高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一)
高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
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_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 － － π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ)(A>0， ω>0)，
高考数学一轮复习 y=Asinωx+φ的图象和性质学案 理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习y%3dAsinωx+φ的图象和性质学案理知识梳理： (阅读教材必修4第49页—第60页)1、在物理中，函数y=Asin()（A>0,>0）表示一个振动时，A叫做振动的振幅，T=称为振动的周期，f=称为振动的频率，称为振动的相位；叫做初相。
2、五点法画函数y=Asin()（A>0,>0）图象的简图，主要是先找了出确定曲线形状起关键作用的五个点，这五个点应使函数取得最大值和最小值及与x轴的交点，找出它们的方法是做变量代换，设X=，由X取0，，，，2来确定对应的x值。
3、变换法画函数y=Asin()（A>0,>0）图象的一般方法是①、②、③、④、⑤、⑥、一、题型探究探究一：五点法画函数y=Asin()（A>0,>0）图象例1：设函数y=sin cos (>0)的周期为。
（1）、求的它的振幅，初相；（2）、用“五点法”作出它在一个周期内的图象；（3）、说明函数是图象是由y=sin的图象经过怎么的变换得到。
探究二：三角函数图象的变换例2：下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（A） B）（C）D）例3：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A）（B）（C）（D）例4：16. （本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。
(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。
（A）（B）（C）（D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－) ，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C例6: (1)、下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A、y=sinB、y=sinC、y=cosD、y=cos(2)、函数y=Asin()（>0，||，x）的部分图象如图所示，则函数的表达式为A、y=-4sinB、y=4sinC、y=-4sinD、y=4sin探究四：正弦型函数y=Asin()（A>0,>0）的性质例7：（1）、已知函数f(x)=(1+cos2x)si，x，则f(x)是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数（2）、已知函数f(x)=，对于上的任意的，有如下条件：①、>②、>③、>，其中能使f()> f()恒成立的条件序号是。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用
第五节函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用【课程标准】1.结合具体实例,了解y=A sin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查y=A sin(ωx+φ)的图象、图象变换以及与它有关的实际应用问题;三角函数图象、图象变换以及与其他知识交汇是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.用“五点法”画y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点ωx+φ02π322πx0-φω2-φω-φω32-φω2-φωy=A sin(ωx+φ)0A0-A0【微点拨】用“五点法”作图时,相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的14.2.函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移个单位长度而非φ个单位长度.3.简谐运动的有关概念y=A sin(ωx+φ) (A>0,ω>0)振幅周期频率相位初相A T=2ωf=1T=ω2ωx+φφ【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13421.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的有()A.函数y=A sin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-AB.函数y=sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π6)C.把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin12xD.如果y=A cos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为2【解析】选ABC.因为只有当A>0时,y=A sin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A,所以选项A错误;因为函数y=sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π3),所以选项B错误;因为把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin2x,所以选项C错误;因为函数y=A cos(ωx+φ)相邻两个对称中心之间的距离为半个周期,所以选项D正确.2.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图象,则f(x)等于()A.sin(2-7π12)B.sin(2+π12)C.sin(2x-7π12)D.sin(2x+π12)【解析】选B.依题意,将y=sin(x-π4)的图象向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3-π4)=sin(x+π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(12x+π12).3.(必修第一册P241T4改条件)函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为__________.【解析】从题图可知:14T=7π12-π3=π4,所以T=π,ω=2,又因为2×7π12+φ=π2+2kπ(k∈Z),所以φ=-2π3+2kπ(k∈Z),又因为0<|φ|<π,所以φ=-2π3,显然A=2,因此y=2sin(2x-2π3).答案:y=2sin(2x-2π3)4.(混淆ω值的影响)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cosωx,则ω的值为()A.3B.13C.9D.19【解析】选B.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos13x,所以ω=13.【巧记结论·速算】1.函数y=A sin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减.”2.函数y=A sin(ωx+φ)图象的对称轴由ωx+φ=kπ+π2,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.【即时练】为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3+()A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度【解析】选D.因为y=2sin3x=2sin[3(x-π15)+π5],所以把函数y=2sin3+所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象.【核心考点·分类突破】考点一函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换[例1](1)(2023·郑州模拟)将函数f(x)的图象上所有点向右平移6个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin x的图象,则f(x)在区间[0,4]上的值域为()A.[-32,1]B.[-12,1]C.[12,1]D.[32,1]【解析】选C.将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变得到y=sin2x的图象,再将y=sin2x的图象上所有点向左平移6个单位长度得到f(x)=sin(2x+3)的图象.当x∈[0,4]时,(2x+3)∈[π3,56],所以sin(2x+3)∈[12,1].(2)函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<2)的图象如图所示,为了得到y=sin x的图象,则需将y=f(x)的图象()A.横坐标缩短到原来的12,再向右平移12个单位长度B.横坐标缩短到原来的12,再向右平移6个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移3个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6个单位长度【解析】选C.由题图可知,12T=56-3=2,所以T=π,故ω=2=2,故函数f(x)=sin(2x+φ),又函数图象经过点(3,0),故有sin(2×3+φ)=0,即2×3+φ=kπ,所以φ=kπ-23(k∈Z),又0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3),故将函数f(x)=sin(2x+π3)图象的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x+π3)的图象,然后再向右平移π3个单位长度即可得到y=sin x的图象.【解题技法】三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略(1)确定函数y=sin x经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,即按“左加右减”的原则进行;(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位长度.【对点训练】1.(2024·长春模拟)要得到y=cos2的图象,只要将y=sin2的图象()A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π个单位长度D.向右平移π个单位长度【解析】选C.函数y=sin2的图象向左平移π个单位长度后得到y=sin(2+π2)=cos2的图象.2.