北师大版必修4高中数学第三章同角三角函数的基本关系课件2
4
6 ) tan(
4
)
新课
sin a 30 45 60 150
1 2
2 2
3 2
归纳探索
cosa tan a
3 2
2 2
sin a cos a
2 2
3 3
1 1 1 1
sin a cos a 3 3
1
3
3 3
1
3
3 3
1 2
1 2
3 2
sin2 a cos2 a 1
练习
P113 练习2 分类讨论
思考：例1能否用这种方法？
应用
同角公式的应用
sin a cos a 已知 tan a 2求 sin a cos a sin a 分析： tan a cos a
解：分子分母同时除以cosα得：
sin a cos a sin a cos a cos a sin a cos a sin a cos a cos a
cos(157 3 180) cos157 tan(48 3 360) tan(48) cos(48 3 360) sin(48)
sin(
4
4 ) sin(
4
) )
cos( tan(
4 4
3 ) cos(
应用
同角公式的应用：化简
2 cos a 1 (2) 1 2 sin 2 a
2
1换为sin a cos a
2 2
2cos 2 a 1 2cos 2 a (sin 2 a cos 2 a ) 解： 2 1 2sin a (sin 2 a cos 2 a ) 2sin 2 a
sin a cos a cos a cos a sin a cos a cos a cos a
tan a 1 tan a 1
21 3 21
应用
练习
2sin a 3cos a (1)已知 tan a 3求 sin a 4cos a
1换为sin a cos a
（2）当 a IV
2
时
cos a 0
4 cos a 1 sin a 5
sin a 3 tan a cos a 4
分类讨论
练习
P113 P113
练习1 3 练习
分类讨论
应用
3 tan a 已知， 求 sin a ,cos a 的值。 4 解： tan a y 3 0 a I 或a III x 4 （1）当 a I 时 x 0, y 0
4 4
(sin a cos a )(sin a cos a )
2 2 2 2
sin a cos a 1 2 2 sin a cos a 右边
2 2
原式成立
பைடு நூலகம்
应用
同角公式的应用：证明
sin a sin a cos a cos a 1
4 2 2 2
sin a cos a 1
cos 2 a sin 2 a 1 2 2 cos a sin a
应用
同角公式的应用：化简
(1 tan a ) cos a
练习 2
2
应用
同角公式的应用：证明
sin a cos a sin a cos a
4 4 2 2
分析：由左往右证
证明：左边 sin a cos a
同角三角函数的基本关系
复习
三角函数的定义与符号
(+ ) ( ) （+ ） ( )
( )
-
(+ )
( )
-
(+ )
-
-
( )
-
(+ )
(+ )
( )
-
y sin a r
x cos a r
y tan a x
x,y,r, a 的意义
复习
终边相同的角的集合
{ | a k 2 , k z}
2 2
1 (2)已知 tan a 3求 2 sin a cos 2 a
(3)已知 tan a 3求2 sin 2 a 3cos 2 a
1
应用
同角公式的应用：化简
(1) cos tan
sin 切化弦： tan cos
sin 解： cos tan cos sin cos
sin a tan a cos a
新课
y sin α MP r x cos a OM r y tan a x
基本关系
y
P ( x, y )
r
x2 y2
r
M
O
x
sin a cos a 1
2 2
sin a tan a cos a
新课
同角公式
sin a cos a 1
终边相同 公式一 点的坐标相同 同一函数值相同
sin(a k 2 ) sin a cos(a k 2 ) cosa tan( a k 2 ) tana (k z )
练习
公式一：判断下列式子的正误 sin(29 2 360) sin 29
2 2
sin a 1 cos a
2 2
sina 1 cos a
2
cos a 1 sin a
2 2
cosa 1 sin a
2
sin a tan a cos a
sin a tan a cos a
sin aa tan a sin a cos cos a tan a
2 2
应用
同角公式的应用：证明 1 2 sin x cos x 1 tan x 2 2 cos x sin x 1 tan x
应用
3 sin a 求 cos a , tan a 的值。 已知， 5 3 解： sin a 0 a III 或a IV 5 （1）当 a III 时 cos a 0 sin a 3 4 2 tan a cos a 1 sin a cos a 4 5
不妨设x=4，y=3
y 3 sin a r 5
r
x2 y2 5
（2）当 a III
y 3 sin a r 5
x 4 cos a r 5 时 x 0, y 0
x2 y2 5
不妨设x=-4，y=-3 r
x 4 分类讨论 cos a r 5
高中数学《同角三角函数的基本关系》课件
一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25
2017-2018学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 利用同角三角函数的基本关系
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】
已知
tan
x=
2������ ������2 -1
,
其中
0
<
������
<
1, ������是三角形的一个内角, 则 cos ������的值为( )
当a=0时,由sin θ=0得cos θ=±1,tan θ=0;
当a=1时,由sin θ=1得cos θ=0,tan θ不存在; 当a=-1时,由sin θ=-1得cos θ=0,tan θ不存在;
当 0<|a|<1 时,sin θ=a,cos θ=± 1-������2,tan θ=± ������ .
