5.5 随机变量的独立性
随机变量独立性的探讨-应用数学学士论
学士学位论文系别: 应用数学系学科专业: 数学与应用数学姓名: 段晓康学号: 2012064139运城学院二零一四年五月随机变量独立性的探讨系别：应用数学系学科专业：数学与应用数学姓名：段晓康指导教师：冯变英运城学院二零一四年五月随机变量独立性的探讨摘要随机变量的独立性是概率论与数理统计中最基本的概念之一，它在实际应用中十分广泛，所以，关于随机变量独立性的判断成为概率论一个重要的研究课题，不少文献对随机变量独立性的问题进行了研究.本文首先介绍了随机变量独立性的定义，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法，同时得出了一些相关的推论，并对其运用进行了举例说明. 最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.关键词独立性离散型随机变量连续型随机变量数学期望方差Discussion on the Independenceof Random VariablesAbstract Independence of random variables is one of the most basic concepts of probability theory and mathematical statistics, in its practical application is very extensive, so, about the independence of random variables in probability judgment has become an important research topic, a lot of literature on the independence of random variables in the study. This paper first introduces the definition independence of random variables, and the independence of the discrete random variables and continuous random variables are presented for the two discriminant method, and draw some relevant inferences, and its application is illustrated. Finally the article for the integration of some applications of the independence of random variables and random variables in the number of features in.Keywords independence discrete random variables continuous random variablesmathematical expectation variance目录引言 (1)第1章随机变量独立性的定义 (1)1.1 随机事件独立性的定义 (1)1.2 随机变量独立性的定义 (3)第2章随机变量独立性的判定 (4)2.1离散型随机变量独立性的判定 (4)2.2连续性随机变量独立性的判定 (7)第3章独立随机变量的性质 (10)3.1数学期望性质 (10)3.2方差性质 (11)3.3协方差性质 (12)3.4相关系数性质 (12)总结 (13)致谢 (13)参考文献 (14)引言概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.对于现有的知识水平，掌握好这个问题，对于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究这个课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助.对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程.事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[1]中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献[2]中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论上还是实践中都有着重要意义.但不幸的是，到目前为止人们还没有找到有关随机变量独立性判定的简便有效的方法.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.第1章 随机变量独立性的定义1.1随机事件独立性的定义独立性是概率中一个重要的概念，利用独立性可以简化概率的计算.下面先讨论两个事件之间的独立性，然后讨论多个事件之间的相互独立性.1.1.1两个事件的独立性两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生.这在实际问题中是很多的，譬如在掷两颗骰子的试验中，记事件A 为“第一颗骰子的点数为1”，记事件B 为“第二颗骰子的点数为4”.则显然A 与B 的发生是相互不影响的.另外，从概率的角度看，事件A 的条件概率()B A P /与无条件概率()A P 的差别在于：事件B 的发生改变了事件A 发生的概率，也即事件B 对事件A 有某种“影响”.如果事件A 与B 的发生是相互不影响的，则有()()A P B A P =/ ()()B P A B P =/,它们都等价于()()()B P A P AB P =另外对()0=B P ,或()0=A P ,上式仍然成立.为此，我们用上式作为两个事件相互独立的定义.定义1.1 对任意两个随机事件A 与B ，如果有()()()B P A P AB P =成立，则称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立.否则称A 与B 不独立或相依.1.1.2多个事件的相互独立性首先研究三个事件的相互独立性，对此我们给出以下的定义1.2 设C B A ,,是三个事件，如果有⎪⎩⎪⎨⎧()()()()()()()()(),,,C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ===则称C B A ,,两两独立.若还有()()()(),C P B P A P ABC P =则称C B A ,,相互独立.由此我们可以定义三个以上事件的相互独立性.定义1.3 设有n 个事件1A ,,,2n A A ⋅⋅⋅，对任意的,1n k j i ≤⋅⋅⋅<<<≤如果以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧()()()()()()()()()()(),,,2121n n k j i K J i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==则称此n 个事件1A ,n A A ,2⋅⋅⋅，相互独立.