最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图象和性质第三课时
1. y 2x 3 1 , 2
2
1 2. y x 12 5. 3
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必 要时作出草图进行验证.
1.y 2x 3
2
5;
4.y 2x 2
2
5;
2
2.y 0.5x 12;
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
x=-1
抛物线y=a(x－h)2＋k的图象是由y=ax2向左 (h<0)或向右（h>0）平移|h|个单位再向上（k>0） 或向下（k<0）平移|k|个单位得到.
平移方法:
y=ax2
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
x
y 3x 2
y 3x 1
2 2
-4
-3 27
-2 12 27
-1 3 12
0 0 3
1 3 0
2 12 3
3 27 12
4
27
y 3x 1 2
29
14
5
2
5
14
29
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x² ,y=3(x-1)2有 什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
3 2 3.y x 1; 4
5.y 0.5x 4
2;
3 6.y x 32 . 4
填空题 （1）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后 2 得到函数 y=2(x-3) 的图像，其对称轴 直线x=3 （3,0） ，当x＞3 是 ，顶点是 时，y随x的增大而增大；当x ＜3 时，y随x 的增大而减小. （2）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3 个单位后得到函数 y= -3(x+1)2 的图像，其顶 点坐标 （-1，0） ，对称轴是 直线x=-1，x= -1 时， y有最 大 值，是 0 .
向左(右)平 向上(下)平 2 2+k y=a(x－h) y=a(x － h) 移|h|个单位 移|k|个单位
y=ax2
向左(右)平 向上(下)平 2 y=a(x－h)2+k y=ax +k 移|h|个单位 移|k|个单位
牢记口诀：左加右减 上加下减
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
（ h， k ） 直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
y 3x 1
48
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图 象．
观察图象,回答问题
y 3x 2
y 3x 1
2
(3) 函数 y=3(x-1)2 的图象与 y=3x2 的图象有什么 关系 ? 它是轴对称图形吗 ? 它的对称轴和顶点坐 标分别是什么?
y 3x
2
y 3x 1
2
想一想,在同一坐 标系中作二次函数 y=3(x+1)2的图象, 会在什么位置?
二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象形状相同,可 以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位
y 3x 1
2
y 3x
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是 抛物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.
y 3x 1
2
y 3x 1
2
y 3x
2
二次函数y=a(x-h)2的性质
X=h
y ax
X=h
2
y a x h
2
左加 y=ax2
右减 y=a(x-h)2
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线
顶点坐标
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0) （ h， 0） 直线x=h 在x轴的下方 ( 除顶点外) 向下
当x=0时,最大值为c.
开口大小 由|a|来决定， |a|越大，开口越小， |a|越小，开口越大。
二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？
二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c > 0 时 向上平移|c|个单位得到. 当c < 0 时 向下平移|c|个单位得到.
y 3x
2
y 3x 1
2
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
y 3x
2
y 3x 1
2
想一想,在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
二次函数y -3(x- 1)2 , y 3( x 1) 2 和y 3x 2图像
a
（ h， 0）
直线x=h 在x轴的上方 (除顶点外) 向上 越大, 开口越小.
a
对称轴
位置
开口方向 开口大小
越小, 开口越大.
二次函数y=a(x-h)2的性质 抛物线 增减性 y=a(x-h)2 (a>0) 在对称轴的左侧,y 随着x的增大而减 小. 在对称轴的右 侧, y随着x的增大 而增大. 当x=h时, 最小值为0. y=a(x-h)2 (a<0) 在对称轴的左侧,y 随着x的增大而增 大. 在对称轴的右 侧, y随着x的增大 而减小. 当x=h时, 最大值为0.
（3）将函数y=3（x－4）2的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式 是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x －4）2的图象沿y轴对折后得到的函数 解析式是y=3（x+4）2 ； y=9（x－3）2
（4）函数y=（3x+6）2的图象是由函数 的 图象向左平移5个单位得到的，其图象开口 向 上 ，对称轴是直线x=－2 ，顶点坐标 是 ，当 （－2，0 ） x ＞－2 时，y随x的增大而增大， － 2 y有最 小 当x= 时， 值是 .0
上加下减
2 画出函数y 3( x - 1） 的图像，并对y 3x 2与y 3( x 1) 2 进行比较
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么
关系?
x -3 27
2
-2 12 27
-1 3 12
0 0 3
1 3 0
2 12 3
3 27 12
4 48 27
y 3x 2
5.形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方 向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解式。
y 2( x 1)
2
2
y 2x 4x 2
6.已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2， -2）与（-1，-8）。求此函数解析式。
二次函数的顶点在X轴上可设为 : y a(x - h) 2 图像经过点（ 2,-2） 与（ - 1， - 8） 2 带入得y 2( x 1) 或y ( x 5) 2 9
最值
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 抛物线与 x轴交点坐标 0 ，与y轴交 。 （ 3， 0）
。
点坐标
（0，36）
3、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
如何平移：
3 2 y x 4 3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 4
3 y ( x 3) 2 4
3 y ( x 5) 2 4
函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
• 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标: • 2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图 象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶 点坐标分别是什么? • (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的 图象有什么关系? • 对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值 的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而 减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
y 3x
2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
x=1
y 3x
2
向右平移1 个单位
y 3x 1
2
向上平移2 个单位
y 3x 1 2
2
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=3x² ,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点 坐标分别是什么?