解因为 A∈(0,π),tan A=
2 3
>
0,
所以A∈
0,
π 2
.
由 tan A=
2 3
,
得
sin������ cos������
=
2 3
.
①
又 sin2A+cos2A=1,
②
所以由①②及 A∈
0,
π 2
, 得sin A=
22 11
,
cos
A=
3 1111.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二 已知三角函数值,未指定所在象限,求其他三角函数值
=
5
−
12 13
,
∴
tan
������
=
北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积
完整版课件ppt
7
师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他 三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当 然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的 实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例 题． 例题 求sin75°·cos15°的值． 请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？ 生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差 公式解决之．
2． cos37.5°·cos22.5°
完整版课件ppt
10
而sin20°·sin40°·sin80°
完整版课件ppt
11
(四)课堂小结
本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现 的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他 们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差 的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希 望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P．231中3；P．236中1、2．
六、教后反思：
完整版课件ppt
12
第二课时 三角函数的和差化积
一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1．请学生复述积化和差公式，教师板书
2．部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α． 利用积化和差公式，可得
间是有紧密关系的．
师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它
们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这
些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内
在联，寻求新的关系式．
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差完角整版公课件式pp(t 板书)
北师大版必修4高中数学第三章同角三角函数的基本关系课件3
一:新课引入
三角函数是以单位圆上的点的坐标来定义的,
你能从单位圆的几何性质出发,探究同一个角的不
同三角函数的之间关系吗?
二:同角三角函数的基本关系
1 : 平方关系
sin cos 1
2 2
2 : 商数关系 当
2
sin tan cos
k , ( k Z )时
8
变式 1 : 用sin cos表示sin cos 2 解 sin cos
sin2 cos2 2 sin cos 1 2 sin cos 2 sin cos 1 sin cos 2
返回
变式2 : 若 cos sin cos , 化简 1 2 sin cos 1 2 sin cos
sin 2 cos 2sin cos
sin 4 cos
tan 4
sin 2 cos 解法2 : 2 sin cos
化弦为切
sin 2 cos cos sin cos cos
2
三 : 同角的三角函数的基本 关系的应用
1 : 应用之一 : 求三角函数的值
sin 2 cos 例2 :已知 2, 求 tan sin cos
sin 2 cos 变式 :已知 tan 3, 求 sin cos 化切为弦
化弦为切
解法
2 : 应用之二 : 化简三角函数式
解法
四:自主探究同角三角函数的基本关系的其它形式
源泉
sin2 cos2 1 sin tan cos
高中数学必修四同角三角函数的基本关系式课件
cos (1 sin ) 2 1 sin
1 sin 右边 cos cos 1 sin 因此 1-sin cos
cos (1 sin ) cos 2
例6 求证： (2)sin cos 2sin 1
4 4 2
证明：原式左边=(sin cos )(sin cos )
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin (1 sin ) 2 2sin 1 右边
2 2
因此 sin cos 2sin 1
4 4 2
例6 求证：
2 2
变形运用
求值、化简、证明
3、思想方法
方程的思想、数形结合、化归 抓住问题的关键、利用三角函数的定义
4、研究问题的方法
作业：
教材34页 习题1-2 A组zxxk
8、9 选作 习题1-2 B组
1、(1) 2、3
课后思考 sin 1、你能探讨一下关系式 tan cos 的几何意义吗？
2、已知tan =2 sin +cos 求 的值. sin -cos
谢谢大家！
变形
切化弦、 “1”的代 换
cosx 1 sin x 例7 求证 1-sinx cos x
证明：因为 （ 1-sinx）(1+sinx )=1-sin x cos x cos x cos x
2 2
所以原式成立.