从上述定义可以看出，n 个相互独立的事件中任意一部分内仍是相互独立的，而且任意一部分与另一部分也是独立的.1.2 随机变量独立性的定义以随机事件的独立性为基础，我们再来定义随机变量的独立性.1.2.1二维随机变量的独立性X 与Y 是两个随机变量，若对任意区间(]11,b a 及(]22,b a ，事件{}11b X a ≤<与事件{}22b Y a ≤<都相互独立，则称随机变量X 与Y 相互独立，简称X 与Y 独立；否则，就成X 与Y 不独立.所以我们给出下面定义：定义1.4 设()Y X , 是二维随机变量，如果对任意的实数y x ,总有()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,，即()()()y F x F y x F Y X ⋅=,，则称随机变量Y X ,相互独立.1.2.2n 维随机变量的独立性定义 1.5 设n 维随机变量()n X X X ,,,21⋅⋅⋅的联合分布函数为()n x x x F ,,,21⋅⋅⋅=(),,,,2211n n x X x X x X P ≤⋅⋅⋅≤≤ 其边际分布函数为()i i x F =();,,2,1,n i x X P i i ⋅⋅⋅=≤如果对任意n 个实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，有()(),,,,121i ni i n x F x x x F ∏==⋅⋅⋅则称n 个随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立.第2章 随机变量独立性的判定2.1 离散型随机变量独立性的判定2.1.1判别法一用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做出判定，进而判定随机变量的独立性.这是随机变量独立性的本质回归.定理2.1 设()Y X ,为二维离散型随机变量，则X 与Y 相互独立的充要条件是对()Y X ,的所有可能值()j i y x ,，⋅⋅⋅=,3,2,1,j i 都有：()()()j i j i y Y P x X P y Y x X P =====,定理2.2 设()n X X X ,,21⋅⋅⋅，为n 维离散型随机变量，如果对任意n 个取值,,,,21n x x x ⋅⋅⋅有()(),,,,12211∏====⋅⋅⋅==ni i i n n x X P x X x X x X P则称n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立.例2.1 设二维随机变量()Y X ,的联合分布列为问()Y X ,是否独立？解：Y 的分布列：X 的分布列：因为（0.2+0.2）⨯（0.2+0.3）=0.2 （0.2+0.2）⨯（0.2+0.3）=0.2 （0.3+0.3）⨯（0.2+0.3）=0.3 （0.3+0.3）⨯（0.2+0.3）=0.3由定理2.1可知()Y X ,独立.2.1.2判别法二设()Y X ,是二维离散随机变量，其联合概率分布{}ij j i P y y x x P ===,（i ，=j ⋅⋅⋅,2,1）可以用下表表示：表2.1 二维离散随机变量的联合分布概率表且,1,0∑∑=≥ijij ij P P 矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡.................................... (21222)2111211ij i i j j P P P P P P P P P 称为()Y X ,联合概率分布矩阵，其向量记为()⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,,,,21ij i i i P P P a ()⋅⋅⋅=,2,1i .记()Y X ,的联合分列为()Y X ,A ~.引理2.1 设1a 是非零向量，1a 与2a 线性相关，则2a 可由1a 线性表出. 定理2.3 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量（或列向量）线性相关.推论2.1 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的任何两行(或两列)元素对应成比例.推论2.2 若(),~,A Y X 则X 和Y 不相互独立的充要条件是存在两个行向量（或列向量）线性无关.推论2.3 若(),~,A Y X 则X 和Y 不相互独立的充要条件是存在两个行（或两列）对应元素不成比例.推论2.4 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论2.5 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1.推论2.6 若()A Y X ~,中有某个,0=ij P 但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零，则X 与Y 不相互独立.例2.2 设随机变量()Y X ,的概率分布为判断X 与Y 是否相互独立？解：因为,1∑∑=ijij P 即188=+a 所以0=a .由推论2.6可知，X 与Y 不相互独立.2.2 连续型随机变量独立性的判定2.2.1判别法一定理2.4 设随机变量()Y X ,的联合分布函数为()y x F ,，其边际分布函数分别为()(),,y F x F Y X 则X 与Y 相互独立的充要条件是对任意实数y x ,都有：()()().,y F x F y x F Y X =该定理把随机变量的概率关系转化为函数关系，而函数关系的判别一般来说会容易些.2.2.2判别法二对于连续型随机变量X 与Y 的独立性，一些概率教科书给出了如下结果：设()Y X ,是二维连续型随机变量，则X 与Y 独立的充分必要条件是联合密度函数等于两个边际密度函数的乘积，即()()().,y f x f y x f Y X =事实上，上面的随机变量Y X ,相互独立的充要条件是非必要的，更准确地说，二维连续型随机变量Y X ,相互独立的充要条件是：几乎处处有联合密度函数等于两个边际密度函数的乘积.有了这样的认识，当我们在考试或练习中遇到两个随机变量不独立的证明问题就要慎重了。
3-4 随机变量的相互独立
1
8
1
6
1
18
随机变量的独立性分布
2）已知 X,Y 的分布率如下
1 0 1 X ~ 1 1 1 2 4 4
0 1 Y ~ 1 1 2 2
且 P{ XY 0} 1
求：(1)X ,Y 的联合分布率；(2) X 与 Y 是否独立。
19
8
随机变量的独立性
三.连续型随机变量的独立性
设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，其联合密度函
数为f (x ,y )，随机变量X与Y的边缘概率密度函数分别
fX(x), fY(y), 如果对于几乎所有的x,y，有
f x， y f X x f Y y
则称 X ,Y 相互独立的随机变量。 说明: 上式对f(x,y)的所有连续点(x,y)必须成立.
3
随机变量的独立性
例1：设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布函数为 1 x y F x， y 2 arctan arctan 5 2 10 2
x ， y
试判断随机变量 X 与Y 是否相互独立. 解 X的边缘分布函数为FX(x)= F(x,+∞)
f(x,y)≠fX(x)∙ fY(y)
所以随机变量X与Y不是相互独立的.