(2024·长沙模拟)将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度.得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ=__________.【解析】函数f(x)向左平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin[2(x+φ)-π3],函数g(x)是奇函数,所以g(0)=sin(2φ-π3)=0,则2φ-π3=kπ,k∈Z,则φ=π6+χ2,k∈Z,因为φ∈(0,π2),所以φ=π6.答案:π6考点二由函数图象确定函数y=A sin(ωx+φ)的解析式[例2](1)函数y=A sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为()A.y=2sin(2x+23)B.y=2sin(x+3)C.y=2sin(2-3) D.y=2sin(2x-3)【解析】选A.由已知可得函数y=A sin(ωx+φ)的图象经过点(-12,2)和点(512,-2),则A=2,T=π,所以ω=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+φ),将(-12,2)代入得-6+φ=2+2kπ,k∈Z,所以φ=2π3+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=2π3,此时y=2sin(2x+2π3).(2)(2023·潍坊模拟)函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,现将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的表达式可以为()A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2cos(2x-π3)C.g(x)=2sin(x-π6)D.g(x)=2cos(x+π3)【解析】选B.由题图可知f(x)max=2,所以A=2;又f(0)=2sinφ=-1,所以sinφ=-12,又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以f(7π12)=2sin(7π12ω-π6)=0,由五点作图法可知7π12ω-π6=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x-π6);所以g(x)=f(x+π6)=2sin[2(x+π6)-π6]=2sin(2x+π6)=2cos[π2-(2x+π6)]=2cos(π3-2x)=2cos(2x-π3).【解题技法】根据三角函数图象求解析式的三个关键(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【对点训练】1.(2021·全国甲卷)已知函数f (x )=2cos(ωx +φ)的部分图象如图所示,则f (π2)=__________.【命题意图】本题考查函数f (x )=2cos(ωx +φ)的图象与其参数(ω,φ)之间的关系,考查考生分析问题解决问题的能力.【解析】观察图象可知:f (x )的最小正周期T =43×=π,所以ω=2,又因为2×13πφ=-π6+2k π,k ∈Z ,所以f (x )=2cos 2-所以2×π2-=2cos 5π6=-3.答案:-32.已知函数y =A sin(ωx +φ)+n 的最大值为4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x =π3是其图象的一条对称轴,若A >0,ω>0,0<φ<π2,则函数解析式为__________.【解析】依题意,得A =4-02=2,n =4+02=2,ω=2ππ2=4,所以y =2sin (4x +φ)+2,所以4×π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,即φ=k π-5π6,k ∈Z .因为0<φ<π2,所以k =1,φ=π6.所以函数解析式为y =2sin(4x +π6)+2.答案:y =2sin(4x +π6)+2【加练备选】函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,<π2)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为()A.y=-2sin(2x-π4)B.y=2sin(2x+π4)C.y=2sin(x+3π8)D.y=2sin(2+7π16)【解析】选B.由题图知A=2,2=5π8-π8=π2,T=π,所以ω=2,把最值点(π8,2)代入y=2sin(2x+φ),得2sin(2π8+φ)=2,所以π4+φ=2kπ+π2(k∈Z),所以φ=2kπ+π4(k∈Z),又因为<π2,所以φ=π4,因此函数的解析式是y=2sin(2x+π4).考点三三角函数图象、性质的综合应用角度1三角函数图象与性质的综合应用[例3]已知函数f(x)=sin2B+(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于点-π3,0对称B.f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=sin2x的图象C.f(x)在区间0,-32D.f+【解析】选D.因为f(x)的图象过点0所以sinφ=12,因为0<φ<π2,所以φ=π6.因为f(x),-1,所以由五点作图法可知ω·4π3+π6=3π2,得ω=1,所以f(x)=sin2+因为f(-π3)=sin(-2π3+π6)=sin(-π2)=-1,所以x=-π3为f(x)图象的一条对称轴,所以A错误;f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,得y=sin2-+2-所以B错误;当x∈0,2x+π6∈,所以-12≤sin(2x+π)≤1,所以f(x)在区间0,为-12,所以C错误;f+2++2+2x,令g(x)=f+2x,因为g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x),所以g(x)=f+2x为偶函数,所以D正确.【解题技法】解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为a sin x+b cos x的形式;(2)构造f(x)=2+2·2+2sin x+2+2·cos x;(3)和角公式逆用,得f(x)=2+2sin(x+φ)(其中φ为辅助角);(4)利用f(x)=2+2sin(x+φ)研究三角函数的性质.角度2函数零点(方程根)问题[例4](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cosωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是__________.【解析】因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.令f(x)=cosωx-1=0,则cosωx=1有3个根,令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.答案:[2,3)【误区警示】本题在求解的过程中,易忽略端点的取值是否能取得,如本题在建立不等式4π≤2ωπ<6π时,右边也取到等号,进而得出错误的结论2≤ω≤3.【解题技法】解决三角函数图象与性质的综合问题的关键求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.【对点训练】1.(多选题)已知函数f(x)=2sin2+0<<π的图象关于直线x=π对称,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的一个对称中心是-2π,0D.f(x)的一个单调递增区间是2,3【解析】选BD.由函数解析式可知函数f(x)的最小正周期是T=2π2=π,则B正确;由f(x)的图象关于直线x=π对称,且最小正周期是π,因此f(x)的图象也关于直线x=0对称,故f(x)是偶函数(或由f(0)=2sinφ=0结合0<φ<π知不可能),因此A错误;由函数f(x)=2sin2+0<<π是偶函数可知φ=π2,则f(x)=2cos2x,故f(x)的对称中心为(χ2-π4,0)(k∈Z),C错误;由于(2,3)⊆(π2,π),f(x)在(π2,π)上单调递增,D正确.2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻两个对称中心的距离为32,且f(1)=-3,则函数y=f(x)的图象与函数y=1-2的图象在(-5,9)上所有交点横坐标之和为()A.16B.4C.8D.12【解析】选D.由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期为3,即π=3,所以ω=π3,则f(x)=tan(π3x+φ).又f(1)=-3,即tan(π3+φ)=-3,所以π3+φ=2π3+kπ,k∈Z,因为0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=tan(π3x+π3).又因为f(2)=tan(2π3+π3)=0,所以y=f(x)关于(2,0)中心对称,点(2,0)也是y=1-2的对称中心,两个函数的图象共有6个交点,且都关于(2,0)成中心对称,则所有交点横坐标之和为12.考点四三角函数模型及其应用[例5]如图,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是()A.h=-8sinπ6t+10B.h=-cosπ6t+10C.h=-8sinπ6t+8D.h=-8cosπ6t+10【解析】选D.由题意设h=A cosωt+B,因为12min旋转一周,所以2π=12,所以ω=π6,由于最大值与最小值分别为18,2.所以-+=18,+=2,解得A=-8,B=10.所以h=-8cosπ6t+10.【解题技法】三角函数模型的两种类型及其解题策略(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.【对点训练】1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为__________℃.【解析】由题意得+=28,-=18,解得=23,=5,所以y=23+5cos[π6(x-6)],令x=10,得y=20.5.答案:20.52.如图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧C ,下部是一个矩形ABCD,C 所在圆的圆心为O.经测量AB=4米,BC=33米,∠COD=2π3,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH,其中E,F在边AB上,G,H在C 上.设∠OGF=θ,矩形EFGH的面积为S.(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;(2)当cosθ为何值时,矩形EFGH的面积S最大?【解析】(1)如图,作OP⊥CD分别交AB,CD,GH于M,P,N,由四边形ABCD,EFGH是矩形,O为圆心,∠COD=2π3,可得OM⊥AB,ON⊥GH,P,M,N分别为CD,AB,GH的中点,∠CON=π3,在Rt△COP中,CP=2,∠COP=π3,所以OC=433米,OP=233米,所以OM=OP-PM=OP-BC=33米,在Rt△ONG中,∠GON=∠OGF=θ,OG=OC=433米,所以GN=433sinθ米,ON=433cosθ米,所以GH=2GN=833sinθ米,GF=MN=ON-OM=(433cosθ-33)米,所以S=GF·GH=(433cosθ-33)·833sinθ=83(4cosθ-1)sinθ,θ∈(0,π3),所以S关于θ的函数关系式为S =83(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,π3).