

4

5 (1，9)

(1，3，11)

(1，3，7，11)

(7，9，11，13，19)

0.0755

0.1372

0.1807

0.1897

23.74

17.35

20.64

33.32

21 2

3

4

5 (1，13)

(1，7，9)

(1，5，7，13)

(1，9，13，17，19)

0.0679

0.1121

0.1381

0.1759

28.30

29.10

33.89

32.86

23 2

3 4 5 (1，17)

(11，17，19) (1，7，13，19)

(11，13，17，19，23) 0.0638 0.1029 0.1310 0.1691 29.62 26.34 32.12 30.35 25 2

3 4 5 (1，11) (3，5，25) (5，7，9，25)

(11，15，17，19，21) 0.0588 0.0975 0.1210 0.1532 23.04 24.65 32.52 32.24 27 2

3 4 5 (1，11) (1，9，15)

(1，11，15，25)

(5，13，17，19，27) 0.0600 0.1009 0.1189 0.1378 15.49 16.27 28.93 34.85 29 2

3 4 5 (1，19)

(1，17，19)

(1，17，19，23)

(13，17，19，23，2) 0.0520 0.0914 0.1050 0.1730 16.27 18.97 34.21 12.93 31 2

3 4 5

(1，9)

(1，9，19)

(3，13，21，27) (5，9，11，17，19)

0.0554 0.0908 0.1100 0.1431

10.93 14.34 25.52 23.64

U n *

表的偏差，“0”为奇数n 的U n *表的偏差。由四个图中也明显看

到U n *表有更好的均匀性。

ii) 若n 固定，当s 增大时，U n 表(或U n *表)的偏差也随之增大。若s 固定，U n 表的偏差随n 的增大而减小。而U n *表的偏差一般也随n 的增大而减少，但有少数例外，其原因是它们的U n +1表的可能列数E(n+1)不太多，由其中选择s 的可能组合也不多，从而最小偏差相对偏大。

iii)表18列举的U n * 和U n 是由生成元方法生成的，其生成向量具有(3.10)的结构，而表19的U n *是考虑从U n +1表中选出s 列的一切可能的组合，所以生成向量中不一定包含1，当然也不具有(3.10)的结构。

为了使用者的方便，已将表18和表19的结果用U n (或U n *)表及其使用表形式列于本书附录I 。所以，读者可以对照附录I 的诸表和

表18，19来加强对均匀设计表构造的理解。由于在大部分情形下，

因素数≤7，故附录公仅给出s≤7的使用表，并且删去U

n (或U

n

*)表

中没有用到的列。

值得指出的是，均匀性度量的方法很多，最初王元，方开泰[3]提出了近似偏差(discrepancy)的均匀性准则，利用这个准则，他们给出了n≤31的使用表。丁元[5]利用最优试验设计理论中的A-最优和D-最优准则，给出了相应的使用表，类似于丁元的思想，张学中[23]用设计

矩阵的条

件数作为

均匀性指

标，并且

对n≤31

及n=53

用多种准

则给出了

使用表，

蒋声和陈

瑞琛[6，7]

从几何的

观点提出

了体积距离的度量。方开泰和郑胡灵[12]也是从几何的角度建议用最大对称差的条件来度量均匀性，并提出均匀性度量必须要满足的条件，方开泰和张金廷[11]总结是纳了各种均匀性准则，系统地讨论了它们的关系和比较它们的优劣，最终推荐了由设计矩阵所诱导矩阵的特征的方差作为均匀性标准，并且也给出了n≤31的使用表。

3.3 混合水平的均匀设计表

由于实际情况千变万化，在应用均匀设计时会面临许多新情况，需要灵活加以应用。本文所列举的文献中，不少作者有许多巧妙的应用和建议，很值得参考。如王鹏等[21]在文中建议：a)均匀设计与调优方法共用；b)分组试验；c)拟水平法。本节仅介绍拟水平法在均匀设计法中的应用。若在一个试验中，有二个因素A和B为三水平，一个因素C为二水平。分别记它们的水平为

21321321C ,C B ,B ,B ,A ,A ,A 和。

这个试验可以用正交表L 18723()?来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比L 18更小的正交表来安排这个试

验。是否可以用均匀设计来安排这个试验呢？直接运用是有困难的，这就要运用拟水平的技术。若我们选用均匀设计表U 666*()，按使用表的推荐用1，2，3前3列。若将A 和B 放在前两列，C 放在第3列，并将前两列的水平合并：{1，2}?1，{3，4}?2，{5，6}?3。同时将第3列水平合并为二水平：{1，2，3}?1，{4，5，6}?2，于是得设计表(表20)。这是一个混合水平的设计表U 62132()?。这个表有很好的均衡性，例如，A 列和C 列，B 列和C 列的

表20 拟水平设计U 2132()?