11
随机变量的独立性
例4：甲、乙两人约定在某地相会，假定每人的到达 时间是相互独立的，且均服从中午12时到下午1时的 均匀分布。试求先到者需等待10分钟以内的概率。 解 X与Y均服从区间[0,60]上均匀分布,且相互独立. 设甲于12时X分到达,乙于12时Y分到达, 由题意知,随机变量(X,Y)的联合密度函数为
lim
《概率论》课程PPT：边缘分布及随机变量的相互独立性
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
6.事件的独立性与随机变量的独立性 作者：阿曼古.卡地尔 指导老师：买买提明
编号学士学位论文事件的独立性与随机变量的独立性学生姓名：阿曼古·卡地尔学号：***********系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-3班指导教师：买买提依明·热扎克完成日期：2011 年 5 月10 日中文摘要事件的独立性和随机变量的独立性是概率论中的最重要的概念之一.本论文主要讨论事件的独立性和独立事件的性质,随机变量的独立性,研究两种最常见的随机变量类型---离散型随机变量和连续型随机变量的独立性.关键词：独立事件；概率；随机变量目录中文摘要 (1)引言 (3)1. 事件的独立性 (3)1.1两个事件的独立性 (3)1.2三个事件的独立性 (7)1.3多个事件的独立性 (9)2.随机变量的独立性 (12)2.1离散型随机变量的独立性 (14)2.2连续型随机变量的独立性 (15)总结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)23引言对于事件的独立性，即有直观的描述，又有严格的数学定义,它们在不同的场合各有用处, 独立性是概率论中的特有的概念.它的引进大大推动了概率的发展，概率论中许多重要的结论是独立性的假定下获得的.随机变量的独立性事实上是以事件的独立性为基础的概念.1. 事件的独立性在已知事件A 发生的条件下，B 发生的可能性为条件概率 ()(|)()P AB P B A P A =并且由此可以得到一般的概率乘法公式 ()()(|)P AB P A P B A =现在可以提出一个问题，如果事件B 发生与否不受事件A 是否发生的影响，那么会出现什么样的情况呢？为此，需要把“事件B 发生与否不受事件A 是否发生的影响”这句话表达成数学的语言.事实上，事件B 发生与否不受事件A 的影响，也就是意味着有 ()(|)P B P B A =这时乘法公式就有了更自然的形式 ()()()P AB P A P B =⋅ 由此启示我们引入下述定义.1.1两个事件的独立性定义1 对任意的两个事件A ，B ，若()()()P AB P A P B =成立，则称事件A ，B 是相互独立的，简称为独立的. 例1：分别掷两枚均匀的硬币，令{A=硬币甲出现正面}{B=硬币乙出现正面}验证事件A,B是相互独立的证明：这是样本空间{Ω=(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}共含有4个基本事件，它们是等可能的，各有概率1/4，而{A=（正，正），（正，反）}{B=（正，正），（反，正）}{AB=（正，正）}由此知1()()2P A=P B=这是有1()()()4P AB==P A P B成立，所以A,B是相互独立的例2：一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,令A= { 一个家庭中既有男孩又有女孩 }B= { 一个家庭中最多有一个女孩 }对下述两种情形,讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩;解：(1)有两个小孩的家庭,这是样本空间为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性知概率各为14,这时A={(男,女),(女,男)}45B ={(男,男),(男,女),(女,男)}AB ={(男,女),(女,男)}于是1()2P A =,3()4P B =,1()2P AB = 由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立. (2)有三个小孩的家庭,样本空间为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男), (男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}由等可能性知这8个基本事件的概率均为18,这时A 中含有6基本事件,B 中含有4基本事件, AB 中含有3基本事件,于是63()84P A == , 41()82p B == , 3()8p AB = 显然有3()8p AB =()()P A P B = 成立,从而事件A 与B 是相互独立的.定理1 若果事件A 与B 相互独立，则A 与__B ，__A 与B ，__A 与__B 也相互 立.证明： 事件A 与 B 相互独立 ∴()()()P AB P A P B =6[]____(1)()()()()()()()()()1()()()P A B P A B P A AB A AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-⊃-=-=-=因此A 与__B 相互独立.(2)()()1()P AB P AB P AB ==-1()()()1()()()()[1()][1()]()()P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =--+=--+=--=(3)()()()P AB P B A P B AB =-=-B AB ⊃()()P B P AB -()()()()[1()]()()()()P B P B P A P B P A P B P A P A P B =-=-==因此A 与B ，A 与B 也是相互独立. 命题 不可能事件与任意A 事件是相互独立. 证明 设φ是不可能事件()()()0()()P A P P A P A P φφφ==⋅=A ∴与φ是相互独立.命题 必然事件与任意A 事件是相互独立. 证明 设Ω是必然事件7()()()1()()P A P P A P A P Ω=A =⋅=⋅ΩA ∴与Ω是相互独立.例3： 甲，乙两个人分别猜一个谜，猜对的概率分别是0.7，0.6，求下列事件的概率.（1）“两个都猜对” （2）“两个人都猜错” （3）“恰有一个人猜对” （4）“至少有一个人猜对” 解：设A =“甲猜对” ， B =“乙猜对” 两个人分别猜谜 A ∴与B 是相互独立()0.7P A =， ()0.6P B = ⇒ ()0.3P A =，()0.4P B =(1)()()()0.70.60.42(2)()()()0.30.40.12P P AB P A P B P P AB P A P B ===⨯====⨯=(3)()()()P P ABAB P AB P AB ==+()()()()0.70.40.30.60.46P A P B P A P B =+=⨯+⨯=(4)()()()()()0.70.60.70.60.88P P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯=或()1()1()10.120.88P A B P A B P AB =-=-=-=1.2三个事件的独立性定义2 设三事件 ,,A B C ，如果8()()()()()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称,,A B C 相互独立.只满足前3式，称,,A B C 为两两独立.,,A B C 相互独立，则一定两两独立；但是两两独立，则三个事件不一定相互独立.例4： 设样本空间 {}1234,,,ωωωωΩ= 含有等可能的四个基本事件，又{}{}{}121314,;,;,A B C ωωωωωω=== 解：显然有 ()()()12P A P B P C === 由此有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P AB P A B ;C B C ;AC P ;11;48A B C A B C P ABC P A B C A,B,C A C ABC A B C P ABC P =P P B =P P P =P P =P P P =∴≠P P ≠P P 这说明，，两两独立，但是故不相互独立。