(2)由(1)得S'=83(4cos 2θ-4sin 2θ-cos θ)=83(8cos 2θ-cos θ-4),因为θ∈(0,π3),所以cos θ∈(12,1),令S'=0,得cos θ=1+12916∈(12,1),设θ0∈(0,π3),且cos θ0=1+12916,所以由S'>0,得0<θ<θ0,即S 在(0,θ0)上单调递增,由S'<0,得θ0<θ<π3,即S 在(θ0,π3)上单调递减,所以当θ=θ0时,S 取得最大值,所以当cos θ=1+12916时,矩形EFGH 的面积S 最大.【重难突破】三角函数解析式中ω的求法三角函数中“ω”的范围问题是近几年的考查热点,涉及三角函数的图象,单调性,对称性,极值等多个知识点,重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,解题思路通常有两种:一是利用复合函数的性质,借助于整体思想得到“ω”满足的关系式;二是利用图象或图象变换,借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式.类型一ω的取值范围与单调性相结合[例1]已知ω>0,函数f (x )=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是()A .[12,54]B .[12,34]C .(0,12]D .(0,2]【解析】选A .由π2+2k π<ωx +π4<3π2+2k π(k ∈Z ),得π4+2χ<x <5π4+2χ(k ∈Z ,ω>0).因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,所以(π2,π)⊆(π+2χ,5π4+2χ),+2χ≤π2,+2χ≥π,解得12+4k ≤ω≤54+2k ,k ∈Z .>0,≥π2,所以0<ω≤2,当k =0时,12≤ω≤54.【解题技法】已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0),在[x 1,x 2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围的方法第一步:根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x 2-x 1≤12T =π,求得0<ω≤π2-1;第二步:以单调递增为例,利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[-π2+2k π,π2+2k π],解得ω的范围;第三步:结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.【对点训练】已知ω>0,函数f (x )=cos(ωx -π6)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是()A .[12,54]B .[13,76]C .(0,16]D .[16,136]【解析】选B .令2k π≤ωx -π6≤2k π+π(k ∈Z ),得2χ+π6≤x ≤2χ+7π6(k ∈Z ).因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,π2,≥π,其中k ∈Z ,解得4k +13≤ω≤2k +76(k ∈Z ).又因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,所以T ≥π⇒ω≤2.又ω>0,所以当k =0时,有13≤ω≤76.类型二ω的取值范围与对称性相结合[例2]已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π8是函数f (x )的一个零点,x =π8是函数f (x )的一条对称轴,若f (x )在区间(π5,π4)上单调,则ω的最大值是()A.14B.16C.18D .20【解析】选A .设函数f (x )的最小正周期为T ,因为x =-π8是函数f (x )的一个零点,x =π8是函数f (x )的一条对称轴,则2r14T =π8-(-π8)=π4,其中n ∈N ,所以T =π2r1=2π,所以ω=4n +2.因为函数f(x)在区间(π5,π4)上单调,则π4-π5≤2=π,所以ω≤20,所以ω的可能取值有:2,6,10,14,18.(ⅰ)当ω=18时,f(x)=sin(18x+φ),f(-π8)=sin(-9π4+φ)=0,所以φ-9π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+9π4(k∈Z),因为-π2≤φ≤π2,所以φ=π4,所以f(x)=sin(18x+π4),当π5<x<π4时,77π20<18x+π4<19π4,所以函数f(x)在(π5,π4)上不单调,不符合题意;(ⅱ)当ω=14时,f(x)=sin(14x+φ),f(-π8)=sin(-7π4+φ)=0,所以φ-7π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+7π4(k∈Z),因为-π2≤φ≤π2,所以φ=-π4,所以f(x)=sin(14x-π4),当π5<x<π4时,51π20<14x-π4<13π4,所以函数f(x)在(π5,π4)上单调递减,符合题意.因此,ω的最大值为14.【解题技法】三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为2,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为4,也就是说,我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω的取值范围.【对点训练】(多选题)(2023·衡水模拟)将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图象向右平移3π2个单位长度后得到函数g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,则ω可取的值为()A.13B.12C.1D.4【解析】选CD.将函数f(x)的图象向右平移3π2个单位长度,得到函数g(x)=sin[ω(x-3π2)+π6]=sin(ωx+π6-3π2)=cos(ωx+π6),又因为F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以F(x)=sin(ωx+π6)cos(ωx+π6)=12sin(2ωx+π3)的图象关于点(π3,0)对称,则2ω·π3+π3=kπ,k∈Z,所以ω=3-12,k∈Z,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,故ω可取的值为1,4.类型三ω的取值范围与三角函数的最值相结合[例3](2023·成都模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围为()A.[83,7)B.(83,4)C.[4,203)D.(203,7)【解析】选B.因为f(x)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,所以π3-(-π4)>2=π,所以ω>127.令t=ωx+π6,当x∈(-π4,π3)时,t∈(-π4ω+π6,π3ω+π6),于是f(x)=2sin(ωx+π6)在区间(-π4,π3)上的最值点个数等价于g(t)=2sin t在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上的最值点个数.由ω>127知,-π4ω+π6<0,π3ω+π6>0,因为g(t)在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上恰有一个最大值点和一个最小值点,<-π4+π6<-π2,π3+π6<3π2,解得83<ω<4.【解题技法】三角函数的对称轴必经过图象的最高点或最低点,三角函数的对称中心就是其图象与x轴的交点,也就是说我们可以利用函数的最值点、零点之间的“差距”来确定其周期,进而可以确定ω的取值范围.【对点训练】已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象在y轴上的截距为12,且在区间(π,2π)上没有最值,则ω的取值范围为________.【解析】由题意可知,f(0)=12,且0<φ<π,则φ=π3.又f(x)在区间(π,2π)上没有最值,所以2=π≥π,即0<ω≤1;f (x )=cos (ωx +π3),令ωx +π3=k π,k ∈Z ,即x =χ-π3,k ∈Z ,所以当x =χ-π3,k ∈Z 时,函数f (x )=cos (ωx +π)取到最值,因为f (x )在区间(π,2π)内没有最值,≤π,π3≥2π,k ∈Z ,解得k -13≤ω≤2+13,k ∈Z ,当k =0时,-13≤ω≤13,又0<ω≤1,所以0<ω≤13,当k =1时,23≤ω≤56,可得ω∈(0,13]∪[23,56].答案:(0,13]∪[23,56]类型四ω的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合[例4](2022·全国甲卷)设函数f (x )=sin(ωx +π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()A BC D ,【解析】选C .当ω<0时,不能满足在区间(0,π)内极值点比零点多,所以ω>0;函数f (x )=sin B +(0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则有ωx +π3∈χ+所以5π2<ωπ+π3≤3π,求得136<ω≤83.【解题技法】三角函数两个零点之间最小的“水平间隔”为2,根据三角函数的零点个数,可以研究“ω”的取值范围.【对点训练】(2022·全国乙卷)记函数f (x )=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f (T )=32,x =π9为f (x )的零点,则ω的最小值为________.【解析】因为f (x )=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T =2π,因为f(T)=cos(ω·2π+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=32,又因为0<φ<π,所以φ=π6,即f(x)=cos(ωx+π6),又因为x=π9为f(x)的零点,所以π9ω+π6=π2+kπ,k∈Z,解得ω=3+9k,k∈Z,因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=3.答案:3。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用学案
学习资料4.4函数y=A sin（ωx+φ)的图象及应用必备知识预案自诊知识梳理1。
y=A sin（ωx+φ）的有关概念2.用五点法画y=A sin（ωx+φ)在一个周期内的简图时，要找出的五个特征点如下表所示3。