注:证明的方法
1、化繁为简，即将较复杂的一边进行恒等变 形，证明它与另一边相等。 2、左右归一，当等式两边都比较复杂时，可 对两边同时变形为相同的结果。 3、等价转化，当给定的恒等式不容易证明时 ，可考虑转化为与之等价且较为简单的等式 的证明。 4、作差，判断两个式子的差为零。
2020-2021学年高一数学北师大版必修4第三章3.1同角三角函数的基本关系(第2课时) 教案
§1.2 同角三角函数的基本关系（第2课时）【教学目标】⒈能熟练选取同角三角函数的两种关系的不同变形进行三角函数的化简求值与证明；⒉在解决三角函数化简求值及证明的过程中，提升学生对数学式子的恒等变形能力，树立转化与化归的思想；⒊培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感，培养学生学习数学的兴趣和信心。
【教材分析】本节课是《同角三角函数的基本关系》第2课时，重点在于两个基本关系式的变形运用，体现在化简、求值和证明三种题型上，教材上的例5、例6旨在化简求值，例7旨在恒等式证明，针对性强，但对ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二的问题，只在课后习题和作业中体现，为了加强对学生的指导，特设置了例1。
【教学重点】熟练应用同角三角函数的两种关系进行化简求值与证明【教学难点】关系式在解题中的灵活选取，及应用同角三角函数的两种关系对数学式子进行变形、转化【教学方法与手段】教师启发引导，学生合作探究，突出学生在解题教学中的主体作用【教学过程】一、 知识检查 利用和 填空： ⒈α2sin = ，α2sin = ，1= .⒉⋅=ααtan sin ( )⒊()=+2cos sin αα ；()=-2cos sin αα . 设计目的：检查公式，灵活变形二、 例题探究 例1 已知α是第二象限角，51cos sin =+αα，求下列各式的值： 1cos sin 22=+αααααcos sin tan =⑴ααcos sin ⋅ ⑵ααcos sin -设计目的：ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二，整体代换 解：⑴由51cos sin =+αα得()251cos sin 2=+αα 251cos cos sin 2sin 22=++αααα 1251cos sin 2-=αα 2512cos sin -=αα ⑵()()ααααααcos sin 4cos sin cos sin 22-+=- =)2512(4251-⨯- =2549 ∵α是第二象限角∴0sin >α，0cos <α∴0cos sin >-αα ∴57cos sin =-αα 例2 化简02620cos 1-设计目的：综合运用诱导公式及 进行化简解：原式=0620sin =()0000080sin 80sin 100sin 100720sin ===-例3 化简θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+- 设计目的：化简时渗透分类讨论的意识解：原式=θθθθcos sin cos sin + 1cos sin 22=+αα=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+<<++<<+-+<<++<<ππθππππθππθππθππππθπθ22232,02322,tan 2222,0222,tan 2k k k k k k k k Z k ∈ 例4 求证： 设计目的：通过一题多解，培养学生的发散思维，提高学生思维的深刻性、敏捷性证法1 ∵()()()()0cos sin 1cos cos cos sin 1sin 1sin 1cos cos sin 1sin 1cos 222=--=----=+--θθθθθθθθθθθθθ ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=- 证法2 左边=()()θθθθθθθθcos sin 1cos 1cos sin 1cos sin 1cos 22--=-=- ()()()θθθθcos sin 1sin 1sin 1-++= θθcos sin 1+==右边 ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=-证法3 ∵()()θθθθ22cos sin 1sin 1sin 1=-=-+0sin 1≠-θ，0cos ≠θ ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=- 三、 课堂练习⒈化简：⑴θθtan cos ⑵θθ22sin 211cos 2-- 解：⑴θθθsin tan cos =θθθθcos sin 1sin 1cos +=-⑵()()1sin cos sin cos sin 2cos sin cos sin cos 2sin 211cos 2222222222222=--=-++-=--θθθθθθθθθθθθ ⒉求证：⑴αααα2244cos sin cos sin -=-⑵1cos cos sin sin 2224=++x x x x证明：⑴左边=()()=-+αααα2222cos sin cos sin αα22cos sin -=右边∴αααα2244cos sin cos sin -=-⑵左边=x x x x 2224cos cos sin sin ++=x x x x 2222cos )cos (sin sin ++=1cos sin 22=+x x∴1cos cos sin sin 2224=++x x x x四、 课堂小结利用2-3分钟让学生总结本节课的主要内容与思想方法，让其他同学补充完善，老师作强调：⒈同角三角函数基本关系的三种应用：求值，化简，证明⒉思想方法： 分类讨论⒊证明三角恒等式的一般思路五、 作业布置习题3-1 A 组 5、6 B 组 1、2教学反思:⒈为了体现灵活变形、整体代换在解决ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二问题中的优越性，设计了例1，从实际操作来看，学生更易想到将其与联立，解二元方程组，在角的范围没有已知的情况下，就需要分类讨论，一来运算量大，二来也容易出现错误，所以这种题型还需要在后续课中加强。
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲解部分) 高考数学(课标版,文科)复习课件
例2
(2020届河北衡水金卷周考卷(四),14)若tan
θ-
1-sin6θ 1-sin4θ
-cos6θ -cos4θ
=0,则cos2θ+
1 sin 2θ的值为
.