高中数学随机变量总结归纳
高中数学随机变量总结归纳随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机试验中各种可能结果的数值特征。
在高中数学中，我们学习了随机变量及其分布、均值、方差等基本概念。
本文将对高中数学中关于随机变量的知识进行总结和归纳。
一、随机变量的定义及分类随机试验是指可以重复进行、结果不确定的试验，随机变量是对试验结果进行数值化的方式。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
1. 离散随机变量离散随机变量的取值有限或可数。
例如，掷骰子的点数、抛硬币的正反面等都属于离散随机变量。
离散随机变量可以用概率分布列来描述。
2. 连续随机变量连续随机变量的取值是无限的某个区间内的任意数值。
例如，身高、体重等都属于连续随机变量。
连续随机变量可以用概率密度函数来描述。
二、离散随机变量的分布律离散随机变量的分布律用概率分布列来表示。
概率分布列包括随机变量的各个取值及其对应的概率。
以掷骰子为例，掷骰子的点数可以取1、2、3、4、5、6六个值，每个值的概率相等，都是1/6。
三、连续随机变量的概率密度函数连续随机变量的概率密度函数描述了随机变量的取值在某个区间内的概率分布情况。
概率密度函数具有非负性和归一性。
以身高为例，身高的概率密度函数可以用正态分布曲线来表示。
四、随机变量的均值与方差随机变量的均值和方差是描述随机变量集中趋势和离散程度的重要指标。
1. 离散随机变量的均值和方差离散随机变量的均值用期望值来表示，记作E(X)，方差用Var(X)来表示。
离散随机变量的期望值等于各个取值乘以其对应的概率之和，方差则是各个取值与期望值的差的平方乘以对应概率之和。
2. 连续随机变量的均值和方差连续随机变量的均值和方差的计算方法与离散随机变量类似，只是求和变成了积分。
五、常见的离散分布和连续分布在概率论和数理统计中，有很多常见的离散分布和连续分布。
我们在高中数学中主要学习了以下几种：1. 离散分布(1) 二项分布(2) 泊松分布2. 连续分布(1) 正态分布(2) 均匀分布(3) 指数分布六、随机变量的独立性和和的分布当存在多个随机变量时，我们可以研究它们之间的独立性以及它们的和的分布。
随机变量独立性的性质
议随机变量独立性及其应用作者：张利荣 指导老师：桂春燕摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义,随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布1 引言概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.2 随机变量独立性的定义定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤, ,)1(则称X 与Y 相互独立.若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则)1(式等价于()()()y F x F y x F Y X ⋅=,.3 随机变量独立性的性质及其判别方法3.1 离散型随机变量独立性的判定判别法一定理1 设二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布列为()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1;2,1==j i ,X 的边分缘布列是()i i x X P p ==⋅,() ,2,1=i ,Y 的边缘分布列是()j j y Y P p ==⋅,() ,2,1=j ,则X 和Y 相互独立的充要条件为:对所有的取值()j i y x ,有() ,2,1;,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .证明 充分性：若() ,2,1,,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij ,因为()Y X ,是二维离散型随机变量,所以对任意的y x ,有()(),,()()()()i j i j i j i j ij i j x x y yij i jx x y yx xy yi j x xy yp P X x Y y P X x Y y p p p P X x P Y y P X x P Y y ≤≤⋅⋅≤≤≤≤≤≤=≤≤=====⋅====≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑即X 和Y 相互独立.必要性：若X 和Y 相互独立,不妨设123123,i j x x x x y y y y <<<<<<<<<<,则对任意y x ,,有()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,.当11,y y x x ==时,有()()()1111,y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,即()()()1111,y Y P x X P y Y x X P =⋅====,亦即1111⋅⋅⋅=p p p . )2(如此进行下去,最后可得() ,2,1,11=⋅=⋅⋅j p p p j j .如此下去,最后得出.() ,2,1,,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .由此定理得证.例1 设随机变量X 和Y 相互独立,并且有{}{}p Y P X P ====11,{}==0X P {}q p Y P =-==10,10<<p ,定义随机变量ζ为⎩⎨⎧++=.0,1为奇数若，为偶数；若Y X Y X ζ 问当p 取何值时,X 和ζ相互独立?解 由于{}{}{}0,01,11======Y X Y X ζ, {}{}{}0,11,00======Y X Y X ζ,所以{}{}{}{}2111,11,1p Y P X P Y X P X P ==⋅=======ζ,{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==⋅=======010,10,1ζ, {}{}{}{}2000,01,0q Y P X P Y X P X P ==⋅=======ζ,{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==⋅=======101,00,0ζ.