由y=sin x的图象得y=A sin（ωx+φ)（A〉0,ω>0)的图象的两种方法y=A sin （ωx+φ）(A>0，ω>0）的图象的作法：（1）五点法:用“五点法”作y=A sin(ωx+φ）的简图，主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z 取0，π2，π，3π2,2π来求出相应的x ，通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。
（2）图象变换法:由函数y=sin x 的图象通过变换得到y=A sin （ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”（即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”）.考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.(1)把y=sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y=sin 12x 。
（ )（2)将y=sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y=sin (2x -π3)的图象。
（ ) (3）函数f (x )=A sin(ωx+φ)（A ≠0)的最大值为A ，最小值为-A.( )（4)如果y=A cos （ωx+φ）的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ）（5）若函数y=A sin （ωx+φ)为偶函数，则φ=2k π+π2（k ∈Z ).( ）2。
若将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ）A 。
x=kπ2−π6（k ∈Z ) B 。
x=kπ2+π6（k ∈Z )C 。
x=kπ2−π12(k ∈Z ） D.x=kπ2+π12(k ∈Z )3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=√2(sin 2x+cos 2x )的图象，只需把函数y=2sin 2x 图象上所有的点( )A 。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义,知识梳理、考点突破
专题25函数y＝Asin(w＋)的图象及应用（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (4)【考点1】函数y＝Asin(w＋)的图象及变换 (4)【考点2】由图象确定函数y＝Asin（w＋）的解析式 (5)【考点3】三角函数图象、性质的综合应用 (8)【分层检测】 (10)【基础篇】 (10)【能力篇】 (12)【培优篇】 (14)考试要求：1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin (ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为⎡⎢⎣⎦；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度4．（2022·全国·高考真题）将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（）A ．16B ．14C ．13D ．125．（2021·全国·高考真题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【考点1】函数y ＝Asin(ωx ＋)的图象及变换一、单选题1．（23-24高一上·天津宁河·期末）为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变2．（2024·四川·模拟预测）已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，给出下列三个结论：①()02f =；②函数()f x 在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；③将cos2y x =的图象向左平移π12个单位可得到()f x 的图象．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、多选题3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列判断正确的是（）A ．若()()120f x f x ==，且12minπ2x x -=，则2ω=B ．1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D ．若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2024·云南·一模）为得到函数π6sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数6sin2y x =的图象（）A ．向左平行移动π6个单位B ．向左平行移动π3个单位C ．向右平行移动5π6个单位D ．向右平行移动11π6个单位三、填空题5．（2007·安徽·高考真题）函数f (x )＝3sin (2)3x π-的图象为C ，则以下结论中正确的是．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝12π对称；②图象C 关于点2(,0)3π对称；③函数f (x )在区间5(,)1212ππ-内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．6．（2024·浙江·二模）将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为.反思提升：作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【考点2】由图象确定函数y ＝Asin （ωx ＋）的解析式一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数()f x 的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移π12个单位长度，得到函数()()πsin 0,0,2g x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（）A ．()π3sin 42f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()π3sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()π3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()π3sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=->>< ⎪⎝⎭的部分图象，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得曲线向左平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()g x 的解析式为（）A ．()92cos 28x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2cos 28g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin2g x x =D ．()2cos2g x x=二、多选题3．（2024·浙江金华·三模）已知函数()πsin 2cos cos 2sin 0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．π6ϕ=B ．2ω=C ．π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数D ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-4．（2024·广东汕头·二模）如图，函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点D 、E 、F ，且DEF 的面积为π4，则（）A ．点D 的纵坐标为1B ．()f x 在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D ．()f x的图象可由y x =的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将图象向左平移π6个单位得到三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的()20m m>，纵坐标不变，得到()g x 的图象，若()g x 在区间()0,π上恰有两个极大值点，则实数m 的取值范围是．6．（2023·广西·模拟预测）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示．将函数()f x 图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则π3g ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．反思提升：由f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0（ωx 0＋φ＝π）即可求出φ.（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.【考点3】三角函数图象、性质的综合应用一、单选题1．（2024·山东泰安·二模）已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A ．()π2sin 24x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()g x 的图象关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()g x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣2．（2024·浙江丽水·二模）将函数()cos2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12minπ3x x -=，则ϕ=（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12二、多选题3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A ．2ω=B ．()g x 的图象关于直线π3x =-对称C ．()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．若()2f π=-，则()g x 在区间[]0,π4．（2023·广东佛山·模拟预测）已知函数()sin cos ()f x a x x x =-∈R 的图象关于π3x =对称，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数C ．()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D ．把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称三、填空题5．