二因素设计正好组成它们的全面试验方案，A 列和B 列的二因素设计中没有重复试验。可惜的是并不是每一次作拟水平设计都能这么好。例如我们要安排一个二因素(A ，B)五水平和一因素(C)二水平的试验。这项试验若用正交设计，可用L 50表，但试验次数太多。若用

均匀设计来安排，可用U 101010*

()。由使用表指示选用1，5，7三列。对1，5列采用水平合并{1，2}?1，…，{9，10}?5;对7列采用水平合并{1，2，3，4，5}?1，{6，7，8，9，10}?2，于是得表21的方案。这个方案中A 和C 的两列，有二个(2，2)，但没有(2，1)，有二个(4，1)，但没有(4，2)，因此均衡性不好。

表21拟水平设计U 21

表22 拟水平设计U252

()

?

若选用U

10

10 10

*()

获得表22列举的U

10

2

52

()

?表，它有较好的均衡性。由于U1010

10

*()表有

10列，我们希望从中选择三列，由该三列生成的混和水平表U

10

2

52 ()

?

既有好的均衡性，又使偏差尽可能地小，经过计算发现，表22给出的表具有偏差D=0.3925，达到了最小。

附录II给出了一批用拟水平技术而生成的混合水平的均匀设计表。

3.4 均匀设计和正交设计的比较

正交设计和均匀设计是目前最流行的两种试验设计的方法，它们各有所长，相互补充，给使用者提供了更多的选择。本节将讨论两种试验设计的特点。

首先正交设计具有正交性，如果试验按它设计，可以估计出因素的主效应，有时也能估出它们的交互效应。均匀设计是非正交设计，它不可能估计出方差分析模型中的主效应和交互效应，但是它可以估出回归模型中因素的主效应和交互效应(参见1.3节)。

正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为水平数的平方。如果一项试验，有五个因素，每个因素取31水平，其全部组合有3128625151

5=个，若用正交设计，至少需要做961312

=次试验，

而用均匀设计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。

均匀设计提供的均匀设计表在选用时有较多的灵活性。例如，

一项试验若每个因素取4个水平，用L

16

5

4()来安排，只需作16次试

验，若改为5水平，则需用L

25

6

5()表，作25次试验。从16次到25

次对工业试验来讲工作量有显著地不同。又如在一项试验中，原计

划用均匀设计U

13

5 13

*()来安排五个因素，每个有13个水平。后来由于

某种需要，每个因素改为14个水平，这时可用U

14

5 14

*()来安排，试验次数只需增加一次。均匀设计的这个性质，有人称为“试验次数随水平增加有“连续性”，并称正交设计“有跳跃性”。

正交设计的数据分析程式简单，有一个计算器就可以了，且“直观分析”可以给出试验指标Y随每个因素的水平变化的规律。均匀设计的数据要用回归分析来处理，有时需用逐步回归等筛选变量的技巧，非使用电脑不可。

下面我们对两种设计的均匀性作一比较。在3.2节我们曾通过

线性变换将一个均匀设计表U n

n m

()的元素变到(0，1)中，它的n行对

应于C m中的n点。用类似的方法，也可以将L S

n m

()表变换为C m中的n 点。这两个点集的偏差可以衡量它们的均匀性，或代表性。要合理地比较两种设计的均匀性并不容易，因为很难找到二个设计有相同的试验数和相同的水平数，一个来自正交设计，另一个来自均匀设计。由于这种困难，我们从如下三个角度来比较：

i)试验数相同时的偏差的比较

表23给出当因素数s=2，3，4 时两种试验的偏差比较，其中表23 实验数相同时两种设计的偏差

“UD ”为均匀设计，“OD ”为正交设计。例如，当s=2时，若用L 872()来安排试验，其偏差为0.4375；若用U 888*()表，则偏差最好时要达0.1445。显然后者比前者均匀性要好得多，值得注意的是，在比较中我们没有全部用U *表，如果全部用U *表，其均匀设计的偏差会进一步减小。这种比较方法对正交设计是不公平的，因为当试验数给定时，水平数减少，则偏差会增大。所以这种比较方法正交设计明显地吃亏。在过去许多正交设计的书籍中，强烈地推荐用二水平的正交表，从偏差的角度来看，这种观点是错误的。 ii)水平数相同时偏差的比较

表24的前两列给出了两种设计水平数相同，但试验数不同的比较，其中当均匀设计的试验数为n 时，相应正交设计的试验数为n 2，例如U 626*()的偏差0.1875，而L 3626()的偏差为0.1597，两者差别并不

很大。所以用)6(U 2

*6安排的试验其效果虽然比不上)6(L 236，但其效果并不太差，而试验次数却少了6倍。

表24 水平数相同时两种设计的偏差

刚才我们讲到U

6

2 6

*()比不上L3626()，如果让试验次数适当增加，

使相应的偏差与L

36

2

6()的偏差相接近，例如U828*()的偏差为0.1445，比

L 36

2

6()的偏差略好，但试验次数可省36/8=4.5倍，表25的最后一列

给出了多种情形的比较及其可节省的试验倍数。

综合上述三种角度的比较，如果用偏差作为均匀性的度量，均匀设计明显地优于正交设计，并可节省四至十几倍的试验。

表25 水平数相近时两种设计的比较