由此得()ζ,X 的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.表 11j p ⋅ 0pq 2q q 1pq2pp⋅i ppq 222q p +1为使X 和ζ相互独立,有ζX()()2222222,,2,.pqq pq p q q q pqp pq p q p p =⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪+=⎩ 由于10<<p ，故方程组的解为21=p ,即当21=p 时,X 和ζ相互独立.判别法二：设()Y X ,是二维离散型的随机变量,它的联合概率分布列为()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1,=j i 可以用下表所示表 21y2yj y1x 11p12p j p 1 2x 21p22pj p 2i x 1i p2i pij p且∑∑=≥ijijij pp 1,0,矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ij i i j j p p p p p p p p p A 212222111211称为()Y X ,的联合概率分布矩阵,其行向量记为()() ,2,1,,,,,21==i p p p a ij i i i ,记()Y X ,的联合分布列()A Y X ~,.引理]7[ 设1α是非零向量,1α和2α线性相关,则2α可由1α线性表出.证明 因为1α和2α线性相关,所以存在不全为零的两个数1λ和2λ,使得YX02211=+ααλλ,又因为1α是非零向量,如果02=λ,则01=λ,则02≠λ,所以1212ααλλ-=, 即2α可由1α线性表出.定理2 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明 充分性：若A 中任意的两个行向量线性相关,由∑∑=≥ijijij pp 1,0,则A 中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设1α是非零向量,由引理可知,2α,3α ,,i α都可以由1α线性表示,则() ,2,1,1==i k i i αα,11=k ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j i i i j jp k p k p k p k p k p k p k p k p k A 112111212211211121111, 这里() ,2,1,,1=⋅=j i p k p j i ij ,且111∑∑∑∑∑∑===ijijj i ji ijijp k p k p .又由于X ,Y 的边缘分布分别为:()∑∑===jj i jij i p k p x X P 1,()∑∑∑⋅====ii j ij i iij j k p p k p y Y P 11,因此()()),,(1111j i jiij j i iij jj i iij jij j i y Y x X P k p p k k p p k p p y Y P x X P ===⋅=⋅===⋅=∑∑∑∑∑∑即X 与Y 相互独立.必要性：若X 与Y 相互独立,由j i ij p p p ⋅⋅=,则A 中的任意两个行向量可写为()() ,,,,,,,,2121j m j m m m m p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,()() ,,,,,,,,2121j n j n n n n p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,显然m α与n α线性相关.推论1 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论5 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1. 推论6 若()A Y X ~,中有某个0=ij P ,但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零,则X 与Y 不相互独立.例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设⎩⎨⎧=.,1;,0第一次取出黑球第一次取出白球X ⎩⎨⎧=.,1;,0第二次取出黑球第二次取出白球Y分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量()Y X ,的联合分布列,并判别X 与Y 的相互独立性.解 1)放回抽样：二维随机变量()Y X ,的联合分布列为:表 31254 256 1256 259 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00329664259256256254A , 因此()1=A r ,故X 与Y 相互独立.2)不放回抽样：二维随机变量()Y X ,的联合分布列为:YX表 41202 206 1206 206 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316662206206206202A , 因此()12>=A r , 所以X 与X 不相互独立.3.2 连续型随机变量独立性的判定判别法一：定理3 设()Y X ,是二维连续型随机变量,若它们的联合密度函数和边缘分布函数分别为()()()y f x f y x f Y X ,,,，并且都是除面积为零的区域外的连续函数,则X 和Y 相互独立的充要条件为:除面积为零的区域外,恒有()()()y f x f y x f Y X ⋅=,.证明 充分性：设()()()y f x f y x f Y X ⋅=,,则对任意的实数y x ,,有()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-==xy x yY X u v v f u f u v v u f y x f d d d d ,,()()()()y f x f v v f u u f Y X y Y xX ==⎰⎰∞-∞-d d .所以,X 和Y 相互独立.必要性：设X 和Y 相互独立,则有()()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞==yY X YXx y v v f u u f y f x f u v v u f d d d d ,x--()()⎰⎰∞-∞-=x yY X u v u f u f d d .因为上式对任意的y x ,都成立,于是有()()()y f x f y x f Y X ⋅=,,综上,定理得证.例3]1[ 若()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，,0;10,0,8,y y x xy y x f问X 和Y 是否相互独立?解 先分别求X 和Y 的边缘密度函数:YX当0<x 或1>x 时,()0=x f X .当10≤≤x 时,有()3144d 8x x y xy x f xX -==⎰.因此()⎩⎨⎧≤≤-=.,0;10,443其他x x x x f X 当0<y 或1>y 时,()0=y f Y .