（2022·四川广安·二模）函数()sin 2y x ϕ=+（π2ϕ<）的图象向右平移π6后所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=．6．（2021·陕西西安·模拟预测）将函数()sin 221f x x x =+的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，设()()h x g x =，下列结论正确的是.①函数()h x 值域为[]0,3；②函数()h x 对称轴为()24k x k Z ππ=+∈；③函数()h x 与12y =在[]0,2π内交点的横坐标之和是10π；④函数()h x 在311,412ππ⎡⎤⎢⎣⎦是增加的.反思提升：（1）研究y ＝A sin （ωx ＋φ）的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.【基础篇】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度2．（2024·山东潍坊·二模）将函数()cos f x x =的图象向右平移π2个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，则()g x =（）A ．sin 2xB ．sin2xC ．sin2x -D ．cos 2x3．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)ϕ上恰有两个零点，则ϕ的取值范围是（）A ．5π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3π13π,412⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5π3π,124⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3π13π,412⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2024·四川南充·二模）将函数()π2cos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则曲线()y g x =与直线y =）A ．π6B ．π3C ．π2D ．π二、多选题5．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数2cos2y x =的图象，只要把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度6．（2024·安徽合肥·三模）已知12,x x 是函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的两个零点，且12x x -的最小值是π2，则（）A ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的图象关于直线π6x =-对称C ．()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到D ．()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点7．（22-23高三上·湖南常德·阶段练习）函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 的最大值为3B ．函数()g x 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 的最小正周期为π三、填空题8．（2021·全国·模拟预测）已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0ω>，02πϕ<<)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4π，且3x π=-是一个极小值点.若把函数()f x 的图象向左平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于直线4x π=对称，则实数t 的最小值为.9．（2023·湖北·一模）函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移π3个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 是偶函数，则tan ϕ=．10．（2022·陕西咸阳·二模）将函数)sin()y x x ϕϕ=+-+的图象向右平移3π个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为.四、解答题11．（22-23高一下·辽宁铁岭·阶段练习）已知函数()sin(),0,0,||2πf x A x x R A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.12．（2021·浙江·三模）函数()223sin cos sin cos 22222x x x x f x ⎫=--⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的对称中心；（2）将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4ϕ=，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【能力篇】一、单选题1．（2024·陕西汉中·二模）函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象如图所示，,P Q 为图象上两点，对于向量π(1,0),4a a PQ =⋅=uu ur r r ，为了得到()2sin 4g x x =的图象，需要将()f x 图象上所有点的坐标（）A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π4个单位B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π16个单位C ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π4个单位D ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π16个单位二、多选题2．（2024·安徽·模拟预测）已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．2π是()f x 的一个周期B ．()f x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上递减C ．将()f x 图象向左平移π8个单位可得到3sin2y x =的图象D ．若()02f x =，则01sin49x =三、填空题3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()30,2f x g x x π⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称.四、解答题4．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数()()2π12cos 0,22x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫⎛⎫=++->< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π2.(1)求()f x 的解析式与单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求方程()()2230g x x -=的所有根的和.【培优篇】一、单选题1．（2020·陕西·模拟预测）如图是函数(x)Asin(x )f ωϕ=+0002A pw j >><<(，， )的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数2()12g x sin x =-﹣的图象（）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度二、多选题2．（2022·海南·模拟预测）已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎝⎭，满足()23f x f x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，当ω取最小值时，则下列错误的是（）A ．()f x 图像的对称轴方程为,123k x k ππ=+∈ZB ．()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎤⎦C ．将函数2sin 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减三、填空题3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知12,x x 是函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎫=+><⎪⎭的两个零点，且12minπ6x x -=，若将函数()f x 的图象向左平移π3个单位后得到的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在π,6θ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为．。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第四章 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角配套
π π (2)令 X＝2x＋ ，则 y＝2sin2x＋ 3 ＝2sin X. 3
列表，并描点画出图象：
x X y＝sin X
π y＝2sin2x＋3
π － 6 0 0 0
答案
π 4
π φ＝ . 4
2 ． (2012· 盐 城 摸 底 考 试 ) 若 函 数 y ＝ Asin(ωx ＋ π φ)A>0，ω>0，|φ|<2 的最小值为－ 2，其图象上相邻 π 最高点与最低点的横坐标之差为 ，且图象过点 (0， 2 3)，则其解析式是________． T π 解析 由题意，得 A＝2， ＝ ，所以 T＝π，ω＝2，所以 2 2
3π －φ 2 ω 3π 2 －A
2π－φ ω 2π 0
2.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图 象的步骤
3．当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(0，＋∞)) 2π ω 叫做周期， 表示一个振动时，A 叫做振幅，T＝_____ 1 f＝T叫做频率，ωx＋φ 叫做相位，φ 叫做初相． 4．图象的对称性 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象既是轴对称 又是中心对称图形，具体如下： (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线 x＝xk(其中 π ωxk＋φ＝kπ＋ ，k∈Z)成轴对称图形． 2 (2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk ＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．