2
解析
由已知得tan
θ=
1-sin6θ 1-sin4θ
-cos6θ -cos4θ
=
sin2θ sin2θ
cos2θ-sin6θ-cos6θ cos2θ-sin4θ-cos4θ
例1 (2019福建三校联考,3)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的
非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ = ( )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解析 解法一:设角θ的终边上任一点为P(k,2k)(k≠0),则r= k 2 (2k)2 = 5 |k|.
α
π
2kπ,k
Z
α
|
π
2kπ
α
3π 2
2kπ,k
Z
α
|
3π 2
2kπ
α
2π
2kπ,k
Z
2.终边相同的角
终边落在x轴上的角的集合 终边落在y轴上的角的集合 终边落在坐标轴上的角的集合 终边与角α终边相同的角的集合
{α|α=kπ,k∈Z}
α|α
π 2
kπ,k
Z}
α|α
kπ 2
,k
Z}
{β|β=α+2kπ,k∈Z}
.
解析
∵sin
α-
π 4
=
72 10
,∴
2 (sin α-cos α)= 7 2 ,即sin α-cos α= 7 ①,两边平
高中数学必修四同角三角函数的基本关系-第二课时说课稿
2020/9/2
板书设计
§1.2.2 同角三角函数的基本关系（第二课时）
1、两个基本关系 平方关系 sin2： co2s1
2、方法汇总
商的关系 tan： sin cos
（1）平方关系的灵活使用
（2）弦化切、“1”的代换
（3）恒等式证明
2020/9/2
六、教学评价
开展形式：
（1）自主评价：由学生进行自主评价，以问题形式展现——学 会了什么，掌握了什么，还有什么疑难。
sin 1 cos2 cos 1 sin 2
2、tan sin : cos
sin tan cos
cos sin tan
3、sin cos 2 sin 2 cos 2 2 sin cos 1 2 sin cos
sin cos 2 sin 2 cos2 2 sin cos 1 2 sin cos
习” 是我进行教学的指导思想， 充分发 挥教师的主导作用和学生的主体作用. 所 以我采用了三主四环的教学方法。
2020/9/2
五、教学过程设计
①预习案 ②探究案 ③训练案
2020/9/2
预习案说明
1、设计说明 2、课堂开展形式： （1）环节一：教师指定预习自测的内容，学生自主阅读学习； （2）环节二：教师公布答案，学生进行核对； 3、用时：4分钟
正确解答：
与细心
假设存在这样的实数m,则：
36m2 32(2m1) 0
sin
cos
3 4
m
又
3 4
2
m
2
2m1 8
1,
解得m
2或m
10 9
sin
cos
2m1 8
高一数学必修四-6.同角三角函数的基本关系PPT教学课件
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
2 5
13
例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16
北师版数学高一-必修4课件 两角和与差的正弦、余弦函数
＝
55×
1100－25 5×31010＝－
2 2.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.
答案
3π 4
1234
课堂小结 1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律 四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本 质是相同的，其内在联系为 cos(α－β)—以—－—β—换→β cos(α＋β
＝ssiinn
β α.
规律方法 化简三角函数式的标准和要求 (1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少. (3)使三角函数式的次数尽可能低. (4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.
跟踪演练 1
化简：(tan 10°－
cos 10° 3)sin 50°.
解
原式＝(tan
3.两角互余或互补
(1)若
α＋β＝
π 2
，其 α、β 为任意角，我们就称 α、β 互余.
例如：π4－α 与 π4＋α 互余，π6＋α 与 π3－α 互余.
(2)若α＋β＝ π ，其α，β为任意角，我们就称α、β互补. 例如：π4＋α 与 34π－α 互补， α＋π3 与32π－α 互补.
要点一 利用和(差)角公式化简
10 10
＝2
5
5 .
答案 A
1234
1234
3.函数 f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
1234
4.已知锐角 α、β 满足 sin α＝255，cos β＝ 1100， 则α＋β＝ . 解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100， ∴cos α＝ 55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β