当10≤≤y 时,()3048y dx xy y f yY ==⎰.因此()⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,43其他y y y f Y很明显,()()()y f x f y x f Y X ≠,,所以X 和Y 不相互独立.判别法二定理]2[4 设),(Y X 是连续型随机变量, 其联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0;,),,(),(其他d y c b x a y x f y x F 则随机变量相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数)(),(y g x h 使)()(),(y g x h y x f =. (ii)d c b a 、、、 是分别与y x 、 无关的常数.证明 充分性: 首先分别求随机变量),(Y X 对y x 、 的边缘密度函数.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-======b abaY d cdcX dx x h y g dx y g x h dx y x F y f dy y g x h dy y g x h dy y x F x f .)()()()(),()(,)()()()(),()(d c b a 、、、是分别与y x 、 无关的常数, 所以上式积分中的结果⎰d c dy y g )( 与⎰ba dx x h )(是分别与y x 、 无关的常数, 分别记为B A 、 进一步由联合密度函数的性质,有(,)()()()()()()()()()()(,)b dbdacacX Y bdacf x y dxdy h xg y dxdyf x f y h xg y ABh x g y h x dx g y dyf x y =====⎰⎰⎰⎰⎰⎰即)()(),(y f x f y x f Y X = 故Y X ,相互独立.必要性: 若Y X , 相互独立, 有)()(),(y f x f y x f Y X =, ,,d y c b x a ≤≤≤≤取)()(),()(y g y f x h x f Y X ==, 则有)()(),(y g x h y x f =, 所以定理中的条件1) 成立. 以下用反证法证明,若d c b a 、、、中至少有一个是与x 或y 有关的函数,不妨设)(y a a =,由于)()(x h x f X = 是关于x 的边缘密度函数, 必有1)(=⎰dx x f b aX , 而)()(y Ag dx x f baX =⎰是一个与y 有关的不恒为1的y 的函数, 与前述结果矛盾.因此必有a 与y 无关,进一步可得d c b a 、、、都应与y 无关, 从而必要性得以证明.推论1 定理4 的条件中如果c a 、 有一个或两个都趋于d b 、,∞- 中有一个或两个都趋于∞+,则定理的结果也成立.推论2 若上述定理的条件成立, 则)(x h 与)(x f X 呈正比例关系,)(y g 与)(y f Y 呈正比例关系.在n 维连续型随机变量场合, 我们有定理5 设),,,(21n X X X 是连续型随机变量, 其联合密度函数为),,,(21n x x x f , 满足n i b x a x x x f i i i n ,,2,1,,0),,,(21 =≤≤> 则随机变量n X X X ,,,21 相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数n i x h i i ,,2,1),( =, 满足∏==ni iin x h x x x f 121)(),,,( .(ii))1(,n i b a i i ≤≤ 均为与n x x x ,,,21 无关的实常数.证明 充分性: 设),,,(21n x x x f 满足条件(i)与(ii) , 则可求得)1(n i X i ≤≤ 的边缘分布函数为1112121111()(,,,)()()()(),,i n nj jX i n nb b n n na ab i i j j j i i i a j i nf x f x x x dx dx dx h x h x dx dx h x h x dx a x b +∞+∞-∞-∞≤≠≤===≤≤⎰⎰⎰⎰∏⎰而当[]i i i b a x ,∉时, n i x f i X i ,,2,1,0)( ==. 又因其中)1(,n i b a i i ≤≤均为与n x x x ,,,21 无关的实常数, 故上述积分j j b a j dx x h jj)(⎰，n j ,,2,1 = 分别是与n x x x ,,,21 无关的实常数, 故记为,,,2,1,)(n j dx x h A j j b a j j jj==⎰则当)1(n i b x a i i i ≤≤≤≤ 时, 有112111221121))(,,,())(()()()()()(21-=-=∏∏==n ni i n n ni i n n n X X X A x x x f A x h x h x h x f x f x f n其中n n b a n b a b a ni i dx x h dx x h dx x h A nn)()()(22211112211⎰⎰⎰∏== ,而n n b b a a ,,,,,11 与n x x x ,,,21 无关, 故(1) 式可合并为n 重积分, 即1),,,()()(212121111111122===⎰⎰⎰⎰⎰∏=nb a b a n nn n b a b a b a ni i dx dx dx x x x f dx dx dx x h x h A n nnn故),,,()()()(212121n n X X X x x x f x f x f x f n =,即n X X X ,,,21 相互独立.必要性: 设n X X X ,,,21 相互独立, 则有)()()(),,,(212121n X X X n x f x f x f x x x f n =成立.此时只须取n i x f x h i X i i i ,,2,1),()( ==, 故条件(i) 成立.现假定条件(ii) 不成立, 则)1(,n i b a i i ≤≤中至少有一个是与n x x x ,,,21 有关的函数, 不妨设),,,(2111n x x x a a =, 由于)()(1111x h x f X = 是关于1X 的边缘密度函数, 则必有.1)()(1111111111==⎰⎰b a X b a dx x f dx x h而此时),,,()(21),,,(1112111n b x x x a X x x x Ag dx x f n =⎰是关于n x x x ,,,21 的函数, 并非恒等于1. 这于上式相矛盾, 因而必有1a 与n x x x ,,,21 无关. 同理证得)1(,n i b a i i ≤≤均与n x x x ,,,21 无关. 从而条件(ii) 满足. 必要性得证. 由上述连续型随机变量的定理4及其对应的推论进行判别X 与Y 的独立性，该定理的方便之处在于不需要求边缘分布函数，故用此方法判别连续型随机变量的独立性比较容易. 例4 设()Y X ,的联合密度函数为()2222122,,0;,220,.x ny n n n y e x y f x y n π+--⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪-∞<<+∞<<+∞=⎨⎛⎫Γ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎩其他 讨论Y X ,的独立性.