π π f(x)＝2sin(2x＋φ)．由 f(0)＝2sinφ＝ 3，|φ|< ，得 φ＝ ， 2 3 从而
π y＝2sin2x＋3 .
答案
2021-2022年高三数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质教学案(无答案)
2021年高三数学一轮复习函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象与性质教学案（无答案）一、考纲要求函数的图象和性质A二、复习目标1．了解三角函数 y ＝A sin （ωx +φ）的实际意义及其参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y ＝A sin （ωx +φ）的简图，能由正弦曲线 y ＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y ＝A sin （ωx +φ）的图象．2．能根据图象求出函数的解析式．（对确定φ的值原则上不作要求）三、重点难点会用五点作图法画出y ＝A sin （ωx +φ）的简图；能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到的图象．四、要点梳理0 0 0sin()(0,0,(0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞________，频率为_________，相位为_____________，初相为___________．3．由的图象变换出的图象一般有两个途径．途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) ．途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换．五、基础训练1．将函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的解析式是______，再将图象上所有点的横坐标变到原来的倍（纵坐标不变），所得的图象对应的解_____．2．函数的周期为______，对称中心坐标为_______，对称轴方程是___________，单调减区间为_________．3．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>在闭区间上的图 象如图所示，则=_________．4．函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为___________．5．设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是___________．6、设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为 ．六、典型例题例1．已知函数．（1）画出函数在一个周期闭区间上的图象；（2）求此函数图象的对称轴方程、对称中心坐标与单调递增区间；（3）说明函数图象是由的图象经过怎样的变化得到的．练习1：已知函数())cos()cos 44f x x x x x ππ=+-+． (1)求的最小正周期和最大值;(2)在给出的坐标系中画出函数在上的图象,并说明的图象是由的图象怎样变换得到的．例2．已知函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>（1）若函数的图象相邻两对称轴之间的距离为．求的值;（2）在（1）的条件下，若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．（3）若函数的图象与直线相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为，若点是函数图象的对称中心，且，求A 点的坐标．练习2：已知函数，．（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（II）求函数的单调递增区间．例3．（必修4第12题）如图，摩天轮的半径为50m，圆心O点距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度．（1）求在xxmin时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85m；（3）求证：不论t为何值时为定值．练习3：某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；)24,0[,12sin 12cos 310)(∈--=t t t t f ππ．（1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天的最大温差．七、反思感悟函数的图象和性质课时练习1．函数的振幅为_____，周期为____，初相为 ．2．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数解析式是，则解析式为_____________________．3．将函数的图象向右．．平移个单位，得到图象的函数关于原4．已知函数()cos (0)f x x ωω+>的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是___________________ ．5．已知函数()()sin ,0,0y A x x R A ωϕω=+∈>>的图象在轴右侧的第一个最高点为，与轴在原点右侧的第一个交点为，则函数的析式为 ．6．已知()sin 2,[0,]3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若方程f (x )=m 有两个不相等的实数根时， 则方程的两实根之和为 ．7．已知函数sin()(0),()()363y x f f πππωω=+>=，且在区间有最小值，无最大值，则=__ ．8．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，． （1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．9．已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （1）将函数化简成（，，）的形式；（2）求函数的值域．10．已知函数其中，（1）若cos cos sin sin 0,44ππϕϕ3-=求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图象象左平移个单位所对应的函数是偶函数．。
高考数学一轮复习 3.3 函数y=asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数课件 理
(6)若
sinx>
22，则
π x>4.(
×)
12/10/2021
2.函数 y＝tan3x 的定义域为( )
A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z
B.xx≠π6＋kπ，k∈Z
C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z
D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：由 3x≠π2＋kπ，得 x≠π6＋k3π，k∈Z. 答案：D
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5．函数 f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________． 解析：由 f(x)＝sin(－2x)＝－sin2x， 2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋32π得 kπ＋π4≤x≤kπ＋34π(k∈Z)． 答案：kπ＋π4，kπ＋34π(k∈Z)
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6 ． 函 数 f(x) ＝ sin 2x－π4 在 区 间 0，π2 上 的 最 小 值 为 ________．
ymin＝－1(k∈Z)
无最值
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奇偶 性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心：
对称中心： 对称中心：
对称 (kπ，0)，k∈Z kπ＋π2，0，k∈Z k2π，0，k∈Z
性 对称轴 l： x＝kπ＋π2，k∈Z
对称轴 l： x＝kπ，k∈Z
无
周期
性
2π
2π
π
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二、必明 2 个易误点 1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． 2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易 受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这 一条件．
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[变式练]——(着眼于举一反三) 1．函数 y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 () A．2－ 3 B．0 C．－1 D．－1－ 3 解析：∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤76π， ∴sinπ6x－π3∈－ 23，1. ∴y∈[－ 3，2]，∴ymax＋ymin＝2－ 3. 答案：A
高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asin(ωxφ)的图像及应用课件文北师大版
1
2
3
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出的五 个特征点如下表所示
x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 0 0
0-φ ω
������ 3������ ������-φ -φ -φ 2 2 ω ω ω π 3π π 2 2 A 0 -A
2������-φ ω 2π 0
-4知识梳理 双基自测 自测点评
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的 图像及应用
-2知识梳理 双基自测 自测点评
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2
3
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0), x∈[0,+∞)
振幅 A
周期 T=
2������ ω
频率 f= =
T 1 ω 2������
相位 ωx+φ
初相 φ
-3知识梳理 双基自测 自测点评
-11考点1 考点2 考点3
考点 1 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