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最北师大版九年级数学初三下册2.2《二次函数的图象与性质》优秀ppt课件
y=x2
8 6 4
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)在直角坐标系 中描点.
2 (3)用光滑的曲线连接各点. 1 -4 - -2 -1 0 3 2
1
2
3
4 x
二次函数y=x2的性质
【议一议】 对于二次函数y=x2的图象:
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么? (3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢?
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
描点,连线,如图所示.
第二章
二次函数
观察思考
观察下面的二次函数表达式:
学习新知
(1)y=x2 ；(2)y=-x2 ；(3)y=-2x2 ；(4)y=3x2 ；
(5)y=
1 2
x2.
它们有什么共同点和不同点? (3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什 么不同点?
解析:二次函数y=±x2的函数图象在对称轴左右两边的 增减性是不一样的,所以A，B，C均不正确.故选D.
2.已知点A(2，a)，B(b，9)在抛物线y=x2上，则 a= 4 ， b= ±3 .
解析:分别把x=2和y=9代入y=x2 ，解得a=4，b=±3.
3.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象. 解:列表: x y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
增减性
最值
【做一做】 二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想， 然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
-4 -3 -2 -1 -1 1 -2 -4 -6 -8 -10
0 2 3 4 x
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.4《二次函数的应用(第三课时)》课件
知2－讲
导引： 由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍．
解：(1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x， 即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元．
知1－练
3 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念 的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提 出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31， 则y与x满足的二次函数表达式为( D ) A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31 C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
（来自《教材》）
知2－练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( C )
A．30人
B．40人
C．50人
D．55人
知2－练
3 (2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星 期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场 调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款 童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星 期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大， 最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每 星期至少要销售该款童装多少件？
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
并写出开口方向、顶点坐标、对称轴．
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
北师大版数学九年级下册《二次函数的图象及性质》课件
象.
y
8
7 6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
自学指导2（1分钟）
认真观察下图，思考二次函数 y ax2 ay 02x图2 象y 的性质
是什么？（从形状、开口方向、对称轴、顶点8、增减性、
最值、开口大小进行分析）
y x2
结论：
抛 物 线 y=ax2+c 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线
y=ax2的图象
（c＞0）或 10
y = 2x2＋
向上 8
1 y = 2x2－
向下 （c＜0）平
移 |c| 个单位. 6 1
4
2
－4 －2 －2
24
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长 度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平
当a＜0时，a越大开口越大
a 越大，开口越小
学生自学，教师巡视（4分钟）
自学检测2 (5分钟)
1.函数 y ax a 是二次函数，当a＝ 2 时，其图象开口 向上；这时候函数有最__小___值___0___
2.已知二次函数 y1 3x2, y2 象开口由小到大的顺序是(
C
1x
3)
2
,
y3
3 x2 2
易错点： 当点所在象限不明确时，要分类讨论
小结（2分钟） 1、二次函数 y ax2的图象及性质
2、二比次较函y数值大小y的方ax法2 a 0
y ax2 a 0
图象①形代状入法
抛物线
图②象利及用增减性y
开口③方图向象法
向上
y o
2.2.3 二次函数的图像与性质(第3课时)(课件)-九年级数学下册同步精品课堂(北师版)(共41张PPT)
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
四 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
合作探究
怎样移动抛物线
y
1 2
x2
就可以得到抛物线
y
1 2
(x
1)2
1？
平移方法1
y 1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 向左平移 y 1 x2 1
2
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
向右平移 1个单位
y 1 x 12
2
知识要点 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0). 当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2 当向左平移 ︱h︱ 时
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=1， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
12.抛物线 y x2 4与x轴交于B,C两点，顶点为A， 则△ABC的周长为（ B ）
北师大版九年级数学下册第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件
想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移 后会得到新的抛物线吗？
1 二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质
例1 画出二次函数 y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它
们的开口方向、对称轴和顶点．
解：列表如下：
x
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
2x2
32 18 8 2
yO
x
-4 -2
24
(1) 顶点都是最_高___点，函数都
-2
有最_大___值，都为__y_=__0__；y 1 x 1 2 -4
(2)
y
函数的增减性： 1 x 1 2 当 x＜-1
时，y
2
随
x
y
增大而增大
1 2
x
12
2
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
y 1 x 12
2
当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小
2(x - 1)2 50 32 18 8
02 20
8 18 32 0 8 18
你能发现 2(x - 1)2 与 2x2 的值有什么关系？
描点、连线，如图所示： 根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 抛物线 ；
(2) 图形的开口方向 向上 ；
(3) 从左到右对称轴分别是都 是 x = 0，x = 1 ；
(4) 从左到右顶点坐标分别是 _(_0_，__0_)_，__(_1_，__0_)___；
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