解 令()()2222122222x nny n n h x e g y y e n π---⎛⎫ ⎪⎝⎭==⋅⎛⎫Γ ⎪⎝⎭，, 则有()()()y g x h y x f ⋅=,,又因为∞→=∞→∞→d c b a ,0,,,由推论7可知Y X ,相互独立.4 随机变量独立性的应用 应用一 由离散型随机变量的独立性及其边缘分布列，求其联合分布列.例5 n 重贝努里试验中，若令i X 表示第i 次试验中事件A 出现的次数).,,2,1(n i =请写出),,,(21n X X X 的联合分布列.解 ),,2,1(.,0,1n i A i A i X i =⎩⎨⎧=不出现次试验第出现；次试验第令 其分布列为 ).,,2,1)(1,0()(1n i x q p x X P i x x i i i i ====-由试验的独立性知，n X X X ,,,21 相互独立，得出),,,(21n X X X 的联合分布列为).1,0(),,,(112211=∑∑======-i x n x n n x q p x X x X x X P n i in i i应用二 利用离散型随机变量的独立性确定分布中的参数.例6 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为 1x 2x 3x1ya 91 cY X2y 91 b 31 若X 与Y 相互独立，求参数c b a 、、的值.解 由随机变量的独立性及联合分布律的基本性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⨯====≥⋅⋅∑∑),2,1;,2,1(;1),2,1;,2,1(0 j i p p p p j i p j i ij i j ij ij 得出X 与Y 的边缘分布律： 1x 2x 3x j P ⋅1y a 91 c 911++=⋅c a p 2y 91 b 31 31912++=⋅b p ⋅i p 911+=⋅a p 912+=⋅b p 313+=⋅c p ∑∑===31311i j ij p从而解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===6192181c b a 注意 求出c b a 、、后，要验证它们对任意j i ,是否均满足.j i ij p p p ⋅⋅⨯=若不满足，则所求参数不符合要求，舍去.通过验证上面所求得的c b a 、、的值均满足条件，故上面c b a 、、的值为所求.应用三 利用连续型随机变量的独立性求常用分布函数的联合概率密度.例7 设随机变量X 和Y 相互独立，并且X 服从),(2σμN ，Y 在],[b b -上服从均匀分布，求),(Y X 的联合概率密度函数.解 因为X 和Y 相互独立，所以 )()(),(y f x f y x f Y X =.又);(,21)(222)(+∞<<-∞=--x e x f x X σμσπYX⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0,,21)(其他b y b b y f Y 得：,2121),(222)(σμσπ--⋅=x e b y x f其中.,b y b x ≤≤-∞<<∞-当b y >时，.0),(=y x f应用四 随机变量的独立性与实际生活相结合例8 一负责人到达办公室的时间均匀分布在12~8时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在9~7时，设他们到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解 如图所示，设负责人和他秘书到达办公室的时间分别记为X 和Y ，则X 和Y 的概率密度分别为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;97,21)(.,0;128,41)(其他其他y y f x x f Y X由于X 和Y 相互独立，得),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==.,0;97,128,81)()(),(其他y x y f x f y x f Y XG G S dxdy y x f Y X P ⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-⎰⎰81),(121 而61'=-=∆∆C AB ABC G S S S . 于是 48181121=⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-G S Y X P1所以他们到达办公室的时间之差不超过5分钟的概率是.48结束语本论文在随机变量独立性定义的基础上讨论了随机变量独立性的性质，并分别对离散型随机变量和连续型随机变量用多种方法进行判定，最后通过随机变量独立性的相关应用说明其在生活中的重要性，从而让人们更深入的认识概率论的思想和方法，更好的解决我们身边的实际问题.除此之外，随机变量的独立性还可以和其他数学分支紧密结合，以便很好地解决数学问题.参考文献[1] 缪铨生.概率论与数理统计[M].上海:华东师范大学出版社,2006.[2]毛纲源.概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社.1999.[3]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.[4]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社，1997.[5]严士健等.概率论与数理统计[M].北京：北京师范大学出版社，1998.[6]钟开莱著.吴让泉译.概率论教程[M].上海：上海科技出版社.[7]明杰秀等.二维随机变量独立性的判定及其应用[J].高等函授学报（自然科学版),2011.[8] Rick Durrett.Probability Theory and Examples[M].S pringer-verlag Berlin Heidelberg,New Y ork,2005.About independent random variables and its applicationAuthor: Zhang Lirong Supervisor: Gui ChunyanAbstract The independence of the random variables is an important concept in probability theory.The paper first introduces the definition and the nature of independent random variables,then it gives different discriminant methods of the independence of the discrete random variable and continuous random variable,according to the different problems using the method to determine the corresponding discriminant,in addition ,it also gets some relevant inference by the nature and the determination of the independence of random variables,at last it gives some examples of its application.Keywords Discrete random variables Continuous random variables Independence Joint distribution。