例 1 某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ������ > 0,|������| < 2 在某一个周期内的图象,列表并填入了部分数据,如下表: ������ 3������ ωx+φ 0 π 2π 2 2 ������ 5������ x 3 6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 Nhomakorabea1
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π ������ 3 π 2
+ ������ |������| < 4.已知简谐运动的函数 f(x)=2sin 的图像经过点(0,1),则该简谐运动的函数的最小正周期T和初相φ 分别为 .
2021届高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(含解析)人教版B版
考点测试21 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值5分、12分，中等难度考纲 研读1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题一、基础小题1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．关于直线x ＝π12对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 C解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1≠0，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3≠0，故B 错误；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3≠±1，故D 错误．故选C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3B ．33C ．1D ． 3答案 D解析 由已知得f (x )的最小正周期为π2，则πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝tan2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示，且f (x )在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫712，1312B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1112，1712 C.⎝⎛⎦⎥⎤712，1312D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1112，1712 答案 B解析 由题意知，f (x )＝sin(ωx ＋φ)，∵f (0)＝sin φ＝32，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴φ＝2π3，∵x ∈[0,2π]，∴2π3≤ωx ＋2π3≤2πω＋2π3，∴5π2≤2πω＋2π3<7π2，∴1112≤ω<1712.故选B.4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是( ) A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 答案 D解析 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最小值是0，排除A ；最小正周期是π2，排除B ；将x ＝π3代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π3＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2＝2－ 3.而2－3既不是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2的最大值，也不是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2的最小值，排除C.故选D.5．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，x 03和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0，7π6上都是单调递增函数，则实数x 0的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8答案 B解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，当k＝0时，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，当k ＝1时，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 03≤π6，2x 0≥2π3，解得π3≤x 0≤π2，故选B.6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 具有的性质是( )A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称B ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称C ．最大值为3，图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称D ．最大值为1，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 答案 C解析 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以函数的最大值为3，排除B ，D ；令π6－x ＝k π(k ∈Z )，求得x ＝π6－k π(k ∈Z )，所以函数图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．故选C.7．将函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.13 B ．23 C ．76D ．56答案 D解析 将函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象；再把所得函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －πφ＋π3的图象．最后得到图象对应的函数为奇函数，则－πφ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－16－k ，k ∈Z .又因为 φ>0，故当k ＝－1时，φ取得最小值为56.故选D.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若f (4)＝－f (6)＝－1，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则f (2019)＝________.答案 －1解析 由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，f (4)＝－f (6)＝－1，得周期T ＝2×(6－4)＝4，所以ω＝2π4＝π2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又|φ|<π2，所以φ＝－π4，又f (4)＝－1，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝－1，解得A ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π4，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1. 二、高考小题9．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增；④ ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④答案 D解析 已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a ，b )上，此时f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f (x )在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x ∈[0,2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，由f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，可得5π≤2πω＋π5<6π，得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<πω10＋π5<49π100<π2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增，所以③正确．故选D.10．(2019·天津高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2C ． 2D ．2答案 C解析 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.所以f (x )＝A sin ωx .由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )的最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2.所以f (x )＝2sin2x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.故选C.11．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 答案 A解析 将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin2x ，令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k∈Z )．所以y ＝sin2x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，y ＝sin2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增，故选A.12．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，由y ＝cos x的图象得到y ＝cos2x 的图象，需将曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；由y＝cos2x 的图象得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象，需将y ＝cos2x 的图象上的各点向左平移π12个单位长度．故选D.13．