(5) 顶点都是最_低___点，函数都有 y = 2x2 最__小__值，都为__y_=__0__； (6) 函数 y = 2(x - 1)2 的增减性 ：
二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.1 二次函数
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数的概念和形式，学会用函数表达式表示二次
函数；
2、学会运用二次函数的概念去解决实际问题，注意二次函数
的取值范围；
导入新课
温故知新
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y
S=6a2
S x 2 30 x
归纳总结
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可
以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则
称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，
从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
练一练
1.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将
本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共
得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示
许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你
再列举一例：_____．
第二章 二次函数
2.1 二次函数
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讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数的概念和形式，学会用函数表达式表示二次
函数；
2、学会运用二次函数的概念去解决实际问题，注意二次函数
的取值范围；
导入新课
温故知新
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y
S=6a2
S x 2 30 x
归纳总结
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可
以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则
称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，
从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
练一练
1.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将
本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共
得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示
许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你
再列举一例：_____．
北师大版数学九年级下册习题课件2.2二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=a(x-h)2,y=
7．(3分)(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)都在抛物线y＝－(x＋1)2＋2 上，则下列结论正确的是( A ) A．2>y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2 8．(3分)(易错题)对于二次函数y＝4(x－m)2－3，当x≤2时，y随x的增大而
减小，则m的取值范围是___m__≥_2_______．
解：(1)y＝－(x－3)2＋4，画图略 (2)当 x<3 时，y 随 x 的增大而增大
9．(3分)如图所示的是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，则该图象在y轴右侧与x轴的交点的坐标是(1，0)．
14．如图，点A，B的二坐标次分别函为数(0，4y)和＝(3a，x4)2，的抛物图线象y＝a与(x－二m)2次＋n函的顶数点在y线＝段aAB(x上－运动h(抛)2物，线y随顶点一起平移)，与x轴交于
解：(1)将点 A(－2，0)，C(0，94
16a＋c＝0， )代入 y＝a(x－2)2＋c，得4a＋c＝94，
解得a＝－136， c＝3，
∴抛物线的表达式为 y＝－136
(x－2)2＋3，即 y＝－136
x2＋34 x＋94 ，∴顶点 D 的坐标为(2，3)
(2)当 y＝－136 (x－2)2＋3＝0 时，解得 x1＝－2，x2＝6，∴A(－
一、选择题(每小题6分，共12分)
CA．．y开C＝口3．x向2－下y3＝DB3．．x对y2＝－称3(轴x3＋是3直)2线Dx．＝my＝3(x＋3)2
AA．．2－1>3y21>．By2．(64B分．C2．>)7y若2>Dy将1．8抛物线y＝5x2先向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
解：先列表：
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
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课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
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学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式(无答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）确定二次函数的表达式知识梳理知识点一：用配方法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴、顶点坐标及最值 1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的配方一般地，对于二次函数y =ax ²+bx +c ，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例：求次函数y =ax ²+bx +c 的对称轴和顶点坐标． 配方：这个结果通常称为求顶点坐标公式. 2.二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图象和性质(1)二次函数y =ax ²+bx +c 的图象是一条抛物线. 画二次函数图象的“三步骤” ①化：把一般式化成顶点式.②定：确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. ③画：利用抛物线对称性列表、描点、连线.(2)二次函数y =ax ²+bx +c 写成顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。
(3)对称轴顶点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c c x a b x a 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a c a b a b x a b x a 22222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(4)开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，有最小值为ab ac y 442min-=；当a<0时，抛物线的开口向下，有最大值为ab ac y 442max -=。
(5)增减性：① a>0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而增大，当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小. ②a<0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而减小，当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大知识点二：抛物线位置与系数a ，b ，c 的关系：知识点三：用待定系数法求二次函数解析式 1.利用三点坐标确定二次函数的一般式①一般情况下，把三点的坐标代入解析式y =ax ²+bx +c ，列方程组. ②如果没有直接给出三点的坐标，可通过图象的性质求出其他点的坐标. 确定二次函数一般式的“四步骤”①设：设二次函数解析式为y =ax ²+bx +c (a ≠0). ②列：根据题意列方程组.北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）③解：解方程组.④定：确定二次函数解析式.2.利用顶点式确定二次函数解析式用顶点式求解析式的“三种情况”①已知顶点坐标. ②已知对称轴或顶点的横坐标. ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.3.利用交点式确定二次函数解析式当已知抛物线与x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，则设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，再根据其他条件求出a的值。