《概率论》第3章§4相互独立的随机变量
§4
A, B 相互独立 X , Y 相互独立
相互独立的随机变量
11/19
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (a.e) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ( a.e) fY ( y )
§4
相互独立的随机变量
1/19
随机变量的独立性
离散型、连续型随机变量的独立性的判断
利用随机变量的独立性进行相关概率的 计算
第三章 多维随机变量及其分布
§4
A, B 相互独立
相互独立的随机变量
A, B 之间没有任何关系
P( AB) P( A) P( B)
2/19
怎样定义 r.v X , Y 之间的独立性 若
FX ( x2 ) FY ( y2 ) FX ( x1 ) FY ( y2 ) FX ( x2 ) FY ( y1 ) FX ( x1 ) FY ( y1 )
[ FX ( x2 ) FX ( x1 )] [ FY ( y2 ) FY ( y1 )]
P{x1 X x2 }P{ y1 Y y2 }
X ~ U (0,1), Y ~ U (0,1)
X , Y 独立,故联合密度为
1, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它 0,
故两信号互相干扰的概率为
P{ | X Y | 1 }
120
1
y
y x
1 2 1 2 1
2
( x ) 1 exp{ [ 21 2 1 2(1 )
概率论与数理统计--- 随机变量的独立性
F(x, y) = F (x)⋅ F ( y) = ∫−∞ fX(u)du⋅ ∫−∞ fY(v)dv = ∫−∞∫−∞ fX (u) fY (v) dudv X Y
对 F(x,y)求二阶 偏导即得联合密度 ( , ) f (x, y) = fX (x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y) 任 实 x ： “⇐”若 f (x, y) = fX(x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y), 则 任 实 x
0 0 0.2 x −5 y
dy =0.3697
甲乙两人约定中午12时 分在某地会面 分在某地会面. 例4 甲乙两人约定中午 时30分在某地会面 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀 如果甲来到的时间在 到 之间是均匀 分布. 乙独立地到达,而且到达时间在 而且到达时间在12:00到 分布 乙独立地到达 而且到达时间在 到 13:00之间是均匀分布 试求先到的人等待另一 之间是均匀分布. 之间是均匀分布 人到达的时间不超过5分钟的概率 分钟的概率. 人到达的时间不超过 分钟的概率 又甲先到的 概率是多少？ 概率是多少？ 为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 解: 设X为甲到达时刻 为乙到达时刻 为甲到达时刻 时为起点,以分为单位 依题意, 以12时为起点 以分为单位 依题意 时为起点 以分为单位,依题意 X~U(15,45), Y~U(0,60)
例: 设 ( X , Y ) 的联合密度函数
4 xy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y ) = . 其它 0
Байду номын сангаас
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x) =
第2节 条件分布与独立性
解 (1)若( X , Y ) ~ N (0,0,1,1, ), 则
X |Y ( x | y) ~ N ( y,1 2 );
Y | X ( y | x) ~ N ( x,1 ).
2
推广
(2) 设( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 , , , ), 则
.
对于任意给定 xi , 如果 P{ X xi } 0, 则在X xi的
性质：pi| j 0,
p
i
i| j
1;
p j|i 0,
p
j
j|i
1.
问题 : 联合分布、边缘分布和条件分布有什么关系?
联合分布、边缘分布和条件分布的关系 X Y
y1 p11 p21 pi 1
y2 p12 p22 pi 2
2. 连续型变量独立的定义
设两个连续型随机变量 X 和 Y 的联合密度和边缘 密度分别为 f ( x, y )和 f X ( x )与fY ( y ). 则
严格地说 , 连续型随机变量X与Y 相互独立是指 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y ) 在整个平面上几乎处处(即面积为0的区域除外)成立.
3. 一般型随机变量的条件分布 设 X 是一随机变量, A 是一随机事件, 则由如下条件 概率确定的函数
F ( x A) P X x A , x 称为在A 发生条件下 X的条件分布函数 .
二、随机变量的独立性
随机变量独立的直观含义
随机变量 X 和 Y 相互独立的直观含义是指它 们之间在概率上相互毫无影响, 也就是说 , 任何一 个的取值都不会影响到另一个取值的分布.
pi 1
yj p1 j p2 i pij
概率论与数理统计 随机变量的独立性
g ( xi , y j ) f ( x, y)dxdy
概率论与数理统计
例9
求E(X),E(Y),E(XY).
E ( XY ) xi y j pij
j 1 i 1
解 X,Y的边缘分布为
1 3 (1 0) 0 (3 0) 3 (1 1) 3 (3 1) 0 1 E ( X ) xi pi 18 3 8 , 4 4 2 i 1 3 1 9 (1 2) (3 2) 0 3 (1 3) 0 (3 3) . 1 8 0 1 2 3 3 1 3 , 8 4 E (Y ) y j p j 8 8 8 8 2 j 1
E X i E( X i )
n i 1 n i 1
概率论与数理统计
例10
解
设随机变量Xi为
则X=X1+ X2+ …+ X10 故 E(X)=E(X1)+ E(X2)+ …+ E(X10) 而E(Xi)=1-(9/10)20 i=1,2,…,10
9 20 E( X ) E ( X i ) E ( X i ) 10 ] 8.784 [1 10 i 1 i 1
概率论与数理统计
若(X,Y)是二维离散型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则
E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
若(X,Y)是二维连续型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
概率论与数理统计