(2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案 23解析 ∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，∴π4·ω－π6＝2k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋23，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23.14．(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．答案 －π6解析 ∵函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π3对称，∴当x ＝π3时，函数取得最大值或最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.∴当2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.三、模拟小题15．(2019·益阳、湘潭调研)要得到函数f (x )＝sin2x ，x ∈R 的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 D解析 由于把函数f (x )＝sin2x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位，可得f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝g (x )的图象，故为了得到函数f (x )＝sin2x ，x ∈R 的图象，只需把g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的图象向右平移π6个单位即可，故选D.16．(2019·四川省绵阳市高三一诊)已知点A ，B ，C 在函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象上，如图，若AB ⊥BC ，则ω＝( )A ．1B ．πC ．12D ．π2答案 D解析 过点B 作BD ⊥AC ，交AC 于点D .在Rt △ABC 中，设AD ＝x ，则AC ＝4x ，易知△ABC ∽△ADB ，则AB 2＝AD ·AC ，即AD 2＋DB 2＝AD ·AC ，可得x 2＋(3)2＝x ·4x ，解得x ＝1或x ＝－1(舍去)，可得AC ＝4，由函数图象可得，T ＝4＝2πω，解得ω＝π2.故选D.17．(2019·平顶山质量检测)已知函数f (x )＝23cos 2x ＋sin2x －a 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上有最大值2，则a ＝( )A ．23－2B ．3－2C ． 3D ．3－1答案 C解析 f (x )＝23×1＋cos2x 2＋sin2x －a ＝3cos2x ＋sin2x ＋3－a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3－a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，则当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )有最大值2＋3－a ，由2＋3－a ＝2，解得a ＝ 3.故选C.18．(2019·长沙一模)已知P (1,2)是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设∠BPC ＝θ，若tan θ2＝34，则f (x )图象的对称中心可以是( )A ．(0,0)B ．(1,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 答案 D解析 如图，连接BC ，设BC 的中点为D ，E ，F 为与点P 最近的函数f (x )的图象与x 轴的交点，即函数f (x )图象的两个对称中心，连接PD ，则由题意知|PD |＝4，∠BPD ＝∠CPD ＝θ2，PD ⊥BC ，所以tan ∠BPD ＝tan θ2＝|BD ||PD |＝|BD |4＝34，所以|BD |＝3.由函数f (x )图象的对称性知x E ＝1－32＝－12，x F ＝1＋32＝52，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以函数f (x )图象的对称中心可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，故选D.19．(2019·郑州二模)将函数f (x )＝2sin x 的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g (x )的图象，下面四个结论正确的是( )A ．函数g (x )在[π，2π]上的最大值为1B ．将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是函数g (x )图象的一个对称中心D ．函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上为增函数答案 D解析 依题意得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，当π≤x ≤2π时，2π3≤x 2＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6≤32，所以－1≤g (x )≤3，所以函数g (x )在[π，2π]上的最大值为3，排除A ；将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，又g ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sinx －π62＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象不关于原点对称，排除B ；因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π32＋π6＝2sin π3＝3≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0不是函数g (x )图象的一个对称中心，排除C ；当0≤x ≤2π3时，π6≤x 2＋π6≤π2，所以函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上为增函数，是正确的，故选D.20．(2020·福州质检)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3上是增函数，且在区间[0，π]上存在唯一的x 0使得f (x 0)＝2，则ω的取值不可能为( )A.13 B ．23 C ．45D ．1答案 A解析 因为函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3上是增函数，又因为f (x )＝2sin ωx 在R 上是奇函数，根据对称性可知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，则π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤T 2＝πω，解得ω≤1，因为x 0∈[0，π]，所以ωx 0∈[0，πω]，因为函数f (x )在区间[0，π]上存在唯一的x 0使得f (x 0)＝2，所以f (x 0)＝2sin ωx 0＝2，则ωx 0＝2k π＋π2(k ∈Z )，则0≤2k π＋π2≤πω，解得0≤2k ＋12≤ω，只有当k ＝0时，满足题意，故12≤ω≤1，所以只有A 不可能取到．一、高考大题1．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.解 (1)f (x )＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12， 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.2．(2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.3．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.二、模拟大题4．(2019·北京四中调研)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．解 (1)由题意知，T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π，ω＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝1，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4上为减函数，所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－12，故函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12.5．(2019·徐州质量测评)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，该图象与y 轴交于点F (0,1)，与x 轴交于点B ，C ，M 为最高点，且△MBC 的面积为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有|f (x )＋log 2k |≤2，求实数k 的取值范围．解 (1)△MBC 的面积S ＝12×2BC ＝BC ＝π2，即周期T ＝π＝2πω，则ω＝2，由f (0)＝2sin φ＝1，得sin φ＝12，∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2，即－1≤f (x )≤2， 由|f (x )＋log 2k |≤2，得－2≤f (x )＋log 2k ≤2，即－f (x )－2≤log 2k ≤2－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，则[－f (x )－2]max ≤log 2k ≤[2－f (x )]min ，即－1≤log 2k ≤0，即12≤k ≤1，即实数k 的取值范围是12≤k ≤1.6．(2019·常州二模)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，其中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是图象的一个最高点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图象与x 轴的一个交点，且与点P 相邻．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由函数f (x )的图象可知A ＝2， 最小正周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝4π，∴ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又点P ⎝⎛⎭⎪⎫4π3，2是函数图象的一个最高点， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．由题意，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．。